متغیرهای تصادفی پیوسته
Download
Report
Transcript متغیرهای تصادفی پیوسته
به نام خدا
فصل چهارم
تابع احتمال
سایت
1
پست الکترونیک
qadiri.ir
[email protected]
مفهوم متغیر تصادفی
در اغلب آزمایش های تصادفی ما به جای نتایج حاصل از آزمایش به توابعی از نتایج
عالقه مند هستیم.
چنین توابعی که روی فضای نمونه تعریف میشوند به”متغیر تصادفی“موسوم اند.
برای روشن شدن مفهوم ابتدا به مثال ذیل توجه نمایید:
آزمایش پرتاب 3سکه را باهم درنظر بگیرید.فضای نمونه حاصل از این آزمایش به
صورت زیراست:
امتیاز{
شماTTT ,
TTH
شیرهای , HTT ,
THH, HTH,
دادهSمی
, THTبه
مشاهده شده
HHT,به تعداد
}HHHزمایش
فرض کنید در این آ
شود.بنابراین فقط شمارش شیرها مورد نظر است و اهمیت دارد .که این تعداد
می تواند یکی از مقادیر 0،1،2،3باشد.
2
متغیر تصادفی (ادامه)
به عبارت دیگر ما به جزئیات فضای نمونه عالقه مند نیستسم بلکه فقط به یک
توصیف عددی از نتیجه عالقه مندیم.
برای این منظور به هریک از نقاط فضای نمونه عددی حقیقی را نسبت می دهیم و
این عمل را بوسیله یک تابع حقیقی که آنرا ”متغیر تصادفی“می نامیم انجام می
دهیم.
3
متغیر تصادفی و پرتاب سه سکه
اگر متغیر تصادفی(تابع) Xبرابر تعداد شیرهای مشاهده شده در پرتاب 3سکه باشد
در اینصورت:
0
X
TTT
TTH
1
THT
HTT
THH
2
HTH
HHT
3
A
4
HHH
S
ادامه اسالید قبل
:Xتعداد شیر های مشاهده شده
)} )=P(X=2)=P(A={HHT,THH,HTHتعداد شیرهای مشاهده شده =P(2
3
8
4
8
=
=)}P( X 1 )=P( B={TTT, HTT, THT, TTH
متغیرهای تصادفی را می توان با حروف بزرگ Z ، Y ،Xو مقادیر آنها را با حروف
کوچک z، y،xنمایش داد.
5
تعریف متغیر تصادفی
اگر Sفضای نمونه یک آزمایش تصادفی باشد ،تابع Xاز فضای نمونه به
زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی را متغیر تصادفی می نامند:
A
X :S A
تابع Xبه هر نقطه از فضای نمونه یک عدد حقیقی را نسبت می دهد.
برد این تابع می تواند تمام اعداد حقیقی و یا فقط زیرمجموعه ای از آن باشد.
غالبا برد Xرا :فضای مقادیر X
یا تکیه گاه X
Support Xمی نامند و با Rنمایش می دهند.
یا
با استفاده از متغیر تصادفی می توانیم کلیه مباحث احتمال را که در فصول قبل بیان شد به نحو
ساده تری بیان نمود.
6
متغیر تصادفی گسسته و پیوسته
گسسته () Discrete
: Aقابل شمارش
متغیر تصادفی
پیوسته () Continuos
7
: Aغیرقابل شمارش
8
تابع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته
)f ( xیا
اگر Xیک متغیر تصادفی گسسته باشد،تابع
احتمال متغیر تصادفی Xمی گویند هرگاه دارای شرایط زیر باشد:
تابع
) xراP(X
x : 0 f(x) 1
f ( x) 1
این تابع برای کلیه مقادیر ، Xاحتمال تعریف می کند.
به بیان دیگر تابعی است که عضوهای Xرا به فاصله
شرایط مذکور (باال) می باشد.
مثال.....
9
x
][0,1می برد و دارای
1.
2.
تفاوت های تابع احتمال گسسته و تابع در ریاض ی
-1در تابع احتمال گسسته همیشه برد تابع بین
همیشه مجموع بردها
است و
0,1
برابر یک خواهد بود .در حالیکه در توابع ریاض ی لزومی ندارد که این خاصیت
وجود داشته باشد.
-2در تابع احتمال گسسته هر نقطه ای که در دامنه تعریف نشده باشد ،مقدار
احتمال آن صفر است .در حالیکه در توابع ریاض ی چنین نیست.
10
تابع توزیع تجمعی
اگر Xیک متغیر تصادفی گسسته با تابع احتمال ) f(xباشد ،تابع توزیع تجمعی آنرا
دادهXوFبه صورت زیر تعریف می کنیم:
با
یا )FX ( x
نمایش ) (t
) FX ( x) P(X x) f X (t
tx
تابع توزیع تجمعی تابعی است که احتمال ها را در نقاط مختلف روی هم می ریزد(با
هم جمع می کند) تا به یک برسد.
مثال....
11
خواص تابع توزیع تجمعی
الف 0 FX ( x) 1 :
FX ( ) lim FX ( x) 1
x
ب:
FX ( ) lim FX ( x ) 0
x
ج :همواره از راست پیوسته است:
) lim FX ( x) FX ( a
د :تابعی صعودی و پله ای است:
) x1 x2 FX ( x1 ) FX ( x2
12
xa
مشخص نمودن تابع احتمال با داشتن
تابع توزیع تجمعی،
در متغیر های تصادفی گسسته
احتمال یک نقطه در تابع توزیع تجمعی برابر است با :
)a
مثال......
13
P( X a) P( X a) P(X
14
متغیرهای تصادفی پیوسته
15
تابع احتمال برای متغیر های تصادفی پیوسته
(تابع چگالی احتمال)
یادآوری :متغیر تصادفی پیوسته
متغیر تصادفی ای که مجموعه مقادیر آن یک فاصله عددی یا اجتماع چند
فاصله عددی باشد را متغیر تصادفی پیوسته می نامند.
توجه :احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته بخواهد فقط یک مقدار به
خصوص از مجموعه مقادیرش را بگیرد ،صفر است.
مثال:
16
توضیح بیشتر
مثال :فرض کنید نقطه ای را به تصادف از فاصله حقیقی
انتخاب می کنیم .متغیر
0, 2
تصادفی Xرا نقطه انتخاب شده در فاصله 0, 2تعریف می کنیم،در اینصورت Xیک
متغیر تصادفی پیوسته است.
برای هر rکه
r 0, 2باشد:
P( X r ) 0
زیرا بین نقاط 0و 2بی نهایت نقطه وجود دارد و احتمال انتخاب یک نقطه به
خصوص بسیار ناچیز است.
بنابراین توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را نمی توان به صورت یک جدول
نمایش داد .
17
تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته
اگر Xیک متغیر تصادفی پیوسته باشد ،تابع احتمال Xرا که با )f(x
نشان می دهیم دارای 2شرط ذیل می باشد:
x : f (x) 0
f ( x)dx 1
fتابعی است که برای کلیه فاصله ها در دامنه ، X
احتمال تعریف می کند.
18
1.
2.
همانطور که در خصوص احتمال یک نقطه گفته شد داریم:
b
P(a X b) f ( x)dx
a
a
P( X a) f ( x)dx 0
a
مثال....
19
تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته
ا
برای بدست آوردن تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی معموال ابتدا تابع توزیع
آنرا مشخص می کنند .تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر
تعریف می شود:
f (t )dt
x
FX ( x) P( X x)
این تابع پیوسته است و طبق قضیه اساس ی حساب دیفرانسیل و انتگرال داریم:
d
)FX ( x) f ( x
dx
مثال...
20
FX ( x)
چند نکته در خصوص تابع توزیع تجمعی با متغیر پیوسته
الف :
0 FX ( x) 1
ب:
FX ( ) lim FX ( x) 1
x
FX ( ) lim FX ( x ) 0
x
برای محاسبه احتماالت مربوط به یک متغیر تصادفی پیوسته می توان از رابطه زیر
استفاده نمود:
b
)X b) f ( x)dx FX (b) FX (a
a
که در آن aمی تواند
21
و bمی تواند
باشد.
P( a
24
توزیع های چند متغیره
در یک آزمایش تصادفی ممکن است روی فضای نمونه بیش از یک متغیر تعریف
کنیم.
برای مثال در آزمایش پرتاب یک جفت تاس می توان Xرا مجموع خال های ظاهر
شده و Yرا حاصلضرب اعداد ظاهر شده و Zرا تفاوت(اختالف) اعداد ظاهر
شده تعریف کرد.
ابتدا به حالت های 2متغیره می پردازیم.یعنی به وضعیت هایی با یک جفت متغیر
تصادفی که همزمان روی یک فضای نمونه ای توام تعریف شده اند.
ا
که بعدا این بحث را می توان به حالت های بیش از 2متغیر تعمیم داد.
25
تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی گسسته
فرض کنید Xو Yدو متغیر تصادفی گسسته باشند.تابع 2متغیره
را تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی Xو Yمی گوییم و به صورت زیر تعریف می
شود:
)f ( x, y
)f ( x, y) P(X x, Y y
این تابع برای کلیه زوج های مرتب
شرایط زیر باشد:
) ( x, yاحتمال تعریف می کند و باید دارای
f ( x, y) 0
مثال...
26
)( x, y
f ( x, y) 1
y
x
مثال
فرض کنید یک سکه سالم را
3بار پرتاب می کنیم
متغیرهای تصادفی XوYرا به صورت زیر
تعریف می کنیم:
:Xتعداد شیرهای مشاهده شده
:Yتعداد شیرهای پرتاب سوم
تابع احتمال توام ) (X,Yرا تعریف کنید.
27
تابع احتمال حاشیه ای (کناری)
با داشتن تابع احتمال توام متغیرهای تصادفی Xو Yمی توان تابع احتمال X
به تنهایی و تابع احتمال Yبه تنهایی را محاسبه کرد که به آنها توابع احتمال حاشیه
ای (کناری) می گویند.
اگر Xو Yمتغیرهای تصادفی گسسته باشند تابع احتمال حاشیه ای آنها به صورت
زیر تعریف می شود:
) g ( x) f ( x, y
x :
y
) h( y ) f ( x, y
x
28
y :
مثال
فرض کنید از جعبه ای که شامل 3توپ آبی 2 ،توپ قرمز و 4توپ سبز است به
تصادف 2توپ یک به یک خارج می کنیم.اگر متغیر های تصادفیXوYرا به
صورت زیر تعریف کنیم:
:Xتعداد توپ های آبی مشاهده شده در 2توپ انتخابی
:Yتعداد توپ های قرمز مشاهده شده در 2توپ انتخابی
مطلوبست:
الف)تابع احتمال توام ) (X,Yرا مشخص کنید.
ب)توزیع های حاشیه ای Xو Yرا نیز مشخص نمایید.
ج) )P( X Y 1
29
استقالل دو متغیر تصادفی گسسته
دو متغیر تصادفی Xو Yرا مستقل از هم گویند هرگاه برای کلیه زوج های مرتب
) (x,yرابطه ذیل برقرار باشد:
) f ( x, y) g ( x).h( y
30
( x, y) :
تابع احتمال شرطی در متغیرهای تصادفی گسسته
اگر Xو Yدو متغیر تصادفی گسسته با تابع احتمال توام ) f(x,yباشند ،تابع
احتمال شرطی را می توان به صورت زیر تعریف نمود:
الف :تابع احتمال شرطی Xبه شرط Y=yبه صورت زیر تعریف می شود:
h( y ) 0
) f ( x, y
f ( x / y)
) h( y
x :
ب:تابع احتمال شرطی Yبه شرط X=xبه صورت زیر تعریف می شود:
g (x) 0
31
) f ( x, y
f(y/ x)
)g ( x
y :
مثال
جعبه ای شامل 4ترانزیستور است و می دانیم 2عدد از آنها معیوب
هستند.ترانزیستورها را یک به یک آزمایش نموده تا هر دو معیوب مشخص
شوند و سپس توقف می کنیم.
اگر Xبرابر تعداد آزمایش های الزم تا مشخص شده اولین معیوب و
Yبرابر تعداد ازمایش های الزم تا مشخص شدن دومین معیوب باشد ،تابع
احتمال توام Xو Yرا را بدست آورید و مقدار احتمال
)P( X 2 / Y 1
را محاسبه کنید.
آیا Xو Yمستقل اند؟
32
33
تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی پیوسته
فرض کنید Xو Yدو متغیر تصادفی پیوسته باشند.تابع 2متغیره
را تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی Xو Yمی گوییم که این تابع برای کلیه زوج
احتمال( تعریف می کند و باید دارای شرایط زیر باشد:
های مرتب
) x, y
)f ( x, y
f ( x, y) 0
)( x, y
f ( x, y)dxdy 1
مثال...
34
تابع احتمال حاشیه ای (کناری) در متغیرهای پیوسته
با داشتن تابع احتمال توام متغیرهای تصادفی Xو Yمی توان تابع احتمال X
به تنهایی و تابع احتمال Yبه تنهایی را محاسبه کرد که به آنها توابع احتمال حاشیه
ای (کناری) می گویند.
اگر Xو Yمتغیرهای تصادفی پیوسته باشند تابع احتمال حاشیه ای آنها به صورت
زیر تعریف می شود:
f ( x, y)dy
f ( x, y)dx
35
g ( x)
h( y)
x :
y :
تابع احتمال شرطی در متغیرهای تصادفی پیوسته
اگر Xو Yدو متغیر تصادفی پیوسته با تابع احتمال توام ) f(x,yباشند ،تابع
احتمال شرطی را می توان به صورت زیر تعریف نمود:
الف :تابع احتمال شرطی Xبه شرط Y=yبه صورت زیر تعریف می شود:
h( y ) 0
) f ( x, y
f ( x / y)
) h( y
x :
ب:تابع احتمال شرطی Yبه شرط X=xبه صورت زیر تعریف می شود:
g (x) 0
36
) f ( x, y
f(y/ x)
)g ( x
y :
37
تمرینات پایان فصل
دوستان توجه فرمایند ،سعی شد از هر نوع از تمرینات پایان فصل در
ضمن درس حل شود ،در خصوص موارد باقی مانده پیشنهاد می
شود مانند تمرینات فصول قبل هر گروه مسئولیت حل چند تمرین
را به عهده بگیرد و در پایان هر گروه تمرینات گروه دیگر را کپی
بگیرد.
38
39