Transcript Document

‫سیستم صف ‪M/M/m/K‬‬
‫دكتر مجيد وفايي جهان‬
‫مدلسازي و ارزيابي كارايي سيستم‌هاي كامپيوتري‌‬
‫تهيه شده‪ :‬مريم رحيمي‬
‫تعریف سیستم صف ‪M/M/m/K‬‬
‫‪ ‬این سیستم حاصل ترکیب دو مدل صف ‪ M/M/1/K‬و ‪ M/M/m‬است‪.‬‬
‫‪ ‬در این مدل‪ m ،‬سرویس دهنده به طور موازی سرویس دهی را انجام می‬
‫دهند و گنجایش صف محدود است و ‪ K‬نفر ظرفیت دارد‪.‬‬
‫‪ ‬چنانچه مجموعا افراد داخل سیستم ‪ K‬باشد‪ ،‬از ورود افراد جدید جلوگیری‬
‫می شود‪.‬‬
‫‪ ‬فرض براین است که افراد پس از برگشتن به دلیل پر بودن صف ‪ ،‬مجددا‬
‫مراجعه نمی کنند‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫زنجیره مارکوف مدل صف ‪M/M/m/K‬‬
‫زنجیره مارکوف مدل صف چند سرویس دهنده با ظرفیت محدود به شکل زیر‬
‫است‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫نرخ ورود و نرخ سرویس در مدل صف ‪M/M/m/K‬‬
‫در این سیستم ‪ ،‬افراد با نرخ‪ ‬و توزیع پواسن وارد می شوند و با نرخ‪‬‬
‫و توزیع‬
‫نمایی سرویس می گیرند‪ .‬و برای ‪state‬های مختلف داریم‪:‬‬
‫‪ if n  K‬‬
‫‪n  ‬‬
‫‪0 if n  K‬‬
‫‪n if n  m‬‬
‫‪n  ‬‬
‫‪m if m  n  K‬‬
‫‪4‬‬
‫نرخ ورود و نرخ سرویس در مدل صف ‪M/M/m/K‬‬
‫‪ ‬افرادی که به این سیستم مراجعه می کنند‪ ،‬لزوما وارد سیستم نمی شوند و‬
‫درصدی از افراد به علت تکمیل ظرفیت‪ ،‬از ورود به سیستم باز می مانند‪ .‬این‬
‫درصد برابر درصدی از زمان است که سیستم دارای ‪ K‬مشتری است‪ .‬بناب‪k‬ر‪p‬‬
‫این‪،‬‬
‫درصد مراجعین وارد‬
‫از ورود درصد مشتری جلوگیری می‬
‫شود‪P‬و‪‬تنها‪(1‬‬
‫)‪k‬‬
‫می شوند ‪:‬‬
‫) ‪   (1  Pk‬‬
‫‪5‬‬
‫ضریب بهره وری‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬و طبق خاصیت این سیستم‬
‫‪ ‬ضریب بهره وری طبق تعریف برابر با‬
‫‪‬‬
‫همواره کوچک تر از یک است‪ .‬البته در این مدل ‪ ‬می تواند مقداری بیش‬
‫‪‬‬
‫از یک داشته باشد و سیستم پایدار بماند‪ ،‬زیرا تعداد افراد داخل سیستم‬
‫هرگز به بی نهایت نمی رسد و حداکثر ‪ K‬خواهد بود‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫معادالت حالت‬
‫ طبق فرایند تولد و مرگ و معادله تعادل (تساوی نرخ ورود و خروج) می توان‬
:‫معادالت حالت را به شکل زیر نوشت‬
 p 0   p1  p1   p 0
 p 0  2  p 2   p1   p1  p 2 
2
 p1  3 p3   p 2  2  p 2  p3 
2
p0
3
6
p0

p m  2  m p m   p m 1  (m  1)  p m 1  p m 
m
m!
p0

p k 1  m p k  p k 
k
m! m
k m
p0
7
‫معادالت حالت‬
‫مقدار‪p‬‬
‫بعد از محاسبه‬
‫‪n‬‬
‫داریم‪:‬‬
‫) ‪(‬‬
‫‪p0 if n  m‬‬
‫‪‬‬
‫!‪ n‬‬
‫‪pn  ‬‬
‫‪n‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪p0 if m  n  K‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪ m !m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪K‬‬
‫همین طور با استفاده از ر ‪1‬‬
‫ابطه‪ p ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ،‬برای مقدار‬
‫داریم‪:‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p0  m1‬‬
‫‪( ) n K ( ) n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪n‬‬
‫!‬
‫‪m‬‬
‫!‬
‫‪m‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪8‬‬
‫معادالت پارامترهای صف‬
‫‪ ‬برای محاسبه متوسط کل افراد داخل سیستم و همینطور متوسط تعداد‬
‫افراد منتظر در صف معادالت به صورت زیر خواهد‪ m‬بود‪ :‬‬
‫) ‪(‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p0 m‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫!‪(1  ) 2 m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪( )m‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪N Q  p0 m‬‬
‫‪ 2‬‬
‫!‪(1  ) m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪9‬‬
‫معادالت پارامترهای صف‬
‫‪ ‬برای باقی پارامترها از قانون لیتل استفاده می کنیم و نتایج را می یابیم‪:‬‬
‫‪NQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪TQ ‬‬
‫‪T  TS  TQ‬‬
‫‪N T‬‬
‫‪10‬‬
‫مراجع‬
‫‪M/M/c queue. In wikipedia. Retrieved February 13,‬‬
‫‪2012 , from http://en.wikipedia.org/wiki/M/M/c_queue.‬‬
‫‪ ‬مجید وفایی جهان ‪ « ،‬مدلسازی و شبیه سازی کامپیوتری » ‪ ،‬انتشارات سخن گستر و‬
‫معاونت پژوهش ی دانشگاه آزاد اسالمی واحد مشهد ‪148-151 ، 1391:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬