Transcript Lecture 14

LINEAR CONTROL
SYSTEMS
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Lecture 14
Lecture 14
Root Locus Technique
Topics to be covered include:

Root locus criterion.

Root loci (RL).
Complement root loci (CRL).

Complete root loci.


Property and construction of complete root loci.
2
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Root locus
‫مکان ریشه ها‬
Root locus, shows the position of roots of the following equation
for different values of k
k ‫ موقعیت ریشه های معادله زیر را بر حسب مقادیر مختلف‬،‫مکان ریشه ها‬
.‫نشان می دهد‬
1  kf ( s )  0
Root loci (RL)
kR

Complement root loci (CRL)
kR

Complete root loci
kR
3
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Root locus
‫مکان ریشه ها‬
r
Suppose:
+
-
Closed loop system is:
M (s) 
kG ( s )
1  kG ( s )
c1
e
kG ( s )
Characteristic equation is:
1  kG ( s )  0
Root locus, shows the position of roots of above equation for different
values of k
k ‫ موقعیت ریشه های معادله فوق را بر حسب مقادیر مختلف‬،‫مکان ریشه ها‬
.‫نشان می دهد‬
4
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
1  kf ( s )  0
Which points lie on the root loci?
‫چه نقاطی بر روی مکان ریشه قرار دارند؟‬
f (s)  R
‫شرط زاویه‬
Condition of angle
f (s)  R
f (s)  R

k 0

k 0
Condition of magnitude
‫شرط اندازه‬
k 
1
f (s)
5
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
Rule 1: Specify the equation exactly in the following form.
.‫ سیستم را دقیقا بصورت زیر بیان کنید‬:‫قانون اول‬
1  kf ( s )  0
3s  1
2
s  3 ks  6 s  k  0
3
2
How many branches in root loci?
It is :
1 k
s  6s
3
0
‫چند شاخه در مکان ریشه ها؟‬
No. of branches
 max( m , n )
6
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1  kf ( s )  0
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on
the poles of f(s) for k=0 and lies on the zeros of f(s) for k=±∞
‫ روی قطبهای‬k=0 ‫ مکان ریشه در‬.‫ را مشخص کنید‬f(s) ‫ قطب و صفرهای‬:2 ‫قانون‬
.‫ قرار دارد‬f(s) ‫ روی صفرهای‬k=±∞ ‫ و در‬f(s)
1 k
1
s ( s  20 )
k 
0
k  
k 0
k 0

-20
k 
k 0

k  100
k 0
k  
0
7
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1  kf ( s )  0
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k.
‫ مشخص کنید‬k ‫ محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی‬:3 ‫قانون‬
1 k
1
s ( s  20 )
k 
0
k  
k 0
k 0

-20
k 
k 0

k  100
k 0
k  
0
8
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1  kf ( s )  0
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes for positive and
negative values of k. 
( 2 m  1) 
Asymptotes center
number
of asymptotes
 n p  nz
k  0  
n p  nz


k  0   2m 

n p  nz

m  0 ,1, 2 ,...
np
m  0 ,1, 2 ,...
 

i 1
nz
pi 
z
i
i 1
n p  nz
.‫ تعیین کنید‬k ‫ مجانبها و محل تالقی مجانبها را برای مقادیر مثبت و منفی‬:4 ‫قانون‬
1 k
1
s ( s  20 )
k 
0
k  
k 0
k 0

-20
k 
k 0

k  100
k 0
k  
0
9
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1  kf ( s )  0
Rule 5: Find the break point.
k 
1 k
1
s ( s  20 )
1
k
f (s)
s
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
.‫ نقطه شکست را بیابید‬:5 ‫قانون‬
0
s  break point
k 
0
k  
k 0
k 0

-20
k 0

k  100
k 0
k  
0
k 
k
k   s  20 s
2
s
  2 s  20  0
s   10
10
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1  kf ( s )  0
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh
Hurwitz criteria.
.‫ نقطه تالقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید‬:6 ‫قانون‬
1 k
1
s ( s  20 )
k 
0
k  
k 0
k 0

-20
k 0

k  100
k 0
k  
0
s  20 s  k  0
2
k 
k  0 is the cross point of root locus and imaginary
axis (s  0)
11
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Example 2: ِDraw the complete root loci of the following
system.
.‫ مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید‬:2 ‫مثال‬
1 k
1
s ( s  5 )( s  10 )
0
Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form.
.‫ سیستم را دقیقا بصورت استاندارد بیان کنید‬:‫قانون اول‬
Clearly it is ok
12
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s  5 )( s  10 )
0
Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on
the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞
‫ روی قطبهای‬k=0 ‫ مکان ریشه در‬.‫ را مشخص کنید‬f(s) ‫ قطب و صفرهای‬:2 ‫قانون‬
.‫ قرار دارد‬f(s) ‫ روی صفرهای‬k=±∞ ‫ و در‬f(s)
k 0
k 0


 10
5

k 0
0
13
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s  5 )( s  10 )
0
Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k.
‫ مشخص کنید‬k ‫ محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی‬:3 ‫قانون‬
k 
k 0
k 0

 10
k 0
k 0

5
k 0

k 0
k 0
k  
0
14
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s  5 )( s  10 )
0
Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes .
Asymptotes
np
 

i 1
.‫ مجانبها و محل تالقی مجانبها‬:4 ‫قانون‬
center
( 2 m  1) 
 3 5 

k

0



,
,

3
3
3
n p  nz


 k  0   2 m   0 , 2 , 4

3
3
n p  nz

nz
pi 
z
i 1
n p  nz
k 
i

 10  5
 5
3
k 0
k 0

 10
k 0
k 0

5
k 0

k 0
k 0
k  
0
15
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1  kf ( s )  0
Rule 5: Find the break point.
k 
1
k
f (s)
s
0
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
.‫ نقطه شکست را بیابید‬:5 ‫قانون‬
s  break point
16
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s  5 )( s  10 )
.‫ نقطه شکست را بیابید‬:5 ‫قانون‬
Rule 5: Find the break point.
k 
1
k
  s ( s  5 )( s  10 )
s
f (s)
0
  3 s  30 s  50
2
s   7 . 89 ,  2 . 11
  s  15 s  50 s
3
2
?
k 
k 0
k 0

 10
k 0
k 0

k 0

5
k 0
k 0
k  
0
?
17
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1  kf ( s )  0
‫نحوه رسم مکان ریشه ها‬
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh
Hurwitz criteria.
.‫ نقطه تالقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید‬:6 ‫قانون‬
18
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1
1 k
 0 ‫ نقطه تالقی با محور موهومی‬:6 ‫قانون‬
s ( s  5 )( s  10 )
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis
s ( s  5 )( s  10 )  k  0
s
3
1
50
s
2
15
k
15 s  750  0
s   j 7 . 07
0
750  k  0
k  750
750  k
s
15
s
0
2
k
7 . 07 j
k 
k 0
k 0

 10
k 0
k 0

5
k 0

k 0
k 0
k  
0
19
 7 . 07 j
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s  5 )( s  10 )
0
7 . 07
k 
k 0
k 0

 10
k 0
k 0

5
k 0

k 0
k 0
k  
0
 7 . 07
20
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s  5 )( s  10 )
0
rlocus(1,[1 15 50 0]); hold on; rlocus(-1,[1 15 50 0])
Locus
Root
Root
Locus
Locus
Root
Root
Locus
10 10
20 20
Imaginary Axis
Imaginary Axis
40 40
Imaginary Axis
Imaginary Axis
20 20
0 0
-20-20
-10-10
-20-20
-30-30
0 0
-20-20
-10-10
Axis
Real
Real
Axis
0 0
10 10
-40-40
-40-40
-20-20
0 0
20 20
Axis
Real
Real
Axis
21
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 3: ِDraw the complete root loci of following
system.
Lecture 14
.‫ مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید‬:3 ‫مثال‬
1  10
( s  k )( s  3 )
s ( s  1)
2
0
Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form.
.‫ سیستم را دقیقا بصورت زیر استاندارد کنید‬:‫قانون اول‬
s ( s  1)  10 ( s  k )( s  3 )  0
2
1 k
10 ( s  3 )
s ( s  10 s  29 )
2
0
22
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Example 4:
1 k
10 ( s  3 )
s ( s  10 s  29 )
2
0
Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on
the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞
‫ روی قطبهای‬k=0 ‫ مکان ریشه در‬.‫ را مشخص کنید‬f(s) ‫ قطب و صفرهای‬:2 ‫قانون‬
.‫ قرار دارد‬f(s) ‫ روی صفرهای‬k=±∞ ‫ و در‬f(s)
k 0

5
k 0
2
3

k 0

23
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 4:
1 k
Lecture 14
10 ( s  3 )
s ( s  10 s  29 )
2
0
Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k.
‫ مشخص کنید‬k ‫ محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی‬:3 ‫قانون‬
k 0
k  
k 0

5
k 0
2
k   k  0
3

k 0
k  
k 0

24
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 4:
1 k
Lecture 14
10 ( s  3 )
s ( s  10 s  29 )
2
0
Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes .
Asymptotes
 
np

i 1
.‫ مجانبها و محل تالقی مجانبها‬:4 ‫قانون‬
center
( 2 m  1) 
 3

k

0



,

2 2
n p  nz


 k  0   2 m   0 , 2

2
n p  nz

nz
pi 
z
i 1
n p  nz
i

 10  (  3 )
  3 .5
2
k 0
k  
k 0

5
k 0
2
k   k  0
3

k 0
k  
k 0

25
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 4:
1 k
10 ( s  3 )
s ( s  10 s  29 )
2
Rule 5: Find the break point.
k 
1
s
1 ( s  10 s  29 s )

2
( s  3)
10
1 ( 3 s  20 s  29 )( s  3 )  ( s  10 s  29 s )
2

0
.‫ نقطه شکست را بیابید‬:5 ‫قانون‬
3
f (s)
k
Lecture 14
3
( s  3)
10
k 0
k  
k 0

5
k 0
2
2
s   5 . 47
0
2
k   k  0
3

k 0
k  
k 0

26
Dr. Ali Karimpour May 2013
1 k
10 ( s  3 )
Lecture 14
s ( s  10 s  29 )
2
0
‫ نقطه تالقی با محور موهومی‬:6 ‫قانون‬
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis
s  10 s  ( 29  10 k ) s  30 k  0
3
2
s
3
1
29  10 k
s
2
10
30 k
s
1
29  7 k
0
s
0
30 k

k 0
?
k 0
k  
k 0

5
k 0
We need another rule.
2
k   k  0
3

k 0
k  
k 0

.‫به قانون دیگری نیاز داریم‬
27
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
‫تمرینها‬
1- The transfer function of a single-loop control system are given as:
G (s) 
10
H (s)  1  Td s
s ( s  1)( s  3 )
2
Construct the root loci of the Zeros of 1+G(s)H(s)=0 for -∞<Td<∞
2- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
.
system is:
G (s)  K
e
 0 .1 s
s ( s  1)( s  2 )
Constract the complete root loci of the characteristic equation.
28
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
‫تمرینها‬
3- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
G p (s) 
K
( s  5)
n
Construct the complete root loci of the characteristic equation for
Let n=1, n=2 , n=3 and n=4
4- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
G (s) 
K ( s   )( s  3 )
s ( s  1)
2
a) Construct the root loci for -∞<K<∞ , with α=5 .
b) Construct the root loci for -∞< α <∞ , with K =5 .
29
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
‫تمرینها‬
5- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
500 p
G (s) 
s ( s  10 )( s  p )
Construct the root loci for 0<p<∞
6- Consider following system
1  k1
1 s
s
3
0
Construct the root loci for 0<k1<∞
30
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
‫تمرینها‬
7- Consider following system
1  k2
s
2
s  k1 s  k1
3
0
For k1=0, k1=1 1nd k1=10 construct the root loci for 0<k2<∞ .
8- Construct the root loci of the closed loop poles of the following
system for 0<a<∞(Midterm spring 2008).
R(s) +
1
-
s
+
1
-
C(s)
s2
a
31
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
‫تمرینها‬
9- Find the root-locus graph for the following system.
The Answer :
32
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
‫تمرینها‬
10- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
10
G (s) 
s(s  p)
Construct the root loci for 0<p<∞(Final 1391)
33
Dr. Ali Karimpour May 2013