Transcript XI — suku banyak_2

SUKU BANYAK
Oleh : Hayani Hamudi, S.Pd
Standar Kompetensi
4. Menggunakan aturan Suku banyak dalam
Penyelesaian Masalah
Kompetensi Dasar
4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku
banyak untuk menentukan hasil bagi dan
sisa pembagian
4.2 Menggunakan Teorema sisa dan teorema
faktor dalam memecahkan masalah
Tujuan Pembelajaran
♥ Siswa dapat menggunakan
algoritma Pembagian Suku banyak
untuk menentukan hasil bagi dan
sisa pembagian
♥ Siswa dapat menggunakan
Teorema sisa dan teorema faktor
dalam Pemecahan masalah
Aspek Penyajian
 Peng. Suku banyak, nilai suku
banyak, dan operasi
antarsukubanya
 Pembagian suku banyak
 Teorema sisa
 Teorema Faktor
Pengertian Suku Banyak
Nilai Suku Banyak
Operasi Antar Suku Banyak
Pengertian Suku Banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki Bentuk umum
anxn + an-1x n-1 + an-2x n-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0
ao, a1, an-1, an-2, an bil. real an ≠ 0
ao, a1, an-1, an-2, an koefisien dan ao suku tetap
Suku banyak terdiri dari 2 yaitu yang mempunyai satu variabel ( univariabel)
dan suku banyak yang lebih dari satu variabel ( multivariabel)
Contoh:
3x5 + 6x4 - 2x2 - 4x + 7
Suku banyak diatas merupakan suku banyak berderajat 5 dimana,
Koef dari X5 adalah 3
Koef dari x4 adalah 6
Koef dari x3 adalah 0
koef dari x2 adalah -2
Koef dari x adalah -4
Suku tetapnya adalah 7
Nilai Suku Banyak
Suku banyak dapat dinyatakan dalam fungsi berikut
f(x) = anxn + an-1x n-1 + an-2x n-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0
Kadang dinyatakan dengan P(x) atau S(x)
Nilai suku banyak dapat dicari
dengan 2 metode, yaitu
♥ Metode Substitusi/ Langsung
♥ Metode bagan / Skema
Metode Substitusi
Jika diketahui polinom
f(x) = anxn + an-1x n-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0
Untuk x = P, maka
f(x) = anpn + an-1pn-1 + … + a2p2 + a1p1 + a0
Disebut nilai suku banyak
Contoh
Tent. Nilai suku banyak Jika diketahui polinom
f(x) = x3 + 3x2 - x + 5 untuk nilai x = 2
Penye;
Untuk x = 2, diperoleh
f(2) = (2)3 + 3(2)2 - 2 + 5
f(2) = 8 + 3 . 4 - 2 + 5 = 8 + 12 - 2 - 5 = 13
Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13
Contoh
Dik. Suku banyak dengan 2 variabel yaitu x dan y. Hitung
nilai suku banyak f(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2
untuk f(2,1)
Penye;
Untuk x = 2 dan y = 1 diperoleh
f(x,y) = x3y+ 3x2y2 - 2x + 4y + 2
f(2, 1) = (2)3.1+ 3(2)2(1)2 – 2.(2) + 4.(1) + 2
f(2,1) = 8.1 + 3.4.2 - 5 + 4 + 2
f(2,1) = 8 + 24 - 5 + 4 + 2 = 33
Jadi, nilai f(x) untuk x = 2 dan y = 1 adalah
f(2,1) = 33
Metode Bagan / Skema
Misal f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, untuk x = p
berlaku f(p) = ap3 + bp2 + cp + d
Bentuk ini dapat diubah menjadi
f(p) = (ap2 + bp + c)p + d
f(p) = ((ap + b)p + c)p + d
Jadi, f(p) = ap3 + bp2 + cp + d dapat
diperoleh dengan cara:
♥ Kalikan a dengan p lalu tambah b, hasilnya
(ap+b)
♥ Kalikan (ap+b) dengan p lalu tambah c,
hasilnya (ap+b)p + c atau ap2 + bp + c
♥ Kalikan ap2 + bp + c dengan p lalu tambah d
hasilnya (ap2 +bp +c)p +d = ap3 +bp2 +cp + d
f(p) = ap3 + bp2 + cp + d
koef p3 koef p2
koef p1
koef po /suku tetap
Nilai dari suku banyak
f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, untuk x = p
yg diperhatikan:
Penulisan koefisien suku banyak harus berturut-turut
dari pangkat tertingi ke pangkat terendah.
Contoh
Tent. Nilai suku banyak f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 5 ; x = 2
Penye :
koef x3
koef x2
koef x1
koef xo /suku tetap
jadi, nilai suku f(x) untuk x = 2 adalah f(2) = 13
Contoh
Tent. Nilai suku banyak f(x) = 2x4 + x2 + 3x + 2 ; x = 3
substitusi dan metode bagan !!!
Penye :
Metode substitusi
Untuk x = 3, diperoleh
f(3) = 2(3)4 + (3)2 + 3(3) + 2
f(2) = 2.(81) + 9 +9 + 2 = 162 + 9 + 9 + 2 = 182
Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182
Metode Bagan/ Skema
koef x4
koef x3
koef x2
koef x1
dengan metode
koef po /suku tetap
Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah f(3) = 182
Operasi Antarsukubanyak
A. Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan atau pengurangan suku
banyak f(x) dengan suku banyak g(x)
menjumlahkan atau mengurangkan suku – suku yang sejenis
Misal
☻2x2 sejenis dengan 3x2 sehingga 2x2 + 3x2 = (2+3)x2 = 5x2
☻ 3y4 sejenis dengan y4 sehingga 3y4 – y4 = (3-1)y4 = 2y4
☻ 2y3 tidak sejenis dengan 2x3 sehingga 2y3+ 2x3 = 2y3+ 2x3
☻5x3 tidak sejenis dengan 2x2 sehingga 5x3 - 2x2 = 5x3 - 2x2
Misal f(x) dan g(x) masing masing merupakan suku banyak
berderajat m dan n maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak
berderajat m atau n
Contoh :
Dik. f(x) = 3x2 + 4x + 1 dan g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4
Tent. f(x) + g(x) dan f(x) – g(x) serta derajatnya
f(x) + g(x) = (3x2 + 4x + 1) + (2x4 + 3x2 – 6x + 4)
f(x) + g(x) = (0 + 2x4)+ (3x2 + 3x2) +(4x – 6x) + (1+4)
f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 + (–2x) + 5
f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5
Jadi, f(x) + g(x) = 2x4 + 6x2 –2x + 5 dan f(x) + g(x) berderajat 4
f(x) - g(x) = (3x2 + 4x + 1) - (2x4 + 3x2 – 5x + 4)
f(x) - g(x) = (0-2x4)+ (3x2 - 3x2) +(4x – (-6x) + (1-4)
f(x) - g(x) = (-2x4)+ 0 + 10x + (-3)
f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3
Jadi, f(x) - g(x) = -2x4 + 10x - 3 dan f(x) - g(x) berderajat 4
Perkalian AntarSuku Banyak
Perkalian suku banyak f(x) dengan g(x)
 Mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak.
 Dalam mengalikan suku-suku dari kedua suku digunakan sifat
distribusi perkalian ( distribusi perkalian terhadap penjumlahan
maupun distribusi perkalian terhadap pengurangan , kemudian
baru dihitung jumlahnya.
Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing merupakan suku
banyak berderajat m atau n maka:
f(x). g(x) adalah suku banyak berderajat m+n
Misalkan
f(x) = 3x2 + 4x + 1 adalah suku banyak berderajat 2
g(x) = 2x4 + 3x2 – 6x + 4 adalah suku banyak berderajat 4
Maka hasil perkalian f(x) dengan g(x) berderajat 2+4 = 6
Contoh
Tent. Hasil dan derajat perkalian dari
1. 2x2- 4x + 5 dengan x2 + 4
2. X - 2 dengan (2x + 1)2
Penyelesaian :
(2x2 – 4x + 5)(x2 + 4)
= 2x2(x2 + 4) -4x(x2 + 4) + 5(x2 + 4)
= 2x4 + 8x2 – 4x3 – 16x + 5x2 + 20
= 2x4 – 4x3 + 8x2 + 5x2 – 16x + 20
= 2x4 – 4x3 + 13x2 – 16x + 20
Hasilnya suku banyak
berderajat 4 atau 2 + 2 = 4
Ingat!!!
am x an = a m+n
(x - 2)(2x + 1)2
= (x – 2)(4x2 + 4x + 1)
= x (4x2 + 4x + 1) – 2(4x2 + 4x + 1)
= 4x3 + 4x2 + x – 8x2 – 8x – 2
= 4x3 + 4x2 – 8x2 + x – 8x – 2
= 4x3 – 4x2 – 7x – 2
Hasilnya suku banyak
berderajat 3 atau 1 + 2 = 3
Kesamaan Suku Banyak
Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua buah suku banyak
f(x) = anxn + an-1x n-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x1 + b0
f(x) ≡ g(x) jika dan hanya jika
an = bn; an-1 = bn-1; … ; a2 = b2; a1 = b1; a0 = b0
Contoh
Tentukan nilai a, b, c, dan d, jika
X4 - 8x3 – 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d
Penyelesaian
X4 - 8x3 + 15x – 20 = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d
Misal f(x) = X4 - 8x3 + 15x – 20
Misal g(x) = x4 + ax3 + (a+b)x2 + (26-c)x + d
Koefisien x4
Koefisien x3
Koefisien x2
Koefisien x
Koefisien x0
f(x) = g(x)
1=1
-8 = a
0=a+b
15 = 2b – c
-20 = d
pers 5 disubs. ke pers 3,
diperoleh:
15 = 2b - c
15 = 2(8) - c
15 = 16 - c
C = 16 – 15 = 1
pers. 1
pers. 2
pers. 3
pers. 4
pers 1 disubs. ke pers 2,
Diperoleh:
0=a+b
0 = (-8) + b
8 = b pers. 5
dari uraian diatas,
diperoleh:
a = -8
c=1
b= 8
d = -20
Pembagian suku Banyak
Hubungan antara yang dibagi, Pembagi, Hasil Bagi,
dan Sisa Pembagian
Cara pembagian suku banyak
* Cara Biasa/ Langsung
* Cara Skema/ Horner
Pembagian suku banyak dengan;
* Pembagi berbentuk linear; ( x – k) dan (ax – b)
* Pembagi berbentuk kuadrat ( ax2 + bx + c)
Hub. Antara yang dibagi,
pembagi, hasil bagi, dan sisa
Pembagian.
perhatikan pembagian bersusun dibawah
Dari (i) terlihat bahwa 7 dibagi
dengan 2 memberikan hasil 3
dengan sisa pembagian 1
Dari (ii) terlihat bahwa 8 dibagi
dengan 2 memberikan hasil 4
dengan sisa pembagian 0
(i) 7=2x 3+1
( ii ) 8 = 4 x 4 + 0
Dengan demikian dapat dirumuskan sebagai berikut:
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian
Pembagian suku Banyak berbentuk
linear; (x – k) dan (ax + b)
Cara yang digunakan untuk membagi suku banyak dengan
pembagi berbentuk linear dikenal dengan cara biasa dan
cara horner
Pembagi suku banyak dengan (x – k)
Pembagisuku
sukubanyak
banyakdengan
dengan(x(x––k)k)
Pembagi
Hub.Antara
Antarayang
yangdibagi,
dibagi,pembagi,
pembagi,hasil
hasilbagi,
bagi,dan
dansisa
sis
Hub.
f(x) = ( x – k ). H(x) + S
Dimana,
f(x)
= fungsi yang dibagi
( x – k ) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S
= sisa pembagian
Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi,
Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut:
(x3 – 11x + 10) : (x – 5 )
Dengan pembagian bersusun/ biasa
x-5
x2 + 5x + 14
X3 – 11x + 10
X3 – 5x2
5X2 – 11x + 10
5X2 – 25x
14x + 10
14x - 70
Dari pembagian disamping
diperoleh;
Hasil bagi / H(x) : x2 + 5x + 14
Sisa pembagian/ S : 80
80
Sehingga hub; f(x) = ( x – k ) . H(x) + S
(x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80
Cara horner / Skema
Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( x – k ) atau ( x + k)
dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah :
Jika pembaginya ( x – k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku
banyak adalah k
Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih terhadap koefisien2 suku
banyak adalah -k
( x3 – 11x + 10 ) : ( x – 5 ) , berarti faktor pengalihnya adalah 5
koef x3
koef x2
koef x1
koef po /suku tetap
….. sisa
Hasil bagi
koef x2
koef x1
koef po /suku tetap
Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14
Sehingga hubungannya:
(x3 – 11x + 10) = (x – 5 )(x2 + 5x + 14) + 80
Tent. Hasil bagi dan sisa pembagian berikut:
(x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 )
Dengan pembagian bersusun/ biasa
x+3
x2 + 3x - 6 ……. hasil bagi
X3 + 6x2 + 3x - 15
X3 + 3x2
3X2 + 3x - 15
3X2 + 9x
-6x - 15
-6x - 18
3 … sisa
Diperoleh hasil bagi / H(x) = x2 + 3x – 6
Sisa pembagian / S = 3
Cara horner / Skema
(x3 + 6x2 + 3x – 15) : (x + 3 )
Berarti fakor pengali terhadap koefisien2 adalah -3
koef x3
koef x2
koef x1
koef po /suku tetap
….. sisa
Hasil bagi
1 jadi koefisien x2
3 jadi koefisien x1
- 6 jadi koefisien xo atau suku tetap
Hasil bagi H(x) = x2 + 5x + 14
Sisa pembagian/ S = 3
Pembagi suku banyak dengan (ax + b)
Dengan cara horner
Secara umum, pembagian suku banyak f(x) oleh ( ax + b ) atau ( ax b) dengan cara horner dapat dilakukan dengan kaidah :
Jika pembaginya ( ax + b ), faktor a pengalih terhadap koefisien2 suku
b
banyak adalah aa
Jika pembaginya ( x + k ), faktor pengalih
terhadap koefisien2 suku
bb
banyak adalah -k

a
b
Tent. Hasil bagi, sisa pembagian, dan hub. Yang dibagi,
Hasil bagi, pembagi, sisa pembagian berikut:
(x3 – 11x + 10) : (x – 5 )
Dengan pembagian bersusun/ biasa
x-5
x2 + 5x + 14
X3 – 11x + 10
X3 – 5x2
5X2 – 11x + 10
5X2 – 25x
14x + 10
14x - 70
80
perhatikan pembagian bersusun dibawah
3 – 5x2
XX
3 – 5x2
3 – 5x2
XX
3 – 5x2
X3 – 5x2
Pembagi suku banyak dengan Pembagi
Berbentuk Kuadrat (ax2 + bx + c untuk a ≠ o)
jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ax2+bx+c, dengan
a≠0 (untuk ax2+bx+c, a≠0 yang dapat difaktorkan ataupun
yang tidak dapat difaktorkan), hasil bagi dan sisa
pembagiannya dapat ditentukan dengan cara pembagian
bersusun
Hubungannya…
f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g)
Derajat yang dibagi > derajat Pembagi >
derajat Hasil bagi ≥ derajat Sisa
Tent.
Hasil bagi dansisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 + 3x + 6
oleh x2 + x - 1
f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + (px + g)
2x3 + 3x + 6 = ( x2 + x - 1 ). H(x) + (px + g)
Dengan pembagian bersusun/ biasa
2x - 1
+x-1
2X3 + 3x + 6
2X3 + 2x2 –2x
-X2 + 5x + 6
-X2 – x + 1
6x + 5
Hasil / H(x) = 2x – 1 dan Sisa / S = 6x + 5, seingga:
( 2x3+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )
x2
Dengan menggunakan hubungan…
f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + S
ingat!!
Derajat pembagi + derajat asi bagi = derajat yang dibagi
Jadi, meliat derajat yang dibagi 3 dan derajat pembagi 2 maka
dapat disimpulkan bawa derajat hasil adala 1, sehingga dimisalkan
hasil : ax+b dan sisa : px + q
f(x) = ( ax2 + bx + c ). H(x) + S
(2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q )
(2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax – b) + ( px+q )
(2x3 + x2 + 3x + 6) = ( ax3 + bx2 + ax2 + bx – ax + px – b +q )
(2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (b+a)x2+ (b-a+p)x + ( q-b )
(2x3 + x2 + 3x + 6) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b )
Ingat!!!
Kesamaan Suku Banyak
Misalkan:
Koefisien x3
Koefisien x2
Koefisien x
Koefisien x0
p(x) = (2x3 + x2 + 3x + 6)
g(x) = ax3 + (a+b)x2+ (b-a+p)x + ( q-b )
f(x) = g(x)
2=a
1=a+b
3=b-a+p
6=q-b
pers. 1
pers. 2
pers. 3
pers. 4
pers 1 disubs. ke pers 2,
Diperoleh:
1=a+b
1= 2+b
1-2=b
-1 = b
pers. 5
pers 1 & 5 disubs. pers 3,
Diperoleh:
3=b–a+p
3 = -1 – 2 + p
3=-3 +p
3+3=p
6=p
pers. 6
dari uraian diatas,
diperoleh:
a=2
p = -6
b = -1 q = 5
pers 5 disubs. ke pers 4,
Diperoleh:
6=q-b
6 = q – (-1)
6=q+1
6 -1=q
5= q
pers. 7
Sehingga :
Hasil / H(x)
Sisa / S
ax + b = 2x – 1
px + q = 6x + 5
(2x3 + x2 + 3x + 6) = ( x2 + x - 1 ). ( ax+b ) + ( px+q )
( 2x3+x2+3x+6 ) = ( x2+x-1 ). ( 2x–1 ) + ( 6x+5 )