Transcript ppt - IUST Personal Webpages

‫) و یک مجموعه از‬
‫اگر‪f‬تابعی با دامنه ‪X‬باشد )‬
‫را به ما بدهند و برای یک مقدار مشخص‬
‫نقاط‬
‫داده شود به نقاط داده شده گره گفته می شود وبه‬
‫داده میگوییم ‪.‬‬
‫یافتن تابع مناسب‬
‫بگیرد یا اصطالحا درونیابی کند ‪.‬‬
‫است بطوریکه این ‪ n‬داده‬
‫را‬
‫‪F‬معموال باید از خانواده ای تعیین شده از توابع انتخاب شود‬
‫یک نمونه خاص است برای زمانی که ‪ F‬از یک فضای برداری ‪n‬بعدی از‬
‫توابع روی ‪X‬انتخاب شود‪.‬‬
‫پایه اش باشدتابعی که بدنبال آن‬
‫اگر ‪U‬این فضای برداری باشد و‬
‫هستیم‬
‫به شکل‬
‫که با اعمال شرایط درونیابی داریم‪:‬‬
‫‪1≤j≤n‬‬
‫این یک دستگاه است با ‪n‬معادله خطی و‪n‬مجهول که فرم ماتریسی آن به شکل‬
‫زیر است ‪:‬‬
‫=‬
‫ماتریس درونیاب می گوییم‪.‬‬
‫) که به ماتریس‬
‫(‬
‫مسئله حل پذیر است اگر وتنها اگر ‪A‬غیر تکین باشد ‪.‬‬
‫(دترمینان ‪A‬مخالف صفر باشد‪).‬‬
‫پس حالت ایده آل زمانی است که ماتریس ‪A‬غیر تکین باشد برای هر ‪n‬تا گره‬
‫دلخواه‪.‬‬
‫قضیه ‪:1‬فرض کنید ‪U‬یک فضای ‪n‬بعدی خطی از توابع روی ‪X‬باشدو‬
‫در ‪X‬باشند ‪U.‬قادر به درونیابی ‪n‬گره در مقادیر‬
‫‪n‬گره متمایز‬
‫اگروتنها اگر صفر درونیابی شود تنها با عامل (تابع )‬
‫دلخواه‬
‫صفر در‪U‬‬
‫اثبات ‪:‬فضای ‪U‬میتواند یک درونیاب فراهم کند برای مقادیر دلخواه اگر وتنها اگر‬
‫ماتریس درونیابش غیر تکین باشد‬
‫(طبق نکته*)‪.‬‬
‫و این شرط برای ‪AC=0‬تنها زمانی می تواند درست باشدکه‪C=0‬‬
‫است‬
‫ماتریس درونیاب برای این مورد‬
‫مثال ‪:‬فرض کنیم ‪X=R‬و ‪1≤ j≤n‬‬
‫خاص واندرموند نامیده می شود‬
‫و به شکل زیر است ‪:‬‬
‫دترمینان ‪ v‬توسط فرمول زیر به دست می آید‪:‬‬
‫= 𝑉‪det‬‬
‫𝑗𝑥 ‪𝑥𝑖 −‬‬
‫𝑛≤𝑖≺𝑗≤‪1‬‬
‫واضح است که دترمینان ناصفر است اگر وتنها اگر گره ها متمایز‬
‫باشد‪.‬‬
‫بنابراین مسئله درونیابی فوق برای هر انتخابی از گره ها یک جواب‬
‫یکتا دارد ‪.‬‬
‫با کمک قضیه یک هم می توان غیر تکین بودن ماتریس ‪v‬را نشان‬
‫داد‪.‬‬
‫کافی است همگن بودن مسئله خطی را در آن قسمتی که‬
‫می خواهیم صفر را درونیابی کنیم بررسی نماییم ‪.‬‬
‫جواب چند جمله ای از درجه حداکثر ‪n-1‬خواهد بود که مقدار صفر‬
‫را در هر ‪n‬گره می گیرد ‪.‬‬
‫چون یک چند جمله ای حداکثر ازدرجه ‪n-1‬می تواند حداکثر ‪n-1‬‬
‫ریشه داشته باشد ‪.‬نتیجه می شود چند جمله ای صفر تنها جواب‬
‫ممکن است ‪.‬‬
‫ماتریس واندرموند معموال در ریاضیات رخ می دهد و برای کارهای‬
‫عددی یک حالت بد وضع به حساب می آید‪.‬‬
‫به منظور برخورد کاراتر با چندجمله ای های چند متغیره از یک نوشتار‬
‫چند اندیسی استفاده می کنیم ‪.‬بیایید توابع‪S-‬متغیره را در نظر بگیریم ‪.‬متغیر‬
‫هارا‪ 𝜉𝑠 , . . . , 𝜉2 , 𝜉1‬بنامیم می توانند در یک بردار به نام ‪x‬قرار گیرند‬
‫پس‪:‬‬
‫𝑠𝜉 ‪𝑥 = (𝜉1 , 𝜉2 , . . . ,‬‬
‫یک تابع حقیقی مقداراز ‪S‬متغیر حقیقی نگاشتی به صورت‬
‫است و یک چند جمله ای ‪s-‬متغیره نیز نوعی نگاشت است ‪.‬‬
‫مانند همیشه فرض میکنیم ‪Z‬مجموعه اعدا صحیح باشد مجموعه اعداد‬
‫نمایش می دهیم ‪.‬‬
‫نامنفی را‬
‫یعنی مجموعه ‪S‬تایی هایی که‬
‫‪ i  z 1  i  s‬پس به ‪S‬تایی چند اندیسه گفته می شود ‪.‬‬
‫تذکر ” در سراسرمحاسبات ‪S‬ثابت گرفته می شود ‪“.‬‬
‫باشند ‪.‬‬
‫فرض 𝜶و𝜷 عواملی از‬
‫برای چند اندیسه 𝜶داریم‬
‫نماد|‪|.‬معنی اش تغییر کرده است ‪.‬‬
‫داشته باشیم ‪.‬‬
‫و‬
‫اگر‬
‫تعریف میکنیم ‪:‬‬
‫تابع ‪ x  x‬یک تک جمله ای است ‪.‬‬
‫بعنوان مثال برای ‪ 5 s=3‬چند تا تک جمله ای نوشته ایم ‪.‬‬
‫که اینها قطعه های چند جمله ای ها را می سازند‪.‬‬
‫تعریف می شود |𝜶| برای مثال فوق داریم ‪:‬‬
‫‪1‬و‪1‬و‪1‬و‪10‬و‪9‬و‪3‬‬
‫تابعی به صورت زیر است ‪:‬‬
‫که سیگمایش متناهی است و مقادیر حقیقی می گیرند ‪.‬‬
‫ودرجه یک چند جمله ای تعریف می شود ‪:‬‬
‫صفر باشند آنگاه ‪P(X)=0‬و ما درجه چند جمله ای هارا∞‪-‬‬
‫اگر تمام‬
‫قرار داد می کنیم ‪.‬‬
‫چند جمله ای درجه صفر یک تابع ثابت است ‪.‬‬
‫مثال ‪S= 3:‬‬
‫که درجه اش ‪ 13‬است ‪.‬‬
‫الف ‪:‬‬
‫ب‪:‬‬
‫که درجه اش ‪ 9‬است‪.‬‬
‫نوشته‬
‫درکل چند جمله ای از درجه حداکثر ‪k‬را به صورت‬
‫می شود که این سیگما می تواند ‪ k  s‬جمله داشته باشد‪.‬‬
‫‪s‬‬
‫عملگر مشتق ‪:‬‬
‫از چند جمله ای ها می توان در تعریف عملگر مشتق استفاده کرد ‪.‬‬
‫می دانیم ‪:‬‬
‫پس برای مشتق می توانیم تعریف کنیم ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪....‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪:‬‬
‫با توجه به مجموعه چند اندیسه ها‬
‫می توان جمع را تعریف کرد ‪:‬‬
‫همچنین می توان یک رابطه ترتیبی را بدین صورت بیان کرد‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫که اگر𝜷≤𝜶 آن گاه 𝜷_𝜶 یک چند تایی است (چند اندیسه)‬
‫است ‪.‬‬
‫است که مولفه هایش‬
‫تعریف بعدی‬
‫تبعا می توان‬
‫است‪(.‬فاکتوریل چند تایی (بردار))‬
‫را نیز تعریف کرد ‪:‬‬
For all x, y∈
and
: ‫انگاه‬
‫فرض‬
‫تعریف‪:‬فضای خطی از همه چند جمله ایها از درجه حداکثر ‪n‬با ‪s‬‬
‫نمایش داده میشود‪.‬‬
‫متغیر حقیقی‬
‫هر عامل این فضا بصورت ‪:‬‬
‫تبعا مجموعه تک جمله ای های‬
‫را تولید می کند ‪.‬‬
‫بعنوان مثال در‬
‫اگر(‪ 𝜶 =(x,y‬در نظر بگیریم ‪.‬‬
‫است ‪.‬‬
‫یک پایه برای‬
‫در‪s‬‬
‫قضیه ‪:‬مجموعه تک جمله ای های ‪x  x‬‬
‫مستقل هستند ‪.‬یعنی‬
‫‪ R‬بصورت خطی‬
‫}‪j  { :|  | n‬‬
‫بعدش‬
‫‪s n‬‬
‫قضیه بعد ‪:‬فضا ی‬
‫تعریف فضای هار‪:‬‬
‫اگر ‪U‬فضای خطی (برداری ) ‪n‬بعدی از توابع روی ‪X‬باشد‪.‬‬
‫یک فضای هار است هرگاه ‪:‬‬
‫تنها تابعی در ‪U‬که بیشتر از ‪n-1‬ریشه در‪X‬دارد تابع صفر می باشد ‪.‬‬
‫قضیه ‪:‬فرض } ‪ {u1 , u2 ,....,un‬پایه ‪U‬باشد گزاره های زیر معادلند‬
‫الف)‪U‬یک فضای هار است ‪(.‬تنها تابع ‪n‬ریشه اش تابع صفر است ‪).‬‬
‫ب)‬
‫‪det(u j ( xi ))  0‬‬
‫‪s‬‬
‫است ‪.‬‬
‫برای هر مجموعه ای از گره های متمایز‬
‫‪ x1 ,...,xn‬در ‪X‬‬
‫یعنی اگر ماتریس درونیابش را در نظر بگیریم ‪.‬‬
‫دترمینانش مخالف صفر باشد‬
‫برای هر ‪n‬گره متمایز‪.‬‬
‫دستگاه چبیشف‪:‬‬
‫‪chebyshev‬‬
‫تعریف‪:‬به هر پایه برای فضای هار یک دستگاه چیبیشف گوییم‪.‬‬
‫مثالهایی از دستگاه چبیشف‪:‬‬
‫مثالهایی از دستگاه چبیشف روی )∞‪(0,‬‬
‫مثالی از دستگاه چیبیشف روی دایره‬
‫‪1,cosθ,sinθ,…,cosnθ,sin nθ‬‬
‫که ‪R\2π‬مشخص می کند یک مجموعه از اعداد حقیقی که‬
‫سوال ‪:‬آیا دستگاه چیبیشف (پایه های فضای هار) از توابع پیوسته روی‬
‫وجود دارد ؟ خیر‬
‫یا فضای هار دیگر با بعد بیشتر‬
‫زیر فضای هاری از توابع پیوسته موجود نیست(بجز‬
‫قضیه ‪ :‬د ر‬
‫روی فضای تک بعدی‪)R‬‬
‫یک پایه فضای هار روی دستگاه چیبیشف از توابع پیوسته‬
‫اثبات فرض خلف ‪:‬فرض کنیم‬
‫برای هر مجموعه دلخواه از نقاط متمایز‬
‫و‪s≥2‬با شد طبق قضیه **باید‬
‫روی‬
‫است وشامل بقیه نیست انتخاب می کنیم ‪.‬‬
‫یک مجموعه بسته در که شامل‬
‫در‬
‫بطور پیوسته در طول یک مسیر جای این دو گره را عوض می کنیم ‪.‬‬
‫به وسیله حرکت‬
‫بدون انطباق بر یکدیگر یا گره های دیگر ‪.‬در دترمینان فوق جای سطر اول و دوم جا بجا می شود‬
‫است ‪.‬که یک جا مثبت و‬
‫و عالمت دترمینان عوض می شود ‪.‬و چون دترمینان یک تابع پیوسته از‬
‫و یک جا منفی است ‪.‬پس جایی مقدار صفر را در این فرآیند اختیار می کند که خالف قضیه ** است ‪.‬‬
𝐷(𝑥2 , 𝑥1 ≺ 0
‫و توضیحی و مثالی برای طرز حرکت پیوسته بدون اینکه انطباقی رخ دهد در طول مسیر‬
‫فرض کنید ‪X‬یک زیر فضا به شکل حرف ‪Y‬است مثال در‬
‫یعنی اجتماع دو خط غیر موازی است ‪.‬‬
‫طبق قضیه فضای پیوسته هار از بعد ‪ 2‬یا بیشتر نمی تواند در ‪X‬موجود باشد ‪.‬‬
‫با توجه به قضیه قبل دیدیم که هیچ زیر فضای هاری روی هر یک‬
‫با بعد بیشتر از یک وجود ندارد‪.‬‬
‫از زیر فضاهای‬
‫برای مجموعه های دلخواه‬
‫پس درونیابی توسط‬
‫همواره ممکن نیست‪.‬‬
‫گره ای که‬
‫رخ می دهد‪).‬‬
‫(چون‬
‫با یک مثال این مفهوم را نشان می دهیم‬
‫‪.‬‬
‫فرض‬
‫های‬
‫و‬
‫باشد ‪.‬‬
‫هستند و فرض ‪3‬گره‬
‫تک جمله ای‬
‫داریم ‪.‬‬
‫دترمینان این ماتریس دو برابر مساحت مثلثی را نشان می دهد که گره ها‬
‫رئوس ان هستند ‪.‬اگر گره ها در یک امتداد باشند دترمینان برابر صفر‬
‫می شود (ستون دوم ضریبی از ستون سوم )که در ان حالت مسئله ی‬
‫درونیابی حل نشدنی است‪.‬‬
‫درونیابی داده های دلخواه توسط زیر فضای‬
‫از‬
‫گره (بعد فضای‬
‫اگر گره ها بر روی خطوط‬
‫گیرند که به ازای هر‬
‫برروی یک مجموعه‬
‫)امکان پذیر است‬
‫به طریقی قرار‬
‫دقیقا شامل‬
‫گره باشد ‪.‬‬
‫حال می خواهیم توسیع قضیه قبل را در ابعاد باالتر بیان کنیم‪.‬‬
‫بعد فضای‬
‫است‪.‬‬
‫یک ابرصفحه یک زیر مجموعه ی بعدی از یک فضای بعدی است‬
‫که‬
‫نقطه مشخص می شود‪.‬به عنوان مثال خط یک ابرصفحه در‬
‫و با‬
‫فضای دو بعدی است که با دو نقطه مشخص می شود و بعدش یک است‪.‬‬
‫فرض‬
‫از‬
‫گره‬
‫با‬
‫مفروض باشند و قرار دهید‬
‫در‬
‫‪ .‬فرض کنید مجموعه ای‬
‫داده شده باشند ‪.‬اگر ابر صفحه های‬
‫در‬
‫موجود باشند به طوری که‪:‬‬
‫انگاه داده های دلخواه بر روی مجموعه گره ای می توانند توسط چند جمله ای های‬
‫درونیابی شوند‪.‬‬
‫فضای‬
‫می باشد‪.‬‬
‫در‬
‫قادر به درونیابی داده های دلخواه بر روی هر مجموعه‬
‫گره متمایز‬
‫این قضیه با استفاده از درونیابی نیوتن اثبات می شود‪.‬‬
‫در حالت کلی شرط وجود درونیاب در‬
‫به ازای‬
‫بعد‬
‫با گره های دلخواه این است که‬
‫درونیاب بیشتر از تعداد گره ها باشد ولی در این حالت درونیاب یکتا نیست‪.‬‬
‫فرض ‪ X‬یک فضای فشرده ‪Hausdorf‬باشد‪.‬‬
‫)‪C(X‬یک زیر فضای هار از بعد ‪ 2‬یا بیشتر داشته باشد ‪.‬‬
‫آنگاه ‪X‬هم ریخت است با یک زیر مجموعه از محیط یک دایره ‪.‬‬
‫مساله درونیابی برای توابع چند متغیره مشکلی است که هم در گذشته وهم در حال توجه زیادی‬
‫را به خود معطوف داشته است‪.‬حالت چند متغیره خصوصیات نامعمولی را بروز می دهد که در‬
‫حالت تک متغیره دیده نمی‬
‫شود‪.‬‬
‫ابتدا درونیابی دو متغیره را بیان می کنیم‪.‬‬
‫مفروض هستند ‪.‬که به صورت‬
‫یک مجموعه ی نقاط درونیابی (گره ها ) در صفحه ی‬
‫زیر نشان می دهیم ‪:‬‬
‫یک عدد حقیقی متناظر‬
‫فرض می کنیم این گره متمایزباشند‪.‬به هر نقطه ی‬
‫شده است و هدف ما یافتن یک تابع هموار با محاسبات ساده مانند است به قسمی که‬
‫برروی همه ی یا الاقل برروی دامنه بزرگی که شامل‬
‫این طور استنباط می شود که‬
‫گره ها باشد تعریف شده است‪.‬‬
‫مساله درونیابی بیان شده گاهی اوقات می تواند با یک حاصل ضرب تانسوری از روش های درونیابی یک‬
‫متغیره حل شود ‪.‬‬
‫روش به وضعیتی محدود می شود که در ان مجموعه گره ها که در اینجا با 𝓝 نشان داده می شود یک‬
‫حاصل ضرب دکارتی است ‪:‬‬
‫𝓝‬
‫=𝓝‬
‫به عنوان مثال اگر داشته باشیم‬
‫دکارتی نامیده می شود ‪.‬‬
‫‪or‬‬
‫دراین صورت چنین ارایه ای از گره ها یک شبکه‬
‫فرض کنیم که یک طرح درونیابی خطی برای‬
‫داشته باشیم ‪.‬این یک فرایند یک متغیره‬
‫خواهد بود ‪.‬انرا به صورت یک عملگر خطی وبا شکل زیر در نظر می گیریم که در ان توابع‬
‫خاصیت کاردینال زیر هستند ‪.‬‬
‫به عنوان مثال در درونیابی چند جمله ای معمولی توابع‬
‫محاسبه می شوند ‪.‬‬
‫با استفاده از فرمول زیر‬
‫دارای‬
‫عملگر‬
‫را می توان گسترش داد تا بر توابع دو متغیره یا چند متغیره عمل کند ‪.‬‬
‫اگر تابعی از‬
‫باشد می توانیم بنویسیم ‪:‬‬
‫تابعی از دو متغیر است که‬
‫درونیابی می کند‪.‬‬
‫را روی خطوط عمودی‬
‫فرض کنیم عملگر دیگری برای درونیابی‬
‫می نویسیم‪:‬‬
‫که‬
‫موجود باشد‬
‫ها می توانند هر تابعی با خاصیت اصلی زیر باشند‪.‬‬
‫دوباره‬
‫تابع‬
‫را بر روی توابع دو متغیره گسترش می‬
‫دهیم‪.‬‬
‫را روی همه خطوط افقی زیر درونیابی می کند‬
‫‪.‬‬
‫اکنون عملگر درونیاب دو متغیره مفید ضرب تانسوری به کمک‬
‫چون‬
‫می تواند ساخته شود‪.‬‬
‫بدون مشکلی مالحظه می کنیم که‬
‫یک تابع است که‬
‫نماد ضرب تانسوری‬
‫را در گره های‬
‫برای عملگر‬
‫درونیابی می کند ‪.‬از‬
‫نیز استفاده می‬
‫شود‪.‬‬
‫فرمولی برای چند جمله ای دو متغیره ای که مقادیر باال را داراست ارائه دهید‪:‬‬
‫ابتدا مالحظه می کنیم که گره ها یک شبکه دکارتی را تشکیل می دهند و‬
‫روش ضرب تانسوری قابل اجرا است‪.‬‬
‫اگر‬
‫𝑿 باشد‪.‬‬
‫یک مجموعه مستقل خطی از توابع روی‬
‫و‬
‫روی 𝒀 باشد‪.‬‬
‫𝑚 ≤ 𝑗 ≤ ‪𝑢𝑖 𝑣𝑗 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1‬‬
‫ان گاه‬
‫از توابع روی 𝒀‪𝑿 ‬‬
‫است‪.‬‬
‫فرض‬
‫یک مجموعه مستقل خطی از توابع‬
‫یک مجموعه مستقل خطی‬
‫انگاه ‪:‬‬
‫ها که مستقلند‬
‫پس‬
‫از طرفی‬
‫پس‬
‫ها نیز مستقلند‬
‫اگر 𝑼 فضایی خطی باشد که عواملش توابعی از 𝑿 به 𝓡 باشند و 𝑽 نیز یک‬
‫فضای خطی که عواملش توابعی از 𝒀 به 𝓡 باشند ان گاه ‪:‬‬
‫⨂𝑼تعریف می شود یک فضای خطی تولید شده توسط‬
‫𝑽‬
‫جایی که 𝓥𝓤 تابعی است روی 𝒀 ‪‬‬
‫𝑿‬
‫بنابراین‬
‫و همان طور که قبال گفته شد می توان نوشت‪:‬‬
‫یک پایه برای 𝑼 و‬
‫اگر‬
‫یک پایه برای 𝑽 باشد ان‬
‫گاه‬
‫یک پایه برای‬
‫است‪.‬‬
‫در حالت دو متغیره یک پایه برای‬
‫توسط داده های زیر بدست می اید‪.‬‬
‫به عنوان مثال اگر تابع درونیاب مثال قبل را به صورت جمالت‬
‫جمله زیر حاصل می شود ‪.‬‬
‫بنویسیم ‪12‬‬
‫شامل عنصری از درجه‬
‫بنابراین فضای‬
‫یعنی‬
‫خواهد بود ‪ .‬همان طور که می دانیم درجه تک جمله ای‬
‫است و درجه یک چند جمله ای از‬
‫تعریف می شود ‪.‬‬
‫بزرگترین درجه جمالت موجود در چند جمله ای‬
‫این قضیه حالت خاصی از قضیه قبل است‪.‬‬
‫یک پایه برای‬
‫مجموعه توابع زیر هستند ‪:‬‬
‫هر مجموعه دلخواه از داده ها می توانند به صورت یکتا توسط فضای ضرب‬
‫تانسوری‬
‫فرم‬
‫بر روی هر مجموعه از گره ها که به‬
‫باشند درونیابی شوند‪.‬‬
‫ما برای حالت دو متغیره توضیح دادیم وبرای سه متغیره داریم ‪:‬‬
‫پس از طی مراحلی مشابه حالت دو متغیره به این نتیجه می رسیم‪:‬‬
‫برای پیاده سازی عملی هر روش درونیابی داشتن الگوریتمی مانند رویه‬
‫نیوتن در درونیابی چندجمله ای یک متغیره مفید است‪.‬یاداوری می کنیم یک‬
‫شکل روش نیوتن این است که از یک چند جمله ای 𝐏که تابع 𝐟را در گره‬
‫های‬
‫جمله ای‬
‫درونیابی می کند می توانیم به سادگی یک چند‬
‫را که تابع 𝐟 را در گره های‬
‫درونیابی می کند با اضافه کردن یک جمله به 𝐏 به دست اوریم‪ .‬در حقیقت‬
‫قرار می دهیم‪:‬‬
‫مزیت این الگوریتم این است که چند جمله ای درونیاب می تواند گام به گام با‬
‫اضافه کردن یک گره درونیابی جدید ویک عبارت جدید به 𝐏 در هر مرحله‬
‫ساخته شود‪.‬‬
‫مجموعه ای از گره ها ‪𝓝 :‬‬
‫تابعی که 𝐟 را روی 𝓝 درونیابی می کند ‪𝐏 :‬‬
‫( 𝐪روی 𝓝 صفر می شود )‬
‫انگاه‬
‫را روی‬
‫درونیابی می کند‪.‬‬
‫به شرط انکه‪:‬‬
‫حالت کلی تر الگوریتم نیوتن با مجموعه های گره ها سر کار دارد ‪.‬‬
‫فرض کنیم 𝐪 تابعی از 𝑿 به 𝓡 باشد وفرض کنیم 𝒁 مجموعه صفرهایش باشد ‪.‬اگر 𝐏‬
‫𝐟‬
‫را بر روی‬
‫درونیابی کند و 𝒓‬
‫را بر روی‬
‫درونیابی کند ‪.‬‬
‫انگاه‬
‫𝒇 را بر روی 𝓝درونیابی می کند‪.‬‬
‫این فرایند نیوتن برای اثبات قضیه ای که قبال بیان شد استفاده می شود‪.‬‬
‫فضای‬
‫قادر به درونیابی داده های دلخواه بر روی هر‬
‫مجموعه از‬
‫گره متمایز در‪ ℝ2‬می باشد‪.‬‬
‫درونیابی داده های دلخواه توسط زیر فضای‬
‫ای‬
‫از‬
‫خطوط‬
‫بر روی مجموعه‬
‫گره امکان پذیر است اگر گره ها بر روی‬
‫به طریقی قرار گیرند که به ازای‬
‫هر‬
‫دقیقا شامل‬
‫گره باشد‪.‬‬
‫بسط قضیه ‪ 2‬به این صورت است که 𝓝مجموعه‬
‫گره از‬
‫باشد‬
‫صفحه هایی در‬
‫‪.‬فرض کنیم‬
‫ابر‬
‫باشند که ‪:‬‬
‫𝑘𝐻 ∪‪ 𝓝 ⊂ 𝐻0 ∪ 𝐻1 ∪. . .‬‬
‫‪ #(𝓝 ∩ 𝐻𝑖 = 𝑖 + 1‬‬
‫انگاه داده های دلخواه در 𝓝 می توانند توسط‬
‫توجه شود که تنها وقتی‬
‫بعد‬
‫درونیابی شوند‪.‬‬
‫برابر تعداد گره ها است‪.‬‬
‫یک روش بسیار کلی از این نوع (که در ان زیر فضا به گره بستگی دارد )به‬
‫درونیابی‬
‫شپارد معروف است‪.‬‬
‫فرض کنیم که گره ها ی متمایز به صورت زیر باشند‪.‬‬
‫از 𝒑 و 𝒒 برای نمایش عناصر در‬
‫روی‬
‫تحت تنها شرط زیر انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫استفاده می کنیم‪.‬سپس یک تابع حقیقی مقدار‬
‫بر‬
‫مثال هایی برای‬
‫‪:‬‬
‫سپس مشابه فرمول های الگرانژ در تقریب یک متغیره تعدادی توابع کاردینال‬
‫(اصلی)تولید می کنیم‪.‬این کار به صورت زیر انجام می پذیرد‪:‬‬
‫به راحتی مالحظه می شود که این توابع ویژگی اصلی را دارند‪:‬‬
‫در نتیجه یک درونیاب برای 𝒇 در گره های مفروض توسط‬
‫فراهم می گردد‪.‬‬
‫فرمول های درونیابی شپارد وقتی‬
‫در این روش شرط نامنفی بودن را نیز برای تابع‬
‫بنا بر فرض هایمان بر روی‬
‫داریم‬
‫برای تمام نقاط به جز‬
‫که‬
‫خوش تعریف است ‪.‬‬
‫و‬
‫در نظر می گیریم‪.‬‬
‫اگر‬
‫و‬
‫نتیجه می شود‬
‫بنابر طرز ساخت‬
‫‪.‬به عالوه‬
‫و‬
‫معادله درونیابی به صورت زیر ارائه می شود ‪.‬‬
‫این نوع درونیابی شپارد دو مزیت نسبت به نوع قبلی دارد ‪:‬‬
‫‪.1‬اگر داده ها نامنفی باشند ان گاه‬
‫درونیاب تابعی نامنفی است‪.‬‬
‫‪.2‬اگر 𝑓 تابع ثابت باشد‬
‫یعنی‬
‫وارث ویژگی های معینی از تابعی است که درونیابی می کند‪.‬‬
‫اگر‬
‫مشتق پذیر باشد انگاه‬
‫این بدان علت است که‬
‫هر‬
‫برای‬
‫هستند‪ .‬لذا مشتقات جزیی‬
‫نیز درست است‪.‬‬
‫یک نقطه مسطح را در هر گره نمایش خواهد داد‪.‬‬
‫بنابراین گره ها اکسترمم های‬
‫در هر گره صفر هستند‪.‬ودر نتیجه همین موضوع‬
‫به صورت توانی از فاصله اقلیدسی ارائه می شود ‪.‬‬
‫می توانند نقاطی از‬
‫مشتق پذیر است ‪ :‬اگر‬
‫مشتق پذیر نیست ‪ :‬اگر‬
‫باشند‪.‬‬
‫را در صفر بررسی کنیم‬
‫کافی است تابع ساده تر‬
‫مشتق سویی ان در صفر با مشتق گیری از تابع‬
‫به دست می اید که در ان‬
‫باشد‪.‬‬
‫چون‬
‫بردار واحد تعریف کننده جهت می‬
‫مشتق در‬
‫وقتی که‬
‫وجود ندارد‬
‫اما برای‬
‫فرمول‬
‫به دو طریق ارائه می شود ‪:‬‬
‫از معادله دوم باید با احتیاط استفاده کنیم چون‬
‫به حالت مبهم‬
‫طرف راست در‬
‫در می اید‪.‬‬