Transcript Drgania
Ruch drgający
R/H/W t. 2, rozdz. 16
Ruch harmoniczny
Drgania tłumione
Drgania wymuszone. Rezonans
Składanie drgań
dr inż. Monika Lewandowska
Prosty ruch harmoniczny (I)
Siła harmoniczna – siła proporcjonalna do wychylenia ciała z
położenia równowagi i skierowana jest zawsze ku położeniu
równowagi. W przypadku jednowymiarowym ma postać: F(x) = -kx
Przykład: siła sprężystości (prawo Hooka)
równanie ruchu (II zasada dynamiki) dla ciała
poruszającego się pod wpływem siły harmonicznej
ma kx
2
d x
dt
2
k
x
(1)
m
x ( t ) A sin( t 0 )
v (t )
a (t )
dx
dt
dv
dt
Czy ta funkcja jest ogólnym rozwiązaniem
równania (1) ?
A cos( t 0 )
A sin( t 0 )
2
2
Prosty ruch harmoniczny (II)
x ( t ) A sin( t 0 )
jest ogólnym rozwiązaniem równania (1) jeśli
k /m
Parametry występujące w równaniu ruchu harmonicznego
A – amplituda drgań - maksymalne wychylenie z położenia równowagi (m)
– częstość kołowa drgań (rad/s)
T = 2p/ – okres drgań – czas trwania jednego pełnego drgania (s)
f = 1/T - częstotliwość drgań – ilość drgań na jednostkę czasu (Hz)
t + 0 - faza drgań w chwili t (rad)
0 - faza początkowa (rad)
Wartość stałych A i 0 zależy od sposobu wprawienia układu w ruch, lub
innymi słowy, od warunków początkowych x(0) i v(0)
3
Prosty ruch harmoniczny (III)
położenie, prędkość i przyspieszenie
4
Prosty ruch harmoniczny (IV)
Energia oscylatora harmonicznego
Energia kinetyczna:
Ek
mv
2
2
1
k(A x )
2
2
2
Energia całkowita (jest zachowana):
E E p Ek
1
kA
2
2
Energia potencjalna:
Ep
1
kx
2
2
5
Wahadła
Wahadło fizyczne – bryła sztywna zawieszona na poziomej
osi obrotu przechodzącej powyżej środka masy, wykonująca
drgania pod wpływem siły ciężkości.
T 2p
I
mgr
Wahadło matematyczne – szczególny przypadek wahadła
fizycznego, którego cała masa skupiona jest w jednym
punkcie znajdującym się w odległości l od osi obrotu.
T 2p
l
g
Długość zredukowana wahadła fizycznego – długość
wahadła matematycznego, które ma taki sam okres drgań jak
dane wahadło fizyczne.
6
Drgania tłumione (I)
ma kx bv
2
d x
dt
2
k
x
m
b – współczynnik oporu ośrodka, (kg/s2)
b dx
m dt
2
(2)
d x
dt
2
0 x
2
b dx
m dt
0
k / m – częstość drgań własnych
oscylatora, (rad/s)
x ( t ) A0 exp( t ) sin( t 0 ) – jest rozwiązaniem równania (2) jeśli
równocześnie spełnione są warunki:
b
2m
0
2
2
- współczynnik tłumienia drgań, (1/s)
- częstość kołowa drgań tłumionych, (rad/s)
Rozwiązanie ma sens wyłącznie dla < kryt = 0
7
Drgania tłumione (II)
Typowa zależność
położenia od czasu
dla tłumienia
mniejszego od
krytycznego ( < 0)
W przypadku gdy ≥ 0 ciało po wychyleniu z położenia
równowagi powraca do położenia równowagi bez
wykonywania drgań.
Dekrement logarytmiczny tłumienia – łatwo mierzalny parametr służący
do charakteryzowania drgań tłumionych
ln
A (t )
A (t T )
T
8
Drgania wymuszone (I)
F(t ) – periodyczna siła zewnętrzna
ma kx bv F (t )
2
d x
dt
2
0 x 2
2
dx
dt
F (t )
m
b
2m
x (t ) x1 (t ) x 2 (t )
x 1 ( t ) A 0 exp( t ) sin( t 0 ) - tłumione drgania
2
0
2
swobodne układu
x 2 ( t ) - drgania wymuszone przez siłę zewnętrzną
F ( t ) F 0 sin( t )
- przykładowa postać siły zewnętrznej
W miarę upływu czasu drgania własne układu wygasają.
Wówczas
x ( t ) x 2 ( t ) A sin( t )
9
Drgania wymuszone (II)
jest rozwiązaniem równania
x ( t ) A sin( t )
2
d x
dt
2
dx
0 x 2
2
tg
dt
F0
sin( t )
jeśli spełnione są warunki:
m
2
0
2
2
F0
A
m
2
0
2
2
2
2
Amplituda drgań wymuszonych jest największa, gdy
f ( )
rez
2
0
0 2
2
2
2 2
2
0
2
min
A rez
F0
b 0
10
Drgania wymuszone (III)
Rezonans
Przykład
m = 10 g
F0 = 0.01 N
k = 1 kg/s2
b = 0.2, 10, 20, 40 g/s
Rezonans – zjawisko polegające na wzroście amplitudy drgań układu dla
określonych częstotliwości siły wymuszającej.
Częstotliwość rezonansowa - częstotliwość, dla której drgania mają
maksymalną amplitudę.
11
Drgania w obwodach RLC
R/H/W rozdz. 33
UR UC UL
Q
IR
L
C
dt
C
d
R
dt
I ( ) d
dI
2
2
1
I L
C
1
LC
0
1
LC
R
2L
dt
2
I
d I
2
dt
R dI
L dt
0 x 2
2
dt
2
2
d x
L
dI
dt
d I
dt
t
1
IR
dI
dx
dt
1 d
L dt
F0
sin( t )
m
12
Składanie drgań wzajemnie
prostopadłych (I)
x ( t ) A1 sin( 1 t 1 )
y ( t ) A 2 sin( 2 t 2 )
Składanie drgań o jednakowych częstościach
1 2
Ogólne równanie toru ruchu wypadkowego:
x
2
A1
2
y
2
A2
2
2 xy
A1 A2
cos( 1 2 ) sin ( 1 2 ) torem jest
2
elipsa
Przypadki szczególne:
1 2 0 lub p
1 2 p / 2
to drgania są spolaryzowane liniowo
i A1 A 2 to torem jest okrąg
(polaryzacja kołowa)
13
Składanie drgań wzajemnie
prostopadłych (II)
Jeśli składamy ze sobą drgania o różnych częstościach, to wypadkowy ruch
może być bardzo skomplikowany. Ruch ten nie musi być nawet okresowy,
chyba, że stosunek składanych częstości jest równy stosunkowi liczb
całkowitych. W takim przypadku torem wypadkowym są charakterystyczne
krzywe Lissajous.
14
Składanie drgań wzajemnie
równoległych (I)
1
2
x1 ( t ) A1 sin( 1 t 1 )
x 2 ( t ) A 2 sin( 2 t 2 )
Jeśli dodajemy drgania niespójne (o różnej częstości)
otrzymujemy ruch nieharmoniczny o różnym
charakterze (przykłady na rysunkach)
Dudnienie
gdy 1 i 2 różnią się nieznacznie
15
Składanie drgań wzajemnie równoległych (II)
Diagramy wektorowe
Drganie x (t) = A sin (t reprezentowane jest przez wektor o
długości A tworzący kąt t z osią x. Wektor ten wiruje
z prędkością kątową .
W wyniku dodawania drgań równoległych spójnych (1
2 ) otrzymujemy drganie harmoniczne o takiej
samej częstości (przykład na rysunku).
x 1 ( t ) x 2 ( t ) A1 sin( t 1 ) A 2 sin( t 2 ) A sin( t )
A
tg
A1 A 2 2 A1 A 2 cos( 2 1 )
2
2
A 2 sin( 2 1 )
A1 A 2 cos( 2 1 )
16
Składanie drgań wzajemnie równoległych (III)
Drgania spójne, przypadki szczególne
Drgania zgodne w fazie
( 2 2 2np ) się wzmacniają
A = A1 + A2.
Drgania o przeciwnych fazach
( 2 2 2n+1)p ) się wygaszają
A = | A1 - A2|
17