MATERI MATEMATIKA EKONOMI 1st
Download
Report
Transcript MATERI MATEMATIKA EKONOMI 1st
PENDAHULUAN
MATEMATIKA EKONOMI
Dr. Luluk Kholisoh
Ruang Lingkup :
Konsep-konsep Dasar, Hubungan
Fungsional, Hubungan Nonlinear,
Diferensial fungsi, Integral dan Matriks
Sasaran:
Mahasiswa yang menempuh matakuliah
Matematika Ekonomi
Tujuan:
Mahasiswa diharapkan mampu memahami
Konsep-konsep Matematika dalam
penerapannya pada masalah ekonomi.
Kompetensi Lulusan:
Mampu menyelesaikan persoalan Matematika
permasalahan Ekonomi dan Bisnis.
LITERATUR
Chiang A.C. 1984. Fundamental Methods Of Mathematical
Economics. Third Edition.
Mc. Graw-Hill Book Inc. New York
Dumairy. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan
Ekonomi. Edisi Ke dua belas. BPFE. Yogyakarta
Legowo. 1984. Dasar-dasar Kalkulus Penerapannya dalam
Ekonomi, Ed. 2. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia
Suryawati dkk. 2001. Matematika Ekonomi. Sekolah Tinggi
Ilmu Ekonomi YKPN
Weber, Jean E. 1982. Mathematical Analysis: Business and
Economics, Aplication, 4th ed. New York: Harper & Row 1982
RENCANA PENILAIAN
Ujian Tengah Semester (UTS)
35 %
Ujian Akhir Semester (UAS)
40 %
Tugas Terstruktur
10 %
Kuis
10 %
Kehadiran
5%
MATERI
Himpunan
Sistem Bilangan, Akar dan Logaritma
Deret dan Fungsi
Fungsi Linier
Fungsi Multivariat
Fungsi Non Linier
Derivatif
Integral
Matriks
SILABUS MATERI HIMPUNAN
Pengertian Himpunan
Penyajian Himpunan
Himpunan Universal dan Himpunan Kosong
Operasi Himpunan
Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
SILABUS MATERI SISTEM
BILANGAN
Hubungan Perbandingan antar Bilangan
Operasi Bilangan
Operasi Tanda
- Operasi Penjumlahan
- Operasi Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian
Operasi Bilangan Pecahan
- Operasi Pemadanan
- Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian
SILABUS MATERI PANGKAT, AKAR DAN
LOGARITMA
Pangkat
Kaidah pemangkatan bilangan
Kaidah perkalian bilangan berpangkat
Kaidah pembagian bilangan berpangkat
Akar
Kaidah pengakaran bilangan
Kaidah penjumlahan bilangan terakar
Kaidah perkalian bilangan terakar
Kaidah pembagian bilangan terakar
Logaritma
- Basis Logaritma
- Kaidah-kaidah Logaritma
- Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
SILABUS MATERI DERET
Deret
Hitung
- Suku ke-n dari DH
- Jumlah n suku
Deret Ukur
- Suku ke-n dari DU
- Jumlah n suku
SILABUS MATERI FUNGSI
Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi
Jenis- jenis fungsi
Penggambaran fungsi Linear
Penggambaran fungsi non linear
- Penggal
- Simetri
- Perpanjangan
- Asimtot
- Faktorisasi
SILABUS MATERI
HUBUNGAN LINEAR
Penggal dan lereng garis lurus
Pembentukan Persamaan Linear
- Cara dwi- kordinat
- Cara koordinat- lereng
- Cara Penggal lereng
- Cara dwi- penggal
Hubungan dua garis lurus
Pencarian Akar- akar persamaan linear
- Cara substitusi
- Cara eliminasi
- Cara determinan
SILABUS MATERI HUBUGAN
NON LINEAR
Fungsi kuadrat
- Identifikasi persamaan kuadrat
- Menentukan titik maksimum atau minimum
permintaan, fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar
- Fungsi penerimaan, fungsi ongkos produksi dan
analisis BEP
Fungsi Eksponensial dan aplikasinya
- Fungsi ongkos produksi
- Perhitungan bunga majemuk
SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI
SEDERHANA
Kuosien Diferensi dan Derivatif
Kaidah- Kaidah Diferensiasi
Hakikat Derivatif dan Diferensial
Derivatif dari Derivatif
Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
- Fungsi menaik dan fungsi menurun
- Titik ekstrim fungsi parabolik
- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik
SILABUS MATERI DIFERENSIAL FUNGSI
MAJEMUK
Diferensial Parsial
Derivatif dari Derivatif Parsial
Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum
Optimisasi Bersyarat
- Pengganda Lagrange
- Kondisi Kuhn-Tucker
Homogenitas Fungsi
SILABUS MATERI INTEGRAL
Integral tak tentu
Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu
Integral tertentu
Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
SILABUS MATERI MATRIKS
Pengertian
Matriks dan Vektor
Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor
Pengoperasian Matriks dan Vektor
Bentuk- bentuk khas matriks
Pengubahan Matriks
Himpunan
Merupakan
suatu kumpulan atau
gugusan dari sejumlah obyek.
Obyek yang membentuk himpunan
disebut anggota/elemen/unsur
Himpunan dilambangkan dengan huruf
besar, sedangkan unsur dilambangkan
dengan huruf kecil
Penulisan Matematis
p
єA
A C B
A = B
p є A
A C B
A = B
Penyajian Himpunan
A
= { 1, 2, 3, 4, 5} ; B = {kucing, anjing}
A = { x; 0 < x < 6} ; B = {x; 1 ≤ x ≤ 5}
{ } atau 0 . Merupakan himpunan kosong.
Secara teori, himpunan kosong adalah
merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan apapun.
Notasi U digunakan untuk himpunan
universal (yang bersifat besar).
Operasi Himpunan
Gabungan
(Union):
A U B = {x; x є A atau x є B}
Irisan (Intersection):
A ∩ B = {x; x є A dan x є B}
Selisih:
A – B ≡ A B = { x; x є A tetapi x є B}
Pelengkap (Complement):
A = { x; x є U tetapi x є A} = U - A
2. Tanda pertidaksamaan
Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”
Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat
Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b
Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d
Matematika Ekonomi
22
Kaidah-kaidah Matematika
Kaidah Indempoten:
a) A U A = A
b) A ∩ A = A
Kadiah Asosiatif:
a) (A U B) U C = A U (B U C)
b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Kaidah Komutatif:
a) A U B = B U A
b) A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif:
a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ ( A U C)
b) A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)
Kaidah – kaidah Matematika
(lanjut)
Kaidah
Identitas:
a) A U 0 = A
c) A U U = U
Kaidah Kelengkapan:
a) A U A = U
c) (A) = A
Kaidah De Morgan:
(AUB)=A∩B
b) A ∩ 0 = 0
d) A ∩ U = A
b) A ∩ A = 0
d) U = 0, 0 = U
b) ( A ∩ B) =A U B
Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir
S
A
B
Sifat-sifat gabungan
a. A U B = B U A Hukum komutasi
b. A
(A U B) dan B
(A U B)
Matematika Ekonomi
25
Operasi potongan (irisan) = ∩
A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }
A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B
Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }
A ∩ B = { 5, 15 }
Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:
s
A
B
Matematika Ekonomi
26
Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A
b. (A ∩ B)
(hukum komutasi)
A dan (A ∩ B)
B
Operasi selisih
Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B
A – B = { x / x € A, tetapi x € B }
Diagram Venn A – B sebagai berikut:
S
A
B
Matematika Ekonomi
27
Misal: A = { a, b, c, d };
B = { f, b d, g }
A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }
A – B sering dibaca “A bukan B”.
Sifat: a (A – B)
A; (B – A)
B
b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing
atau terputus
Matematika Ekonomi
28
Komplemen
A’ = { x / x € S, tetapi x € A }
baca “komplemen A” atau “bukan A”
A’
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat
positip
A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil
A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap
Diagram Venn untuk komplemen
S sbb: (diarsir)
A
A
A’
Matematika Ekonomi
29
Sifat: a. A U A’ = S
b. A ∩ A’ = ø
c. (A’)’ = A
Latihan 1
Gambarkan sebuah diagram venn untuk
menunjukkan himpunan universal S dan himpunanhimpunan bagian A serta B jika:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = {2, 3, 5, 7 }
B = {1, 3, 4, 7, 8 }
Kemudian selesaikan :
a). A – B
b). B – A
c) A ∩ B
d). A U B
e) A ∩Matematika
B’ Ekonomi
f) B ∩ A’
g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’
30
Latihan 2
Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: €
atau €
A
B
A∩B
AUB
(A∩B)’
(AUB)’
€
€
2; 5
U
2,5
{0}
€
€
€
€
€
€
3;7
1 ; 2;
3; 4; 7;
8
Matematika Ekonomi
31
Hubungan
Himpunan Hasil kali Cartesius
Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X
dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat
disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut
atau pasangan tersusun (x, y).
Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi
dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi
angka 1 hingga 3.
Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan
Y = {1, 2, 3}
Himpunan hasil kali Cartesius adalah:
X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}
Matematika Ekonomi
32
Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:
X
1
2
3
4
1
Y
2
3
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Matematika Ekonomi
33
Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan
dalam sistem koordinat cartesius berikut:
Y
3
2
PR = {1, 2} malas
PR = {3, 4} rajin
•
•
H1
H2
•
•
•
•
H4
H3
•
•
U = {1, 2} kurang mengerti
U = {3} pintar
Terdapat 4 himp bag
H1 = {malas ttp pintar}
1
• • • •
H2 = {malas dan krg
mengerti}
0
1 2 3 4 X
H3 = {rajin ttp krg
Gbr: Hubungan nilai ujian dan nilai
ngerti}
pekerjaan rumah
Matematika Ekonomi
34
H4 = {rajin dan pintar}
Daerah dan Wilayah (Range) hubungan
Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius:
H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3),
(3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur
pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah
hubungan
Dh = {1, 2, 3, 4}
Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut
dengan Wilayah hubungan:
Wh = {1, 2, 3}
Matematika Ekonomi
35
Kesimpulan:
Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan
pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap
unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.
X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y }
Daerah hubungan
Dh = { x / x € X}
Wilayah hubungan:
Wh = { y / y € Y}
Matematika Ekonomi
36
SISTEM BILANGAN
SISTEM BILANGAN
1. Pembagian bilangan
Bilangan
2; -2;
1,1; -1,1
Nyata
+ dan -
Khayal
Akar negatip
Rasional
Irrasional
Hasil bagi dua bil
bulat, pecahan
desimal atau
desimal berulang
0,1492525
Bulat
√(-4) = ± 2
Hasil bagi dua bil bulat,
pecahan desimal tak
berulang
0,14925253993999… π, ℮
1; 4; 8;
termasuk
0
Pecahan
Matematika Ekonomi
½; 2/7 dsb
38
Penggolongan Bilangan (lanjut)
Bilangan
nyata dapat positif maupun
negatif.
Bilangan khayal adalah bilangan yang
berupa akar pangkat genap dari suatu
bilangan negatif.
Bilangan rasional= bilangan bulat,
pecahan terbatas
Bilangan irrasional adalah bilangan
pecahan yang tak terbatas.
Jenis-jenis Bilangan Lainnya
Bilangan
asli: bilangan bulat positif tidak
termasuk nol
Bilangan cacah: bilangan bulat positif
atau nol
Bilangan prima: bilangan asli yang
besarnya tidak sama dengan satu dan
hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri.
2. Tanda pertidaksamaan
Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”
Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat
Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b
Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d
Matematika Ekonomi
41
Operasi Bilangan
Kaidah Komutatif:
a+b=b+a
Kaidah Asosiatif:
(a+b)+c=a+(b+c)
(axb)xc=ax(bxc)
Kaidah Pembatalan:
Jika
a+c=b+c
maka
a=b
Kaidah Distributif:
a ( b + c ) = ab + ac
axb=bxa
jika ac = bc (c = 0)
maka a = b
Operasi Bilangan (lanjut)
Unsur
Penyama:
a±0=a
ax1=a
a:1=a
Kebalikan:
a + (-a) = 0
a x 1/a = 1
Berbagai Operasi Tanda
Operasi
Penjumlahan
Operasi Pengurangan
Operasi Perkalian
Operasi Pembagian
Operasi Bilangan Pecahan
Operasi Pemadanan
a/b = (axc)/(bxc)
a/b = (a:c)/(b:c)
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi Perkalian
(a/x) x (b/y) = (ab)/(xy)
Operasi Pembagian:
a/b : c/d = a/b x d/c
a/b : c/d = x/z : y/z = x/y z = habis dibagi b dan d
a/b : c/d = (a/b x z) : (c/d x z)
PANGKAT, AKAR
DAN LOGARITMA
PANGKAT
Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks
yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan
yang sama secara berurutan.
Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x
itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali
Contoh:
* 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 cukup ditulis 46
* 100.000 dapat diringkas menjadi 105
* 1/100.000 dapat diringkas menjadi 10-5
* 35.000.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 109
* 4.500.000.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 109
* 0,000.000.34 dapat diringkas menjadi 3,4 x 10-8
Kaidah-Kaidah Pemangkatan
Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu
x0 = 1
( x ≠ 0)
Contoh: 50 = 1
Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri
x1 = x
Contoh: 51 = 5
Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol
0x = 0
Contoh: 05 = 0
Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali
(multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri
x-5 = 1/x5
Contoh: 2-5 = 1/25 = 1/32 = 32-1
Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)
Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari
bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam
pecahan menjadi pangkat dari akarnya,
sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari
bilangan yang bersangkutan
a
b
x
b
a
2
5
Contoh: 3 5 32 5 9 1,55
Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi
suku-suku berpangkatnya
a
x
x
x
a
y
y
a
3
3
4
4
64
Contoh:
3
5 5 125
Kaidah-kaidah Pemangkatan
(lanjut)
Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah
bilangan berpangkat hasilkali pangkat-pangkatnya
(xa)b = xab
Contoh: (22)3 = 22x3 = 26 =64
Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah
bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya
x
ab
x
c
dalam hal ini c = ab
Contoh:
24
3
316 43.046.721
Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)
Hasilkali bilangan-bilangan berpagnkat yang basisnya
sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkatpangkatnya
xa….xb …..xz = xa+b+..+z Contoh: 23 x 23 = 23+3 = 26 = 64
Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang
pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah
perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang
bersangkutan
xa . ya = (xy)a Contoh: 32 x 52 = (3x5)2 = 225
Kaidah-kaidah Pemangkatan (lanjut)
Hasilbagi bilangan-bilanganerpangkat yang basisnya
sama adalah bilangan basis berpangkat selisih
pangkat-pangkatnya
xa : xb = xa-b
Contoh: 55 : 53 = 55-3 = 52= 25
Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang
pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah
pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang
bersangkutan
xa : ya = (x/y)a
Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25
AKAR
Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan
bilangan berpangkat
Akar dari suatu bilangan ialah basis yang memenuhi
bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat
akarnya.
Jika xa, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat
Jika xa = m, maka x dapat disebut sebagai akar
pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai:
a
mx
jika xa = m
Kaidah-kaidah Pengakaran
Bilangan
Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi
bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya
a
m m
1
a
dalam hal ini
m
1
a
adalah basis
Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri
berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan
bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari
akar menjadi suku pembagi
b
ma m
a
b
Kaidah-kaidah Pengakaran
Bilangan (lanjut)
Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akarakarnya
b
xy
b
Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar
suku-sukunya
b
x
x
b
y
xb y
b
y
Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah
(selisih) koefisien-koefisien terakar
mb x a nb x a (m n)b x a
Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari
bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali
pangkat dari akar-akar sebelumnya
b
c
xa
bc
xa
LOGARITMA
Logaritma merupakan kebalikan dari proses
pemangkatan dan/ atau pengakaran.
Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat
yang harus dikenakan pada (memenuhi)
bilangan pokok logaritma untuk memperoleh
bilangan tersebut.
Jika xa = m (dalam hal ini x adalah basis dan a
adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga
logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis
dalam bentuk:
a = x log m
Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga cukup
ditulis log m
Kaidah-kaidah Logaritma
xlog
x=1
xlog1 = 0
xlog xa = a
xlog ma = a xlog m
x
x
log m
sebab x1 = x
sebab x0 = 1
sebab xa = xa
m
xlog
m n = xlog m + xlog n
xlog m/n = xlog m – xlog n
xlog m mlog x = 1
xlog m mlog n nlog x = 1
sehingga xlog m = 1/mlog x
Kasus
Sederhanakan dan selesaikan:
a)
b)
10 5 2 5 7 5
(5 16) : (2 4 )
Carilah x jika log x = 1,2304!
Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3!