Transcript مروری بر احتمال

‫مروری بر احتمال‬
‫سعید موسوی‬
[email protected]
http://biostat.niloblog.com
1
‫تعریف احتمال‬
‫• اساس منطقی فرآیند انجام استنباط های آماری درباره جامعه با‬
‫استفاده از داده های نمونه ای‪ ،‬متکی بر احتمال است‪.‬‬
‫• از نظر شهودی احتمال یک پیشامد غیر حتمی‪ ،‬اندازه ای عددی‬
‫است که میزان انتظار ما برای وقوع آن پیشامد را نشان می دهد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫آزمایش‬
‫• فرآیند مربوط به گردآوری داده های مربوط به پدیده ای که‬
‫برآمد های آن متفاوتند‪.‬‬
‫– جنس اولین دو نوزادی که فردا در شهر به دنیا می آیند‬
‫– تاثیر آنتی بیوتیک جدید بر یک بیماری عفونی‬
‫– تمرکز گردوخاک در هوای شهرهای حاشیه کویر‬
‫– تاثیر رژیم غذایی بر تغییر قد و وزن کودکان‬
‫• مجموعه تمام برآمدهای ممکن یک آزمایش فضای نمونه برآمدها‬
‫نامیده می شود و با ‪ S‬نشان داده می شود‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫پیشامد‬
‫• فضای نمونه آزمایش های ذکر شده‬
‫– }‪S={bb,bg,gb,gg‬‬
‫– }‪S={+,-‬‬
‫– }‪S={c| 0≤c≤1‬‬
‫– ‪S={(x,y)|x>0,y<0 or y>0 or y=0} x:height, y:wieght‬‬
‫• هر زیر مجموعه از فضای نمونه که دارای ویژگی مشخص ی باشد‬
‫پیشامد گفته می شود و با حروف بزرگ ‪ B ، A‬و ‪ ..‬نشان داده‬
‫می شود‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫انواع فضای نمونه‬
‫• فضای نمونه گسسته‪ :‬اگر تعداد اعضای آن متناهی یا شمارش پذیر‬
‫نامتناهی باشد‪.‬‬
‫– نتیجه آزمایش کم خونی‬
‫– تکرار آزمایش کم خونی تا زمانی که اولین فرد مبتال به کم خونی مشخص‬
‫شود‪.‬‬
‫– }‪S={-,+‬‬
‫– }‪S={+,-+,--+,---+,….‬‬
‫‪5‬‬
‫• فضای نمونه پیوسته‪ :‬وقتی که فضای نمونه شامل تمام اعداد‬
‫متعلق به یک فاصله باشد‬
‫– تمرکز گردوخاک‬
‫– تغییر قد و وزن بر اثر رژیم غذایی‬
‫‪6‬‬
‫احتمال یک پیشامد‬
‫• اگر یک فضای نمونه شامل ‪ k‬برآمد }‪ {e1,…ek‬باشد که بطور‬
‫هم شانس رخ می دهند‪ ،‬احتمال هر برآمد ‪ 1/k‬است‪ .‬اگر پیشامد‬
‫‪ A‬شامل ‪ m‬برآمد از‪ k‬برآمد باشد‪ ،‬داریم‬
‫‪P(A)=m/k‬‬
‫‪7‬‬
‫فضاي پیوسته‬
‫• ا) در حالت طول ‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪LE‬‬
‫‪P( E ) ‬‬
‫‪LS‬‬
‫‪ )2‬در حالت سطح ‪:‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪AS‬‬
‫‪ )3‬در حالت حجم ‪:‬‬
‫‪VE‬‬
‫‪VS‬‬
‫‪P( E ) ‬‬
‫‪P( E ) ‬‬
‫مثال‬
‫• در یک بانک خون فراوانی گروه های خونی برای ‪ 200‬کیسه خون به‬
‫صورت زیر است احتمال گروه های مختلف را حساب کنید‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Group‬‬
‫‪90‬‬
‫‪O‬‬
‫‪58‬‬
‫‪A‬‬
‫‪42‬‬
‫‪B‬‬
‫‪10‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪200‬‬
‫‪Total‬‬
Group
n
P(X)*100
0
90
45
A
58
29
B
42
21
AB
10
5
Total
200
100
10
‫اصول احتمال‬
‫• احتمال تابعی است که بر روی پیشامدها تعریف می شود و دارای‬
‫شرایط زیر است‬
‫‪0≤ P(A) ≤1 .1‬‬
‫‪ Aꞌ( P(A)+P(Aꞌ)=1 .2‬پیشامد متمم ‪ A‬است)‬
‫‪P(S)=1 .3‬‬
‫‪11‬‬
‫قواعد شمارش‬
‫• این قواعد عبارتند از ‪:‬‬
‫• ‪ -1‬قاعده ضرب ‪ -2‬جایگشت (ترتیب) ‪ -3‬ترکیب‬
‫• از این قواعد در وضعیت هایی استفاده می شود که فهرست نمودن‬
‫تمام حاالت ممکن آزمایش مقدور نمی باشد ‪ ،‬لذا فقط به ذکر‬
‫تعداد حاالت ممکن و مختلف اکتفا می شود‬
‫‪12‬‬
‫قاعده ضرب‬
‫• طرق ممکن انجام عمل در آزمایش ی که مرحله اول آن به‬
‫‪n1‬طریق و ‪ . . .‬مرحله ‪K‬ام آن به ‪ nk‬طریق انجام میگیرد ‪ ،‬عبارت‬
‫خواهد بود از ‪:‬‬
‫‪n1*n2*….nk‬‬
‫• فضای نمونه آزمایش پرتاب ‪ 2‬سکه و ‪ 2‬تاس چند برآمد دارد؟‬
‫‪13‬‬
‫جایگشت ( ترتیب )‬
‫• یعنی تعداد طرقی که می توان ‪r‬ش ی را از بین ‪n‬ش ی انتخاب نمود‬
‫بطوریکه ‪ r ≤ n‬و ترتیب قرار گرفتن اشیاء نیز مهم باشد‬
‫!‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫نفر‪‬از ‪n‬‬
‫به چند طریق می توان! ‪r )3‬‬
‫بین(‪ 10‬نفر به عنوان نفر اول‪ ،‬دوم و‬
‫‪n‬‬
‫•‬
‫سوم انتخاب کرد؟‬
‫‪14‬‬
‫ترکیب‬
‫• تعداد طرق انتخـاب ‪r‬ش ی متمـایز از بین ‪n‬شـی بشرطی که ترتیب‬
‫قرار گرفتن اشیاء مهم نباشد‪.‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪( )‬‬
‫!‪(n  r )!r‬‬
‫‪n‬‬
‫‪r‬‬
‫‪15‬‬
‫عملیات روی پیشامدها‬
‫• اشتراک دو پیشامد ‪A∩B‬‬
‫• اجتماع دو پیشامد ‪AUB‬‬
‫• متمم یک پیشامد‪Ac‬‬
‫‪16‬‬
‫دو پیشامد نا سازگار‬
‫• دو پیشامد را در صورتی « نا سازگار » گویند که امکان وقوع همزمان‬
‫نداشته باشند یعنی با وقوع یکی ‪ ،‬دیگری امکان وقوع نداشته باشد‬
‫مثل شب و روز‬
‫)‪P( A  B)  P( A)  P( B‬‬
‫‪17‬‬
‫‪P( A  B)  P( )  0‬‬
‫قضیه جبر پیشامدها‬
‫• براي هر دو پيشامد دلخواه ‪ A‬و ‪ B‬داريم ‪:‬‬
‫)‪P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B‬‬
‫‪18‬‬
‫احتمال شرطي‬
‫• اگر احتمال وقوع پيشامدي منوط به وقوع پيشامد ديگري باشد‬
‫احتمال شرطي شكل مي گیرد‬
‫)‪P( A  B‬‬
‫‪P( A B ) ‬‬
‫)‪P( B‬‬
‫شروط ‪ -1 :‬وقوع ‪A‬به ‪B‬مربوط بوده‬
‫ً‬
‫‪B -2‬قبال رخ داده‬
‫‪-3‬‬
‫‪19‬‬
‫‪P( B )  0‬‬
‫قانون ضرب احتماالت‬
‫• با استفاده از احتمـال شرطی می توان قانـون ضرب را برای محاسبه‬
‫احتمال اشتراک پیشامدها بشرح زیر بیان نمود‬
‫) ‪P( A  B )  P( A )P( B / A‬‬
‫یا‬
‫) ‪P( A  B )  P( B )P( A / B‬‬
‫‪20‬‬
‫دو پیشامد مستقل‬
‫• دو پیشامد را « مستقل » می گوییم ‪ ،‬در صورتی که وقوع یا عدم‬
‫وقوع یکی در وقوع و یا عدم وقوع دیگری هیچ تأثیری نداشته باشد‪.‬‬
‫• چون ‪A‬و ‪B‬هیچ تأثیری بر روی هم ندارند برای محاسبه احتمال‬
‫اشتراک آنها بشکل زیر عمل می شود ‪:‬‬
‫) ‪P( A  B )  P( A )P( B‬‬
‫‪21‬‬
‫مثال‬
‫• فضای نمونه خانواده ای که سه فرزند دارد را مشخص کنید و‬
‫احتماالت زیر را حساب کنید‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪22‬‬
‫فرزند اول پسر باشد‬
‫فرزند اول پسر و فرزند دوم دختر باشد‪.‬‬
‫اگر فرزند اول دختر باشد احتمال اینکه فرزند سوم نیز دختر باشد‬
‫چقدر است؟‬
‫فرض کنید ‪ X‬تعداد فرزندان پسر باشد احتمال مربوط به مقادیری‬
‫که ‪ X‬اختیار می کند را بدست آورید‪.‬‬
‫آیا پیشامد فرزند اول دختر و فرزند دوم دختر مستقلند؟‬
‫تمرین‬
‫• فضای نمونه حاصل از پرتاب دو تاس را مشخص کنید و احتماالت‬
‫زیر را حساب کنید‪.‬‬
‫‪ .1‬هر دو تاس فرد باشند‪.‬‬
‫‪ .2‬اگر تاس اول فرد باشد احتمال اینکه تاس دوم عددی بزرگتر از ‪ 3‬باشد‬
‫چقدر است؟‬
‫‪ .3‬اگر ‪ X‬مجموع برآمد دو تاس باشد احتمال های مربوط به مقادیر‬
‫مختلف آن را بدست آورید‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫مثال‬
‫• در بازی التری برنده کس ی است که شش شماره کارت او برابر با‬
‫شش شماره ای باشد که از بین اعداد ‪ 1‬تا ‪ 49‬انتخاب می شود‬
‫احتمال برنده شدن چقدر است؟‬
‫• از یک دست ورق بازی ‪ 4‬برگ به تصادف انتخاب می شود احتمال‬
‫اینکه دو برگ آس و دو برگ دیگر صورت باشد چقدر است؟‬
‫• از بین اعداد سه رقمی عددی را به تصادف انتخاب میکنیم احتمال‬
‫اینکه ارقام این عدد تکراری نباشد چقدر است؟‬
‫‪24‬‬
‫متغیر تصادفی‬
‫• تابعی است که روی فضای نمونه تعریف می شود و هر یک از‬
‫مقادیر آن ‪ ،‬متناظر با یک یا چند عضو از اعضای فضای نمونه‬
‫است‪.‬‬
‫• متغیر تصادفي ‪ X‬تابعي از فضاي نمونه به زير مجموعه اي از‬
‫اعداد حقيقي ‪:‬‬
‫‪X :S  A R‬‬
‫متغیرهای تصادفی را با حروف بزرگ التین مثل ‪Z‬و ‪Y‬و ‪X‬و هر یک از مقادیر انتخابی آنها را با حروف‬
‫کوچک ‪z‬و ‪y‬و ‪x‬نشان می دهند‬
‫‪25‬‬
‫• تعداد فرندان دختر خوانواده ای که ‪ 4‬فرزند دارد‪.‬‬
‫‪X:0,1,2,3,4‬‬
‫• مجموع برآمد سه تاس‪.‬‬
‫‪X: 3,4,…18‬‬
‫• میزان قند خون مردان ‪ 20‬تا ‪ 30‬سال‬
‫]‪Xϵ[a,b‬‬
‫‪26‬‬
‫انواع متغیر تصادفی‬
‫‪ .1‬متغیر تصادفی گسسته ؛ با تعداد مقادیر متناهی یا شمارش پذیر‬
‫– تعداد فرزندان‪ ،‬داشتن بیماری و‪...‬‬
‫‪ .2‬متغـیر تصادفی پیوسـته ؛ با تعداد مقادیر ممـکن نامتناهی و غیر قابل‬
‫شمارش‬
‫‪ -‬سن‪ ،‬فشار خون‪....،‬‬
‫‪27‬‬
‫تابع احتمال‬
‫• به تابعی که بتوان با استفاده از آن احتمال هر یک از مقادیر ممکن‬
‫متغیر تصادفی را مشخص کرد « تابع احتمال » یا « توزیع احتمال »‬
‫گویند‬
‫• در نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از‬
‫مقادیر متغیر تصادفی (در مورد متغیر گسسته) و یا احتمال قرار‬
‫گرفتن متغیر در یک بازه مشخص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته)‬
‫میباشد‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫• اگر متغیر تصادفي ‪ X‬گسسته باشد ‪ :‬تابع احتمال‬
‫)‪probability function (p.f‬‬
‫)‪P(x‬‬
‫اگر متغیر تصادفي ‪ X‬پيوسته باشد ‪ :‬تابع چگالي احتمال‬
‫)‪probability density function (p.d.f‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪29‬‬
‫خواص تابع احتمال‬
‫• توزيع احتمال بر مبناي ويژگيهايي كه مي تواند اتخاذ كند الزم است‬
‫در شرايط زير صدق نمايد ‪:‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪0  P( x)  1, x  D‬‬
‫‪ P ( x )  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ f ( x)dx  1‬‬
‫تابع توزیع ( تابع احتمال تجمعی )‬
‫• تابع توزیع ‪ ،‬تابعی است که به ازای جمیع مقادیر ممکن متغیر‬
‫تصادفی ‪ ، X‬احتمال وقوع مقداری کوچکتر یا مساوی با ‪ X‬را نشان‬
‫می دهد‬
‫)‪F(x)=P(X<x‬‬
‫تابع توزیع برای متغیر تصادفی گسسته‬
‫تابع توزیع برای متغیر تصادفی پیوسته‬
‫‪31‬‬
‫مثال‬
‫• تابع احتمال و توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی ‪ X‬که تعداد‬
‫فرزندان دختر خانواده ای با سه فرزند می باشد را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫تمرین‬
‫• تابع احتمال و توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی ‪ X‬که مجموع‬
‫برآمد های دو تاس می باشد را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫امید ریاضی متغیر تصادفی‬
‫• امید ریاض ی متغیر تصادفی ‪X‬که با )‪E(X‬نشان داده می شود‬
‫همان میانگین موزون است که احتماالت در آن ‪ ،‬نقش ضرایب (‬
‫وزن ها ) را ایفاء می کنند‪ .‬مقدار مورد انتظار ما از وقوع متغیر‬
‫تصادفی را نشان می دهد‪.‬‬
‫• متغیر گسسته‬
‫• متغیر پیوسته‬
‫‪34‬‬
‫)‪E( X )   X  P( x‬‬
‫‪E ( X )   x. f ( x)dx‬‬
‫واریانس متغیر تصادفی‬
‫• این واریانس با )‪V(X‬نشان داده شده و میزان پراکندگی را حول‬
‫میانگین ( امید ریاض ی ) نشان می دهد‬
‫‪1) V ( X )  E ( X   ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ E( X )  ‬‬
‫‪35‬‬
‫) ‪2) V ( X‬‬
‫مثال‬
‫• برای توزیع احتمال زیر امید ریاض ی و واریانس ‪ X‬پیدا کنید‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪36‬‬
‫‪13‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪P(x‬‬
‫میانگین نمونه‬
‫• حالت خاص ی از امید ریاض ی است‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫) ( ‪xi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫احتمال یا فراوانی هر شخص در نمونه ‪ 1/n‬است‬
‫‪37‬‬
‫‪X‬‬
‫کاربرد امید ریاضی‬
‫• امید ریاض ی شاخص ی مفید برای تصمیم گیری است‪.‬‬
‫• مثال التری)‪( lottery‬‬
‫در بازی التری برنده کس ی است که شش شماره کارت او برابر با شش شماره ای باشد‬
‫که از بین اعداد ‪ 1‬تا ‪ 49‬انتخاب می شود احتمال برنده شدن چقدر است؟‬
‫اگر هزینه شرکت در بازی ‪ 1‬دالر باشدو جایزه برنده ‪2‬میلیون دالر باشد و متغیر‬
‫تصادفی ‪ X‬مقدار پول شخص‪ ،‬امید ریاض ی ‪ X‬چقدر است؟‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 7.2 x 10-8‬‬
‫‪49! 13,983,816‬‬
‫!‪43!6‬‬
‫‪38‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 49 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪p(x‬‬
‫‪x$‬‬
‫‪.999999928‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪7.2 x 10--8‬‬
‫‪+ 2 million‬‬
‫‪)*-$1.00‬بازنده(‪)*$2,000,000 + P‬برنده(‪E(X) = P‬‬
‫‪= 2.0 x 106 * 7.2 x 10-8+ .999999928 (-1) = .144 - .999999928 = -$.86‬‬
‫• امید ریاض ی منفی نشان می دهد که در هر بار بازی امکان باخت‬
‫وجود دارد‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫شرطبندی‬
‫• اگر چرخ رولت شامل اعداد ‪ 1‬تا ‪ 0 ،36‬و ‪ 00‬باشد و مقدار‬
‫شرطبندی ‪ 1‬دالر باشد‪ .‬اگر عدد فرد ظاهر شود شرکت کننده ‪1‬‬
‫دالر برنده می شود و در غیر اینصورت یک دالر می بازد‪ .‬امید ریاض ی‬
‫پول شرکت کننده را بدست آورید‪.‬‬
‫• اگر یک میلیون بار بازی انجام شود مقدار سود بدست آمده چقدر‬
‫است؟‬
‫‪40‬‬