Transcript Drgania

Ruch drgający
R/H/W t. 2, rozdz. 16
Ruch harmoniczny
Drgania tłumione
Drgania wymuszone. Rezonans
Składanie drgań
dr inż. Monika Lewandowska
Prosty ruch harmoniczny (I)
Siła harmoniczna – siła proporcjonalna do wychylenia ciała z
położenia równowagi i skierowana jest zawsze ku położeniu
równowagi. W przypadku jednowymiarowym ma postać: F(x) = -kx
Przykład: siła sprężystości (prawo Hooka)
równanie ruchu (II zasada dynamiki) dla ciała
poruszającego się pod wpływem siły harmonicznej
ma   kx
2
d x
dt
2

k
x
(1)
m
x ( t )  A sin(  t   0 )
v (t ) 
a (t ) 
dx
dt
dv
dt
Czy ta funkcja jest ogólnym rozwiązaniem
równania (1) ?
 A  cos(  t   0 )
  A  sin(  t   0 )
2
2
Prosty ruch harmoniczny (II)
x ( t )  A sin(  t   0 )
 
jest ogólnym rozwiązaniem równania (1) jeśli
k /m
Parametry występujące w równaniu ruchu harmonicznego


A – amplituda drgań - maksymalne wychylenie z położenia równowagi (m)
 – częstość kołowa drgań (rad/s)

T = 2p/ – okres drgań – czas trwania jednego pełnego drgania (s)

f = 1/T - częstotliwość drgań – ilość drgań na jednostkę czasu (Hz)

t + 0 - faza drgań w chwili t (rad)
0 - faza początkowa (rad)

Wartość stałych A i 0 zależy od sposobu wprawienia układu w ruch, lub
innymi słowy, od warunków początkowych x(0) i v(0)
3
Prosty ruch harmoniczny (III)
położenie, prędkość i przyspieszenie
4
Prosty ruch harmoniczny (IV)
Energia oscylatora harmonicznego
Energia kinetyczna:
Ek 
mv
2

2
1
k(A  x )
2
2
2
Energia całkowita (jest zachowana):
E  E p  Ek 
1
kA
2
2
Energia potencjalna:
Ep 
1
kx
2
2
5
Wahadła
Wahadło fizyczne – bryła sztywna zawieszona na poziomej
osi obrotu przechodzącej powyżej środka masy, wykonująca
drgania pod wpływem siły ciężkości.
T  2p
I
mgr
Wahadło matematyczne – szczególny przypadek wahadła
fizycznego, którego cała masa skupiona jest w jednym
punkcie znajdującym się w odległości l od osi obrotu.
T  2p
l
g
Długość zredukowana wahadła fizycznego – długość
wahadła matematycznego, które ma taki sam okres drgań jak
dane wahadło fizyczne.
6
Drgania tłumione (I)
ma   kx  bv
2
d x
dt

2
k
x
m
b – współczynnik oporu ośrodka, (kg/s2)
b dx
m dt
2
(2)
d x
dt
2
  0 x 
2
b dx
m dt
 
0
k / m – częstość drgań własnych
oscylatora, (rad/s)
x ( t )  A0 exp(   t ) sin(  t   0 ) – jest rozwiązaniem równania (2) jeśli
równocześnie spełnione są warunki:
 
b
2m
  0  
2
2
 - współczynnik tłumienia drgań, (1/s)
 - częstość kołowa drgań tłumionych, (rad/s)
Rozwiązanie ma sens wyłącznie dla  <  kryt = 0
7
Drgania tłumione (II)
Typowa zależność
położenia od czasu
dla tłumienia
mniejszego od
krytycznego ( < 0)
W przypadku gdy  ≥ 0 ciało po wychyleniu z położenia
równowagi powraca do położenia równowagi bez
wykonywania drgań.
Dekrement logarytmiczny tłumienia – łatwo mierzalny parametr służący
do charakteryzowania drgań tłumionych
  ln
A (t )
A (t  T )
 T
8
Drgania wymuszone (I)
F(t ) – periodyczna siła zewnętrzna
ma   kx  bv  F (t )
2
d x
dt
2
  0 x  2 
2
dx
dt

F (t )
m
b
 
2m
x (t )  x1 (t )  x 2 (t )
x 1 ( t )  A 0 exp(   t ) sin(  t   0 ) - tłumione drgania
  
2
0

2
swobodne układu
x 2 ( t ) - drgania wymuszone przez siłę zewnętrzną
F ( t )  F 0 sin(  t )
- przykładowa postać siły zewnętrznej
W miarę upływu czasu drgania własne układu wygasają.
Wówczas
x ( t )  x 2 ( t )  A sin(  t   )
9
Drgania wymuszone (II)
jest rozwiązaniem równania
x ( t )  A sin(  t   )
2
d x
dt
2
dx
  0 x  2 
2
tg  

dt
F0
sin(  t )
jeśli spełnione są warunki:
m
 2
0  
2
2
F0
A

m
2
0

2

2
 2   
2
Amplituda drgań wymuszonych jest największa, gdy

f ( )    
 rez 
2
0
0  2
2
  2   
2 2
2
 0
2
 min
A rez 
F0
b 0
10
Drgania wymuszone (III)
Rezonans
Przykład
m = 10 g
F0 = 0.01 N
k = 1 kg/s2
b = 0.2, 10, 20, 40 g/s
Rezonans – zjawisko polegające na wzroście amplitudy drgań układu dla
określonych częstotliwości siły wymuszającej.
Częstotliwość rezonansowa - częstotliwość, dla której drgania mają
maksymalną amplitudę.
11
Drgania w obwodach RLC
R/H/W rozdz. 33
 UR UC UL
Q
  IR 
L
C
dt
C
d
 R
dt
 I ( ) d 
dI
2
2
 

1
I L
C
1
LC
0 
1
LC
 
R
2L
dt
2
I 
d I
2
dt
R dI

L dt
  0 x  2 
2
dt
2
2
d x
L
dI

dt
d I
dt
t
1
  IR 
dI
dx
dt
1 d
L dt

F0
sin(  t )
m
12
Składanie drgań wzajemnie
prostopadłych (I)
x ( t )  A1 sin(  1 t   1 )
y ( t )  A 2 sin(  2 t   2 )
Składanie drgań o jednakowych częstościach
1   2  
Ogólne równanie toru ruchu wypadkowego:
x
2
A1
2

y
2
A2
2

2 xy
A1 A2
cos(  1   2 )  sin ( 1   2 ) torem jest
2
elipsa
Przypadki szczególne:

 1   2  0 lub p

1   2  p / 2
to drgania są spolaryzowane liniowo
i A1  A 2 to torem jest okrąg
(polaryzacja kołowa)
13
Składanie drgań wzajemnie
prostopadłych (II)
Jeśli składamy ze sobą drgania o różnych częstościach, to wypadkowy ruch
może być bardzo skomplikowany. Ruch ten nie musi być nawet okresowy,
chyba, że stosunek składanych częstości jest równy stosunkowi liczb
całkowitych. W takim przypadku torem wypadkowym są charakterystyczne
krzywe Lissajous.
14
Składanie drgań wzajemnie
równoległych (I)
1
2
x1 ( t )  A1 sin(  1 t   1 )
x 2 ( t )  A 2 sin(  2 t   2 )
Jeśli dodajemy drgania niespójne (o różnej częstości)
otrzymujemy ruch nieharmoniczny o różnym
charakterze (przykłady na rysunkach)
Dudnienie
gdy 1 i 2 różnią się nieznacznie
15
Składanie drgań wzajemnie równoległych (II)
Diagramy wektorowe
Drganie x (t) = A sin (t   reprezentowane jest przez wektor o
długości A tworzący kąt   t   z osią x. Wektor ten wiruje
z prędkością kątową .
W wyniku dodawania drgań równoległych spójnych (1
 2  ) otrzymujemy drganie harmoniczne o takiej
samej częstości (przykład na rysunku).
x 1 ( t )  x 2 ( t )  A1 sin(  t   1 )  A 2 sin(  t   2 )  A sin(  t   )
A
tg  
A1  A 2  2 A1 A 2 cos(  2   1 )
2
2
A 2 sin(  2   1 )
A1  A 2 cos(  2   1 )
16
Składanie drgań wzajemnie równoległych (III)
Drgania spójne, przypadki szczególne
Drgania zgodne w fazie
( 2  2  2np ) się wzmacniają
A = A1 + A2.
Drgania o przeciwnych fazach
( 2  2  2n+1)p ) się wygaszają
A = | A1 - A2|
17