Probability Distribution
Download
Report
Transcript Probability Distribution
بسم هللا الرحمن الرحیم
Probability Distribution
منابع :آمار پزشکی ،دکتر ملک افضلی
آمار پزشکی پایه و بالینی ،ترجمه دکتر علی اکبر سرافراز ،کامران غفارزادگان
اردیبهشت 1390
توزيع احتماالت
در یک کیسه 10عدد گوی رنگی وجود دارد:
5 عدد قرمز
3 عدد سبز
2 عدد آبی
از داخل کیسه یک گوی بر می داریم ،احتمال اینکه :
گوی مزبور قرمز باشد
گوی مزبور سبز باشد
گوی مزبور آبی باشد
5
0 .5
10
3
0 .3
10
2
0 .2
10
فرض نمایید که در مثال قبل ،تعداد گوی های داخل کیسه و رنگ آنها معلوم
نباشد ،می توان با با برداشتن یک گوی از داخل کیسه و یادداشت رنگ آن و جای
گذاری مجدد آن و سپس برداشتن یک گوی دیگر و یادداشت رنگ آن و تکرار این
آزمایش به دفعات خیلی زیاد ( 10000مرتبه) ،نسبت رنگهای گوی های داخل
کیسه را تخمین زد.
اگر براساس تعداد رخداد پیشامد ،نمودار میله ای رسم شود ،شکل زیر بدست
می آید.
اگر تعداد رخداد هر پیشامد به تعداد کل آزمایش ها ()10000
تقسیم شود ،فراوانی نسبی هر پیشامد تخمین زده می شود:
0.4986
0.3016
0.1998
Blue
Green
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Red
فراوانی های نسبی بدست آمده ،کامالً نزدیک به احتماالت پیشامدهای محاسبه شده
در مثال یک است.
توجه نمایید که حاصل جمع فراوانی های نسبی باید برابر با یک باشد.
براین اساس می توان استنباط کرد ،که اگر نمودار فراوانی نسبی پیشامد را داشته
باشیم ،می توان احتمال رخداد یک پیشامد را در هر دفعه آزمایش با درجه باالیی
از دقت تعیین نمود.
اگر توزیع فراوانی یک متغیر کمی مثل وزن هنگام تولد مدنظر باشد ،به آسانی
می توان چنین توزیعی را به توزیع فراوانی تبدیل نمود.
در چنین مواردی مساحت کل زیر منحنی به جای مجموع کل مشاهدات برابر با
مجموع فروانی های نسبی مشاهدات یعنی یک می شود.
با ا ستفاده از توزیع فراوانی نسبی یک متیغر احتمال قرارگیری یک فرد در داخل
حدود معینی از مقادیر متغیر محاسبه می شود.
توزیع دو جمله ای ( )Binominal Distribution
یکی ازمهمترین توزیع های صفات گسسته است که کاربرد عملی فراوان دارد.
توزیع دو جمله ای یک توزیع نظری می باشد.
این توزیع مربوط به آزمایشات تکراری است؛ یعنی اگر ما nآزمایش انجام دهیم
که در این nآزمایش ،احتمال واقعه موردنظر ما در هربار آزمایش مساوی باشد و
فرقی نکند.
توزیع دو جمله ای
فرض کنید ،که یک پیشامد یا حادثه ای تنها به یکی از دو نتیجه منتهی گردد (بلی یا
خیر ،مثبت یا منفی) که با عالمت Aو Āنام گذاری می شوند.
در یک آزمایش احتمال وقوع پیشامد Aکه آن را موفقیت می نامیم ،برابر است با:
احتمال وقوع پیشامد P(A)=π ← A
احتمال عدم وقوع پیشامد P(Ā)=1-π ← A
توزیع دو جمله ای
هرگاه این آزمایش را در شرایط یکسان دو بار تکرار کنیم ،حاالت مختلف از نظر وقوع پیشامد
مثبت عبارتند از:
P( AA) P( A) P( A) P P P 2
هر دو موفقیت
)P(AÂل موفقیت و بار دوم عدم موفقیت
) P( A) P(Â) P (1 Pبار او
)P(ÂAاول عدم موفقیت و بار دوم موفقیت
P(Â) P( A) (1 P ) Pبار
)P(ÂÂبار عدم موفقیت
P(Â) P(Â) (1 P ) (1 P ) (1 P )2هر دو
حال اگر فرض شود ) q=(1-pباشد ،نتیجه می گیریم که این جمالت یعنی p2و 2pqوq2
ازبسط دوجمله ای (p+ q)2حاصل می شود.
( p q)2 p 2 q 2 2 pq
توزیع دو جمله ای
Pn ( x) C P (1 P )
x
n
x
n x
n!
x
n x
Pn ( x )
P (1 P )
x! ( n x )!
توزیع دو جمله ای
بطور خالصه:
توزیع دو جمله ای برای پاسخ دادن به پرسش هایی مفید است
که در آن احتمال تعداد Xپیشامد در nآزمایش مستقل
مطرح است ،زمانی که احتمال وقوع هر دفعه آن پیشامد ثابت
و برابر πباشد.
توزیع دو جمله ای
مثال :احتمال مرگ و میر در یک عمل جراحی 0.1است .اگر قرار باشد این عمل
روی 5نفر انجام گیرد ،احتمال 2مورد مرگ چقدر است؟
1 2 3 4 5
P5 (2)
(0.1) 2 (0.9)3 0.729
)1 2(1 2 3
توزیع دو جمله ای
چنانچه درتوزیع دوجمله ای تعداد موفقیت ،موردنظرباشد ،داریم:
میانگینμ=np :
انحراف معیارδ=√npq :
چنانچه بجای تعدادموفقیت نسبت موفقیت موردنظر باشد ازآنجا
که کلیه مقادیر xبه عددثابت nتقسیم می گردد داریم:
انحراف معیارδ=√pq /n :
میانگینμ=p :
توزیع پوآسون ()Poisson Distribution
ً
ازتوزیع های مهم برای صفات گسسته می باشد که نسبتا زیادازآن
استفاده می شود
از این توزیع می توان درمسایلی از نوع توزیع دوجمله ای که درآن n
بسیار بزرگ و pبسیار کوچک باشد جهت تسهیل در محاسبه و با
تقریب قابل قبول استفاده نمود.
x
!x
P( x)
که در آن λمقدار میانگین و واریانس توزیع پواسن می باشد( )λ=npو ℓپایه لگاریتم
طبیعی است و برابر 2.7183می باشد.
توزیع پواسن
مثال :در یک آزمون تکراری ،احتمال موفقیت در هر بار آزمایش P=0.001است .این
آزمون را 2000بار تکرار می نماییم ،احتمال اینکه تعداد موفقیت مشاهده شده مساوی
یک باشد ،چقدر است؟
x
!X
P ( X )
n p 2000 0.001 2
2 2
2
2
1
2.7183
2
P (1)
موفق باشيد.