Transcript Lecture 14
LINEAR CONTROL
SYSTEMS
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Lecture 14
Lecture 14
Root Locus Technique
Topics to be covered include:
Root locus criterion.
Root loci (RL).
Complement root loci (CRL).
Complete root loci.
Property and construction of complete root loci.
2
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Root locus
مکان ریشه ها
Root locus, shows the position of roots of the following equation
for different values of k
k موقعیت ریشه های معادله زیر را بر حسب مقادیر مختلف،مکان ریشه ها
.نشان می دهد
1 kf ( s ) 0
Root loci (RL)
kR
Complement root loci (CRL)
kR
Complete root loci
kR
3
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Root locus
مکان ریشه ها
r
Suppose:
+
-
Closed loop system is:
M (s)
kG ( s )
1 kG ( s )
c1
e
kG ( s )
Characteristic equation is:
1 kG ( s ) 0
Root locus, shows the position of roots of above equation for different
values of k
k موقعیت ریشه های معادله فوق را بر حسب مقادیر مختلف،مکان ریشه ها
.نشان می دهد
4
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
نحوه رسم مکان ریشه ها
1 kf ( s ) 0
Which points lie on the root loci?
چه نقاطی بر روی مکان ریشه قرار دارند؟
f (s) R
شرط زاویه
Condition of angle
f (s) R
f (s) R
k 0
k 0
Condition of magnitude
شرط اندازه
k
1
f (s)
5
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
نحوه رسم مکان ریشه ها
Rule 1: Specify the equation exactly in the following form.
. سیستم را دقیقا بصورت زیر بیان کنید:قانون اول
1 kf ( s ) 0
3s 1
2
s 3 ks 6 s k 0
3
2
How many branches in root loci?
It is :
1 k
s 6s
3
0
چند شاخه در مکان ریشه ها؟
No. of branches
max( m , n )
6
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1 kf ( s ) 0
نحوه رسم مکان ریشه ها
Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on
the poles of f(s) for k=0 and lies on the zeros of f(s) for k=±∞
روی قطبهایk=0 مکان ریشه در. را مشخص کنیدf(s) قطب و صفرهای:2 قانون
. قرار داردf(s) روی صفرهایk=±∞ و درf(s)
1 k
1
s ( s 20 )
k
0
k
k 0
k 0
-20
k
k 0
k 100
k 0
k
0
7
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1 kf ( s ) 0
نحوه رسم مکان ریشه ها
Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k.
مشخص کنیدk محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی:3 قانون
1 k
1
s ( s 20 )
k
0
k
k 0
k 0
-20
k
k 0
k 100
k 0
k
0
8
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1 kf ( s ) 0
نحوه رسم مکان ریشه ها
Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes for positive and
negative values of k.
( 2 m 1)
Asymptotes center
number
of asymptotes
n p nz
k 0
n p nz
k 0 2m
n p nz
m 0 ,1, 2 ,...
np
m 0 ,1, 2 ,...
i 1
nz
pi
z
i
i 1
n p nz
. تعیین کنیدk مجانبها و محل تالقی مجانبها را برای مقادیر مثبت و منفی:4 قانون
1 k
1
s ( s 20 )
k
0
k
k 0
k 0
-20
k
k 0
k 100
k 0
k
0
9
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1 kf ( s ) 0
Rule 5: Find the break point.
k
1 k
1
s ( s 20 )
1
k
f (s)
s
نحوه رسم مکان ریشه ها
. نقطه شکست را بیابید:5 قانون
0
s break point
k
0
k
k 0
k 0
-20
k 0
k 100
k 0
k
0
k
k
k s 20 s
2
s
2 s 20 0
s 10
10
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1 kf ( s ) 0
نحوه رسم مکان ریشه ها
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh
Hurwitz criteria.
. نقطه تالقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید:6 قانون
1 k
1
s ( s 20 )
k
0
k
k 0
k 0
-20
k 0
k 100
k 0
k
0
s 20 s k 0
2
k
k 0 is the cross point of root locus and imaginary
axis (s 0)
11
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Example 2: ِDraw the complete root loci of the following
system.
. مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید:2 مثال
1 k
1
s ( s 5 )( s 10 )
0
Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form.
. سیستم را دقیقا بصورت استاندارد بیان کنید:قانون اول
Clearly it is ok
12
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s 5 )( s 10 )
0
Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on
the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞
روی قطبهایk=0 مکان ریشه در. را مشخص کنیدf(s) قطب و صفرهای:2 قانون
. قرار داردf(s) روی صفرهایk=±∞ و درf(s)
k 0
k 0
10
5
k 0
0
13
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s 5 )( s 10 )
0
Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k.
مشخص کنیدk محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی:3 قانون
k
k 0
k 0
10
k 0
k 0
5
k 0
k 0
k 0
k
0
14
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s 5 )( s 10 )
0
Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes .
Asymptotes
np
i 1
. مجانبها و محل تالقی مجانبها:4 قانون
center
( 2 m 1)
3 5
k
0
,
,
3
3
3
n p nz
k 0 2 m 0 , 2 , 4
3
3
n p nz
nz
pi
z
i 1
n p nz
k
i
10 5
5
3
k 0
k 0
10
k 0
k 0
5
k 0
k 0
k 0
k
0
15
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1 kf ( s ) 0
Rule 5: Find the break point.
k
1
k
f (s)
s
0
نحوه رسم مکان ریشه ها
. نقطه شکست را بیابید:5 قانون
s break point
16
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s 5 )( s 10 )
. نقطه شکست را بیابید:5 قانون
Rule 5: Find the break point.
k
1
k
s ( s 5 )( s 10 )
s
f (s)
0
3 s 30 s 50
2
s 7 . 89 , 2 . 11
s 15 s 50 s
3
2
?
k
k 0
k 0
10
k 0
k 0
k 0
5
k 0
k 0
k
0
?
17
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
The Root Locus procedure
1 kf ( s ) 0
نحوه رسم مکان ریشه ها
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis by Routh
Hurwitz criteria.
. نقطه تالقی با محور موهومی را توسط روش روت هرویتز تعیین کنید:6 قانون
18
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1
1 k
0 نقطه تالقی با محور موهومی:6 قانون
s ( s 5 )( s 10 )
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis
s ( s 5 )( s 10 ) k 0
s
3
1
50
s
2
15
k
15 s 750 0
s j 7 . 07
0
750 k 0
k 750
750 k
s
15
s
0
2
k
7 . 07 j
k
k 0
k 0
10
k 0
k 0
5
k 0
k 0
k 0
k
0
19
7 . 07 j
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s 5 )( s 10 )
0
7 . 07
k
k 0
k 0
10
k 0
k 0
5
k 0
k 0
k 0
k
0
7 . 07
20
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
1 k
1
s ( s 5 )( s 10 )
0
rlocus(1,[1 15 50 0]); hold on; rlocus(-1,[1 15 50 0])
Locus
Root
Root
Locus
Locus
Root
Root
Locus
10 10
20 20
Imaginary Axis
Imaginary Axis
40 40
Imaginary Axis
Imaginary Axis
20 20
0 0
-20-20
-10-10
-20-20
-30-30
0 0
-20-20
-10-10
Axis
Real
Real
Axis
0 0
10 10
-40-40
-40-40
-20-20
0 0
20 20
Axis
Real
Real
Axis
21
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 3: ِDraw the complete root loci of following
system.
Lecture 14
. مکان کامل ریشه ها را در سیستم زیر بیابید:3 مثال
1 10
( s k )( s 3 )
s ( s 1)
2
0
Rule 1: Specify the equation exactly in the standard form.
. سیستم را دقیقا بصورت زیر استاندارد کنید:قانون اول
s ( s 1) 10 ( s k )( s 3 ) 0
2
1 k
10 ( s 3 )
s ( s 10 s 29 )
2
0
22
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Example 4:
1 k
10 ( s 3 )
s ( s 10 s 29 )
2
0
Rule 2: Specify the poles and zeros of f(s). The root loci lie on
the poles of f(s) for k=0 and lie on the zeros of f(s) for k=±∞
روی قطبهایk=0 مکان ریشه در. را مشخص کنیدf(s) قطب و صفرهای:2 قانون
. قرار داردf(s) روی صفرهایk=±∞ و درf(s)
k 0
5
k 0
2
3
k 0
23
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 4:
1 k
Lecture 14
10 ( s 3 )
s ( s 10 s 29 )
2
0
Rule 3: Define the real axis section for positive and negative value of k.
مشخص کنیدk محور حقیقی را برای مقادیر مثبت و منفی:3 قانون
k 0
k
k 0
5
k 0
2
k k 0
3
k 0
k
k 0
24
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 4:
1 k
Lecture 14
10 ( s 3 )
s ( s 10 s 29 )
2
0
Rule 4: Find the asymptotes and centered of asymptotes .
Asymptotes
np
i 1
. مجانبها و محل تالقی مجانبها:4 قانون
center
( 2 m 1)
3
k
0
,
2 2
n p nz
k 0 2 m 0 , 2
2
n p nz
nz
pi
z
i 1
n p nz
i
10 ( 3 )
3 .5
2
k 0
k
k 0
5
k 0
2
k k 0
3
k 0
k
k 0
25
Dr. Ali Karimpour May 2013
Example 4:
1 k
10 ( s 3 )
s ( s 10 s 29 )
2
Rule 5: Find the break point.
k
1
s
1 ( s 10 s 29 s )
2
( s 3)
10
1 ( 3 s 20 s 29 )( s 3 ) ( s 10 s 29 s )
2
0
. نقطه شکست را بیابید:5 قانون
3
f (s)
k
Lecture 14
3
( s 3)
10
k 0
k
k 0
5
k 0
2
2
s 5 . 47
0
2
k k 0
3
k 0
k
k 0
26
Dr. Ali Karimpour May 2013
1 k
10 ( s 3 )
Lecture 14
s ( s 10 s 29 )
2
0
نقطه تالقی با محور موهومی:6 قانون
Rule 6: Find the cross of root locus with imaginary axis
s 10 s ( 29 10 k ) s 30 k 0
3
2
s
3
1
29 10 k
s
2
10
30 k
s
1
29 7 k
0
s
0
30 k
k 0
?
k 0
k
k 0
5
k 0
We need another rule.
2
k k 0
3
k 0
k
k 0
.به قانون دیگری نیاز داریم
27
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
تمرینها
1- The transfer function of a single-loop control system are given as:
G (s)
10
H (s) 1 Td s
s ( s 1)( s 3 )
2
Construct the root loci of the Zeros of 1+G(s)H(s)=0 for -∞<Td<∞
2- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
.
system is:
G (s) K
e
0 .1 s
s ( s 1)( s 2 )
Constract the complete root loci of the characteristic equation.
28
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
تمرینها
3- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
G p (s)
K
( s 5)
n
Construct the complete root loci of the characteristic equation for
Let n=1, n=2 , n=3 and n=4
4- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
G (s)
K ( s )( s 3 )
s ( s 1)
2
a) Construct the root loci for -∞<K<∞ , with α=5 .
b) Construct the root loci for -∞< α <∞ , with K =5 .
29
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
تمرینها
5- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
500 p
G (s)
s ( s 10 )( s p )
Construct the root loci for 0<p<∞
6- Consider following system
1 k1
1 s
s
3
0
Construct the root loci for 0<k1<∞
30
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
تمرینها
7- Consider following system
1 k2
s
2
s k1 s k1
3
0
For k1=0, k1=1 1nd k1=10 construct the root loci for 0<k2<∞ .
8- Construct the root loci of the closed loop poles of the following
system for 0<a<∞(Midterm spring 2008).
R(s) +
1
-
s
+
1
-
C(s)
s2
a
31
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
تمرینها
9- Find the root-locus graph for the following system.
The Answer :
32
Dr. Ali Karimpour May 2013
Lecture 14
Exercises
تمرینها
10- The open loop transfer function of a unity-feedback (negative sign)
system is:
10
G (s)
s(s p)
Construct the root loci for 0<p<∞(Final 1391)
33
Dr. Ali Karimpour May 2013