Solution methods
Download
Report
Transcript Solution methods
روش های عددی در الکترومغناطیس
موضوع سمینار:روش حجم
محدود()FVM
استاد:دکتر صادق زاده
ارائه دهنده:امید برازجانی
زمستان92
روش حجم محدود ()FINITE VOLUME METHOD
این روش برای حل معادالت دیفرانسیل جزیی متمرکز
است
این روش ها در سال های اخیر به دلیل توانمندی و
فرموالسیون شهودی و مزایای محاسبه ای شان میزان
پذیرش گسترده ای را کسب نموده اند.
معادالت دیفرانسیل با مشتقات جزیی که ما روی آن
تمرکز داریم یک معادله عددی است که انتقال یک
ماده تحت تاثیر وزش جریان هوا و ترکیب آن را
ارائه می کند
روش حجم محدود یک روش گسسته است که برای شبیه
سازی های عددی برای انواع مختلف اشکال (بیضوی
،سهموی و یا هزلولی ) مناسب است.
با مش بندی های ساختیافته و غیر ساختیافته در
هندسه های مختلف مورد استفاده قرار می گیرد و
به طرح های قوی منجر می شود.
و به طور گسترده ای در
چند شاخه مهندسی مانند
بررسی روش های عددی به طور کلی
تکنیک های زیادی در دینامیک سیاالت محاسباتی CFD
) )Computational Fluid Dynamicsموجود است.
رایج ترین برنامه های CFDاقتصادی که در دسترند عبارتند
از:
روش حجم محدود قابلیت اجرای زیادی دارد ()%80
روش المان محدود ()%15
قطعا تعداد زیادی از رویکردهای دیگری در حدود ()%5
وجود دارد ،ازجمله:
تفاوت محدود Finite difference
روش های طیفی Spectral methods
المان مرز Boundary element
گاز مشبک /بولتزمن مشبک Lattice gas/lattice Boltzmann
و بیشتر!
روش تفاوت محدود ()FDM
از نظر تاریخی ،قدیمی ترین روش است.
تکنیک هایی در اوایل سال 1910توسط L. F. Richardson
منتشر شد.
مقاله اصلی توسط Courant, Fredrichsonو (1928) Lewy
مرحله پیچیده زمانی را
معیار پایداری برای
بدست اورد.
اولین راه حل عددی :جریان در تمام سیلندر مدور
توسط )1933( Thomارایه شد.
مقاله علمی توسط Harlowو (1965) Frommایده اصلی
آزمایشات کامپیوتری را بیان کرد و CFDمتولد
شد.
مزیت :اجرای آسان
معایب :محدود به شبکه های ساده است و اندازه
حرکت ،انرژی و جرم را بر روی شبکه های بزرگ
نگهداری نمی کند.
تفاوت محدود :روش شناسی پایه
میدان به مجموعه ای از نقاط مجزا تقسیم می شود.
اندازه ساختاری مش های ) (ijkمورد نیاز است.
i
j
j
i
معادالت حاکم (در فرم دیفرانسیل) گسسته هستند
(به صورت جبری)
مشتقات اول و دوم با بسط های مجموعه های
Taylorکوتاه تقریب زده می شود.
مجموعه حاصل معادالت جبری خطی هر کدام تکراری یا
همزمان حل می شود.
روش المان محدود )(FEM
6
توسط
)(1943
Courant
اولین استفاده
پیچیدگی بود.
) Clough (1960روشی را با این نام ارائه می دهد.
روش FEMتا حد زیادی در دهه 60و 70میالدی برای
تجزیه و تحلیل مشکل مکانیک سازه استفاده می شد.
تجزیه و تحلیل FEMبرای جریان سیاالت در اواسط تا
اواخر دهه 70توسعه یافت.
مزایا :باالترین دقت را در شبکه های درشت دارد و
برای مشکالت نفوذ میدان (جریان ویسکوز) و مشکالت سطح
آزاد عالی است.
معایب :برای مشکالت پیچیده کند است و برای جریانات
آشفته مناسب نیست.
خطوط سرعت
فلزی از چند
پلی اتیلن
برای
حل
مشکل
روش حجم محدود((FVM
اولین استفاده مستند توسط ایوانز و هارلو
( )1957در لوس آالموس و جنتری ،مارتین و دیلی
( )1966بود .
جذاب است زیرا متغیرها ممکن است که پیوسته از
همدیگر در میان شوک ها ودیگر ناپیوستگی ها قابل
تشخیص نباشد ولی جرم و انرژی تغیر نمی کند .
FVMمزیتی به کمک حافظه و سرعت در مشکالت خیلی
با سرعت باالتر،
مانند جریانات
بزرگ دارد،
جریانات آشفته (احتراق )دارد.
اواخر دهه 70و اوایل دهه 80توسعه شبکه های
body-fittedرا مشاهده کردیم .در اوایل دهه روش های
شبکه غیر ساختیافته ظاهر شد.
مزایا :تعادل کنترل حجم و پایه شکل سلول ،توده،
اندازه حرکت را محدود نمی کند ،انرژی حتی بر
روی شبکه های بزرگ حفظ می شود ،حل کننده های
موثر و تکراری به خوبی توسعه یافته است.
معایب :انتشار نادرست هنگامی که اعداد ساده
استفاده می شود.
روش عمومی حجم محدود:
تقسیم میدان به حجم های کنترل شده
•
•
•
•
•
•
• •
• • •
• • •
•
•
•
•
•
•
•
ادغام معادله دیفرانسیل در طول حجم های کنترل شده
و اعمال قضیه دیورژانس.
به منظور ارزیابی اصطالحات مشتق ،مقادیر صورت های
شده مورد نیاز است به همین دلیل
حجم کنترل
ایجاد فرض در مورد چگونگی تفاوت های مقدار الزم
است.
نتیجه مجموعه ای از معادالت جبری خطی است یعنی یکی
از هر حجم کنترل شده
سلول ها و گره ها
با استفاده از روش حجم محدود ،حوزه راه حل را
به یک تعداد متناهی از حجم کنترل کوچک (سلول)
توسط یک شبکه تقسیم می شوند.
شبکه مرز های کنترل حجم را تعریف می کند
درحالیکه گره محاسباتی در مرکز کنترل حجم قرار
می گیرد.
حفظ یکپارچگی است که دقیقا در تمام
FVMمرزی
مزیت گره
کنترل حجم راضی کننده است.
کنترل حجم
گره محاسباتی
کنترل حجم نوعی
جریان شبکه از طریق کنترل مرز حجم مجموعه ای از
انتگرال ها در تمام چهار حالت
کنترل حجم بدست می آید.
کنترل حجم ها هم پوشانی نمی کند.
دسترس نیست
مقدار تابع زیر انتگرال در کنترل حجم در
Dx
تعیین می شود.
یابی
درون
و با انترپوالسیون یا
N
NE
NW
dyn
E
e
w
W
s
S
SE
P
SW
Dy
dys
j,y,v
i,x,u
dxe
10
dxw
n
Domain, Zone, Grid, and Cell
The control volumes exists at several levels:
1.
2.
3.
4.
1 Domain
Flow Domain, Extent of CFD analysis
Zone, Divide domain for convenience, if needed
Grid, Divides the zone into cells
Cell, Smallest control volume, but “finite”
4 Zones
Let’s Examine
a hexahedral
cell
Each control volume is “air-tight”
Grid in each zone
with 1000s of cells
11
محاسبه میدان به روش حجم محدود
شده
را
دامنه محاسبه
به تعدادی
متناهی حجم کنترل شده
تقسیم می کند
شبکه سطح
شبکه حجم
حجم
شده
کنترل
طبقه بندی کلی شبکه ها
شبکه ها به دو نوع ساختیافته و غیرساختیافته
طبقه بندی می شود:
شبکه ساختیافته از توپولوژی استفاده می کند که
در آن سلول ها با آرایش ساختیافته منظم می شوند.
مکان سلول های همسایه در شاخص آرایه ) (i,j,kاست.
این اجازه ذخیره کافی و نگهداری اطالعات سلول را
می دهد.
شبکه غیرساختیافته هیچ ترتیب ذاتی سلولی ندارد.
ترتیب سلول ها باید پیچیده باشد .شبکه های غیر
ساختیافته به انعطاف پذیری بیشتر در تولید و
سازگاری شبکه ها با هزینه ذخیره سازی اطالعات
سلولی بیشتر نیازمند است.
ساختیافته و
13
شبکه های هیبرید شامل هر دو شبکه
غیر ساختیافته در مناطق مجزا است.
مثال شبکه ساختیافته
14
شبکه متناسب با بدنه
است که شکل بدنه را
ادامه می دهد.
نقاظ شبکه (راس)در
یک ساختار آرایه با
شده
)(i,j,kمنظم
شاخص
است.
تغییر شکل بین فضای
فیزیکی( (X,Y,Zو فضای
محاسباتی کارتزین با
جهات مختصات)(, ,
نقاط شبکه به بال
تفکیک
ایجاد
برای
الیه مرزی جمع اوری
می شود.
سلول ها شش گوشه ای
هستند.
, j
, i
, k
نمونه شبکه غیر ساختیافته
شبکه متناسب با جسم
را
جسم
شکل
،
دنبال می کند.
ساختار
شبکه
نقاط
خاصی ندارند .
هیچ تغییر شکلی از
فضای فیزیکی )(x,y,z
و فضای محاسباتی
وجود ندارد.
15
نقاط شبکه در سطح
مجرا برای ارائه
الیه
مرز
تفکیک
خوشه ای شده است.
هدف ازفرمول های FVM
ارائه معادله انتگرال به عنوان معادله
دیفرانسیل معمولی (در نهایت معادله جبری)
تابع حل با استفاده از روش های محاسباتی (عددی)
بنابراین ما نیاز به تقریب حجم انتگرال ها و
سطح انتگرال ها برای تشکیل بیان جبری داریم.
در ادامه بحث این تقریب ها ،کنترل حجم ها را
بررسی می کنیم که در آن انتگرال ها تقریبی
خواهد شد.
معادالت دیفرانسیل با مشتقات جزیی
معادله انتقال :
که Tماده انتقال یافته به عنوان مثال دما رطوبت یا
غلظت یک آالینده است .
بردار Uسرعت معلوم فرضی است .
αضریب انتشار است که هم می تواند نفوذ مولکولی و هم
ترکیب گردابی باشد.
جریان را تراکم ناپذیر فرض می کنند پس معادله پایستگی
جرم به فرم زیر است :
از آنجایی که داریم:
پس معادله انتقال _انتشار به فرم زیر در می آید:
فرم انتگرالی قانون پایداری
معادالت دیفرانسیل بامشتقات جزیی برای تمامی نقاط در
حوزه هایی که می توانیم به عنوان حجم های بی نهایت
کوچک در نظر بگیریم معتبر است.با پیش بینی اینکه حجم
های گسسته و بی نهایت کوچک مقرون به صرفه نیستند و
در اندازه های محدود ممکن است نا هنجار باشند.
لذا برای یک حجم محدود δVکه توسط سطح δSمحصور شده است
انتگرال های قانون پایداری به فرم های زیر در می آیند:
انتقال انتشار Tدر میان
δS
شار افقی
حامل Tدرون
δS
نرخ تغییرات
مقدار T
درون حجم δV
ادامه
در واقع معادالت انتگرالی قانون پایداری چه هر حجم δV
یک سلول محاسباتی باشد چه سراسر حوزه یک اقیانوس
یا جو زمین باشد اعمال می شود.
میانگین Tدر حجم : δV
پس می توانیم
بنویسیم :
معادالت
انتگرالی
را
به
صورت
زیر
معادالت در فرم انتگرالی به
همانطور که میبینیم
ترتیب مشتق مرتبه صفر و اول دارند که این کاهش
مرتبه مشتق برای راه حل هایی که سیال یا جسم با
سرعت بسیار زیاد در فضا تغییر می کند و ناپیوستگی
ایجاد می شود مانند موج های شوک مافوق صوت در جو
بسیار مهم است.
طرح کلی روش های حجم محدود
باز سازی تابع:
حوزه را به سلول های δVjتقسیم می کنیم
تابع Tرا به یک چند جمله ای تقسیم می کنیم
δVj+mسلول های Pهستند که سلول δVjرا احاطه نموده اند.
Φnتناسب Pاست که توابع درون یابی را انتخاب می کنند.
وضریب anبه سادگی از معادله جبری زیر بدست می آید:
ادامه
ارزیابی انتگرال ها :
معموال انتگرال ها بصورت عددی با استفاده از مربعات نوع
گوس (تعیین مساحت زیر منحنی گوس) سنجیده می شوند .
Φnتعداد نقاط مربعات را برای چند جمله ای های درجه P
تعیین می کنند.
بنابراین درطی انتگرال فضایی خطایی وارد نمی شود
وداریم:
ωkوزن های مربعات گوس هستند که یک شیوه مناسب برای
انتگرال های چند بعدی است.
~xqنقاط مربعات Qهستند وδSjعوامل بازنمایی سطح
δSjهستند.
انتگرال گیری موقتی:
منشا خطا
بوسیله
استفاده
روش های
از انتگرال گیری زمانی سرچشمه می گیرد.که
آن شارها برای پیشرفت راه حل در زمان با
از یک روند حرکت زمانی ( )la Forward Eulerیکی از
Runge Kuttaیا روش های کالس Adams-Bashforthاستفاده
حجم محدود در یک بعد
سلول ها قسمت های خطی هستند و عرض سلول ها را δxمی
گیریم.
که برای شکل باال قانون پایداری به فرم زیر در می آید:
شار
شار انتشاری در
افقی
هستند.
و
حجم محدود در یک بعد
روش باز سازی تابع :در این روند ها می توان مطابق
زیر پیش از انتگرال گیری زمان به جلو برده شود.فرض
کنید:
در اینجا anضرایب P +1هستند که الزم است از حالت های P
+1روی میانگین های چند جمله ای در واحد های متعدد
تعین شوند.
منشا و مقیاس دستگاه هم پایه به مرکز سلول jبرگردانده
شده است طوری که حاشیه های چپ و راست در یک طول از -
1/2و 1/2به ترتیب واقع می شوند.اکنون پر کردن درایه
های ماتریس به فرم زیر است:
حجم محدود در یک بعد
ثابت قطعه به قطعه (تکه ای):
ساده ترین حالت برای در نظر گرفتن حالتی است که تابع
در یک واحد همانطور که
در شکل نشان داده شده است ثابت است لذا تقریب و
معادالت ذیل را داریم:
حاصل انتگرال
در واحد : j
در نقاط حاشیه امکان دو تقریب وجود دارد یکی از واحد
چپ jودیگری واحد راست .j+1
یک برهان شهودی فیزیکی این است که اطالعات نزدیک به
حاشیه بایست از واحد رو
حجم محدود در یک بعد
نمودار خطی تکه ای:
یک بهبودی نسبت به تقریب عدد ثابت تصور کردن تغیرات
خطی برای تابع در واحد
است بنابراین تقریب و روابط زیر را داریم:
برای محاسبه تابع کافی است
در مرز سلول
حجم محدود در یک بعد
رسم سهمی تکه ای :
برای درج سهمی واقع در مرکز واحد های j+1و j-1چند جمله
ای چنین شکلی را پیدا می کند:
مقدار حاشیه خانه می تواند با قرار
در
در عبارت فوق محاسبه
دادن
شود تا معادله زیر بدست آید:
حجم محدود در یک بعد
معتبر سازی و صدق بازسازی:
به منظور توصیف روند ها به طور دقیق ما به حل یک مسئله
با یک راه حل معلوم ومقایسه نتایج
با آنچه حاصل نمودار عددی است نیاز داریم .در همه
موارد ما عالقمند به کنترل و کاهش خطا
با افزایش تعداد واحد ها (سلول ها) برای توابع مختلف و
برای یکی از روند های باز سازی
می باشیم.
باز سازی تابع T = cos πxدر فاصله −1 ≤ x ≤ 1با آغاز از
میانگین واحد تحلیلی آن در واحد
jبه صورت ذیل است:
اشکال بازسازی تابع T = cos πx
اشکال ساده سلولی
اغلب فرضیات برای آسان تر کردن هندسه ،جریان میدان،
شبکه و سلول ها از هندسه سه بعدی استفاده می شود.
سلول سه بعدی .Quasiشبکه مسطح ) (x,yکه مختصات zبرای
نشان دادن عمق سلول به کار می رود.
سلول متقارن محوری مسطح .شبکه مسطح ) (x,yاست و y
نشاندهنده فاصله از محور تقارن است .زاویه گووه
متقارن محوری نشان دهنده عمق است.
) (x,yاست و مختصات z
سلول دو بعدی مسطح .سلول مسطح
نشاندهنده عمق ثابت از سلول است.
سلول یک بعدی . Quasiشبکه یک بعدی ) (xبا محدوده سطح
متقاطع است و در امتداد xاست.
سلول یک بعدی .شبکه یک بعدی ) (xبا منطقه سطح متقاطع
ثابت در امتداد xاست.
29
اشکال سلولی دیگر
شبکه ساختاری تنها شامل سلول های با حجم محدود با شکل
شش وجهی است .شبکه های
غیر ساختاری به آزادی بیشتری برای اشکال سلول اجازه می
دهد.
امکانات عبارتند از:
سلول کلی (وجه های چهار ضلعی ،xوجه های سه ضلعی)Y
سلول منشوری (سه وجه چهار ضلعی ،دو وجه سه ضلعی)
سلول هرمی (یک وجه چهار ضلعی ،چهار وجه سه ضلعی)
سلول چهار ضلعی (چهار وجه سه ضلعی)
حفظ هندسی وجه های ساده ،چهار ضلعی یا سه ضلعی سلول با
کناره های خط مستقیم
معموال استفاده می شود .هندسه و برآیند محدوده طبیعی سه
ضلعی منحصرا شناخته شده
30است ،چهار ضلعی ها معموال به سه ضلعی برای محاسبه ویژگی
بمب افکن
B2با تکنولوژی پیشرفته
هندسه و تولید شبکه:
ابعاد پایه :طول 20.9متر 5.1 ،متر ارتفاع و 52.43متر
طول بال های هواپیما
بخش ایرفویل مورد استفاده برای بال( 180E :مورد استفاده
در مدل رادیو کنترل هواپیما)
میانگین ابعاد سلول 0.9 :میلی متر در جهت طولی و 1.7
میلی متر در جهت پهنا
شبکه حجم 52 :بلوک ،تقریبا 1.5 .میلیون سلول ،گره های
خوشه ای در نزدیکی سطح
طول بال های هواپیما از شبکه 293.9 :میلی متر
با تکنولوژی پیشرفته
Rendered Image of B2 Surface
Grid
B2 بمب افکن
Image of the B2 in
flight
بمب افکن B2
با تکنولوژی پیشرفته
B2 Surface Grid (close view):
B2– بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته
Surface Currents on B2 – Nose-on incidence @ 300 MHz,
HH polarization
بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته –B2
)Bi-static RCS Plot @ 300 MHz (HH
بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته –B2
Monostatic RCS Plot @ 300 MHz
ماشین روی عرشه آب گرفته
جریان در اطراف مدل کشتی
جریان در اطراف مدل کشتی
مقایسه مشخصات موج در امتداد بدنه با محاسبه در
TUHHشامل داده های تجربی بدست آمده در موسسه
تحقیقات کشتی توکیو
جریان در اطراف سطح پر سر و صدای پروانه
روش حجم محدود :خالصه
پایستگی مورد استفاده
FVMاز معادله انتگرال
در کنترل حجم ها استفاده می کند که طبقه بندی
حوزه میدان حل را به کل میدان حل به درستی شیفت
می دهد
با
حجم
کنترل
حاالت
در
متغیر
مقادیر
اینترپوالسیون یا درون یابی تعیین می شود.
انتشار از وابستگی به انتخاب طرح اینترپوالسیون
ناشی می شود.
شبکه باید برای کاهش خطا دوباره تعریف شود.
مزایای :FVMانتگرال پایستگی دقیقا قانع کننده
است و روش محدود به نوع شبکه ساخت یافته یا غیر
ساختیافته ،دکارتی یا ( )body-fittedنیست .
همیشه همگرائی مناسبی دارد.
:مراجع
[1] R. E. Bank and D. J. Rose. Some error estimates for the box method. SIAM J. Numer. Anal., 24:777–787,
1987.
[2] Z. Cai. On the finite volume element method. Numer. Math., 58(1):713–735, 1990.
[3] Z. Cai, J. Mandel, and S. F. McCormick. The finite volume element method for diffusion equations on
general triangulations. SIAM J. Numer. Anal., 28:392–402, 1991.
[4] P. Chatzipantelidis. Finite volume methods for elliptic PDE’s: a new approach. M2AN Math. Model. Numer.
Anal., 36(2):307–324, 2002.
[5] L. Chen. A new class of high order finite volume methods for second order elliptic equations. SIAM J.
Numer. Anal., 47(6):4021–4043, 2010.
[6] S.-H. Chou, D. Y. Kwak, and Q. Li. Lp error estimates and superconvergence for covolume or finite volume
element methods. Numer. Methods Partial Differential Equations, 19(4):463–486, 2003.
[7] S.-H. Chou and Q. Li. Error estimates in L2; H1 and L1 in covolume methods for elliptic and parabolic
problems: a unified approach. Math. Comp., 69(229):103–120, 2000.
[8] R. E. Ewing, T. Lin, and Y. Lin. On the accuracy of the finite volume element method based on piecewise
linear polynomials. SIAM J. Numer. Anal., 39(6):1865–1888, 2002.
[9] R. Eymard, T. Gallou¨et, and R. Herbin. Finite volume methods. In Handbook of numerical analysis, Vol.
VII, Handb. Numer. Anal., VII, pages 713–1020. North-Holland, Amsterdam, 2000.
[10] W. Hackbusch. On first and second order box schemes. Computing, 41(4):277–296, 1989.
[11] J. Huang and S. Xi. On the finite volume element method for general self-adjoint elliptic problems. SIAM J.
Numer. Anal., 35(5):1762–1774, 1998.
[12] R. Li, Z. Chen, andW.Wu. Generalized difference methods for differential equations, volume 226 of Monographs
and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker Inc., New York, 2000. Numerical
analysis of finite volume methods.
[13] R. H. Li. On the generalized difference method for elliptic and parabolic differential equations. In Proc. of
the Symposium on the Finite Element Method between China and France, Beijing, China, 1982.
[14] T. Russell and M. Wheeler. Finite element and finite difference method for continuous flows in porous
media. Frontiers in Applied Mathematics, 1:35, 1983.
[15] E. S¨uli. Convergence of finite volume schemes for Poisson’s equation on nonuniform meshes. SIAM J.
Numer. Anal., 28(5):1419–1430, 1991.
[16] J. Xu and Q. Zou. Analysis of linear and quadratic simplicial finite volume methods for elliptic equations.
Numer. Math., 111(3):469–492, 2009.
با تشکر
فراوان
[email protected]
www.eedd.ir