Transcript Diferensial & Optimalisasi

Diferensial & Optimalisasi
Diferensial Fungsi Majemuk
Optimalisasi
Penerapan dalam ekonomi
Parsial Diferensial
• Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel
bebas hanya akan memiliki satu macam turunan
Jika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx
• Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memiliki
lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya
akan lebih dari satu macam, tergantung jumlah
variabel bebasnya
Parsial Diferensial
• Jika y = f(x, z)
dy 
y
y
x
dx 
y
dy
z
dz
y
dx
y
dz
dan  z disebut derivatif parsial,  x
dan  z
disebut diferensial parsial, sedangkan dy disebut
diferensial total
• Jika p = f(q, r, s)
x
dp 
p
q
dq 
p
r
dr 
p
s
ds
Parsial Derivatif
• y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n)
adalah variabel yg independen satu sama lainnya,
tiap variabel dapat berubah tanpa mempengaruhi
variabel lainnya (variabel lainnya konstan)
• Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1
sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap,
maka y akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosien
diferensi dapat ditulis:
y
 x1

f ( x1   x1 , x 2 , x 3 ,..., x n )  f ( x1 , x 2 , x 3 ,..., x n )
 x1
Parsial Derivatif
• Derivative y terhadap x1 sebagaimana contoh
diatas disebut sebagai derivatif parsial dan
dilambangkan dengan:  y
 x1
• Fungsi turunannya (derivative) adalah:
y
 x1
 lim
 x1  0
y
 x1
Contoh (2): Derivative Parsial
• Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari
fungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22
dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap
x1 adalah:
y
 x1
 6 x1  x 2
turunan terhadap x2:
y
 x1
 8 x 2  x1
Contoh (3): Derivative Parsial
• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari
fungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v)
dengan menganggap v konstan, turunan terhadap
u adalah:
y
u
 3 u  4   13 u  2 v   6 u  2 v  12
turunan terhadap v:
y
v
 2 u  4   0  3 u  2 v   2  u  4 
Contoh (4): Derivative Parsial
• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari
fungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)
dengan menganggap v konstan, turunan terhadap
u adalah:
y
u



3 u  3 v  3 u  2 v 2 u
2
u
2
 3v

2
 3 u  4 uv  9 v
2

u
2
 3v

2
turunan terhadap v:
y
v

 2 u
2

 3 v  3 u  2 v 3
u
2
 3v

2

 u 2 u  9 
u
2
 3v

2
Derivatif dari Parsial Derivatif
• Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif
fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali
• Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, maka
turunan pertama y terhadap x dan z:
1
y
x
 3 x  8 xz  6 z
2
2
2
y
 10 z  4 x  12 xz  8
2
z
turunan ke-2:
 y
2
1a
x
2
 y
2
 6x  8z
2a
xz
z
2
 y
 10  12 x
2
2
1b
 y
  8 x  12 z
2b
zx
  8 x  12 z
Derivatif dari Parsial Derivatif
turunan ke-3:
 y
3
1aa
x
3
3
6
 y
2aa
3
1ab
x z
2
 y
 8
2ab
x z
2
 y
xz
0
 y
z x
2
 y
  12
3
 8
2ba
3
1bb
z
3
3
3
1ba
 y
z x
2
 y
  12
3
2
  12
2bb
zx
2
 8
Nilai Ekstrim
• Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik
ekstrimnya jika (necessary condition):
y
x
0
dan
y
z
0
• Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapai
adalah maksimum atau minimum, maka (sufficient
condition):
2
2
 y
 y
Maksimum

0

0
dan
2
2
x
z
 y
 y
2
x
2
0
dan
2
z
2
0
Minimum
Contoh (5): Titik Ekstrim
• Carilah titik ekstrim dari fungsi:
y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!
1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0
y
x
y
z
  2 x  12  0  x  6
  2 z  10  0  z  5
y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16
letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi
Contoh (5): Titik Ekstrim
• Carilah titik ekstrim dari fungsi:
y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!
2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :
 y
2
x
2
 y
2
 2  0
z
2
 2  0
Maka titik ekstrim adalah titik maksimum
dengan ymax = 16
Latihan
• Carilah titik ekstrim dari fungsi:
p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!
Optimalisasi Bersyarat
• Optimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan
dioptimalkan—baik maksimum atau minimum) atas
suatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1) metode
substitusi dan (2) metode Lagrange
• Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama dari
fungsi tersebut sama dengan nol (necessary condition)
• Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebut
adalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dari
turunan keduanya (sufficient condition):
Jika turunan kedua < 0, maka maksimum
Jika turunan kedua > 0, maka minimum
Metode Substitusi
• Jika fungsi objektif:
z = f(x, y)
s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala
1) manipulasi fungsi kendala menjadi persamaan
salah satu variabel
2) Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsi
objektifitasnya
3) Cari turunan pertama dari fungsi tersebut
(untuk mencari nilai ekstrim)
4) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari
turunan kedua sesuai dengan persyaratan
Contoh (6) Metode Substitusi
• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y
.…...… (1)
• s.t. X + Y = 12
.......... (2)
• Rearrange (2): X = 12 – Y
………. (3)
• Substitusi (3) ke (1):
= 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y
– 3Y2 + 100Y
= 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y
+ Y2 – 3Y2 + 100Y
= –4Y2 + 56Y +672
………. (4)
Contoh (6) Metode Substitusi
• Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0
–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7
• Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5
• Profit (π):
π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)
= $868
• Jenis titik ekstrim:
d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum
Metode Lagrange
• Jika fungsi objektif:
z = f(x, y)
s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala
maka:
L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u)
 Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0
(necessary condition)
 Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0
dan minimum jika Lxx dan Lyy > 0 (sufficient
condition)
Contoh (7) Metode Lagrange
• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y
.…...… (1)
• s.t. X + Y = 12
.......... (2)
• Fungsi Lagrangian:
L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y
+ λ(X + Y – 12)
• Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi
ditemukan pada saat f’(z) = 0:
L
X
 80  4 X  Y    0
………. (3)
Contoh (7) Metode Lagrange
L
Y
L

  X  6 Y  100    0
………. (4)
 X  Y  12  0
………. (5)
• Persamaan (3) dikurangi (4):
80 – 4X – Y + λ = 0
100 – X – 6Y + λ = 0
–20 – 3X + 5Y = 0
………. (6)
Contoh (7) Metode Lagrange
• Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):
3X + 3Y – 36 = 0
–3X + 5Y – 20 = 0
8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7
X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5
• π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868
• Jenis titik ekstrim:
d2π/dX2 = -4 < 0
d2π/dY2
= -8 < 0
titik esktrim maksimum
• Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:
λ = –5 – 42 + 100 = –53
Latihan
• Carilah titik ekstrim dari fungsi:
z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8
Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilai
ekstrim fungsi tersebut!
Permintaan Marjinal
• Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan
dalam penggunaannya, maka permintaan atas
masing-masing barang akan fungsional terhadap
harga kedua barang tersebut
• Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:
 Qd
a
Permintaan marjinal
Permintaan marjinal
 Qd b
 akan A berkenaan
 akan B berkenaan
 Pa
dengan Pa
dengan Pa
a
Permintaan marjinal
Permintaan marjinal
 Qd b
 akan A berkenaan
 akan B berkenaan
 Pb
dengan Pb
dengan Pb
 Pa
 Qd
 Pb
Elastisitas Permintaan Parsial
• Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka
elastisitas permintaan atas perubahan harga
barang itu sendiri:
1) Barang a
d a 
%  Qd
a
%  Pa

2) Barang b
db 
%  Qd
%  Pb
b

 Qd
a
 Pa
 Qd
 Pb
b

Pa
Qd

a
Pb
Qd
b
Elastisitas Permintaan Parsial
• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka
elastisitas silang yang mengukur kepekaan
perubahan permintaan suatu barang berkenaan
dengan perubahan harga barang lainnya:
1) Elastisitas silang barang a dengan barang b
 ab 
%  Qd
a
%  Pb

 Qd
a
 Pb

Pb
Qd
a
2) Elastisitas silang barang b dengan barang a
 ba 
%  Qd
%  Pa
b

 Qd
 Pa
b

Pa
Qd
b
Elastisitas Permintaan Parsial
• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)
 Jika  ab dan ba < 0 untuk Pa dan Pb tertentu,
maka hubungan antara barang a dan barang b
adalah saling melengkapi (komplementer);
karena kenaikan harga salah satu barang akan
diikuti penurunan permintaan atas keduanya
 Jika  ab dan ba > 0 untuk Pa dan Pb tertentu,
maka hubungan antara barang a dan barang b
adalah saling menggantikan (substitusi);
karena kenaikan harga salah satu barang akan
diikuti kenaikan permintaan barang lainnya
Contoh (8) Elastisitas 2 Barang
• Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb:
Qda(Pa2)(Pb3) – 1 = 0
Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0
• Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing
barang dan bagaimanakah hubungan antara kedua
barang tersebut?
1) Elastisitas permintaan:
manipulasi bentuk persamaan permintaan:
Qd
a

1
2
Pa

3
Pb

2
Pa

3
Pb
Qd
b

1
Pa  Pb
3
3
 Pa
1
 Pb
Contoh (8) Elastisitas 2 Barang
1) Elastisitas permintaan:
cari Qda’ dan Qdb’:
 Qd
a
 Pa

3
3
 2 Pa Pb
 Qd
b
 Pb
3
2
  Pa Pb
bentuk persamaan elastisitas permintaannya:
d a 
db 
 Qd
a
 Pa
 Qd
 Pb
b

Pa
Qd


a
Pb
Qd
3
3
 2 Pa Pb

b
3
2
 Pa Pb


Pa
2
3
Pa Pb
Pb
3
1
Pa Pb
 2
 1
Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter
Contoh (8) Elastisitas 2 Barang
2) Elastisitas silang:
cari turunan pertama atas a dan b:
 Qd
a
 Pb

 Qd
2
4
 3 Pa Pb
 Pa
b
4
1
  3 Pa Pb
bentuk persamaan elastisitas silangnya:
 ab 
 ba 
 Qd
a
 Pb
 Qd
 Pa

Pb
Qd
b



a
Pa
Qd
2
4
 3 Pa Pb

b
4
1
 3 Pa Pb

Pb
2
3
Pa Pb
Pa
3
1
Pa Pb
 3
 3
Hubungan kedua barang adalah komplementer
Fungsi Biaya Gabungan
• Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2
barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas
kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB
sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB)
maka:
Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)
Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)
Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)
• Fungsi keuntungannya:
П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)
Fungsi Biaya Gabungan
• Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:

Q A
0

Q B
0
• Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:
 
2
2
Q A
 
2
0
2
Q B
0
Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan
• Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg
memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:
C = QX2 + 3QY2 +QXQY
Harga jual per unit masing-masing barang adalah
PX = 7 dan PY = 20
• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar
keuntungan maksimum?
• Berapakah besarnya keuntungan maksimum?
Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan
• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar
keuntungan maksimum?
RX = PXQX = 7QX
RY = PYQY = 20QY
R = 7QX + 20QY
П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY

Q X
 7  2Q X  QY  0

 QY
 20  6 Q Y  Q X  0
7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0
33 – 11QY = 0 → QY = 3
QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2
Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan
Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:
 
2
2
Q X
 
2
 2  0
2
 QY
 6  0
• Besarnya keuntungan maksimum:
П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)
П = 37
• Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan
marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:
MRX = MCX dan MRY = MCY
MU dan Keseimbangan Konsumsi
• Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg
dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:
U = f(q1, q2, q3, …, qn )
• Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikan
bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2
macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya:
U = f(x, y)
Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaan
kurva indiferensi (indifference curve)—kurva yg
menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X dan
Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama
MU dan Keseimbangan Konsumsi
• Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y
merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:
U
x

Utilitas marjinal
berkenaan dengan
barang X
U
y

Utilitas marjinal
berkenaan dengan
barang Y
• Budget Line (garis anggaran):
garis yang mencerminkan kemampuan konsumen
membeli berbagai macam barang berkenaan dgn
harga masing-masing barang dan pendapatan
konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen
dan Px dan Py harga barang X dan Y maka:
M = xPx + yPy
MU dan Keseimbangan Konsumsi
• Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau
tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang
memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai
pada saat kurva indiferensi bersinggungan
(tangent) dengan budget line konsumen
• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk
persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)
L
x
 f x  x , y    Px  0
L
y
 f y  x , y    Py  0
MU dan Keseimbangan Konsumsi
• Manipulasi Lx dan Ly:
L
x
L
y
 f x  x , y    Px  0    
 f y  x , y    Py  0    
f x x, y 
Px
f y x, y 
f x x, y 

Px
f y x, y 
Py
Py
• Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:
MU
Px
X

MU
Py
Y
Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi
utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya
adalah sama
Contoh (10) Utilitas Optimum
• Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi
barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan:
U = x2y3
Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga
barang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50
• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang
• Berapakah utilitas marjinal jika konsumen
mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y
konsumen memaksimumkan utilitasnya?
Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan
memberikan tingkat kepuasan optimum
Contoh (10) Utilitas Optimum
• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang
U
x
 2 xy
3
U
y
 3x y
2
2
• Berapakah utilitas marjinal jika konsumen
mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
U
x
 2 (14 ) 13   61516
3
U
y
 3 14  13   99372
2
2
Contoh (10) Utilitas Optimum
• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13
unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?
MU
MU

x
Px
y

61516
Py

99372
25
50
• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:
MU

Px
2 2 xy
3
x

MU
y

Py
  3x
y
3
y
2

2
2 xy
3
2

3x y
25
2
50
y  4 xy  3 x y
3x
2
3
2
4x
 y
3
4
2
x
2
Contoh (10) Utilitas Optimum
• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:
L

 25 x  50 y  1000  0
• Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ:
3 
25 x  50  x   1000  0  x  16
4 
3
x = 16, maka y  4 16   y  12
Utilitas maksimum:
u  x y  16  12   442368
2
3
2
3
MP dan Keseimbangan Produksi
• Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan
xj = (j = 1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya:
P = f(x1, x2, x3, …, xn )
• Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsen
hanya menggunakan 2 macam input, K dan L,
maka fungsi produksinya:
P = f(k, l)
Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaan
kurva isoquant—kurva yg menunjukkan
berbagai kombinasi penggunaan input K dan L
yang memberikan tingkat produksi yang sama
MP dan Keseimbangan Produksi
• Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan
fungsi produk marjinal parsialnya:
P
k

Produksi marjinal
berkenaan dengan
input K
P
l

Produksi marjinal
berkenaan dengan
input Y
• Isocost:
garis yang mencerminkan kemampuan produsen
membeli berbagai macam input berkenaan dgn harga
masing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. Jika
M adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL harga
input K dan L maka:
M = K x PK + L x PL
MP dan Keseimbangan Produksi
• Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau
tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor
produksi secara optimum, yakni tingkat produksi
maksimum dengan kombinasi biaya terendah
(least cost combination)—tercapai pada saat kurva
isoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost
• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk
persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)
Z
K
 f K  K , L    PK  0
Z
L
 f L  K , L    PL  0
MP dan Keseimbangan Produksi
• Manipulasi Lx dan Ly:
Z
K
Z
L
f K K , L 
 f K  K , L    PK  0    
 f L  K , L    PL  0    
PK
f K K , L 
f L K , L 
PK

f L K , L 
PL
PL
• Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:
MP K
PK

MU
L
PL
Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akan
tercapai jika hasibagi produk marginal masing-masing
input terhadap harganya adalah sama
Fungsi Produksi Cobb-Douglas
• Dinyatakan dengan:
P  AK

L

dimana:
A
: Total factor productivity
K
: Capital
L
: Labor
α dan β : elastisitas output
• Jika:
α + β = 1 → constant return to scale
α + β > 1 → increasing return to scale
α + β < 1 → decreasing return to scale
Contoh (11) Utilitas Optimum
• Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk
membeli input K dan L. Harga per unit input K
adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jika
fungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiap
input harus digunakan agar produksi optimum dan
berapakah produksi optimum tersebut?