Transcript X (k) (1)
بسم ا ...الرحمن الرحيم درس کنترل ديجيتال مهر 1391 دکتر بهمن قربانی واقعی Classic stabilizing controller Separates into observer and controller Closed loop dynamics same as designed dynamics Observer error known to go asymptotically to zero Controller Observer State Feedback Controller Plant Pole placement مفروضات: تمام متغیرهای حالت قابل اندازه گیری می باشند. تمام متغیرهای حالت در دسترس هستند تا بتوانیم از آنها در پس خور استفاده كنیم. اگر سیستمی بطور كامل كنترل پذیر باشد ،بااستفاده از فیدبك حالت می توان قطبهای حلقه بسته آنرا به هر نقطه دلخواه انتقال داد. حالتهای مورد نظر: ( u(k) )1یك اسكالر است .شرط الزم وكافی برای ،Pole placementقطبهای حلقه بسته در صفحه Zآنست كه سیستم بطور كامل كنترل پذیر باشد. ( )2متدهای مختلف برایPole placement ( )3اگر) u(kیك بردار باشد ،عالوه بر امكان قرار دادن nقطب حلقه بسته ،می توانیم دیگر طراحی را نیز تأمین نماییم ،یعنی امكان دارد كه بتوان بیش ا ز nپارامتر شرایط را انتخاب نمود. ) X ( k 1) GX ( k ) HU ( k )state vector (n 1 ) X (k )control vector (scaler ) U (k G=n n matrix H=n 1 matrix فرض می كنیم كه قدر مطلق) ،u(kنامحدود است. اگر سیگنال كنترل ) u(kرا بشرح زیر انتخاب كنیم: )U (k)= - K X (k kماتريس 1 nبهره فيدبك حالت )X (k )X(k+1 1 Z I + + )( G )U(k H U(k) H + X (k) X(k+1) 1 Z I + ( ) G K : ( تبدیل یافته و خواهیم داشت ) (به) سیستم از X(k+1)=G X (k)+H (-K) X (k) =(G-HK) X (k) در حالیكه مقادیر ویژه G-HKعبارت خواهد بود از قطبهای دلخواه حلقه بسته یعنی : p nd ,..., p 2d , p1d -اثبات شرط الزم وكافی برای ،Pole placementكنترل پذیر بودن حالت سیستم است. Prove: Necessary condition اگر سیستم بطور كامل ،كنترل پذیر نباشد،آنگاه مقادیر ویژه ای از G-HKوجود خواهد داشت كه نمی توان آنها را توسط فیدبك حالت ،كنترل نمود. Suppose: )(1 )*(1 )X (k+1) =G X (k)+H (-K) X (k )X (k+1) =(G-HK) X (k Is not controllable. H Then GH G n-1 H n q (2) ،بردارماتریس كنترل پذیریn بردار ازq این به آن معناست كه فقط .مستقل خطی می باشند . باشدn دارای مرتبهpفرض می كنیم كه ماتریس P f1 f2 fq vq 1 vq 2 vn n Where: f1 , f 2 , , fq vq 1 , vq 2 , q linear independent vector , vn (n-q) additional n-vector : را ماتریس انتقال فرض می كنیم كهp ماتریس -1 ˆ P GP=G -1 ˆ ; P H=H :داریم GP PGˆ Gf1 Gf 2 Gf q Gvq 1 Gvn Gvq 2 (3) f1 f2 fq vq 1 vq 2 ˆ vn G :همچنین P H Hˆ II. 1 ˆ H=PH )(4 ˆvn H vq 2 vq 1 با توجه به اینكه بردارهای f q ,...,f 2 ,f1 استفادهاز قضیه fq ،qبردار خطی مستقل ،لذا با ،عبارتند از کیلی _ همیلتون می توانیم ماتریسهای Gf q ,...,Gf 2 ,Gf1را بر حسب qبردار نوشت ،یعنی : Gvn f2 H f1 Gvq 2 Gvq 1 Gf q g q1 f q Gf1 g11 f1 g 21 f 2 gq2 fq Gf 2 g12 f1 g 22 f 2 g qq f q Gf q g1q f1 g 2 q f 2 Gf 2 Gf1 f1 fq vq 1 g11 g 21 g q1 vn 0 0 0 g12 g1q g1q 1 g 22 g2q g 2 q 1 gq 2 g qq g qq 1 g ( q 1)( q 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g ( q n )( q n ) g1n g2n g qn g ( q 1) n g nn :در نتیجه f1 f2 fq vq 1 vq 2 G11 vn 0 G12 G22 :یعنی G11 Gˆ 0 G12 G22 (5) :) داریم4( حال از معادله H f1 f2 بردار ستونی مستقلq را بر حسبH H h f h f 11 1 21 2 = f1 f2 fq vq 1 ) می توانیم2( با بازگشت به معادله : بنویسیم، f q ,...,f 2 ,f1 h f q1 q fq vq 2 ˆ vn H vq 1 vq 2 h11 h 21 hq1 vn 0 0 Thus: H11 Hˆ 0 (7) : معادله مشخصه عبارتست از، (1*) با توجه به معادله ZI G HK 0 :اگر K KP ; K K11 K11 1 q matrix K12 1 ( n q ) matrix K12 (8) K KP 1 K11 K12 P ZI G HK P 1 1 1 1 ZI G HK P ZI P GP P HKP ˆ = ZI Gˆ HK Iq = Z 0 0 G11 I n q 0 G12 H11 K 11 G22 0 ZI q G11 H11 K11 G12 H11 K12 0 ZI n q G22 = = ZI q G11 H11 K11 ZI n q G22 9 K12 این ماتریس نشان می دهد كه ماتریس K KP 1فقط بر روی ماتریس G11 H 11 K11 كنترل ندارد .بنابراین كنترل داردوبر روی qمقدار ویژه از n-qمقدار ویژه باقیمانده از G11 شرط كنترل پذیری برای كنترل مقادیر ویژه G-HK یك شرط الزم است. Sufficient condition اگر سیستم بطور كامل ،كنترل پذیر باشد ،ماتریسKبنحوی وجود خواهد داشت كه مقادیر ویژه G-HKرا مقادیر ویژه دلخواه نموده و یا آنها را در محلهای دلخواه جایگزین خواهد نمود. II. To prove: مقادیر ویژه G-HKعبارتند ازp n ,...,p 2 ,p1 وهر مقدار ویژه مختلط بصورت جفت ظاهر خواهد شد. معادله مشخصه عبارتست از : ZI G z a1 z an 1 z an 0 n n ماتریس انتقال Tرا بشرح زیر تعریف می كنیم: 10 ودارای مرتبه nاست. H n-1 G T=MW GH M H an 1 a n2 W a1 1 an 2 a1 an 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 T GT 0 an 0 0 -1 T H 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 an 1 an 2 a2 0 0 0 1 a1 K پس :را بشرح زیر تعریف می كنیم K=KT n 0 0 ˆ HK n 0 1 n 1 1 n 1 0 1 0 n :بشرح زیر تبدیل خواهد شد 12 0 0 n 1 ZI G HK ˆ ZI G HK ZI Gˆ HK 0 0 1 :پس معادله مشخصه 1 0 Z 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 an 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 an 1 an 2 z 1 0 0 0 z 1 0 0 0 0 1 an n an 1 n 1 z a1 1 0 a2 0 0 0 0 0 1 n a1 0 0 n 1 0 0 1 z a1 1 z n n 1 an 1 n 1 z an n 0 13 : معادله مشخصه دلخواه عبارتست از ( z p1d )( z p2 d ) ( z pnd ) z 1 z n n 1 n 1 z n 0 14 :( را مساوی هم قرار دهیم13) , (14) حال اگر معادالت 1 a1 1 2 a2 2 n an n : ( داریم12) از معادله K=KT -1 = n n 1 = n an 1 T 1 n -1 an 1 1 a1 T 1 15 در جاییكه a iها و αiها و ماتریس Tهمگی knownهستند.پس توانستیم كه ماتریس فیدبك حالت kرا بر حسب ضرایب شناخته شده بدست آوریم . بنابراین شرط كافی را بشرح زیر بیان می نماییم: اگر سیستمی بطور كامل كنترل پذیر باشد ،همواره ممكن است كه ماتریس فیدبك K را بنحوی پیدا نمود كه قطبهای سیستم را در محلهای دلخواه جایگزین نماید.