Transcript modal_analysis_10 - Saeed Ziaei-Rad

‫روش هاي آناليز مودال در حوزه‬
‫فرکانسي‬
‫سعید ضیایی راد‬
‫‪ ‬آناليز مودآل شامل فرآيند آستخرآج پارآمترهاي مودآل شامل فرکانس هاي طبيعي‪ ،‬ضرآيب ميرآي ي و ثابت‬
‫هاي مودآل به کمک دآده هاي حاصل آز آندآزه گيري مي باشد‪ .‬آز آنجا که دآده هاي تست مي توآند بصورت‬
‫پاسخ فرکانسي (‪ )FRF‬و يا پاسخ ضربه (‪ )IRF‬باشد‪ ،‬روش هاي مختلف آناليز مودآل در حوزه فرکانسي‬
‫و حوزه زمان گسترش دآده شده آند‪.‬‬
‫‪ ‬آنليز مودآل در حوزه فرکانسي بر آساس برآزش منحني روي دآده هاي تست به کمک يک مدل رياضي آز پيش‬
‫تعيين شده روي سازه مورد نظر مي باشد‪.‬‬
‫ً‬
‫آحتماال تعدآد مودهاي آرتعاشي‬
‫‪ ‬آين مدل شامل آطالعات مربوط به تعدآد درجات آزآدي سازه‪ ،‬مدل ميرآي ي و‬
‫در محدوده فرکانسي آندآزه گيري مي باشد‪ .‬فرضيات مدل عبارآت رياضي برآزش منحني مربوط به هر پاسخ‬
‫فرکانسي رآ ديک ته مي کند‪ .‬در نتيجه‪ ،‬کار آصلي در آين بخش يک فرآيند برآزش منحني به منظور آستخرآج‬
‫پارآمترهاي مودآل به کمک دآده هاي تجربي مي باشد‪.‬‬
‫مقدمه‬
‫‪ ‬برآي آناليز مودآل در حوزه فرکانسي‪ ،‬مدل رياضي مورد آستفاده در حقيقت عبارت مربوط به‬
‫تابع پاسخ فرکانسي مي باشد‪ .‬در آينجا چند سؤآل مطرح مي شود‪ .‬آول آنکه يک سازه دآرآي‬
‫بي نهايت درجه آزآدي آست‪ ،‬در نتيجه ‪ FRF‬هاي آندآزه گيري شده حاوي آطالعاتي‬
‫مربوط به مودهاي خارج آز محدوده فرکانسي مورد آزمايش نيز مي باشند‪.‬‬
‫‪Aij‬‬
‫‪N‬‬
‫‪r‬‬
‫∑ ‪ IJ   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‬‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬آگر تنها ‪ m‬مود آول در ناحيه فرکانسي آندآزه گيري قرآر‪ r j‬‬
‫گيرد ‪(r‬بازه فرکانسي‪r‬آز ‪1‬ص‪r ‬فر شروع‬
‫مي شود)‪ ،‬عبارت زير‬
‫‪Aij‬‬
‫مقدمه‬
‫‪m‬‬
‫‪r‬‬
‫∑ ≈ ‪ IJ  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‬‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r 1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r j‬‬
‫‪‬‬
‫آثرآت مودهاي خارج آز بازه آندآزه گيري رآ در بر نمي گيرد‪ .‬آز آنجا که آين مودها آندآزه گيري نشده‬
‫آند‪ ،‬هيچ دآده آي نيز برآي تحليل آنها در دست نمي باشد‪ .‬يک رآه حل آن آست که آثرآت مودهاي‬
‫غيرقابل مشاهده رآ توسط يک عبارت مانده با فرکانس باال بصورت زير نمايش دهيم‪:‬‬
‫‪Aij‬‬
‫‪ Rij  ‬‬
‫‪r -   r  r j‬‬
‫ً‬
‫بنابرآين‪ 1‬آ‪r ‬ناليز مودآل بدون آيجاد‬
‫معموال بصورت خطي در نظر گرفته مي شود‪،‬‬
‫آين عبارت مانده‬
‫نکات بيانگر آن آست که‬
‫مشکلي ناشي آز مودهاي غيرقابل مشاهده آنجام مي شود‪ .‬به هر حال آين‬
‫ً‬
‫مدل رياضي آناليز مودآل بر آساس پاسخ هاي فرکانسي آندآزه گيري شده‪ ،‬ذآتا دآرآي نوعي نارساي ي‬
‫مي باشد‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫مقدمه‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∑ ≈ ‪ IJ  ‬‬
‫‪ ‬جدآ آز آين که چه روشي برآي آناليز مودآل بکار خوآهد رفت‪ ،‬سؤآلي آساسي که مطرح مي‬
‫شود آن آست که چه تعدآد مود آرتعاشي در محدوده فرکانسي مورد مطالعه وجود دآرند و آين‬
‫ً‬
‫که آيا هر ماکزيممي در نمودآر ‪ FRF‬وآقعا بيانگر وجود يک مود آرتعاشي مي باشد؟‪.‬‬
‫‪ ‬آينجا يک معماي وآقعي مطرح مي باشد‪ .‬تعدآد دقيق مودها در صورتي حاصل خوآهند شد‬
‫که آناليز مناسب آنجام شده باشد آما آنجام آناليز مناسب بدون دآنستن تعدآد مودها در‬
‫آبتدآ‪ ،‬غيرممکن آست‪ .‬سؤآل بعد آين آست که آيا ً‬
‫وآقعا دآنستن تعدآد مودها در محدوده‬
‫مورد مطالعه‪ ،‬برآي گرفتن نتايج با معنا و مفيد الزم آست؟‬
‫تشخيص مودهاي ارتعاشي از داده هاي‬
‫‪ FRF‬اندازه گيري شده‬
‫‪ ‬آغلب نمودآر دآمنه مقادير ‪ FRF‬بر حسب فرکانس بعنوآن بهترين نمودآر برآي تعيين‬
‫مودهاي آرتعاشي با توجه به نمايش قله هاي رزونانسي در آن در نظر گرفته مي شود‪ .‬آين‬
‫توجيه به دو دليل منطقي نمي باشد‪:‬آول آنکه کليه مودها در تمام نمودآرهاي ‪ FRF‬ظاهر‬
‫ً‬
‫ً‬
‫نمي شوند‪ .‬ثانيا هر پيکي در نمودآر ‪ FRF‬لزوما نمايانگر يک مود نمي باشد‪ .‬بعنوآن مثال‬
‫شکل بعد رآ‪ ،‬که ‪ FRF‬هاي آندآزه گيري شده آز سازه آي متشکل آز چند تير رآ نشان مي‬
‫دهد‪ ،‬در نظر بگيريد‪ .‬آين نمودآر شامل چندين پيک آست که در آثر نويز آيجاد شده آست‪.‬‬
‫همچنين برخي مودهاي وآقع در آين بازه فرکانسي در آين نمودآر قابل مشاهده نمي باشند‪.‬‬
‫تشخيص مودهاي ارتعاشي از داده هاي‬
‫‪ FRF‬اندازه گيري شده‬
‫تشخيص مودهاي ارتعاشي از داده هاي‬
‫‪ FRF‬اندازه گيري شده‬
‫‪ ‬تعيين مودهاي آرتعاشي پيش آز آنجام آناليز بر آساس چندين نمودآر ‪ FRF‬آنجام مي شود‪.‬‬
‫يک روش مناسب‪ ،‬جمع کردن تمام نمودآرهاي ‪ FRF‬با يکديگر در مقياس لگاريتمي مي‬
‫باشد‪ .‬با آين کار آطمينان حاصل مي شود که مودهاي آرتعاشي در نمودآر حاصله کا ً‬
‫مال‬
‫ً‬
‫مشخص مي باشند‪ .‬آين مجموع دآرآي مفهوم فيزيکي خاصي نمي باشد و صرفا رآهبردي عددي‬
‫آست‪ .‬در آينکه پيک هاي بزرگ آين نمودآر مودهاي آرتعاشي هستند ترديدي نخوآهد بود‪،‬‬
‫هرچند پيک هاي جزئي ممکن آست در مجموع فوق آثر زيادي ندآشته باشند‪.‬‬
‫تشخيص مودهاي ارتعاشي از داده هاي‬
‫‪ FRF‬اندازه گيري شده‬
‫‪‬‬
‫نمودآر فاز ‪ FRF‬نيز مي توآند در آين زمينه کمک کند‪ .‬آز نظر تئوري‪ ،‬هر مود آرتعاشي باعث آيجاد ‪180‬‬
‫درجه آختالف فاز مي شود‪ .‬با وجود ميرآي ي آين تغيير فاز وضوح کمتري خوآهد دآشت‪ً .‬‬
‫عمال در آندآزه گيري‪،‬‬
‫نمودآر فاز حساسيت زيادي به نويز دآرد‪ .‬به عبارت ديگر ممکن آست تغييرآت فازي در نمودآر مشاهده شود‬
‫که به دليلي غير آز رزونانس بوجود آمده آند‪ .‬در آين حالت نمودآر فاز مرجع آطالعاتي مناسبي برآي تعيين‬
‫مودها نمي باشد‪.‬‬
‫تشخيص مودهاي ارتعاشي از داده هاي‬
‫‪ FRF‬اندازه گيري شده‬
‫‪ ‬نمودآر نايکوئيست آبزآري قدرتمند برآي برآي تعيين مودها مي باشد‪ .‬يک مود وآقعي آثري‬
‫دآيره آي روي نمودآر نايکوئيست آيجاد مي کند‪ .‬يک پيک رزونانسي غير وآقعي باعث آيجاد‬
‫خطي رآست در صفحه نايکوئيست خوآهد شد‪.‬‬
‫تشخيص مودهاي ارتعاشي از داده هاي‬
‫‪ FRF‬اندازه گيري شده‬
‫‪ ‬تمام روش هاي يک درجه آزآدي بر آين آساس آست که در محدوده يک رزونانس‪FRF ،‬‬
‫بيشترين تاثير رآ آز آن مود گرفته و آثر ساير مودها در آين محدوده قابل آغماض آست‪.‬‬
‫‪ ‬آگر آين فرض رآ بپذيريم‪ ،‬دآده هاي ‪ FRF‬يک سيستم چند درجه آزآدي (‪ )MDOF‬يا‬
‫يک سازه وآقعي رآ مي توآن بصورت يک درجه آزآدي در هر ناحيه تحليل کرد‪.‬‬
‫‪ ‬با توجه به سادگي آين مدل رياضي‪ ،‬مي توآن برآزش منحني برآي آستخرآج پارآمترهاي مودآل‬
‫رآ برآي هر مود بطور جدآگانه آنجام دآد‪.‬‬
‫استخراج اطالعات مودال از داده هاي ‪FRF‬‬
‫–روش هاي يک درجه آزادي (‪)SDOF‬‬
‫استخراج اطالعات مودال از داده هاي ‪FRF‬‬
‫–روش هاي يک درجه آزادي (‪)SDOF‬‬
‫‪ ‬در عمل مدل يک درجه آزآدي رآ مي توآن بصورت زير تعميم دآد‪ .‬برآي آين کار‪ ،‬به جاي‬
‫صرفنظر کردن آز آثرآت ساير مودها در محدوده يک رزونانس‪ ،‬آين آثرآت بصورت يک ثابت‬
‫مختلط در نظر گرفته مي شود‪ .‬آگر مودها ً‬
‫کامال آز هم جدآ باشند‪ ،‬آين فرض منطقي خوآهد‬
‫بود‪ .‬برخي روش هاي کاربردي آناليز مودآل بر مبناي فرض تعميم يافته يک درجه آزآدي مي‬
‫باشند‪ .‬خوآهيم ديد که آين فرض چگونه در روش برآزش دآيره آعمال مي شود‪.‬‬
‫استخراج اطالعات مودال از داده هاي ‪FRF‬‬
‫–روش هاي يک درجه آزادي (‪)SDOF‬‬



By domain
1.
2.
Frequency domain (FRFs)
Time domain (IRFs or response history)
1.
2.
SDOF method
MDOF method
By Frequency range
In this course
1. Single-FRF methods
2. Multi-FRF methods
‫انواع روشهای آناليز مودال‬
GIVEN:
H(w)
MEASURED FRF DATA:
MODEL:
N
(  )  H (  )  
r =1

Ar
r2   2 + i r
DETERMINE: BEST ESTIMATES FOR THE MODAL PARAMETERS
1 1 A1
 2  2 A2






‫هدف از آناليز مودال‬
H jk
Im
H jk
Im
H jk
Im
Re
Re
Re
 3 , 3 , A 3
 2 , 2 , A 2

 1 , 1 , A 1
SDOF‫آناليز مودال‬
‫‪ ‬روش‬
‫‪ ‬روش‬
‫‪ ‬روش‬
‫‪ ‬روش‬
‫پیک پیکینگ‬
‫برازش دايره‬
‫‪FRF‬معکوس‬
‫دابسون‬
‫روشهای آناليز مودال يک درجه آزادی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫شايد روش پيک پيکينگ ساده ترين روش يک درجه آزآدي در آناليز مودآل باشد‪ .‬آين روش‬
‫ً‬
‫مسقيما بر آساس فرض يک درجه آزآدي‬
‫‪ half-power‬نيز ناميده مي شود‪ .‬آين روش‬
‫مي باشد‪ .‬در آين روش با دآده ها در محدوده رزونانس‪ ،‬مانند دآده هاي يک سيستم يک‬
‫درجه آزآدي برخورد مي شود‪ .‬مرآحل آين روش به شرح زير آست‪:‬‬
‫(الف) تخمین فرکانس طبیعي‬
‫(ب) تخمین میرايي‬
‫(پ) تخمین ثابت مودال‬
‫روش پيک پيکينگ‬
‫‪( ‬آلف) تخمين فرکانس طبيعي‬
‫‪ ‬فرکانس طبيعي مود آنتخاب شده ‪ r‬آم با توجه به مقدآر پيک ‪ FRF‬حاصل مي شود‪.‬‬
‫‪ r   peak‬‬
‫روش پيک پيکينگ‬
‫‪ r   max‬‬
‫‪( ‬ب) تخمين ميرآي ي‬
‫‪ ‬برآي تعيين ميرآي ي‪ ،‬آبتدآ فرکانس هاي و در دو طرف پيک رزونانسي با دآمنه آنتخاب‬
‫‪‬‬
‫ضريب آتالف ميرآي ي يا نسبت ميرآي ي با توجه به عرض پيک رزونانسي و مطابق‬
‫مي شوند‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫روآبط زير حاصل مي شود‪:‬‬
‫‪max‬‬
‫‪ ‬سازه آی‬
‫‪ ‬ويسکوز‬
‫‪b  a‬‬
‫‪b  a‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b  a‬‬
‫‪b  a‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 r‬‬
‫‪2 r‬‬
‫روش پيک پيکينگ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫(پ) تخمين ثابت مودآل‬
‫توجه به مدل يک درجه آزآدي مقدآر پيک ‪ FRF‬آز رآبطه‬
‫‪‬‬
‫بطور کلي روش پيک پيکينگ برآي دآده هاي ‪ FRF‬با ميرآي ي کم‪ ،‬دآرآي مودهاي جدآ آز هم و ترآکم دآده‬
‫بردآري باال مناسب مي باشد‪.‬‬
‫مقدآر دآمنه در ‪ FRF‬تعيين کننده ضريب آستهالک و ثابت مودآل آست‪ .‬چون دآمنه با دقت زياد قابل‬
‫آندآزه گيری نيست خطای قابل توجهی ممکن آست در تخمين آين دو مقدآر بوجود آيد‪.‬‬
‫به عالوه آين روش فقط می توآند قسمت حقيقی ثابت مودآل رآ محاسبه نمايد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫روش پيک پيکينگ‬
‫‪r r‬‬
‫‪ max ‬‬
‫‪ ‬روش برآزش دآيره يکي آز کاربردي ترين روش هاي يک درجه آزآدي در آناليز مودآل مي باشد‪.‬‬
‫مبناي آين روش دآيره آي بودن نمودآر دآده هاي ‪ FRF‬يک درجه آزآدي می باشد‪.‬‬
‫‪ ‬با در نظر گرفتن مدل ميرآي ي سازه ي نمودآر نايکوئيست رسپتانس به شکل دآيره آي با‬
‫معادله زير خوآهد بود‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1   1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Re     Im      ‬‬
‫دآيره‪2‬آي‪‬بودن ‪h ‬‬
‫‪ ‬هنگام آستفاده آز خاصيت‪h ‬‬
‫سيستم‪2‬يک درجه آزآدي ب‪‬رآي آناليز ‪ FRF‬هاي‬
‫‪2‬‬
‫چند درجه آزآدي‪ ،‬آبتدآ بايد فرض يک درجه آزآدي بودن برقرآر باشد‪.‬‬
‫روش برازش دايره‬
‫‪ ‬آلبته مي توآن حوآلي يک مود‪ ،‬آز آثرآت ساير مودها صرفنظر نمود آما آين فرض به سختي در‬
‫عمل آرضا مي شود‪ .‬با آين حال روش برآزش دآيره رآ مي توآن بر آساس فرضي ساده تر نيز بيان‬
‫کرد‪.‬‬
‫‪ ‬رسپتانس يک سيستم ‪ N‬درجه آزآدي‪ ،‬همانگونه که گ فته شد‪ ،‬بصورت زير نوشته مي شود‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪jk‬‬
‫آگر بخوآهيم مود ‪ r‬آم رآ آناليز کنيم‪ ،‬با‪2‬جدآ کردن‪ 2‬آن آز مجموع مودها مي‪jk‬توآن نوشت‪:‬‬
‫‪r 1 r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A jk‬‬
‫‪N‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪s 1 s‬‬
‫‪s r‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪r A jk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ jk   ‬‬
‫‪ ‬آگر عبارت مجموع در رآبطه فوق با يک عدد مختلط بصورت زير تقريب زده شود‪:‬‬
‫‪A jk‬‬
‫ردآر‪ jk ‬‬
‫آندآزه‪‬ب ‪‬‬
‫دآيره به ‪‬‬
‫در آين صورت نمودآر نايکوئيست‪ B jk‬‬
‫آما آين ‪2‬‬
‫دآيره آي خوآهد بود ‪2‬‬
‫همچنان ‪2‬‬
‫‪r    j r r‬‬
‫‪r‬‬
‫مختلط نسبت به مرکز صفحه مختلط‪ ،‬مطابق شکل جابجا مي شود‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪ ‬آز آنجا که مشخصات مودآل با توجه به خوآص دآيره بدست مي آيد‪ ،‬موقعيت نسبي دآيره در صفحه مختلط‬
‫تاثيري روي آناليز نخوآهد دآشت‪ .‬به آين ترتيب فرض يک درجه آزآدي بودن سيستم آعمال مي شود‪ ،‬به آين‬
‫معني که هنگام آناليز بدون توجه به ثابت مختلط مي توآن آز مدل رياضي سيستم يک درجه آزآدي آستفاده‬
‫کرد‪.‬‬
‫‪ ‬آستخرآج پارآمترهاي مودآل آز برآزش دآيره به همان ترتيبي آست که در روش پيک پيکينگ عمل شد‪ ،‬يعني‬
‫آبتدآ فرکانس طبيعي‪ ،‬سپس ضريب آتالف ميرآي ي و درنهايت ثابت مودآل بدست مي آيد‪.‬‬
‫‪ ‬دقت آطالعات مودآل بدست آمده آز آين روش بطور قابل توجهي نسبت به روش قبل باالتر مي باشد‪ .‬برآي‬
‫تخمين فرکانس طبيعي‪ ،‬آولين گام برآزش يک دآيره روي دآده هاي ‪ FRF‬آنتخاب شده آست‪ .‬آين نقاط در‬
‫محدوده پيک رزونانسي آنتخاب مي شوند‪.‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪ ‬آز نظر رياضي مي توآن ثابت کرد که فرکانس طبيعي در مکاني وآقع آست که نرخ تغيير طول‬
‫کمان‪ ،‬روي دآيره نايکوئيست ماکزيمم باشد‪.‬‬
‫‪Re   r -  2‬‬
‫‪o‬‬
‫‪tan  tan 90 -  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Im  r 2 r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   r 1 - r tan ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪1 + 1 + 3(1 +  r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ r r‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ r  r  r 2 r 4   r 2 -  2‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪2‬‬
‫‪r 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬با فرض کم بودن آستهالک‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪= max‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪d‬‬
‫‪d 2‬‬
‫‪r = ‬‬
‫‪ ‬عبارت فوق به آين معناست که فرکانسي که در آن نرخ حرکت مکان فرکانس ها روي کمان‬
‫دآيره آي ماکزيمم آست‪ ،‬برآبر فرکانس طبيعي مي باشد‪ .‬آز آنجا که ممکن آست تعدآد فرکانس‬
‫هاي آندآزه گيري شده در ‪ FRF‬کافي نباشد‪ ،‬برآي محاسبه دقيق تر فرکانس طبيعي آز‬
‫ميانيابي آستفاده مي شود‪.‬‬
‫‪ ‬پس آز تعيين موقعيت دقيق فرکانس طبيعي روي دآيره نايکوئيست‪ ،‬ضريب آتالف ميرآي ي با‬
‫توجه به دآده هاي ‪ FRF‬و مطابق رآبطه زير محاسبه مي شود‪:‬‬
‫‪r - a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫آز نظر تئوري با در نظر گرفتن هريک آز دآده هاي ‪ FRF‬بايد ضريب ميرآي ي يکساني‬
‫حاصل شود‪.‬‬
‫با آين وجود به دليل نويزهاي آندآزه گيري‪ ،‬خوآص غيرخطي يا خطا‪ ،‬ضريب ميرآي ي بدست‬
‫آمده آز نقاط مختلف دآده هاي ‪ FRF‬متفاوت خوآهند بود‪.‬‬
‫بنابرآين تخمين هاي مختلف مي توآند معيار مناسبي برآي کنترل صحت آناليز باشد‪.‬‬
‫بعنوآن مثال‪ ،‬آگر موقعيت فرکانس طبيعي بطور صحيح آنتخاب نشده باشد‪ ،‬تخمين هاي‬
‫مربوط به ميرآي ی تغييرآتي سيستماتيک نسبت به نقاط دآده هاي ‪ FRF‬قبل و بعد آز‬
‫فرکانس طبيعی خوآهد دآشت‪.‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪ ‬همچنين مي توآن برآي محاسبه ضريب ميرآي ي يک نقطه ‪ FRF‬قبل و يک نقطه بعد آز‬
‫فرکانس طبيعي آنتخاب کرد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r - a‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r  r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ r - b‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r  r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a - b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪r‬‬
‫‪tan  tan‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪ ‬با آنتخاب زوج نقاط مختلف آز دآده هاي ‪ ، FRF‬که يکي قبل و ديگري بعد آز فرکانس‬
‫طبيعي قرآر دآرند‪ ،‬مجموعه آي آز ضرآيب ميرآي ي حاصل خوآهد شد‪.‬‬
‫‪ ‬آگر آين مقادير رآ بر حسب تعدآد نقاط دآده رسم کنيم‪ ،‬نمودآري سه بعدي آز تخمين هاي‬
‫ميرآي ي بدست خوآهد آمد‪ .‬در حالت آيده آل آين نمودآر بصورت يک صفحه تخت آفقي‬
‫خوآهد بود‪.‬‬
‫‪ ‬با آين وجود‪ ،‬آين نمودآر به خطاي محاسبه فرکانس طبيعي‪ ،‬نويز و خوآص غيرخطي در دآده‬
‫هاي ‪ FRF‬حساس آست‪ .‬آز آين موضوع مي توآن بعنوآن شاخصي برآي آرزيابي کيفيت‬
‫پارآمترهاي مودآل بدست آمده آستفاده کرد‪.‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪ ‬آخرين پارآمتري که بايد محاسبه شود‪ ،‬ثابت مودآل آست‪.‬‬
‫‪ ‬آين کار به کمک قطر دآيره نايکوئيست آنجام مي شود‪.‬‬
‫‪ ‬قطر دآيره مود ‪ r‬آم مربوط به پاسخ فرکانسي در موقعيت فرکانس طبيعي توسط رآبطه زير‬
‫تعيين مي شود‪:‬‬
‫‪r A jk‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪r D jk‬‬
‫‪ r r‬‬
‫‪ ‬پس آز برآزش دآيره‪ ،‬قطر آن نيز مشخص خوآهد شد‪ .‬بنابرآين ثابت مودآل رآ مي توآن به‬
‫کمک رآبطه زير بدست آورد‬
‫‪Ajk = r D jk  r ‬‬
‫‪2‬‬
‫روش برازش دایره‬
‫‪r‬‬
‫‪ ‬زآويه فاز ثابت مودآل به کمک موقعيت فرکانس طبيعي بدست مي آيد‪.‬‬
‫‪ ‬بطور خالصه‪ ،‬روش برآزش دآيره در سيستم يک درجه آزآدي در مرآحل زير آنجام مي شود‪:‬‬
‫‪ )1 ‬يک مود آرتعاشي رآ آز روي پيک رزونانس رسپتانس آنتخاب کنيد‬
‫‪ )2 ‬نقاط مورد نظر رآ روي دآده هاي رسپتانس در نمودآر نايکوئيست تعيين کنيد‬
‫‪ )3 ‬دآيره آي روي نقاط آنتخاب شده برآزش کنيد‬
‫‪ )4 ‬مکان فرکانس طبيعي رآ با توجه به ماکزيمم تغييرآت کمان روي دآيره تعيين کرده‪ ،‬زآويه فاز ثابت مودآل رآ‬
‫نيز بدست آوريد‬
‫‪ )5 ‬مقدآر ضريب ميرآي ي رآ بدست آوريد‬
‫‪ )6 ‬آندآزه ثابت مودآل با توجه به قطر دآيره و فاز آن رآ با توجه به مکان فرکانس طبيعي روي دآيره بدست مي‬
‫آيد‬
‫روش برازش دایره‬
Circle-Fit Analysis Procedure
(Step 1)
Select point to be used
•Can be automatic selection or by the
operator judgment
•The selected point should not be
influenced by neighboring modes
•The circle arc should be around 270
degree (if the second rule is not violated)
•Not less than six points should be used
SELECT DATA POINTS
Im()
Re()
Circle-Fit Analysis Procedure
(Step 2)
Fit circle, calculate quality of fit
•Different routins can be used to fit the circle (e.g. least-square deviation)
• At the end of this process, the centre and radius of the circle are
specified.
•An example of the process is shown in next slide.
Im()
Im()
Re()
Re()

1



3

15
14
12
2
13
r
Circle-Fit Analysis Procedure (Step 3)
Locate natural frequency, obtain damping
estimate
•The radial lines from the circle centre to
the point around the resonace are drawn
•The sweep rate the can be calculated,
then natural frequency and damping
ratio
1.The frequency of maximum
response
2.The frequency of maximum
imaginary receptance
3.The frequency of zero real
receptance
Im()
Re()
12
13
15
14
(iii)
(i)
(ii)
Circle-Fit Analysis Procedure
(Step 4)(Damping Estimate)
Im()
Re()
b
b
a
12
13
a
15
14
-Using different points (one below and
one after resonance), a set of damping
ratio will be calculated.
-Ideally they should all be identical
-If deviation is less than 4 to 5 percent,
then we did a good analysis
-If the scatter is 20 to 30 percent, there
is something unsatisfactory.
-If the variation of damping is random,
is probably due to random noise
-If the variation is systematic, it is due to
systematic errors (set-up, effect of near
modes, non-linearity)
r
  2a   2b  

1
 

r  

  2r   tan(a / 2) + tan( b / 2) 
Circle-Fit Analysis Procedure
(Step 4)(Damping Estimate)
a
b
c
d
e
a- linear data
b- random noise
c- error in the data
d- modal analysis error
e- non-linearity
‫‪ ‬روش ديگري که مي توآن به جاي برآزش دآيره برآي سيستم يک درجه آزآدي آستفاده کرد‪ ،‬بر آساس رفتار‬
‫خطي معکوس ‪ FRF‬مي باشد‪.‬‬
‫‪ ‬معکوس رسپتانس در يک سيستم يک درجه آزآدي دآرآي ساختاري بسيار ساده آست يعني بخش هاي حقيقي‬
‫مي باشند‪.‬‬
‫و موهومي آن توآبعي خطی آز‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬با آستفاده آز آين خاصيت مي توآن به جاي برآزش دآيره‪ ،‬آز برآزش يک خط رآست آستفاده کرد‪.‬‬
‫‪ ‬در حالتي که با ‪ FRF‬هاي يک سيستم چند درجه آزآدي سروکار دآريم‪ ،‬به دليل وجود مودهاي مختلط و‬
‫آثرآت آنها بر يکديگر آين سادگي آز بين مي رود‪ .‬تنها زماني مي توآن آز حالت ساده خط رآست در آناليز مودآل‬
‫آستفاده نمود که عوآمل ياد شده قابل آغماض باشند‪.‬‬
‫روش ‪FRF‬معکوس‬
‫‪ ‬آگر بتوآنيم فرض کنيم که در محدوده مود ‪ r‬آم‪ ،‬مشارکت ساير مودها ناچيز آست‪ ،‬در‬
‫آينصورت رسپتانس توسط رآبطه زير تقريب زده مي شود‪:‬‬
‫‪r A jk‬‬
‫‪ jk   ≈ 2 2‬‬
‫ً‬
‫‪‬‬
‫‬‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬آگر آين مود آرتعاشي تقريبا حقيقي باشد‪ ،‬ثابت مودآل يک عدد ثابت حقيقي خوآهد بود‪ .‬در‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫آين حالت معکوس ‪ FRF‬دآرآي تابع رياضي ساده زير خوآهد بود‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫معکوس‬
‫بيانگر‬
‫نقطه تقاطع خط رآست بخش حقيقي با محور آفقي‪ r‬‬
‫فرکانس طبيعي‪ 2‬و شيب آين‪1‬خط برآبر با ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫≈‬
‫تقاطع‪‬‬
‫توجه به ‪‬‬
‫ثابت مودآل مي باشد‪ .‬ضريب ميرآي ي رآ نيز ‪j‬مي توآن با ‪‬‬
‫نقطه‪r -‬‬
‫بدست‬
‫ومي‬
‫موه‬
‫بخش‬
‫نمودآر‬
‫‪ jk   r A jk‬‬
‫‪r A jk‬‬
‫آورد‪.‬‬
‫روش ‪FRF‬معکوس‬
‫‪ ‬آگر يک مود آرتعاشي ً‬
‫کامال مجزآ ولي بصورت مختلط رآ در نظر بگيريم‪ ،‬بايد روآبط آخير‬
‫بازنويسي شوند‪ .‬با توجه به آنکه ثابت مودآل عددي مختلط آست‪ ،‬مي توآن آن رآ به فرم‬
‫قطبي زير نمايش دآد‪:‬‬
‫‪j‬‬
‫‪A‬‬
‫=‬
‫‪A‬‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪r‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪ ‬معکوس رسپتانس رآ مي توآن بصورت زير نوشت‬
‫‪e _ j‬‬
‫‪ r 2 -  2  j r‬‬
‫‪A jk‬‬
‫≈ ‪ jk -1  ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ Re  cos   Im   sin  ‬‬
‫‪ j  Re   sin   Im  cos    X  jY‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫روش ‪FRF‬معکوس‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
dX
-1

cos
2
d
r A jk
dY

2
d
1
sin 
r A jk
dY
 - tan 
dX
‫ برآی يک مود حقيقی‬
‫معکوس‬FRF ‫روش‬
‫‪ ‬نمودآر بخش هاي حقيقي و موهومي معکوس ‪ FRF‬برآي يک مود مختلط‬
‫روش ‪FRF‬معکوس‬
‫‪ ‬بنابراين روش معکوس ‪ FRF‬را به منظور استخراج‬
‫اطالعات مودال مود ‪ r‬ام به ترتیب زير مي توان پیاده‬
‫نمود‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‪ )1‬بخش هاي حقیقي و موهومي معکوس ‪ FRF‬را بطور جداگانه بر حسب‬
‫مربع فرکانس رسم نمايید‬
‫(‪ )2‬روي هر دو منحني خطي راست برازش دهید‬
‫(‪ )3‬با توجه به نقطه تقاطع در نمودار بخش حقیقي فرکانس طبیعي را‬
‫بدست آوريد‬
‫(‪ )4‬به کمک نسبت شیب دو نمودار زاويه فاز ثابت مودال را تخمین بزنید‬
‫(‪ )5‬به کمک شیب يکي از نمودارها دامنه ثابت مودال را بدست آوريد‬
‫(‪ )6‬به کمک بخش حقیقي و يا موهومي ضريب میرايي مودال را بدست‬
‫آوريد‬
‫روش ‪FRF‬معکوس‬
‫‪ ‬در آين روش برآي يافتن بهترين تقريب برآي پارآمترهاي يک مود‪ ،‬يک تابع خطا تعريف و‬
‫سپس به حدآقل رسانده مي شود‪ .‬آين تابع‪ ،‬برآزش منحني مربوط به يک مدل رياضي غير‬
‫خطي رآ به يک مدل خطي وزن دآر تبديل مي کند‪ .‬آين تبديل‪ ،‬برآزش منحني رآ ساده تر کرده‬
‫و حل آن به رآحتي حاصل خوآهد شد‪.‬‬
‫‪ ‬بررسي خود رآ با عبارت مربوط به موبيليتي آغاز مي کنيم‪:‬‬
‫‪ ‬ساده تر‬
‫‪j‬‬
‫‪A jk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ -‬‬
‫∑ ‪Y jk   ‬‬
‫‪r 1‬‬
‫‪N‬‬
‫روش کمترين مربعات‬
‫‪Ar‬‬
‫‪Y    ∑ 2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r 1 r - ‬‬
‫‪H  ‬‬
‫‪ ‬فرض کنيد دآده هاي موبيليتي آندآزه گيري شده‬
‫‪ ‬آگر تحليل مود ‪ r‬آم مد نظر باشد‪ ،‬تابع خطا در فرکانس‬
‫‪ ‬آندآزه گيري شده‬
‫‪i‬‬
‫‪N‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪Ei  2‬‬
‫‪ji  ∑ 2‬‬
‫‪ji - H i   2‬‬
‫‪ji  Ri ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r - i‬‬
‫‪r - i‬‬
‫‪s 1 r - i‬‬
‫‪s ≠r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ei  2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬‫‪‬‬
‫‪i r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪i Ri ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r - i‬‬
‫‪ ‬آگر مقدآر تقريبي فرکانس طبيعي مختلط مشخص باشد‪،‬‬
‫‪ 1 ‬رآ می توآن به عنوآن يک ضريب وزنی در نظر گرفت‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r  i‬‬
‫‪2‬‬
‫روش کمترين مربعات‬
‫‪‬‬
‫در عبارت فوق عالمت * نمايانگر مزدوج مختلط مي باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪- i Ri  - ji Ar  r - i R* i ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E  ∑ Ei Ei‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ j A  ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ wi‬‬
‫هنگامي که آز چند دآده ‪ FRF‬در آين روش آستفاده مي کنيم‪ ،‬مجموع خطاها بصورت زير نوشته مي شود‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪- i Ri  - ji Ar  r - i R * i ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ j A  ‬‬
‫آين تابع رآ مي توآن به منظور آستخرآج بهترين تقريب برآي پارآمترهاي مختلط‬
‫و مي نيمم کرد‪.‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪r 2‬‬
‫روش کمترين مربعات‬
‫‪E  ∑ Ei Ei‬‬
‫‪r‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ∑ wi‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ‬بنابر آين‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Ar ∑ wi i - jr ∑ wi i Ri   j ∑ wi ji Ri   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ jAr ∑ wi i Ri  - r ∑ wi Ri  - ∑ wi i Ri   0‬‬
‫‪ ‬به کمک آين معادالت ثابت مودآل ‪ ،‬فرکانس طبيعي و ضريب ميرآي ي مربوط به مود ‪ r‬آم‬
‫حاصل خوآهد شد‪ .‬آين پروسه رآ مي توآن برآي ساير مودهاي آندآزه گيري شده تکرآر نمود‪.‬‬
‫‪ ‬آين روش بر آساس تقريب آوليه فرکانس طبيعي به منظور وآرد کردن تابع وزني بکار رفته در‬
‫رآبطه قبلی مي باشد‪ .‬آين تقريب ها رآ مي توآن به کمک آناليز ساده پيک پيکينگ بدست آورد‬
‫روش کمترين مربعات‬
‫‪ ‬روش معکوس ‪ FRF‬رآ مي توآن به روشي پيچيده تر تعميم دآد‪ .‬آين روش بر آساس فرض‬
‫يک درجه آزآدي تعميم يافته که در روش برآزش دآيره بکار رفت‪ ،‬مي باشد‪ .‬آين فرض بيانگر‬
‫آين موضوع آست که مجموع آثرآت ساير مودها رآ مي توآن بصورت يک عدد ثابت مختلط در‬
‫نظر گرفت‪ .‬مشابه روش معکوس ‪ ،FRF‬آين روش نيز بر آساس برآزش خطوط مستقيم مي‬
‫باشد‪.‬‬
‫‪ ‬تابع ‪ FRF‬برآي مود ‪ r‬آم بصورت زير نوشته مي شود‪:‬‬
‫‪ ‬در آين رآبطه ‪ R‬يک عدد ثابت مختلط آست‬
‫روش دابسون‬
‫‪Ar‬‬
‫‪ jk    2 2  R‬‬
‫‪r - ‬‬
‫‪ . ‬آگر دآده هاي ‪ FRF‬رآ در حوآلي مود ‪ r‬آم با نمايش دهيم‪ ،‬تفاضل بين آين نقطه و ساير‬
‫نقاط همسايگي بصورت زير تعريف مي شود‪:‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪Ar‬‬
‫‪  2 2 - 2‬‬
‫‪r -  r -  2‬‬
‫‪ ‬آين تفاضل کمک زيادي به تخمين پارآمترهاي مودآل نمي کند‪ .‬بنابرآين يک تابع جديد با‬
‫توجه به بصورت زير تعريف مي شود‪:‬‬
‫‪ 2 - 2‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪   -  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‬‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪r 2 -  2  r 2 -  2‬‬
‫‪   -   Ar‬‬
‫روش دابسون‬
Ar  P  jQ
‫ با تعريف‬
r   r 1  jr 
2
2
2
(
)
Re  = cR + t R
Im() = cI + t I  2
P  r 2  Q r r 2
P
Pr r 2 - Q r 2
Q
2
2
tR  


t




I
P 2 Q 2
P 2 Q 2
P 2 Q 2
P 2 Q 2
 



P r r -  2 - r r  Q r r 2r -  2
cR 
P2  Q2
2
2

2
4
2
  
2


P r r 2r -  2 - Q r r -  2 - r r
cI 
P2  Q2
2
2
2
2
2
4

‫روش دابسون‬
‫مجموعه‪‬آي آز خطوط رآست برآي دو‬
‫‪ ‬با آنتخاب فرکانس حوآلي ‪‬فرکانس طبيعي ميتوآنيم‬
‫‪r‬‬
‫ساده آي برآي‬
‫بخش حقيقي و موهومي تابع‬
‫بدست آوريم‪ .‬معادالت قبل روآبط مناسب ‪‬و ‪‬‬
‫بدست آوردن پارآمترهاي مودآل نمي باشند‪ .‬با توجه به آينکه هر دو شيب بدست آمده آز‬
‫روآبط توآبعي خطي آز مي باشند‪ ،‬با آنتخاب فرکانس هاي مختلف ميتوآنيم مجموعه آي آز‬
‫شيب ها رآ آز آين معادالت بدست آوريم‪ .‬آين شيب ‪2‬ها‪‬رآ مي توآن در دو نمودآر بر حسب‬
‫رسم کرد‪ .‬با برآزش خطوط رآست‪‬بر آين دو نمودآر‪ ،‬پارآمترهاي مودآل با توجه به شيب و‬
‫نقطه تقاطع دو خط رآست تعيين خوآهند شد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫روش دابسون‬
‫‪‬‬
‫نمودآر ‪ FRF‬و مود آول مربوط به يک سيستم‬
‫‪ ‬بخش هاي حقيقي و موهومي تابع‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫فرکانس‪‬‬
‫هاي مختلف‬
‫برآي‬
‫شيب هاي مربوط به خطوط‬
‫روش دابسون‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬دو خط رآست شکل رآ مي توآن برآزش نمود‪ .‬با بکار گيري روآبط مي توآنيم پارآمترهاي مودآل‬
‫رآ با توجه به شيب خطوط شکل بدست آوريم‪ .‬پس آز آين مرحله مي توآن آطالعات ‪FRF‬‬
‫رآ به کمک پارآمترهاي مودآل بدست آمده بازسازي نمود‪.‬‬
‫‪ ‬تطابق نمودآرهاي نايکوئيست مربوط به دآده هاي آصلي و ‪ FRF‬بازسازي شده‬
‫روش دابسون‬