Transcript دریافت فایل
فصل 4 مديريت سرمايه گذاري پيشرفته Portfolio optimization model Markvytz بهينه سازي پرتفوي مدل ماركويتز استاد محترم آقاي دكتر فضل زاده ارائه :ريش سفيد و مختاری مقدمه الزمه بكارگيري ,عملي بازده مورد انتظار و ريسك سرمايه گذاري توانائي محاسبه هر يك از اين متغييرها براي پرتفوي مي باشد. لذا ابتدا به چگونگي محاسبه بازده مورد انتظار مي پردازيم با توجه به رويكرد نظريه نوين پرتفوي در تعين ريسك پرتفوي دانستن مفاهيمي چون كوواريانس و ضريب همبستگي ضروري است در نهايت چگونگي استخراج مرز كارا و تعين پرتفوي حداقل واريانس كلي و بهينه سازي پرتفوي بحث خواهد شد . هدف از حل مسائل انتخاب سبد سرمايه گذاري (پرتفوي ) آن است كه از بين يك مجموعه دارايي هاي در دسترس، پرتفويي انتخاب شود كه افزون بر كمينه سازي ريسك پرتفوي ،يك سطح حداقلي از بازده پرتفوي را نيز براي سرمايه گذار برآورده كند .رويكرد حل اين گونه مسائل آن است كه ماكزيمم سازي بازده را تنها پارامتر در نظر نگرفته ،بلكه تنوع بخشي 1پرتفوي را نيزمدل پايه اي مسئله به منزله ي معيار ديگر سرمايه گذاري مطرح مي كند. بازده مورد انتظار بازده پرتفوي دارائي ها برابر متوسط موزون بازده تك تك دارائي هاست .وزن بكار گرفته شده براي هر بازده نسبتي از سرمايه گذاري انجام شده در دارائي مذكور خواهد بود اگر rjبازده j امين دارائي و xjنسبتي از وجوه سرمايه گذاري شده در jامين دارائي باشد لذا بازده كل پرتفوي برابر است با : x1 r1 x2 r 2 ... xn r n N j r x r j j 1 p p r فرمول نسبت وجوه سرمايه گذاری شده ميزان سرمايه گذاری در دارايی ام𝒋 کل مبلغ سرمايه گذاری در پرتفوی =Xj بازده مورد انتظار پرتفوي نيز متوسط موزون بازده مورد انتظار تك تك دارائي هاست. r E r E x r x E r x r N j j j 1 N j j j 1 N j j j 1 p p برای مثال :جدول زير نشان دهنده بازده 2سهم در يك پرتفوي است بازده كل پرتفوي را مشخص كنيد وزن هر سهم در پرتفوي بازده هر سهم rj سهم j %50 %20 الف %50 %10 ب rp= )%50()%20( + )%50()%10( = %15 مثال :بازده مورد انتظاريک پورتفوی سه سهمی بصورت زير محاسبه ميشود: متوسط بازده مورد انتظار آخر دوره بازده مورد انتظار هر سهم در آخر دوره نسبت تعداد سهام موجود در پرتفوی سهام 11/62 46/48 25% 100 A 21/805 43/61 50% 200 B 19/785 79/14 25% 100 C 11/62+21/805+19/785=53/21% ریسک پرتفوی الزمه درک ریسک پرتفوی آشنائی با مفاهیم انحراف معیار پرتفوی ,کوواریانس و ضریب همبستگی است واریانس پرتفوی: نشان ميدهيم كه عبارتست از ارزش مورد انتظار واريانس پرتفوي را با مجذور انحرافات بازده پرتفوي ,از ميانگين بازده مورد انتظار پرتفوي. باجايگذاري بازده پرتفوي و متوسط بازده مورد انتظارپرتفوي در عبارت فوق براي دو سهم A,Bخواهيم داشت با توجه به اينكه ارزش مورد انتظار مجموع چند بازده برابر است با مجموع ارزش مورد انتظار هر بازده و ارزش مورد انتظار ضرب يك عدد ثابت در بازده برابر است با حاصلضرب عدد ثابت در بازده مورد انتظار در آمار عبارت كوواريانس ناميده ميشود لذا خواهيم داشت: اين رابطه نشان دهنده ريسك پرتفوي 2سهمي است کوواریانس چيست؟ کوواريانس شاخصی برای تغييرات يک متغير با متغير ديگر است (سرمد .)80 :1388،كوواريانس مشابه واريانس است ولي در كوواريانس انحراف از ميانگين را به طور همزمان براي دو متغير X,Yمحاسبه مي كنيم کوواریانس اندازه کوواریانس چیزی بیشتر از رابطه بین بازده های 2سهم نمی باشد.ومقیاسی از چگونگی حرکت بازدهی دارائیها با یکدیگر است. مثال نرخ بازده دو سهم A,Bدر یک دوره 5ماهه به شرح زیر است میانگین 5 4 3 2 1 ماه 2% 4% -4% 8% -2% 4% سهم A 3% 8% -4% 6% 3% 2% سهم B ابتدا انحراف این 2بازده را نسبت به میانگین بازده شان محاسبه میکنیم 1)(4%-2%)(2%-3%)=-/0001 2)(-2%-2%)(3%-3%)=0 3)(-4%-2%)(6%-3%)=./0018 4)(-4%-2%)(-4%-3%)=./0042 5)(4%-2%)(8%-3%)=./0010 /0068 نتیجه حاصله را بر تعداد ماهها منهای 1تقسیم میکنیم تا مقدار کوواریانس بدست آید COVA,B=./00068/(5-1)=./0017 وقتی نتایج خوب برای 2سهم تواما اتفاق بیفتد اندازه آن بسیار بزرگ خواهد بود و نیز وقتی نتایج بد برای هر 2سهم با هم اتفاق بیفتد باز حالت فوق صادق است .و در نهایت کوواریانس و واریانس پرتفوی مقادیر بزرگی خواهند داشت . در مقابل چنانچه یک نتیجه خوب برای یک دارائی همراه با نتیجه بد برای دارائی دیگر رخ دهد کوواریانس منفی میشود کوواریانس مقیاسی از چگونگی حرکت بازدهی دارائیها با یکدیگر است .کوواريانس به دليل اين که يکی از اطالعات اساسی به منظور محاسبه واريانس پرتفوی سهم می باشد،يکی از بهترين معيارهاست .هرچندکه اندازه کوواريانس ،ماهيت کامل توزيع مشترک روابط بين دوسرمايه گذاری را نمايش نمی دهد ،ليکن ،می توان بااستانداردنمودن آن،معياربهتری به نام «ضريب همبستگی»رابه دست آورد. ضریب همبستگی با تقسيم كوواريانس بين دو دارائي بر حاصل ضرب واريانس 2دارائي متغييري با همان خواص كوواريانس اما با دامنه محدود ][1,-1بدست مي آيداين مقياس ,ضريب همبستگي است . كوواريانس بين دو متغيير تصادفي برابر است با حاصلضرب ضريب همبستگي دو متغير تصادفي در انحراف معيارشان : ضريب همبستگي ,كوواريانس را به منظور تسهيل امكان مقايسه ارزشهاي زوجهاي مرتب تصادفي مجددا مقياس بندي ميكند. مثال)جدول صفحه بعد بازدهي احتمالي چند سهام فرضي را نشان ميدهد ميانگين ,واريانس و انحراف معيار تك تك سهام و كل پرتفوي را مشخص كنيد فرض ميشود كه احتمال وقوع هر يك از حاالت مختلف بازده براي هر سهم برابر باشد . 1ضريب همبستگي -1ضريب همبستگي A,B 24كوواريانس A,C 36كوواريانس بهينه سازي پرتفوي مدل ماركويتز هري ماركويتز در سال 1952مدل پيشنهادي خود را براي انتخاب پرتفوي ارائه داد .از برجسته ترين نكات مورد توجه در مدل ماركويتز توجه به ريسك سرمايه گذاري نه تنها بر اساس انحراف معيار يك سهم بلكه بر اساس ريسك مجموعه سرمايه گذاري است . مفروضات مدل ماركويتز : _1سرمايه گذاران ريسك گريزند و داراي مطلوبيت مورد انتظار افزايشي ,و منحني نهائي ثروت آنها كاهنده است . _2منحني هاي بي تفاوتي سرمايه گذاران تابعي از نرخ بازده و واريانس مورد انتظار است . _3هرگونه سرمايه گذاري تا بينهايت قابل تقسيم است. _4سرمايه گذاران افق زماني يك دوره اي داشته و اين براي همه آنها مشابه است _5سرمايه گذاران در يك سطح مشخصي از ريسك بازده باالتري را ترجيح ميدهندو برعكس. بطور مثال سرمايه گذاري بازده مورد انتظار باال(مطلوب)و عدم اطمينان بازده (نامطلوب)به عنوان 2عامل مهم در تصميم گيري خود در نظر دارد وي Nورقه بهادار را پيش روي دارد لذا بازده ورقه را با ميانگين و واريانس آن در نظر داردبعالوه اگر كوواريانس بين بازده دو سهم باشد .اگر سرمايه گذار مقداري پول براي سرمايه گذاري بين N سهم داشته باشد سوال اينست كه مبلغ سرمايه گذاري چگونه بين Nورقه تخصيص يابد تا پرتفوي حاصله حداكثر مطلوبيت مورد انتظار را داشته باشد. ماكويتز پيشنهاد داد پاسخ سوال فوق بايد در دو مرحله انجام گيرد: )1تعيين مجموعه پرتفوي كارا )2انتخاب از مجموعه كارا تعين پرتفوي كارا ماركويتز بازده كل پرتفوي را به صورت ميانگين موزون بيان ميكند XIكسري از كل منابع سرمايه گذاري شده در سهم Iو Riبازده سهم I استRi .متغير تصادفي اند لذا RPهم متغير تصادفي خواهد بود و ارزش انتظاري و واريانس معادله فوق به شرح زير خواهد بود. بازده موردانتظاريک پرتفوی دوسهمی به صورت زير است: ازآنجا که فرض براین است که سرمایه گذارتمامی وجوه خود راسرمایه گذاری نماید،بازده موردانتظار پرتفوی دو سهمی بدین صورت خواهدبود: توجه نماييدبازده موردانتظارپرتفوی ،برابرمتوسط موزون بازده موردانتظارتک تک اوراق بهاداراست که مجموع وزن آنهادرپرتفوی برابريک است. انحراف معياربازده یک پرتفوی دو سهمی بصورت زیراست: می دانيم که ضريب همبستگی دردامنه +1و-1قرارميگيرد.ارزش +1يعنی تغييرات دو سهام،هميشه و بطورکامل موافق يکديگراست.و ارزش -1به منزله حرکت کامالًمتضادمی باشد. :بازده موردانتظارو انحراف معياردوسهم فرضی درجدول زيرآمده: معادله ريسک پرتفوی به صورت زيرخواهدبود: درحاليکه بازده موردانتظارپرتفوی برابراست با: بنابراين درحالتP=+1ريسک وبازده پرتفوی برابرباترکيب خطی ريسک و بازده هرورقه سهام،خواهدبود: درنمووودارزيرهردوی روابووط قبلووی نشووان داده شووده انوود.نتيجووه ميگيووريم کووه بورای هوورارزش XCبووين صووفرو1هرانوودازه کووه درجووه همبسووتگی کمترباشوود،انحراف معيوووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووارپرتفوی نيزکمترخواهووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووودبود. يعنی انحراف معيار،به کمتورين مقودارخودP=-1موی رسودوبيش تورين مقودار آن در P=+1به دست می آيد.ضريب همبستگی باارزشهای متوسط،بايستی منحنوی هماننوودSOCداشووته باشوود.کووه تمووامی پرتفويهووای دو سووهمی باارزشووهای متوسووط ازضووووووووووووووووووووووريب همبسووووووووووووووووووووووتگی دردرون آن واقووووووووووووووووووووووع شووووووووووووووووووووووووند. مرزکارادرحالت فروش استقراضی غيرمجاز: يک سرمايه گذار،بازده بيشتررابه کمتر،وريسک کمتررابه بيشترترجيح می دهد.بنابراين،اگرپرتفويهايی را بيابيم که: -1بازده بيشتررابه ازاءريسک يکسان ارائه نمايدو يا -2ريسک کمتری را به ازاءبازده يکسان ارائه نمايد ،خواهيم توانست تمامی پرتفويهايی راکه سرمايه گذار،متمايل به نگهداری آن است تعيين نماييم.نمودارزيررادرنظربگيريد: توجه نماييد که پرتفوی Bتوسط تمامی سرمايه گذاران بر پرتفوی A ترجيح داده می شود،چون بازده بيشتری را با سطح ريسک برابر با A فراهم می سازد.همچنين پرتفوی Cبرپرتفوی Aترجيح داده می شود،چون ريسک کمتری را در سطح مشابهی از بازده فراهم می سازد.تا بدين جا نمی توانيم چرتفويی را بيابيم که بر پرتفوی Cيا پرتفوی Bغالب باشد.آنچه تا اينجا بديهی است اين است که مجموعه پرتفويهای مناسب نمی تواند از پرتفويهای درون فضای مشخص شده باشد. مجموعه بديلهای ممکن را بيشتر از اين نيز می توان محدود نمود در فضای ريسک بازده می خواهيم تا حدممکن در جهت افزايش بازده و کاهش ريسک حرکت نماييم .نقطه Dرا که يک نقطه مرزی است و بر روی مرز قرار دارد در نظر بگيريد .می توانيم نقطه Dرا حذف نماييم زيرا که پرتفويی به نام Eوجوددارد که بازده بيشتری را با سطح ريسک مشابه باDارائه می نمايد.اين قاعده برای هر پرتفوی ديگری نيز صادق خواهدبود.توجه نماييد که نقطه Cنمی تواند حذف شود زيرا که چنان پرتفويی وجودنداردکه ريسک کمتری را به ازای بازده مشابه ،يابازده بيشتری را به ازای ريسک مشابه با نقطه ،Cداشته باشد.نقطه Cرا«پرتفوی حداقل واريانس کلی » می نامند. نقطه Bنشان دهنده پرتفويی است که بيشترين بازده مورد انتظاررا نسبت به تمامی پرتفويهاداراست .بنابراين مرزکاراشامل منحنی محاط تمامی پرتفويهايی است که بين پرتفوی حداقل واريانس کلی (نقطه)Cو پرتفوی حداکثر بازده مورد انتظارنقطه Bقرار می گيرند.اين مجموعه مرز کارا ناميده می شود. مرز کارا بصورت يک تابع مقعرترسيم شده است. مرزکارای حاصله را که درآن از فروش استقراض استفاده نشده است ،مرزکاراباعدم فروش استقراضی می نامند. مرزکارا درحالت فروش استقراضی مجاز: دربازارهای سرمايه يشرفته،سرمايه گذارمی تواند پيشنهاد فروش سهامی را بنمايد،که مالک آن نيست.اين عمل را فروش استقراضی می نامند. مرزکارادرحالت امکان فروش استقراضی در نمودارزيرنمايش داده شده است: دراين حالت پرتفويهايی وجود داردکه نرخهای بازده موردانتظار نامحدود دارندو اين حالت غيرعادی نيست.زيراکه دراين حالت هرکسی می توانداوراق بهاداررابابازده موردانتظارپايين بفروشد و وجوه حاصله رابرای خريدسهام با بازده موردانتظارباال صرف نمايد.درنمودارصفحه قبل فرض شده است که ضريب همبستگی بين دو پرتفویCو0/5،Sباشد،تمامی پرتفويهايی که بازده بيشتری رانسبت به پرتفوی حداقل واريانس کلی،ارائه می نمايند،درطول منحنی مقعر،قرار می گيرند.دليل اين حالت به طورقياسی همان است که برای حالت غيرمجازبودن فروش استقراضی مطرح گرديد. انتخاب پرتفوی بهينه