Transcript دانلود پاورپوینت

‫به نام خدا‬
‫محاسبات عددی‬
‫مهدی شاداب فر‬
‫کالس ماشین حساب ‪CASIO fx2‬‬
‫فصل دوم – روش نصف کردن فاصله ها )‪(NESF‬‬
‫مثال ‪-1.2‬ص‪34‬‬
‫‪f ( x )  x 3  x 2  3x  3  0‬‬
‫‪1 r  2‬‬
‫‪f (1)  4‬‬
‫‪f ( 2)  3‬‬
‫)‪f(x3‬‬
‫)‪f(x2‬‬
‫)‪f(x1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫مرحله‬
‫‪-1.875‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.17187‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1.875‬‬
‫‪1.75‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-0.94335‬‬
‫‪0.17187‬‬
‫‪-1.875‬‬
‫‪1.625‬‬
‫‪1.75‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-0.40942‬‬
‫‪0.17187‬‬
‫‪-0.94335‬‬
‫‪1.6875‬‬
‫‪1.75‬‬
‫‪1.625‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-0.12478‬‬
‫‪0.17187‬‬
‫‪-0.40942‬‬
‫‪1.71875‬‬
‫‪1.75‬‬
‫‪1.6875‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0.02198‬‬
‫‪0.17187‬‬
‫‪-0.12478‬‬
‫‪1.73437‬‬
‫‪1.75‬‬
‫‪1.71875‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1.72656‬‬
‫‪1.73437‬‬
‫‪1.71875‬‬
‫‪7‬‬
‫فصل دوم – روش درون یابی خطی )‪(DARON-LN‬‬
‫مثال ‪-2.2‬ص‪38‬‬
‫‪f ( x )  x 3  x 2  3x  3  0‬‬
‫‪1 r  2‬‬
‫‪f (1)  4‬‬
‫‪f ( 2)  3‬‬
‫)‪f(x3‬‬
‫)‪f(x2‬‬
‫)‪f(x1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫مرحله‬
‫‪-1.36449‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪1.57142‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-0.24784‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1.36449‬‬
‫‪1.7054‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.57142‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-0.03936‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-0.24784‬‬
‫‪1.72788‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.7054‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-0.00615‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-0.03939‬‬
‫‪1.7314‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.72788‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1.73194‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.7314‬‬
‫‪5‬‬
‫اجرای برنامه روش درون یابی اصالح شده )‪ (DARON-SL‬و درون یابی وتری )‪ (DARON-VT‬نیز مشابه روش‬
‫درون یابی خطی می باشند‪.‬‬
(TEKRAR-T) ‫فصل دوم – روش تکرار تابعی‬
43‫ص‬-4.2 ‫مثال‬
f ( x)  x 2  2 x  3  0
x  2x  3
x2  3
x
2
if x  g ( x)  g ( x)  1

a xb
x  4  x  g ( x )  2  4  3  3.316
1
2
1
x  g ( x )  2  3.316  3  3.104
3
2
x4  g ( x3 )  2  3.104  3  3.011
x5  g ( x4 )  2  3.011  3  3.004
 x3
2
f ( x)  x  2 x  3  0  
 x  1
3
x ( x  2)  3  0  x 
x2
x1=4
x2=1.5
x3=-6
x4=-0.375
x5=-0.263
x6=-0.919
x7=-1.028
x8=-3.991
x9=-1.003
‫فصل دوم – روش تسریع ایتکن‬
r
xn xn  2  xn21
xn  2  2 xn 1  xn
48‫ص‬-5.2 ‫مثال‬
f ( x)  x 2  2 x  3  0
x  2x  3
x1  4  x 2  g ( x1 )  2  4  3  3.316
x 3  g ( x 2 )  2  3.316  3  3.104
4  3.104  3.316 2
r
 3.009
3.104  2  3.316  4
(NIOTON) ‫فصل دوم – روش نیوتن‬
f ( x )  3x  sin x  e x
f ( x )  3  cos x  e x
50‫ص‬-6.2 ‫مثال‬
f ( xn )
3xn  sin xn  e xn
xn 1  xn 
 xn 1  xn 
f ( xn )
3  cos xn  e xn
f (0)
1
x1  0  x2  0 
 0
 0.333
f (0)
3
f (0.333)
 0.068418
x3  0.333 
 0.333 
 0.363017
f (0.333)
2.54934
f (0.363017 )
x4  0.363017 
 0.363217
f (0.363017 )
f ( x)  0
(MULLER) ‫فصل دوم – روش مولر‬
 h1  x1  x0
h2
x2  x0  x1  
 
h1
h2  x0  x2
a
 f 1  f0 (1   )  f 2
 h12 (1   )
2c
r  x0 
b  b2  4 ac
f1  f 0  a h12
b
h1
c  f0
60‫ص‬-8.2 ‫مثال‬
x
f ( x )  sin x 
2
x0=2
x1=2.2
x2=1.8
a=-0.45312
r=1.89526
f(x0)=-0.09070
f(x1)=-0.29150
f(x2)=0.07385
b=-0.91338
h1=0.2
h2=0.2
γ=1
c=-0.0907
x0=1.89526
x1=2
x2=1.8
a=-0.4728
r=1.895494
f(x0)=1.9184e-4
f(x1)=-0.0907
f(x2)=0.07385
b=-0.81826
h1=0.10474
h2=0.09526
γ=0.9095
c=1.9184e-4
(GUSE HZF) ‫فصل سوم – روش حذفی گوس‬
1 3 4   x1  2
2 7 18  x   1

  2  
7 1 3   x3  5
101‫ص‬-1.3 ‫مثال‬
.‫ ضرب کرده با سطر دوم جمع می کنیم‬-2 ‫سطر اول را در‬
.‫ ضرب کرده و با سطر سوم جمع می کنیم‬-7 ‫سطر اول را در‬
3
4   x1   2 
1
0 1
10   x2     3

   
0  20  25  x3   9
.‫ ضرب و با سطر سوم جمع می کنیم‬20 ‫سطر دوم را در‬
x3  0.3942
1 3 4   x1   2   x1  3x2  4 x3  2
0 1 10   x     3    0 x  x  10 x  3
 x2  0.9428
3

  2 
  1 2
x1  0.7485
0 0 175  x3   69 0 x1  0 x2  175 x3  69
(~GOASSID) ‫~( و گاوس سایدل‬JAKOOBI) ‫فصل سوم – روش ژاکوبی‬
.‫ شرط همگرائی این است که ماتریس ضرائب قطری مسلط باشد‬:‫نکته‬
0   x1  12
 4 7
  6 0 14   x    0 

  2  
 12  4  6  x3   1 
 7  4 0   x2  12
 0  6 14   x1   0 

   
 4 12  6  x3   1 
 7  4 0   x2  12
 4 12  6  x1   1 

   
 0  6 14   x3   0 
(LEVERIE1) ‫فادیو‬-‫فصل چهارم – روش لوریه‬
 2 3 2
A  10 3 4


 3 6 1
1 0 0
I  0 1 0


0 0 1
141‫ص‬-4.4 ‫مثال‬
 2 3 2
A1  A  10 3 4


 3 6 1
2
 4 3
A1  C 1. I   10  3 4 


6  5
 3
tr ( A1)  2  3  1  6  C 1  tr ( A1)  6
28 9 6 
A2  A ( A1  C 1. I )   2 45 12 


51  3 25
6 
66 0 0 
 21 9
A2  C 2 . I   2  4 12  A3  A ( A2  C 2 . I )   0 66 0 




 0 0 66
 51  3  24
1
C 2  tr ( A2 )  49
2
1
C 2  tr ( A3 )  66
3
 1

3
2
  C1  C2  C3  0  2

 3
(TAVANI1) ‫فصل چهارم – روش توانی‬
 2 3 2
A  10 3 4


 3 6 1
142‫ص‬-5.4 ‫مثال‬
1
7
N  0  Z (0)  1  y (0)  AZ (0)  17   0  17

 
1
10
0.4118
 5 
(
0
)
y
N  1  Z (1) 
  1   y (1)  AZ (1)  9.4708   1  9.4708



0 
0.5882 
7.8236
0.5279 
 5.708 
N  2  Z ( 2) 
  1   y (2)  AZ (2)  11.583   2  11.583



1 
0.8260 
 7.062 
y (1)
i
0
1
2
3
4
x(i)
1
1.3
1.6
1.9
2.2
 i ( x) 
x(i)
1.3
1.6
f ( x)  Pn ( x)  E( x)
n
Pn ( x)  i ( x) f i
i 0
( x  x0 ) ( x  x1 ) ...( x  xi 1 ) ( x  xi 1 ) ( x  xi 2 ) ... ( x  xn )
( xi  x0 ) ( xi  x1 ) ...( xi  xi 1 ) ( xi  xi 1 ) ( xi  xi 2 ) ... ( xi  xn )
n
P1( x )    i ( x ) fi
i 0
P1( x )   0( x ) f 0   1( x ) f1
f (1.5)  ?
i
0
1
(LAGRANJ) ‫فصل پنجم– روش الگرانژ‬
fi=Pi
0.7652
0.62009
0.4554
0.28182
0.11036
fi=Pi
0.62009
0.4554
 0 ( x) 
x  x1
x  1. 6

x0  x 1 1.3  1.6
,
 1( x ) 
x  x0
x  1.3

x 1  x0 1.6  1.3
f (1.5)  P1(1.5)   0 (1.5) f 0   1(1.5) f1

1.5  1.6
x  1.3
 0.6200860 
 0.4554022  0.5102986
1.3  1.6
1.6  1.3
‫‪fi=Pi‬‬
‫‪0.62009‬‬
‫‪0.4554‬‬
‫‪0.28182‬‬
‫)‪x(i‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1.9‬‬
‫‪i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (1.5)  P2 (1.5)  0 (1.5) f 0  1 (1.5) f1  2 (1.5) f 2‬‬
‫)‪( x  1.6) ( x  1.9‬‬
‫)‪( x  1.3) ( x  1.9‬‬
‫)‪( x  1.3) ( x  1.6‬‬
‫‪, 1 ( x) ‬‬
‫‪,  2 ( x) ‬‬
‫)‪(1.3  1.6) (1.3  1.9‬‬
‫)‪(1.6  1.3) (1.6  1.9‬‬
‫)‪(1.9  1.3) (1.9  1.6‬‬
‫‪0 ( x) ‬‬
‫‪P2 (1.5)  0.511287‬‬
‫در این مثال چون ‪ 5‬نقطه داریم حداکثر می توانیم یک چند جمله ای الگرانژ درجه ‪ 4‬تقریب بزنیم‪.‬‬
‫فصل پنجم– روش نیویل )‪(NIVIL‬‬
‫یکی از مشکالت اصلی روش الگرانژ این است که کار الزم برای محاسبه تقریب به وسیله چند جمله درجه دو کار‬
‫الزم برای محاسبه تقریب سه را کم نمیکند‪.‬‬
‫‪( x  xi )  Pi 1, j 1  ( x i  j  x)  Pi , j 1‬‬
‫‪x i  j  xi‬‬
‫‪(27.5  41.6)  0.17537  (10.1  27.5)  0.66393‬‬
‫‪ 0.44524‬‬
‫‪10.1  41.6‬‬
‫‪(27.5  41.6)  0.37379  (50.5  27.5)  0.44524‬‬
‫‪ 0.55843‬‬
‫‪50.5  41.6‬‬
‫‪fi=Pi‬‬
‫‪Pi1‬‬
‫‪Pi2‬‬
‫‪Pi3‬‬
‫‪Pi4‬‬
‫‪0.52992 0.46009 0.462 0.46174 0.45754‬‬
‫‪0.37784 0.456 0.46071 0.47901‬‬
‫‪0.66393 0.44524 0.55843‬‬
‫‪0.17537 0.37379‬‬
‫‪0.63608‬‬
‫)‪x(i‬‬
‫‪32‬‬
‫‪22.2‬‬
‫‪41.6‬‬
‫‪10.1‬‬
‫‪50.5‬‬
‫‪Pi j ‬‬
‫‪P21 ‬‬
‫‪P22 ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
(TAFAZOLM) ‫فصل پنجم– روش تفاضل محدود‬
i
0
1
2
3
4
x(i)
x0
x1
x2
x3
x4
fi
f(x0)
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
Pn ( x)  a 0  ( x  x 0 ) a 1  ( x  x 0 ) ( x  x 1 ) a 2 ... ( x  x0 ) ( x  x1 )...( x  xn1 ) an
f ( x0 )  Pn ( x0 )  a 0  a 0  f ( x0 )
f ( x1 )  Pn ( x1 )  a 0  ( x1  x0 ) a 1  a 1 
f ( x1 )  f ( x0 )
x1  x0
a 0  f ( x0 )  f [ x0 ]
a1 
f ( x1 )  f ( x0 )
f [ x1 ]  f [ x0 ]
 f [ x0 , x1 ] 
x1  x0
x1  x0
a 2  f [ x0 , x1 , x2 ] 
f [ x1 , x2 ]  f [ x0 , x1 ]
x2  x1
f [ x1 , x2 , x3 ]  f [ x0 , x1 , x2 ]
a 3  f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] 
x3  x0
a 4  f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] 
f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]  f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
x 4  x0
f [ x1, ... , xn ]  f [ x0 , x1, ... , xn 1 ]
f [ x0 , x1, x2 , ... , xn ] 
x n  x0
y
‫فصل پنجم– روش حداقل مربعات‬
n
2
e   (Y  y )2
i 1
x
x
1
2
3
4
5
Y
2.5
3.25
-2
5.6
7
y  ax 2  bx  c
5
2
e   (Y  ax 2  bx  c)2
i 1
5
5 2
e 2
2
2
 0    2 x (Y  ax  bx  c )  0   ( x Y  ax 4  bx 3  cx 2 )  0
a
i 1
i 1
5
5 2
e 2
2
2
 0    2 x (Y  ax  bx  c )  0   ( x Y  ax 4  bx 3  cx 2 )  0
a
i 1
i 1
5
5 2
e 2
2
2
 0    2 x (Y  ax  bx  c )  0   ( x Y  ax 4  bx 3  cx 2 )  0
a
i 1
i 1
a  x 4  b x 3  c  x 2   x 2 y  x 4  x 3  x 2  a  x 2Y 
  






3
2
3
2


x
 x  b    xY 
 a  x  b x  c  x   xY    x
 x2
 c  Y 
 a x2  b x  n c  Y
x
n
 
















y  a ebx  Lny  Lna  bx  y  A  bx
x
Y
2
5
3
8
4
2
5
0.5
6
7
x
2
3
4
5
6
Ln Y 1.6094 2.07944 0.69315 -0.6931 1.94591
n
2
z  ax  by  c  e   ( Z  z )2
i 1
‫فصل هفتم– روش ذوزنقه‬
‫‪ZOZANAG2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.9‬‬
‫‪2.3‬‬
‫‪2.7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.6‬‬
‫فقط ‪ y‬ها را وارد ماتریس ‪ A‬می کنیم‪.‬‬
‫‪ZOZANAG1‬‬
‫‪H  0.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I   e x dx‬‬
‫‪0‬‬
‫فصل هفتم – روش سیمپسون ‪ 1/3‬و ‪3/8‬‬
‫‪SIMP-3/8‬‬
‫‪SIMP3/8‬‬
‫عدد‬
‫تابع‬
‫تعداد پانل ها باید فرد باشد‪.‬‬
‫روش رامبرگ )‪(RAMBERG‬‬
‫‪SIMP-1/3‬‬
‫عدد‬
‫‪SIMP1/3‬‬
‫تابع‬
‫تعداد پانل ها باید زوج باشد‪.‬‬
(OILR~DIF) ‫فصل هشتم– روش اویلر‬
y  f ( x, y )
y ( x0 )  y0
 y ( xn )  ?
h  h0
y( xn1)  y( xn )  h y( xn )  y( xn )  h f ( xn , yn )
334‫ص‬-2.8 ‫مثال‬
y  2 x  y , y(0)  1 , h  0.1 , y(0.4)  ?
xn
0
0.1
0.2
0.3
0.4
yn
-1
-0.9
-0.93
-0.787
-0.7683
y.
1
0.7
0.43
0.187
-0.0317
h y.
0.1
0.07
0.043
0.0187
(RANG~K2) 2 ‫فصل هشتم– روش رانج کوتای مرتبه‬
y   f ( x, y )
yn 1  yn  a k1  bk 2
k 1  h f ( xn , y n )
k 2  h f ( xn  h, yn   k1 )
342‫ص‬-9.8 ‫مثال‬
y  xy , y(2)  1 , h  0.1 , y(2.4)  ?
xn
2
2.1
2.2
2.3
2.4
yn
1
1.226
1.5179
1.8978
2.3962
k1
0.2
0.2574
0.3339
0.4365
k2
0.252
0.3263
0.4259
0.5602
(RANG~K4) 4 ‫فصل هشتم– روش رانج کوتای مرتبه‬
y   f ( x, y )
yn 1  yn  a k1  bk 2  ck 3  dk 4
k 1  h f ( xn , y n )
k 2  h f ( xn  h, yn   k1)
k 3  h f ( xn   h , y n   k 1   k 2 )
k 4  h f ( xn   h, yn   k1   k 2   k 3)
343‫ص‬-10.8 ‫مثال‬
y  2 x  y , y(0)  1 , h  0.1 , y(0.5)  ?
xn
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
yn
-1
-0.9145
-0.8562
-0.8225
-0.811
-0.81959
k1
0.1
0.0715
0.0456
0.0222
0.0011
k2
k3
0.085 0.0858
0.0579 0.0586
0.333
0.034
0.0111 0.0117
-0.009 -0.0085
k4
0.0714
0.0456
0.0222
0.0011
-0.0181
‫فصل هشتم– روش میلن سیمپسون یا پیش بینی تصحیح )‪(MILEN S‬‬
‫) ‪y  f ( x, y‬‬
‫) ‪( xn3, yn3) , ( xn2 , yn2 ) , ( xn1, yn1) , ( xn , yn‬‬
‫‪4‬‬
‫)) ‪yn 1  yn 3  h (2 f ( xn 2 , yn 2 )  f ( xn 1, yn 1)  2 f ( xn , yn‬‬
‫‪3‬‬
‫‪h‬‬
‫))‪yn 1  yn 1  ( f ( xn 1, yn 1)  4 f ( xn , yn )  f ( xn 1, yn 1‬‬
‫‪3‬‬
‫فرمول پیش بینی را به کار می بریم ‪P‬‬
‫مقدار )‪ f(x,y‬را محاسبه می کنیم ‪E‬‬
‫فرمول تصحیح را بکار می بریم ‪C‬‬
‫عملیات را تا رسیدن به نتیجه مطلوب ادامه می دهیم )‪P(EC‬‬
345‫ص‬-11.8 ‫مثال‬
y  xy , y(2)  1 , h  0.1 , y(2.4)  ?
y (2.1)  y1  1.22753
y (2.2)  y 2  1.52196
y (2.3)  y 3  1.90599
f  2.57781
f  3.34831
f  4.38378
( 0)
P : y4  2.40998
E : f ( x 4, y (0) 4)  5.78395
(1)
C : y4  2.4108727
(1)
PEC : y4  2.4108727
E : f ( x 4, y4(1) )  5.78609
( 2)
C : y4  2.41094
P ( EC ) 2 : y
( 2)
 2.41094
4