Transcript مثال
ميحرلا نمحرلا ...
ا مسب
لاتيجيد لرتنک سرد 93 92 لوا لاس مین
یردقمش دیعس
» يرادياپ ليلحت « : همدقم LTI یاه متسیس LTV یاه متسیس نامز اب ریغتم و یطخریغ یاه متسیس
• • •
فيراعت
لداعت تلاح یرادیاپ یرادیاپان
: لاثم
.
دنيوگ لداعت طاقن ار D,B نيباميف و G,F,E,A .
دنتسه رادياپان طاقن F,A دننام يطاقن .
دنتسه رادياپ طاقن E,G دننام يطاقن ) دتسيا ي م هرابود هتفر ولج يمك اما ددرگ يمن زاب لداعت هطقن هب ( .
مييوگ يم يعيبط رادياپ طاقن D,B نيباميف
: دنك يم حرطم ار هاگديد ود فنوپايل متسيس خساپ ساسا رب : لوا شور ) رت يدربراك ( متسيس تلاداعم ساسا رب : مود شور : فيراعت
: لداعت تلاح
Ax
(
t
) ( 2 ) : دشاب L T I متسيس رگا يرامشيب دادعت دشاب singular A رگا و لداعت تلاح كي اهنت دشاب nonsingular ..
تشاد A رگا هاگن ا ميهاوخ لداعت تلاح
: فنوپايل ديد زا يرادياپ
: فنوپايل ديد زا يبناجم يرادياپ
يبناجم يرادياپ ةدودحم نيرت گرزب
: بذج هزوح
Global يرادياپ
: يرادياپان
فوناپايل ميقتسم شور
M
x
b x
x
k
0
x
k
1
x
3 0
b x
x
Nonlinear Damping
: لاثم
k
0
x
k
1
x
3
Nonlinear Spring
اهر دعب و ميشکب رنف لومعم لوط دح زا رتدايز هلصاف کي طسوت ار مرج هک مينکيم ضرف ؟ريخ اي تسا رادياپ ) ي ياهن تکرح ( ي ياهن خساپ هک تسنيا لاوئس ،مينک : يژرنا شيامز ا 1 2
Mx
2 1 0
k x
0
k x
1 3
dx
1 2
Mx
2 1 2
k x
0 2 1 4
k x
1 4
: يکيناکم يژرنا و يرادياپ فيراعت هسياقم
x
0
، x(0) رفص يژرنا = لداعت هطقن 1 رفص هب يکيناکم يژرنا ندومن converge » ═ يبناجم يرادياپ 2 يکيناکم يژرنا دشر » ═ يرادياپان 3
V
M x
x
k
0
x
k
1
x
3
x
x
b x
x
b x
2
x
لاح رد ه تسويپ روطب و تسا هدش عورش هطقن کي زا متسيس يژرنا هک تسانعم نيدب نيا : تیاهن رد ينعي ، دشابيم ندرک لزنت
x
0
LTI ياه متسيس يرادياپ
LTI ياه متسيس يرادياپ .
ديريگب رظنرد ار ريز LTI يطخ متسيس : 1 هيضق
x
(
t
)
Ax
(
t
) : رگا طقف و رگا تسا فنوپايل موهفم هب رادياپ متسيس نيا
.
دنشاب هتشاد تبثمريغ يقيقح ياهتمسق A هژيو ريداقم ةيلك : فلا يا هلمج دنچ هداس ياهرفص ، دنتسه رفص ن ا يقيقح ياهتمسق هك A هژيو ريداقم .
دنشاب A زا هتسد هصخشم ن ا : ب هلداعم
: 2 هيضق .
دنشاب يفنم يقيقح ياهتمسق ياراد A هژيو ريداقم هيلك رگا طقف و رگا تسا يبناجم رادياپ ريز یطخ متسيس
x
Ax
(
t
)
: 3 هيضق .
دشاب يبناجم رادياپ رگا طقف و رگا تسا global
x
Ax
(
t
)
تسا يبناجم رادياپ ريز یطخ متسيس : 4 هيضق : رگا طقف و رگا تسا رادياپ فوناپايل موهفم هب یطخ متسيس دنشاب هتشاد تبثم ريغ يقيقح ياهتمسق A هژيو ريداقم هيلك فلا .
د نشاب هصخشم يا هلمج دنچ هداس ياهرفص ،دنتسه رفص اهن ا يقيقح ياهتمسق هك A هژيو ريداقم زا هتسد ن ا ب
.
تسين حيحص ن ا سكعلاب اما تسا A هژيو رادقم G(s) بطق ره ميناد يم : يرادياپ طرش ياهتمسق G(S) رصنع ره ياهبطق رگا طقف و رگا تسا BIBO رادياپ G(S) ليدبت سيرتام اب .
دشاب هدش فيرعت هتشاد متسيس يفنم يقيقح
1 1 0 1
x
0 1
u y
( 1 1 )
x
: لاثم
G
(
S
)
C
(
SI
A
) 1
B
S
1 1
SI
A
(
S
1 ) (
S
1 )
Zero state response
.
BIBO
not A.S.Y
Stable
: 6 هيضق
: دنتسه ل داعم ريز تارابع هاگن ا دنشاب ريذپ هدهاشم و ريذپ لرتنك ،یطخ متسیس رگا .
تسا رادياپ الماك متسيس ) 1 .
تسا BIBO رفص تلاح خساپ ) 2 .
تسا يبناجم رادياپ رفص تلاح خساپ ) 3 .
دنتسه يفنم يقيقح ياهتمسق ياراد ليدبت سيرتام ياهبطق هيلك ) 4 .
دنشاب يم يفنم يقيقح ياهتمسق ياراد A هژيو ريداقم هيلك ) 5
فيراعت : رلاكسا عباوت ندوب تبثم نيعم
هب هاگره هك مييوگ يم P.D
، تسا تلاح ياضف ادبم هدنريگرب رد هك
هيحان رد ار
v(x)
رلاكسا عبات
V
( 0 )
V
(
x
) 0
: رلاكسا عباوت ندوب یفنم نيعم
.
دشاب تبثم نيعم ، -
v(x)
هاگره ،مييوگ یم یفنم نيعم ار
v(x)
رلاكسا عبات PSD تبثم نيعم همين
N.S.D
یفنم نيعم همين
.
مييوگ يم نيعمان ارن ا دشاب اراد ار يفنم ريداقم مه و تبثم ريداقم مه
v
(
x
)
x
1 2
x
2 2
نيعمان
هيحان رد
v(x
( رلاكسا عبات رگا
v
( 0 ) 0
v
(
x
) 0
v
(
x
)
P
.
D
: لاثم : لاثم
v
(
x
)
x
1 2 2
x
2 2
v
( 0 ) 0
v
(
x
) 0
v
(
x
)
P
.
D
v
(
x
) (
x
1
x
2 ) 2
v
( 0 ) 0
v
(
x
) 0
except x
1
x
2
P
.
S
.
D
: لاثم
v
(
x
) (
x
1
x
2 ) 2
v
( 0 ) 0
v
(
x
) 0
except x
1
x
2
v
(
x
)
P
.
S
.
D
: لاثم
: 2 هجرد ياهتروص ) فوناپایل عبات ناونع هب ( دنتسه يرادياپ نييعت رد شقن ياراد هك رلاكسا عباوت زا يمهم هتسد
V
(
t
)
X T PX
x
1 ,
x n
T P
x
x n
1 (
x
1 , ...
,
x n
)
p
11
p n
1
p
12 ...
(
P
ij
ji i j
i
j
نراقتم P
p
1
n p n n
x
1
x n
(
P
ij
P
ji
) / 2
( ) : دیدج بیارض
: دوش هدرو ارب ريز طيارش زا یکی رگا تسا نيعم تبثم سيرتام کی p
.
دنشاب تبثم p ه ژيو ريداقم مامت ) 1 .
دنشاب تبثم مدقم يلصا ياهداهك مامت ) 2
a
11
A
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33 مدقم يلصا ياهداهك
a
11 ,
a
11
a
21
a
12
a
22 ,
A
P
p
11
p n
1
p
12 ...
1
P
11 ; 2
p
11
p
21
p
1
n p n n
p
12
p
22 ...
n
p
هيضق تسا نیعم تبثم P تسا نیعم یفنم P دنشاب یفنمان یلصا یاهداهک و دشاب هژیوان P رگا تسا (PSD) نیعم همین تبثم P دن شاب تبثمريغ درف ةبترم و يفنمريغ جوز هبترم یلصا یاهداهک و دشاب هژیوان P رگا تسا (NSD) نیعم همین یفنم P
Q
(
x
1 ,
x
2 ,
x
3 ) 10
x
1 2 4
x
2 2 1
x
3 2 2
x
1
x
2 2
x
2
x
3 4
x
1
x
3
: لاثم
Q
(
x
1 ,
x
2 ,
x
3 )
x T
10
p x
(
x
1 ,
x
2 ,
x
3 ) 1 2 1 4 1 2 1 1
x
1
x
2
x
3 10 0 , 10 1 1 4 0 ,
p
0
P
P
.
D
Q
(
x
1 ,
x
2 ,
x
3 )
P
.
D
v
(
x
)
x
2 1 3
x
2 2 11
x
2 3 2
x
1
x
2 4
x
2
x
3 2
x
1
x
3
: لاثم
v
(
x
) (
x
1
x
2 1
x
3 ) 1 1 1 3 2 1 2 11
x
1
x
2
x
3 1 0 1 1 1 3 0
P
0
V
(
X
)
N
.
D
: يبناجم يرادياپ هيضق : هك دشاب هدش فيرعت ريز لكش هب متسيس هك رگا
x
f where
(
x
,
t
)
f
( 0 ,
t
)
t X e
: دزاس هدرو ارب ار ريز طيارش و دشاب هتسويپ لوا يئزج تاقتشم ياراد
v
(
x
,
t
)
رلاكسا عبات رگا هاگن ا
1 )
V
(
x
,
t
)
P
.
D
2 )
V
(
x
,
t
)
N
.
D
.
تسا يبناجم يرادياپ ياراد ادبم رد لداعت تلاح هاگن ا
f
(
x
,
t
)
f
( 0 ,
t
) 0
t
يرادياپان هيضق : هك دشاب ريز لكش هب متسيس رگا : دزاس هدرو ارب ار ريز طيارش و دشاب هتسويپ لوا يئزج تاقتشم ياراد
v
(
x
,
t
)
رلاكسا عبات رگا هاگن ا
w
(
x
,
t
)
P
.
D
(
x
,
t
)
P
.
D
.
تسا رادياپان متسيس هاگن ا
1
x
2
x
1 (
x
1 2
x
2 2 )
x
2
x
1
x
2 (
x
1 2
x
2 2 )
V
(
x
)
x
1 2
x
2 2
P
.
D V
(
x
) 2
x
1 1 2
x
2
x
2 2
x
1 (
x
2
x
1 (
x
1 2
x
2 2 ) ) 2
x
2 (
x
1
x
2 (
x
1 2
x
2 2 ) 2 (
x
1 2
x
2 2 ) 2
N
.
D
: لاثم
: يطخريغ ياه متسيس يارب يدنب عمج يفاك طرش طقف : فنوپايل یرادیاپ ) 1 تسين
unique
متسيس کی يارب فنوپايل عبات ) 2 .
دراد دوجو فنوپايل عبات كي هراومه يبناجم رادياپ / رادياپ لداعت تلاح يارب ) 3
v
(
x
)
p x
x
p
: فنوپايل شور زا هدافتسا اب L T I ياه متسيس يرادياپ ليلحت
x
A x
لداعت تلاح اهنت x=0
تسا هژيوان A : ضرف
v
(
x
)
x
p x
: فنوپايل يلامتحا عبات نراقتم و نیعم تبثم P
( Ax )
px
x
PA x
x
A
P x
x
P A x
x
( A
P
PA ) x
Q
(
A
x
PA
)
P
.
D V
(
x
)
x
Q x
: یرادیاپ طرش
A
P
PA
Q
: فوناپایل هلداعم زا لصاح P يسررب سپس و Q : رتهب شور نیعم تبثم سيرتام هاوخلد باختنا دنک یم قدص فوناپایل هلداعم رد هک دشاب هتشاد دوجو P نیعم تبثم : ادبم سیرتام یبناجم کی Q یرادیاپ نیعم یارب تبثم یفاک و سیرتام مزلا ره طرش یارب V : فوناپایل عبات
هلداعم n(n+1)/2 لیکشت اب فوناپایل هلداعم زا P : P Q=I نییعت باختنا نراقتم سیرتام P ندوب رصانع PD نییعت یسررب : لاثم
x
0 1 1 1
x A T P
PA
Q
I
0 1 1 1
p
11
p
12
p
1 .
3 .
3 .
3 1
p
12
p
22
p
11
p
12
p
12
p
22 0 1 1 1 1 0 0 1
P
P
.
D
V
(
X
)
X T P X
(
X
1
X
2 ) 1 .
.
3 3 .
3 1
X
1
X
2 1 2 ( 3
X
1 2 2
X
2 2 2
X
1
X
2 ) (
X
1 2
X
2 2 )
N
.
D
.
: تحص یسررب
X
AX
a
1 0 1
X
) 2 لاثم
.
دشاب يبناجم يرادياپ ياراد متسيس هک دينک باختنا يروط a يارب بسانم هدودحم A T P+PA=-I
a
0 1 1
p p
3 1
ap
1
p
2
p
2
p
4 0 .
5
p p
4 2
p p
3 1
p p
4 2
a
1 0 1 1 0 ,
ap
2
p
4
p
4
ap ap
2 1
p
2
p
4
p
2 0 .
5 1
a
p p
4 2 0 1 ,
p
1 2
a
2 (
a a
1 ) 0 1 0 1
P
2 2
a
(
a
1 0 .
5
a
a
1 ) 1 0 .
5 0 .
5
a
2
a
2 (
a a
1 ) 0
a
( 2
a
) * (
a
1 ) 0 0 .
5 ( 2 2
a
(
a
a
) 1 ) 1 / 4 ( ( 1 1
a
) 2 0
a
0 , 1
a
2
a
0 ,
a
( 2
a
) * (
a
1 )
a
( 2
a
) * (
a
1 ) 1
a
2 3
a
3 0
from
a
0 .
دوب دهاوخ يبناجم يرادياپ ياراد متسيس a<0 ءازاب نياربانب
نامز هتسسگ ياهمتسيس يرادياپ ليلحت فوناپايل مود شور زا
x(k+1)=f(x(k))
: نامز هتسسگ متسيس
f(0)=0
• • • •
V x
0 0 : هک دشاب هتشاد دوجو نانچ
x
زا هتسویپ
V(x)
رلاکسا عبات رگا : هیضق
x
x
0 0
V x KT
)) ))
as x
V
(0) 0
تسا فوناپایل عبات
V(x)
و هدوب یبناجم رادیاپ x=0 هاگن ا
ندوب نیعم یفنم طرش ینیزگیاج
•
Δ𝑉 𝑥 ≤ 𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥 دوش یمن رفص دحتم روطب
x(kT)
خساپ ره یارب Δ𝑉(𝑥)
•
: لاثم
• • 𝑥 2 𝑥 1 𝑘 + 1 = 𝑥 2 𝑘 + 1 = −0.5𝑥 1 𝑘 𝑘 − 𝑥 2 (𝑘) • Δ𝑉 𝑥 = −𝑥 2 2 (𝑘)
نامز هتسسگ
LTI
ياهمتسيس يرادياپ ليلحت یزاس هتسسگ یرو ادای
Given
:
نامز هتسويپ ياه متسيس ندومن نامز هتسسگ
x
Ax
Bu y
Cx
Du x
k
1
T
G
H
: لداعم نامز هتسسگ متسيس .
دنراد
T
هب يگتسب
G
و
H
u
:
x
e At x
e At
0
t e
A
Bu
d
: نامز هتسویپ متسيس خساپ : یدورو هار رس ZOH ضرف اب
kT
t
kT
T x
k
1
T
e
1
T x
e AkT x
e
1
T
0
k
1
T e
A
Bu
e AkT
0
kT e
A
Bu
: ميراد مينك مك هلداعم زا و هدومن برض
e AT
رد ار هلداعم رگا
x
k
1
T
e AT x
e A
k
1
T
kT
k
1
T e
A
Bu
d
x
k G
1
T
e AT
e AT
e AT
,
H
e AT
0
T e
At
(
0
T A
e B d
)
T
t
0
T e A
d
B
A
1
e AT
I
.
e AT
I
A
1
B
G
I
,
T
1 : هجوت
يلاوتم يرادرب هنومن هظحل ود نايم ينامز خساپ
u
( )
u
(
KT
) for
kT
kT
T x
e A
(
t
t
0 )
x
If : 0 0
t e A
(
t
)
Bu
( )
d
t
kT
T
Where : 0
T
T
,
t
0
kT
: هاگن ا
x
kT
T
e A
T e A
T x x
kT kT
0
T
T e A
(
kT
T
)
Bu
(
kT
)
d
e A
Bu
(
kT
)
d
kT
T
: تروصنيارد
G H
e A
T
( 0
T e A
d
)
B x
(
kT
T
)
G
(
T
)
x
(
kT
)
H
(
T
)
u
(
kT
) : تشاد ميهاوخ هاگن ا
A
0 0 1 2
T
0 .
5
G
e AT
1 0 1 2
1
e
2
T e
2
T
: رگا ديرو ا تسدب يرادرب هنومن هظحل ود نايم تاظحل يارب ار ار متسيس يجورخ : لاثم
1 2
T
1 2 1
e
2
T
2
e
2
T
1
x
1
x
2 (
kT
(
kT
T
T
) ) 1 0 1 2
1
e
2
T e
2
T
x
1
x
2 (
kT
(
kT
) ) 1 2 1
e
2
T
T
2
1
e
2
T
2
1
u
(
kT
)
نامز هتسسگ LTI ياهمتسيس يرادياپ ليلحت فوناپايل مود شور زا
x(k+1)=Gx(k)
: نامز هتسسگ متسيس لداعت تلاح x=0 ءادبم ، هژیوان G
V(x(k))=x * (k)Px(k)
يقيقح نراقتم و : فوناپایل تبثم يلامتحا نيعم عبات سيرتام : P
∆v(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k)) =x*(k+1) P x(k+1)-x*(k) P x(k) =[Gx(k)]* P [Gx(k)]-x*(k) P x(k) =x*(k) G* P G x(k)-x*(k) P x(k) =x*(k)[G*PG-P]x(k)
∆V(x(k))=-x*(k)Qx(k) Q=-[G*PG-P]
تسا یبناجم رادیاپ ادبم دشاب نیعم تبثم Q رگا
: فوناپایل هلداعم زا لصاح P يسررب سپس و Q : رتهب شور نیعم تبثم سيرتام هاوخلد باختنا G*PG-P=-Q یفاک و مزلا طرش : نامزاب ريذپانرييغت یطخ متسيس یرادياپ ليلحت
X
(
k
1 ) 0 .
7 0 0 0 .
7
X X
1 2 (
k
(
k
) ) : لاثم 0.7
0 0 0.7
p p
2 1
p
2
p
3 0.7
0 0 0.7
p p
2 1
p
2
p
3 1 0 0 1
P
1.96
0 0 1.96
يبناجم رادياپ ادبم تبثم نيعم : P
هتسویپ زا هدم ا تسدب هتسسگ نامز متسیس یرادیاپ
• •
𝑥
.
= 𝐴𝑥
𝑥 𝑘 + 1 𝑇 = 𝐺𝑥(𝐾𝑇)
𝐺 = 𝑒 𝐴𝑇 یفنم 𝜆 𝑖 یقیقح تمسق رادیاپ A 𝐺 𝑛 → 0 as 𝑛 → ∞ تسا رادیاپ مه هدش یزاس هتسسگ متسیس