Transcript جلسه سوم
تئوري احتمال و
كاربردآن
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
مقدمه
تعريف يك متغير تصادفي
متغيرهاي تصادفي گسسته ،پيوسته و آميخته
توزيعهاي احتمال گسسته
توابع توزيع جمعي
o
توزيعهاي احتمال پيوسته
o
2
توابع توزيع جمعي گسسته
توابع توزيع جمعي پيوسته
توزيعهاي احتمال آميخته
متغيرهاي تصادفي چندبعدي
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
مقدمه
oنتيجه برخي از پديده ها تصادفي زير مجموعه اعداد
حقيقي است.
زمان رسيدن مشتري به يك فروشگاه
عمر انسان
...
oدر مواردي كه نتايج عددي نيستند عالقه مند به نتايج
عددي هستيم
تعداد شيرها در سه بار پرتاب سكه
3
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
4
تعريف يك متغير تصادفي
oآزمايشي با فضاي نمونه Sرا در نظر بگيريد .اگر به هر نقطه مانند eموجود در Sعددي
حقيقي مانند ) X(eنسبت دهيم رابطه اي بين Sو Rتعريف مي گردد كه به آن متغير تصادفي
گويند.
oهر متغير تصادفي تابعي با دامنه Sو بردي زيرمجموعه Rاست.
oمثال :1در آزمايش مربوط به پرتاب يك سكه اگر Xتعداد شيرها را نشان دهد آنگاه داريم:
…X(H H H)=3 ،X(H H T)=2 ,
oمثال :2مقادير متغير تصادفي Yكه تعداد توپهاي قرمز در انتخاب 2توپ بدون جايگذاري
از ظرفي شامل 4توپ قرمز و 3توپ سياه است به شرح زير مي باشد:
Y(BB)=0و Y(RR)=2 ،Y(RB)=1 ،Y(BR)=1
oمثال :4در مثال 1احتمال مربوط به هر يك از مقادير متغير تصادفي Xعبارتند از:
P(X=1)=P{TTH,THT,HTT)=3/8, P(X=0)=P{TTT)=1/8,
P(X=2)=P{THH,HTH,HHT)=3/8, P(X=3)=P{HHH}=1/8
oمثال :6احتمال شير آمدن در پرتاب يك سكه برابر pاست سكه را آنقدر پرتاب مي كنيم تا يا
به شير برسيم يا nبار پرتاب كرده باشيم اگر Xمتغير تصادفي تعداد دفعات پرتاب سكه باشد
آنگاه داريم:
P(X=1)=P{H}=p
P(X=2)=P{T,H}=(1-p)p
P(X=n-1)=P{T,T,T,..,T,H}=(1-p)np
P{T,T,T,…,T,H}=(1-p)n+(1-p)n-1p=(1-p)n-1يا }P(X=n)=P{T,T,T,…,T
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
متغيرهاي تصادفي گسسته ،پيوسته و آميخته
oاگر برد متغير تصادفي Xشامل تعداد محدود يا نامحدود ولي شمارش
پذير از نقاط باشد آنگاه متغير تصادفي Xيك متغير تصادفي گسسته
ناميده مي شود.
o
اگر برد متغير تصادفي Xشامل تعداد نامحدودي از نقاط باشد آنگاه
متغير تصادفي Xيك متغير تصادفي پيوسته ناميده مي شود.
o
5
مثال :8در مثال 2مقادير ممكن متغير تصادفي Yعبارت است از 1 ،0و 2
بنابراين Yگسسته است.
مثال :9اگر متغير تصادفي Xتعداد پرتابهاي الزم يك سكه براي رسيدن به
نتيجه شير باشد آنگاه برد تابع Nاست و Xگسسته مي باشد.
مثال :10اگر بتوان طول را با هر دقتي اندازه گيري نمود آنگاه مسافت پيموده
شده توسط يك خودرو به ازاي هر 10ليتر بنزين يك متغير تصادفي پيوسته
است.
در صورتي كه فضاي نمونه آميخته داشته باشيم مي توانيم متغيرهاي
تصادفي آميخته داشته باشيم به اين معنا كه برخي از مقادير محدود(يا
http://www.Beiki.infoو
نامحدود ولي شمارش پذير) باشند و برخي از مقادير نامحدود
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال گسسته
o
o
اگر Xيك متغير تصادفي گسسته باشد آنگاه ) P(X=xكه آنرا با ) fX(xيا )f(x
نشان مي دهند به ازاي مقادير مختلف xاحتمالي را تخصيص مي دهد و چگونگي
توزيع احتمال را به ازاي مقادير مختلف xنمايش مي دهد .به آن كه يك تابع است
تابع احتمال يا تابع توزيع احتمال متغير تصادفي Xمي گويند.
تعريف :مجموعه زوجهاي مرتب )) (x,fX(xتوزيع احتمال متغير تصادفي گسسته
Xنام دارد ،اگر براي هر يك از مقادير ممكن xداشته باشيم:
o
6
0<=fX(x)<=1
f
( x) 1
)P(X=x)=fX(x
X
X
تعبير مكانيكي تابع توزيع احتمال گسسته عبارت است از جرم مقادير مختلف
متغير تصادفي Xكه روي محور اعداد حقيقي به صورت …fX(xi),i=1,2,3,
توزيع شده اند به همين دليل توابع توزيع احتمال گسسته به نامه توابع جرمي
احتمال نيز معروفند و با pmfنشان داده مي شوند.
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال گسسته
o
o
مثال :12فرض كنيد مايل به انتخاب كميته اي 2نفره از ميان 3مرد و 3زن
هستيم اگر Yمتغير تصادفي نشان دهنده تعداد مردها باشد توزيع احتمال آن
3
3
چيست؟
*
3 1
C
0 C2
f Y (0) P(Y 0)
6
پاسخ :هيستوگرام اح تما ل
15 5
C
*
9 3
f (1) P(Y 1) C C 15 5
C
*C
3 1
C
(
2
)
P
(
Y
2
)
f
15
5
C
)f(y
2
3/5
3
3
1
1
6
Y
2
2/5
3
3
2
0
6
1/5
Y
2
0
2
1
0
3
o
7
بهترين پاسخ:
; y 0,1,2
3
C y * C 2 y
6
2
C
( y) P(Y y)
http://www.Beiki.info
Y
f
جلسه سوم
توابع توزيع جمعي
o
o
o
در بسياري از موارد عالقه مند به محاسبه احتمال اينكه متغير تصادفي Xكوچكتر
يا مساوي مقدار معلوم xباشد هستيم بنابراين داريم:
)FX(x)=F(x)=P(X<=x
به آن تابع توزيع تجمعي يا به اختصار cdfگويند.
خواص آن به شرح زير مي باشد:
1)0 F X ( x) 1
)2) | a b F (a) F (b
3) lim x F X ( x) 1
4) lim x F X ( x) 0
5) lim 0[ F ( x ) F X ( x)] 0
X
o
8
خاصيت دوم به معناي غير نزولي بودن و خاصيت پنجم به معناي پيوستگي تابع
از سمت راست است.
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
P ( a X b) ?
توابع توزيع جمعي
( X a ) ( a X b )
( X b) ( X a ) (a X b)
P ( X b) P ( X a ) P ( a X b)
P ( a X b) P ( X b) P ( X a )
P (a X b) F X (b) F X (a ); a b
P ( X b) ?
1
P( X b) P(lim n { X b })
n
1
1
lim n P( X b ) lim n F X (b )
n
n
http://www.Beiki.info
9
جلسه سوم
توابع توزيع جمعي
: عبارت است ازX تابع توزيع تجمعي متغير تصادفي:14 مثال
o
x
x<0
0<=x<1
1<=x<2
2<=x<3
X>=3
FX(x)
0
1/2
2/3
11/12
1
راP(2<X<=4) وP(X>1/2) وP(X=1) وP(X<3) در اين صورت
.بدست اوريد
1
1 11
:پاسخ
P( X 3)
P( X 3 )
(3 )
lim
n
n
lim
n
F
X
o
o
12
1
2 1 1
P( X 1) P( X 1) P( X 1) F X (1) lim n F X (1 )
n
3 2 6
1
1
1
1 1
P( X ) 1 P( X ) 1 F X ( ) 1
2
2
2
2 2
11 1
P(2 X 4) F X (4) F X (2) 1
12 12
http://www.Beiki.info
n
10
جلسه سوم
توابع توزيع جمعي
توابع توزيع تجمعي گسسته
تعربف :متغير تصادفي گسسته Xبا توزيع احتمال ) f(xمفروض است تابع توزيع
تجمعي Xبه شرح زير قابل ارائه مي باشد:
o
o
( x) P( X x) t x f (t ); x
مثال :15اگر متغير تصادفي گسسته Xتعداد شيرهاي بدست آمده از 4بار پرتاب
مستقل يك سكه باشد در اين صورت مي توان نشان داد كه تابع توزيع جرمي
احتمال Xبه شرح زير است
o
11
X
F
4
3
2
1
0
x
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
)f(x
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
توابع توزيع جمعي
و داريم
FX(0)=P(X<=0)=f(0)=1/16
FX(1)=P(X<=1)=f(0)+f(1)=5/16
FX(2)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)=11/16
FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=15/16
FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1
x
X<0
FX(x)
0
0<=x<1 1<=x<2 2<=x<3 3<=x<4
1/16
5/16 11/16 15/16
http://www.Beiki.info
X>=4
1
12
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال پيوسته
oاگر Xيك متغير تصادفي پيوسته داشته باشيم احتمال اينكه متغير ما برابر يك
مقدار خاص گردد صفر است.
)P(a<x<=b)=P(a<x<b)+P(X=b)=P(a<x<b)+0=P(a<x<b
oتوزيع احتمال يك متغير تصادفي پيوسته Xرا با ) f(xنشان داده و به آن تابع
b
چگالي احتمال يا به اختصار pdfگويند.
f(x) oاز رابطه مقابل به دست مي آيدP(a X b) f ( x)dx .
a
o
تعريف :تابع ) f(xچگالي احتمال متغير تصادفي پيوسته Xاست اگر روابط زير
برقرار باشد
1)x ; f ( x) 0
2) f ( x)dx 1
b
3) P(a X b) f ( x)dx
a
13
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال پيوسته
oمثال :16فرض كنيد خطاي اندازه گيري دما در يك آزمايش شيميايي متغير
تصادفي .پيوسته مانند Xبا چگالي احتمال زير است:
f(x)=x2/3 ; -1<x<2
ابتدا نشان دهيد ) f(xواقعا يك چگالي احتمال است و آنگاه ) P(0<X<=1را پيدا
كنيد
oپاسخ :چون ) f(xمربع كامل است شرط اول را دارد
2
3
x
8 1
dx ] 1
9 9
9
x
x
1
P(0 X 1)
dx ]
9
3
9
2
1
3
1
x
f ( x)dx
3
2
1
2
1
0
0
14
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال پيوسته
o
مثال :19مدت زماني كه يك رايانه قبل از خراب شدن كار مي كند با متغير
تصادفي Xمعرفي مي شود كه چگالي احتمال زير را دارد.
x / 100
f ( x) e
;x 0
احتمال اينكه رايانه بين 50و 150ساعت كار كند چيست؟
احتمال اينكه رايانه كمتر از 100ساعت كار كند چيست؟
oپاسخ:
1
x / 100
x / 100
x / 100
1 e
dx e
dx (100) e
]0 100 100
0
150
1 x /100
x / 100 150
0.5
1.5
P(50 X 150)
dx
0.384
]
e
e
e
e
50
100
50
100
1 x /100
x / 100 100
1
dx
1
e ]0
e 0.633
0 100e
15
P( X 100)
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال پيوسته
oتوابع توزيع تجمعي پيوسته
تعريف :توزيع تجمعي متغير تصادفي پيوسته Xبا چگالي احتمال )f(x
عبارت است از:
x
F ( x) P{ X (, x)} P( X x) f (t )dt; x
x
16
d
d
F ( x)
)f (t )dt f ( x
dx
dx
يعني چگالي احتمال يك متغير تصادفي پيوسته برابر است با مشتق تابع
توزيع تجمعي آن
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال پيوسته
oتوابع توزيع تجمعي پيوسته
مثال :23مدت زمان مورد نياز براي كامل شدن يك فرايند شيميايي متغير
تصادفي Xبا تابع توزيع تجمعي زير است:
F(X)=1-e-0.1x ; x>=0
F(X)=0 ; X<0
چگالي احتمال متغير تصادفي Xچيست؟
احتمال اينكه يك فرآيند در كمتر از 200هزارم ثانيه كامل شود را محاسبه
كنيد.
پاسخ :با توجه به اينكه چگالي احتمال متغير تصادفي مشتق تابع توزيع
تجمعي آن است براي x<0اين مقدار صفر است و براي x>=0داريم
f(x)=0.01e-0.01x
2
1 e 0.8647
) 0.01( 200
0.01 x
dx F (200) 1 e
200
P( X 200) 0.01e
0
17
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
توزيعهاي احتمال آميخته
o
o
اگر Xمتغير تصادفي آميخته باشد و تابع توزيع تجمعي قسمت گسسته آن ) F1(xو
تابع توزيع تجمعي قسمت پيوسته آن ) F2(xباشد آنگاه داريم
) FX(x)=c1F1(x)+ c2F2(xكه c1جمع احتماالت همه نقاط گسسته و c2=1-
c1جمع احتماالت همه نقاط پيوسته است.
مثال :24فرض كنيد متغير تصادفي Xعمر مفيد نوعي قطعه الكترونيكي باشد كه
به احتمال %25از همان ابتدا خراب است و در غير اينصورت عمر مفيد آن
داراي چگالي احتمال f(x)=e-x ;x>=0است P(X>10) .را به دست آوريد.
1
3
;
c1 4 c2 4
F 1 ( x) 1; x 0
x
t
x
F 2 ( x) e dt 1 e ; x 0
0
1 3
x
) (1 e
4 4
1 3
3 10
10
P( X 10) 1 P( X 10) 1 F X (10) 1 [ (1 e )] e
4 4
4
F X ( x) c1 F 1 ( x) c2 F 2 ( x)
18
http://www.Beiki.info
جلسه سوم
متغيرهاي تصادفي چندبعدي
o
o
احتمال موفقيت در تحصيالت دانشگاهي بر اساس مولفه هاي معدل ،رتبه كنكور و
شهرستان محل فراغت از تحصيل
تعريف :اگر Sفضاي نمونه آزمايش و ... ،X2 ،X1و Xnتوابعي باشند كه به
صورت همزمان فقط و فقط يك nتايي مرتب متشكل از اعداد حقيقي
) ...،x2=X1(e) ،x1=X1(eو ) xn=Xn(eرا به هر يك از عناصر eموجود
در Sنسبت دهند آنگاه ] [X1,X2,…,Xnيك بردار تصادفي nبعدي خواهد بود
در اينصورت برد بردار تصادفي فوق عبارت است از حاصل ضرب دكارتي
بردهاي متغيرهاي تصادفي موجود در بردار تصادفي كه مجموعه اي از nتايي
صورت زيراست {[ , ,..., ];.
مرتب1,2به, i
هاي,...,n
}
i
o
19
x x RX
i
n
2
x x
1
] X 2,...,X n
,
1
RX
[
مثال :25آزمايشي براي انتخاب 2توپ به صورت تصادفي و بدون جايگذاري
از جعبه اي شامل 3توپ آبي 2 ،توپ قرمز و 3توپ مشكي را در نظر بگيريد.
اگر متغير تصادفي Xرا به عنوان تعداد توپهاي آبي انتخاب شده و متغير تصادفي
Yرا به عنوان تعداد توپهاي قرمز انتخاب شده در نظر بگيريم آنگاه برد بردار
تصادفي ] [X,Yبه صورت مجموعه
http://www.Beiki.info
}] {[0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[0,2],[2,0خواهد بود.