Transcript Slide 1
فص ل چهارم ”انت ”را ل گيريعددي ومشتق گيري گ محاسبات عددی پیشرفته ا ستاد :آقايدکتر م يرزا یی ه يهکنند گا ن : ت سید موسی کیا علی آغرقی زمستان 93 انت ”را ل گيريعددي : اگر در رابطه تابع fبه صورت جدولي وجود داشته باشد از روش انتگرال گيري عددي براي حل مسئله استفاده مي کنیم .برای همين منظور از چندجمله ای درون یاب استفاده می کنیم . روشهايانت ”را ل گيري : باا ستفاد هازچندجملهاي درونيا ب خ ط ی DIRECT FIT POLYNOMIALS ات س فر مولهاينيوت ن –ک o o o o رو ش مستط يلی رو ش ذوزنقهاي ان و ن 1/3سيمپس و ن ق ان و ن 3/8سيمپس و ن ق رو ش مربعات گاو س (دونقط هاي – سهنقط هاي و)..... كته :از روشهاي فوق براي محاسبه انتگرالهايي استفاده ميشود كه تابع زير انتگرال در بازه aتا bداراي نقطه منفرد ( تكين ) ن نباشد. ات س : فر مولهاينيوت ن –ک اگر تابع Fبه Nنقطه با فواصل مساوی hتقسیم شده باشد میتوانیم ازچندجمله ای درونیاب تفاضالت پیشرو نیوتن استفاده کنیم. فرمول ()1 که پارامتر درونیاب sبه صورت مقابل دست می اید : همانطور که در فرمول 1مشخص است تابع fبصورت صریح براساس متغیر xمیباشد در حالیکه تابع درونیاب pبصورت صریح براساس متغیر s بیان شده لذا میبایست طرف راست فرمول 1را براساس متغیر sبیان کنیم: حدود انتگرالگیری x=a,x=bرا نیز برحسب sبیان کنیم : X=a به عنوان نقطه شروع (پایه) تابع درونیاب درنظر میگیریم s=0 X=b را منطبق بر sدرنظر میگیریم s=s باانتخاب درجات مختلف nاز چند جمله ای درونیاب فرمولهای مختلف نیوتن -کاتس مطابق جدول ذیل حاصل می شود: روش مستطیلی دقت خیلی کمی دارد. تعار ی ف: رنج انتگرالگیری :فاصله بین حد باال و پایین : Increment فاصله بین هر دو نقطه متوالی : intervalبازه چندجمله ای درونیاب خطی :به یک intervalکه شامل فقط یک incrementباشد نیاز دارد. چندجمله ای درونیاب درجه دوم :به دو intervalکه شامل دو incrementباشد نیاز دارد. رو ش ذوزنقهاي : با توجه به جدول از چند جمله ای درونیاب درجه اول با یک interval استفاده می کنیم. ا ص لانت ”را ل درک لباز ه : ح مثال :حاصل انتگرال با 1 0.75 0.5 0.25 0 ان و ن 1/3سيمپس و ن : oق با توجه به جدول از چند جمله ای درونیاب درجه دوم با دو intervalاستفاده می کنیم. در و با جایگذاری فرمول فوق و انتگرال گیری داریم : اعد ه سيمپس و ن مثال :ق ان و ن 3/8سيمپس و ن : oق با توجه به جدول از چند جمله ای درونیاب درجه سوم با سه nterval و و با جایگذاری در فرمول فوق و انتگرال گیری داریم : ات س رو ش چهارنقط هاين يوت ن –ک لذا برای nنقطه خواهیم داشت: ( رو ش چهارنقط هاي ) اعد هکلیانت ”را ل گيري) ق رو ش مربعات گاو س (: روشهای ارائه شده تاکنون براساس تقسیم بازه به فواصل +1چند مساوی بود حال اگر بازه ] [a,bبه nنقطه تقسیم و جمله ای درونیاب با درجه nدر نظر بگیریم پس از انتگرال گیری نتیجه به صورت زیر خواهد بود . مقدار تابع در نقطه فاکتور وزن فرمول مربعات گاوس با بدست آوردن ساده سازی فرمول فوق انتگرال تابع و را در فاصله و حل میشود .برای در نظر میگیریم . با در نظر گرفتن ( n=2دو نقطه ای گاوس ) مقادیر برای توابع بدست می آوریم . ان و ن دونقط هاي گاو س ق فرمولهاي قاعده مربعات گاوس در بازه ] [-1,1قابل حل بوده لذا طبق روابط زير بازه ] [a,bرا به بازه ] [-1,1تبديل ميكنيم . رو ش سهنق ط هاي گاو س : حال به روش مشابه فوق ،فرمول سه نقطه اي گاوس به صورت زير در مي آيد : جدول و فرمول کلی مربعات گاوس برای n=2,3,4بصورت زیرمیباشد . مثال :رو ش دونقط هاي گاو س مثال : رو ش سهنقط هاي گاو س : انت ”رالهاي منفرد : در این بخش انتگرال توابعی راحساب می کنیم که تابع fدریکی از نقاط ابتدا یا انتهای بازه یا درهردونقطه تعریف نشده باشد . .به این نقطه ها نقطه تکین یا منفرد گویند . نقط هتكي ن یا منفرد نقط هتكي ن یا منفرد اشند. اب ل ح ل مي ب انیق قب ل ح لنم ود.فق طاز رو شنقط ه م ي ا ی نن و عانت ”رالها رانميت وا نباشي و ههاي انی : رو شنق ط ه م ي فرض می کنیم فاصله ] [a,bرا مطابق شکل به سه قسمت مساوی تقسیم کرده ایم حال با استفاده ازتعریف انتگرال که همان مساحت سطح زیر منحنی میباشد مقدار انتگرال fرا برای فاصله حساب می کنیم مساحت مستطیل h در نتیجه برای کل بازه بطول hبرای هر زیر بازه خواهیم داشت : خ طايانت ”را ل گيري رو ش ذوزنقهاي : درروش ذوزنقه اي مقدار خطا متناسب با كه در رابطه زير صدق كند . كه در آن . كران باالي بوده واز طريق فرمول زير بدست مي آيد .هدف تعيين مقداري از hميباشد میباشد a=o , b=1 , ε=0.01 با كنيم . با جايگذاري در فرمول قبل مقدار hرا بدست مي آوريم و حاصل انتگرال را با مقدار hبدست آمده حساب مي h=0.2 اعد ه سيمپس و ن : خ طايق به روش مشابه از طريق فرمولهاي زير مقدار hرا بدست مي آوريم ومقدار انتگرال را با hحاصل بدست مي آوريم . مشتق چهارم تابع f انی : خ طاينقط ه م ي = مشتق گيريعددي برای بدست آوردن مشتق تابع fاز چند جمله ای درونیاب pاستفاده می کنیم. ا صلههاي غ يرم ساوي : روشهاي مشتق گيريازتواب عبا ف روش چند جمله ای درونیاب خطی Direct fit polynomials روش درونیاب الگرانژ Lagrange polynomials روش درونیاب تفاضالت تقسیم شده difference polynomials ا صلههاي م ساوي : روشهاي مشتق گيريازتواب عبا ف روش چند جمله ای درونیاب تفاضالت پیشرو نیوتن روش چند جمله ای درونیاب تفاضالت پسرو نیوتن استفاده از بسط تیلور تابع Divided شروني وت ن : ا ضالتپ ي رو ش چند جملهاي درونيا بتف برحسب sبیان شده چون است بنابراین : S=0 بطور مشابه برای مشتق دوم داریم : S=0 فرمولهای فوق برحسب s=0و در نقطه 𝑖𝑥 = 𝑥 بصورت زیر تبدیل خواهد شد . معموال برای محاسبه تقریبی از مشتق اول و دوم در نقطه iیک یا چند جمله از عبارات سمت راست فرمولهای فوق انتخاب میشود. با در نظر گرفتن یک جمله سمت راست 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑓0 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓4 h=0.15-0.1=0.05 𝑓0′ = 𝑓1′ 𝑓1 − 𝑓0 1.16183 − 1.10517 = = 1.1332 ℎ 0.05 𝑓2 − 𝑓1 1.22140 − 1.16183 = = = 1.1914 ℎ 0.05 𝑓2′ = 𝑓3 − 𝑓2 1.28403 − 1.22140 = = 1.2526 ℎ 0.05 1.22140 − 2 ∗ 1.16183 + 1.10517 = 1.164 0.052 اب ع : مشتق گيريباا ستفاد هازبس طتيل ورت به کمک بسط تیلورتابع fدر نقطه میتوان مشتق تابع را بدست آورد.میدانیم فرمول()1 = 𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 ℎ2 = 𝑓0′′ همچنین اگر فرمول()2 باشد خواهیم داشت با جمع کردن جمالت فرمولهای 1و 2تقریب زیر برای ِید : بدست می آ 𝑥0 𝑥1 𝑓1 𝑓0 𝑓0′ 𝑥2 𝑥3 𝑓2 𝑓3 𝑓1 − 𝑓0 0.375 − 0 = = = 0.375 ℎ 1 𝑓2′ = 𝑓3 − 𝑓2 1.511 − 0.971 = = 0.540 ℎ 1 𝑓2′′ = 𝑓1−2 𝑓2 + 𝑓3 0.375 − 1.942 + 1.511 = = −0.056 ℎ2 1