Transcript متغیرهای تصادفی پیوسته

‫به نام خدا‬
‫فصل چهارم‬
‫تابع احتمال‬
‫سایت‬
‫‪1‬‬
‫پست الکترونیک‬
‫‪qadiri.ir‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫مفهوم متغیر تصادفی‬
‫در اغلب آزمایش های تصادفی ما به جای نتایج حاصل از آزمایش به توابعی از نتایج‬
‫عالقه مند هستیم‪.‬‬
‫چنین توابعی که روی فضای نمونه تعریف میشوند به”متغیر تصادفی“موسوم اند‪.‬‬
‫برای روشن شدن مفهوم ابتدا به مثال ذیل توجه نمایید‪:‬‬
‫آزمایش پرتاب ‪ 3‬سکه را باهم درنظر بگیرید‪.‬فضای نمونه حاصل از این آزمایش به‬
‫صورت زیراست‪:‬‬
‫امتیاز{ ‪‬‬
‫شما‪TTT ,‬‬
‫‪TTH‬‬
‫شیرهای ‪, HTT ,‬‬
‫‪THH, HTH,‬‬
‫داده‪S‬می‬
‫‪, THT‬به‬
‫مشاهده شده‬
‫‪HHT,‬به تعداد‬
‫}‪HHH‬زمایش‬
‫فرض کنید در این آ‬
‫شود‪.‬بنابراین فقط شمارش شیرها مورد نظر است و اهمیت دارد‪ .‬که این تعداد‬
‫می تواند یکی از مقادیر ‪ 0،1،2،3‬باشد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫متغیر تصادفی (ادامه)‬
‫به عبارت دیگر ما به جزئیات فضای نمونه عالقه مند نیستسم بلکه فقط به یک‬
‫توصیف عددی از نتیجه عالقه مندیم‪.‬‬
‫برای این منظور به هریک از نقاط فضای نمونه عددی حقیقی را نسبت می دهیم و‬
‫این عمل را بوسیله یک تابع حقیقی که آنرا ”متغیر تصادفی“می نامیم انجام می‬
‫دهیم‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫متغیر تصادفی و پرتاب سه سکه‬
‫اگر متغیر تصادفی(تابع) ‪ X‬برابر تعداد شیرهای مشاهده شده در پرتاب ‪ 3‬سکه باشد‬
‫در اینصورت‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪TTT‬‬
‫‪TTH‬‬
‫‪1‬‬
‫‪THT‬‬
‫‪HTT‬‬
‫‪THH‬‬
‫‪2‬‬
‫‪HTH‬‬
‫‪HHT‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪HHH‬‬
‫‪S‬‬
‫ادامه اسالید قبل‬
‫‪ :X‬تعداد شیر های مشاهده شده‬
‫)}‪ )=P(X=2)=P(A={HHT,THH,HTH‬تعداد شیرهای مشاهده شده =‪P(2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫=)}‪P( X  1 )=P( B={TTT, HTT, THT, TTH‬‬
‫متغیرهای تصادفی را می توان با حروف بزرگ ‪ Z ، Y ،X‬و مقادیر آنها را با حروف‬
‫کوچک ‪ z، y،x‬نمایش داد‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫تعریف متغیر تصادفی‬
‫اگر ‪ S‬فضای نمونه یک آزمایش تصادفی باشد‪ ،‬تابع ‪ X‬از فضای نمونه به‬
‫زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی را متغیر تصادفی می نامند‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪X :S  A‬‬
‫تابع ‪ X‬به هر نقطه از فضای نمونه یک عدد حقیقی را نسبت می دهد‪.‬‬
‫برد این تابع می تواند تمام اعداد حقیقی و یا فقط زیرمجموعه ای از آن باشد‪.‬‬
‫غالبا برد ‪ X‬را ‪ :‬فضای مقادیر ‪X‬‬
‫یا تکیه گاه ‪X‬‬
‫‪ Support X‬می نامند و با ‪ R‬نمایش می دهند‪.‬‬
‫یا‬
‫با استفاده از متغیر تصادفی می توانیم کلیه مباحث احتمال را که در فصول قبل بیان شد به نحو‬
‫ساده تری بیان نمود‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫متغیر تصادفی گسسته و پیوسته‬
‫گسسته (‪) Discrete‬‬
‫‪ : A‬قابل شمارش‬
‫متغیر تصادفی‬
‫پیوسته (‪) Continuos‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ : A‬غیرقابل شمارش‬
8
‫تابع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته‬
‫)‪f ( x‬یا‬
‫اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی گسسته باشد‪،‬تابع‬
‫احتمال متغیر تصادفی ‪ X‬می گویند هرگاه دارای شرایط زیر باشد‪:‬‬
‫تابع‬
‫)‪  x‬را‪P(X‬‬
‫‪x : 0  f(x)  1‬‬
‫‪ f ( x)  1‬‬
‫این تابع برای کلیه مقادیر ‪ ، X‬احتمال تعریف می کند‪.‬‬
‫به بیان دیگر تابعی است که عضوهای ‪ X‬را به فاصله‬
‫شرایط مذکور (باال) می باشد‪.‬‬
‫مثال‪.....‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x‬‬
‫]‪[0,1‬می برد و دارای‬
‫‪1.‬‬
‫‪2.‬‬
‫تفاوت های تابع احتمال گسسته و تابع در ریاض ی‬
‫‪ -1‬در تابع احتمال گسسته همیشه برد تابع بین‬
‫همیشه مجموع بردها‬
‫است و‬
‫‪0,1‬‬
‫‪‬‬
‫برابر یک خواهد بود ‪ .‬در حالیکه در توابع ریاض ی لزومی ندارد که این خاصیت‬
‫وجود داشته باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬در تابع احتمال گسسته هر نقطه ای که در دامنه تعریف نشده باشد‪ ،‬مقدار‬
‫احتمال آن صفر است‪ .‬در حالیکه در توابع ریاض ی چنین نیست‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫تابع توزیع تجمعی‬
‫اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی گسسته با تابع احتمال )‪ f(x‬باشد‪ ،‬تابع توزیع تجمعی آنرا‬
‫داده‪X‬و‪F‬به صورت زیر تعریف می کنیم‪:‬‬
‫با‬
‫یا )‪FX ( x‬‬
‫نمایش ) ‪(t‬‬
‫) ‪FX ( x)  P(X  x)   f X (t‬‬
‫‪tx‬‬
‫تابع توزیع تجمعی تابعی است که احتمال ها را در نقاط مختلف روی هم می ریزد(با‬
‫هم جمع می کند) تا به یک برسد‪.‬‬
‫مثال‪....‬‬
‫‪11‬‬
‫خواص تابع توزیع تجمعی‬
‫الف ‪0  FX ( x)  1 :‬‬
‫‪FX ( )  lim FX ( x)  1‬‬
‫‪x ‬‬
‫ب‪:‬‬
‫‪FX (  )  lim FX ( x )  0‬‬
‫‪x ‬‬
‫ج‪ :‬همواره از راست پیوسته است‪:‬‬
‫) ‪lim FX ( x)  FX ( a‬‬
‫د‪ :‬تابعی صعودی و پله ای است‪:‬‬
‫) ‪x1  x2  FX ( x1 )  FX ( x2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪xa‬‬
‫مشخص نمودن تابع احتمال با داشتن‬
‫تابع توزیع تجمعی‪،‬‬
‫در متغیر های تصادفی گسسته‬
‫احتمال یک نقطه در تابع توزیع تجمعی برابر است با ‪:‬‬
‫)‪a‬‬
‫مثال‪......‬‬
‫‪13‬‬
‫‪P( X  a)  P( X  a)  P(X‬‬
14
‫متغیرهای تصادفی پیوسته‬
‫‪15‬‬
‫تابع احتمال برای متغیر های تصادفی پیوسته‬
‫(تابع چگالی احتمال)‬
‫یادآوری‪ :‬متغیر تصادفی پیوسته‬
‫متغیر تصادفی ای که مجموعه مقادیر آن یک فاصله عددی یا اجتماع چند‬
‫فاصله عددی باشد را متغیر تصادفی پیوسته می نامند‪.‬‬
‫توجه ‪ :‬احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته بخواهد فقط یک مقدار به‬
‫خصوص از مجموعه مقادیرش را بگیرد‪ ،‬صفر است‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫توضیح بیشتر‬
‫مثال‪ :‬فرض کنید نقطه ای را به تصادف از فاصله حقیقی‬
‫انتخاب می کنیم‪ .‬متغیر‬
‫‪0, 2‬‬
‫تصادفی ‪ X‬را نقطه انتخاب شده در فاصله ‪ 0, 2‬تعریف می کنیم‪،‬در اینصورت ‪ X‬یک‬
‫متغیر تصادفی پیوسته است‪.‬‬
‫برای هر ‪ r‬که‬
‫‪r 0, 2‬باشد‪:‬‬
‫‪P( X  r )  0‬‬
‫زیرا بین نقاط ‪ 0‬و ‪ 2‬بی نهایت نقطه وجود دارد و احتمال انتخاب یک نقطه به‬
‫خصوص بسیار ناچیز است‪.‬‬
‫بنابراین توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را نمی توان به صورت یک جدول‬
‫نمایش داد ‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته‬
‫اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی پیوسته باشد‪ ،‬تابع احتمال ‪ X‬را که با )‪f(x‬‬
‫نشان می دهیم دارای ‪ 2‬شرط ذیل می باشد‪:‬‬
‫‪x : f (x)  0‬‬
‫‪f ( x)dx  1‬‬
‫‪ f‬تابعی است که برای کلیه فاصله ها در دامنه ‪، X‬‬
‫احتمال تعریف می کند‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪2.‬‬
‫همانطور که در خصوص احتمال یک نقطه گفته شد داریم‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪P(a  X  b)   f ( x)dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪P( X  a)   f ( x)dx  0‬‬
‫‪a‬‬
‫مثال‪....‬‬
‫‪19‬‬
‫تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته‬
‫ا‬
‫برای بدست آوردن تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی معموال ابتدا تابع توزیع‬
‫آنرا مشخص می کنند‪ .‬تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر‬
‫تعریف می شود‪:‬‬
‫‪f (t )dt‬‬
‫‪x‬‬
‫‪FX ( x)  P( X  x)  ‬‬
‫‪‬‬
‫این تابع پیوسته است و طبق قضیه اساس ی حساب دیفرانسیل و انتگرال داریم‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪FX ( x)  f ( x‬‬
‫‪dx‬‬
‫مثال‪...‬‬
‫‪20‬‬
‫‪FX ( x) ‬‬
‫چند نکته در خصوص تابع توزیع تجمعی با متغیر پیوسته‬
‫الف ‪:‬‬
‫‪0  FX ( x)  1‬‬
‫ب‪:‬‬
‫‪FX ( )  lim FX ( x)  1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪FX (  )  lim FX ( x )  0‬‬
‫‪x ‬‬
‫برای محاسبه احتماالت مربوط به یک متغیر تصادفی پیوسته می توان از رابطه زیر‬
‫استفاده نمود‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪X  b)   f ( x)dx  FX (b)  FX (a‬‬
‫‪a‬‬
‫که در آن ‪a‬می تواند‬
‫‪21‬‬
‫‪‬و ‪ b‬می تواند‬
‫باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪P( a‬‬
24
‫توزیع های چند متغیره‬
‫در یک آزمایش تصادفی ممکن است روی فضای نمونه بیش از یک متغیر تعریف‬
‫کنیم‪.‬‬
‫برای مثال در آزمایش پرتاب یک جفت تاس می توان ‪ X‬را مجموع خال های ظاهر‬
‫شده و ‪ Y‬را حاصلضرب اعداد ظاهر شده و ‪ Z‬را تفاوت(اختالف) اعداد ظاهر‬
‫شده تعریف کرد‪.‬‬
‫ابتدا به حالت های ‪ 2‬متغیره می پردازیم‪.‬یعنی به وضعیت هایی با یک جفت متغیر‬
‫تصادفی که همزمان روی یک فضای نمونه ای توام تعریف شده اند‪.‬‬
‫ا‬
‫که بعدا این بحث را می توان به حالت های بیش از ‪ 2‬متغیر تعمیم داد‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی گسسته‬
‫فرض کنید ‪X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی گسسته باشند‪.‬تابع ‪ 2‬متغیره‬
‫را تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی ‪X‬و‪ Y‬می گوییم و به صورت زیر تعریف می‬
‫شود‪:‬‬
‫)‪f ( x, y‬‬
‫)‪f ( x, y)  P(X  x, Y  y‬‬
‫این تابع برای کلیه زوج های مرتب‬
‫شرایط زیر باشد‪:‬‬
‫) ‪( x, y‬احتمال تعریف می کند و باید دارای‬
‫‪f ( x, y)  0‬‬
‫مثال‪...‬‬
‫‪26‬‬
‫)‪( x, y‬‬
‫‪ f ( x, y)  1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫مثال‬
‫فرض کنید یک سکه سالم را‬
‫‪ 3‬بار پرتاب می کنیم‬
‫متغیرهای تصادفی ‪X‬و‪Y‬را به صورت زیر‬
‫تعریف می کنیم‪:‬‬
‫‪ :X‬تعداد شیرهای مشاهده شده‬
‫‪ :Y‬تعداد شیرهای پرتاب سوم‬
‫تابع احتمال توام )‪ (X,Y‬را تعریف کنید‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫تابع احتمال حاشیه ای (کناری)‬
‫با داشتن تابع احتمال توام متغیرهای تصادفی ‪X‬و‪ Y‬می توان تابع احتمال ‪X‬‬
‫به تنهایی و تابع احتمال‪ Y‬به تنهایی را محاسبه کرد که به آنها توابع احتمال حاشیه‬
‫ای (کناری) می گویند‪.‬‬
‫اگر ‪X‬و‪ Y‬متغیرهای تصادفی گسسته باشند تابع احتمال حاشیه ای آنها به صورت‬
‫زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫) ‪g ( x)   f ( x, y‬‬
‫‪x :‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪h( y )   f ( x, y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪28‬‬
‫‪y :‬‬
‫مثال‬
‫فرض کنید از جعبه ای که شامل ‪ 3‬توپ آبی‪ 2 ،‬توپ قرمز و ‪ 4‬توپ سبز است به‬
‫تصادف ‪ 2‬توپ یک به یک خارج می کنیم‪.‬اگر متغیر های تصادفی‪X‬و‪Y‬را به‬
‫صورت زیر تعریف کنیم‪:‬‬
‫‪ :X‬تعداد توپ های آبی مشاهده شده در ‪ 2‬توپ انتخابی‬
‫‪ :Y‬تعداد توپ های قرمز مشاهده شده در ‪ 2‬توپ انتخابی‬
‫مطلوبست‪:‬‬
‫الف)تابع احتمال توام )‪ (X,Y‬را مشخص کنید‪.‬‬
‫ب)توزیع های حاشیه ای ‪ X‬و ‪Y‬را نیز مشخص نمایید‪.‬‬
‫ج) )‪P( X  Y  1‬‬
‫‪29‬‬
‫استقالل دو متغیر تصادفی گسسته‬
‫دو متغیر تصادفی ‪X‬و ‪ Y‬را مستقل از هم گویند هرگاه برای کلیه زوج های مرتب‬
‫)‪ (x,y‬رابطه ذیل برقرار باشد‪:‬‬
‫) ‪f ( x, y)  g ( x).h( y‬‬
‫‪30‬‬
‫‪( x, y) :‬‬
‫تابع احتمال شرطی در متغیرهای تصادفی گسسته‬
‫اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی گسسته با تابع احتمال توام )‪ f(x,y‬باشند‪ ،‬تابع‬
‫احتمال شرطی را می توان به صورت زیر تعریف نمود‪:‬‬
‫الف‪ :‬تابع احتمال شرطی ‪X‬به شرط ‪ Y=y‬به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫‪h( y )  0‬‬
‫) ‪f ( x, y‬‬
‫‪f ( x / y) ‬‬
‫) ‪h( y‬‬
‫‪x :‬‬
‫ب‪:‬تابع احتمال شرطی‪ Y‬به شرط ‪ X=x‬به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫‪g (x)  0‬‬
‫‪31‬‬
‫) ‪f ( x, y‬‬
‫‪f(y/ x) ‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪y :‬‬
‫مثال‬
‫جعبه ای شامل ‪ 4‬ترانزیستور است و می دانیم ‪ 2‬عدد از آنها معیوب‬
‫هستند‪.‬ترانزیستورها را یک به یک آزمایش نموده تا هر دو معیوب مشخص‬
‫شوند و سپس توقف می کنیم‪.‬‬
‫اگر ‪ X‬برابر تعداد آزمایش های الزم تا مشخص شده اولین معیوب و‬
‫‪ Y‬برابر تعداد ازمایش های الزم تا مشخص شدن دومین معیوب باشد‪ ،‬تابع‬
‫احتمال توام ‪X‬و‪ Y‬را را بدست آورید و مقدار احتمال‬
‫)‪P( X  2 / Y  1‬‬
‫را محاسبه کنید‪.‬‬
‫آیا ‪ X‬و‪ Y‬مستقل اند؟‬
‫‪32‬‬
33
‫تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی پیوسته‬
‫فرض کنید ‪X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی پیوسته باشند‪.‬تابع ‪ 2‬متغیره‬
‫را تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی ‪X‬و‪ Y‬می گوییم که این تابع برای کلیه زوج‬
‫احتمال( تعریف می کند و باید دارای شرایط زیر باشد‪:‬‬
‫های مرتب‬
‫) ‪x, y‬‬
‫)‪f ( x, y‬‬
‫‪f ( x, y)  0‬‬
‫)‪( x, y‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪f ( x, y)dxdy  1‬‬
‫مثال‪...‬‬
‫‪34‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫تابع احتمال حاشیه ای (کناری) در متغیرهای پیوسته‬
‫با داشتن تابع احتمال توام متغیرهای تصادفی ‪X‬و‪ Y‬می توان تابع احتمال ‪X‬‬
‫به تنهایی و تابع احتمال‪ Y‬به تنهایی را محاسبه کرد که به آنها توابع احتمال حاشیه‬
‫ای (کناری) می گویند‪.‬‬
‫اگر ‪X‬و‪ Y‬متغیرهای تصادفی پیوسته باشند تابع احتمال حاشیه ای آنها به صورت‬
‫زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫‪f ( x, y)dy‬‬
‫‪f ( x, y)dx‬‬
‫‪35‬‬
‫‪‬‬
‫‪g ( x)  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h( y)  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x :‬‬
‫‪y :‬‬
‫تابع احتمال شرطی در متغیرهای تصادفی پیوسته‬
‫اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی پیوسته با تابع احتمال توام )‪ f(x,y‬باشند‪ ،‬تابع‬
‫احتمال شرطی را می توان به صورت زیر تعریف نمود‪:‬‬
‫الف‪ :‬تابع احتمال شرطی ‪X‬به شرط ‪ Y=y‬به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫‪h( y )  0‬‬
‫) ‪f ( x, y‬‬
‫‪f ( x / y) ‬‬
‫) ‪h( y‬‬
‫‪x :‬‬
‫ب‪:‬تابع احتمال شرطی‪ Y‬به شرط ‪ X=x‬به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫‪g (x)  0‬‬
‫‪36‬‬
‫) ‪f ( x, y‬‬
‫‪f(y/ x) ‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪y :‬‬
37
‫تمرینات پایان فصل‬
‫دوستان توجه فرمایند‪ ،‬سعی شد از هر نوع از تمرینات پایان فصل در‬
‫ضمن درس حل شود‪ ،‬در خصوص موارد باقی مانده پیشنهاد می‬
‫شود مانند تمرینات فصول قبل هر گروه مسئولیت حل چند تمرین‬
‫را به عهده بگیرد و در پایان هر گروه تمرینات گروه دیگر را کپی‬
‫بگیرد‪.‬‬
‫‪38‬‬
39