Transcript Probability Distribution

‫بسم هللا الرحمن الرحیم‬
‫‪Probability Distribution‬‬
‫منابع ‪ :‬آمار پزشکی‪ ،‬دکتر ملک افضلی‬
‫آمار پزشکی پایه و بالینی‪ ،‬ترجمه دکتر علی اکبر سرافراز‪ ،‬کامران غفارزادگان‬
‫اردیبهشت ‪1390‬‬
‫توزيع احتماالت‬
‫‪ ‬در یک کیسه ‪ 10‬عدد گوی رنگی وجود دارد‪:‬‬
‫‪ 5 ‬عدد قرمز‬
‫‪ 3 ‬عدد سبز‬
‫‪ 2 ‬عدد آبی‬
‫‪ ‬از داخل کیسه یک گوی بر می داریم‪ ،‬احتمال اینکه ‪:‬‬
‫‪ ‬گوی مزبور قرمز باشد‬
‫‪ ‬گوی مزبور سبز باشد‬
‫‪ ‬گوی مزبور آبی باشد‬
‫‪5‬‬
‫‪ 0 .5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0 .3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 .2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ ‬فرض نمایید که در مثال قبل‪ ،‬تعداد گوی های داخل کیسه و رنگ آنها معلوم‬
‫نباشد‪ ،‬می توان با با برداشتن یک گوی از داخل کیسه و یادداشت رنگ آن و جای‬
‫گذاری مجدد آن و سپس برداشتن یک گوی دیگر و یادداشت رنگ آن و تکرار این‬
‫آزمایش به دفعات خیلی زیاد (‪ 10000‬مرتبه)‪ ،‬نسبت رنگهای گوی های داخل‬
‫کیسه را تخمین زد‪.‬‬
‫‪ ‬اگر براساس تعداد رخداد پیشامد‪ ،‬نمودار میله ای رسم شود‪ ،‬شکل زیر بدست‬
‫می آید‪.‬‬
‫‪ ‬اگر تعداد رخداد هر پیشامد به تعداد کل آزمایش ها (‪)10000‬‬
‫تقسیم شود‪ ،‬فراوانی نسبی هر پیشامد تخمین زده می شود‪:‬‬
‫‪0.4986‬‬
‫‪0.3016‬‬
‫‪0.1998‬‬
‫‪Blue‬‬
‫‪Green‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Red‬‬
‫‪ ‬فراوانی های نسبی بدست آمده‪ ،‬کامالً نزدیک به احتماالت پیشامدهای محاسبه شده‬
‫در مثال یک است‪.‬‬
‫‪ ‬توجه نمایید که حاصل جمع فراوانی های نسبی باید برابر با یک باشد‪.‬‬
‫‪ ‬براین اساس می توان استنباط کرد‪ ،‬که اگر نمودار فراوانی نسبی پیشامد را داشته‬
‫باشیم‪ ،‬می توان احتمال رخداد یک پیشامد را در هر دفعه آزمایش با درجه باالیی‬
‫از دقت تعیین نمود‪.‬‬
‫‪ ‬اگر توزیع فراوانی یک متغیر کمی مثل وزن هنگام تولد مدنظر باشد‪ ،‬به آسانی‬
‫می توان چنین توزیعی را به توزیع فراوانی تبدیل نمود‪.‬‬
‫‪ ‬در چنین مواردی مساحت کل زیر منحنی به جای مجموع کل مشاهدات برابر با‬
‫مجموع فروانی های نسبی مشاهدات یعنی یک می شود‪.‬‬
‫‪ ‬با ا ستفاده از توزیع فراوانی نسبی یک متیغر احتمال قرارگیری یک فرد در داخل‬
‫حدود معینی از مقادیر متغیر محاسبه می شود‪.‬‬
‫توزیع دو جمله ای ( ‪)Binominal Distribution‬‬
‫‪ ‬یکی ازمهمترین توزیع های صفات گسسته است که کاربرد عملی فراوان دارد‪.‬‬
‫‪ ‬توزیع دو جمله ای یک توزیع نظری می باشد‪.‬‬
‫‪ ‬این توزیع مربوط به آزمایشات تکراری است؛ یعنی اگر ما ‪ n‬آزمایش انجام دهیم‬
‫که در این ‪ n‬آزمایش‪ ،‬احتمال واقعه موردنظر ما در هربار آزمایش مساوی باشد و‬
‫فرقی نکند‪.‬‬
‫توزیع دو جمله ای‬
‫‪ ‬فرض کنید‪ ،‬که یک پیشامد یا حادثه ای تنها به یکی از دو نتیجه منتهی گردد (بلی یا‬
‫خیر‪ ،‬مثبت یا منفی) که با عالمت ‪ A‬و ‪ Ā‬نام گذاری می شوند‪.‬‬
‫‪ ‬در یک آزمایش احتمال وقوع پیشامد ‪ A‬که آن را موفقیت می نامیم‪ ،‬برابر است با‪:‬‬
‫‪ ‬احتمال وقوع پیشامد ‪P(A)=π ← A‬‬
‫‪ ‬احتمال عدم وقوع پیشامد ‪P(Ā)=1-π ← A‬‬
‫توزیع دو جمله ای‬
‫هرگاه این آزمایش را در شرایط یکسان دو بار تکرار کنیم‪ ،‬حاالت مختلف از نظر وقوع پیشامد‬
‫مثبت عبارتند از‪:‬‬
‫‪P( AA)  P( A)  P( A)  P  P  P 2‬‬
‫هر دو موفقیت‬
‫)‪P(AÂ‬ل موفقیت و بار دوم عدم موفقیت‬
‫) ‪  P( A)  P(Â)  P  (1  P‬بار او‬
‫)‪P(ÂA‬اول عدم موفقیت و بار دوم موفقیت‬
‫‪  P(Â) P( A)  (1  P )  P‬بار‬
‫)‪P(ÂÂ‬بار عدم موفقیت‬
‫‪  P(Â) P(Â)  (1  P )  (1  P )  (1  P )2‬هر دو‬
‫حال اگر فرض شود )‪ q=(1-p‬باشد‪ ،‬نتیجه می گیریم که این جمالت یعنی ‪ p2‬و‪ 2pq‬و‪q2‬‬
‫ازبسط دوجمله ای‪ (p+ q)2‬حاصل می شود‪.‬‬
‫‪( p  q)2  p 2  q 2  2 pq‬‬
‫توزیع دو جمله ای‬
Pn ( x)  C P (1  P )
x
n
x
n x
n!
x
n x
Pn ( x ) 
P (1  P )
x! ( n  x )!
‫توزیع دو جمله ای‬
‫‪ ‬بطور خالصه‪:‬‬
‫توزیع دو جمله ای برای پاسخ دادن به پرسش هایی مفید است‬
‫که در آن احتمال تعداد ‪ X‬پیشامد در ‪ n‬آزمایش مستقل‬
‫مطرح است‪ ،‬زمانی که احتمال وقوع هر دفعه آن پیشامد ثابت‬
‫و برابر ‪ π‬باشد‪.‬‬
‫توزیع دو جمله ای‬
‫‪ ‬مثال‪ :‬احتمال مرگ و میر در یک عمل جراحی ‪ 0.1‬است‪ .‬اگر قرار باشد این عمل‬
‫روی ‪ 5‬نفر انجام گیرد‪ ،‬احتمال ‪ 2‬مورد مرگ چقدر است؟‬
‫‪1 2  3  4  5‬‬
‫‪P5 (2) ‬‬
‫‪(0.1) 2 (0.9)3  0.729‬‬
‫)‪1 2(1 2  3‬‬
‫توزیع دو جمله ای‬
‫‪ ‬چنانچه درتوزیع دوجمله ای تعداد موفقیت‪ ،‬موردنظرباشد‪ ،‬داریم‪:‬‬
‫میانگین‪μ=np :‬‬
‫انحراف معیار‪δ=√npq :‬‬
‫‪ ‬چنانچه بجای تعدادموفقیت نسبت موفقیت موردنظر باشد ازآنجا‬
‫که کلیه مقادیر ‪ x‬به عددثابت ‪ n‬تقسیم می گردد داریم‪:‬‬
‫انحراف معیار‪δ=√pq /n :‬‬
‫میانگین‪μ=p :‬‬
‫توزیع پوآسون (‪)Poisson Distribution‬‬
‫ً‬
‫‪ ‬ازتوزیع های مهم برای صفات گسسته می باشد که نسبتا زیادازآن‬
‫استفاده می شود‬
‫‪ ‬از این توزیع می توان درمسایلی از نوع توزیع دوجمله ای که درآن ‪n‬‬
‫بسیار بزرگ و ‪ p‬بسیار کوچک باشد جهت تسهیل در محاسبه و با‬
‫تقریب قابل قبول استفاده نمود‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫!‪x‬‬
‫‪P( x) ‬‬
‫‪ ‬که در آن ‪ λ‬مقدار میانگین و واریانس توزیع پواسن می باشد(‪ )λ=np‬و ‪ ℓ‬پایه لگاریتم‬
‫طبیعی است و برابر ‪ 2.7183‬می باشد‪.‬‬
‫توزیع پواسن‬
‫‪ ‬مثال‪ :‬در یک آزمون تکراری‪ ،‬احتمال موفقیت در هر بار آزمایش ‪ P=0.001‬است‪ .‬این‬
‫آزمون را ‪ 2000‬بار تکرار می نماییم‪ ،‬احتمال اینکه تعداد موفقیت مشاهده شده مساوی‬
‫یک باشد‪ ،‬چقدر است؟‬
‫‪x‬‬
‫!‪X‬‬
‫‪P ( X )   ‬‬
‫‪  n  p  2000 0.001  2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2.7183‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P (1)  ‬‬
‫موفق باشيد‪.‬‬