Transcript دانشگاه صنعت آب و برق 24 مثال تابع مولد گشتاور

‫امید ریاضی و گشتاورها‬
‫موسوی ندوشنی‬
‫بهار ‪1384‬‬
‫‪1‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫امید ریاضی‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی با تابع احتمال )‪ fX(x‬باشد‪،‬‬
‫امید ریاضی متغیر ‪ X‬را با عالمت )‪ E(X‬نشان داده و به‬
‫‪ìï å xf‬‬
‫صورت زیر تعریف می) ‪(x‬‬
‫کنیم‪.‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ï ¥x‬‬
‫‪E (X ) = í‬‬
‫‪‬‬
‫‪ï‬‬
‫‪ïï ò xf (x ) dx‬‬
‫‪ïïî - ¥‬‬
‫‪ ‬تذکر‪ :‬امید ریاضی هر متغیر تصادفی عددی ثابت و‬
‫منحصربفرد است (مشروط بر آنکه سری یا انتگرال‬
‫همگرا باشد‪).‬‬
‫‪2‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال‬
‫‪ ‬تاسی را یک مرتبه پرتاب میکنیم‪ .‬در صورتی که متغیر تصادفی‬
‫‪ X‬نشاندهنده عدد روی تاس باشد‪ ،‬امید ریاضی ‪ X‬را تعیین کنید‪.‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6‬‬
‫‪fX(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪= 3.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫´‪+ L + 6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫´‪+ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫´‪x i f (x i ) = 1‬‬
‫‪å‬‬
‫= ) ‪E (X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ ‬تعبیر عدد ‪ :3.5‬انتظار میرود در پرتاب یک مرتبه یک تاس عدد‬
‫‪ 3.5‬ظاهر شود؟!‬
‫‪ ‬تعبیر نظری‪ :‬اگر تاس را به دفعات زیاد پرتاب کنیم و معدل‬
‫مشاهدات را یادداشت کنیم‪ ،‬معدل مشاهدات باید به عدد ‪3.5‬‬
‫نزدیک شود‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال‬
‫‪ ‬از ظرفی که ‪ 4‬مهره قرمز و ‪ 2‬مهره آبی دارد‪ ،‬سه مهره را به‬
‫تصادف و به طور همزمان اختیار میکنیم‪ .‬در صورتی که متغیر‬
‫‪ X‬نشاندهنده تعداد مهره قرمز در این آزمایش باشد‪ E(X) ،‬را‬
‫تعیین کنید‪.‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪fX(x) 1/5 3/5 1/5‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫´‪+ 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫´‪+ 2‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫´ ‪E (X ) = 1‬‬
‫مثال‬
‫‪ ‬متغیر ‪ X‬نشاندهنده طول عمر یک نوع المپ میباشد (برحسب‬
‫ساعت) دارای تابع احتمالی به صورت زیر است‪ .‬اوال ثابت ‪ k‬را‬
‫پیدا کنید‪ .‬ثانیا )‪ E(X‬را تعیین و تعبیر کنید‪.‬‬
‫‪ìï k3‬‬
‫‪f X (x ) = ïí x‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫‪x > 100‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪dx = 1 Þ k = 20000‬‬
‫‪dx = 200 hr‬‬
‫‪20000‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪100 x‬‬
‫= ) ‪E (X‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ ‬طول عمر اکثر المپها باید نزدیک به ‪ 200‬ساعت باشد‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫امید ریاضی تابعی از متغیر تصادفی ‪X‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی با تابع احتمال )‪ fX(x‬باشد‪ ،‬امید‬
‫ریاضی هر تابعی از ‪ X‬مانند )‪ Y=g(X‬برابر است با‪:‬‬
‫) ‪ìï å g (x ) f X (x‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪E (g (X )) = í x ¥‬‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ïïî ò- ¥ g (x ) f X (x ) dx‬‬
‫‪6‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال‬
‫‪ ‬در صورتی که ‪ X‬متغیر تصادفی با تابع احتمال زیر باشد‪،‬‬
‫مطلوبست محاسبه )‪ E(X2) ،E(2X+1) ،E(X‬و ‪E(X-1)2‬‬
‫‪x> 0‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪ìï e - x‬‬
‫‪f X (x ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪xe - x dx = 1‬‬
‫‪ò‬‬
‫= ) ‪E (X‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(2x + 1)e - x dx = 3‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ò‬‬
‫= )‪E (2X + 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 2e - x dx = 2‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪E (X‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(x - 1)2e - x dx = 1‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪2‬‬
‫= )‪E (X - 1‬‬
‫خواص امید ریاضی‬
‫‪ ‬اگر ‪ a‬و ‪ b‬دو عدد ثابت باشندٍ‪ ،‬داریم‪:‬‬
‫‪ E(aX+b)=aE(X)+b‬‬
‫‪• a=0  E(b)=b‬‬
‫)‪• b=0  E(aX)=aE(X‬‬
‫‪ ‬اگر )‪ g(X‬و )‪ k(X‬توابعی از متغیر تصادفی ‪ X‬باشند‪.‬‬
‫داریم‪:‬‬
‫))‪ E(g(X)±k(X))=E(g(X)) ±E(k(X‬‬
‫‪8‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫امید ریاضی خاص و گشتاورها‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫امیدهای ریاضی خاص (امید ریاضی توابعی که در‬
‫کاربرد مورد نظر هستند) عبارتند از‪:‬‬
‫میانگین‬
‫واریانس‬
‫انحراف معیار‬
‫‪9‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫میانگین و واریانس‬
‫‪ ‬میانگین‬
‫• اگر در فرمول امید ریاضی ‪ g(X)=X‬باشد‪ ،‬آنگاه امید ریاضی تابع را با‬
‫عالمت زیر نشان میدهیم‪.‬‬
‫این میانگین در واقع مقدار متوسط جامعه است‪m = mX = E (X ) .‬‬
‫•‬
‫‪ ‬واریانس‬
‫• اگر در فرمول امید ریاضی‪ g(X) ،‬به صورت زیر اختیار شود‪ ،‬آنگاه امید‬
‫ریاضی را واریانس‬
‫•‬
‫•‬
‫نامند‪2.‬‬
‫) ‪= E (g (X )) = E (X - mX‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s = s‬‬
‫واریانس نشاندهنده میزان پراکندگی مشاهدات نسبت به میانگین میباشد‪.‬‬
‫فرمول واریانس را به صورت زیر نیز میتوان نوشت‪:‬‬
‫‪E (X - mX )2 = E (X 2 ) - mX2‬‬
‫‪ ‬انحراف معیار‬
‫• جذر مثبت واریانس را انحراف معیار گوییم‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪s X2‬‬
‫= ‪sX‬‬
‫خواص واریانس‬
‫‪ ‬اگر ‪ a‬و ‪ b‬دو مقدار ثابت و ‪ X‬متغیری با تابع احتمال‬
‫)‪ fX(x‬باشند‪ ،‬آنگاه‬
‫‪ ‬الف‪-‬‬
‫‪= E (X + b - m - b )2 = E (X - m )2 = s 2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪s X2 + b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s aX‬‬
‫‪= E (aX - a mX )2 = a 2E (X - mX )2 = a 2s X2‬‬
‫‪ ‬ب‪-‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬از هم مستقل باشند‪ ،‬آنگاه‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪s aX‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪b‬‬
‫‪sY‬‬
‫‪+ bY‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬وابسته باشند‪ ،‬آنگاه‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪s aX‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪b‬‬
‫‪s Y + 2abs X Y‬‬
‫‪+ bY‬‬
‫‪X‬‬
‫‪11‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال‬
‫‪ ‬اگر متغیر تصادفی ‪ X‬دارای تابع چگالی احتمالی به‬
‫صورت زیر باشد‪ .‬امید ریاضی و واریانس آن را بدست‬
‫آورید‪.‬‬
‫) ‪ìï 2(1 - x‬‬
‫‪0< x < 1‬‬
‫‪f X (x ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪î‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪ ‬امید ریاضی‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪mX = E (X ) = 2 ò x (1 - x )dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪E (X ) = 2 ò x (1 - x )dx‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬واریانس‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 æ‬‬
‫‪1ö‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ç‬‬
‫÷ ‪= E (X ) - mX = - çç‬‬
‫=‬
‫÷‬
‫÷ ‪6 è3‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ø‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪s X2‬‬
‫گشتاورها‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی با تابع احتمال )‪ fX(x‬باشد‪،‬‬
‫آنگاه )‪( E(Xr‬که در آن ‪ r‬یک عدد طبیعی است) را‬
‫گشتاور مرتبه ‪ r‬ام پیرامون مبدا گوییم و عبارتست از‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪¢‬‬
‫) ‪mr = E (X‬‬
‫‪r = 1 Þ m1¢ = E (X ) = mX‬‬
‫‪2‬‬
‫‪¢‬‬
‫) ‪r = 2 Þ m2 = E (X‬‬
‫‪s 2 = E (X 2 ) - m2 = m2¢- m1¢2‬‬
‫‪13‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫دنباله گشتاورها‬
‫‪ ‬نوع دوم گشتاورها یعنی گشتاور حول میانگین به شرح‬
‫زیر است‪.‬‬
‫‪m = E (X - m )r‬‬
‫‪X‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r = 1 Þ m1 = E (X - mX ) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪14‬‬
‫‪r = 2 Þ m2 = E (X - mX ) = s‬‬
‫‪2‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫تابع مولد گشتاور (‪)1‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی با تابع احتمال )‪ fX(x‬باشد‪ ،‬تابع مولد‬
‫گشتاور ‪ X‬که با عالمت )‪ MX(t‬نشان داده میشود را به صورت‬
‫‪:‬‬
‫کنیم‬
‫می‬
‫تعریف‬
‫زیر‬
‫‪tx‬‬
‫‪ìï‬‬
‫) ‪e f (x‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ïï å‬‬
‫‪ïï x‬‬
‫‪tX‬‬
‫‪M X (t ) = E (e ) = í ¥‬‬
‫‪ïï e t x f (x ) dx‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ïï ò‬‬
‫‪ïî - ¥‬‬
‫‪ ‬تابع مولد گشتاور نوعی امید ریاضی خاص است اگر در فرمول‬
‫تابع ‪ g(X)=etX‬اختیار شود‪.‬‬
‫‪ ‬در مواردی محاسبه میانگین و واریانس از تعریف امکانپذیر‬
‫نمیباشد‪ ،‬اما با کمک تابع مولد گشتاور میتوان میانگین و‬
‫واریانس را محاسبه نمود‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫تابع مولد گشتاور (‪)2‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی با تابع مولد گشتاور )‪M(t‬‬
‫) ‪d r M X (t‬‬
‫باشد‪ ،‬آنگاه‬
‫‪¢‬‬
‫‪= mr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪t=0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ‬که در آن ‪ r'‬گشتاور مرتبه ‪ r‬ام پیرامون مبداء است‪.‬‬
‫‪ ‬اثبات‪ :‬از بسط مکلورن تابع ‪ etx‬استفاده میکنیم‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪ö‬‬
‫‪t‬‬
‫‪X‬‬
‫‪t‬‬
‫‪X‬‬
‫‪tx‬‬
‫‪M X (t ) = E (e ) = E ççç1 + t X +‬‬
‫‪+L +‬‬
‫÷‪+ L‬‬
‫÷‬
‫÷‬
‫‪çè‬‬
‫÷‬
‫!‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪ø‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪= 1 + t E (X ) +‬‬
‫‪E (X 2 ) + L +‬‬
‫‪E (X n ) + L‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪¢‬‬
‫‪¢‬‬
‫‪= 1 + t m1 +‬‬
‫‪m2 + L +‬‬
‫‪mn¢ + L‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪16‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫تابع مولد گشتاور (‪)3‬‬
‫‪ ‬گشتاور مرتبه اول‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪t‬‬
‫= ) ‪M X¢(t‬‬
‫‪[M X (t )] = E (X ) + t E (X 2 ) +‬‬
‫‪E (X 3 ) + L‬‬
‫‪dt‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪ ‬گشتاور مرتبه دوم‬
‫‪2‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫= ) ‪M X¢¢(t‬‬
‫[‬
‫‪M‬‬
‫(‬
‫‪t‬‬
‫])‬
‫=‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫‪X‬‬
‫)‬
‫‪+‬‬
‫‪t‬‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫‪X‬‬
‫)‬
‫‪+‬‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫‪X‬‬
‫‪)+ L‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ‬گشتاور مرتبه سوم‬
‫‪d3‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫= ) ‪M X¢¢¢(t‬‬
‫[‬
‫‪M‬‬
‫(‬
‫‪t‬‬
‫])‬
‫=‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫‪X‬‬
‫)‬
‫‪+‬‬
‫‪t‬‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫‪X‬‬
‫)‬
‫‪+‬‬
‫‪E‬‬
‫(‬
‫‪X‬‬
‫‪)+ L‬‬
‫‪X‬‬
‫‪3‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪17‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال تابع مولد گشتاور (‪)1‬‬
‫‪ ‬متغیر تصادفی ‪ X‬دارای تابع احتمالی به صورت زیر‬
‫میباشد‪ ،‬مطلوبست‪:‬‬
‫• الف‪ -‬محاسبه میانگین‪ ،‬واریانس و انحراف معیار‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫•‬
‫با استفاده از تعریف‬
‫با استفاده از تابع مولد گشتاور‬
‫ب‪ -‬اگر ‪ Y=(X+1)3‬باشد‪ ،‬میانگین ‪ Y‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪x³ 0‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪18‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪ìï e - x‬‬
‫‪f X (x ) = ïí‬‬
‫‪ïï 0‬‬
‫‪ïî‬‬
‫مثال تابع مولد گشتاور (‪)2‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪ ‬الف‪ 1-‬با استفاده از تعریف‬
‫‪- x‬‬
‫‪xe‬‬
‫‪dx = 1‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪0‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪s X2 = E (X 2 ) - mX2 = 2 - 1 = 1 Þ s X = 1‬‬
‫‪2 - x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ò e dx = 2‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪( t - 1)x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ò‬‬
‫‪tx - x‬‬
‫‪e‬‬
‫= ‪ò e dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t < 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= -‬‬
‫‪¥‬‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪M X (t ) = E (e t x‬‬
‫‪e (t - 1)x‬‬
‫‪Þ M X¢(0) = mX = 1‬‬
‫‪Þ M X¢¢(0) = E (X 2 ) = 2 Þ s X2 = 2 - 1 = 1‬‬
‫‪19‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫= ) ‪E (X 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬الف‪ 2-‬با استفاده از تابع مولد گشتاور‬
‫‪1‬‬
‫‪t- 1‬‬
‫= ) ‪E (X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t- 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(1- t )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1- t )3‬‬
‫=‬
‫= ) ‪M X¢(t‬‬
‫= ) ‪M X¢¢(t‬‬
‫مثال تابع مولد گشتاور (‪)3‬‬
‫‪ ‬ب‪-‬‬
‫)‪mY = E (Y ) = E (X 3 + 3X 2 + 3X + 1‬‬
‫‪= E (X 3 ) + 3E (X 2 ) + 3E (X ) + 1‬‬
‫•‬
‫باید گشتاور مرتبه سوم را محاسبه نمود‪.‬‬
‫‪Þ M X¢¢¢(0) = 6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪(1- t )4‬‬
‫= ) ‪M X¢¢¢(t‬‬
‫‪mY = 6 + 3 ´ 2 + 3 ´ 1 + 1 = 16‬‬
‫‪20‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال تابع مولد گشتاور (‪)4‬‬
‫‪ ‬متغیر تصادفی ‪ X‬دارای تابع مولد گشتاور زیر است‪.‬‬
‫مطلوبست‪:‬‬
‫‪ ‬الف‪ -‬محاسبه ‪ X ،X‬و ‪2X‬‬
‫‪ ‬ب‪ -‬میانگین متغیر تصادفی ‪Y=(X+1)2‬‬
‫) ‪M X (t ) = exp(3t + 12 t 2‬‬
‫‪ ‬حل‪:‬‬
‫) ‪M X¢(t ) = (3 + t ) exp(3t + 12 t 2‬‬
‫) ‪M X¢¢(t ) = exp(3t + 12 t 2 ) + (3 + t )2 exp(3t + 12 t 2‬‬
‫‪21‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال تابع مولد گشتاور (‪)5‬‬
‫‪mX = M X¢(0) = 3 and M X¢¢(0) = E ( X 2 ) = 1 + 9 = 10‬‬
‫‪s X2 = E (X 2 ) - m2X = 10 - 32 = 1‬‬
‫)‪mY = E (Y ) = E (X + 1)2 = E (X 2 + 2X + 1‬‬
‫‪= E (X 2 ) + 2mX + 1‬‬
‫‪= 10 + 2 ´ 3 + 1 = 17‬‬
‫‪22‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال تابع مولد گشتاور (‪)6‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬متغیری با تابع چگالی احتمال زیر باشد‬
‫‪f (x ) = 2x‬‬
‫‪0< x < 1‬‬
‫‪ ‬تابع مولد گشتاور )‪ Y=ln (1/X‬را تعیین کنید و با‬
‫استفاده از آن میانگین و واریانس را بدست آورید‪.‬‬
‫‪ ‬حل‪:‬‬
‫‪1 t‬‬
‫) (‪) = E‬‬
‫‪X‬‬
‫‪t < 2‬‬
‫‪23‬‬
‫‪t ln X1‬‬
‫‪) = E (e‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪2- t‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪tY‬‬
‫‪M Y (t ) = E (e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1- t‬‬
‫‪ò 2x‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫مثال تابع مولد گشتاور (‪)7‬‬
‫‪ ‬میانگین‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪M Y¢(t‬‬
‫‪(2 - t )2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪M Y¢(0) = mY‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬واریانس‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(2 - t )3‬‬
‫= ) ‪M Y¢¢(t‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ‪M Y¢¢(0) = E (Y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) ( ‪= E (Y ) - m = -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪24‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪s‬‬
‫چند قضیه راجع به تابع مولد گشتاور‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی با تابع مولد گشتاورهای )‪ MX(t‬و‬
‫)‪ MY(t‬باشند‪ ،‬آنگاه دو متغیر ‪ X‬و ‪ Y‬دارای توزیع احتمال‬
‫یکسان میباشند‪ ،‬اگر و فقط اگر )‪ MX(t)=MY(t‬باشد‪.‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬و ‪ Y‬دو متغیر تصادفی مستقل با تابع مولد گشتاورهای‬
‫)‪ MX(t‬و )‪ MY(t‬باشند‪ ،‬آنگاه داریم‪:‬‬
‫) ‪M X +Y (t ) = M X (t )M Y (t‬‬
‫‪ ‬به صورت کلی‪ ،‬اگر ‪ n‬متغیر تصادفی مستقل ‪X1, X2,…, Xn‬‬
‫دارای توابع مولد گشتاور مستقل باشند‪ ،‬آنگاه داریم‪:‬‬
‫) ‪(t ) = M X (t ) ´ L ´ M X (t‬‬
‫•‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+L + X n‬‬
‫حالت خاص‪ :‬اگر ‪ X1, X2,…, Xn‬دارای توزیع یکسان باشند‪ ،‬آنگاه‬
‫داریم‬
‫‪n‬‬
‫)) ‪M X + L + X (t ) = (M X (t‬‬
‫‪n‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪MX‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫‪1‬‬
‫قضیه چیبیشف (‪)Chebyshev‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ X‬یک متغیر تصادفی با واریانس محدود باشد‪ ،‬آنگاه‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2ù‬‬
‫‪é‬‬
‫‪P (| X - m |³ k s ) = P ê(X - m) ³ k s ú£ 2 k > 1‬‬
‫‪ë‬‬
‫‪û k‬‬
‫‪ ‬از رابطه فوق میتوان نتیجه گرفت که‪1‬‬
‫‪:‬‬
‫‪P (| X - m |< k s ) ³ 1 - 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P (m - k s < X < m + k s ) ³ 1 - 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ‬یعنی‪ ،‬احتمال این که متغیر تصادفی ‪ X‬بین ‪ k‬برابر انحراف‬
‫معیار از میانگین قرار گیرد‪ ،‬حداقل برابر با ‪1-1/k2‬است‪.‬‬
‫‪ ‬نکته جالب آن است که بدون اطالع از نوع توزیع‪ ،‬میتوان‬
‫کران پایینی برای احتمال قرار گرفتن متغیر تصادفی در‬
‫فاصلههای )‪ (-k, +k‬را تعیین نمود‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬
‫مثال‬
‫‪ ‬متوسط عمر المپهای تولید شده توسط یک کارخانه‬
‫‪ 500‬ساعت با واریانس ‪ 125‬است‪.‬‬
‫‪ ‬در مورد احتمال این که عمر یک المپ بین ‪ 475‬و‬
‫‪ 525‬ساعت باشد چه میتوان گفت؟‬
‫‪ ‬حل‪ :‬فرض کنید که ‪ X‬نشاندهنده طول عمر المپ باشد‪.‬‬
‫)‪P (475 < X < 525) = P (- 25 < X - 500 < 25‬‬
‫)‪= P (| X - 500 |< 25‬‬
‫‪k s = 25 Þ k 2s 2 = 625 Þ k 2 = 5‬‬
‫‪1 4‬‬
‫ ‪P (475 < X < 525) ³ 1‬‬‫=‬
‫‪5 5‬‬
‫‪27‬‬
‫دانشگاه صنعت آب و برق‬