Transcript Drgania wymuszone punktu materialnego

MECHANIKA 2
Wykład Nr 8
Drgania punktu materialnego
Drgania swobodne punktu materialnego
Punkt materialny o masie m porusza się ruchem prostoliniowym pod
działaniem siły F , przyciągającej ten punkt do stałego punktu 0,
zwanego środkiem drgań.
Siła oddziaływania sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia
Drgania swobodne punktu materialnego
Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać:
Po podstawieniu F  -cx
równanie ruchu przybiera postać:
a po przekształceniu
Po podstawieniu
c
m

2
otrzymamy równanie ruchu w postaci
Drgania swobodne punktu materialnego
Rozwiązanie ogólne ma postać:
Wprowadzając stałe całkowania w postaci:
Drgania swobodne punktu materialnego
Otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci:
gdzie: a – amplituda drgań,
t + j – kątowa faza drgań,
j – faza kątowa początkowa drgań,
 – częstość kątowa drgań.
Ruch określony powyższym wzorem jest ruchem okresowym o
okresie T= 2p/, częstości f = 1/T .
Zgodnie z wcześniejszym
c
oznaczeniem

m
Drgania tłumione punktu materialnego
Przyjmiemy teraz, że drgania następują w ośrodku stawiającym
opór proporcjonalny do prędkości R    v    x

Siłę R nazywamy siłą tłumiącą, a współczynnik proporcjonalności  -
współczynnikiem tłumienia.
Drgania tłumione punktu materialnego
Dynamiczne równanie tego ruchu ma postać:
Po wprowadzeniu wyrażenia na siłę oporu otrzymamy:
Po oznaczeniu ω 
2
c
m
i 2n 
β
m
otrzymamy dynamiczne równanie drgań tłumionych w postaci:
Drgania tłumione przy mały tłumieniu
Przypadek ten zachodzi, gdy  >n. Rozwiązanie ogólne ma postać:
Zamiast C1 i C2 wprowadzimy nowe stałe: a oraz j
Dynamiczne równania ruchu przybiorą postać:
Drgania tłumione przy małym tłumieniu
W przypadku małego tłumienia punkt wykonuje drgania,
jednak dla t  ∞ będzie x  0, czyli ruch nie jest okresowy.
Jednak z równania ruchu wynika, że przejścia punktu
przez położenia równowagi (x = 0) następują okresowo.
Możemy więc mówić o drganiach tłumionych o okresie Tt
i częstości kątowej t , określonych zależnościami:
Drgania tłumione przy małym tłumieniu
Okres drgań jest nieznacznie większy od okresu drgań swobodnych.
Tłumienie powoduje wykładnicze zmniejszanie amplitudy drgań,
proporcjonalnie do ae -nt aż do całkowitego zaniku drgań.
Dwie sąsiednie amplitudy występujące dla t i t +T/2 wynoszą:
Drgania tłumione przy małym tłumieniu
Dekrement drgań tłumionych
Stosunek bezwzględnych wartości amplitud drgań jest stały i wynosi
Stosunek ten nazywa się dekrementem drgań.
Logarytm naturalny tego stosunku d
nazywamy logarytmicznym dekrementem drgań:
Drgania tłumione przy dużym tłumieniu
Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy   n . Rozwiązanie ogólne:
Po podstawieniu stałych
całkowania w postaci:
Otrzymamy równanie ruchu w postaci:
Drgania tłumione przy dużym tłumieniu
Zmienimy jeszcze raz stałe całkowania
Równanie ruchu przybiera postać:
Ruch określony tym równaniem nie jest
ruchem okresowym. Przy dużym tłumieniu
 > n punkt materialny nie wykonuje drgań.
Krytyczne tłumienie
Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy n
=.
Rozwiązanie równania ruchu ma w tym przypadku postać:
Poczynając od tłumienia krytycznego n = 
ruch punktu staje się ruchem nieokresowym.
Drgania wymuszone punktu materialnego
Na punkt materialny działa dodatkowa siła wymuszająca S, okresowo
zmienna wg równania S  H sin pt
pt – faza siły wymuszającej
p – częstość kątowa siły wymuszającej
H
Tw 
-
amplituda siły wymuszającej.
2π
p
- okres siły wymuszającej
Drgania wymuszone punktu materialnego
Równanie ruchu
ma postać:
Po wprowadzeniu oznaczeń
 
c / m częstość kątowa drgań swobodnych,
h  H / m jednostkowa amplituda siły wymuszającej
Równanie różniczkowe drgań wymuszonych przyjmuje postać
Drgania wymuszone punktu materialnego
Całka ogólna różniczkowego równania ruchu ma postać
– jest amplitudą drgań wymuszonych:
Drgania wymuszone są sumą dwu drgań harmonicznych:
- drgań swobodnych o częstości kątowej 
- drgań wywołanych siłą wymuszającą o częstości kątowej p
Działanie siły wymuszającej wywołuje
harmoniczne, które nakładają się na
swobodne.
drgania
drgania
Zjawisko rezonansu mechanicznego
Amplituda drgań wymuszonych wynosi
dla
oraz
dla
p
p 
Amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości drgań swobodnych,
częstości siły wymuszającej oraz amplitudy siły wymuszającej.
Dla p =  amplituda
Zjawisko rezonansu mechanicznego
W przypadku gdy p   ogólne rozwiązanie równania
różniczkowego drgań wymuszonych przyjmuje postać :
a szczególne rozwiązanie
Z równań ruchu wynika, że kiedy częstość siły wymuszającej
zbliża się do częstości drgań swobodnych, to maksymalne
odchylenie punktu od położenia zerowego zmierza do
nieskończoności.
Mówimy, że zachodzi zjawisko rezonansu mechanicznego.
Wpływ tłumienia na drgania wymuszone
Równanie dynamiczne tego ruchu
lub
Wpływ tłumienia na drgania wymuszone
Rozwiązanie równania ruchu ma postać:
dla małego tłumienia, gdy
 n
2) dla dużego tłumienia, gdy  n
,
3) dla tłumienia krytycznego, gdy  n
,
Wpływ tłumienia na drgania wymuszone
Częstość siły wymuszającej osiągnie wartość wartość zwaną
częstością rezonansową równą
przy założeniu, że  2  2 n 2   0 .
W przeciwnym przypadku nie istnieje częstość rezonansowa.
Badając drugą pochodną łatwo stwierdzimy, że dla
występuje maksimum amplitudy.
p  pr
,