Transcript Document
سیستم صف M/M/m/K
دكتر مجيد وفايي جهان
مدلسازي و ارزيابي كارايي سيستمهاي كامپيوتري
تهيه شده :مريم رحيمي
تعریف سیستم صف M/M/m/K
این سیستم حاصل ترکیب دو مدل صف M/M/1/Kو M/M/mاست.
در این مدل m ،سرویس دهنده به طور موازی سرویس دهی را انجام می
دهند و گنجایش صف محدود است و Kنفر ظرفیت دارد.
چنانچه مجموعا افراد داخل سیستم Kباشد ،از ورود افراد جدید جلوگیری
می شود.
فرض براین است که افراد پس از برگشتن به دلیل پر بودن صف ،مجددا
مراجعه نمی کنند.
2
زنجیره مارکوف مدل صف M/M/m/K
زنجیره مارکوف مدل صف چند سرویس دهنده با ظرفیت محدود به شکل زیر
است:
3
نرخ ورود و نرخ سرویس در مدل صف M/M/m/K
در این سیستم ،افراد با نرخ و توزیع پواسن وارد می شوند و با نرخ
و توزیع
نمایی سرویس می گیرند .و برای stateهای مختلف داریم:
if n K
n
0 if n K
n if n m
n
m if m n K
4
نرخ ورود و نرخ سرویس در مدل صف M/M/m/K
افرادی که به این سیستم مراجعه می کنند ،لزوما وارد سیستم نمی شوند و
درصدی از افراد به علت تکمیل ظرفیت ،از ورود به سیستم باز می مانند .این
درصد برابر درصدی از زمان است که سیستم دارای Kمشتری است .بنابkرp
این،
درصد مراجعین وارد
از ورود درصد مشتری جلوگیری می
شودPوتنها(1
)k
می شوند :
) (1 Pk
5
ضریب بهره وری
و طبق خاصیت این سیستم
ضریب بهره وری طبق تعریف برابر با
همواره کوچک تر از یک است .البته در این مدل می تواند مقداری بیش
از یک داشته باشد و سیستم پایدار بماند ،زیرا تعداد افراد داخل سیستم
هرگز به بی نهایت نمی رسد و حداکثر Kخواهد بود.
6
معادالت حالت
طبق فرایند تولد و مرگ و معادله تعادل (تساوی نرخ ورود و خروج) می توان
:معادالت حالت را به شکل زیر نوشت
p 0 p1 p1 p 0
p 0 2 p 2 p1 p1 p 2
2
p1 3 p3 p 2 2 p 2 p3
2
p0
3
6
p0
p m 2 m p m p m 1 (m 1) p m 1 p m
m
m!
p0
p k 1 m p k p k
k
m! m
k m
p0
7
معادالت حالت
مقدارp
بعد از محاسبه
n
داریم:
) (
p0 if n m
! n
pn
n
(
)
p0 if m n K
nm
m !m
n
K
همین طور با استفاده از ر 1
ابطه p
n
،برای مقدار
داریم:
n 0
1
p0 m1
( ) n K ( ) n
nm
n
!
m
!
m
n 0
nm
8
معادالت پارامترهای صف
برای محاسبه متوسط کل افراد داخل سیستم و همینطور متوسط تعداد
افراد منتظر در صف معادالت به صورت زیر خواهد mبود :
) (
p0 m
m
!(1 ) 2 m
m
( )m
N
N Q p0 m
2
!(1 ) m
m
9
معادالت پارامترهای صف
برای باقی پارامترها از قانون لیتل استفاده می کنیم و نتایج را می یابیم:
NQ
TQ
T TS TQ
N T
10
مراجع
M/M/c queue. In wikipedia. Retrieved February 13,
2012 , from http://en.wikipedia.org/wiki/M/M/c_queue.
مجید وفایی جهان « ،مدلسازی و شبیه سازی کامپیوتری » ،انتشارات سخن گستر و
معاونت پژوهش ی دانشگاه آزاد اسالمی واحد مشهد 148-151 ، 1391:
11