Transcript جلسه سوم
اصول شبیه سازی
هفته سوم
فهرست مطالب
•
مروری بر واژه ها و مفاهیم
–
–
–
–
–
•
مدلهای آماری سودمند
–
–
–
–
–
2
•
متغیرهای تصادفی
انواع متغیر های تصادفی
تابع توزیع تجمعی
گشتاور ،امید ریاض ی ،واریانس
مد و میانه
سیستمهای صف
مدلهای موجودی
پایایی و نگهداری پذیری
داده های محدود
سایر توزیعها
توزیعهای گسسته
–
–
–
–
–
هفته سوم
توزیع یکنواخت گسسته
آزمایش برنویی و توزیع برنویی
توزیع دوجمله ای
توزیع هندس ی
توزیع پواسون
فهرست مطالب
•
توزیعهای پیوسته
–
–
–
–
–
–
–
–
–
3
–
–
–
•
•
توزیع یکنواخت
توزیع نمایی
توزیع گاما
توزیع مربع کای
توزیع ارلنگ
توزیع نرمال
توزیع لوگنرمال
توزیع بتا
توزیع ویبول
توزیع تی استیودنت
توزیع فیشر
توزیع مثلثی
فرآیند پوآسون
توزیعهای تجربی
هفته سوم
مروری بر واژه ها و مفاهیم
•
متغیر های تصادفی
–
متغیر تصادفی تابعی حقیقی است از فضای نمونه به مجموعۀ اعداد
حقیقی که به هر پیشامد فضای نمونه عددی حقیقی نسبت می دهد.
( ) : S R
4
هفته سوم
مروری بر واژه ها و مفاهیم
•
انواع متغیر تصادفی
–
متغیر تصادفی گسسته
«
–
5
Xرا متغیر تصادفی گسسته مینامند ،اگر مقادیری که Xمیگیرد متناهی یا نامتناهی شمارا باشد.
0 p xi 1
–
تعداد سفارشهایی که به کارگاه میرسد
–
انداختن یک تاس و آمدن یک عدد خاص
–
تاس ناسالم که احتمال آمدن هر وجه آن با عدد هر وجه متناسب است.
p x 1
i
xi
متغیر تصادفی پیوسته
«
Xرا متغیر تصادفی پیوسته مینامند ،اگر مقادیری که Xمیگیرد فاصلهای از مجموعه فواصل باشد.
–
f x 0
عمر یک المپ
1
x
0
x
f x d
RX
x0
هفته سوم
f x d
x0
مروری بر واژه ها و مفاهیم
تابع توزیع تجمعی
p xi
xi x
F x p X x x
f t dt
lim
F x 1
lim
F x 0
•
x
x
p a x b F b F a
If X was Continuse
stochastic
variable
6
;
a b
then
p a x b p a x b p a x b p a x b F(b) F ( a )
b
f x dx
a
هفته سوم
مروری بر واژه ها و مفاهیم
واریانس، امید ریاض ی،گشتاور
( n ) E x
n
xi n p xi
i
x n f x dx
(n ) E ( x )
xi p xi
xi
E x
xf x dx
E x
n
( x ) n p xi
i
( x ) n f x dx
x 2 xE ( x )
2
2
2
2
2
E x E E x 2 E xE x E x E x 2 E x
var x
2
E x E x
2
2
E
•
7
2
E x
E x
2
2
(2)
2
هفته سوم
مروری بر واژه ها و مفاهیم
واریانس، امید ریاض ی،گشتاور
مثال
تاس غیر منصف
Xi
P(xi)
F(X)
1
2
3
4
1/21
2/21
3/21
4/21
1/21
3/21
6/21
10/21
1
2
6
E x 1
2
..... 6
4 . 33
21
21
21
E x
var x E x
2
2
4 .33
E x
2
5
5/21
15/21
x
E x
2
0
xe
x
2
2
2, Var x E x 1
2
0
«
8
21 18 . 78 2 . 22
2
12 e 2 x 0
f x
, p 2 x 3 0 . 145 , F x 1
2
o
–
6
6/21
1
عمر المپ
1
•
2
x e
2x
x
x
2t
e dt 1
t
2
2
e dt 1 e
«
x
2
0
2
dx 8 Var ( x ) 8 2 4
4 2
هفته سوم
مروری بر واژه ها و مفاهیم
•
مد و میانه
–
مد
«
«
–
9
مد در متغیر گسسته مقداری از متغیر تصادفی است که بیشتر از همه روی
میدهد.
مد در متغیر پیوسته مقدار ماکسیمم تابع توزیع است
میانه
«
میانه در متغیر تصادفی پیوسته مقداری از متغیر تصادفی است که:
1
2
«
هفته سوم
p( X x)
میانه در متغیر تصادفی گسسته اولین xی است که
1
2
p( X x)
مروری بر واژه ها و مفاهیم
•
مد و میانه
–
مثال
«
تاس غیر منصف
x5
2
1
21
p X x 15
10
«
عمر المپ
1
t
1
e 2 dt
2
x 1 . 3865
1
2
هفته سوم
ln
x
2
1
2
x
2
12 e
x
2
2
t
e 2 dt 1 e
1
2
x
0
x
0
مدلهای آماری سودمند
•
سیستمهای صف
–
–
–
–
–
11
–
–
هفته سوم
اگر مدت خدمت دهی کامال تصادفی باشد اغلب دارای توزیع نمایی است.
اگر مدت خدمت دهی ثابت باشد ولی تحت تاثیر تغییرات تصادفی نوسان نماید از توزیع
نرمال استفاده می گردد.
اگر به نظر برسد که پدیده مورد نظر از توزیع نرمال پیروی می کند ولی متغیر تصادفی
مقید به بزرگتر بودن یا کوچکتر بودن از مقدار خاص ی باشد از توزیع نرمال بریده
استفاده می گردد.
به منظور مدلسازی مدتهای بین دو ورود و خدمت دهی از توزیع های وایبل و گاما نیز
استفاده می گردد(توزیع نمایی حالت خاص ی از این دو توزیع است)
تفاوت بین این سه توزیع در مد آنهاست مد توزیع نمایی در صفر است ولی دو توزیع دیگر
دارای مد بزرگتر از صفرند.
کران توزیع گاما مانند توزیع نمایی کشیده است ولی کران توزیع وایبل ممکن است تندتر
یا کندتر از توزیع نمایی نزول کند.
اگر مدتهای بزرگ خدمت دهی بیش از آن باشد که توزیع نمایی بتواند پاسخگوی آن شود
از توزیع وایبل استفاده خواهد شد.
مدلهای آماری سودمند
•
مدلهای موجودی
–
–
–
–
12
–
–
هفته سوم
توزیع مهلت تحویل اغلب توزیع گاماست.
توزیع هندس ی ،پواسون و دوجمله ای منفی ،طیفی از شکلهای توزیع را در بر
می گیرند که با انواع الگوی تقاضا مطابقت دارد.
مد توزیع هندس ی که نوع خاص ی از توزیع دوجمله ای منفی است به شرط
اینکه دست کم یک تقاضا رخ داده باشد یک خواهد بود.
اگر داده های مربوط به تقاضا کرانی کشیده داشته باشند ممکن است
توزیع دوجمله ای منفی مناسب باشد.
کران پواسون به طور کلی کوتاه تر از کران دوجمله ای منفی است.
اگر مدل پواسون به کار رود نسبت به زمانی که توزیع دوجمله ای منفی
مورد استفاده قرار می گیرد تقاضاهای زیاد کمتر رخ می دهد.
مدلهای آماری سودمند
•
پایایی و نگهداری پذیری
–
–
–
13
–
–
هفته سوم
اگر فقط بازمانی های تصادفی رخ دهد می توان از توزیع نمایی
استفاده نمود.
توزیع گاما از مدلسازی مکانیزمی که توزیع مدت بازمانی هر جزء آن
نمایی است به وجود می آید.
هرگاه تعدادی جزء در سیستم باشد و بازمانی ناش ی از جدیدترین
نقص از میان همه نقص های ممکن باشد توزیع وایبول عملکرد
خوبی دارد.
در وضعیتهایی که بازمانی ها ناش ی از فرسودگی باشد توزیع نرمال
مناسب است.
و در برخی از قطعات توزیع لوگنرمال برای مدت زمان تا بازمانی
مناسب تشخیص داده شده است.
مدلهای آماری سودمند
•
داده های محدود
–
–
–
–
14
•
اگر مدت بین دو ورود یا خدمت دهی تصادفی باشد و اطالعات ما ناقص
باشد از توزیع یکنواخت استفاده می شود.
زمانی می توان از توزیع مثلثی استفاده کرد که در مورد مینمیم ،ماکسیمم و
مد متغیر تصادفی فرضهایی صورت گرفته باشد.
توزیع بتا گونه هایی از شکلهای توزیع در فاصله واحد را فراهم می آورد که
با تغییرات مناسب می توان آن را به هر فاصله دلخواهی انتقال داد.
توزیع یکنواخت نوع خاص ی از توزیع بتاست.
سایر توزیعها
–
هفته سوم
توزیع های برنویی و دوجمله ای در توزیع های گسسته و توزیع فوق نمایی
در توزیع های پیوسته نیز در شبیه سازی کاربردهایی دارند.
توزیعهای گسسته
1
p( x)
توزیع یکنواخت گسسته
; x 1 ,2 ,3 ,...,k
•
k
k
E (x)
x
1
k
x 1
Var ( x ) E ( x
1
k
2
k
x
1
*
k ( k 1)
k
x 1
) E ( x )
2
x 1
1
*
k ( k 1)( 2 k 1)
k
6
k 1
2
k
x
2
2
1
(
k
( k 1)
k 1
)
2
2
15
2
4
k 1
2
12
هفته سوم
توزیعهای گسسته
•
آزمایش برنویی و توزیع برنویی
–
16
متغیر تصادفی برنولی ()Xدارای دو نتیجه پیروزی و شکست می باشد.
بنابراین فضای نمونه را می توان به شکل }S={0,1در نظر گرفت
که در آن 0نشانگر شکست و 1نشان دهنده پیروزی است .توزیع
برنولی به صورت )Ber(pنشان داده می شود که در آن pاحتمال
موفقیت و در نتیجه 1-pاحتمال شکست می باشد .نکات زیر در مورد
این متغیر تصادفی قابل استخراج است.
; x 0 ,1
1 x
x 1
p x p q
x
p
px
1 p
x0
E x 1 p 0 q p
(1 p 0 q ) p p (1 p ) pq
2
هفته سوم
2
2
E ( x )
2
2
Var ( x ) E x
توزیعهای گسسته
•
توزیع دوجمله ای
–
فرض کنید nمتغیر تصادفی برنولی با هم جمع شوند .حاصل متغیر
تصادفی است که می توان آن را با عنوان تعداد پیروزی ها در n
آزمایش برنولی تعبیر نمود .تابع توزیع این متغیر تصادفی را می توان به
n
صورت زیر بدست آور
:
د
p
q
x
0
,...
n
nx
17
otherwise
–
با توجه به تعریف متغیر تصادفی دو جمله ای داریم:
n
n
n 1 x n x
n 1 x 1 n x
n 1 x 1 n x
n
p
q
n
p
q
p
np
x 1
x 1
x 1 p q np
x 1
x 1
x0
n
x
p x x
0
n x n x
x p q
x
n
E x
x0
n x n x
n
n
x p q p q 1 1
x0
n
هفته سوم
نکته
توزیعهای گسسته
توزیع دوجمله ای
E x x 1
n
x0
n
n
n x n x
n 1 x n x
p q
x x 1 p q
n x 1
n n 1
x0
x0
x
x 1
n n 1 p n p np
2
2
2
•
n 2 x n x
p q
x
2
2
Var ( x ) E x x 1 E x E x n p np np n p np 1 p npq
2
2
2
2
2
2
X X 1 X 2 ... X n
n
E
x
E
x
i np
i 1
n
var x var x i n var x i npq
i 1
18
هفته سوم
توزیعهای گسسته
•
توزیع دوجمله ای
–
19
مثال:در یک فرایندساخت ،چیپ های نیمه رسانایی با نسبت %2
معیوب تولید میشوند .در این سیستم تولیدی هر روز یک نمونه
50تایی گرفته شده و اگر در نمونه بیشتر از 2قطعه معیوب باشد
فرایند متوقف میشود .احتمال توقف فرایند را در هر روز بیابید.
حل :ابتدا بایستی متغیر تصادفی در این سوال تعریف شود.
Xتعداد واحدهای ناقص
50
x
n x
p x 0 . 02 0 . 98
x
p x 2 1 p X 2 1 p x 0 p x 1 p x 2 1 0 . 92 0 . 08
E x 50 0 . 02 1
هفته سوم
var x 50 0 . 02 0 . 98 0 . 98
توزیعهای گسسته
•
توزیع هندس ی
–آزمایش های برنولی مستقل از هم را در نظر بگیرید .متغیر تصادفی هندس ی ( )Xتعداد آزمایش های برنولی تا
رسیدن به اولین موفقیت می باشد .این توزیع به شکل ) Ge(pنشان داده می شود p) .احتمال موفقیت و1-
p
احتمال شکست می باشد) .از آنجا که تعداد آزمایش ها نامحدود می باشد فضای حالت به شکل
} S={1,2,…,k,...است .تابع احتمال متغیر تصادفی xبه شکل زیر می باشد و داریم:
… P(x) =q x-1p; x=1, 2,
E(x) =1/p
var(x) =q/p2
20
–
–
توزیع هندس ی به طور گسترده در مدل های ریاض ی به علت خاصیت بی
حافظگی این توزیع استفاده می شود .بی حافظگی یعنی:
n 1
هفته سوم
–
;
)p x k n | x k p ( x n
•
توزیعهای گسسته
•
توزیع هندس ی
–
مثال:در مثال قبل احتمال اینکه سومین نمونه ،اولین معیوب باشد را
بیابید.
پیروزی :یافتن معیوب
P(x=3) =0.982 *0.02
21
هفته سوم
توزیعهای گسسته
توزیع پواسون
n x n x
p x p q
x
p( x)
n
n , np
lim (1 f x
1
f (x)
lim
f ( x ) 0
E x np
var x npq
lim
n
11
1
n
1 2 n ... 1 x 1 n
1
n
x
x!
n
p( x) 1
e
lim
n n 1.... n x 1
n
x!
e
x
x!
x
1
1
n
•
n x
n
n
1 n x
22
E x
x
x0
e
x!
x
e
x
x 1! e
x 1
k 0
k 1
k!
e
k 0
k
e
e
k!
تمام خصوصیات تابع احتمال را دارد و تابع توزیع آنx در نتیجه متغیر تصادفی
.تقریبی از تابع توزیع متغیر تصادفی دو جمله ای است
هفته سوم
توزیعهای گسسته
•
توزیع پواسون
–
اگر تقاضا در مهلت تحویل برای محصولی دارای توزیع پواسون با
میانگین 10داشته باشد ،با فاصله اطمینان %95در برابر کمبود
نقطه سفارش مجدد را مشخص نمایید.
x
10
10
e
x
!x
e
!x
px
23
i
0 . 95
10
10
!i
e
x
i0
x 1, x 2 ,.... x 15
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
•
توزیع یکنواخت
–
متغیر تصادفی یکنواخت Xدر بازه S=[a,b],b>aمقادیری را اختیار
می کند که دارای احتمال یکسان می باشند .توزیع یکنواخت به
صورت )Unif(a,bنشان داده می شود .تابع چگالی به شکل زیر می
باشد:
xa
0
xa
F x
b a
1
a xb
24
xb
ab
2
b a 2
هفته سوم
12
E x
var x
a xb
otherwise
x 2 x1
ba
1
f x b a
0
p x1 X x 2
توزیعهای پیوسته
توزیع نمایی
x ~ Exp ( )
e x
x0
f x
otherwise
0
E x 1
F x 1 e
x
•
x0
var x 1
2
خاصیت بی حافظگی توزیع نمایی
–
p x s t | x s p x t
p x s t
p x s
e
st
e
s
e
t
p x t
هفته سوم
25
توزیعهای پیوسته
توزیع گاما
x
1
e dx 1 1
x
تابع گاما
–
تابع توزیع گاما
–
•
0
1 !
If X i has Exp ( ) distributa
ion then
X
X i has Gamma , distributa
ion
i 1
E x E X i E ( X i ) * E ( X i )
i 1
i 1
Var x Var X i Var ( X i ) * Var ( X i ) 2
i 1
i 1
هفته سوم
26
توزیعهای پیوسته
توزیع گاما
x ~ Gamma ( , )
1 x
x
e
x0
f x
0
otherwise
تابع توزیع گاما
1 f x
1
x
1 1
e
x
•
–
e
x
27
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
توزیع مربع کای
x ~ Gamma (
v
2
,
1
)
2
1 v
2
v
x
( )
1
x2 e 2
x0
2
f x v
2
otherwise
0
•
x ~ Chi - square( x )
v
1
( ) 2 v 1 x
x2 e 2
x0
2
v
f x
2
otherwise
0
هفته سوم
28
توزیعهای پیوسته
•
توزیع ارلنگ
–
29
هفته سوم
همان تابع توزیع گاما در حالتی است که
داریم
x i
1
!i
i0
x
Nاست .در این حالت
F x 1 e
) x ~ Erlang ( ,
x
e
1
x
! 1
f x
توزیعهای پیوسته
•
توزیع ارلنگ
–
30
مثال:دو المپ با عمر متوسط 1000ساعت با توزیع نمایی به گونهای
بسته شدهاند که در صورت خارج شدن یکی المپ دیگر روشن
میشود .احتمال اینکه بعد از 2160ساعت المپی روشن باشد ،چقدر
است.
11000 x i
1
!i
i0
1000 x
1
1 e
0 . 636 0 . 64
x i
!i
2 . 16 i
!i
1
X=X1+X2
x
F x 1 e
i0
1
2 . 160
F x 1 e
i0
1 0 . 64 0 . 36
هفته سوم
)X1 ~EXP (1/1000
)X2~EXP (1/1000
–
–
•
توزیعهای پیوسته
•
توزیع ارلنگ
–مثال:یک معاینه پزشک سه مرحله دارد که هر کدام دارای توزیع نمایی با میانگین 20دقیقه است.
با این فرضیات احتمال مدت معاینه کمتر از 50دقیقه باشد را بیابید.
X=X1+X2+X3
31
1 0 . 543 0 . 457
2 .5 i
!i
هفته سوم
2
2 .5
i0
k 1 3 1
2
Mˆ
40
1
20
1
20
1 e
1 20 50 i
!i
2
)X1 ~EXP (1/20
–
)X2~EXP (1/20
–
)X3~EXP (1/20
–
20 50
1
F 50 1 e
i0
60
3
1
20
k
E x
توزیعهای پیوسته
X ~ N ,
f x
2
1
2
1
e
(x )
2
1) lim f x
x
توزیع نرمال
2
x
•
lim f x 0
x
2) f x f x
3) Arg[ Max f ( x ) ]
32
4) F x p X x
x
5) f z
1
2
1
e
2
z
2
1
2
e
x
1
2
x
2
dt
; z z ~ N 0 ,1
1
2
1
e
2
z
2
x
dz
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
X ~ N ,
2
توزیع نرمال
E ( x)
xf x d
x
1
x
2
e
x
1
2
2
dx
Var ( x ) E ( x ) E ( x ) ( ) ( )
2
2
2
2
•
2
2
33
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
توزیع نرمال
If
X ~ N 50 , 9
Calculate
مثال
p( x 56)
•
–
56 50
X 50
p x 56 p
p z 2 2 0 . 9772
3
3
If
X ~ N 12 , 4
Calculate
p( x 1 0 ) and
p(10 x 12 )
34
10 12
F 10
1 0 . 1587
2
12 12
10 12
p 10 X 12 F 12 F 10
0 2 0 1 1
2
2
2
0 . 5 1 1 0 . 5 1 0 . 084134
0 . 3413
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
•
توزیع نرمال
–
مثال:اگر تقاضا برای محصولی دارای توزیع نرمال با میانگین 25و
واریانس 9باشد ،نقطه سفارش مجدد را به گونهای بیابید که کمبود
فقط در %5مواقع رخ دهد.
p x x 0 0 . 05
x 0 25
1
0 . 05
3
35
–
هفته سوم
x 0 25
x 0 25
1 . 65 29 . 935 30
0 . 95
3
3
اگر به هنگام رسیدن تقاضا به 30واحد سفارش خرید صادر شود
فقط در %5مواقع کمبود داریم.
توزیعهای پیوسته
توزیع لوگنرمال
•
–
متغیر تصادفی لوگنرمال همواره مثبت می باشد و اغلب برای مدلسازی
فرآیندهای تصادفی مالی به کار می رود.
2
X ~ Logn ,
) (lnx -
, x0
36
2
2
e
1
2
2
) 1
2
2
(e
2
, Var ( x ) e
2
f ( x)
E ( x) e
Note
then
X
on and Y e
هفته سوم
Distributi
on
If Y has Lognormal
X has Normal Distributi
توزیعهای پیوسته
توزیع بتا
BETA
Function
: B ( , )
x
1
(1 x )
1
0
BETA
E (x)
Distributi
on : f ( x )
, Var ( x )
x
1
(1 x )
dx
•
( ) ( )
( )
1
B ( , )
, 0 X 1
37
( ) ( 1)
2
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
•
توزیع ویبول
–
متغیرهای تصادفی وایبول اغلب در مدلسازی فرآیند فرسودگی اجزا در
تحلیل قابلیت اطمینان استفاده می شوند.
,
, 0 X
)
(-
e
1
x
f ( x)
38
) 1
هفته سوم
1
(E ( x)
2
2 1
Var ( x ) ( 1) ( 1)
2
X ~ Weibull
توزیعهای پیوسته
توزیع تی استیودنت
X ~ T Student
f X ( x)
•
n
(( n 1) / 2)
n ( n / 2)
E ( x) 0
(1
x
2
)
( n 1) / 2
, x
n
Var ( x )
,
n
n2
39
Where Z is a standard normal random variable, Y is a chi-square random variable with n
degrees of freedom, and Z and Y are independent. X has T-Student distribution
X
Z
Y n
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
X ~ F n1 , n 2
f X ( x)
توزیع فیشر
(( n1 n 2 ) / 2)
( n1 / 2) ( n 2 / 2)
E(X )
n1
[n ]
n2
n2 2
2
x
n1 / 2
[1
•
( n1 / 2 ) 1
n1
n2
x]
( n1 n 2 ) / 2
,0 x
( forn 2 2)
2
Var ( X )
2 n 2 ( n1 n 2 2)
n1 ( n 2 4 )( n 2 2)
( forn 2 4 )
40
where V and W are independent chi-square random variables with the corresponding degrees of
freedom n1,n2 X has F distribution with n1,n2 degrees of freedom.
X
V / n1
W / n2
هفته سوم
توزیعهای پیوسته
•
توزیع مثلثی
–
41
متغیر تصادفی توزیع مثلثی Xمقادیر موجود در بازه ] S=[a,cرا اختیار
می کند .احتمال در زیربازه ] [a,bبه صورت خطی افزایش می یابد و
در زیربازه ] [b,cبه صورت خطی کاهش می یابد .بنابراین تابع چگالی
این متغیر دارای شکل مثلثی می باشد .توزیع مثلثی با نماد
) Tria(a,b,cنشان می دهند و تابع چگالی آن به صورت زیر به دست
می آید:
a xb
abc
E
(
x
)
3
2
2
2
a
b
c
ab ac bc
Var ( x )
18
هفته سوم
b xc
x c, x a
) 2( x a
) ( b a )( c a
) 2(c x
f x
) ( c b )( c a
0
فرآیند پوآسون
–
تعريف :يك فرآيند پواسون داراي ويژگي هاي زير است:
«
«
پيشامدها به صورت تصادفي در نقاط خاص ي از زمان/مكان رخ مي دهند.
احتمال اينكه دقيقا يك نتيجه از پيشامد مورد نظر در فاصله زماني/مكاني به طول
Oاست كه
چنان
است كه در آن
دست آيد برابر ) t O ( t
) (t
0
) O (t
t
t 0
tبه
Lim
(متوسط تعداد نتايج بدست آمده در واحد زمان ثابت است)
« احتمال اينكه پيشامد مورد نظر بيشتر از يك نتيجه در فاصله اي به طول
داشته باشد
t
( Oاحتمال به دست آوردن بيش از يك نتيجه در يك فاصله زماني كوچك
است.
برابر
) (t
قابل اغماض است)
« به ازاي هر يك از اعداد صحيح مانند nو به ازاي هر مجموعه از زيرفاصله هاي ناسازگار
...،j2،j1و jnاگر Eiپيشامدي باشد كه دقيقا jiعدد از پيشامد موردنظر در iامین زيرفاصله
قرار مي گیرند ،آنگاه Eiها مستقل از يكديگرند( .تعداد نتايج حاصله در زمان معيني مستقل
از تعداد نتايج حاصله در دوره زماني ناسازگار با دوره قبلي است)
42
; n 0 ,1,...
هفته سوم
t n
!n
t
e
p N t s N s n
فرآیند پوآسون
•
نکاتی در توزیع پواسون
ورود به این صف دارای توزیع
پواسون با نرخ λpاست
p
43
ورود به این صف دارای توزیع
پواسون با نرخ ) λ(1-pاست
هفته سوم
1-p
ورود دارای توزیع
پواسون با نرخ λاست
فرآیند پوآسون
•
نکاتی در توزیع پواسون
ورود به این فرآیند دارای توزیع
پواسون با نرخ λاست
ورود دارای توزیع
پواسون با نرخ λp
است
ورود دارای توزیع پواسون
با نرخ ) λ(1-pاستت
44
هفته سوم
فرآیند پوآسون
•
رابطه میان فرآیند پواسون و توزیع نمایی
–
اگر تعداد پیروزی ها در فاصله زمانی 0تا tدارای توزیع پواسون
باشد ،می توان نشان داد که زمان رسیدن به اولین پیروزی دارای
توزیع نمایی است.
–
) X ~ Poisson ( t
اثبات:
n
; n 0 ,1,...
) ( t
!n
45
) صفر پیروزی در فاصله زمانی صفر تا t
t
) e
t
(1 e
t
0
f (t )
) t ~ Exp (
هفته سوم
t
1 e
) ( t
!0
t
e
p N (t ) n
( p (T t ) 1 p (T t ) 1 p
t
e
1
توزیعهای تجربی
•
•
هرگاه تعیین اینکه یک متغیر تصادفی دارای توزیع معلوم خاص ی
است ناممکن یا غیرضروری باشد از توزیع تجربی استفاده می
شود.
امتیاز توزیع معلوم در شبیه سازی امکان اصالح پارامترها به
منظور انجام تحلیل حساسیت است.
46
هفته سوم