ppt - IUST Personal Webpages
Download
Report
Transcript ppt - IUST Personal Webpages
) و یک مجموعه از
اگرfتابعی با دامنه Xباشد )
را به ما بدهند و برای یک مقدار مشخص
نقاط
داده شود به نقاط داده شده گره گفته می شود وبه
داده میگوییم .
یافتن تابع مناسب
بگیرد یا اصطالحا درونیابی کند .
است بطوریکه این nداده
را
Fمعموال باید از خانواده ای تعیین شده از توابع انتخاب شود
یک نمونه خاص است برای زمانی که Fاز یک فضای برداری nبعدی از
توابع روی Xانتخاب شود.
پایه اش باشدتابعی که بدنبال آن
اگر Uاین فضای برداری باشد و
هستیم
به شکل
که با اعمال شرایط درونیابی داریم:
1≤j≤n
این یک دستگاه است با nمعادله خطی وnمجهول که فرم ماتریسی آن به شکل
زیر است :
=
ماتریس درونیاب می گوییم.
) که به ماتریس
(
مسئله حل پذیر است اگر وتنها اگر Aغیر تکین باشد .
(دترمینان Aمخالف صفر باشد).
پس حالت ایده آل زمانی است که ماتریس Aغیر تکین باشد برای هر nتا گره
دلخواه.
قضیه :1فرض کنید Uیک فضای nبعدی خطی از توابع روی Xباشدو
در Xباشند U.قادر به درونیابی nگره در مقادیر
nگره متمایز
اگروتنها اگر صفر درونیابی شود تنها با عامل (تابع )
دلخواه
صفر درU
اثبات :فضای Uمیتواند یک درونیاب فراهم کند برای مقادیر دلخواه اگر وتنها اگر
ماتریس درونیابش غیر تکین باشد
(طبق نکته*).
و این شرط برای AC=0تنها زمانی می تواند درست باشدکهC=0
است
ماتریس درونیاب برای این مورد
مثال :فرض کنیم X=Rو 1≤ j≤n
خاص واندرموند نامیده می شود
و به شکل زیر است :
دترمینان vتوسط فرمول زیر به دست می آید:
= 𝑉det
𝑗𝑥 𝑥𝑖 −
𝑛≤𝑖≺𝑗≤1
واضح است که دترمینان ناصفر است اگر وتنها اگر گره ها متمایز
باشد.
بنابراین مسئله درونیابی فوق برای هر انتخابی از گره ها یک جواب
یکتا دارد .
با کمک قضیه یک هم می توان غیر تکین بودن ماتریس vرا نشان
داد.
کافی است همگن بودن مسئله خطی را در آن قسمتی که
می خواهیم صفر را درونیابی کنیم بررسی نماییم .
جواب چند جمله ای از درجه حداکثر n-1خواهد بود که مقدار صفر
را در هر nگره می گیرد .
چون یک چند جمله ای حداکثر ازدرجه n-1می تواند حداکثر n-1
ریشه داشته باشد .نتیجه می شود چند جمله ای صفر تنها جواب
ممکن است .
ماتریس واندرموند معموال در ریاضیات رخ می دهد و برای کارهای
عددی یک حالت بد وضع به حساب می آید.
به منظور برخورد کاراتر با چندجمله ای های چند متغیره از یک نوشتار
چند اندیسی استفاده می کنیم .بیایید توابعS-متغیره را در نظر بگیریم .متغیر
هارا 𝜉𝑠 , . . . , 𝜉2 , 𝜉1بنامیم می توانند در یک بردار به نام xقرار گیرند
پس:
𝑠𝜉 𝑥 = (𝜉1 , 𝜉2 , . . . ,
یک تابع حقیقی مقداراز Sمتغیر حقیقی نگاشتی به صورت
است و یک چند جمله ای s-متغیره نیز نوعی نگاشت است .
مانند همیشه فرض میکنیم Zمجموعه اعدا صحیح باشد مجموعه اعداد
نمایش می دهیم .
نامنفی را
یعنی مجموعه Sتایی هایی که
i z 1 i sپس به Sتایی چند اندیسه گفته می شود .
تذکر ” در سراسرمحاسبات Sثابت گرفته می شود “.
باشند .
فرض 𝜶و𝜷 عواملی از
برای چند اندیسه 𝜶داریم
نماد||.معنی اش تغییر کرده است .
داشته باشیم .
و
اگر
تعریف میکنیم :
تابع x xیک تک جمله ای است .
بعنوان مثال برای 5 s=3چند تا تک جمله ای نوشته ایم .
که اینها قطعه های چند جمله ای ها را می سازند.
تعریف می شود |𝜶| برای مثال فوق داریم :
1و1و1و10و9و3
تابعی به صورت زیر است :
که سیگمایش متناهی است و مقادیر حقیقی می گیرند .
ودرجه یک چند جمله ای تعریف می شود :
صفر باشند آنگاه P(X)=0و ما درجه چند جمله ای هارا∞-
اگر تمام
قرار داد می کنیم .
چند جمله ای درجه صفر یک تابع ثابت است .
مثال S= 3:
که درجه اش 13است .
الف :
ب:
که درجه اش 9است.
نوشته
درکل چند جمله ای از درجه حداکثر kرا به صورت
می شود که این سیگما می تواند k sجمله داشته باشد.
s
عملگر مشتق :
از چند جمله ای ها می توان در تعریف عملگر مشتق استفاده کرد .
می دانیم :
پس برای مشتق می توانیم تعریف کنیم :
i
i
s
1
2
....
i 1
i
1
2
s
s
:
با توجه به مجموعه چند اندیسه ها
می توان جمع را تعریف کرد :
همچنین می توان یک رابطه ترتیبی را بدین صورت بیان کرد:
D
که اگر𝜷≤𝜶 آن گاه 𝜷_𝜶 یک چند تایی است (چند اندیسه)
است .
است که مولفه هایش
تعریف بعدی
تبعا می توان
است(.فاکتوریل چند تایی (بردار))
را نیز تعریف کرد :
For all x, y∈
and
: انگاه
فرض
تعریف:فضای خطی از همه چند جمله ایها از درجه حداکثر nبا s
نمایش داده میشود.
متغیر حقیقی
هر عامل این فضا بصورت :
تبعا مجموعه تک جمله ای های
را تولید می کند .
بعنوان مثال در
اگر( 𝜶 =(x,yدر نظر بگیریم .
است .
یک پایه برای
درs
قضیه :مجموعه تک جمله ای های x x
مستقل هستند .یعنی
Rبصورت خطی
}j { :| | n
بعدش
s n
قضیه بعد :فضا ی
تعریف فضای هار:
اگر Uفضای خطی (برداری ) nبعدی از توابع روی Xباشد.
یک فضای هار است هرگاه :
تنها تابعی در Uکه بیشتر از n-1ریشه درXدارد تابع صفر می باشد .
قضیه :فرض } {u1 , u2 ,....,unپایه Uباشد گزاره های زیر معادلند
الف)Uیک فضای هار است (.تنها تابع nریشه اش تابع صفر است ).
ب)
det(u j ( xi )) 0
s
است .
برای هر مجموعه ای از گره های متمایز
x1 ,...,xnدر X
یعنی اگر ماتریس درونیابش را در نظر بگیریم .
دترمینانش مخالف صفر باشد
برای هر nگره متمایز.
دستگاه چبیشف:
chebyshev
تعریف:به هر پایه برای فضای هار یک دستگاه چیبیشف گوییم.
مثالهایی از دستگاه چبیشف:
مثالهایی از دستگاه چبیشف روی )∞(0,
مثالی از دستگاه چیبیشف روی دایره
1,cosθ,sinθ,…,cosnθ,sin nθ
که R\2πمشخص می کند یک مجموعه از اعداد حقیقی که
سوال :آیا دستگاه چیبیشف (پایه های فضای هار) از توابع پیوسته روی
وجود دارد ؟ خیر
یا فضای هار دیگر با بعد بیشتر
زیر فضای هاری از توابع پیوسته موجود نیست(بجز
قضیه :د ر
روی فضای تک بعدی)R
یک پایه فضای هار روی دستگاه چیبیشف از توابع پیوسته
اثبات فرض خلف :فرض کنیم
برای هر مجموعه دلخواه از نقاط متمایز
وs≥2با شد طبق قضیه **باید
روی
است وشامل بقیه نیست انتخاب می کنیم .
یک مجموعه بسته در که شامل
در
بطور پیوسته در طول یک مسیر جای این دو گره را عوض می کنیم .
به وسیله حرکت
بدون انطباق بر یکدیگر یا گره های دیگر .در دترمینان فوق جای سطر اول و دوم جا بجا می شود
است .که یک جا مثبت و
و عالمت دترمینان عوض می شود .و چون دترمینان یک تابع پیوسته از
و یک جا منفی است .پس جایی مقدار صفر را در این فرآیند اختیار می کند که خالف قضیه ** است .
𝐷(𝑥2 , 𝑥1 ≺ 0
و توضیحی و مثالی برای طرز حرکت پیوسته بدون اینکه انطباقی رخ دهد در طول مسیر
فرض کنید Xیک زیر فضا به شکل حرف Yاست مثال در
یعنی اجتماع دو خط غیر موازی است .
طبق قضیه فضای پیوسته هار از بعد 2یا بیشتر نمی تواند در Xموجود باشد .
با توجه به قضیه قبل دیدیم که هیچ زیر فضای هاری روی هر یک
با بعد بیشتر از یک وجود ندارد.
از زیر فضاهای
برای مجموعه های دلخواه
پس درونیابی توسط
همواره ممکن نیست.
گره ای که
رخ می دهد).
(چون
با یک مثال این مفهوم را نشان می دهیم
.
فرض
های
و
باشد .
هستند و فرض 3گره
تک جمله ای
داریم .
دترمینان این ماتریس دو برابر مساحت مثلثی را نشان می دهد که گره ها
رئوس ان هستند .اگر گره ها در یک امتداد باشند دترمینان برابر صفر
می شود (ستون دوم ضریبی از ستون سوم )که در ان حالت مسئله ی
درونیابی حل نشدنی است.
درونیابی داده های دلخواه توسط زیر فضای
از
گره (بعد فضای
اگر گره ها بر روی خطوط
گیرند که به ازای هر
برروی یک مجموعه
)امکان پذیر است
به طریقی قرار
دقیقا شامل
گره باشد .
حال می خواهیم توسیع قضیه قبل را در ابعاد باالتر بیان کنیم.
بعد فضای
است.
یک ابرصفحه یک زیر مجموعه ی بعدی از یک فضای بعدی است
که
نقطه مشخص می شود.به عنوان مثال خط یک ابرصفحه در
و با
فضای دو بعدی است که با دو نقطه مشخص می شود و بعدش یک است.
فرض
از
گره
با
مفروض باشند و قرار دهید
در
.فرض کنید مجموعه ای
داده شده باشند .اگر ابر صفحه های
در
موجود باشند به طوری که:
انگاه داده های دلخواه بر روی مجموعه گره ای می توانند توسط چند جمله ای های
درونیابی شوند.
فضای
می باشد.
در
قادر به درونیابی داده های دلخواه بر روی هر مجموعه
گره متمایز
این قضیه با استفاده از درونیابی نیوتن اثبات می شود.
در حالت کلی شرط وجود درونیاب در
به ازای
بعد
با گره های دلخواه این است که
درونیاب بیشتر از تعداد گره ها باشد ولی در این حالت درونیاب یکتا نیست.
فرض Xیک فضای فشرده Hausdorfباشد.
)C(Xیک زیر فضای هار از بعد 2یا بیشتر داشته باشد .
آنگاه Xهم ریخت است با یک زیر مجموعه از محیط یک دایره .
مساله درونیابی برای توابع چند متغیره مشکلی است که هم در گذشته وهم در حال توجه زیادی
را به خود معطوف داشته است.حالت چند متغیره خصوصیات نامعمولی را بروز می دهد که در
حالت تک متغیره دیده نمی
شود.
ابتدا درونیابی دو متغیره را بیان می کنیم.
مفروض هستند .که به صورت
یک مجموعه ی نقاط درونیابی (گره ها ) در صفحه ی
زیر نشان می دهیم :
یک عدد حقیقی متناظر
فرض می کنیم این گره متمایزباشند.به هر نقطه ی
شده است و هدف ما یافتن یک تابع هموار با محاسبات ساده مانند است به قسمی که
برروی همه ی یا الاقل برروی دامنه بزرگی که شامل
این طور استنباط می شود که
گره ها باشد تعریف شده است.
مساله درونیابی بیان شده گاهی اوقات می تواند با یک حاصل ضرب تانسوری از روش های درونیابی یک
متغیره حل شود .
روش به وضعیتی محدود می شود که در ان مجموعه گره ها که در اینجا با 𝓝 نشان داده می شود یک
حاصل ضرب دکارتی است :
𝓝
=𝓝
به عنوان مثال اگر داشته باشیم
دکارتی نامیده می شود .
or
دراین صورت چنین ارایه ای از گره ها یک شبکه
فرض کنیم که یک طرح درونیابی خطی برای
داشته باشیم .این یک فرایند یک متغیره
خواهد بود .انرا به صورت یک عملگر خطی وبا شکل زیر در نظر می گیریم که در ان توابع
خاصیت کاردینال زیر هستند .
به عنوان مثال در درونیابی چند جمله ای معمولی توابع
محاسبه می شوند .
با استفاده از فرمول زیر
دارای
عملگر
را می توان گسترش داد تا بر توابع دو متغیره یا چند متغیره عمل کند .
اگر تابعی از
باشد می توانیم بنویسیم :
تابعی از دو متغیر است که
درونیابی می کند.
را روی خطوط عمودی
فرض کنیم عملگر دیگری برای درونیابی
می نویسیم:
که
موجود باشد
ها می توانند هر تابعی با خاصیت اصلی زیر باشند.
دوباره
تابع
را بر روی توابع دو متغیره گسترش می
دهیم.
را روی همه خطوط افقی زیر درونیابی می کند
.
اکنون عملگر درونیاب دو متغیره مفید ضرب تانسوری به کمک
چون
می تواند ساخته شود.
بدون مشکلی مالحظه می کنیم که
یک تابع است که
نماد ضرب تانسوری
را در گره های
برای عملگر
درونیابی می کند .از
نیز استفاده می
شود.
فرمولی برای چند جمله ای دو متغیره ای که مقادیر باال را داراست ارائه دهید:
ابتدا مالحظه می کنیم که گره ها یک شبکه دکارتی را تشکیل می دهند و
روش ضرب تانسوری قابل اجرا است.
اگر
𝑿 باشد.
یک مجموعه مستقل خطی از توابع روی
و
روی 𝒀 باشد.
𝑚 ≤ 𝑗 ≤ 𝑢𝑖 𝑣𝑗 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1
ان گاه
از توابع روی 𝒀𝑿
است.
فرض
یک مجموعه مستقل خطی از توابع
یک مجموعه مستقل خطی
انگاه :
ها که مستقلند
پس
از طرفی
پس
ها نیز مستقلند
اگر 𝑼 فضایی خطی باشد که عواملش توابعی از 𝑿 به 𝓡 باشند و 𝑽 نیز یک
فضای خطی که عواملش توابعی از 𝒀 به 𝓡 باشند ان گاه :
⨂𝑼تعریف می شود یک فضای خطی تولید شده توسط
𝑽
جایی که 𝓥𝓤 تابعی است روی 𝒀
𝑿
بنابراین
و همان طور که قبال گفته شد می توان نوشت:
یک پایه برای 𝑼 و
اگر
یک پایه برای 𝑽 باشد ان
گاه
یک پایه برای
است.
در حالت دو متغیره یک پایه برای
توسط داده های زیر بدست می اید.
به عنوان مثال اگر تابع درونیاب مثال قبل را به صورت جمالت
جمله زیر حاصل می شود .
بنویسیم 12
شامل عنصری از درجه
بنابراین فضای
یعنی
خواهد بود .همان طور که می دانیم درجه تک جمله ای
است و درجه یک چند جمله ای از
تعریف می شود .
بزرگترین درجه جمالت موجود در چند جمله ای
این قضیه حالت خاصی از قضیه قبل است.
یک پایه برای
مجموعه توابع زیر هستند :
هر مجموعه دلخواه از داده ها می توانند به صورت یکتا توسط فضای ضرب
تانسوری
فرم
بر روی هر مجموعه از گره ها که به
باشند درونیابی شوند.
ما برای حالت دو متغیره توضیح دادیم وبرای سه متغیره داریم :
پس از طی مراحلی مشابه حالت دو متغیره به این نتیجه می رسیم:
برای پیاده سازی عملی هر روش درونیابی داشتن الگوریتمی مانند رویه
نیوتن در درونیابی چندجمله ای یک متغیره مفید است.یاداوری می کنیم یک
شکل روش نیوتن این است که از یک چند جمله ای 𝐏که تابع 𝐟را در گره
های
جمله ای
درونیابی می کند می توانیم به سادگی یک چند
را که تابع 𝐟 را در گره های
درونیابی می کند با اضافه کردن یک جمله به 𝐏 به دست اوریم .در حقیقت
قرار می دهیم:
مزیت این الگوریتم این است که چند جمله ای درونیاب می تواند گام به گام با
اضافه کردن یک گره درونیابی جدید ویک عبارت جدید به 𝐏 در هر مرحله
ساخته شود.
مجموعه ای از گره ها 𝓝 :
تابعی که 𝐟 را روی 𝓝 درونیابی می کند 𝐏 :
( 𝐪روی 𝓝 صفر می شود )
انگاه
را روی
درونیابی می کند.
به شرط انکه:
حالت کلی تر الگوریتم نیوتن با مجموعه های گره ها سر کار دارد .
فرض کنیم 𝐪 تابعی از 𝑿 به 𝓡 باشد وفرض کنیم 𝒁 مجموعه صفرهایش باشد .اگر 𝐏
𝐟
را بر روی
درونیابی کند و 𝒓
را بر روی
درونیابی کند .
انگاه
𝒇 را بر روی 𝓝درونیابی می کند.
این فرایند نیوتن برای اثبات قضیه ای که قبال بیان شد استفاده می شود.
فضای
قادر به درونیابی داده های دلخواه بر روی هر
مجموعه از
گره متمایز در ℝ2می باشد.
درونیابی داده های دلخواه توسط زیر فضای
ای
از
خطوط
بر روی مجموعه
گره امکان پذیر است اگر گره ها بر روی
به طریقی قرار گیرند که به ازای
هر
دقیقا شامل
گره باشد.
بسط قضیه 2به این صورت است که 𝓝مجموعه
گره از
باشد
صفحه هایی در
.فرض کنیم
ابر
باشند که :
𝑘𝐻 ∪ 𝓝 ⊂ 𝐻0 ∪ 𝐻1 ∪. . .
#(𝓝 ∩ 𝐻𝑖 = 𝑖 + 1
انگاه داده های دلخواه در 𝓝 می توانند توسط
توجه شود که تنها وقتی
بعد
درونیابی شوند.
برابر تعداد گره ها است.
یک روش بسیار کلی از این نوع (که در ان زیر فضا به گره بستگی دارد )به
درونیابی
شپارد معروف است.
فرض کنیم که گره ها ی متمایز به صورت زیر باشند.
از 𝒑 و 𝒒 برای نمایش عناصر در
روی
تحت تنها شرط زیر انتخاب می کنیم.
استفاده می کنیم.سپس یک تابع حقیقی مقدار
بر
مثال هایی برای
:
سپس مشابه فرمول های الگرانژ در تقریب یک متغیره تعدادی توابع کاردینال
(اصلی)تولید می کنیم.این کار به صورت زیر انجام می پذیرد:
به راحتی مالحظه می شود که این توابع ویژگی اصلی را دارند:
در نتیجه یک درونیاب برای 𝒇 در گره های مفروض توسط
فراهم می گردد.
فرمول های درونیابی شپارد وقتی
در این روش شرط نامنفی بودن را نیز برای تابع
بنا بر فرض هایمان بر روی
داریم
برای تمام نقاط به جز
که
خوش تعریف است .
و
در نظر می گیریم.
اگر
و
نتیجه می شود
بنابر طرز ساخت
.به عالوه
و
معادله درونیابی به صورت زیر ارائه می شود .
این نوع درونیابی شپارد دو مزیت نسبت به نوع قبلی دارد :
.1اگر داده ها نامنفی باشند ان گاه
درونیاب تابعی نامنفی است.
.2اگر 𝑓 تابع ثابت باشد
یعنی
وارث ویژگی های معینی از تابعی است که درونیابی می کند.
اگر
مشتق پذیر باشد انگاه
این بدان علت است که
هر
برای
هستند .لذا مشتقات جزیی
نیز درست است.
یک نقطه مسطح را در هر گره نمایش خواهد داد.
بنابراین گره ها اکسترمم های
در هر گره صفر هستند.ودر نتیجه همین موضوع
به صورت توانی از فاصله اقلیدسی ارائه می شود .
می توانند نقاطی از
مشتق پذیر است :اگر
مشتق پذیر نیست :اگر
باشند.
را در صفر بررسی کنیم
کافی است تابع ساده تر
مشتق سویی ان در صفر با مشتق گیری از تابع
به دست می اید که در ان
باشد.
چون
بردار واحد تعریف کننده جهت می
مشتق در
وقتی که
وجود ندارد
اما برای
فرمول
به دو طریق ارائه می شود :
از معادله دوم باید با احتیاط استفاده کنیم چون
به حالت مبهم
طرف راست در
در می اید.