و تابع احتمال توام
Download
Report
Transcript و تابع احتمال توام
توزیع احتمال توام
موسوی ندوشنی
زمستان 1383
1
دانشگاه صنعت آب و برق
فضای نمونه دو بعدی (یا بیشتر) و تابع احتمال توام
بعضی از آزمایشهای تصادفی به گونهای میباشند که
آزمایشکننده همزمان میتواند دو (یا تعدادی بیشتر) هدف را دنبال
کند .اگر هر هدف را با یک متغیر مشخص کنیم ،آنگاه در یک
آزمایش دو یا چند متغیر بدست خواهد آمد.
تعریف :اگر Xو Yدو متغیر تصادفی باشند به طوری که امکان
وقوع این دو متغیرهمزمان وجود داشته باشد ،آنگاه تابع احتمال
وقوع همزمانی این دو متغیر را با عالمت تابعی ) fX,Y(x,yنشان
داده و آنرا تابع احتمال توام Xو Yگوییم .در حالت گسسته
داریم:
) fX ,Y (x , y ) = P (X = x ,Y = y
2
دانشگاه صنعت آب و برق
تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت گسسته
]) PX ,Y (x , y ) = Pr[(X = x ) I (Y = y
0.4
0.3
0.2
0.1
P X ,Y (x , y ) = 1
å å
all x i all y i
0
0
1
3
2
2
Y
1
X
3
0
) P X ,Y (x i , y j
å å
= ]) FX ,Y (x , y ) = Pr[(X £ x ) I (Y £ y
xi £ x y j £ y
3
دانشگاه صنعت آب و برق
مثال
Y=0
Y=1
Y=2
Y=3
X=0
0.2910
0.0600
0.0000
0.0000
X=1
0.0400
0.3580
0.0100
0.0000
X=2
0.0100
0.0250
0.1135
0.0300
X=3
0.0005
0.0015
0.0100
0.0505
0.4
0.3
0.2
0.1
0
å å
0
P X ,Y (x , y ) = 1
1
X
3
2
2
3
all x i all y i
1
0
دانشگاه صنعت آب و برق
4
Y
تابع تجمعی احتمال یا تابع توزیع احتمال در حالت پیوسته
x2 y 2
(x , y ) dx dy
X ,Y
òòf
= ) Pr[(x 1 £ X £ x 2 ) I (y 1 £ Y £ y 2
x1 y 1
] FX ,Y (x , y ) = Pr[X £ x ,Y £ y
¶ 2F
= ) f (x , y
¶x ¶y
5
دانشگاه صنعت آب و برق
Generalized to
arbitrary region
P (x , y Î A ) =
òò f (x , y ) dx dy
A
y
f(x,y)
x
دانشگاه صنعت آب و برق
6
خصوصیات تابع احتمال توام
f X ,Y (x , y ) ³ 0
¥
(x , y ) dx dy = 1
X ,Y
¥
ò òf
f X ,Y (x , y ) = 1
å å
y
- ¥ - ¥
x
مثال :از ظرفی که 3مهره قرمز 2 ،مهره آبی و 3مهره زرد
دارد ،دو مهره به تصادف و همزمان اختیار میشود .در صورتی
که متغیر تصادفی Xنشاندهنده تعداد مهره قرمز در این آزمایش
باشد (هدف آزمایشکننده شمارش تعداد قرمز است) تابع احتمال
Xرا تعیین کنید.
5 ö
æ3 öæ
ç
÷
X = 0, 1, 2
7
دانشگاه صنعت آب و برق
÷÷
x ÷ø
çç ÷÷ç
ççx ÷÷çç2è øè
= ) f X (x
æ8ö
÷÷ çç
÷÷çç2
èø
مثال تابع احتمال توام
اگر در مثال قبل متغیر تصادفی Yرا تعداد مهره آبی
تعریف کنیم .تابع احتمال را تعیین ö
کنیدæ2 öæ 6.
çç
÷
÷ çç
÷
÷
ç
÷
÷ ççy
2
y
÷
÷
ç
è øè
ø
= ) fY (y
Y = 0, 1, 2
æ8ö
÷ çç
֍2
÷
÷ çè
ø
مثال :اگر در مثال قبل متغیر تصادفی Xنشاندهنده تعداد
مهره قرمز و متغیر تصادفی Yنشاندهنده تعداد مهره
آبی تعریف کنیم ،تابع احتمال توام آنرا به صورت جدول
و فرمول تعیین کنید.
8
دانشگاه صنعت آب و برق
مثال تابع احتمال توام
X
Y
0
1
2
0
1
2
f(0,0)
f(0,1)
f(0,2)
f(1,0)
f(1,1)
f(2,0)
3
ö
æ3 öæ2 öæ
ç
÷
çç ÷ç
÷
çç
÷
֍
÷
÷
ççx ÷ç
÷
è ÷ç
øèy ÷
øçè2 - x - y ÷
ø
P (X = x ,Y = y ) =
æ8ö
çç ÷
çç2÷
÷
è ÷
ø
{
D p = (x , y ) 0 £ x + y £ 2
X = 0, 1, 2
دانشگاه صنعت آب و برق
Y = 0, 1, 2
}
9
مثال تابع احتمال توام
در مثال قبل Xرا تعداد مهره قرمز Y ،را تعداد مهره
آبی و Zرا تعداد مهره زرد تعریف کنیدfX,Y,Z(x,y,z) .
را تعیین کنید.
æ3 öæ2 öæ3 ö
çç ÷ç
֍
÷
֍
֍
÷
ççx ÷ç
֍
z
y
÷
÷ ÷çè
ø
è ÷ç
øè ø
= ) f (x , y , z
æ8ö
÷ çç
÷çç2
÷
÷ è
ø
}
Z = 0, 1, 2
10
Y = 0, 1, 2
X = 0, 1, 2
دانشگاه صنعت آب و برق
{
D p = (x , y , z ) x + y + z = 2
مثال تابع احتمال توام
اگر Xو Yدو متغیر تصادفی با تابع توام زیر باشند،
مقدار ثابت kرا تعیین کنید.
y > 0
) ìï ke - ( x + y
f X ,Y (x , y ) = ïí
ïï 0
ïî
x> 0
otherwise
1
= dx dy
k
¥
) - (x + y
¥
ò òe
0
¥
dx dy = 1 Þ
ò ò ke
0
1
1
dx ) dy = Þ
= 1Þ k = 1
k
k
11
) - (x + y
دانشگاه صنعت آب و برق
0
¥
- x
¥
0
¥
ò (e ò e
- y
0
0
توزیعهای کنارهای یا حاشیهای
میدانیم متغیر Xبه تنهایی دارای تابع احتمال )fX(x
است.
میدانیم متغیر Yبه تنهایی دارای تابع احتمال )fY(y
است.
اگر Xو Yبه طور همزمان امکان وقوع داشته باشند،
آیا میتوان ) fX(xو ) fY(yرا به کمک آن محاسبه کرد؟
اگر ) fX(xو ) fY(yدر اختیار باشد ،آیا میتوان
) fX,Y(x,yرا محاسبه نمود؟
تعاریف بعدی چگونگی محاسبه ) fX(xو ) fY(yرا به
کمک تابع توام ) fX,Y(x,yنشان میدهد.
12
دانشگاه صنعت آب و برق
توزیعهای کنارهای یا حاشیهای
تعریف :اگر Xو Yدو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام
) fX,Y(x,yباشد ،آنگاه توزیعهای Xو Yرا به تنهایی توزیعهای
کنارهای گویند که به صورت زیر محاسبه میشود.
) f X ,Y (x , y
f X ,Y (x , y ) dy
) f X ,Y (x , y
f X ,Y (x , y ) dx
13
دانشگاه صنعت آب و برق
ìï å
ïï
ï ¥y
f X (x ) = í
ïï
ïï ò
ïî - ¥
ìï å
ïï
ï ¥x
fY (y ) = í
ïï
ïï ò
ïî - ¥
نمایش تابع احتمال حاشیهای در حالت پیوسته
¥
f (x , y )dx
ò
= ) f (y
)f(x,y
x=- ¥
y
x
14
دانشگاه صنعت آب و برق
مثال توزیع کناری
اگر Xو Yدو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام زیر باشد ،اوال مقدار ثابت
kرا تعیین کنید .ثانیا توابع توزیع کنارهای ) fX(xو ) fY(yرا تعیین کنید.
æx + y ö
åx = 1 åy = 1 ççè k ÷÷ø = 1 Þ
2
= 1 Þ k = 21
5
k
+
4
k
+
)fY(y
3
k
+
4
k
+
3
k
3
+
2
2
k
1
X
Y
1
2/21 3/21 4/21 9/21
2
3/21 4/21 5/21 12/21
fX(x) 5/21 7/21 9/21
1
15
دانشگاه صنعت آب و برق
3
مثال توزیع کنارهای
اگر Xو Yدو متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال توام زیر باشند ،اوال
مقدار ثابت kرا پیدا کنید .ثانیا توزیع حاشیهای ) fX(xو ) fY(yرا تعیین
کنید.
0£ y £ 2
0£ x £ 1
otherwise
محاسبه مقدار k
16
) ìï k (x + y
f X ,Y (x , y ) = ïí
ïï 0
î
2
1
ò k (x + y ) dy dx = 1 Þ k = 3
0
دانشگاه صنعت آب و برق
1
ò
0
بقیه مثال توزیع کنارهای
تابع حاشیهای متغیر تصادفی X
1
1
1 2 2
1
(
x
+
y
)
dy
=
xy
+
y
=
(
)
3
2
)3 (2x + 2
ò3
0
2
= ) f X (x
0
)ìï 32 (x + 1
= ïí
ïï 0
î
0£ x £ 1
otherwise
تابع حاشیهای متغیر تصادفی Y
1
1
2
x + xy )0
1
2
(
1
3
= (x + y ) dx
1
3
ò
= ) fY (y
0
0£ y £ 2
otherwise
17
) ìï 31 ( 21 + y
= ïí
ïï 0
î
دانشگاه صنعت آب و برق
متغیرهای تصادفی مستقل
فرض کنید Xو Yدو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام
) fX,Y(x,yو توزیعهای حاشیهای ) fX(xو ) fY(yباشند.
دو متغیر Xو Yرا مستقل آماری گوییم اگر و فقط اگر
داشته باشیم:
) "(x, y
18
) fX ,Y (x , y ) = fX (x )fY (y
دانشگاه صنعت آب و برق
متغیرهای تصادفی وابسته در حالت گسسته
P X |Y (x y j ) = Pr[X = x Y = y j ]
=
=
Pr[(X = x ) I (Y = y j )]
Pr[Y = y j ]
P X ,Y (x , y j )
å
P X ,Y (x , y j )
=
P X ,Y (x , y j )
PY (y j )
0.4
all x i
0.3
0.2
0.1
0
0
1
X
3
2
2
3
دانشگاه صنعت آب و برق
1
0
19
Y
متغیرهای تصادفی وابسته در حالت پیوسته
در وابستگی از تعریف احتمال شرطی استفاده میشود.
) f X ,Y (x , y
) fY (y
) f X ,Y (x , y
) f X (x
20
= ) f X Y (x y
= ) fY X (y x
دانشگاه صنعت آب و برق
نمایش تابع احتمال شرطی در حالت پیوسته
)f(x,y
) f (x , y
= ) f (y x
) f (x
y
x
21
دانشگاه صنعت آب و برق
مثال
Y=0
Y=1
Y=2
Y=3
PX|Y(x|yj=1)
X=0 0.2910 0.0600 0.0000 0.0000
0.1350
X=1 0.0400 0.3580 0.0100 0.0000
0.8054
X=2 0.0100 0.0250 0.1135 0.0300
0.0562
X=3 0.0005 0.0015 0.0100 0.0505
0.0034
0.3415 0.4445 0.1335 0.0805
0.4
PX|Y(x|yj=1)
0.3
0.4
0.2
0.3
0.1
0
0.2
0
0.1
0
1
X
1
2
3
X
3
2
2
3
4
1
0
دانشگاه صنعت آب و برق
Y
22
مثال
اگر Xو Yدو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام باشند ،اوال بررسی کنید
که Xو Yمستقلند یا وابسته .ثانیا تابع احتمال شرطی ) fY|X(y|xرا بیابید.
ìï 14 x (1 + 3y 2 ) 0 £ x £ 2 0 £ y £ 1
f X ,Y (x , y ) = ïí
ïï 0
otherwise
î
1
1
3 1
)0
x (y + y
1
4
= x ò (1 + 3y ) dy
2
1
4
2
= x (1 + 3y ) dy
0
otherwise
23
ò
= ) f X (x
0
0£ x £ 2
دانشگاه صنعت آب و برق
1
4
ìï 12 x
= ïí
ïï 0
î
بقیه مثال
2
2
(1 + 3y 2 ) ò x dx
1
4
0
اکنون حاصلضرب
0£ y £ 1
ò
0
) ìï 12 (1 + 3y 2
0£ y £ 1
= ïí
ïï 0
otherwise
توابع حاشیهای محاسبه می î
شود.
0£ x £ 2
otherwise
در نتیجه مستقلند و داریم:
24
= x (1 + 3y 2 ) dx
1
4
= ) fY (y
ìï 12 x é12 (1 + 3y 2 ) ù
ë
û
ï
f X (x ) fY (y ) = í
ïï 0
ïî
) = f X ,Y (x , y
دانشگاه صنعت آب و برق
) fY X (y x ) = fY (y
مثال
اگر Xو Yدو متغیر تصادفی با تابع احتمال توام ) fX,Y(x,yزیر
باشد ،مطلوبست محاسبه ) E(X) ،E(XYو )E(Y
0< y < 1
ìï 2
f X ,Y (x , y ) = ïí
ïï 0
î
0< x < y
otherwise
1
4
25
y
ò ò
y
1
ò ò
y
1
= 2xy dx dy
1
0
1
3
= 2x dx dy
2
3
= 2y dx dy
0
دانشگاه صنعت آب و برق
0
= ) E (X
0
ò ò
0
= ) E (X Y
0
= ) E (Y
امید ریاضی و استقالل دو متغیر تصادفی
اگر Xو Yمستقل باشند ،آنگاه ) E(XY)=E(X)E(Yاما عکس آن درست نیست .اما
عکس نقیض برقرار است .یعنی اگر ) E(XY)E(X)E(Yآنگاه Xو Yمستقل نمیباشند
(وابستهاند)
مثال :بررسی کنید که دو متغیر Xو Yمستقلند یا وابسته؟
0 < y < 1 E (X Y ) = 1
4
1
= ) E (X
3
2
= ) E (Y
3
1 1 2
¹
´
4 3 3
بنابراین دو متغیر Xو Yوابسته میباشند.
26
دانشگاه صنعت آب و برق
0< x < y
otherwise
ìï 2
f X ,Y (x , y ) = ïí
ïï 0
î
کوواریانس
کوواریانس
• اگر در فرمول امید ریاضی ) g(X,Y)=(X-X)(Y- Yباشد ،آنگاه
آنرا کوواریانس گوییم که عبارتست:
•
البته کوواریانس را به صورت زیر نیز میتوان نوشت:
) = cov(X ,Y ) = E (X - mX )(Y - mY
s XY
s X Y = E (X Y ) - mX mY
اگر Xو Yاز هم مستقل باشند ،آنگاه داریم.
E (X Y ) = E (X )E (Y ) = mX mY Þ s X Y = 0
27
دانشگاه صنعت آب و برق
ضریب همبستگی
ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی Xو Yرا با عالمت یا
) (X,Yنشان داده و به صورت زیر تعریف میکنیم:
s XY
s XsY
ضریب همبستگی ،ضریبی بدون بعد است.
ثابت میشود که ضریب همبستگی بین -1و 1قرار دارد،
- 1 £ r £ 1Û r £ 1Û r 2 £ 1
= ) r ( X ,Y
•
•
•
•
•
28
اگر Xو Yمستقل باشند ،آنگاه =0است.
اگر =0آنگاه Xو Yاز هم مستقل خطی هستند ولی ممکن است
وابستگی غیر خطی داشته باشند.
اگر =-1 or 1باشد ،آنگاه همبستگی کامل است.
دانشگاه صنعت آب و برق
مثال ضریب همبستگی ()1
فرض کنید که Xیک متغیر تصادفی با تابع احتمال زیر باشد.
x = - 2, - 1, 1, 2
otherwise
ìï 1
ïï
f X (x ) = í 4
ïï 0
ïî
2
مطلوبست تابع احتمال Y=X
ضریب همبستگی را محاسبه نمایید.
y = 1, 4
otherwise
29
دانشگاه صنعت آب و برق
ìï 1
ïï
fY (y ) = í 2
ïï 0
ïî
مثال ضریب همبستگی ()2
محاسبه ضریب همبستگی
s XY
= ) r ( X ,Y
s XsY
) s X Y = E (X Y ) - E (X )E (Y
= 0
1
4
´+ 2
´+ 1
1
4
1
4
= 2.5
= 0
1
4
´ + 23
1
4
´ + 13
1
4
´ + (- 1)3
1
4
´- 1
1
2
1
4
´+ 4
´ E (X ) = - 2
1
2
´ E (Y ) = 1
´ E (X Y ) = E (X 3 ) = (- 2)3
s X Y = 0 - 0 ´ 2.5 = 0 Þ r (X ,Y ) = 0
بنابراین نتیجه میگیریم که بین Xو Yهمبستگی خطی وجود ندارد ،اما
رابطه غیرخطی بین آن دو برقرار است.
30
دانشگاه صنعت آب و برق