Transcript ppt - IUST Personal Webpages

‫داليل استفاده از مشتق گيري عددي ‪:‬‬
‫– تابع مشخص نباشد‪.‬‬
‫– تابع بسيار پيچيده باشد‪.‬‬
‫تعريف‪:‬‬
‫یک روش مشتق گيري را داراي دقت مرتبه ‪ p‬ام می ناميم هرگاه ‪:‬‬
‫بطوریکه ‪ c‬یک ثابت مستقل از ‪h‬است‪.‬‬
‫– طبق تعریف ریاضي مشتق داریم‪:‬‬
‫– بنابراین یك تقریب مشتق مي تواند به صورت زیر باشد‪:‬‬
‫این رابطه براي تابع خطی ‪ f(x)=ax+b‬به ازاي هرمقدار مخالف صفر ‪ h‬دقيق‬
‫است ‪ .‬یعنی مقدار واقعی را نتيجه ميدهد ‪.‬ا‬
‫با استفاده از بسط تيلور خواهيم داشت‪:‬‬
‫بنابراین‬
‫اگر این بسط را در نقاطه ‪x+h‬و‪x-h‬را بنویسيم ‪،‬داریم‪:‬‬
‫با تفریق دو رابطه فوق‬
‫این نتيجه بهتري است زیرا جمله خطا شامل‪h2‬است‪.‬‬
‫بطور مشابه برای مشتق مرتبه دوم نيز داریم‪:‬‬
‫بطور کلی روشهاي مشتق گيري عددي را می توان به سه‬
‫طریق زیر بدست آورد‪:‬‬
‫‪-1‬روشهايی که مبتنی بر درونيابی هستند ‪.‬‬
‫‪ -2‬روشهايی که مبتنی بر عملگرهاي تفاضالت متناهی‬
‫هستند ‪.‬‬
‫‪-3‬روشهايی که مبتنی بر تعيين ضرائب نامعين هستند ‪.‬‬
‫‪ -1‬روشهاي مبتنی بر درونيابی‬
‫فرض کنيم } ‪ n+1،{x0 ,x1,...,xn‬نقطه متمایزباشد کهمقادیر تابع ‪ f‬درآن‬
‫نقاط داده شده باشد‬
‫فرض می کنيم چندجمله اي درونياب )‪ p (x‬باشد ازآن مشتق می گيریم و‬
‫آن را به عنوان تقریبی برای ‪ f‬در نظر ميگيریم‪.‬‬
‫نقاط گره اي نامتساوي الفاصله ‪:‬‬
‫با استفاده از روش الگرانژ چندجمله اي درونياب زیر را خواهيم داشت‪:‬‬
‫که )‪ l (x‬ها چندجمله ایهاي اساسی الگرانژ هستند‪ ،‬که عبارتند از ‪:‬‬
‫وخطاي تقریب در هرنقطه عبارتست از‪:‬‬
‫بنابرین با مشتق گيري از روابط فوق داریم‪:‬‬
‫جمله خطاي تقریب مراتب باالتررا می توان مشابه فوق یافت ‪.‬‬
‫برای درک بهترمفاهيم فوق‪ ،‬فرمول خطی الگرانژرا برای ‪n=1,2‬بکار‬
‫می بریم‪:‬‬
‫خطاي این رابطه عبارتست از ‪:‬‬
‫هم چنين مشابه فوق از فرمول درجه دوم الگرانژ می توان استفاده کرد‪،‬‬
‫نظير ‪:‬‬
‫با استفاده از روابط فوق داریم ‪:‬‬
‫مشتق مرتبه دوم چندجمله چنين خواهد بود‪:‬‬
‫خطاي آن را می توان بصورت زیر محاسبه نمود‪:‬‬
‫نقاط گره اي متساوي الفاصله‪:‬‬
‫چنانچه} ‪ {x0 ,x ,...,xn‬متساوی الفاصله باشند داریم‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫با استفاده از فرمول خطی درونياب داریم ‪:‬‬
‫با خطاي‬
‫این جمله خطا با خطا در بسط تيلور در حالت اول برابر است‪.‬‬
‫چنانچه مجدداً از فرمول درونيابی درجه دوم استفاده شود‬
‫داریم ‪:‬‬
‫با استفاده از بسط سري تيلور خطای آن برابر است با‪:‬‬
‫مشتق مرتبه دوم ‪ f‬بصورت زیر خواهد بود‪:‬‬
‫با خطای‬
‫مثال‪:‬مقادیر تابع (‪ f(x)=Ln (x‬بصورت جدولی زیر است‪ .‬تقریبی‬
‫براي مشتق اول و دوم تابع ‪ f‬درنقطه ‪ 2‬با استفاده از درونيابی خطی‬
‫و سهمی بيابيد ‪ .‬یک کران باال براي خطاي قطع کردن را بدست‬
‫آورید ؟‬
‫حل ‪ :‬با استفاده از فرمول ‪:‬‬
‫داریم ‪:‬‬
‫همچنين‬
‫حال مشتق مرتبه دوم با استفاده از فرمول بدست آمده بصورت‪:‬‬
‫است‪.‬‬
‫اما ميدانيم که مقدار دقيق مشتق‬
‫است‪.‬‬
‫خطاي مربوط به روشهاي فوق عبارتند از ‪:‬‬
‫و‪ M1=0/5,M2=0/25,M3=0/25,M4=0/375‬بنابراین‬
‫‪ -2‬روشهاي مشتق گيري مبتنی بر تفاضالت متناهی‬
‫رابطه زیر را مدنظر قرار ميدهيم ‪:‬‬
‫بطوریکه ‪ D‬اپراتور مشتق گيري است ‪.‬‬
‫بطور سمبليک می توان از رابطه نتيجه گرفت که‬
‫یا ‪:‬‬
‫بنابراین‪:‬‬
‫بنابراین می توان نوشت‬
‫از آنجا که‬
‫می توان نوشت ‪:‬‬
‫لذا داریم‪:‬‬
‫رابطه اي که مشتق مراتب باالتر را می دهد ‪ ,‬بصورت زیر خواهد بود‪:‬‬
‫پس برای‪ r=1,2‬خواهيم داشت‪:‬‬
‫و‬
‫چنانچه تنها از جمالت اول استفاده نمائيم روشهاي زیر را داریم ‪:‬‬
‫برای مشتق دوم ‪ f‬داریم‪:‬‬
‫که داراي دقت مرتبه اول ومرتبه دوم اند ‪.‬‬
‫همانگونه که مالحظه کردید در روشی که مبتنی بر درونياب است برای‬
‫بدسب آوردن مشتق در نقطه ‪ x0‬تنها ازنقاط بعد از آن استفاده می شد‬
‫اما در روش تفاضالت متناهی عالوه براین که تنها ميتواند از نقاط‬
‫بعد از آن استفاده کند همزمان ميتواند ازنقاط قبل از آن نيز استفاده‬
‫کند‪ ,‬پس در نقاط انتهایی تنها ميتوان از روش دوم استفاده کرد و‬
‫درنقاط ابتدایی ازهردو روش ‪.‬‬
‫همچنين واضح است که خطاهای دو روش مشابه همند‪ ،‬یعنی در روش‬
‫تفاضالت پيشرو نيوتن ‪،‬خطاها یکسانند‪.‬‬
‫اما درروش اول می توان مشتق تابع ‪ f‬را در نقاط غير گرهی بدست‬
‫آورد ‪،‬که در دیگر روشها نميشود‪.‬‬
‫‪ -3‬روشهاي مبتنی بر ضرائب نامعين‬
‫فرض کنيم که نقاط جدولی متساوي الفاصله با گام ‪ h‬باشند ‪.‬لذا‬
‫براي نقاط جدولی مرتب شده بصورت متقارن داریم ‪:‬‬
‫یا براي نقاط جدولی نامتقارن داریم ‪:‬‬
‫خطاي قطع‬
‫کردن موضعی‬
‫ضرائب بر اساس نياز به دقت معين روشها‪ ،‬تعيين می‬
‫شوند ‪.‬‬
‫با استفاده ازبسط تيلورضرائب مراتب مختلف مشتقات‬
‫را در طرفين ‪،‬متحدهم قرار ميدهيم وتعداد معادالت مورد نياز‬
‫جهت تعيين ضرائب را می یابيم ‪.‬اولين جمالت غيرصفر در‬
‫خطاي تقریب را بدست ميدهند ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫بطور ویژه چنانچه در رابطه فوق ‪r=1,p=2‬انتخاب شوند داریم ‪:‬‬
‫با مقایسه طرفين معادله داریم‪:‬‬
‫با حل سيستم فوق داریم ‪:‬‬
‫بنابراین روش بصورت زیر خواهيم داشت ‪:‬‬
‫اولين جمله ناصفر خطاي برشی تقریب فوق را بدست ميدهد ‪.‬‬
‫بنابراین روش داراي دقت مرتبه چهارم است ‪.‬‬
‫از مزایای این روش ميتوان به شرکت دادن هر تعداد از ‪fi‬درتقریب‬
‫‪ fk‬اشاره کرد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫همانگونه که مالحظه کردید مشتق ‪r‬ام تابع ‪ f‬در نقطه ‪، xk‬ترکيب‬
‫خطی از مقادیر تابع ‪f‬در دیگر نقاط ‪xi‬ها است ‪،‬که ضرایبی برای‬
‫آنها بدست می آوردیم و آن را به عنوان تقریبی از تابع ارائه‬
‫دادیم‪ ،‬این امر در روش ضرایب نا معين بوضوح دیده ميشد‪ ،‬در‬
‫حقيقت این روش بر این مبنا ارائه شده و دیگر روش ها حالت‬
‫هایی خاص از این روشند ‪.‬‬
‫–فرض كنيد)‪ f(x)=exp(x‬و‪x=1‬با طول کام ‪h=0/1‬باشد مقادیر‬
‫‪Dk‬‬
‫را برای مقادیر ‪h=1,2,…,9‬بصورت زیر خواهد بود‪:‬‬
‫همانطور که درصفحه قبل مشاهده کردید از جایی به بعد نه تنها مقدار‬
‫مشتق دقیقتر نمی شود بلکه از مقدار واقعی فاصله میگیرد ‪،‬علت آن را‬
‫میتوان بصورت زیر استدالل کرد‪:‬‬
‫فرض کنیم‬
‫که‬
‫خطای روند کردن ‪ f‬باشد‪.‬‬
‫بررسی تأثير خطاي روندکردن در روشهاي عددي مشتق گيري‬
‫روش زیر را درنظر می گيریم ‪:‬‬
‫بنابراین‬
‫بطوریکه ‪ TE , RE‬به ترتيب خطاي روندکردن وبرشی هستند ‪.‬‬
‫واگر فرض کنيم‬
‫داریم ‪:‬‬
‫باشد آنگاه‬
‫تعریف‪:‬‬
‫گام ‪ h‬را گام بهينه ‪ Optimal‬می نامند هرگاه درهرکدام از‬
‫روابط زیر صدق نماید‪:‬‬
‫بنابراین‪:‬‬
‫همچنين اگر از رابطه مقابل‬
‫مشتق بگيریم خواهيم داشت‪:‬‬
‫حال مينيمم کل خطا عبارتست از ‪:‬‬
‫نتيجه‬
‫از آنجا که خطاي برشی یا موضعی یک روش عددي‬
‫مشتق گيري متناسب با توانهایی از ‪ h‬است اما خطاي روندکردن‬
‫متناسب با معکوس توانهایی از ‪ h‬است‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬طول گام بهينه را براي روش مشتق گيري ذيل بيابيد ‪:‬‬
‫سپس با استفاده از مقادير جدولی مشتق ‪ f‬را در ‪ 2‬بدست اوريد‪.‬‬
‫درصورتيکه خطاي روند کردن محاسبات ‪ 0/000005‬باشد‪.‬‬
‫حل‪:‬‬
‫پس داریم‪:‬‬
‫|‪|RE|=|TE‬‬
‫پس داریم‪:‬‬
‫و اگر از شرط ‪|RE|+|TE|=min‬استفاده کنيم داریم‪:‬‬
‫حداقل خطاي کل عبارتست از ‪:‬‬
‫حل قسمت دوم مثال ‪:‬‬
‫با استفاده از| ‪|RE|=|TE‬و‪ M=1/4‬داریم‪:‬‬
‫با انتخاب ‪ h=0/06‬از جدول داده شده داریم ‪:‬‬
‫اما ميدانيم که‬
‫از این جا نتيجه می گيریم که با وجود انتخاب‬
‫نتایج بدست‬
‫آمده نه تنها بهبود می یابد بلکه خراب تر هم می شود ‪.‬‬
‫شبيه قاعده رامبرگ در انتگرال عددی روشی در مشتقگيری عددی‬
‫وجود دارد به نام روش ریچارد سون‪،‬که در اینجا ارایه می کنيم‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫فرض می کنيم )‪ g(h‬تقریبی براي مقدار تابع ‪ g‬باشد وبا استفاده از‬
‫یک روش داراي دقت مرتبه ‪p‬ام با طول گام ‪ h‬حاصل شده است‬
‫‪.‬وهم چنين فرض می کنيم )‪ g(qh‬تقریبی براي تابع ‪g‬باشد که با‬
‫استفاده از روش مرتبه ‪p‬ام وبا طول گام ‪ qh‬حاصل شده باشد ‪.‬لذا‬
‫داریم ‪:‬‬
‫با خذف ‪ c‬از دو رابطه فوق داریم ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫بنابراین داریم ‪:‬‬
‫این روش داراي دقت)‪(p+1‬است ‪.‬این مهارت که با درهم‬
‫آميختن مقادیر محاسبه شده توسط یک روش معين با‬
‫دو طول گام متفاوت حاصل ميشود و براي کسب دقت مراتب‬
‫باالتر صورت می گيرد را روش برون یابی یا روش‬
‫‪ ‬درونيابی ریچاردسون ناميده ميشود ‪.‬‬
‫‪ ‬براي آسانی کار عموما ‪ p=1/2‬انتخاب می کنيم ‪.‬براي واضح‬
‫تر نمودن روش زیر را درنظر ميگيریم ‪:‬‬
‫خطاي موضعی یا برشی مرتبط با روش فوق بصورت زیر بدست می‬
‫آید‪.‬‬
‫فرض می کنيم‬
‫لذا داریم ‪:‬‬
‫مقداري باشد که بایستی بدست بياوریم‬
‫از روابط فوق داریم ‪:‬‬
‫با حذف‪C2‬از روابط فوق داریم‪:‬‬
‫لذا نتایج داراي دقت مراتب باالتر را می توان از فرمول زیر‬
‫کسب نمود ‪:‬‬
‫این روند را برونيابی پياپی براي مشتق گيري نيزمی نامند ‪.‬‬
‫براي مقادیر متفاوت ‪ m‬می توان مانند جدول زیر محاسبه کرد ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫با توجه به جدول فوق درمی یابيم که مقادیر جدولی یک ستون‬
‫مشخص تقریبی بهتر از داده جدولی قبل از آن‬
‫می باشد ‪.‬هم چنين در ستونهاي متوالی هر ستون نسبت به ستون‬
‫قبلی آن تقریب بهتري بدست ميدهد ‪ .‬بهترین‬
‫نتایج در قسمت پائينی قطر جدول است این روند زمانی متوقف می‬
‫گردد که داشته باشيم ‪:‬‬
‫معيار دقت حل مسئله می باشد ‪.‬‬
‫داده هاي جدولی زیر مفروض اند ‪ ،‬از فرمول داده شده استفاده‬
‫کنيد وبا استفاده از روند برونيابی ریچاردسون مشتق‪f‬را در ‪ x=3‬بيابيد‪.‬‬
‫با استفاده از بسط سري تيلور داریم ‪:‬‬
‫لذا جدول زیر را با استفاده از روند برونيابی خواهيم داشت ‪:‬‬
‫هستند لذا‬
‫که دقيق است‪ .‬ازآنجا که داده ها بيانگر‬
‫ستون دوم بایستی جواب دقيق باشد زیرا نتایج جمله با خطاي‬
‫هستند ‪.‬‬