Transcript دانلود

‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪1‬‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫رشتة هاي علوم پزشكي وشاخه هاي مرتبط‬
‫‪ 2‬واحد درسي‬
‫مطابق با سرفصل های مصوب‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪2‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫احتمال‬
‫‪3‬‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪ ‬احتمال‪ :‬اندازه ای است عددی که به يک پديده تصادفی نسبت می دهيم‪.‬‬
‫‪ ‬آزمايش تصادفی‪ :‬هر آزمايشی که از قبل نتوان نتيجه آن را به طور قطع بيان‬
‫کرد‪ ،‬يک آزمايش تصادفی است‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪‬پرتاب يک تاس‬
‫‪‬نتيجه يک عمل جراحی‬
‫‪‬مدت زمانی که طول می کشد يک بيمار بهبود پيدا کند‪.‬‬
‫‪‬تعداد تکرارآزمايش تا يافتن يک مورد بيماری‬
‫‪‬تعيين گروه خون يک بيمار‬
‫‪ ‬فضای نمونه‪ :‬به تمامی حاالت ممکنی که در يک آزمايش تصادفی رخ می دهد‪،‬‬
‫فضای نمونه می گويند‪ .‬فضاي نمونه را با ‪ S‬نشان مي دهند‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫فضاي نمونه مربوط به نتيجه يك عمل جراحي‬
‫فضاي نمونه پرتاب يك تاس (مكعب شش وجهي)‬
‫فضاي نمونه آزمايش گروه خون يك فرد‬
‫فضاي نمونه انتخاب عددي در فاصله صفر تا دو‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪‬‬
‫بهبودي ‪ ،‬عدم بهبودي‬
‫‪‬‬
‫‪S ‬‬
‫}‪S  {1, 2, 3, 4, 5, 6‬‬
‫‪S   A , O , B , AB ‬‬
‫‪x | 0  x  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ‬‬
‫توجه داشته باشید که هر فضاي‬
‫نمونه يك مجموعه است كه ممكن‬
‫است گسسته يا پيوسته باشند‪.‬‬
‫پيشامد‬
‫به هر زير مجموعه فضاي نمونه‪ ،‬يك پيشامد مي‌گوئيم و پيشامدها را با حروف ‪ A‬و ‪ B‬و‪ ...‬نشان مي‌دهيم‬
‫‪5‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫فرض كنيد فضاي نمونه ‪ S‬داراي ‪ n‬عضو است و عضوها از نظر رخ دادن همشانس هستند‪.‬‬
‫اگر ‪ A‬پيشامدي از این فضاي نمونه باشد‪ ،‬احتمال وقوع ‪ A‬را به صورت زير تعريف مي‌كنيم‪.‬‬
‫احتمال‬
‫‪‬‬
‫‪n A‬‬
‫‪‬‬
‫‪n S‬‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P A‬‬
‫تعداد عضوهای ‪A‬‬
‫تعداد عضوهای ‪S‬‬
‫حالتهايی كه امکان رخداد ‪ A‬وجود دارد‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫همه حالتهائي كه ممكن است رخ دهد‬
‫مثال‪ :‬پرتاب تاس‪ ،‬مثال واضحي از فضاي نمونه‌اي است كه عضوهاي آن هم شانس‌اند‪ .‬يعني احتمال وقوع هر‬
‫‪1‬‬
‫است و فضای نمونه آن به صورت زیر است‪:‬‬
‫طرف آن‬
‫‪6‬‬
‫‪1, 2, 3, 4, 5, 6‬‬
‫احتمال هر یک از پيشامدهاي زیر را بدست می آوریم‪.‬‬
‫‪ :A‬پيشامد اينكه عددی فرد رو شود‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ :B‬پيشامد رو شدن عددي كمتر از ‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n A‬‬
‫‪‬‬
‫‪n S‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n B‬‬
‫‪‬‬
‫‪n S‬‬
‫‪ 3 P‬‬
‫‪‬‬
‫‪B ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n A‬‬
‫‪ 4 P‬‬
‫‪‬‬
‫‪1, 3, 5‬‬
‫‪ n B‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪1, 2, 3, 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫قوانين‬
‫احتمال‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪ )1‬احتمال پيشامد حتمي يك (‪100‬درصد) است‪.‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪ )2‬احتمال پيشامد غير ممكن صفر است‪.‬‬
‫‪P S‬‬
‫‪P    0‬‬
‫‪ )3‬احتمال هر پيشامد مانند ‪ ،A‬غير منفي است ‪.‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪0  P‬‬
‫‪ )4‬گر ‪ A‬و ‪ B‬دو پيشامد هم ارز باشند‪ ،‬احتمال هاي آنها با هم مساوي است‪.‬‬
‫‪ )5‬اگر ‪ A‬زير مجموعه ‪ B‬باشد‪ ،‬احتمال ‪ A‬كوچكتر يا مساوي احتمال ‪ B‬است‪.‬‬
‫قانون‬
‫جمع‬
‫احتمال‬
‫‪7‬‬
‫‪ )6‬اگر‪ ،A ‬متمم پيشامد ‪ A‬باشد‪.‬‬
‫‪ )7‬اگر ‪ A‬و ‪ B‬دو پيشامد دلخواه باشند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P B‬‬
‫)‪, P ( A )  1  P ( A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P A  B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P A‬‬
‫‪A  B‬‬
‫‪‬‬
‫‪P  A   1  P  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪P A  B‬‬
‫‪ P A‬‬
‫‪‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫مثال‪ 60 :‬درصد بيماران در يك بيمارستان بيمار قلبي‪ 50 ،‬درصد بيمار كليوي و ‪ 30‬درصد هر دو بيماري را دارند‪ .‬اگر بيماري‬
‫را به تصادف انتخاب كنيم‪ ،‬احتمال اينكه‪:‬‬
‫الف) بيمار قلبي يا كليوي باشد چقدر است؟‬
‫ب) بيماري نوع ديگري داشته باشد؟‬
‫‌الف)‌اگر پيشامد ‪ F‬را انتخاب بيمار قلبي‬
‫و ‪ W‬را پيشامد انتخاب بيمار كليوي‬
‫در نظر بگيريم؛ داريم‪:‬‬
‫ب)‌پيشامد اينكه بيماري نوع ديگري داشته باشد‪،‬‬
‫متمم اين پيشامد است كه يا بيمار كليوي باشد يا‬
‫بيمار قلبي‪ ،‬پس‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P F  W‬‬
‫‪ P W‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P F‬‬
‫‪‬‬
‫‪P F  W‬‬
‫‪ 0/ 6  0/ 5  0/ 3  0/ 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪P  F  W   1  P  F  W‬‬
‫‪ 1  0/ 8  0/ 2‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫استقالل پيشامدها‪ :‬دو پيشامد ‪ A‬و ‪ B‬را مستقل مي‌گويند هرگاه احتمال رخ دادن‬
‫پيشامد ‪ A‬به پيشامد ‪ B‬و بلعكس ربطي نداشته باشد‪ .‬يعني‪:‬‬
‫) ‪B )  P (A )  P (B‬‬
‫‪P (A‬‬
‫قانون‬
‫ضرب‬
‫احتمال‬
‫اگر ‪A1 , A2 , ..., An‬پیشامدهای مستقلي از فضای نمونه ‪ S‬باشند به طوری که امکان رخ دادن همزمان آنها وجود‬
‫داشته باشد‪ ،‬آنگاه احتمال اتفاق افتادن همزمان آنها از رابطه زير كه (قانون ضرب) به دست مي آيد‪.‬‬
‫) ‪P ( A 1  A 2  ...  A n )  P ( A 1 ).P ( A 2 / A 1 ).P ( A 3 / A 1 , A 2 )...P ( A n / A 1 , A 2 ..., A n 1‬‬
‫‪9‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫مثال‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫جعبه‌ای شامل ‪ 30‬اسم که ‪ 5‬تای آن اسم دختر و بقیه پسراند‪ 3 .‬اسم پشت سر‌هم‬
‫به تصادف از این جعبه برمی‌داریم و یکی بعد از دیگری قرائت مي‌كنيم‪ .‬احتمال این‬
‫که دو اسم اول دختر و سومی اسم پسر باشد چقدر است؟‬
‫حل‪ :‬اگر پیشامد های ‪ C3 ,S2 S1‬را به ترتیب پیشامدهای انتخاب اسم هاي دختر در استخراج‬
‫اول و دوم و اسم پسر در استخراج سوم در نظر بگيریم‪ ،‬داریم‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1218‬‬
‫‪‬‬
‫‪25‬‬
‫‪28‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪29‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪30‬‬
‫‪C 3 )  P ( S 1 ). P ( S 2 / S 1 ). P ( C 2 S 1S 2 ) ‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪P ( S1‬‬
‫توجه‪ :‬همان گونه كه مي بينيد‪ ،‬اين گونه پيشامدها مستقل نيستند زيرا احتمال آنها به يكديگر‬
‫وابسته است‪ .‬در اين مثال در صورتي كه اسامي برداشت شده در هر مرحله را به جاي‬
‫خود برگردانيم‪ ،‬آنوقت پيشامدها مستقل بودند‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫مثال‪ :‬اطالعات مربوط به ‪ 100‬بيمار بستري در يك بيمارستان قلب به صورت جدول زير در اختيار‬
‫است‪.‬‬
‫از بين اسامي اين بيماران‪ ،‬يک نفر به تصادف انتخاب ميکنيم؛‬
‫الف‪ -‬احتمال اينکه سيگاري نباشد چقدر است؟ پاسخ‪%25 :‬‬
‫ب‪ -‬اگر بدانيم كم سيگار مصرف ميكند‪ ،‬احتمال اينكه عوارض قلبي شديد داشته باشد‬
‫چقدر است؟ پاسخ‪% 30 :‬‬
‫ج‪ -‬چند درصد از بيماران غير سيگاري داراي عوارض شديد اند؟ پاسخ‪%24 :‬‬
‫عوارض مشاهده شده قلبي‬
‫جمع‬
‫‪35‬‬
‫‪40‬‬
‫‪25‬‬
‫‪100‬‬
‫‪11‬‬
‫ضعيف‬
‫‪18‬‬
‫‪10‬‬
‫‪14‬‬
‫‪42‬‬
‫متوسط‬
‫‪11‬‬
‫‪18‬‬
‫‪5‬‬
‫‪34‬‬
‫شديد‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪24‬‬
‫زياد‬
‫كم‬
‫عدم مصرف‬
‫جمع‬
‫مصرف‬
‫سيگار‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫احتمال تجربی‬
‫شرکت‬
‫در مطالعه ‌‬
‫در مباحث آماري‌ یکی ‌از موضوعات مهمی که مطرح است دانستن توزیع احتمال متغيرهایی است که ‌‬
‫‌‬
‫دارند‪ .‬همواره این سوال وجود دارد که چگونه می توان یک الگوی‌ احتمال برای یک آزمایش پیدا کرد؟ یا چگونه می توان‬
‫قضاوت کرد که فالن مدل احتمال برای یک آزمایش الگویی برازنده است؟‬
‫فرض كنيد ‪ A‬پيشامدي باشد كه بخواهيم احتمال آن را در یک آزمایش تصادفی حساب كنيم‪ .‬براي اين كار‬
‫آزمايش را ‪ n‬بار تكرار مي‌كنيم‪ .‬فرض کنید ‪ K‬تعداد دفعاتي باشد كه پيشامد ‪ A‬رخ می دهد‪ .‬در این صورت‬
‫فراواني نسبي پيشامد ‪ A‬در ‪ n‬بار آزمايش را احتمال تجربی پیشامد ‪ A‬می گوییم‪ .‬این احتمال با افزایش تکرار‬
‫آزمایش پایدار می شود‪.‬‬
‫فراوانی های نسبی در جدول توزیع فراوانی را می توان احتمال های تجربی‬
‫انگاشت‪ .‬البته با افزایش حجم نمونه این احتماالت دقیقتر می شوند‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪12‬‬
‫‪P ( A)  lim‬‬
‫‪n ‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫مثال‪ :‬فرض کنید می خواهیم الگوی احتمال انتخاب ‪ 3‬کاندیدای رياست جمهوري را در یک دوره انتخابات تعیين کنیم‪ .‬بر‬
‫این اساس در مورد سه كانديد‌اي ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬از ‪ 1000‬نفر نظر خواهي کرده ایم‪ .‬نتايج جمع آوري شده به صورت زیر‬
‫است‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫احتمال تجربی انتخاب هر کاندیدا‬
‫‪C‬‬
‫نام کاندیدا‬
‫‪A‬‬
‫‪210 380 410‬‬
‫تعداد رای‬
‫‪0/21 0/38 0/41‬‬
‫فراوانی نسبی‬
‫بر ااساس این الگوی احتمال اگر جمعیت واجد شرایط رای گيری در کشور ‪ 18700000‬نفر باشند‪ ،‬تقریبا چند نفر‬
‫به کاندیدای ‪ B‬رای خواهند داد‪.‬‬
‫پاسخ ‪ 7106000‬نفر‬
‫‪13‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫به منظور تعيين نسبت جنسيت در سال ‪ 1989‬يك مطالعه در ايرلند نشان داد از ‪ 51659‬تولد ‪ 26613‬تولد پسر و‬
‫بقيه دختر بودند‪ .‬بنا براين احتمال تجربي تولد يك پسر در ايرلند ‪ 0/515‬و احتمال تجربي تولد يك دختر ‪0/485‬‬
‫است‪.‬‬
‫جالب است بدانيد بر اساس احتمال تجربي‪ ،‬نسبت جنسيت در تمام نژادها روي كره زمين‪،‬‬
‫يكسان و در برابر هر ‪ 100‬دختر ‪ 105‬پسر متولد مي شود!‬
‫‪14‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫در محاسبه احتماالتي كه روي فضاي نمونه گسسته تعريف مي شوند‪ ،‬نياز به دانستن بعض ي قواعد شمارش داريم‪.‬‬
‫قواعد متعددي براي شمارش وجود دارند كه در زير به بعض ي از آنها كه مورد استفاده بيشتري دارند‪ ،‬اشاره مي كنيم‪.‬‬
‫اصل‬
‫ترتيب‬
‫تعداد حالت هايي كه مي توان از بين ‪ n‬ش يء ‪ r‬ش ی را کنار یکدیگر قرار داد‪ ،‬ترتيب هاي ‪ r‬تائي از ‪ n‬ش يء‬
‫گوییم و‪r‬از رابطه زير به دست مي آيد‪:‬‬
‫مختلف (‬
‫) می ‪ n‬‬
‫‪ n !  n  ( n  1)  ( n  2)  ...  2  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5!  5 4  3  2  1  120‬‬
‫مثال‬
‫!‪ r ‬‬
‫از بين ‪ 5‬نفر به چند حالت می توان‬
‫الف‪ -‬صف های ‪ 3‬تائي ساخت؟‬
‫ب‪ -‬صف هاي ‪ 5‬تايي ساخت؟‬
‫الف‪ -‬صف هاي ‪3‬تايي‬
‫‪ 5  4  3  60‬‬
‫ب‪ -‬تعداد صف هاي ‪ 5‬تايي‬
‫‪n‬‬
‫انتخاب با ترتیب‬
‫!‪5  4  3  2‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪‬‬
‫!‪5‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪‬‬
‫!‪5‬‬
‫! ‪ 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪P5‬‬
‫‪5!  120‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫اصل‬
‫ترکیب‬
‫در بسياري از مباحث آماري موضوع انتخاب مطرح است‪ .‬انتخاب ‪ r‬ش يء از بين ‪ n‬ش يء بدون در نظر‬
‫گرفتن ترتيب آنها‪ ،‬تركيب نام دارد‪ .‬تعداد ترکیب های ممکن ‪ r‬ش ی از بين ‪ n‬ش یء‬
‫را به صورت زیر می نویسیم‪:‬‬
‫!‪n‬‬
‫در ترکیب‪ ،‬ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت ندارد‬
‫! ‪r ! n  r ‬‬
‫انتخاب بدون ترتیب‬
‫مثال‪ :‬به چند طريق مي‌توان از بين ‪ 7‬دانشجو ‪ 3‬نفر از آنها را براي‬
‫شرکت در یک کنفرانس انتخاب كرد‪.‬‬
‫‪ 35‬‬
‫!‪7  6  5  4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪16‬‬
‫‪‬‬
‫!‪7‬‬
‫! ‪3!  7  3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪r‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫سه زن و چهار مرد به تصادف در یک صف ایستاده اند‪.‬‬
‫احتمال هر یک از پیشامدهای زیر را حساب می کنیم‪.‬‬
‫‪ B‬پیشامد اینکه سه زن کنار هم باشند؛‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫!‪3!  5‬‬
‫‪‬‬
‫!‪7‬‬
‫) ‪n(B‬‬
‫‪P(B) ‬‬
‫) ‪n(S‬‬
‫‪ C‬پیشامد اینکه اول صف دو مرد‪ ،‬بعد سه زن و در انتها دو مرد باشند؛‬
‫‪1‬‬
‫‪105‬‬
‫‪17‬‬
‫‪‬‬
‫!‪2!  3!  2‬‬
‫!‪7‬‬
‫‪ 2‬‬
‫) ‪n (C‬‬
‫) ‪n(S‬‬
‫‪P (C ) ‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫مثال‪:‬‬
‫از بين ‪ 10‬نفر كه ‪ 4‬تاي آنها زن هستند‪ 3 ،‬نفر انتخاب می‌کنیم‪ .‬احتمال هر یک از‬
‫پیشامدهای زير را به دست آورید‪.‬‬
‫‪ A‬پیشامد این كه زن انتخاب نشود‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪60  20‬‬
‫‪120‬‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫‪120‬‬
‫‪ B‬پیشامد این که حداكثر یک زن انتخاب شود‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫)‪n( A‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫) ‪n(S‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪n(B‬‬
‫) ‪n(S‬‬
‫‪P(B) ‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫تمرين‬
‫دانشجو پس از پايان اين فصل بايد‬
‫بتواند به سواالت اين قسمت پاسخ‬
‫دهد‬
‫‪19‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪ -1‬چهار نفر داوطلب شغل معاونت اداري هستند‪ .‬اگر احتمال انتخاب شدن فرد ‪ A‬دو برابر احتمال‬
‫ً‬
‫انتخاب شدن فرد ‪ B‬باشد و ‪ B‬و ‪ C‬تقريبا شانس يكسان داشته باشند و احتمال انتخاب شدن فرد ‪C‬‬
‫دو برابر فرد ‪ D‬باشد احتماالت زير را حساب كنيد‪.‬‬
‫الف‪ -‬احتمل اينكه فرد ‪ A‬انتخاب شود چقدر است؟ (متن درس)‬
‫ب‪ -‬احتمال اينكه ‪ D‬انتخاب نشود‪( .‬متن درس)‬
‫ج‪ -‬احتمال اينكه فرد ‪ A‬يا ‪ B‬يا ‪ D‬انتخاب شوند چقدر است؟ (متن درس)‬
‫‪ -2‬بطور تصادفی از بين ‪ 5‬کودک واکسینه شده و ‪ 7‬کودک واکسینه نشده‪ 3 ،‬کودک اتنخاب می کنیم‪:‬‬
‫الف‪ -‬درچند حالت بیشتر از یک کودک واکسینه انتخاب می شود؟ (متن درس)‬
‫ب‪ -‬احتمال اینکه کودک واکسینه شده انتخاب نشود چقدر است؟ (متن درس)‬
‫‪ 20 -3‬داده آماری با میانگين ‪ 12‬و انحراف معیار ‪ 2‬را با ‪ 10‬داده آماری دیگر با میانگين ‪ 9‬و انحراف معیار‬
‫‪ 3‬در نظربگيرید‪.‬‬
‫الف) ضريب تغييرات كل داده ها را حساب كنيد‪( .‬متن درس)‬
‫ب) یک فاصله تجربی ‪ 95‬درصدی برای هر دسته از داده ها و سپس برای کل داده ها‪ ،‬تعیين کنید‪( .‬متن درس)‬
‫‪20‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪ -4‬بطور تصادفی از بين اسامی ‪ 5‬دانشجوی تهرانی و ‪ 4‬دانشجوی شهرستانی‬
‫الف‪ 3 -‬اسم با جایگذاری بر می‌داریم‪ .‬احتمال اینکه هر ‪ 3‬نفر تهرانی باشند چقدر است؟ (متن درس)‬
‫ب‪ 3 -‬اسم یکجا بر می داریم‪ .‬احتمال اینکه دو تهرانی انتخاب شود چقدر است؟ (متن درس)‬
‫ج‪ 3 -‬اسم یکی پس از دیگری و بدون جایگذاری بر می داریم‪ .‬احتمال اینکه دو نفر اول شهرستانی‬
‫و نفر سوم تهرانی باشد‪ ،‬چقدر است؟ (متن درس)‬
‫‪ –5‬از يك جمعيت ‪ 100‬نفري اطالعات زير در دست است‪.‬‬
‫يك نفر به تصادف از اين جمعيت انتخاب مي‌كنيم‪،‬‬
‫الف – اگر بدانيم مرد است‪ ،‬احتمال اينكه ترک کرده باشد؟ (متن درس)‬
‫ب ‪ -‬احتمال اينكه يا زن با شد يا سيگاري نباشد؟ (متن درس)‬
‫‪ -6‬دو تاس را با هم پرتاب مي‌كنيم‪ ،‬احتمال اينكه حداقل يك ‪ 6‬بيايد‬
‫چقدر است؟ (متن درس)‬
‫مرد‬
‫زن‌‬
‫جنسيت‬
‫‪25‬‬
‫‪5‬‬
‫ي‬
‫سيگار ‌‬
‫‪35‬‬
‫‪15‬‬
‫غير سيگاري‌‬
‫‪18‬‬
‫‪2‬‬
‫ترك كرده‬
‫‪ -7‬احتمال پسرزایی در یک خانواده ‪ 0/6‬است‪ .‬اگر این خانواده ‪ 4‬فرزند داشته باشند‪:‬‬
‫الف ) در صورتي كه بدانيم دو فرزند اول دختر است‪ ،‬احتمال اينكه فرزند سوم پسر و چهارم دختر باشد؟ (متن درس)‬
‫ب) احتمال اينكه اولي پسر و سه فرزند بعدي دختر باشند چقدر است؟ (متن درس)‬
‫‪21‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬
‫‪ -8‬در بررسي شيوع بيماري گال (بيماري پوستي با لكه هاي پررنگ) در بين ‪ 1000‬سرباز در يك پادگان‬
‫آموزش‬
‫نظامي‪:‬‬
‫تعداد ‪ 15‬نفر از ناحيه دست؛ ‪ 18‬نفر از ناحيه پا و ‪ 6‬نفر هم از ناحيه دست و هم از ناحيه پا مبتال‬
‫هستند‪.‬‬
‫چند درصد سربازان حداقل از يك ناحيه در گير اين بيماري اند؟‬
‫چه تعداد اين بيماري را ندارند؟‬
‫احتمال اينكه يك سرباز فقط از ناحيه دست مبتال باشد چقدر است؟ (متن درس)‬
‫‪22‬‬
‫تهيه كننده‪ :‬محمدرضا ميرزاده‬
‫پايان‬
‫‪23‬‬
‫‪www.M-Mirzadeh.Blogfa.Com‬‬