Transcript Lecture 3
ADVANCED
CONTROL
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Reference:
Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.
lecture 3
Lecture 3
Basic Idea of Linear Algebra-Part II
Topics to be covered include:
Functions of Square Matrix.
Lyapunov Equation.
Some Useful Formula.
Quadratic Form and Positive Definiteness.
Singular Value Decomposition.
Norm of Matrices
2
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
• محاسبه توابع ماتریس مربعی
• Calculation of Function of Square Matrix
• چند جمله ای مینیمال و معادله مشخصه
• Minimal Polynomials and Characteristic Polynomials
• قضیه کیلی همیلتون
• Cayley-Hamilton Theorem
A • چند جمله ای های معادل بر روی طیف ماتریس
• Equal Polynomials on the Spectrum of A
• معادله لیاپانوف و حل آن
• Lyapunov Equation and its Solution
• ماتریس متقارن و فرم مربعی و ماتریس متعامد
• Symmetric Matrix and Quadratic Form and Orthogonal Matrix
• Matrix and PD/ND Matrix
• Singular Value Decomposition
منفی معین/• ماتریس مثبت
• تجزیه مقادیر تکین
• محاسبه فضای رنج و پوچ از تجزیه مقادیر تکین
• Null Space and Range Space From SVD
• نرم ماتریسی
3
• Norm of Matrices
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
f ( ) 3 22 6
f ( A) A3 2 A2 6I
چند جمله ای از ماتریس های مربعی
ماتریس های بلوکی
2
A1 0
A
0
k
2
1
A
A
A
2
0
A
2
0 A2
A1k 0
0
f ( A1 )
k f ( A)
0
f
(
A
)
0
A
2
2
فرم جردن
A QAˆ Q1, Aˆ Q1 AQ
Ak QAˆ Q1 QAˆ Q1 ............... QAˆ Q1 QAˆ k Q1
و در حالت کلی
f ( A) Qf ( Aˆ )Q1, f ( Aˆ ) Q1 f ( A)Q
4
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
. و تبدیل مربوطه داده شده استA و فرم قطری ماتریسA ماتریس:1-3 مثال
1 0 12
A 0 1 1
0 0 4
12 1 0
Q 1 0 1
3 0 0
4 0 0
Aˆ Q 1 AQ 0 1 0
0 0 1
A6 12A4 3 A2 :مطلوبست
A6 12A4 3A2 Q Aˆ 6 12Aˆ 4 3Aˆ 2 Q1
:می دانیم
4 6 0 0
4 4 0 0 4 2 0 0 7216 0 0
Aˆ 6 12Aˆ 4 3 Aˆ 2 0 16 0 12 0 14 0 3 0 12 0 0
16 0
0 0 16
0 0 14 0 0 12 0
0 16
1
12 1 0 7216 0 0 12 1 0
16 0 28800
A6 12A4 3 A2 1 0 1 0
16 0 1 0 1 0 16 2400
3 0 0 0
0 0 7216 5
0 16 3 0 0
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
چند جمله ای مونیک:
چند جمله ای که ضریب بزرگترین درجه آن برابر یک باشد چندجمله ای مونیک نامیده می شود .مثال
6 124 32 5
چند جمله ای مینیمال:
چند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریس Aآن را برابر ماتریس صفر کند چند جمله ای مینیمال
ماتریس Aنامیده می شود.
) (
چند جمله ای مشخصه:
چند جمله ای مشخصه ماتریس Aبا ابعاد nnعبارتست از:
6
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
n
n
i
i
( ) I A ( i ) ni
i
lecture 3
Function of Square Matrix
چند جمله ای مشخصه ماتریس Aبا ابعاد nnعبارتست از:
n
n
( ) I A ( i ) ni
i
i
i
محاسبه چند جمله ای مینیمال:
چند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریس Aآن را برابر صفر کند چند جمله ای مینیمال ماتریس
Aنامیده می شود(.با توجه به خاصیت نیل پوتنت)
n n n
i
i
i
i
( ) ( i ) n
i
i
قضیه ( 1-3قضیه کیلی همیلتون) :ماتریس Aدر معادله مشخصه خود صادق است.
اثبات:
) ( ) ( i ) ni ( )h(
i
( A) ( A)h( A) 0.h( A) 0
7
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
: عبارتست ازnn با ابعادA چند جمله ای مشخصه ماتریس
( ) I A ( i ) ni
i
n
n
i
:محاسبه چند جمله ای مینیمال
i
( ) ( i ) n
i
i
n n n
i
i
i
i
مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمال ماتریسهای زیر:2-3 مثال
I)
II )
1 1 0 0 0
0 1 0 0
1
A 0 0 1 1 0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 2
1 1 0 0 0
0 1 0 0
1
A 0 0 1 0 0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 2
( ) I A ( i ) ni ( 1 ) 4 ( 2 )
i
( ) ( i ) n ( 1 ) 4 ( 2 )
i
i
( ) I A ( i ) ni ( 1 ) 4 ( 2 )
i
( ) ( i ) n ( 1 )3 ( 2 )
i
i
8
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
: عبارتست ازnn با ابعادA چند جمله ای مشخصه ماتریس
( ) I A ( i ) ni
i
n
n
i
:محاسبه چند جمله ای مینیمال
i
( ) ( i ) n
i
i
n n n
i
i
i
i
مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمال ماتریسهای زیر:)(ادامه2-3 مثال
III)
IV )
1 1 0 0 0
0 0 0 0
1
A 0 0 1 1 0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 2
1 1 0 0 0
0 0 0 0
1
A 0 0 1 0 0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 2
( ) I A ( i ) ni ( 1 ) 4 ( 2 )
i
( ) ( i ) n ( 1 ) 2 ( 2 )
i
i
( ) I A ( i ) ni ( 1 ) 4 ( 2 )
i
( ) ( i ) n ( 1 ) 2 ( 2 )
i
i
9
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
: عبارتست ازnn با ابعادA چند جمله ای مشخصه ماتریس
( ) I A ( i ) ni
i
n
n
i
:محاسبه چند جمله ای مینیمال
i
( ) ( i ) n
i
i
n n n
i
i
i
i
مطلوبست چند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمال ماتریسهای زیر:)(ادامه2-3 مثال
V)
1 0 0 0 0
0 0 0 0
1
A 0 0 1 0 0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 2
( ) I A ( i ) ni ( 1 ) 4 ( 2 )
i
( ) ( i ) n ( 1 )( 2 )
i
i
10
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
چند جمله ای دلخواه ) f(λو ماتریس Aبا ابعاد nnرا در نظر بگیرید.
می توان ) f(λرا به صورت مقابل بیان نمود.
) f ( ) q( )( ) h(
حال برای محاسبه ) f(Aداریم:
)f ( A) q( A)( A) h( A
حال با توجه به قضیه کیلی همیلتون:
)f ( A) h( A
)f ( A) q( A).0 h( A) h( A
نکته :درجه ) h(؟
نکته مهم :چند جمله ای ) h(معادل ) f(λبر روی طیف Aنامیده میشود؟
نکته :محاسبه ) h(؟
11
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
. دارای مقادیر ویژه غیر تکراری استA برای حالتی که ماتریسh() محاسبه
f () q()() n1n1 ... 1 0
f ( ) q( )( ) h( )
: در رابطه فوق داریمA با قرار دادن مقادیر ویژه
n1
n1
f (1 ) n11 ... 11 0
n1
f (2 ) n12 ... 12 0
f (1 ) q(1 )(1 ) n11 ... 11 0
f (2 ) q(2 )(2 ) n12 ... 12 0
.....................................
......................................................
n1
f (n ) q(n )(n ) n1n ... 1n 0
n1
n1
f (n ) n1n ... 1n 0
: مجهول داریمn معادلهn پس از حل
n1 , n2 , ...,1 , 0
12
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
محاسبه ) h(برای حالتی که ماتریس Aدارای مقادیر ویژه تکراری است.
قضیه :2-3معادله ) f(λو ماتریس Aبا ابعاد nnبا معادله مشخصه زیر را در نظر بگیرید.
where n i 1 ni
m
ni
m
) ( ) ( i
i 1
چند جمله ای ) h(از درجه n-1و معادل ) f(λبر روی طیف Aبصورت زیر تعریف میشود.
h( ) ....
n 1
n 1
1
0
پس از حل nمعادله nمجهول زیر ضرایب مجهول ) h(محاسبه می شود.
f l ( i ) h l ( i ) for l 0 , 1 , ... , ni 1 and i 1, 2 , ..., m
که در این رابطه:
و نهایتا:
13
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
l
l
d
f
(
)
d
) h (
l
f l ( )
,
h
(
)
d l
d l
)f ( A) h( A
lecture 3
Function of Square Matrix
.A100 مطلوبست محاسبه:3-3 مثال
0 1
A
1 2
( A) I A
.f(λ)=λ100 فرض کنید
. محاسبه شودA حال باید مقادیر ویژه
1
2 2 1
1 2
1 2 1
: را بصورت زیر در نظر بگیریمh() حال باید
h( ) 0 1
h( ) 99 100
A100
f (1) h(1)
(1)100 0 1
f (1) h(1)
100(1)99 1
: عبارتست ازh() حال
1 0
0 1 99 100
99
100
14
0
1
1
2
100
101
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
0 0 2
A 0 1 0
1 0 3
eAt مطلوبست محاسبه:4-3 مثال
.f(λ)=eλt فرض کنید
. محاسبه شودA حال باید مقادیر ویژه
( A) I A ( 1)2 ( 2)
1 2 1, 3 2
: را بصورت زیر در نظر بگیریمh() حال باید
h( ) 0 1 22
f (1) h(1)
et 0 1 2
0 2tet e2t
f (1) h(1)
tet 1 22
1 3tet 2et 2e2t
f (2) h(2)
e2t 0 21 42
2e e
e I A A .... 0
e e
t
At
2t
2
0
1
0 2e 2e
e
0
0 2e e
t
t
2
2t
2 tet et e2t
: عبارتست ازf(A) حال
2t
t
2t
t
15
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
0 2 2
A 0 1
0
1 1 3
eAt مطلوبست محاسبه:5-3 مثال
.f(λ)=eλt فرض کنید
. محاسبه شودA حال باید مقادیر ویژه
( A) I A ( 1)2 ( 2)
1 2 1, 3 2
: را بصورت زیر در نظر بگیریمh() حال باید
h( ) 0 1 22
f (1) h(1)
et 0 1 2
0 2tet e2t
f (1) h(1)
tet 1 22
1 3tet 2et 2e2t
f (2) h(2)
e2t 0 21 42
2 tet et e2t
: عبارتست ازf(A) حال
2e e
e I A A .... 0
e e
t
At
2t
2
0
1
t
2
2t
t
2te
e
te
t
t
2e 2e
0
2e e
t
2t
2t
t
!مقایسه با مثال قبل
16
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
1 1 0 0
0 1 0
1
Aˆ
0 0 1 1
0
0
0
1
e
Aˆ t
مطلوبست محاسبه:6-3 مثال
.f(λ)=eλt فرض کنید
1 2 3 4 1
h() 0 1 ( 1 ) 2 ( 1 )2 3 ( 1 )3
: عبارتست ازA مقادیر ویژه
: را بصورت زیر در نظر بگیریمh() حال باید
f (1 ) h(1 )
f (1 ) 0
f 1 (1 ) h1 (1 )
f 1 (1 ) 1
f 2 (1 ) h2 (1 )
f 2 (1 ) 22
f 3 (1 ) h3 (1 )
f 3 (1 ) 63
f (1 )
0
ˆ
f ( A)
0
0
f 1 (1 ) / 1! f 2 (1 ) / 2!
f (1 )
0
f 1 (1 ) / 1!
f (1 )
0
0
f 3 (1 ) / 3!
f 2 (1 ) / 2!
f 1 (1 ) / 1!
f (1 )
e 1t
0
ˆ
e At
0
0
t
te 1
t
e1
0
0
t
t
t 2e 1 / 2! t 3e 1 / 3!
1t
2 1t
te
t e / 2!
t
t
e1
te 1
1t
0
e
17
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
1 1 0 0
0 1 0
1
A 0 0 1 0
0 0 0 2
0 0 0 0
1t
e
0
e At 0
0
0
1t
te
t
e1
0
0
0
2 1t
0
0
0
1
2
t e / 2! 0
t
te 1
0
t
e1
0
0
e 2 t
0
0
e ( وsI - A) مطلوبست محاسبه:7-3 مثال
At
0
0
1
s
0
1
2t
0
te
e 2t
1
( sI A) 0
0
0
-1
:حال با توجه به مثال قبل داریم
1
s 1 2
1
s 1
0
1
s 1 3
1
s 1 2
1
s 1
0
0
0
0
0
1
s 2
0
0
0
0
0
1
2
s 2
1
s 2 18
0
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
e 1 t
t
t
2 2
2!
...
t
n n
n!
...
:سری نمایی
(I )
: در رابطه فوق داریمA با قرار دادن
2
n
t
t
e I tA A ... A ...
2!
n!
At
2
e I
e
1
e
e e
d
e Ae e A
dt
A ( t1 t2 )
0
At
n
e
At
At
At1
At2
At
e At
خواص مهم
At
( مطلوبست اثبات چهار خاصیت فوقI) با کمک رابطه:1-3 تمرین
e
( A B ) t
e e
At
Bt
:و خاصیت خیلی مهم
........:ولی در حالت خاص
19
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Function of Square Matrix
e 1 t
t
t
2 2
2!
...
t
n n
n!
2
:سری نمایی
...
: در رابطه فوق داریمA با قرار دادن
n
t
t
e I tA A ... A ...
2!
n!
At
2
n
t
L s
k!
:می دانیم
k
Le
At
s
1
( k 1 )
:پس
I s A s A ... s
2
3
2
n 1
A ...
n
:با قدری ساده سازی داریم
Le
At
( sI A)
1
e L ( sI A)
At
1
1
20
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Lyapunov Equation
معادله مقابل را در نظر بگیرید.
n m
n m
AM MB C
این معادله ،معادله لیاپانوف نام دارد و در واقع دارای nmمعادله
m m
و nmمجهول (درایه های ماتریس )Mمی باشد.
یادآوری:
n n
n 1
Ax y
m n m 1
معادله لیاپانوف نیز بصورت زیر قابل نمایش است:
n m
n m
AM MB C
21
حل معادله لیاپانوفM lyap ( A, B,C ) :
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
m m
n n
lecture 3
Lyapunov Equation
Ax y
معادله خطی جبری:
اسکالر مقدار ویژه Aنام دارد اگر بردار غیر صفر vیافت شود که
معادله لیاپانوف:
n m
n m
AM MB C
m m
22
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
n n
lecture 3
Some Useful Formula
ماتریسهای مربعی هستند در این صورتB وA فرض کنید
( AB) min ( A), ( B)
ماتریسهای مربعی دلخواه غیر منفرد هستندD وC فرض کنید
( AC) ( A) ( DA)
است در این صورتnm ماتریسB وmn ، A فرض کنید
det( I m AB ) det( I n BA)
: برای اثبات فرض کنید
I A
N
0
I
m
n
I 0
Q
B
I
m
n
I A
P
B
I
m
n
P) det( NP) det(QP) det(PI n) BA)
det(I mdet(
AB
23
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Quadratic Form and Orthogonal Matrix
ماتریسهای متقارن و فرم مجذوری (مربعی) و ماتریس متعامد (یکانی)
تعریف :1-3یک ماتریس M R nnمتقارن ) (symmetricنامیده می شود اگر ترانهاده آن
ماتریس با خودش برابر باشد .یعنی:
T
M M
تعریف :2-3برای یک ماتریس متقارن Mو هر بردار xعبارت xTMxفرم مجذوری (مربعی) نامیده
می شود.
تعریف :3-3یک ماتریس M R nnمتعامد ) (orthogonalنامیده می شود اگر تمام ستونهای آن
متعامد یکه باشند .در این ماتریسها:
1
24
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
M M I, M M
T
T
lecture 3
Quadratic Form and Positive Definiteness
قضیه :3-3برای هر ماتریس حقیقی متقارن ،Mیک ماتریس متعامد Qوجود دارد بگونه ای که:
M QDQ or D Q MQ
T
T
ماتریس ،Dیک ماتریس قطری است که مقادیر ویژه Mحقیقی بوده و بر روی قطر Dقرار دارد و
ستونهای Qهم بردارهای ویژه Mمی باشد.
اثبات :واضح است که ماتریس ،Dتبدیل همانندی ماتریس Mاست پس برای اثبات قضیه کافی است
نشان دهیم که
مقادیر ویژه Mحقیقی است -بردار ویژه توسعه یافته نداریم و -ماتریس Qمتعامد استفرض کنید مقادیر ویژه Mاست پس
v Mv v v
v Mv v v
Mv v
حقیقی است
تمرین :4-3نشان دهید برای یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل
به فرم قطری می تواند متعامد باشد.
حقیقی
25
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
*
*
*
*
lecture 3
Quadratic Form and Positive Definiteness
ماتریسهای معین
تعریف :4-3یک ماتریس متقارن M R nnمثبت معین ) (positive definiteنامیده می شود
) (M>0اگر برای هر x R nداشته باشیم
x M xR
T
تعریف :5-3یک ماتریس متقارن M R nnمنفی معین ) (negative definiteنامیده می شود
) (M<0اگر برای هر x R nداشته باشیم
x M xR
T
تعریف :6-3یک ماتریس متقارن M R nnمثبت نیمه معین )(positive semi definite
نامیده می شود ) (M≥0اگر برای هر x R nداشته باشیم
x M x R 0
T
تعریف :7-3یک ماتریس متقارن M R nnمنفی نیمه معین )(negative semi definite
نامیده می شود ) (M0اگر برای هر x R nداشته باشیم
26
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
x M x R 0
T
lecture 3
Quadratic Form and Positive Definiteness
قضیه :4-3ماتریس حقیقی متقارن ،Mمثبت معین (مثبت نیمه معین) است اگر و فقط اگر هر کدام از
شرایط زیر برقرار باشد.
-1تمام مقادیر ویژه ماتریس ،Mمثبت (مثبت یا صفر) باشد.
-2تمام کهادهای یا ماینورهای اصلی مقدم ماتریس ،Mمثبت (مثبت یا صفر) باشد.
-3ماتریس غیر منفرد Nبا ابعاد nnوجود داشته باشد که ( M=NTNماتریس غیر منفرد Nبا ابعاد
nnو یا ماتریس Nبا ابعاد mnبا m<nوجود داشته باشد که )M=NTN
27
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Quadratic Form and Positive Definiteness
قضیه :5-3
-1ماتریس ،Hبا ابعاد mnو فرض m ≥ nدارای رتبه nاست اگر و فقط اگر ماتریس HTHکه بعد
nnدارد دارای رتبه nبوده یا det(HTH)≠0
-2ماتریس ،Hبا ابعاد mnو فرض m nدارای رتبه mاست اگر و فقط اگر ماتریس HHTکه بعد
mmدارد دارای رتبه mبوده یا det(HHT)≠0
اثبات :قسمت اول را اثبات می کنیم و قسمت دوم بصورت مشابه اثبات می شود .واضح است که باید
در طرف قضیه اثبات شود یعنی نشان دهیم:
(H H ) n (H ) n
T
) (I
فرض کنیم رتبه Hمساوی nنباشد پس بردار غیر صفر vوحود دارد به قسمی که:
تناقض
Hv 0
H Hv 0
) ( II
(H ) n (H H ) n
T
T
فرض کنیم رتبه HTHمساوی nنباشد پس بردار غیر صفر vوحود دارد به قسمی که:
تناقض 28
H Hv 0 v H Hv 0 ( Hv) Hv Hv 0 Hv 0
2
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
2
T
T
T
T
lecture 3
Singular Value Decomposition (SVD)
YCll و ماتریسهای یکانی کهRlm در اینصورت ماتریسMClm فرض کنید که:6-3 قضیه
M YU H
S 0
0 0
1 0
0
2
S
.
.
0 0
0
... 0
... .
... r
: وجود دارد به قسمی کهUCmm و که
...
1 2 ........ r 0
Y [ y1 , y2 ,......,yl ], U [u1 , u 2 ,......,u m ]
....................... ها عبارتست ازi که در رابطه فوق
....................... عبارتست ازY ستونهای ماتریس
....................... عبارتست ازU ستونهای ماتریس
29
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Singular Value Decomposition (SVD)
1 2 1
M 3 4 1
4 2 8
مطلوبست تجزیه مقادیر تکین ماتریس مقابل:8-3 مثال
0 0.50 0.33 0.80
0.04 0.53 0.85 9.77 0
M 0.38 0.77 0.51 . 0 4.53 0 . 0.35 0.77 0.53
0.92 0.34 0.17 0
0
0 0.79 0.55
0.27
0.50
u1 0.35
0.79
0.04
Mu1 9.770.38 9.77 y1
0.92
0.80
u3 0.53
0.27
0.33
u 2 0.77
0.55
H
0.53
Mu2 4.53 0.77 4.53y2
0.34
Has no affect on the output or
Mu3 0
....................... عبارتست ازM فضای رنج ماتریس
....................... عبارتست ازM پوچ ماتریس30فضای
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Norm of vectors
p-norm is:
x
p
p
ai
i
1
p
For p=1 we have 1-norm or sum norm
p 1
x 1 ai
i
1/ 2
For p=2 we have 2-norm or euclidian norm
For p=∞ we have ∞-norm or max norm
2
x 2 ai
i
x
max ai
i
31
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Norm of matrices
.نرم برداری را می توان به ماتریسها هم گسترش داد
Sum matrix norm (extension of 1-norm of vectors) is:
A sum aij
i, j
Frobenius norm (extension of 2-norm of vectors) is:
A
F
a
2
ij
i, j
aij
Max element norm (extension of max norm of vectors) is: A max max
i, j
32
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Induced matrix norm
یک نرم برای ماتریسها نرم ماتریسی نامیده می شود اگر دارای خاصیت زیر باشد:
AB A . B
نرم القایی بصورت زیر تعریف می شود:
p
A ip max Ax
هر نرم القایی نرم ماتریسی است.
33
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
x p 1
lecture 3
Matrix norm for matrices
A ip max Ax
x p 1
p
: در رابطه نرم القایی داریمp=1 با فرض
A i1 max Ax 1 max aij
x 1 1
j
Maximum column sum
i
: در رابطه نرم القایی داریمp= با فرض
A i max Ax max aij
x
1
i
Maximum row sum
j
: در رابطه نرم القایی داریمp=2 با فرض
A i 2 max Ax 2 max
x 2 1
x 2 1
Ax
x
2
1 ( A) max ( A) ( A)
2
34
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
Exercises
تمرینها
تمرین :1-3با کمک رابطه
...
روابط زیر را اثبات کنید.
d
e Ae e A
dt
At
At
At
t
n n
!n
At
t
2 2
...
e
!2
e 1 t
t
e
1
At2
At
e e
At1
) A ( t1 t2
e
e I
0
تمرین :3-3نشان دهید در یک ماتریس مربعی با مقادیر ویژه مجزا ،بردارهای ویژه از هم مستقل
n
)
هستند( .راهنمایی :اثبات با برهان خلف و تشکیل ( A I )....( A I ) v
i
i
k 1
n
2
تمرین :4-3نشان دهید برای یک ماتریس مربعی متقارن بردار ویژه توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل
به فرم قطری می تواند متعامد باشد( .راهنمایی :اثبات با برهان خلف)
35
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
تمرینها
Exercises
تمرین :5-3نشان دهید اگر λمقدار ویژه ماتریس Aبوده و xبردار ویژه متناظر آن باشد در اینصورت
) f(λمقدار ویژه ماتریس ) f(Aبوده و xبردار ویژه متناظر آن است.
تمرین :6-3نشان دهید توابع یک ماتریس خاصیت جابجایی دارد یعنی:
)f(A)g(A)=g(A)f(A
تمرین :7-3فرض کنید
مطلوبست تعیین Bبگونه ای که . eB=C
نشان دهید که اگر λi=0باشد آنگاه Bوجود ندارد.
حال فرض کنید
مطلوبست تعیین Bبگونه ای که . eB=Cآیا درست است که برای
هر Cغیر منفرد ماتریس Bوجود دارد که eB=C
0
0
0
0
3
0
0
2
C 0
0
1
1
C 0
0 0
تمرین :8-3اگرماتریس Aمتقارن باشد رابطه بین مقادیر ویژه و مقادیر تکین چیست؟ (راهنمایی :در
ماتریسهای متقارن داریم)A=A2 :
36
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
lecture 3
تمرینها
تمرین :9-3
تمرین :10-3
تمرین :11-3تکرار 9-3برای ماتریسهای زیر
37
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
Exercises
lecture 3
تمرینها
تمرین :12-3
تمرین :13-3
تمرین :14-3
تمرین :15-3نشان دهید که:
38
Dr. Ali Karimpour Nov 2013
Exercises
lecture 3
Answers to selected problems
:7-3 پاسخ تمرین
:11-3 پاسخ تمرین
:14-3 پاسخ تمرین
39
Dr. Ali Karimpour Nov 2013