Transcript جلسه ششم
اصول شبیه سازی
هفته ششم
فهرست مطالب
•
تجزیه و تحلیل داده های ورودی به مدل
–
–
گردآوری داده ها
تعیین توزیعهای احتمال
«
«
«
–
برآورد پارامترها
«
«
–
«
«
–
آزمون مربع کای
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
آزمون برازندگی کاملوگروف-اسمیرنف
داده های دومتغیره
«
«
«
«
هفته ششم
مروری بر بدیهیات علم آمار :میانگین و واریانس نمونه
برآوردکننده های پیشنهادی
آزمون برازندگی
«
2
نمودار فراوانی
تعیین توزیع احتمال فرض ی
رسم احتماالت
رگرسیون خطی ساده
آزمون معناداربودن رگرسیون
به کارگیری معادله رگرسیون در شبیه سازی
رگرسیون خطی چند متغیره
تجزیه و تحلیل داده های ورودی به مدل
•
•
•
•
نیروی محرکه هر مدل شبیه سازی داده های ورودی است.
تشخیص مناسب توزیع برای داده های ورودی از لحاظ وقت و صرف سایر
منابع کاری عمده محسوب می شود.
فرضهای نادرست در ورودی ها موجب گمراهی در خروجی ها می گردد.
مراحل طراحی مدل معتبر از داده های ورودی مساله:
.1
.2
3
.3
.4
.5
.6
هفته ششم
گردآوری داده های خام
ایجاد توزیع فرض ی بر اساس نمودار فراوانی
ارائه برآوردهایی در خصوص پارامترهای مشخص کننده توزیع
آزمون توزیعهای فرض ی و برآوردهایی از پارامترهای آنها
اگر توزیع از آزمون موفق بیرون نیاید به گام 2بازگشت می شود.
اگر پس از چند بار نتیجه ای حاصل نشد از توزیع تجربی استفاده می گردد.
گردآوری داده ها
•
•
عمده ترین وظیفه در حل مسائل واقعی گردآوری داده هاست.
پیشنهادات:
–
برنامهریزی :طراحی برگههایی برای جمعآوری اطالعات با توجه به شرایط قبلی مسأله.
«
–
تجزیه و تحلیل همزمان با گردآوری دادهها
«
–
–
–
هفته ششم
کافی بودن دادههای گردآوری شده را از لحاظ مشخص کردن توزیعهای آماری مورد نیاز به عنوان ورودی
شبیهسازی تعیین کنید و دادههای غیر مفیدی جمعآوری نکنید.
ادغام مجموعه های همگن در داده ها
«
4
البته در مراحل اولیه اشکالی ندارد که این برگهها چند بار تصحیح شود .این نکته را در جمع آوری
اطالعات به یاد داشته باشید که همواره در پی شناسایی اوضاع و احوال غیر معمول پیرامون مسأله باشد.
همگنی دادهها را در دورههای متوالی در چند روز مورد بررس ی قرار دهید ،مثال دادههای 3-2روز شنبه با -2
3پنج شنبه ادغام کنید .برای ادغام می توانید آزمونهای مقدماتی بررس ی میانگین را انجام دهید.
بررس ی روابطه میان دو یا چند متغیر
بررس ی خود همبستگی دادههای ظاهرا مستقل(مثال مدت خدمت دهی به مشتری nام به مدت
خدمت دهی به مشتری n-1ام وابسته باشد)
تعیین توزیعهای احتمال
•
نمودار فراوانی
–
چگونگی ایجاد نمودار فراوانی به شرح زیر است:
.1
.2
.3
.4
.5
–
5
–
–
–
هفته ششم
حوزه های مقادیر داده های گردآوری شده را به فواصلی تقسیم نمایید.
محور افقی را طوری نمادگذاری کنید که با فواصل انتخاب شده تطبیق نماید.
فراوانی رخدادهای مشاهده ها را برای هر فاصله تعیین کنید.
محور عمودی دستگاه مختصات را طوری نمادگذاری نمایید که همه فراوانی های مربوطه
نمایش پذیر باشد.
فراوانی های فواصل مختلف را رسم نمایید.
هاینز و مونتگمری :تعداد فاصله ها بهتر است به اندازه جذر اندازه نمونه باشد.
اگر طول فاصله ها بیش از حد زیاد باشد نمودار زمختی به دست می آید که شکل و
جزئیات را مشخص نمی کند.
اگر طول فاصله بیش از حد کم باشد نموداری پرشیار به دست می آید که از عهده
هموارسازی داده ها بر نمی آید.
مثال (:1-9به فایل اکسل مراجعه نمایید)
تعیین توزیعهای احتمال
•
نمودار فراوانی
–
–
مثال :2-9تعداد وسایل نقلیه که از سمت شمال غربی به یک تقاطع
وارد می شوند در یک دوره زمانی 20هفته ای از ساعت 7:00تا 7:05
مورد شمارش قرار گرفت که داده های مذکور در قالب جدول نمایش
داده شده است .نمودار فراوانی مربوطه را رسم نمایید.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11تعداد وسایل نقلیه
پاسخ:فایل اکسل را ببینید.
12 10 19 17 10 8 7 5 5 3 3 1فراوانی
6
هفته ششم
تعیین توزیعهای احتمال
•
نمودار فراوانی
–
–
مثال :3-9پنجاه قطعه الکترونیک به طور تصادفی انتخاب شده و آزمون
تعیین عمر در مورد آنها به انجام رسیده است .به این منظور ولتاژی 1.5
برابر ولتاژ اسمی قطعات مزبور استفاده شده و عمر هر یک ثبت گردیده
است.چون عمر متغیری پیوسته است اطالعات به روز با سه رقم اعشار
ثبت شده است .نمودار فراوانی مربوطه را رسم نمایید.
پاسخ:فایل اکسل را ببینید79.919 3.081 0.062 1.961 5.845 .
0.123
5.009
0.433
9.003
7.579
23.96
0.543
0.219
4.562
7
هفته ششم
0.013
34.76
24.42
0.091
2.157
7.078
0.002
1.147
2.336
3.027 6.505 0.021
6.769 59.899 1.192
18.387 0.141 43.565
144.695 2.663 17.967
0.941 0.878 3.371
0.624
5.38 3.148
0.59 1.928
0.3
7.004 31.764 1.005
3.217 14.382 1.008
تعیین توزیعهای احتمال
•
تعیین توزیع احتمال فرض ی
–
–
–
–
8
–
–
هفته ششم
تعیین توزیع احتمال فرض ی براساس منطق مسأله در دست بررس ی و شکل نمودار
فراوانی صورت می گیرد.
برخی از توزیع های احتمال پیوسته بر حسب مقادیر تابعی که براساس مقادیر
واقعی پارامترهای آن تعریف می شود قابل شناسایی است.
یکی از این توابع ضریب تغییر توزیع احتمال است.
) Var ( X ) / E ( X
این ضریب در خصوص تابع چگالی نمایی منفی صرف نظر از مقدار پارامتر آن
همواره برابر یک است.
بسته به اینکه پارامتر شکل دو تابع چگالی گاما و ویبول مساوی یک ،کوچکتر از یک
و بزرگتر از یک باشد ،ضریب تغییر تابع چگالی نیز مساوی یک ،بزرگتر از یک و
کوچکتر از یک خواهد بود.
این ضریب در خصوص توزیعهای احتمال مانند یکنواخت ،نرمال ،نرمال
لگاریتمی ،بتا و مثلثی مفید نیست.
تعیین توزیعهای احتمال
•
تعیین توزیع احتمال فرض ی
–
برای محاسبه ضریب مذکور نیاز به برآورد میانگین و واریانس توزیع
Xاز
داریم .فرض کنید مشاهدات مستقل و هم توزیع
X , X ,...,
متغیر تصادفی مورد نظر در دست است .اگر میانگین و واریانس نمونه
S
شودX X
تعریف () /
)n 1
وX X /n
آنگاه ( و
به صورت
برآوردکننده های ناارXیب S
میانگین و واریانس توزیع احتمال متغیر
تصادفی مورد نظر بوده و ضریب تغییر عبارت خواهد بود از
n
n
i
2
n
2
i
i 1
i 1
2
9
/X
–
هفته ششم
2
S
در خصوص توزیع های گسسته از نسبت
می گردد.
استفاده
) Var ( X ) / E ( X
1
2
تعیین توزیعهای احتمال
•
تعیین توزیع احتمال فرض ی
–
نسبت و تغییرات آن برای برخی از توزیعهای احتمال گسسته
توزیع احتمال
برنویی با پارامتر p
10
هفته ششم
ضریب تغییر
1-p
محدوده
()0,1
دوجمله ای )(n,p
1-p
هندسی با پارامتر p
1/p
()0,1
>=1
دوجمله ای منفی )(n,p
1/p
>=1
پواسون
1
{}1
تعیین توزیعهای احتمال
•
رسم احتماالت
–
–
–
نمودار فراوانی برآوردی از شکل تابع چگالی به دست می دهد.
در این بخش به مقایسه تابع تجمعی برآوردی داده های گردآوری
شده با تابع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته از طریق رسم نمودار
پرداخته شده است.
در این روش نقاط )) ( , Fرا( Xرسم می نماییم .که در آن عبارت
تجمعیF ( X
تابع )
تجربی و Fتابع
iامین XازXنظر ترتیب،
تجمعی برآوردی است.
اگر این نقاط تشکیل یک خط دادند می توان گفت که دلیلی بر این
وجود ندارد که تابع چگالی مورد نظر صحیح نباشد.
) ( i 0 .5
n
1
)(i
) ( i 0 .5
11
)(i
–
هفته ششم
n
)(i
n
تعیین توزیعهای احتمال
•
رسم احتماالت
–
12
–
هفته ششم
مثال :4-9برای اتوبانکی یک مدل شبیه سازی ایجاد شده و اطالعاتی در زمینه فواصل زمانی بین
دو ورود خودورها جمع آوری شده است .طی یک زمان 90دقیقه ای 220خودرو به بانک مراجعه
نموده و مدتهای بین دو ورود آنها بین خودروی iو i+1به ازای i=1,2,…,219مشاهده و پس از
مرتب شدن ثبت شده است .نتایج در جدول زیر مشاهده می گردد .توزیع چگالی آنها چیست و
چگونه می توان آن را بررس ی نمود؟
1.05
1.05
1.06
1.09
1.10
1.11
1.12
1.17
1.18
1.24
1.24
1.28
1.33
1.38
1.44
1.51
1.72
1.83
1.96
0.70
0.72
0.72
0.72
0.74
0.75
0.76
0.77
0.79
0.84
0.86
0.87
0.88
0.88
0.90
0.93
0.93
0.95
0.97
1.03
0.53
0.53
0.54
0.54
0.55
0.55
0.56
0.57
0.57
0.60
0.61
0.61
0.63
0.63
0.64
0.65
0.65
0.65
0.69
0.69
0.45
0.45
0.46
0.47
0.47
0.47
0.48
0.49
0.49
0.49
0.49
0.50
0.50
0.50
0.51
0.51
0.51
0.52
0.52
0.53
0.35
0.36
0.36
0.36
0.37
0.37
0.38
0.38
0.38
0.38
0.38
0.39
0.40
0.40
0.41
0.41
0.43
0.43
0.43
0.44
0.25
0.25
0.25
0.25
0.26
0.26
0.26
0.26
0.26
0.27
0.28
0.28
0.29
0.29
0.30
0.31
0.31
0.32
0.35
0.35
0.18
0.19
0.19
0.19
0.20
0.21
0.21
0.21
0.21
0.21
0.22
0.22
0.22
0.23
0.23
0.23
0.23
0.23
0.24
0.25
0.11
0.11
0.11
0.12
0.12
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.14
0.14
0.14
0.15
0.15
0.15
0.15
0.15
0.15
0.17
0.07
0.07
0.07
0.08
0.08
0.08
0.08
0.09
0.09
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.11
0.11
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.06
0.06
0.06
0.06
0.07
0.07
0.07
0.07
0.07
0.07
0.07
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.03
0.03
0.03
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
0.05
تعیین توزیعهای احتمال
•
رسم احتماالت
–
پاسخ:
«
«
«
13
الف:
ب:نمودارها را با فواصل 0.075 ،0.05و 0.1مشاهده کنید که آخرین مورد
نزدیک به نمایی است.
ای توزیع نمایی
ج:برای رسم نقاط ))
( بر F
( X , Fبه( مقدار )
منفی نیاز داریم که عبارت است از
S / X 0 . 951 1
2
) ( i 0 .5
S 0 . 144 , X 0 . 399
2
) ( i 0 .5
1
)(i
n
n
), i 1, 2 ,..., 219 , n 219 , 1
))
n i 0 .5
n
1
i 0 .5
n
) ln( 1
()) ( X ( i ) , ln
) ( i 0 .5
n
) ( i 0 .5
n
(
1
(
1
x F
( X (i ) , F
حال اگر نقاط را رسم کنیم می بینیم که تقریبا بر روی یک خط قرار دارد.
هفته ششم
تعیین توزیعهای احتمال
•
رسم احتماالت
–
14
هفته ششم
مثال :5-9مورد بررس ی قرار نمی گیرد.
برآورد پارامترها
•
مروری بر بدیهیات علم آمار :میانگین و واریانس نمونه
–
X , X ,..., X
نشان داده شود
اگر مشاهدات یک نمونه nتایی با
میانگین نمونه( )Xو واریانس نمونه( ) به Sشرح زیر است:
n
1
2
2
)( X i X ) /( n 1
n
2
–
15
i 1
2
Xi /n
S
i 1
اگر داده های در دست بررس ی گسسته و در قالب توزیع فراوانی رده
بندی شده باشد .اگر تعداد مقادیر متمایز Xبا kنشان داده شود و
f
فراوانی مشاهده شده برای مقدار از Xبا X
نمادگذاری شود آنگاه
میانگین و واریانس نمونه از روش زیر به دست می آید:
j
2
nX
2
j
fjX
n 1
هفته ششم
n
X
k
j 1
2
S
j
j
fjX
k
j 1
n
X
برآورد پارامترها
•
مروری بر بدیهیات علم آمار :میانگین و واریانس نمونه
–
مثال :6-9با تحلیل داده های عرضه شده در قالب جدول 1-9
میانگین و واریانس نمونه را به دست آورید.
n 100 , X 1 0 , f 1 12 , X 2 1, f 2 10
X j f j 2080
k
2
2
16
7 . 63
هفته ششم
j 1
) 2080 100 ( 3 . 64
100 1
X j f j 364 ,
3 . 64 , S
2
k
j 1
364
100
X
برآورد پارامترها
•
مروری بر بدیهیات علم آمار :میانگین و واریانس نمونه
–
اگرداده های در دست بررس ی پیوسته باشد و تنها داده های رده بندی
شده در دست باشد از روابط زیر استفاده می گردد که در آن
f
نشان m
دهنده
معرف فراوانی مشاهده شده در فاصله رده ای jام و
نقطه وسط فاصله رده ای jام و cتعداد فاصله های رده ای است.
j
j
17
2
f j m j nX
2
n 1
هفته ششم
c
j 1
2
S
f jm j
c
j 1
1
n
X
برآورد پارامترها
•
مروری بر بدیهیات علم آمار :میانگین و واریانس نمونه
–
–
مثال :7-9فرض کنید تنها داده های دسته بندی شده عمر قطعات
الکترونیک مثال 3-9در دست باشد مقادیر میانگین و واریانس نمونه
را بیابید.
پاسخ:
n 50 , c 49 ; m 1 1 . 5 , f 1 23 , m 2 4 . 5 , f 2 10
m j f j 37226 . 5
2
18
2
605 . 849 S 24 . 614
) 37226 . 5 50 (12 . 28
50 1
49
j 1
m j f j 614 ,
12 . 28 , S
2
49
j 1
614
X
50
در صورتی که مقادیر واقعی مقداری متفاوت است
X 11 . 894 , S 24 . 953
هفته ششم
برآورد پارامترها
•
برآوردکننده های پیشنهادی
–
–
19
هفته ششم
به منظور مشخص نمودن کامل توزیع احتمال فرض ی ناچار به برآورد
پارامترهای توزیع هستیم.
پارامتر مقداری ثابت ولی مجهول است ولی برآوردکننده متغیر آماری یا
تصادفی است که مقدار آن به نتایج نمونه بستگی دارد .اگر پارامتری را
نشان داده می ˆ
شود.
با نماد نشان دهیم برآوردکننده آن با نماد
برآورد پارامترها
•
برآوردکننده های پیشنهادی
20
هفته ششم
برآورد پارامترها
•
21
برآوردکننده های پیشنهادی
– مثال :8-9فرض کنید داده های جدول 1-9نیازمند تحلیل است.
بررس ی شکل 1-9و مقایسه آن با توزیع پواسون چنین می رساند که
توزیع احتمال فرض ی می تواند پواسون با پارامتر مجهول باشد
این پارامتر را برآورد نمایید.
مقدار
– پاسخ :بر اساس جدول قبل و مثال 6-9داریم
ˆ X 3 . 64
الزم به ذکر است که میانگین و واریانس توزیع پواسون یکی است اگر
مقدار واریانس نمونه را نگاه کنیم مقدار 7.63را به خود اختصاص
داده ولی چون میانگین و واریانس نمونه هر دو متغیر تصادفی هستند
انتظار نمی رود که مقادیر یکسانی اختیار کنند.
هفته ششم
برآورد پارامترها
•
برآوردکننده های پیشنهادی
–
22
–
هفته ششم
مثال :9-9یک جاسوس مامور است به تعداد تانکهای ارتش دشمن پی ببرد.
او می داند که تانکهای ارتش دشمن با شماره مشخص می شوند .شماره ها
از 100شروع می شود و تا مقدار مجهول 100+bادامه می یابد.
جاسوس به مدت یک روز به مراقبت از جاده می پردازد و شماره تانکها را
یادداشت می نماید .تعداد برآوردی تانکهای دشمن چقدر است؟
1783 1522 920 587 3653 146
2937
احتمال 736
372 3104
1492گسسته
یکنواخت
3535توزیع
پا امتر یک
پاسخ :ما به دنبال برآورد ر
هستیم که فرض بر پیوسته بودن آن قرار می دهیم در اینصورت داریم:
n 1
13
ˆ
b
[max X ]
( 3653 100 ) 3849
n
12
برآورد پارامترها
•
برآوردکننده های پیشنهادی
–
23
–
مثال :10-9در یک خط مونتاژ به منظور نصب درهای خودرو از ربات
استفاده می گردد در این حالت فرض بر این است که مدت نصب
طبق توزیع احتمال نرمال باشد به همین منظور نمونه ای 20تایی از
زمان نصب در جدول زیر در دست است پارامترهای این توزیع نرمال را
برآورد کنید.
99.79 100.4 100 99.82
99.56 99.98 100.5 99.96
پاسخ:
100.2 99.83 99.55 99.9
ˆ X 99 . 98
2
2
ˆ
S 0 . 080
هفته ششم
100.3 100.2 99.62 100.1
100.3 100.3 99.65 99.85
برآورد پارامترها
•
برآوردکننده های پیشنهادی
–
–
مثال :11-9فرض کنید مهلت تحویل برای 20سفارش در جدول زیر ارائه
شده باشد و همچنین به این نتیجه رسیده باشیم که مهلت تحویل دارای
توزیع گاماست .پارامترهای آن را برآورد کنید.
مهلت
مهلت
مهلت
پاسخ:
سفارش
سفارش
سفارش
تحویل
28 . 22 ln( X ) 3 . 34
564 . 32
X
20
24
0 . 14
63 . 99
20
ln( X i ) 63 . 99 M 3 . 34
20
i 1
Table
1 / M 7 . 14
ˆ 3 . 738
ˆ 1 / X 1 / 28 . 22 0 . 035
هفته ششم
37.3
16.31
28.07
39.02
32.33
36.55
تحویل
15
16
17
18
19
20
39.17
17.42
13.91
30.22
17.14
44.02
10.55
تحویل
8
9
10
11
12
13
14
70.29
10.11
48.39
20.48
13.05
25.29
14.71
1
2
3
4
5
6
7
برآورد پارامترها
•
برآوردکننده های پیشنهادی
–
–
مثال :12-9اگر داده های مربوط به مثال 3-9را متعلق به یک توزیع
نمایی منفی فرض کنیم پارامتر آن را برآورد نمایید.
پاسخ :در مثال 7-9مقدار میانگین نمونه آمده است.
ˆ 1 / X 1 / 11 . 894 0 . 084
25
هفته ششم
برآورد پارامترها
•
برآوردکننده های پیشنهادی
–
26
هفته ششم
مثال :13-9مورد بررس ی قرار نمی گیرد.
آزمون برازندگی
•
آزمون مربع کای
–
–
این آزمون برای نمونه هایی با اندازه های بزرگ و در شرایطی که پارامترها طبق
روش درستنمایی ماکسیمم( )MLEبرآورد شده باشند به کار می رود.
روش انجام کار
«
«
nمشاهده را در مجموعه ای با kفاصله رده ای یا خانه قرار دهید.
ترتیب معرف فراوانی مشاهده شده و
آماره آزمون زیر را به دست آورید که در آن و O iبه E i
می
انتظاری در فاصله رده ای iام هستند و فراوانی انتظاری از رابطه
دست E i
iبه np
فرض ی مربوط به فاصله رده ای iام است.
آید که در آن احتمال p i
k
) (O E
2
0 i0 E
2
می توان ثابت کرد که 0
به سمت توزیع احتمال مربع کای با k-s-1درجه آزادی میل می
کند که sمعرف تعداد پارامترهای توزیع مفروض است که بر اساس داده های آماری برآورد
شده اند.
فرض Hمبنی بر اینکه متغیر تصادفی مورد نظر دارای توزیع احتمال مفروض با پارامترهایی
0
تصادفی با توزیع مفروض نمی خواند را تعریف کنید.
برآورد شده است و که متغیر H 1
2را محاسبه کنید.
مقدار بحرانی
, k s 1
باشد آنگاه فرض صفر را رد کنید.
اگر
2
i
27
«
«
«
«
هفته ششم
i
i
0 , k s 1
2
2
آزمون برازندگی
•
آزمون مربع کای
–
–
–
28
هفته ششم
اگر Eها کوچک باشد باید ادغام صورت پذیرد مقادیر بزرگتر از 3،4
یا 5بیشتر به کار رفته است.
در حالت گسسته هر یک از مقادیر تصادفی به منزله یک رده است مگر
اینکه شرط باال برقرار نباشد که باید آن را ادغام نمود.
در حالت پیوسته به منظور عملکرد بهتر پیشنهاد می گردد تعداد
فاصله های رده ای از جدول زیر استخراج شود.
i
تعداد فاصله
ردهای k
n
امکان پدبر نیست
5تا 10
10تا 20
20
50
100
<100
n/5
آزمون برازندگی
•
آزمون مربع کای
مثال :14-9در مثال 8-9داده های ورودی ارائه شده در مثال 2-9را
تحلیل کردیم و با توجه به هیستوگرام به نظر می رسید که دارای
امتر پوآسون برآورد
توزیع پواسون باشد .لذا مقدار
برای64پا.ر 3
گردید .با استفاده از آزمون مربع کای داشتن توزیع پواسون توسط
متغیر تصادفی مذکور را بررس ی نمایید.
:
پاسخ
H : X has poisson distributi on
–
^
29
–
0
on
x
3 . 64
!x
هفته ششم
3 . 64
e
x
!x
e
p( x)
H 1 : X Don' t has poisson distributi
on then
If x has poisson distributi
آزمون برازندگی
آزمون مربع کای
:پاسخ
We can say that :
e
p ( x 0)
3 . 64
3 . 64
•
–
0
0 . 026 Expected
frequency
: 100 * 0.026 2.6
0!
p ( x 1)
e
3 . 64
3 . 64
1
0 . 096 Expected
frequency
: 100 * 0 . 096 9 . 6
1!
p ( x 2)
e
3 . 64
3 . 64
2
0 . 174 Expected
frequency
: 100 * 0 . 174 17 . 4
2!
30
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........
p ( x 10 )
e
3 . 64
3 . 64
10
0 . 003 Expected
frequency
: 100 * 0.003 0.3
0 . 001 Expected
frequency
: 100 * 0.001 0.1
10 !
p ( x 11 )
e
3 . 64
3 . 64
11!
11
هفته ششم
آزمون برازندگی
•
آزمون مربع کای
–
پاسخ:
2
) (O i -E i
Ei
فراوانی انتظاری Oiفراوانی مشاهده شده
…
2.6
12
0
7.87
9.6
10
1
0.15
17.4
19
2
21.1
0.80
27
.
68
E
2
2
Sample 0 .05 ,4.41
We reject
10
i 1
i
19.2
5
2
2
14
2.57
0 .05 , 7 511 0 .05 , 5 8 11 . 1
0.26
6
7
8.5
2
H0
31
هفته ششم
Xi
(O i -E17
)
i
7
3
4
2
Sample
…
4.4
5
7
…
2
5
8
…
0.8
3
9
…
0.3
3
10
11.62
0.1
1
…11,
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
32
–
سوال اساس ی در مواقعی که با توزیع های آماری پیوسته سر و کار
داریم ،اینست طول هر دسته در رده بندی داده هاچقدر باشد .یک
راهکار برای این امر بدین طریق توصیه می شود که بازه هایی با
احتمال های یکسان ایجاد کنیم .این امر در ادامه با مثال توضیح
داده می شود.
توجه نمایید
p 1 / k
n
n
5
هفته ششم
5 k
k
i
E i np i 5
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
33
هفته ششم
مثال :15-9داده های مربوط به زمانهای رویداد خرابی در مثال 3-9را
در مثال 12-9تجزیه و تحلیل کردیم .به نظر می رسد نمودار داده های
مورد بحث دارای توزیع نمایی با پارامتر برآورد شده 0.084باشد .بر
اساس آزمون مربع کای با احتماالت مساوی بررس ی نمایید آیا داده
های مذکور از توزیع نمایی با پارامتر مذکور برخوردار است یا خیر؟
آزمون برازندگی
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
F a i 1 e
ai
ip
:پاسخ
i 0 ,1,.., K
;
e
ai
1 ip a i
1
ln 1 ip
;
•
–
i 0 ,1,.., K
^
We know
that : 0 . 084 (Why?)
We recommend
that : np i 5
If we have identical
pi
1
k
For this
n
5 k
k
problem
probabilit
34
y for each category t hen :
n
5
we suppose
that
k 8 p 0.125
هفته ششم
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
پاسخ:
a0 0
ln 1 1 * 0 . 125 1.59
ln 1 2 * 0 . 125 3 . 425
35
1
0 . 084
1
0 . 084
a1
a2
.......... .......... .......... .......... .......... ..........
ln 1 7 * 0 . 125 24 . 755
1
0 . 084
a7
a8
هفته ششم
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
پاسخ:
36
(OiEi)^2/Ei
Ei
Oi
26.01
2.25
1.69
0.01
4.41
4.41
0.81
0.01
39.6
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
50
19
10
3
6
1
1
4
6
50
فاصله رده ای
()0,1.59
()1.59,3.425
()3.425,5.595
()5.595,8.252
()8.252,11.677
()11.677,16.504
()16.504,24.755
()24.755,0
39 . 6
2
2
Ei
i 1
Sample 0 .05 , 6 We reject
2
2
0 .05 , 8 11 0 .05 , 6 12 . 6
2
هفته ششم
H0
) (O i -E i
7
2
Sample
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
–
مثال :16-9اگر فرض بر داشتن توزیع ویبول در مثال قبل بوده و
باشد .بر اساس آزمون مربع
برآورد پارامترهای آن
ˆ 6 . 23 , ˆ 0 . 525
کای با احتماالت مساوی داشتن توزیع را بررس ی نمایید.
( F ( x ) 1 Exp (
) ) ( ) ) 1 Exp (
پاسخ:
0
x
x
F ( a ) ip
F ( a i ) 1 Exp ( ( i ) ) i
) ) ip 1 Exp ( ( i
a
a
1/
37
هفته ششم
]) a i [ ln( 1 ip
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
پاسخ:
0
0 . 134
1 / 0 . 525
]) a 0 6 . 23 [ ln( 1 0 * 0 . 125
1 / 0 . 525
0 . 578
1 / 0 . 525
1 / 0 . 525
]) a 1 6 . 23 [ ln( 1 1 * 0 . 125
]) a 2 6 . 23 [ ln( 1 2 * 0 . 125
......
38
هفته ششم
]) a 8 6 . 23 [ ln( 1 8 * 0 . 125
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
39
پاسخ:
(Oi-Ei)^2/Ei
Ei
Oi
فاصله رده ای
0.01
0.25
0.49
0.09
0.09
0.01
0.25
0.01
1.2
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
6.25
50
6
5
8
7
7
6
5
6
50
()0,0.135
()0.135,0.581
()0.581,1.479
()1.479,3.1
()3.1,6.004
()6.004,11.606
()11.606,25.125
)(25.125,1E+100
1 .2
2
2
Ei
i 1
Sample 0 .05 , 5 No Reason For reject H 0
2
2
0 .05 , 8 2 1 0 .05 , 5 11 . 1
هفته ششم
2
) (O i -E i
7
2
Sample
آزمون برازندگی
•
کاربرد آزمون مربع کای بر اساس احتماالت مساوی
–
–
مثال :17-9فاصله رده ای در توزیع نرمال را تعیین نمایید.
x
( F ( x)
)
; - x
پاسخ:
) 0 . 125
a1
) ) ( 1 . 152
( p 0 . 125
a1
(
a 1 1 . 152
40
If
) 1* p,
a1
( F ( a1 )
) ( , 1 . 152
) [ 1 . 152 , 0 . 674
) [ 0 . 674 , 0 . 319
) [ 0 . 319 ,
) [ , 0 . 319
) [ 0 . 319 , 0 . 674
) [ 0 . 674 , 1 . 152
هفته ششم
) [ 1 . 152 ,
آزمون برازندگی
•
آزمون برازندگی کاملوگروف-اسمیرنف
–
41
هفته ششم
مورد بررس ی قرار نمی گیرد.
داده های دومتغیره
•
مورد بررس ی قرار نمی گیرد
42
هفته ششم
تمرین
•
تمرین های 21 ،20 ،9و 24فصل چهارم کتاب شبیه سازی
گسسته پیشامد
•
تمرین های19 ،9 ،5و 20تا 22فصل هشتم کتاب شبیه سازی
سیستم های گسسته پیشامد
43
•
تمرین های 18 ،17 ،16 ،14 ،13 ،12و 21فصل نهم کتاب شبیه
سازی گسسته پیشامد
هفته ششم