Transcript جلسه چهارم
تئوري احتمال و
كاربردآن
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي گسسته دو متغيره
oتوابع توزيع تجمعي توأم
توابع توزيع تجمعي توأم گسسته
oتوزيعهاي پيوسته دومتغيره
توابع توزيع تجمعي توأم پيوسته
o
o
o
o
2
توابع توزيع احتمال كناري
توزيعهاي احتمال شرطي
استقالل دو متغير تصادفي
بردارهاي تصادفي چند بعدي
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
3
اگر nمتغير تصادفي به صورت ... ،X2 ،X1و Xnموجود باشد
آنگاه توزيع احتمال اتفاق افتادن با هم پيشامدهاي مربوطه آنها مي
تواند توسط تابعي با مقادير ) f(x1,x2,…,xnبراي هر يك از نقاط
برد بردار تصادفي ] [X1,X2,…,Xnنشان داده شود.
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توزيعهاي گسسته دو متغيره
تعريف :تابع ) f(x,yتوزيع توأم متغيرهاي تصادفي گسسته Xو Yاست اگر
روابط زير برقرار باشد:
( x, y ) R[ X ,Y ] ;0 f ( x, y ) 1
f ( x, y ) 1
y
x
) P[( X , Y ) A] A f ( x, y
كه Aناحيه اي است در صفحه xy
4
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي گسسته دو متغيره
مثال :28سكه اي سه بار پرتاب مي گردد Xتعداد شيرها در 2
پرتاب اول و Yتعداد شيرها در هر سه پرتاب است تابع توزيع
توأم آنها چيست؟
پاسخ:
}S={TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT,HHH
})R[X,Y]={(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3
P(X=1,Y=1)=P(HTT,THT)=2/8
)(x,y) (0,0) (0,1) (1,1) (1,2) (2,2) (2,3
f(x,y) 1/8 1/8 2/8 2/8 1/8 1/8
5
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توزيعهاي گسسته دو متغيره
مثال :29فرض كنيد %15خانواده ها فاقد فرزند %20 ،يك فرزند%35 ،
2فرزند و %30سه فرزند كه احتمال دختر يا پسر بودن آنها نيز يكسان
است G .متغير تصادفي تعداد دختران يك خانواده و Bپسران است .تابع
توزيع توأم Gو Bچيست؟
پاسخ :اگر Nمتغير تصادفي تعداد فرزندان خانواده باشد
})R[G,B]={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0
P[(0,0)]=P(G=0,B=0)=P(N=0)=0.15
P[(1,0)]=P(G=1,B=0)=P(G=1,N=1)=P(N=1)P(G=1/N=1)=0.2*1/2
=0.1
P[(2,0)]=P(G=2,B=0)=P(G=2,N=2)=P(N=2)P(G=2/N=1)=0.35*(1
/2)2=0.0875
)(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (3,0
0.0375
6
0.1125
0.0875
0.1125
0.175
0.10
0.0375
0.0875
0.10
0.15
http://www.Beiki.info
)(g,b
)f(g,b
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توابع توزيع تجمعي توأم
تعريف :تابع توزيع احتمال تجمعي توأم متغيرهاي تصادفي Xو Yبه
صورت زير تعريف مي گردد:
F ( x, y ) P( X x, Y y ); x, y
))F ( x) P( X x) P( X x, Y ) P(lim ( X x, Y y
lim
P(( X x, Y y )) lim
)F ( x, y ) F ( x,
)F ( y) lim F ( x, y) F (, y
y
X
y
y
x
7
كه به ) FX(xو ) FY(yتوابع توزيع تجمعي كناري يا حاشيه اي مي گويند
http://www.Beiki.info
Y
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
توابع توزيع تجمعي توأم
چيست؟P(X>x,Y>y) :31 مثال
c
:پاسخ
P( X x, Y y ) 1 P{( X x,Y y) }
o
1 P{( X x) (Y y) }
c
c
1 P{( X x) (Y y )}
1 [ P( X x) P(Y y ) P( X x, Y y )]
1 F ( x ) F ( y ) F ( x, y )
: داريمy1<y2 وx1<x2 و در حالت كلي به ازاي مقادير مختلف
P( x1 X x2 , y Y
1
y ) F(x , y ) F(x , y ) F(x , y ) F(x , y )
2
2
http://www.Beiki.info
2
1
1
1
2
2
1
8
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توابع توزيع تجمعي توأم
توابع توزيع تجمعي توأم داراي خواص زيرند:
1) F (,) F (, y ) F ( x,) 0
2) F ( , ) 1
x ,y y
F(x , y ) F(x , y ) F(x , y ) F(x , y ) 0
2
1
9
2
2
1
1
1
1
3) | x1
2
2
http://www.Beiki.info
2
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوابع توزيع تجمعي توأم
توابع توزيع تجمعي توأم گسسته
– تعريف :متغيرهاي تصادفي گسسته Xو Yبا تابع توزيع
احتمال توأم ) f(x,yمفروض اند تابع توزيع تجمعي توأم X
و F(x,y) ،Yبه صورت زير تعريف مي گردد:
F ( x, y ) P( X x, Y y ) X x Y y f ( x, y ); x, y
10
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوابع توزيع تجمعي توأم
توابع توزيع تجمعي توأم گسسته
– مثال :32اگر تابع توزيع توأم Xو Yجدول زير باشد آنگاه تابع توزيع
تجمعي توأم انها چيست؟
x
– پاسخ:
0
1
2
x
11
)F(x,y
2
1
0
Y
15/28
12/28
3/28
0
27/28
24/28
9/28
1
1
25/28
1/28
2
)f(x,y
Y
3/28
9/28
3/28
0
0
6/28
6/28
1
0
0
1/28
2
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توزيعهاي پيوسته دومتغيره
تعريف :چگالي احتمال توأم متغيرهاي تصادفي پيوسته Xو Yبا نماد )f(x,y
نمايش داده مي شود و داراي خواص زير است:
1)( x, y ) R[ X ,Y ] ; f ( x, y ) 0
f ( x, y )dxdy 1
2)
براي هر ناحيه Rدر فضاي دوبعدي3) P{( X , Y ) R} f ( x, y )dxdy
R
12
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
توزيعهاي پيوسته دومتغيره
o
به صورت زير باشدY وX اگر چگالي توأم متغيرهاي تصادفي:37 مثال
f(x,y)=2e-xe-2y;x,y>0
P(X<a) وP(X<Y) ،P(X>1,Y<1) مطلوب است تعيين
1
x 2 y
2 y
x
P( X 1, Y 1)
2
dxdy 2
(
] )dy : پاسخ
e e
e 2 e dy e (1 e )
e
0 1
1 1
2 y
1
e
1
1
2
0
x
P( X Y )
X Y
2 y
2e
0
2e
2 y
e
y
P( X a)
0
0
2 y
2e
y
y 0 x 0
(1 e )dy 1
a
dxdy
x
e
x
2e
2 y
e
dxdy
2 1
3 3
dydx
a
0
x
e
http://www.Beiki.info
a
dx 1 e
13
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توزيعهاي پيوسته دومتغيره
dx
مثال :38اگر Xنسبتي از ظرفيت مخزن يك پمپ بنزين باشد كه در شروع
هر هفته پر است و Yمعرف نسبتي از ظرفيت مخزن باشد كه در طول هفته
به فروش مي رسد و اگر چگالي توأم متغيرهاي تصادفي Xو Yبه صورت
زير باشد
f(x,y)=3x ; 0<=y<=x<=1
مطلوب است تعيين احتمال اينكه در ابتداي هفته كمتر از نصف مخزن پر باشد
و در همان هفته بيش از %25حجم مخزن به فروش رفته باشد.
0.5
x
0.5
xپاسخ:
] 3x[ y
0.25
3xdydx
x 0.25
P(0 X 0.5, Y 0.25)
x 0.25 y 0.25
1
5
3x( x )dx
x 0.25
3
128
0.5
14
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي پيوسته دومتغيره
توابع توزيع تجمعي توأم پيوسته
– تعريف :براي متغيرهاي تصادفي پيوسته Xو Yبا چگالي احتمال توأم
) f(x,yتابع توزيع احتمال تجمعي توأم ) F(x,yبه صورت زير تعريف مي
y
x
شود:
f (u , v ) dudv; x, y
F ( x, y ) P ( X x, Y y )
2
) f (u , v ) dudv) f ( x, y
15
x
y
(
xy
2
F ( x, y )
http://www.Beiki.info
xy
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي پيوسته دومتغيره
توابع توزيع تجمعي توأم پيوسته
– مثال :39اگر چگالي توأم Xو f(x,y)=1 ; 0<=x,y<=1 Yباشد و
متغير تصادفي Z=X+Yتعريف گردد چگالي احتمال آن چيست؟
G ( z ) 0; z 0
– پاسخ:
2
z ;0 z 1
2
(2 z) ;1 z 2
zx
1dydx
z
G( z)
x 0 y 0
2
2
1dydx 1
1
1
G( z) 1
x 1 z y z x
G ( z ) 1;2 z
g ( z ) z;0 z 1
g ( z ) 2 z;1 z 2
g ( z ) 0; z 0, z 2
16
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوابع توزيع احتمال كناري
تعريف:توابع توزيع كناري متغيرهاي تصادفي Xو Yبا تابع
توزيع توأم ) f(x,yعبارتند از:
) f ( x, y ), h( y ) x f ( x, y
در حالت گسسته
y
در حالت پيوسته f ( x, y )dx
17
f ( x, y )dy, h( y )
http://www.Beiki.info
g ( x)
g ( x)
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توابع توزيع احتمال كناري
مثال :40در جدول زير كه مربوط به مثال 32است نشان دهيد
كه مجموع رديفها و ستونها معرف توزيع كناري متعيرهاي
است.
تصادفي Xو Y
Y X
0
1
2
)h(y
15/28
3/28
9/28
3/28
0
12/28
0
6/28
6/28
1
1/28
0
0
1/28
2
3/28
15/28
10/28
)g(x
3 6 1 10
28
28
9 6 0 15
2
P( X 1) g (1) y 0 f (1, y ) f (1,0) f (1,1) f (1,2)
28
28
3 0 0 3
2
P( X 2) g (2) y 0 f (2, y ) f (2,0) f (2,1) f (2,2)
28
28
P( X 0) g (0) y 0 f (0, y ) f (0,0) f (0,1) f (0,2)
2
پاسخ:
18
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توابع توزيع احتمال كناري
مثال :42چگالي توأم متغيرهاي تصادفي Xو Yبه صورت
f(x,y)=e-(x+y) ; x,y>0است .نشان دهيد ) f(x,yيك
چگالي توآم است و توزيعهاي كناري Xو Yرا به دست آوريد.
پاسخ :بديهي است كه f(x,y)>=0و در خصوص خاصست
دوم داريم:
y
x
0
0
] )(e ] ) (1)(1) 1
x
dy] e ; x 0
y
y
x
dx] e ; y 0
19
dy ( e
e
e
y
e
x
dy e [
0
y
dx e [
0
dx
x
0
) ( x y
e
) ( x y
e
e
) ( x y
dxdy
0
0
e
0
0
0
0
0
g ( x) f ( x, y)dy
h( y ) f ( x, y)dx
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي احتمال شرطي
اگر Xو Yمتغيرهاي تصادفي گسسته باشند آنگاه تابع توزيع جرمي
احتمال شرطي Xدر صورتي كه متغير تصادفي Yمقدار yرا
بگيرد با نماد ) f(x|yنمايش داده شده و به صورت زير تعريف مي
گردد(P( X x, Y y ) f.:
) x, y
f ( x | y ) P( X x | Y y )
; h( y ) 0
) P(Y y
) h( y
و تابع توزيع احتمال تجمعي شرطي Xدر صورتي كه Y=yباشد
استfاز:
F ( x | y) P( X x | Y y)
عبارت| ( x
y); h( y) 0
X x
20
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي احتمال شرطي
اگر Xو Yمتغيرهاي تصادفي پيوسته باشند آنگاه چگالي احتمال
شرطي Xدر صورتي كه متغير تصادفي Yمقدار yرا بگيرد با
نماد ) f(x|yنمايش داده شده و به صورت زير تعريف مي گردد.:
) f ( x, y
f ( x, y )dxdy
f ( x | y)
f ( x | y )dx
) h( y
h( y )dy
)P( x X x dx, y Y y dy
) P( x X x dx | y Y y dy
)P( y Y y dy
و تابع توزيع احتمال تجمعي شرطي Xدر صورتي كه Y=yباشد
عبارت است از:
x
F ( x | y) P( X x | Y y) f (t | y)dt
21
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي احتمال شرطي
مثال :44در مثال 40توزيع شرطي متغير تصادفي Xرا در
صورتي كه Y=1باشد را بدست آوريد و از آن براي محاسبه
) P(X=0|Y=1استفاده كنيد.
)f ( x,1
6
6
3
f ( x | 1)
, h(1) f ( x,1)
0
پاسخ:
)h(1
28 28
7
x
7
f ( x,1); x 0,1,2
3
7
7 6
1
f (0 | 1) f (0,1) ( )( )
3
3 28 2
7
7 6
1
f (1 | 1) f (1,1) ( )( )
3
3 28 2
7
7
f (2 | 1) f (2,1) ( )(0) 0
3
3
f ( x | 1)
22
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oتوزيعهاي احتمال شرطي
مثال :46چگالي توأم متغيرهاي تصادفي پيوسته Xو Yعبارت
1
f ( x, y ) ;0 x y,0 y 2
است از
2
مطلوب است محاسبه
پاسخ:
1
1
)f ( x, y )dx P(X<=1/2|Y=1
dx y;0 y 2
0 2
2
f ( x , y ) 0.5 1
f ( x | y)
;0 x y 2
) h( y
0.5 y y
y
h( y )
1
1
1
1
2
P ( X | Y 1) dx
0 1
2
2
1
1
1
1
P ( X | Y 2) 2 dx
0 2
2
4
23
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
توزيعهاي احتمال شرطي
o
يك متغير تصادفي گسستهN وf(x) متغيرهاي تصادفي پيوسته با چگاليX اگر
: آنگاهN=n اگرX باشد توزيع شرطي
P( x X x dx, N n)
P( x X x dx | N n)
P ( N n)
P( N n | x X x dx) P( x X x dx)
P ( N n)
P( x X x dx | N n) P( N n | x X x dx) P( x X x dx)
*
dx
P ( N n)
dx
P( x X x dx | N n) P( N n | x X x dx)
lim dx 0
* f ( x)
dx
P ( N n)
P( N n | X x)
f ( x | n)
* f ( x)
P ( N n)
http://www.Beiki.info
24
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
توزيعهاي احتمال شرطي
مثال :48فرض كنيد تعداد N=n+mآزمايش هر يك با احتمال موفقيت يكسان
كه خد يك متغير تصادفي پيوسته Xبا چگالي f(x)=1 ; 0<x<1است .چگالي
شرطي Xاگر بدانيم در n+mآزمايش nموفقيت داشته ايم چيست؟
پاسخ:
)P( N n | X x
)* f ( x
)P ( N n
)x (1 x
x (1 x) ;0 x 1
m
n
m
mn
P( N n | X x) C n
n
m n
)P ( N n
25
f ( x | n)
n
C
f ( x | n)
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
استقالل دو متغير تصادفي
: از هم مستقلند اگرY وX دو متغير تصادفي
o
P ((a X b) (c Y d )) P (a X b) * P (c Y d )
P ( X x), (Y y )) P ( X x) * P (Y y )
F
X ,Y
( x, y ) F X ( x) * F Y ( y ); x, y R[ X , y ]
f ( x, y ) g ( x)h( y );x, y R[ X , y ]
: گسسته باشند آنگاهY وX اگر
| A {x; X x}, B { y; Y y}
F ( x, y) P( X A, Y B) f ( x, y)
g ( x ) h( y ) h( y ) g ( x )
P( X A) P(Y B) F ( x) F ( y )
yB
X ,Y
yB
xA
yB
X
xA
xA
Y
http://www.Beiki.info
26
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
استقالل دو متغير تصادفي
به تعبيري ديگر:
در حالت پيوسته داريم:
) f ( x, y ) g ( x ) h ( y
f ( x | y)
) g ( x
) h( y
) h( y
) f ( x, y ) g ( x ) h ( y
f ( y | x)
) h( y
)g ( x
)g ( x
g ( x) f ( x, y )dy f ( x | y )h( y )dy
) f ( x | y ) h( y )dy f ( x | y ) f ( x, y ) g ( x)h( y
27
توجه :اگر برد بردار تصادفي ] [X,Yدر فضاي دوبعدي مستطيل شكل نباشد
آنگاه Xو Yمستقل از هم نخواهند بود
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
استقالل دو متغير تصادفي
مثال :51نشان دهيد متغيرهاي تصادفي مثال 30مستقل نيستند
3
6
1
5
2
پاسخ:
g (0) y 0 f (0, y )
28 28 28 14
6
6
3
2
h(1) x 0 f ( x,1)
) 0 f (0,1) g (0) * h(1
28 28
7
مثال :52چگالي توأم متغيرهاي تصادفي Xو Yبه صورت ; f(x,y)=x+y
0<x<1 , 0<y<1است آيا Xو Yمستقلند؟
1
1
g ( x)
پاسخf ( x, y )dy ( x y )dy x ;0 x 1 :
2
1
1
h( y ) f ( x, y )dx ( x y )dx y ;0 y 1
0
2
) f ( x, y ) g ( x ) h ( y
0
28
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
استقالل دو متغير تصادفي
قضيه :فرض كنيد كه ) f(x,yچگالي توأم متغيرهاي تصادفي Xو Yبر روي
ناحيه مستطيل شكل از فضاي دوبعدي باشد آنگاه Xو Yمستقلند اگر و تنها اگر
) f(x,yرا بتوان به صورت حاصلضرب يك تابع غيرمنفي به تنهايي از xو يك
تابع غيرمنفي به تنهايي از yنوشت .به عبارت ديگر ) f(x,y)=f1(x)*f2(yبه
طورب كه f1(x)>0و f2(y)>0
اثبات:
)( y
( x)
1
g ( x) f ( x, y )dy
f
f
f
)f ( y)dy C f ( x
) h( y ) f ( x, y )dx f ( x) f ( y )dx f ( y ) f ( x)dx C f ( y
C C [ f ( y)dy][ f ( x)dx] f ( x) * f ( y)dxdy f ( x, y)dxdy 1
) f ( x, y ) f ( x ) f ( y ) C C f ( x ) f ( y ) C f ( x ) C f ( y ) g ( x ) h ( y
1
1
2
2
2
1
( y )dy
2
f
)( x
f
f ( x, y )
1
)( x
2
1
2
2
2
29
2
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
http://www.Beiki.info
2
1
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
oاستقالل دو متغير تصادفي
مثال :53چگالي توأم متغيرهاي تصادفي Xو Yبه صورت زير
مفروض است .آيا Xو Yمستقلند؟
f(x,y)=8xy 0<x<y<1
پاسخ :تابع را مي توان به صورت دو تابع مجزا و غير منفي از X
و Yنوشت ولي فضا مستطيل شكل نيست بنابراين متغيرها مستقل
نيستند.
30
http://www.Beiki.info
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
بردارهاي تصادفي چند بعدي
F ( x1 , x2 ,..., xn) P( X 1 x1 , X 2 x2 ,..., X n xn)
P( X 1 , X 2 ,..., X n) A
(
x1 x2 xn
,
,...,
P( X 1 , X 2 ,..., X n) A (
) A
o
... f ( x1 , x2 ,..., xn) dx1 dx2 ...dxn
x1, x2,...,xn )A
... f ( x1 , x2 ,..., xn)
F ( x , x ,..., x )
x x ...x
f ( x ) ... f ( x , x ,..., x ) dx dx ...dx
n 6 f ( x , x , x ) f ( x , x , x , x , x , x ) dx dx dx
f ( x , x ,..., x )
f ( x , x ,..., x | x )
f (x )
n
f ( x1 , x2 ,..., xn)
1
1
n
1
2
4
5
2
3
n
n
1
2
n
1
2
n
1
1
2
2
2
1
2
3
4
5
6
1
3
6
n
1
1
1
http://www.Beiki.info
31
جلسه چهارم
توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم
o
بردارهاي تصادفي چند بعدي
مثال :59فرض كنيد متغيرهاي تصادفي X1و X2و X3مستقل اند و هر يك
داراي چگالي احتمال f(xi)=2xi ; 0<xi<1 ; i=1,2,3در اينصورت
اگر متغير تصادفي Yبه عنوان بزرگترين متغير تصادفي از ميان آنها باشد
) ،P(Y<=1/2تابع توزيع تجمعي و چگالي Yرابيابيد.
پاسخf ( x1 , x2 , x3) f ( x1) f ( x2) f ( x3) 8x1 x2 x3 ;0 xi 1; i 1,2,3 :
1
2
3
6
0.5 0.5 0.5
1 1
1
1
1
P(Y 2) P( X 1 , X 2 , X 3 ) 8x1 x2 x3 dx1 dx2 dx3 ( )
0
0
0
2
2
2
64
2
( y ) P(Y y ) 0; y 0
0;0 y 1
6
y
Y
( y)
Y
( y ) 1;1 y
Y
5
( y ) 6 y ;0 y 1
32
http://www.Beiki.info
Y
F
F
F
f