Transcript Diferensial / Turunan Fungsi Implisit

Hitung
Diferensial
Sumber: Husain Bumulo & Djoko Mursinto, Matematika Ekonomi

Jika diketahui fungsi y = f (x) maka : y ’ = f ’ (x)
dy = f’ (x). dx
Contoh :
1. y = x³ + 7x maka dy = (3x² + 7). dx
2. y = ln (5x + 10) maka dy =
3. 3x + 4y = 5 maka y’ = …….
5 . dx
5x + 10
Konsep pengertian diferensial ini dapat diterapkan
untuk menentukan turunan pertama dari
fungsi implisit f (x,y) = c
Misalnya: 3x + 4y = 5 maka
3.dx + 4.dy = 0
4.dy = -3. dx atau dy
-3
=
dx
4
Fungsi diatas bisa diubah bentuk menjadi
fungsi eksplisit : 4y = -3x + 5
y = -3/4x + 5/4 maka
y’ = -3/4
Turunan Parsial / Diferensial
Parsial
Jika fungsi implisit terdiri 2 variabel atau lebih,
misalnya f (x,y) = c atau f (x,y,z,…) = 0 maka
turunan fungsi ini dapat ditentukan melalui
turunan parsial atau diferensial parsial
 Kalau f (x,y) = c, maka turunan parsialnya :
δf : turunan parsial ke x, dimana variabel y
δx
dianggap tetap
fx

δf : turunan parsial ke y, dimana variabel x
δy
dianggap tetap
fy
Contoh :
1. x³ - 2x²y + xy² + 6x – 3y = 7
maka δf
= 3x² - 4xy + y² + 6 – 0 = 0
δx
δf
= 0 -2x² + 2xy + 0 – 3 = 0
δy
Berdasarkan perhitungan diferensial parsial maka
dy/dx dari fungsi implisit f (x,y) = c dapat dihitung
sbb:
fx.dx + fy.dy = 0
sehingga dy
fx
=dx
fy

Dari contoh (1) diatas hasilnya adalah sbb:
dy
3x² - 4xy + y² + 6
=dx
-2x² + 2xy - 3
2. x²y - y²lnx = 8
fx = 2xy - y² / x ; fy = x² - 2y lnx
sehingga y’ = - 2xy - y² / x
x² - 2y lnx
3. 5x3 - 7x²y + 3xy2 + 8x – 3y = 9
Hitung y’
Turunan Kedua dan Turunan Yang Lebih
Tinggi Dari Fungsi Y = F (X)
dy
y’ = f ’ (x) =
dx
dy
d
dx
d²y
dy’
=
=
y’’= f ’’ (x) =
dx
dx
dx²
d3y
y’’’= f(3) (x) =
dx3
ny
d
Y(n) = f(n) (dx) = dxn
Contoh :
1. y = f (x) = (3x+2)4
y’= 4.(3x+2)3.3 = 12 (3x+2)3
y”= 12.3.(3x+2)2.3 = 108 (3x+2)2
y”’= 108.2.(3x+2).3 = 648 (3x+2)
Jadi turunan keempat y :
y(4)= 648.3 = 1944
2. y = (5x + 10)4
Hitung y’ , y”, y”’ , y(4)
2. Jika y = f(x) = ln (x2+4x) maka tentukan
y’ dan y”
Jawab :
2x + 4
y’ =
(bentuk pecahan)
x2 + 4x
jadi y” =
y” =
U’V – V’U
V2
U’=2 ; V’= 2x+4
2(x2+4x) - (2x+4).(2x+4)
(x2 + 4x)2
Turunan Kedua Fungsi Dalam Bentuk Parameter
x = f(t)
y = g(t)
dy dy/dt
g’(t)
y’ =
=
=
dx dx/dt
f’(t)
g’’(t).f’(t) – f”(t).g’(t) . dt
y’’ =
dx
(f’(t)2)
Contoh :
x = t2 + 3t
y = ln (4t + 6) maka hitunglah y’ dan y”