Transcript 1 - qadiri.ir

‫به نام خدا‬
‫فصل چهارم‬
‫تابع احتمال‬
‫‪1‬‬
‫مفهوم متغیر تصادفی‬
‫در اغلب آزمایش های تصادفی ما به جای نتایج حاصل از آزمایش به توابعی از نتایج‬
‫عالقه مند هستیم‪.‬‬
‫چنین توابعی که روی فضای نمونه تعریف میشوند به”متغیر تصادفی“موسوم اند‪.‬‬
‫برای روشن شدن مفهوم ابتدا به مثال ذیل توجه نمایید‪:‬‬
‫آزمایش پرتاب ‪ 3‬سکه را باهم درنظر بگیرید‪.‬فضای نمونه حاصل از این آزمایش به‬
‫صورت زیراست‪:‬‬
‫امتیاز{ ‪‬‬
‫شما‪T T T ,‬‬
‫‪, T‬به‪T T H‬‬
‫مشاهده ‪H T‬‬
‫شیرهای ‪, H T T ,‬‬
‫‪THH, H‬‬
‫به‪T H ,‬‬
‫‪HH‬‬
‫‪ H‬آ‪T , H‬‬
‫فرض کنید }‬
‫داده‪S‬می‬
‫شده‬
‫تعداد‬
‫مایش‬
‫در‪H‬این ز‬
‫شود‪.‬بنابراین فقط شمارش شیرها مورد نظر است و اهمیت دارد‪ .‬که این تعداد‬
‫می تواند یکی از مقادیر ‪ 0،1،2،3‬باشد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫متغیر تصادفی (ادامه)‬
‫به عبارت دیگر ما به جزئیات فضای نمونه عالقه مند نیستسم بلکه فقط به یک‬
‫توصیف عددی از نتیجه عالقه مندیم‪.‬‬
‫برای این منظور به هریک از نقاط فضای نمونه عددی حقیقی را نسبت می دهیم و‬
‫این عمل را بوسیله یک تابع حقیقی که آنرا ”متغیر تصادفی“می نامیم انجام می‬
‫دهیم‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫متغیر تصادفی و پرتاب سه سکه‬
‫اگر متغیر تصادفی(تابع) ‪ X‬برابر تعداد شیرهای مشاهده شده در پرتاب ‪ 3‬سکه باشد‬
‫در اینصورت‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪TTT‬‬
‫‪TTH‬‬
‫‪1‬‬
‫‪THT‬‬
‫‪HTT‬‬
‫‪THH‬‬
‫‪2‬‬
‫‪HTH‬‬
‫‪HHT‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪HHH‬‬
‫‪S‬‬
‫ادامه اسالید قبل‬
‫‪ :X‬تعداد شیر های مشاهده شده‬
‫)}‪ )=P(X=2)=P(A={HHT,THH,HTH‬تعداد شیرهای مشاهده شده =‪P(2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫=)}‪P( X  1 )=P( B={TTT, HTT, THT, TTH‬‬
‫متغیرهای تصادفی را می توان با حروف بزرگ ‪ Z ، Y ،X‬و مقادیر آنها را با حروف‬
‫کوچک ‪ z، y،x‬نمایش داد‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫تعریف متغیر تصادفی‬
‫اگر ‪ S‬فضای نمونه یک آزمایش تصادفی باشد‪ ،‬تابع ‪ X‬از فضای نمونه به‬
‫زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی را متغیر تصادفی می نامند‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪X :S  A‬‬
‫تابع ‪ X‬به هر نقطه از فضای نمونه یک عدد حقیقی را نسبت می دهد‪.‬‬
‫برد این تابع می تواند تمام اعداد حقیقی و یا فقط زیرمجموعه ای از آن باشد‪.‬‬
‫غالبا برد ‪ X‬را ‪ :‬فضای مقادیر ‪X‬‬
‫یا تکیه گاه ‪X‬‬
‫‪ Support X‬می نامند و با ‪ R‬نمایش می دهند‪.‬‬
‫یا‬
‫با استفاده از متغیر تصادفی می توانیم کلیه مباحث احتمال را که در فصول قبل بیان شد به نحو‬
‫ساده تری بیان نمود‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫متغیر تصادفی گسسته و پیوسته‬
‫گسسته (‪) Discrete‬‬
‫‪ : A‬قابل شمارش‬
‫متغیر تصادفی‬
‫پیوسته (‪) Continuos‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ : A‬غیرقابل شمارش‬
8
‫تابع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته‬
‫) ‪f ( x‬یا‬
‫اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی گسسته باشد‪،‬تابع‬
‫احتمال متغیر تصادفی ‪ X‬می گویند هرگاه دارای شرایط زیر باشد‪:‬‬
‫تابع‬
‫)‪  x‬را‪P (X‬‬
‫‪ x : 0  f(x )  1‬‬
‫‪f ( x)  1‬‬
‫این تابع برای کلیه مقادیر ‪ ، X‬احتمال تعریف می کند‪.‬‬
‫به بیان دیگر تابعی است که عضوهای ‪ X‬را به فاصله‬
‫شرایط مذکور (باال) می باشد‪.‬‬
‫مثال‪.....‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫]‪[ 0 ,1‬می برد و دارای‬
‫‪1.‬‬
‫‪2.‬‬
‫تفاوت های تابع احتمال گسسته و تابع در ریاض ی‬
‫‪ -1‬در تابع احتمال گسسته همیشه برد تابع بین‬
‫همیشه مجموع بردها‬
‫است‪, 1‬و‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫برابر یک خواهد بود ‪ .‬در حالیکه در توابع ریاض ی لزومی ندارد که این خاصیت‬
‫وجود داشته باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬در تابع احتمال گسسته هر نقطه ای که در دامنه تعریف نشده باشد‪ ،‬مقدار‬
‫احتمال آن صفر است‪ .‬در حالیکه در توابع ریاض ی چنین نیست‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫تابع توزیع تجمعی‬
‫اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی گسسته با تابع احتمال )‪ f(x‬باشد‪ ،‬تابع توزیع تجمعی آنرا‬
‫داده ‪X‬و‪F‬به صورت زیر تعریف می کنیم‪:‬‬
‫یا‬
‫با‬
‫) ‪FX ( x‬‬
‫نمایش ) ‪( t‬‬
‫) ‪f X (t‬‬
‫‪‬‬
‫‪t x‬‬
‫‪F X ( x )  P(X  x) ‬‬
‫تابع توزیع تجمعی تابعی است که احتمال ها را در نقاط مختلف روی هم می ریزد(با‬
‫هم جمع می کند) تا به یک برسد‪.‬‬
‫مثال‪....‬‬
‫‪11‬‬
‫خواص تابع توزیع تجمعی‬
‫الف ‪:‬‬
‫‪0  FX ( x )  1‬‬
‫‪F X (   )  lim F X ( x )  1‬‬
‫‪x ‬‬
‫ب‪:‬‬
‫‪F X (   )  lim F X ( x )  0‬‬
‫‪x  ‬‬
‫ج‪ :‬همواره از راست پیوسته است‪:‬‬
‫) ‪lim F X ( x )  F X ( a‬‬
‫د‪ :‬تابعی صعودی و پله ای است‪:‬‬
‫) ‪ x1  x 2  F X ( x1 )  F X ( x 2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪x a‬‬
‫مشخص نمودن تابع احتمال با داشتن‬
‫تابع توزیع تجمعی‪،‬‬
‫در متغیر های تصادفی گسسته‬
‫احتمال یک نقطه در تابع توزیع تجمعی برابر است با ‪:‬‬
‫)‪a‬‬
‫مثال‪......‬‬
‫‪13‬‬
‫‪P ( X  a )  P ( X  a )  P (X‬‬
14
‫متغیرهای تصادفی پیوسته‬
‫‪15‬‬
‫تابع احتمال برای متغیر های تصادفی پیوسته‬
‫(تابع چگالی احتمال)‬
‫یادآوری‪ :‬متغیر تصادفی پیوسته‬
‫متغیر تصادفی ای که مجموعه مقادیر آن یک فاصله عددی یا اجتماع چند فاصله‬
‫عددی باشد را متغیر تصادفی پیوسته می نامند‪.‬‬
‫توجه ‪ :‬احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته بخواهد فقط یک مقدار به‬
‫خصوص از مجموعه مقادیرش را بگیرد‪ ،‬صفر است‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫توضیح بیشتر‬
‫مثال‪ :‬فرض کنید نقطه ای را به تصادف از فاصله حقیقی‬
‫کنیم‪ .‬متغیر تصادفی ‪ X‬را نقطه انتخاب شده در فاصله‬
‫‪ 0 , 2 ‬انتخاب می‬
‫‪ 0, 2 ‬‬
‫تعریف می کنیم‪،‬در‬
‫اینصورت ‪ X‬یک متغیر تصادفی پیوسته است‪.‬‬
‫برای هر ‪ r‬که‬
‫‪r   0 , 2 ‬باشد‪:‬‬
‫‪P(X  r)  0‬‬
‫زیرا بین نقاط ‪ 0‬و ‪ 2‬بی نهایت نقطه وجود دارد و احتمال انتخاب یک نقطه به‬
‫خصوص بسیار ناچیز است‪.‬‬
‫بنابراین توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را نمی توان به صورت یک جدول‬
‫نمایش داد ‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته‬
‫اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی پیوسته باشد‪ ،‬تابع احتمال ‪ X‬را که با )‪f(x‬‬
‫نشان می دهیم دارای ‪ 2‬شرط ذیل می باشد‪:‬‬
‫‪ x : f (x)  0‬‬
‫‪f ( x)dx  1‬‬
‫‪ f‬تابعی است که برای کلیه فاصله ها در دامنه ‪، X‬‬
‫احتمال تعریف می کند‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪2.‬‬
‫همانطور که در خصوص احتمال یک نقطه گفته شود داریم‪:‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪X‬‬
‫‪f ( x ) dx  P ( a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪f ( x)dx  0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫مثال‪....‬‬
‫‪19‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P (a  X  b) ‬‬
‫‪P( X  a) ‬‬
20
21
22
23
‫شسشس‬
‫یسسیس‬
‫‪24‬‬
‫شسشس‬
‫یسسیس‬
‫‪25‬‬
‫شسشس‬
‫یسسیس‬
‫‪26‬‬
‫شسشس‬
‫یسسیس‬
‫‪27‬‬
‫شسشس‬
‫یسسیس‬
‫‪28‬‬
‫شسشس‬
‫یسسیس‬
‫‪29‬‬
‫شسشس‬
‫یسسیس‬
‫‪30‬‬
‫شسشس‬
‫‪31‬‬