Transcript Lecture 4
ADVANCED
CONTROL
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Reference:
Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.
lecture 4
Lecture 4
State Space Solutions and
Realization
Topics to be covered include:
Introduction.
Solution of State Equations.
Equivalent State Equations.
Realizations.
Solution of Linear Time-Varying (LTV) Equations.
Equivalence Time-Varying Equations.
Time-Varying Realizations.
2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
LTI • حل معادالت فضای حالت سیستمهای
• Solution of LTI state equations
• Equivalent(algebraic) state equations
• Zero state equivalent
• Realizable state equations
• Some different realization
• Solution of LTV state equation
)• سیستم های همانند یا معادل (جبری
• هم ارز یا معادل حالت صفر
• شرط وجود پیاده سازی در سیستمهای خطی
• چند نمونه پیاده سازی
LTV • حل معادالت فضای حالت سیستمهای
• ماتریس اساسی و ماتریس گذار حالت و خواص آنها
• Fundamental matrix and stste transition matrix and their properties
LTV • هم ارز یا معادل در سیستمهای
• State Space Representation for LTV Systems
LTV پیاده سازی سیستمهای
•
3
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
• Realization of LTI Systems
lecture 4
Introduction
مقدمه
فرم کلی معادالت فضای حالت در
سیستمهای غیر خطی
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
x (t ) Ax(t ) Bu (t )
y (t ) Cx(t ) Du (t )
LTV معادالت فضای حالت سیستمهای
LTI معادالت فضای حالت سیستمهای
چند است؟y(t) وx(t) اگر شرائط اولیه و ورودی مشخص باشد مقدار
If initial condition and input are defined, then x(t), y(t) ? 4
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Solution of LTI state equation
x (t ) Ax(t ) Bu (t )
LTI حل معادالت فضای حالت
x(t ) | x
t t 0
در فصول قبل دیدیم
d
e Ae e A
dt
At
At
At
e x (t ) e Ax(t ) e Bu (t )
At
At
At
At
e x( ) e Bu ( )d
t
t
0
0
A
x(t ) e x e
t
0
x(t ) e
x e
t
t0
t0
d
e x(t ) e Bu (t )
dt
At
At
:با انتگرال از طرفین داریم
At
A ( t t0 )
: داریمe-At با ضرب معادله حالت در
At
e x (t ) e Ax(t ) e Bu (t )
At
A
:روش اول
t0
A ( t )
0
A ( t )
Bu ( )d
Bu ( )d
و نهایتا
5
معادله انتقال حالت
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Solution of LTI state equation
x (t ) Ax(t ) Bu (t )
LTI حل معادالت فضای حالت
x(t ) | x
t t 0
روش دوم
t0
با تبدیل الپالس داریم
sx(s) x0 Ax(s) Bu(s)
1
1
x(s) (sI A) x0 (sI A) Bu(s)
x(t ) e x e
t
At
0
x(t ) e
A ( t t0 )
x e
t
t0
t0
A ( t )
0
A ( t )
Bu ( )d
Bu ( )d
Convolution
integral
معادله انتقال حالت
6
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Solution of LTI state equation
x (t ) Ax(t ) Bu (t )
LTI حل معادالت فضای حالت
x(t ) | x
t t 0
x(t ) e x e
t
At
A ( t )
0
0
t0
Bu ( )d
eAt روشهای محاسبه
2
n
t
t
: سری نمایی-1
e I tA A ... A ...
2!
n!
: n-1 یافتن چند جمله ای درجه-2
e h( A)
At
2
n
At
e Qe Q
Aˆ t
At
1
e L ( sI A)
At
1
.... استفاده از فرم جردن و-3
1
استفاده از تبدیل الپالس معکوس-4
7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Solution of LTI state equation
LTI حل معادالت فضای حالت
0 1 0
x
x u
1 2 1
x(t ) e x e
t
At
0
. سیستم مقابل را در نظر بگیرید:1-4 مثال
x(t) مطلوبست
A ( t )
0
می دانیم:حل
Bu ( )d
. را تعیین نمودeAt پس ابتدا باید
s 2
1
1
s
1
s 2 s 1 s 2s 1
At
1
1
1
e L ( sI A) L
e L
1
s
1
s
2
s 2 s 1 s 2s 1
t
t
At
(1 t )e
e
te
2
2
2
(1 t )e
t
t
2
te
At
(1 t )e
x(t )
te
1
1
t
t
(
t
)
e
u ( )d
x(0)
(
1
(
t
))
e
u
(
)
d
(1 t )e
te
t
t
( t )
0
t
t
0
( t )
8
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Solution of LTI state equation
2 1 0
x
x u
0 3 1
LTI حل معادالت فضای حالت
. سیستم مقابل را در نظر بگیرید:2-4 مثال
با فرض اعمال پله واحدx(t) مطلوبست
s 2 1
e L ( sI A) L
0
s
3
1
At
1
1
1
e
e
0
2 t
At
1
1 s 2
L
0
1
( s 2)(s 3)
1
s 3
e e
e
2 t
3 t
3 t
2 ( t )
t e
e 2t e 2t e 3t x1 (0)
e 2(t ) e 3(t ) 0
u ( )d
x(t )
3
(
t
)
3t
e
e
1
0
x2 (0) 0 0
2 ( t )
e 2t e 2t e 3t x1 (0)
t e
e 3(t )
d
x(t )
3
(
t
)
3t
e
e
0
x2 (0) 0
.....
.....
9
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation
)معادالت فضای حالت همانند(معادل
. الف) مطلوبست معادالت فضای حالت با توجه به متغیرهای حالت انتخاب شده:3-4 مثال
x 0 1 x 1
x 1 1 x 0u
x
y 0 1
x
1
1
2
2
1
2
.ب) مطلوبست معادالت فضای حالت با توجه به متغیرهای حالت انتخاب شده
x 1 1 x 1
x 1 0 x 1u
x
y 1 1
x
1
1
2
2
1
2
10
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation
x Ax bu
y cx du
)معادالت فضای حالت همانند(معادل
Similaritytransformation
w Px
Aˆ P A P 1
cˆ cP 1
bˆ Pb
dˆ d
1- It can lead to a simpler system.
2- It doesn’t change the eigenvalues.
3- Similar transfer function.
w Aˆ w bˆu
y cˆw dˆu
امکان ساده سازی سیستم-1
عدم تغییر مقادیر ویژه-2
توابع انتقال یکسان-3
4- It doesn’t change observability.
عدم تغییر رویت پذیری-4
5- It doesn’t change controllability.
عدم تغییر کنترل پذیری-5
11
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation
)معادالت فضای حالت همانند(معادل
عدم تغییر مقادیر ویژه
x Ax bu
y cx du
w Px
Aˆ P A P 1
cˆ cP 1
bˆ Pb
dˆ d
sI A 0
w Aˆ w bˆu
y cˆw dˆu
sI Aˆ 0
sI Aˆ sPP 1 PAP 1 P ( sI A) P 1 P sI A P 1
sI A
تبدیل همانندی مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد
12
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation
)معادالت فضای حالت همانند(معادل
توابع انتقال یکسان
x Ax bu
w Px
Aˆ P A P 1
y cx du
cˆ cP 1
bˆ Pb
dˆ d
w Aˆ w bˆu
y cˆw dˆu
gˆ ( s) cˆ( sI Aˆ ) bˆ dˆ cP ( sI PAP ) Pb d
1
1
1
1
cP P( sI A) P Pb d c( sI A) b d
1
1
1
1
g (s)
تبدیل همانندی تابع انتقال را تغییر نمی دهد
13
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
معادالت فضای حالت همانند(معادل)
Equivalent state equation
کاربرد تبدیالت همانندی
•
یافتن سیستمهای همانند ساده تر
فرمهای کانونی ،فرم جردن ،فرم مودال و .............
•
مدرج سازی برای پیاده سازی بهتر
14
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation
معادالت فضای حالت همانند(معادل)
x 0.1 2 x 10
x 0
x 0.1u
1
x
y 0.2 1
x
کاربرد تبدیالت همانندی در مدرج سازی
مثال :5-4سیستم مقابل را در نظر بگیرید.
1
1
2
2
1
;)[y,x,t]=step(A,b,c,d
)plot(t,x,t,y
grid on
)')xlabel('Time(sec
2
برای پیاده سازی تماما خارج بازه ±10
x
1
تاثیر تبدیل همانندی بر خروجی y؟؟؟
تاثیر تبدیل همانندی بر حاالت x؟؟؟
xˆ 0.2 x , xˆ 200 x
2
2
1
y
1
0.2 0
xˆ Px
x15
0
200
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
0.01
2
x
lecture 4
Equivalent state equation
x 0.1 2 x 10
x 0
x 0.1u
1
x
y 0.2 1
x
1
xˆ Px
1
2
)معادالت فضای حالت همانند(معادل
Aˆ P A P
2
1
cˆ cP
2
1
1
کاربرد تبدیالت همانندی در مدرج سازی
xˆ
xˆ
xˆ
xˆ
1
bˆ Pb
dˆ d
1
2
y
2
u
xˆ
xˆ
1
2
xˆ
1
y
xˆ
±10 تمام متغیرها در بازه
2
16
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Zero state equivalent
هم ارز حالت صفر
تعریف :1-4دو دسته معادله فضای حالت را معادل (هم ارز) حالت صفر گویند اگر ماتریس
تابع انتقال آنها یکسان باشد.
مثال :4-4الف) آیا معادله فضای حالت زیر همانند هستند؟ معادل حالت صفر چطور؟
x 2 x u
yx
x 2 0 x 1
x 0 1 x 0u
x
y 1 1
x
1
1
2
2
1
2
واضح است که همانند نیستند.
1
s2
g (s)
معادالت فضای حالت داده شده معادل حالت صفر هستند.
17
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
1
s2
g (s)
lecture 4
Zero state equivalent
هم ارز حالت صفر
قضیه :1-4دو دسته معادالت حالت زیر معادل حالت صفر (دارای تابع انتقال یکسان )هستند
اگر و فقط اگر روابط زیر برقرار باشد.
w A w b u
x Ax bu
y cw du
y cx du
d d
m 0, 1, 2, ....
cA b c A b
m
m
اثبات :دو دسته معادالت حالت فوق دارای توابع انتقال زیر هستند:
d c( sI A) b d c ( sI A ) b
1
1
با استفاده از بسط سری داریم:
d cbs cAbs cA bs ... d c b s c Ab s c A b s ...
3
2
18
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2
1
3
2
2
1
lecture 4
پیاده سازی
Realization
معادالت فضای حالت
x Ax Bu
y Cx Eu
خروجی-توصیف ورودی
)(تابع انتقال
1
G(s) C(sI A) B E
This transformation
is unique
Realization
This transformation
is not unique
خروجی-توصیف ورودی
)(تابع انتقال
G(s) C(sI A) 1 B E
معادالت فضای حالت
x Ax Bu
y Cx Eu
برای چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضای حالتی وجود دارد؟:نکته مهم
19
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی
Realization
قضیه :2-4ماتریس انتقال ) Gqp(sقابل پیاده سازی اگر و فقط اگر ) G(sماتریس گویای مناسب باشد
اثبات :واضح است که برای اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد.
) G(sماتریس گویای مناسب
ماتریس انتقال ) G(sقابل پیاده سازی
ماتریس انتقال ) G(sقابل پیاده سازی
) G(sماتریس گویای مناسب
ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم:
x Ax Bu
چون ) G(sقابل پیاده سازی است لذا معادالت فضای حالت مقابل وجود دارد
y Cx Du
پس تابع انتقال برابر است با
..........................................
20
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
)adj ( sI A
G ( s ) C ( sI A) B D C
BD
sI A
1
lecture 4
پیاده سازی
Realization
قضیه :2-4ماتریس انتقال ) Gqp(sقابل پیاده سازی اگر و فقط اگر ) G(sماتریس گویای مناسب باشد
حال طرف دوم قضیه را اثبات می کنیم:
) G(sماتریس گویای مناسب
ماتریس انتقال ) G(sقابل پیاده سازی
) G(sماتریس گویای مناسب است لذا داریم:
1
N s N s ... N s N
G( s) G() G ( s) G ()
)d (s
r 2
r
r 1
در رابطه فوق:
r 1
1
2
sp
d ( s ) s s ... s
r 1
r
r 1
r
1
حال ادعا می کنیم معادالت فضای حالت سیستم عبارتست از
) C ( sI A) B D .... G ( s
1
21
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
u
I
0
x 0
0
p
p
p
p
p
I
0
0
r
p
p
p
0
p
... I
...
...
0
r 1
p
p
...
I
N x G ()u
r
r 1
p
I
0
I
p
2
p
p
0
... N
1
p
p
p
I
I
x 0
0
p
2
N
1
y N
lecture 4
پیاده سازی
Realization
ماتریس گویای مناسب باشدG(s) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگرGqp(s) ماتریس انتقال:2-4 قضیه
حال ادعا می کنیم معادالت فضای حالت سیستم عبارتست از
I
I
x 0
0
1
I
0
I
p
2
p
p
0
p
1
N
r 1
p
p
y N
... I
...
...
0
p
2
p
p
...
p
... N
r 1
I
I
0
0
r
p
p
0
p
p
N x G ()u
p
I
0
x 0
0
p
p
p
p
u
1
1
2
r
Z
Z
B ( sI A)
Z
sZ Z Z ... Z I
1
1
1
r
Z
Z
( sI A) B
Z
1
C ( sI A) B D .... G ( s )
2
2
r
r
1
2
r
sZ Z
1
sZ Z
2
2
3
sZ Z
sZ Z
4
3
r
r 1
sZ ...
I
Z 22
s
sDr. Ali Karimpour Oct 2013
2
P
1
1
r
r 1
1
P
lecture 4
پیاده سازی
Realization
ماتریس گویای مناسب باشدG(s) قابل پیاده سازی اگر و فقط اگرGqp(s) ماتریس انتقال:2-4 قضیه
I
I
x 0
0
1
I
0
I
p
2
p
p
0
p
1
r 1
p
p
y N
... I
...
...
0
p
N
2
p
...
p
... N
r 1
I
p
p
I
0
0
r
p
p
0
p
N x G ()u
p
I
0
x 0
0
p
p
p
p
u
حال ادعا می کنیم معادالت فضای حالت سیستم عبارتست از
C ( sI A) B D .... G ( s )
1
sZ Z
2
1
sZ Z
3
... sZ Z
r
r 1
r
sZ ...
s
s
s
s
Z
I
Z
I
d (s)
d (s)
Z
Z
1
N s
C ( sI A) B G () C
D
d (s)
Z
2
1
r
r 1
1
r 1
1
2
r 2
P
2
Z I
1
P
Z
r
P
1
I
d (s)
P
1
1
2
1
r
r 1
N s ... N G ()
r 2
2
r
23
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی
Realization
4 s 10
2s 1
G (s)
1
(2 s 1)( s 2)
3
s2
s 1
( s 2)
2
. معادالت فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید:6-4 مثال
3
12
3
4 s 10
2s 1
s 2 2 0
2s 1
s2
G(s)
1
s 1
1
s 1
0 0
(2 s 1)( s 2) ( s 2)
(2 s 1)( s 2) ( s 2)
2 0
6( s 2) 3( s 2)( s 0.5)
1
G( s)
0 0 s 4.5s 6s 2 0.5( s 2) ( s 1)( s 0.5)
2
2
2
3
2
6 3
2 0
24 7.5 24 3
1
G( s)
s
s 4.5s 6s 2 0 1
0.5 1.5 s 1
0
0
0.5
2
3
2
24
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی
Realization
4 s 10
2s 1
G (s)
1
(2 s 1)( s 2)
3
s2
s 1
( s 2)
2
. معادالت فضای حالتی سیستم مقابل را بدست آورید:6-4 مثال
6 3
2 0
24 7.5 24 3
1
G( s)
s
s 4.5s 6s 2 0 1
0.5 1.5 s 1
0
0
0
.
5
2
3
2
0
6 0
4.5
0
4.5 0 6
0
0
0
1
x
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
3
24 7.5
6
y
1
0.5 1.5
0
2
0 1 0
0 2 0 1
0
0 0 0
x
u
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
24 3 2 0
x
u
1
0.5 0 0
25
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی
Realization
u
u
y ( s ) G ( s )u ( s ) G ( s )
u
1
2
p
y( s) G( s)u( s) G ( s)u G ( s)u G ( s)u
c1
1
c2
2
cp
p
y(s) G( s)u(s) y ( s) y ( s) y (s)
c1
x A
x 0
c2
0 x b 0 u
A x 0 b u
x
y y y C C d
x
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
c1
c2
1
2
1
2
cp
u
d
u
1
2
2
26
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی
Realization
4 s 10
2s 1
G (s)
1
(2 s 1)( s 2)
3
s2
s 1
( s 2)
2
.آورید
معادالت فضای حالتی سیستم مقابل را بدست:7-4 مثال
:اول
4 s 10
2s 1
G (s)
1
(2 s 1)( s 2)
2
6( s 2)
1
G (s)
0 s 2.5s 1 0.5
ستون
:,1
:,1
2
:ستون دوم
3
G ( s ) ss 12
(
s
2
)
0
3( s 2)
1
G ( s)
0 s 4s 4 s 1
:, 2
2
:, 2
2
6 12
2
1
G ( s)
s
0
0
0
.
5
s
2
.
5
s
1
3 6
0
1
G ( s)
s
0
s
4
s
4
1 1
2.5 1
1
x
x 0 u
1
0
6 12
2
y
x
u
0 0 .5
0
4
x
1
3
y
1
:,1
1
c1
2
1
1
1
:, 2
2
c2
2
4
1
x
u
0
0
6
1
x
0 u
1
2
2
2
2
27
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی
Realization
4 s 10
2s 1
G (s)
1
(2 s 1)( s 2)
3
s2
s 1
( s 2)
2
.آورید
2.5 1
1
x
x u
0
1
0
6 12
2
y
x u
0 0 .5
0
1
c1
1
1
1
1
معادالت فضای حالتی سیستم مقابل را بدست:7-4 مثال
:ستون اول
4
x
1
3
y
1
2
c2
4
1
x u
0
0
6
1
x u
1
0
2
2
0 1 0
2.5 1 0
1
0
0
0 0 0 u
x
x
0 4 4 0 1 u
0
0
0
1
0
0
0
6 12 3 6 2 0 u
y
x
0 0.5 1 1 0 0 u
:ستون دوم
2
2
1
2
1
2
28
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
حل معادالت فضای حالت LTV
Solution of LTV state equation
در این بخش هدف حل معادالت مقابل است.
) x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t
) y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t
ابتدا قسمت همگن را حل می کنیم:
) x (t ) A(t ) x(t
تعریف (2-4ماتریس اساسی) :با فرض اینکه Aدارای ابعاد nnاست nشرط اولیه
مستقل ) x2(t0) ، x1(t0و xn(t0) ...در نظر میگیریم .فرض کنید ) x2(t) ، x1(tو
xn(t) ...پاسخ سیستم به شرایط اولیه انتخاب شده است در اینصورت ماتریس اساسی
بصورت زیر تعریف می شود.
X (t ) x (t ) x (t ) x (t )
n
29
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2
1
lecture 4
Solution of LTV state equation
LTV حل معادالت فضای حالت
. ماتریس اساسی سیستم مقابل را بدست آورید:8-4 مثال
0 0
x (t )
x(t )
t 0
.شرایط اولیه مستقل بصورت مقابل در نظر گرفته می شود
1
1
x (0) x (t )
0
1
0
.
5
t
1
X (t )
0
.
5
t
0
.
5
t
2
1
1
x (0) x (t )
2
0
.
5
t
2
.شرایط اولیه مستقل همچنین می تواند بصورت مقابل در نظر گرفته می شود
1
1
2
2
2
1
x (0)
0
1
0
x (0)
1
2
2
2
1
x (t )
0
.
5
t
0
x (t )
1
1
2
2
2
1
X (t )
0.5t
2
0
1
..... ماتریس اساسی
30 : نکته
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
حل معادالت فضای حالت LTV
Solution of LTV state equation
نکته :ماتریس اساسی ) X(tدر معادله همگن زیر صدق می کند.
) x (t ) A(t ) x(t
پس داریم:
) X (t ) A(t ) X (t
لم : 1-4ماتریس اساسی ) X(tبه ازای تمام زمانها غیر منفرد است.
31
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
حل معادالت فضای حالت LTV
Solution of LTV state equation
تعریف (3-4ماتریس گذار حالت):
فرض کنید ) X(tهر ماتریس اساسی معادله همگن زیر باشد:
) x (t ) A(t ) x(t
در اینصورت ماتریس گذار حالت بصورت زیر تعریف میشود:
) (t , t ) X (t ) X (t
1
0
ماتریس گذار حالت جواب منحصر بفرد دستگاه معادله زیر است:
) (t , t ) A(t )(t , t
t
(t , t ) I
0
0
0
32
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
0
0
lecture 4
Solution of LTV state equation
. ماتریس گذار حالت سیستم مقابل را بدست آورید:9-4 مثال
0 0
x (t )
x(t )
t 0
1
X (t )
0.5t
0.5t 2
2
1
(t , t ) X (t ) X (t )
0.5t
0.25t 1 0.5
0.5
0.5t 2 0.25t
0
0
1
X (t )
0.5t
2
1
1
2
0
2
2
0
0
1
2
1
(t , t ) X (t ) X (t )
0.5t
0
1
0
(t , t )
0.5(t t ) 1
0
2
2
0
و برای ماتریس اساسی بعدی
1
0
.در مثال قبل ماتریس اساسی سیستم محاسبه شد
1
2
LTV حل معادالت فضای حالت
2
0 1
1 0.5t
2
0
0
1
1
0
(t , t )
0.5(t t ) 1
0
2
2
0
..... ماتریس اساسی: نکته
33
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Property of state transition matrix
خواص ماتریس انتقال حالت
1-
Φ(t,t) = I
2-
Φ-1(t,t0)= Φ(t0,t)
3-
Φ(t2,t1)Φ(t1,t0) = Φ(t2,t0)
34
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
حل معادالت فضای حالت LTV
Solution of LTV state equation
در این بخش هدف حل معادالت مقابل بودx (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) .
ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از:
) y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t
x(t ) (t , t ) x (t , ) B( )u ( )d
t
t0
0
t0
(t , ) B( )u ( )d
برای اثبات ادعای فوق ابتدا باید نشان دهیم معادله فوق شرط اولیه را ارضا می کند:
t
t0
0
(t , t )x
t0
0
x(t ) (t , t ) x (t , ) B( )u( )d x
t0
t0
t0
t0
0
0
0
و همچنین باید رابطه داده شده در معادله باال صادق باشد:
) x (t ) ................................. A(t ) x(t ) B(t )u(t
پس خروجی عبارتست از:
) y(t ) C (t )(t , t ) x C (t ) (t , ) B( )u( )d D(t )u(t
t
35
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
t0
t0
0
lecture 4
Solution of LTV state equation
LTV حل معادالت فضای حالت
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) .در این بخش هدف حل معادالت مقابل بود
y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
:ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از
x(t ) (t , t ) x (t , ) B( )u ( )d
t
(t , t )x
0
0
t0
t0
(t , ) B( )u ( )d
t
t0
t0
0
:پس خروجی عبارتست از
y(t ) C (t )(t , t ) x C (t ) (t , ) B( )u( )d D(t )u(t )
t
0
t0
y(t ) C (t )(t , t ) x
0
t0
t0
x(t ) (t , t ) x
0
t0
y(t ) C (t ) (t , ) B( )u( )d D(t )u(t )
t
:پاسخ ورودی صفر عبارتست از
:پاسخ حالت صفر عبارتست از
t0
y(t ) C (t )(t , ) B( ) D(t ) (t )u( )d
t
t0
36
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Solution of LTV state equation
LTV حل معادالت فضای حالت
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) .در این بخش هدف حل معادالت مقابل بود
y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
:ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق عبارتست از
x(t ) (t , t ) x (t , ) B( )u ( )d
t
(t , t )x
0
t0
0
t0
t0
(t , ) B( )u ( )d
t
t0
0
:پس خروجی عبارتست از
y(t ) C (t )(t , t ) x C (t ) (t , ) B( )u( )d D(t )u(t )
t
0
t0
t0
:پاسخ حالت صفر عبارتست از
y(t ) C (t )(t , ) B( ) D(t ) (t )u( )d
t
t0
:قبال دیدیم
y(t ) G(t , )u( )d
t
t0
G(t , ) C (t )(t , ) B( ) D(t ) (t ) C (t ) X (t ) X ( ) B( ) D(t )37
(t )
1
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation for LTV systems
LTV معادالت فضای حالت همانند در سیستم
x Ax bu
Similaritytransformation
w Aˆ w bˆu
y cˆw dˆu
w Px
y cx du
Aˆ P A P 1
cˆ cP 1
bˆ Pb
dˆ d
عدم تغییر مقادیر ویژه و توابع انتقال یکسان:خواص مهم
: داریمLTV اما در مورد سیستمهای
x A(t ) x b(t )u
SimilarityLTV transformation
y c(t ) x d (t )u
w P(t)x
Aˆ (t ) .....
bˆ(t ) P(t ) b, cˆ(t ) cP (t ), dˆ d
1
w Aˆ (t ) w bˆ(t )u
y cˆ(t ) w dˆ (t )u
عدم تغییر پاسخ ضربه:خواص مهم
38
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation for LTV systems
LTV معادالت فضای حالت همانند در سیستم
x A(t ) x b(t )u
w Aˆ (t ) w bˆ(t )u
y cˆ(t ) w dˆ (t )u
Similarity LTV transformation
y c(t ) x d (t )u
w P(t)x
را بگونه ایP(t) ماتریس ثابت دلخواه باشد در اینصورت در رابطه باال تبدیلA0 فرض کنید:3-4 قضیه
Aˆ (t ) A می توان انتخاب نمود که
0
x A(t ) x b(t )u
SimilarityLTV transformation
y c(t ) x d (t )u
w P(t)x
w A w bˆ(t )u
y cˆ(t ) w dˆ (t )u
0
Fundumenta l matrix
Fundumenta l matrix
X (t )
W (t ) e
W (t ) e P(t ) X (t )
A0t
:اثبات
A0t
P(t ) e X (t )
A0t
Aˆ (t ) ............................ A
0
1
39
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation for LTV systems
LTV معادالت فضای حالت همانند در سیستم
داریمA0=0 در حالت خاص در قضیه قبل با فرض
W P(t ) x
40
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation for LTV systems
LTV معادالت فضای حالت همانند در سیستم
x A(t ) x b(t )u
y c(t ) x d (t )u
Similarity LTV transformation
w P(t)x
w Aˆ (t ) w bˆ(t )u
y cˆ(t ) w dˆ (t )u
تبدیل لیاپانوفی نامیده می شود اگرP(t) ماتریس:)(تبدیل لیاپانوفی4-4 تعریف
. غیر منفرد باشدP(t) -1
. پیوسته باشدP’(t) وP(t) -2
. کراندار باشدt برای تمامP-1(t) وP(t) -3
41
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Equivalent state equation for LTV systems
LTV معادالت فضای حالت همانند در سیستم
x 2 0 x 1
x 0 1 x 0u
x
y 1 1
x
1
1
2
2
برای سیستم مقابل تبدیل همانندی ای بیابید که:11-4 مثال
0 0
ˆ
A(t ) A
0 0
1
0
2
آیا تبدیل بدست آمده لیاپانوفی است؟.و سیستم جدید را نمایش دهید
:تبدیل همانندی مورد نظر عبارتست از
P(t ) e X (t )
A0t
1
1
1 0 e
P(t )
0
0
1
0
e
e
0
2 t
0
e
2t
t
e
ˆ
A(t ) P(t ) A P(t )P (t )
0
0 1 e
e
ˆ
b(t ) P(t )b(t )
0 e 0 0
2t
1
2t
2t
t
t
.تبدیل بدست آمده لیاپانوفی نیست
0 2 0 2e
0
0 0
P (t )
e 0 1 0 e
0 0
e dˆ42(t ) 0
cˆ(t ) c(t ) P (t ) e
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2t
1
t
t
1
2 t
t
lecture 4
Realization for LTV systems
معادالت فضای حالت
LTV پیاده سازی سیستمهای
This transformation
پاسخ ضربه
is unique
G (t , ) C (t ) X (t ) X ( ) B( )
x A(t ) x B (t )u
1
y C (t ) x D (t )u
پاسخ ضربه
G (t , ) C (t ) X (t ) X ( ) B( )
D(t ) (t )
Realization
1
D(t ) (t )
This transformation
is not unique
معادالت فضای حالت
x A(t ) x B (t )u
y C (t ) x D (t )u
برای چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضای حالتی وجود دارد؟:نکته مهم
43
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی سیستمهای LTV
Realization for LTV systems
قضیه :4-4ماتریس پاسخ ضربه ) Gqp(t,قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر بتوان ) G(t,را بصورت زیر
بیان نمود.
) G(t , ) M (t ) N ( ) D(t ) (t
اثبات :واضح است که برای اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد.
) G(t , ) M (t ) N ( ) D(t ) (t
ماتریس پاسخ ضربه ) G(t,قابل پیاده
سازی
ماتریس پاسخ ضربه ) G(t,قابل پیاده
سازی
) G(t , ) M (t ) N ( ) D(t ) (t
ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم:
چون پاسخ ضربه ) G(t,قابل پیاده سازی است لذا معادالت فضای حالت مقابل وجود دارد
پس پاسخ ضربه عبارتست از:
x A(t ) x B (t )u
y C (t ) x D (t )u
) G(t , ) C (t )(t , ) B( ) D(t ) (t ) ......... M (t ) N ( ) D(t ) (t
44
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
پیاده سازی سیستمهای LTV
Realization for LTV systems
قضیه :4-4ماتریس پاسخ ضربه ) Gqp(t,قابل پیاده سازی اگر و فقط اگر بتوان ) G(t,را بصورت زیر
) G(t , ) M (t ) N ( ) D(t ) (t
بیان نمود.
حال به اثبات قسمت دوم می پردازیم:
ماتریس پاسخ ضربه ) G(t,قابل پیاده
سازی
) G(t , ) M (t ) N ( ) D(t ) (t
ادعا می کنیم معادالت فضای حالت سیستم مقابل عبارتست از:
) G(t , ) C (t )(t , ) B( ) D(t ) (t
) M (t ) IN ( ) D(t ) (t
) M (t ) N ( ) D(t ) (t
45
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
0 0
x
x N (t )u
0 0
y M (t ) x D (t )u
lecture 4
Realization for LTV systems
LTV پیاده سازی سیستمهای
در صورت امکان یک پیاده سازی. را در نظر بگیریدg(t)=teλt پاسخ ضربه:12-4 مثال
. بدست آوریدLTV و یک پیاده سازیLTI
g (t ) te
t
: LTI پیاده سازی
2 1
x
x u
0 0
1
y 0 1x
2
1
1
g (s)
( s ) s 2 s
2
2
g (t ) (t )e
g (t ) e
2
: LTV پیاده سازی
( t )
t
e
te
e
t
0 0 te
x
x u
0 0 e
y e te x
t
t
t
t
46
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
تمرینها
تمرین :1-4معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید:
1
مطلوبست پاسخ سیستم به شرط اولیه 1
Exercises
0 1
x
x
1 0
تمرین :2-4مطلوبست پاسخ پله واحد سیستم مقابل به پله واحد(شرط اولیه صفر است)
1 1
0
x
x u
2 2 1
y 2 3x
تمرین :3-4مطلوبست فرم کانونی و فرم مودال سیستم مقابل:
47
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
0
2 0
1
x 1
0
1 x 0 u
0 2 2
1
y 1 1 0x
lecture 4
Exercises
تمرینها
0
2 0
1
x 1
0
1 x 0 u
0 2 2
1
y 1 1 0x
تمرین :4-4معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید:
تبدیل همانندی ای بیابید که دامنه متغیرهای حالت با خروجی یکسان باشد .اگر به ورودی
پله با دامنه aاعمال شود مقدار aرا بگونه ای تنظیم کنید که کلیه حاالت و خروجی در
بازه ±10باشد.
تمرین :5-4معادله حاالت مقابل را در نظر بگیرید آیا این دو معادله حالت همانند هستند؟
آیا هم ارز حالت صفر هستند.
1
1
2 1 x 1 u
0 1
0
1 0x
1
48
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2
x 0
0
y 1
1 2
1
2 2 x 1 u
0 1
0
1 0x
2
x 0
0
y 1
lecture 4
Exercises
تمرینها
تمرین :6-4پیاده سازی ماتریس انتقال مقابل را بیابید:
2s 3
( s 1)( s 2)
s
s2
2
s 1
G(s)
s
2
s 1
تمرین :7-4پیاده سازی ماتریس انتقال مقابل را از طریق یافتن معادله حالت برای هر ستون و
الحاق آنها را بیابید:
2s 3
( s 1)( s 2)
s
s2
49
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
2
s 1
G(s)
s 2
s 1
lecture 4
Exercises
تمرینها
تمرین :8-4ماتریس اساسی و ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید0 1 :
x
x
0 t
تمرین :9-4ماتریس اساسی و ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید:
1 e
x
x
0 1
تمرین :10-4ماتریس اساسی و ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید:
x
cos t
0
2t
sin t
x
0
تمرین :11-4یک سیستم غیر متغیر با زمان برای سیستم مقابل بیابید:
50
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
0
sin t
x
x
cos t
0
lecture 4
Exercises
تمرینها
تمرین :12-4در صورت امکان یک پیاده سازی LTIو یک پیاده سازی LTVبرای سیستم
مقابل بیابید.
g (t ) t 2 e t
تمرین :13-4در صورت امکان یک پیاده سازی LTIو یک پیاده سازی LTVبرای سیستم
مقابل بیابید.
) ( t
) cos
g (t , ) sin t (e
تمرین :14-4برای ماتریس
نشان دهید:
a (t ) a (t )
A
a (t ) a (t )
12
11
22
21
det (t , t ) exp a ( ) a ( )d
t
22
11
t0
0
تمرین :15-4نشان دهید که X(t)=eAtCeBtجواب معادله زیر است:
X AX XB X (0) C
51
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Exercises
تمرینها
(t , t ) (t , t )
(t , t )
(
t
,
t
)
(
t
,
t
)
11
0
12
0
21
0
22
0
فرض کنید:16-4 تمرین
0
A (t )
x
0
A (t )
x
A (t )
11
:ماتریس انتقال حالت سیستم مقابل است
12
22
(t , t ) 0 for all t and t
21
0
:نشان دهید که
0
t (t , t ) A (t , t ) for i 1, 2
ii
0
ii
ii
0
نشان دهید که جواب معادله:17-4 تمرین
X (t ) A X (t ) X (t ) A
1
1
X (t ) e X (0)e
A1t
A1t
:عبارتست از
. مستقل استt ازX(t) همچنین مقادیر ویژه
و
52
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 4
Answers to selected problems
cos t sin t
x(t )
cos
t
sin
t
y (t ) 5e sin t for t 0
t
:1-4 جواب
:2-4 جواب
. همانند نیستند ولی هم ارز حالت صفر هستند:5-4 جواب
3 0 2 0
1
0 3 0 2
0
x
x
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
2
4 3
2
0
y
x
1
3 2 6 2
:6-4 جواب
0
1
u
0
0
0
u
53
1 Dr. Ali Karimpour
Oct 2013
lecture 4
Answers to selected problems
:8-4 جواب
:9-4 جواب
:10-4 جواب
:12-4 جواب
54
Dr. Ali Karimpour Oct 2013