در بدست آوردن عکس تبديل Z
Download
Report
Transcript در بدست آوردن عکس تبديل Z
بسم ا ...الرحمن الرحيم
درس کنترل ديجيتال
مهر 1389
دکتر حسين بلندي -دکتر سید مجید اسما عیل زاده
عکس تبديل z
روشهای عکس تبديل z
-1روش تقسيم مستقيم
-2روش محاسبه ای
-3روش گسترش کسرهای جزيی
-4روش انتگرال معکوس سازی
تذکرمجدد :
در بدست آوردن عکس تبديل ، Zفرض می کنيم که دنباله زمانی ) x(kيا
) x(kTبرای k<0صفر است
-1روش تقسيم مستقيم
عکس تبديل Zبا گسترش ) X(zبه يک سری توانی بی پايان از
1
z
اين روش زمانی سودمند است که بدست آوردن صورت بسته برای عکس
تبديل zدشوار باشد يا تنها چند جمله اول ) x(kمورد نظر باشد.
اين روش از تعريف تبديل zحاصل می شود .يعنی :
k
X ( z ) x( kT ) z
k 0
...
k
... x( kT ) z
2
x( 2T ) z
1
x(0) x(T ) z
مثال :عکس تبديل zتابع زير را برای k=0,1,2,3,4محاسبه نماييد
10 z 5
)( z 1)( z 0.2
X ( z)
حل :
2
2
از تقسيم صورت بر مخرج داريم :
5z
0.2 z
1
1
10 z
1 1.2 z
X ( z)
مثال :عکس تبديل zتابع زير را محاسبه نماييد
3
4z
2
3z
1
X ( z) 1 2z
حل :با مقايسه رابطه فوق با تعريف تبديل zداريم :
...
k
... x(kT ) z
2
x(2T ) z
1
x(0) 0
x(1) 2
x( 2) 3
x(3) 4
مقادير تمام ) x(kهای ديگر صفر است.
X ( z ) x(0) x(T ) z
-2روش محاسباتی
-3روش گسترش کسر جزئی
حالت اول :اگر ) X(zدارای يک صفر در مبدا باشد ): (z=0
در اين حالت X(z)/zرا به صورت مجموع جمالت مرتبه اول و دوم ساده گسترش می دهيم.
سپس برای بدست آوردن عکس تبديل zتابع ) X(zاز قضيه انتقال استفاده می کنيم :
1
مثال :
1
حل :
1
1
k
z
1 az
1 az
X ( z)
zX ( z ) Y ( z )
1
Z [Y ( z )] y ( k ) a
1
)X ( z) z Y ( z
y ( k 1) a
x(k )
k 1,2,3,...
k 1
k 0
0
: (z=0) دارای قطبهای ساده و حداقل يک صفر در مبدا باشدX(z) اگر: حالت کلی
1
Z [ X ( z )] x( k ) y ( k 1)
=0
X ( z)
z
a
1
(z
p)
a
(z
1
a
i
[( z
p)
i
X ( z)
z
2
p)
2
]
z pi
a
(z
3
p)
3
a
(z
n
p)
n
: مثال
X ( z)
X ( z)
z
10 z
( z 1)( z 0.2)
10
( z 1)( z 0.2)
12.5
z 1
12.5
z 0.2
X ( z)
z
10
( z 1)( z 0.2)
X ( z ) 12.5(
1
1 z
1
12.5
z 1
12.5
z 0.2
1
1 0.2 z
1
)
: می دانيم
1
Z [
1
1 z
1
] 1
1
Z [
x( k ) 12.5[1 (0.2) ]
k
1
1 0.2 z
] (0.2)
1
k
k 0,1,2,...
2z z
3
X ( z)
)) قطبهای مکرر: مثال
( z 2) ( z 1)
2
: رابه صورت کسرهای جزئی گسترش می دهيمX(z)/z : روش اول
X ( z)
z
2z 1
2
( z 2) ( z 1)
2
X ( z)
9z
9
( z 2)
1
1 2
(1 2 z )
2
1
1 2z
1
1
z2
3
z 1
3
1 z
1
: می دانيم
1
Z [
z
1
1
(1 2 z )
] k (2
2
k 1
)
1
Z [
1
1 2z
1
]2
k
1
Z [
1
1 z
1
] 1
2
x(k )
: بنابراين
k 0
9k ( 2
k 1
)2 3
k 1,2,3,...
k
: ابتدا صورت را بر مخرج تقسيم می کنيم:روش دوم
10 z 15 z 8
2
X ( z) 2
Xˆ ( z )
Xˆ ( z )
2
9z
( z 2)
9z
2
2
z2
1
1 2
(1 2 z )
X ( z) 2
Xˆ ( z )
( z 2) ( z 1)
9z
1 2
(1 2 z )
2z
z 1
1
1 2z
1
3
1
2z
3z
1 z
1
1 2z
1
1
1
3z
1
1 z
1
10 z 15 z 8
2
( z 2) ( z 1)
2
1
Z [ 2]
z
1
Z [
1
1 2
(1 2 z )
z
1
Z [
1
1 2z
1
Z [
z
]
1
k (2
1
k 1,2,3,...
k 1
k 1,2,3,...
)
k 0
0
2
k 1,2,3,...
k 1
k 0
0
1
1 z
x(k )
]
k 0
2
0
]
1
k 1,2,3,...
0
k 0
k 0
2
9k (2
k 1
)2 3
k
k 1,2,3,...
: ابتدا صورت را بر مخرج تقسيم می کنيم:روش سوم
Xˆ ( z )
18
( z 2)
Xˆ ( z ) 2
1
Z [
z
2
7
z2
18 z
1 2
(1 2 z )
1
(1 2 z )
z 1
1
1
1
3
] Z [z
2
7z
1 2z
1
1
1
1 2
(1 2 z )
1
]
3z
1
1 z
1
( k 1) 2
k 2
k 0
0
x(k )
18( k 1) 2
0
k 2
7( 2
k 1
)3
k 1,2,3,...
k 1,2,3,...
k 0
k 1,2,3,... برایx(k )
x( k ) 18k ( 2
k 2
) 18( 2
9k ( 2
k 1
) 2( 2
9k ( 2
k 1
)2
x(k )
k 2
k 1
k 1
) 7( 2
k 1
)3
)3
3
k 0
2
9k (2
k 1
)2 3
k
k 1,2,3,...
تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی
در اين بخش ،نخست تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی را تعريف کرده ،سپس در مورد اينکه
روش تبديل zدر حل اين معادالت تفاضلی چگونه بکار می رود بحث خواهيم کرد.
تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی :سيستم زمان – گسسته خطی تغيير ناپذير با زمان زير را درنظر
می گيريم :
)x( k ) a1 x( k 1) ... an x(k n
) bo u ( k ) b1u ( k 1) ... an u ( k n
تبديل Zمعادله فوق عبارتست از:
)X ( z
n
1
n
1
X ( z ) a1 z X ( z ) ... an z
) boU ( z ) b1 z U ( z ) ... bn z U ( z
: معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم
(1 a1 z
1
... an z
n
) X ( z)
(bo b1 z
1
... bn z
n
)U ( z )
: معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم
X ( z)
bo b1 z
1 a1 z
1
1
... bn z
... an z
n
n
U ( z)
: تعريف می کنيم
G( z)
bo b1 z
1 a1 z
1
1
... bn z
... an z
n
n
o (kT )
1
k 0
0
k 0
: تابع دلتای کرونر
U ( z ) Z [ o ( kT )] 1
Z [ o ( kT )] 1
: پاسخ سيستم به ورودی تابع دلتای کرونر
X ( z)
bo b1 z
1 a1 z
1
1
... bn z
... an z
n
n
G( z)
: دنباله وزنی
1
g ( k ) Z [G ( z )]
مثال :معادله تفاضلی زير را درنظر بگيريد و تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد.
) x( k 2) a1 x( k 1) a2 x( k ) bo u ( k 2) b1u ( k 1) b2u ( k
تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد .با فرض اينکه سيستم در ابتدا در حالت
استراحت بوده و u (k ) 0برای k . 0
حل :تبديل zمعادله فوق را بدست می آوريم :
) [ z X ( z ) z x(0) zx (1)] a1[ zx ( z ) zx (0)] a2 X ( z
2
) bo [ z U ( z ) z u (0) zu (1)] b1[ zU ( z ) zu (0)] b2U ( z
2
2
2
اکنون بايد شرايط اوليه ) x(0و ) x(1را از معادله اصلی محاسبه نماييم:
k 2
)x(0) a1 x( 1) a2 x( 2) bo u (0) b1u ( 1) b2u ( 2
)x(0) bo u (0
k 1
)x(1) a1 x(0) a2 x( 1) bo u (1) b1u (0) b2u ( 1
)x(1) a1 x(0) bo u (1) b1u (0
با فرض آنکه سيستم در حالت سکون بوده ،معادله فوق را بصورت زير ساده می نماييم :
) ( z a1 z a2 ) X ( z ) (bo z b1 z b2 )U ( z
2
2
) (bo z b1 z b2
2
)U ( z
z a1 z a2
2
X ( z)
(bo z b1 z b2 )
2
X ( z)
G( z)
X ( z)
U ( z)
z a1 z a2
2
bo z b1 z b2
U ( z)
2
z a1 z a2
2
bo b1 z
1 a1 z
1
1
b2 z
a2 z
2
2
: دنباله وزنی سيستم زمان – گسسته زير را به دست آوريد:مثال
x(k ) ax(k 1) u (k )
:حل
1
X ( z ) az X ( z ) U ( z )
X ( z)
1
1 az
1
G( z)
U ( z)
U ( z)
a
1
g ( k ) Z [G ( z )]
X ( z)
0
k
k 0,1,2,...
k 0
1
1 az
1