Trysekcja Nikomedesa 1/6

Około roku 225 p.n.e. Nikomedes, Grek pracujący w Aleksandrii, w traktacie omawiającym zadanie podziału kąta na 3 równe części, przedstawił krzywą, którą nazywa się powszechnie

muszla Nikomedesa

. Jest to konchoida prostej.

Definicja konchoidy.

Niech dane będą krzywa płaska p, punkt S nie leżący na niej i liczba b.

Konchoida krzywej

p, wyznaczona względem punktu S i przez liczbę b, jest to zbiór punktów C płaszczyzny takich, że QC=b, gdzie Q oznacza punkt przecięcia prostej SC z krzywą p.

Weźmy na przykład prostą prostopadłą do osi poziomej Ox układu kartezjańskiego Oxy. Każda taka prosta różna od osi pionowej ma równanie x = a, gdzie a  0.

W układzie Or  współrzędnych biegunowych (r,  ) ma ona równanie r = a/cos  . Dlatego konchoida tej prostej względem początku O obu układów ma równanie r = a/cos  + b.

Na rysunku obok pokazane są trzy konchoidy prostej x=3 wyznaczone względem początku układu O i dla liczb b=0, 2 i 5.

Trysekcja Nikomedesa 2/6

Wiemy już, że konchoida prostej r = a/cos(  ) wyznaczona względem początku O układu współrzędnych biegunowych (r,  ) i przez liczbę b, ma równanie r = a/cos  + b.

Ponieważ między współrzędnymi (x,y) a (r,  ) zachodzą związki: x=r·cos  , y=r·sin  , więc równanie biegunowe konchoidy Nikomedesa, po pomnożeniu obustronnym przez cos  , można zapisać w postaci x=a+b·x/  (x 2 +y 2 ).

Po prostych przekształceniach uzyskujemy równanie muszli Nikomedesa we współrzędnych kartezjańskich: (x-a) 2 ·(x 2 +y 2 )–b 2 x 2 =0.

Eksponowana w Centro Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica w Modenie deska Nikomedesa, na której wyznacza się 1/3 danego kąta. Położenie listwy OM jest wyznaczone dwoma punktami. Pierwszy z nich, stały punkt M listwy, poruszać się może po linii prostej f-f . Drugim punktem jest stały punkt O deski. Tak więc listwa obraca się wokół punktu O. Wraz z obrotem punkt M wędruje po prostej f-f, zaś punkty P i Q listwy OM, niezmiennie spełniające warunek |PM| = |MQ| = b, gdzie b jest zadaną z góry liczbą,, kreślą konchoidę Nikomedesa .

Trysekcja Nikomedesa 3/6

Wykorzystanie konchoidy Nikodemesa do trysekcji kąta ostrego, np.

AOB

, oparte na na konstrukcji, którą pokazują rysunki.

k1.

Na ramieniu

OB

obieramy dowolny punkt

D

i prowadzimy przez niego proste do ramienia

OA

prostopadłą i równoległą.

k2.

Z wierzchołka

O

kreślimy prostą tak, by punkty

S

i C, w jakich przecina ona odpowiednio prostopadłą i równoległą, były od siebie oddalone o 2

w

, gdzie

w

=

O D

.

Teraz jest 

AO C

= 1/3· 

AOB

.

Dowód (oznaczenia jak na rysunku obok ). u1.

Dzielimy odcinek

SC

na pół punktem

M

.

u2.

u3.

u4.

u5.

u6.

Wtedy Zatem

D D M S

=2 =

w

.

w

·sin Dlatego równość  , gdzie  = 

O C D

.

W 

O E D

W 

O E S

jest |

D E

| =

w

·sin  oraz |

O E

| =

w

·cos  , gdzie  jest |

E S

| = |

O E

|·tg  =

w

·cos  = 

AOB

.

·tg  . u7.

|

D E

| = |

D

S.| + |

S E

| znaczy, że sin(  –  )=sin(2  ). A że 0 <  <  < 90º, więc stąd od razu  =3  .

Rozszerzenie definicji krzywej Nikomedesa na liczby zespolone [4/6]

Wprowadźmy zmienną zespoloną z = x + î·y =  (x 2 +y 2 )·(cos  gdzie x, y,  , r =  (x 2 +y 2 )  R.

+ î·sin  ) = r·exp(î·  ), Wówczas, po pomnożeniu równania konchoidy Nikodemesa przez exp(î·  ) oraz skorzystaniu z równości cos(w) = cosh(î·  ) zachodzącej dla w = î·  , otrzymujemy związek z = a·{1 + tgh(w)} + b·exp(w).

Zdefiniowane nim przyporządkowanie z=z(a,b,w) zwane

funkcja Nikodemesa

.

Przykładowe wykresy tej funkcji dla a= – 4, – 2, 0, 2, 4 i b=1, oraz dla a=1 i b= – 2, – 1,0,1, pokazują rysunki obok.

Funkcje harmoniczne Nikomedesa [5/6]

W równaniu z = a·{1 + tgh(w)} + b·exp(w) podstawmy w = u + î·v , gdzie u, v  R. Otrzymujemy w ten sposób przekształcenie, które wartości zespolonej w przyporządkowuje wartość zespoloną (*) z(u + î·v) = a·{1 + tgh(u + î·v)} + b·exp(u + î·v) .

Ponieważ sinh(u + î·v) = sinh(u)·c+cosh(u)·s, cosh(u + î·v) = cosh(u)·c+sinh(u)·s, 1+tgh(u + î·v) = 2exp(2u)/M·{exp(2u)+ î·exp(î·2v)}, gdzie c=cos(v), s=sin(v) oraz M =1/{exp(4u)+2exp(2u)·cos(2v)+1}, więc zależność (*) możemy przedstawić w postaci z = U + î·V , gdzie części rzeczywista U=U(u,v) i urojona V=V(u,v) wynoszą U = 2a·exp(2u)·{exp(2u)+cos(2v)} + b ·cos(v), V =2a ·exp(2u)·sin(2v) + b·sin(v) .

Te dwie funkcje spełniają równania Cauchy-Riemana: Są zatem rozwiązaniami równania Laplace’a:  U  u  2 z  u 2    V  v ,  2 z  v 2  U  v   0   V  u

Wynik ten przedstawili Lin,Yu, Yuang i Luk w pracy „Conchoid of Nicomedes and limacon of Pascal as electrode of static field and as waveguide of high frequency wave”, Progres in Electromagnetics Research 30 (2001), 273-84

.

Transformacja Nikomedesa [6/6]

Równanie zespolonej funkcji Nikomedesa: z=a·{1+tgh(w)}+b·exp(w), w którym z=x+î·y , w=u+î·v oraz x , y , u , v określa tzw. transformację Nikodemesa NT: w   R, z .

Na rysunku z prawej strony widzimy odcinek łączący punkty (1,0) i (2  ,0) oraz jego NT-obraz. Obraz ten jest lekko zniekształconym okręgiem (aby pokazać różnicę, na rysunku wkreślony jest także okrąg). Krzywa ta jest nie tylko NT-obrazem wiadomego odcinka, lecz także całej prostej o równaniu u=1 (czyli w=1+ î·v, gdy 

Rysunek z lewej strony pokazuje NT-obrazy 4 odcinków u+î·v dla v=1, 2, 4 i 5 uzyskanych gdy u zmienia się w przedziale <–2,1>. Jeden z tych odcinków - ten dla v=1, czyli łaczący punkty A=–2+î B=1+î - też został zaznaczony. NT(A)  0.058+0.147î, NT(B)  3.55+2.56î Transformacja Nikodemesa NT wykazuje wysoką nieregularność. Co więcej, nie jest jednoznacznie odwracalna. Widać to po przekształceniu równania tgh(w)={exp(2w) – 1}/{exp(2w)+1} , do postaci s 3 + t·s +s – z/b = 0 , gdzie t =(z-2a)/b i s = exp(w) .