Transcript *************************j.**k.**l.**m.**n.**o.**p.**q.**r.**s.**t.**u.**v

‫روش عناصر محدود‬
Finite Element Procedures
‫کریم عابدی‬
‫فصل چهارم‪:‬‬
‫فرمول بندي عناصر محدود‬
‫ايزوپارامتريك‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫در فصل پيشين در مورد فرمول بندي عناصر محدود با مختصات تعميم يافته‬
‫)‪ (Generalized coordinates‬بحث نموديم‪ .‬هدف اساس ي و اصلي از ارائه عناصر محدود‬
‫با مختصات تعميم يافته‪ ،‬تقويت فهم خود از روش عناصر محدود بود‪ ،‬ولي اشاره كرديم كه در‬
‫اغلب تحليل هاي عملي استفاده از عناصر محدود ايزوپارامتريك موثرتر است‪.‬‬
‫همراه كردن يك مفهوم فيزيكي با مختصات تعميم يافته ناممكن بود‪ ،‬با وجود اين با بيان‬
‫مختصات تعميم يافته ‪ α‬بر حسب تغيير مكان هاي نقاط گرهي عنصر ‪ û‬دريافتيم كه عموما هر‬
‫ضريب چند جمله اي ( يعني ‪ α2 ، α1‬و ‪ )...‬يك تغيير مكان واقعي نيست‪ ،‬بلكه مساوي با تركيب‬
‫خطي تغيير مكان هاي نقاط گرهي عنصر مي باشد‪.‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫دشواري هاي مدل هاي مختصات تعميم يافته ‪:‬‬
‫‪‬دشواري مرزهاي انحنادار‪،‬‬
‫‪‬ناسازگاري هاي ايجاد شده در عناصر صفحه اي و پوسته اي‪،‬‬
‫‪‬كار آيي كم فرمول بندي‪:‬‬
‫الف) ضرورت تعیين‪:‬‬
‫ب) انتگرال گيری تحلیلی برای یافتن تمامی درایه های ماتریس سختی‪.‬‬
‫ايده اصلي فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك‪ ،‬يافتن رابطه اي است بين تغيير مكان هاي‬
‫عنصر در هر نقطه اي و تغيير مكان هاي نقاط گرهي با استفاده مستقيم از توابع درون يابي‬
‫)‪ (Interpolation functions‬يا توابع شكل )‪.(Shape functions‬‬
‫بنابراين در فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك‪ ،‬برای تعیين ماتریس ‪ ،H‬ماتريس تبديل ‪A-1‬‬
‫تعيين نمي شود‪.‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫مبناي فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك‪ ،‬درون يابي مختصات عنصري و تغيير مكان هاي‬
‫عنصر با استفاده از توابع درون يابي يكساني است كه در يك دستگاه مختصات طبيعي‬
‫)‪(Natural Coordinate System‬تعريف مي شوند‪.‬‬
‫به عنوان مثال يك ميله خرپايي دو گرهي را در نظر مي گيريم و دو دستگاه مختصات كلي‬
‫)‪ (Global‬و طبيعي )‪ (Natural‬را براي آن تعريف مي كنيم‪:‬‬
‫درونيابي مختصات كلي واقعي ‪ X‬بر حسب مختصات طبيعي‪:‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫‪ ،‬توابع درون يابي يا توابع شكل مي باشند‪.‬‬
‫و‬
‫كه در آن توابع‬
‫خاصيت بنيادي تابع درون يابي ‪ hi‬اين است كه مقدار آن در دستگاه مختصات طبيعي در گره ‪i‬‬
‫مساوي ‪ 1‬و در ساير گره ها صفر مي باشد‪.‬‬
‫درون يابي تغيير مكان هاي كلي ميله ‪ ( U‬مشابه مختصات ‪ ) X‬بر حسب مختصات طبيعي‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫دستگاه مختصات طبيعي بر حسب تعداد ابعاد عنصر‪ ،‬يك بعدي ( بر حسب ‪ ،) r‬دوبعدي ( بر‬
‫حسب ‪ ،) r , s‬و يا سه بعدي ( بر حسب ‪ ،) r , s , t‬خواهد بود ( يك بعدي براي عنصر ميله اي‬
‫خرپايي‪ ،‬دوبعدي براي عناصر كرنش مسطح و تنش مسطح و متقارن محوري‪ ،‬سه بعدي براي‬
‫عناصر سه بعدي عمومي)‪.‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫در ابتدا فرمول بندي عناصر محدودي را كه در آنها درجات‬
‫آزادي صرفا از نوع تغيير مكان هاي گرهي مي باشند‪( ،‬عناصر‬
‫محيط پيوسته ‪ ( )Continuum Element‬نظير عناصر‬
‫خرپايي‪ ،‬عناصر كرنش مسطح ‪ ،‬تنش مسطح‪ ،‬متقارن محوري‪،‬‬
‫سه بعدي عمومي) را مورد بررس ي قرار خواهيم داد‪ .‬سپس در‬
‫مورد عناصري كه در آنها دوران ها نيز در درجات آزادي وارد مي‬
‫شوند (عناصر سازه اي ‪ ( )Structural Elements‬نظير‬
‫تيرها‪ ،‬صفحات و پوسته ها) بحث و بررس ي خواهيم نمود‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ فرمول بندي ماتريس هاي عناصر محيط پيوسته‪ ،‬صرف نظر از اينكه عنصر يك بعدي‪ ،‬دوبعدي‬‫يا سه بعدي مورد نظر باشد‪ ،‬عموما يكسان است‪ .‬بر همين اساس در ارائه عمومي فرمول بندي‬
‫ها‪ ،‬معادالت يك عنصر سه بعدي را مورد بررس ي قرار مي دهيم‪ .‬فرمول بندي هاي عناصر يك بعدي‬
‫و دو بعدي به آساني با استفاده از محورهاي مختصات مربوطه و توابع درون يابي مناسب بدست‬
‫مي آيند‪.‬‬
‫درون يابي مختصات براي يك عنصر سه بعدي عمومي عبارت است از‪:‬‬
‫كه در آنها ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬مختصات هر نقطه اي از عنصر مي باشند (كلي يا محلي)‪ xi .‬و ‪ yi‬و ‪ zi‬و ‪i =1,‬‬
‫‪ ، 2, ….q‬مختصات گره ‪ i‬از عنصر مي باشند و ‪ q‬برابر با تعداد گره هاي عنصر مي باشد‪ .‬درون‬
‫يابي تغیيرمکان براي يك عنصر سه بعدي عمومي نيز عبارت است از‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫‪ hi‬ها در مختصات طبيعي عنصر تعريف مي شوند و داراي متغيرهاي ‪ t ، s ، r‬مي باشند كه از ‪ -1‬تا‬
‫‪ 1‬تغيير مي كنند‪.‬‬
‫براي عناصر يك بعدي‪ hi ،‬تنها به متغيرهاي مختصات ‪ r‬و براي عناصر دو بعدي ‪ hi‬تنها به‬
‫متغيرهاي ‪ r‬و ‪ s‬و براي عناصر سه بعدي ‪ hi‬به متغيرهاي ‪ r‬و ‪ s‬و ‪ t‬بستگي خواهند داشت‪.‬‬
‫خاصيت بنيادي تابع درون يابي ‪ hi‬اين است كه مقدار آن در دستگاه مختصات طبيعي در گره ‪i‬‬
‫مساوي ‪ 1‬و در ساير گره ها صفر مي باشد‪ .‬با استفاده از اين شرايط‪ ،‬توابع ‪ hi‬مربوط به آرايش‬
‫نقاط گرهي خاص به طريقه اي سيستماتيك بدست مي آيند‪ .‬بدين صورت كه نخست توابع درون‬
‫يابي مربوط به يك عنصر بنيادي دو گرهي بدست مي آيد‪ .‬اضافه نمودن يك گره ديگر موجب ايجاد‬
‫يك تابع درون يابي ديگري شده و يك اصالح به توابع درون يابي پيشين اعمال مي گردد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫الف) توابع درون يابي عنصر يك بعدي‬
‫ فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬-2
‫ مثال‬-‫الف) توابع درون يابي عنصر يك بعدي سه گرهی‬
h1  a  br  cr 2
r  1  h1  1 , r  0  h1  0 , r  1  h1  0
1
1
 h1  (1  r )  (1  r 2 )
2
2
h2  a  br  cr 2
r  1  h2  0 , r  0  h2  0 , r  1  h2  1
1
1
 h2  (1  r )  (1  r 2 )
2
2
h3  a  br  cr 2
r  1  h3  0 , r  0  h3  1 , r  1  h3  0
 h3  1  r 2
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ب) توابع درون يابي عنصر دو بعدي‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ب) توابع درون يابي عنصر دوبعدي ‪ 7‬گرهی‪ -‬مثال‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫توابع درون يابي عنصر دوبعدي ‪ 8‬گرهی‪ -‬مثال‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫پ) توابع درون يابي عنصر سه بعدي‬
‫(شش وجهي يا آجري)‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫پ) توابع درون يابي عنصر سه بعدي‬
‫(شش وجهي يا آجري) ‪ -‬مثال‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫بنابراين مالحظه مي شود كه عناصر ايزوپارامتريك داراي دو مزيت اساس ي مي باشند‪:‬‬
‫و ‪ ، ...‬عناصر مي توانند بدون هيچگونه‬
‫‪ -1‬با استفاده از درون يابي مختصات‬
‫دشواري داراي مرزهاي انحنادار باشند‪.‬‬
‫‪ -2‬توابع تغيير مكان اين عنصر را مي توان به آساني ايجاد نمود (عنصر مي تواند داراي هر تعداد گره‬
‫باشد)‪.‬‬
‫ در فرمول بندي ایزوپارامتريک‪ ،‬تغيير مكان هاي عناصر به طريقه مشابه مختصات هندسه‬‫عنصر درون يابي مي شوند‪ ،‬به عبارت ديگر داريم‪:‬‬
‫كه در آن ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬تغيير مكان هاي محلي (يا كلي) عنصري در هر نقطه عنصر بوده و ‪ ui‬و ‪ vi‬و‬
‫‪ i= 1, 2,…,q ، wi‬تغيير مكان هاي عنصر در گره هايش مي باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مثال‪ :‬اسخراج ماتریس درون یابی ‪ H‬برای عنصر تنش مسطح چهارضلعی ‪ 4‬گرهی‪:‬‬
‫‪U  u1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪h1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ h1‬‬
‫‪H ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪U  u1 ,v 1 ,u 2 ,v 2 ,u 3 ,v 3 ,u 4 ,v 4 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4 ‬‬
‫‪h4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h1‬‬
‫‪ h1‬‬
‫‪H ‬‬
‫‪0‬‬
‫مثال‪ :‬اسخراج ماتریس درون یابی ‪ H‬برای عنصر سه بعدی عمومی ‪ 8‬گرهی‪:‬‬
‫‪U  u1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ,u 5 ,u 6 ,u 7 ,u 8 ,v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 ,v 7 ,v 8 ,w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6 ,w 7 ,w 8 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪h8 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪h1 h2‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪h8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ h1‬‬
‫‪H  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ت) نحوه تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك‬
‫ براي محاسبه ماتريس سختي يك عنصر‪ ،‬محاسبه ماتريس تبديل كرنش‪-‬تغيير مكان ‪B‬ضروري‬‫مي باشد‪ .‬كرنش هاي عنصر بر حسب مشتقات تغيير مكان هاي عنصر نسبت به مختصات محلي‬
‫(يا كلي) به دست مي آيند‪:‬‬
‫از آنجا كه مختصات عنصر در دستگاه مختصات طبيعي تعريف مي شوند‪ ،‬داريم‪:‬‬
‫مي توان رابطه معكوس ي را نيز بدست آورد‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مشتقات زير را مي توان با استفاده از قاعده زنجيره اي )‪ (Chain rule‬بدست آورد‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r  s  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z r z s z t z‬‬
‫‪ ،‬نياز داريم كه‬
‫‪‬‬
‫‪ r  s  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y r y s y t y‬‬
‫مالحظه مي كنيم كه براي محاسبه‬
‫معني است كه صريحا به روابط معكوس‬
‫نياز داريم‪ .‬ايجاد اين روابط معكوس به طور صريح عموما دشوار است‪ ،‬لذا طريقه زير را پيش مي‬
‫گيريم‪:‬‬
‫به صورت نماد ماتريس ي خواهيم داشت‪:‬‬
‫را محاسبه نماييم‪ .‬اين بدان‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ماتریس ژاکوبی برای عناصر سه بعدی‬
‫ماتریس ژاکوبی برای عناصر دو بعدی‬
‫ماتریس ژاکوبی برای عناصر یک بعدی‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫كه در آن ‪ J‬عملگر ژاكوبي )‪ (Jacobian operator‬مي باشد كه مشتقات مختصات طبيعي را به‬
‫مشتقات مختصات محلي (يا كلي ) ربط مي دهد‪ .‬محاسبه عملگر ژاكوبي بسيار راحت است‪ .‬براي‬
‫تعيين ‪ ،‬خواهيم داشت‪:‬‬
‫كه ايجاب مي كند كه معكوس ژاكوبي موجود باشد‪.‬‬
‫ معكوس ‪ J‬هنگامي موجود است كه يك تناظر يك به يك بين مختصات طبيعي و محلي (يا كلي)‬‫عنصر وجود داشته باشد (به عبارت ديگر به ازاي هر ‪ r‬و ‪ s‬و ‪ t‬فقط يك ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬به طور متناظر‬
‫وجود داشته باشد)‪.‬‬
‫ در حاالتي كه عنصر داراي اعوجاج زيادي بوده و يا به روي خودش خم شده باشد‪ ،‬رابطه منحصر‬‫به فردي بين دستگاه هاي مختصات طبيعي و محلي (يا كلي) وجود ندارد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫‪ -‬اكنون با استفاده از‬
‫و‬
‫مي توان مشتقات‬
‫را محاسبه كرد و در نتيجه مي توان ماتريس تبديل كرنش‪-‬تغيير مكان ‪ B‬را با‬
‫استفاده از رابطه زير ايجاد نمود‪:‬‬
‫كه در آن ‪ û‬برداري است كه شامل تغيير مكان هاي نقاط گرهي است‪ .‬يادآوري مي كنيم كه ‪ J‬بر‬
‫عناصر ماتريس ‪ B‬اثر مي گذارد‪.‬‬
‫ماتريس سختي عنصر متناظر با درجات آزادي محلي عنصر عبارت است از‪:‬‬
‫عناصر ماتريس ‪ ، B‬توابعي از مختصات طبيعي ‪ r‬و ‪ s‬و ‪ t‬مي باشند‪ .‬بنابراين انتگرال گيري حجمي‬
‫روي حجم مختصات طبيعي بسط مي يابد و ضروري است كه ديفرانسيل حجمي ‪ dV‬نيز بر حسب‬
‫مختصات طبيعي نوشته شود‪ .‬در حالت كلي داريم‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪K     B T CB det J dr ds dt‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫برای حاالت خاص دوبعدی و سه بعدی خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K  t   B T CB det J dr ds‬‬
‫‪K  A  B T CB det J dr‬‬
‫‪1‬‬
‫به همين ترتيب با داشتن‬
‫‪1 1‬‬
‫خواهيم داشت‪:‬‬
‫بردار نيروي جسمي‬
‫بردار نيروي سطحي‬
‫بردار تنش اوليه‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مثال‪ :‬ماتریس های درون یابی تغیير مکان ‪ ،H‬ماتریس درون یابی کرنش‪-‬تغیير مکان ‪ B‬و عملگر‬
‫ژاکوبی ‪ J‬را برای عنصر خرپایی سه گرهی نشان داده شده در شکل زیر استخراج کنید‪.‬‬
‫حل‪ :‬با استفاده از توابع درون يابي عنصر داريم‪:‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪h1‬‬
‫(الف)‬
‫ماتريس كرنش‪-‬تغيير مكان ‪ B‬از طريق مشتق گيري از ‪ H‬نسبت به ‪ r‬و پيش ضرب نمودن نتيجه‬
‫حاصله در معكوس عملگر ژاكوبي بدست مي آيد‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫(ب)‬
‫براي تعيين ‪ J‬از رابطه زير استفاده مي كنيم‪:‬‬
‫(پ)‬
‫بنابراين‪:‬‬
‫كه در آن يادآوري مي كنيم كه چون گره ‪ 3‬در وسط عنصر خرپايي قرار دارد‪ x ،‬به طور خطي بين‬
‫گره هاي ‪ 1‬و ‪ 2‬درون يابي مي شود‪ .‬نتيجه مشابهي نيز با استفاده تنها از گره هاي ‪1‬و ‪ 2‬براي درون‬
‫يابي هندس ي بدست مي آيد‪ .‬حال با استفاده از رابطه (پ)‪ ،‬داريم‪:‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪J  ‬‬
‫‪ r ‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مثال‪ :‬عملگر ژاکوبی ‪ J‬عناصر دو بعدی نشان داده شده در شکل را ایجاد کنید‪.‬‬
‫حل‪ :‬عملگر ژاكوبي براي‬
‫دستگاه هاي مختصات‬
‫كلي ‪ X‬و ‪ Y‬و محلي ‪ x‬و ‪y‬‬
‫يكسان مي باشد‪ .‬از اين‬
‫رو براي آساني كار از‬
‫دستگاه هاي مختصات‬
‫محلي استفاده مي كنيم‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫با استفاده از توابع درون يابي براي‬
‫عنصر ‪ 1‬نتيجه زير حاصل مي گردد‪:‬‬
‫به طور مشابه براي عنصر ‪ 2‬داريم‪:‬‬
‫همچنين براي عنصر ‪ 3‬داريم‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪r‬‬
‫‪y‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪J ‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ s‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫در این مرحله ذکر یک نکته مهم‪ ،‬ضروری است و آن استفاده از انتگرال گيری عددی‬
‫)‪ (Numerical integration‬در تعیين ماتریس سختی عنصر است‪.‬‬
‫) عموما موثر نیست‪ ،‬بویژه هنگامی‬
‫محاسبه تحلیلی انتگرال گيری حجمی (‬
‫که از درون یابی های مرتبه باالتر استفاده می شود و یا هنگامی که عنصر دارای اعوجاج است‪.‬‬
‫بنابراین از انتگرال گيری عددی استفاده می شود‪.‬‬
‫در حقیقت انتگرال گيری عددی را باید به عنوان یک قسمت مکمل محاسبه ماتریس سختی عنصر‬
‫ایزوپارامتریک تلقی نمود‪ .‬انتگرال گيری عددی را به طور خالصه می توان به صورت زیر بیان کرد‪:‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪K     B T CB det J dr ds dt‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪K     F (r , s , t ) dr ds dt‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫اعضای ماتریس ‪ F‬به ‪ r‬و ‪ s‬و ‪ t‬بستگی دارند‪.‬‬
‫مناسب ترین و متداول ترین روش انتگرال گيری در تعیين ماتریس سختی‪ ،‬روش انتگرال گيری‬
‫عددی ‪ Gauss-Legendre‬می باشد‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫بحثی در مورد انتگرال گیری عددی با استفاده از روش انتگرال گيری عددی ‪Gauss-Legendre‬‬
‫نقاط نمونه گيری و وزن ها در انتگرال گيری عددی ‪Gauss-Legendre‬‬
‫‪1 1‬‬
‫)‬
‫‪j‬‬
‫‪  F (r , s ) dr ds    F (r , s‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ F (r )dr   F (r‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫) ‪F (ri , s j , t k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪   F (r , s ,t ) dr ds dt    ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫انتگرال گيری عددی گوس ی در میدان های چهار ضلعی‬
‫‪1 1‬‬
‫)‬
‫‪j‬‬
‫‪  F (r , s ) dr ds    F (r , s‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫بنابراین با استفاده از روش انتگرال گيری عددی ‪ ،Gauss-Legendre‬ماتریس سختی عنصر به‬
‫صورت زیر محاسبه می شود‪:‬‬
‫که در آن ‪ Fijk‬ماتریس ‪ F‬می باشد که در نقطه )‪ (ri , sj , tk‬محاسبه شده است و ‪ αijk‬مقدار‬
‫ثابت معلومی می باشد که بستگی به مقادیر ‪ ri‬و ‪ sj‬و ‪ tk‬دارد‪.‬‬
‫نقاط نمونه گيری ‪ ri‬و ‪ sj‬و ‪ tk‬و فاکتورهای وزنی متناظر با آنها ‪ αijk‬به گونه ای انتخاب می شوند‬
‫که حداکثر دقت در انتگرال گيری حاصل شود‪ .‬طبیعتا دقت انتگرال گيری را می توان با افزایش‬
‫تعداد نقاط نمونه گيری افزایش داد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود یک بعدی‬
‫‪1‬‬
‫) ‪K  A  F (r )dr   Ai F (ri‬‬
‫‪1‬‬
‫نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود دوبعدی‬
‫‪1 1‬‬
‫) ‪K  t   F (r , s ) dr ds  t i  j F (ri , s j‬‬
‫‪1 1‬‬
‫نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود سه بعدی‬
‫‪1 1 1‬‬
‫) ‪K     F (r , s , t ) dr ds dt  i  j  k F (ri , s j ,t k‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مرتبه مناسب انتگرال گيری عددی‬
‫انتخاب مرتبه انتگرال گيری عددی در عمل مهم است‪ ،‬زیرا اوال هنگامی که انتگرال گيری از مرتبه‬
‫باالتر مورد استفاده قرار می گيرد‪ ،‬هزینه تحلیل نيز افزایش می یابد و ثانیا استفاده از مرتبه های‬
‫مختلف انتگرال گيری تاثير بسیار زیادی در نتایج حاصل دارد‪.‬‬
‫نکته اول در انتخاب مرتبه انتگرال گيری عددی این است که از لحاظ تئوریک اگر از مرتبه های به‬
‫حد کافی باال استفاده شود‪ ،‬تمامی ماتریس ها به طور بسیار دقیق تعیين خواهند شد‪ .‬از سوی‬
‫دیگر با استفاده از مرتبه انتگرال گيری بسیار پایين ممکن است که ماتریس ها خیلی غير دقیق‬
‫تعیين می شوند و در حقیقت حل مساله ناممکن می گردد‪.‬‬
‫جدول صفحه بعد مرتبه های توصیه شده انتگرال گيری عددی تام گوس ی ‪(Full‬‬
‫)‪ Gaussian Numerical integration‬برای تعیين عنصر ایزوپارامتریک مبتنی بر تغیير‬
‫مکان را نشان می دهد‪ .‬انتگرال گيری عددی ”تام“ را به عنوان مرتبه ای در انتگرال گيری تعریف‬
‫می کنیم که ماتریس ها را به طور کامل )‪ (Exact‬بدست دهد (به عبارت دیگر مقادیری که به‬
‫طور تحلیلی انتگرال گيری شده اند)‪ ،‬البته هنگامی که عنصر از نظر هندس ی دارای اعوجاج قابل‬
‫توجهی نباشد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مرتبه هاي توصيه شده‬
‫انتگرال گيري عددي تام‬
‫گوس ي‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫استفاده از این مرتبه انتگرال گيری برای یک عنصر با اعوجاج هندس ی موجب نخواهد شد که‬
‫ماتریس های عنصری به طور کامل انتگرال گيری شوند‪ ،‬ولی با وجود این تحلیل قابل اطمینان‬
‫است‪ ،‬زیرا خطاهای انتگرال گيری به طور قابل قبولی کوچک اند‪ ،‬البته با این فرض که اعوجاج‬
‫هندس ی عناصر معقول باشد‪.‬‬
‫اگر اعوجاجات هندس ی عنصر بسیار بزرگ باشند و در تحلیل غيرخطی‪ ،‬مرتبه انتگرال گيری باالتر‬
‫ممکن است که مناسب باشد‪.‬‬
‫دلیل اصلی برای توصیه مرتبه های انتگرال گيری عددی در جدول مذکور‪ ،‬این است که قابلیت‬
‫اطمینان روش های عناصر محدود اهمیت فراوانی دارد و اگر یک انتگرال گيری مرتبه پایين تر از‬
‫مرتبه تام مورد استفاده قرار گيرد‪ ،‬عموما تحلیل غير قابل اطمینان خواهد شد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫* یک نکته مهم‬
‫‪ :‬یادآوری می کنیم که فرمول بندی تغیير مکان تحلیل عناصر محدود‬
‫موجب یک انرژی کرنش ی کوچک تر از انرژی کرنش ی کامل مدل ریاض ی ‪ /‬مکانیکی مورد بحث می‬
‫شود و به طور فيزیکی یک فرمول بندی تغیير مکان موجب تخمين بیش از حد سختی سیستم می‬
‫گردد‪.‬‬
‫بنابراین اگر ماتریس های سختی عناصر مبتنی بر تغیير مکان را از طریق انتگرال گيری عددی به‬
‫طور غير دقیق تعیين کنیم‪ ،‬در این صورت انتظار داریم که در مجموع نتایج حل بهتری را بتوانیم‬
‫بدست آوریم‪ .‬البته این نکته هنگامی امکان پذیر است که خطا در انتگرال گيری عددی به طور‬
‫مناسبی با تخمين بیش از حد سختی سازه که به علت گسسته سازی عناصر محدد می باشد‪،‬‬
‫جبران شود‪ .‬به عبارت دیگر اگر در انتگرال گيری عددی از مرتبه ای کمتر از مرتبه مورد نیاز برای‬
‫تعیين ماتریس های سختی عناصر به طور کامل (برای عناصر بدون اعوجاج هندس ی) استفاده‬
‫شود‪ ،‬در این صورت می توان انتظار داشت که نتایج حاصل بهتر شوند‪ .‬در این مورد که از مرتبه‬
‫انتگرال گيری کاسته می شود‪ ،‬به روش بکار برده شده انتگرال گيری کاهش یافته ‪(Reduced‬‬
‫)‪ integration method‬اطالق می شود‪ .‬به عنوان مثال استفاده از انتگرال گيری گوس ی ‪2*2‬‬
‫برای تعیين ماتریس سختی عنصر ایزوپارامتریک نه گرهی‪ ،‬متناظر با یک انتگرال گيری کاهش یافته‬
‫می باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫دو طريقه استفاده از انتگرال گيري عددي در تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك‪:‬‬
‫‪ -1‬تعيين ماتريس‬
‫‪ -2‬تعيين ماتريس هاي‬
‫و انتگرال گيري عددي از درايه هاي ماتريس ‪F‬؛‬
‫و اعمال انتگرال گيري عددي‪.‬‬
‫مثال‪ :‬عبارات مورد نياز براي تعيين ماتريس سختي عنصر محدود چهار گرهي ایزوپارامتریک نشان‬
‫داده شده در شكل را استخراج كنيد‪ .‬شرايط تنش مسطح يا كرنش مسطح را فرض كنيد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫براي اين عنصر با استفاده از توابع درون يابي‪ ،‬درون يابي مختصات عبارت است از‪:‬‬
‫همچنين درون يابي تغيير مكان‪:‬‬
‫كرنش هاي عنصر به صورت زير مي باشند‪:‬‬
‫براي تعيين مشتقات تغيير مكان ضروري است كه روابط زير تعيين شوند‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫كه در آن داريم‪:‬‬
‫‪ ،‬مي توان عملگر ژاكوبي را با‬
‫بنابراين براي هر مقدار ‪ r‬و ‪ s‬با فرض‬
‫‪ ،‬تشكيل داد‪ .‬فرض كنيد كه‬
‫استفاده از عبارات نشان داده شده براي‬
‫‪ ،‬تعيين نموده و عملگر را با ‪ Jij‬و دترمينان آن را با ‪ det Jij‬نماش دهيم‪ ،‬در‬
‫‪ J‬را در‬
‫اين صورت داريم‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫براي تعيين كرنش هاي عنصر از روابط زير استفاده مي كنيم‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫بدين ترتيب مي توان ماتريس تبديل كرنش‪-‬تغيير مكان را در نقطه )‪ (ri , sj‬ايجاد نمود‪ .‬به عبارت‬
‫ديگر رابطه زير را بدست مي آوريم‪:‬‬
‫كه در ان انديس هاي پايين ‪ i‬و ‪ j‬داللت بر اين دارند كه تبديل كرنش‪-‬تغيير مكان در نقطه ‪(ri‬‬
‫)‪ , sj‬تعيين شده است‪ .‬به عنوان مثال اگر ‪ x=r‬و ‪ y=s‬باشد ( به عبارت ديگر ماتريس سختي يك‬
‫عنصر مربعي مورد نياز است كه داراي طول اضالع مساوي ‪ 2‬مي باشد)‪ ،‬عملگر ژاكوبي ماتريس واحد‬
‫است و از اين رو داريم‪:‬‬
‫حال ماتريس ‪ Fij‬به آساني به صورت زير بدست مي آيد‪:‬‬
‫كه در آن ماتريس خواص مصالح ‪ C‬در جدول داده شده است‪ .‬در حالت شرايط تنش مسطح يا‬
‫كرنش مسطح‪ ،‬انتگرال گيري در صفحه ‪ r‬و ‪ s‬انجام می شود و فرض مي شود كه تابع ‪ F‬در سرتاسر‬
‫ضخامت عنصر ثابت است‪ .‬بنابراين ماتريس سختي عنصر به صورت زير مي باشد‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫كه در ان ‪ tij‬ضخامت عنصر در نقطه نمونه گيري )‪ (ri , sj‬مي باشد (در تحليل كرنش مسطح ‪tij‬‬
‫‪=1‬است)‪ .‬با داشتن ماتريس هاي ‪ Fij‬به صورتي كه داده شده است و فاكتورهاي وزني انتگرال‬
‫گيري كه در دسترس مي باشند‪ ،‬ماتريس سختي مورد نظر را مي توان به آساني تعيين نمود‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ث) توابع درون یابی عنصر مثلثی دوبعدی و عناصر چهاروجهی (گوه ای) سه بعدی‬
‫گفتیم که عناصر ایزوپارامتریک ” چهارضلعی دوبعدی“ و ” شش وجهی سه بعدی“ می توانند برای‬
‫مدل نمودن اشکال هندس ی بسیار عمومی مورد استفاده قرار بگيرند ولی در برخی حاالت عناصر مثلثی‬
‫یا گوه ای ممکن است که جلب نظر کند‪.‬‬
‫دو روش در فرمول بندی عناصر مذکور وجود دارد‪:‬‬
‫ث‪ )1-‬بدست آوردن عناصرمثلثی دوبعدی و چهاروجهی سه بعدی از طریق متالش ی کردن عناصر‬
‫چهارضلعی دوبعدی و شش وجهی سه بعدی‬
‫به نظر می رسد که یک طریقه طبیعی ایجاد عناصر مثلثی‪ ،‬اعوجاج دار نمودن عنصر چهارضلعی‬
‫بنیادی برای ایجاد شکل مثلثی مورد نیاز باشد‪ .‬در عمل نیل به هدف مذکور از طریق اختصاص دادن‬
‫یک گره مشابه در مختصات کلی‪ ،‬به دو گره گوشه عنصر حاصل می گردد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫متالش ی نمودن فرم های عناصر چهارگرهی دوبعدی و هشت گرهی سه بعدی‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مثال ‪ :‬نشان دهید که از متالش ی نمودن ضلع ‪ 2-1‬عنصر چهارضلعی چهار گرهی نشان داده شده در‬
‫شکل زیر‪ ،‬یک عنصر مثلثی با کرنش ثابت بدست می آید‪.‬‬
‫حل‪ :‬با استفاده از توابع درون یابی داریم‪:‬‬
‫بنابراین با استفاده از شرایط ‪ x1=x2‬و ‪ y1=y2‬نتیجه زیر حاصل می گردد‪:‬‬
‫از این رو با مختصات گرهی داده شده در شکل داریم‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫نتیجه می شود که‪:‬‬
‫با استفاده از فرض ایزوپارامتریک‪ ،‬همچنين داریم‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫بنابراین داریم‪:‬‬
‫در این صورت نتیجه زیر حاصل می گردد‪:‬‬
‫به ازای کلیه مقادیر ‪ u2 , v2 , u3 , v3‬و نيز مقادیر ‪، u4 , v4‬‬
‫بردار کرنش ثابت بوده و مستقل از ‪ r‬و ‪ s‬است‪ .‬بنابراین عنصر‬
‫مثلثی یک مثلث کرنش ثابت می باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫در مثال پیشين تنها یک حالت خاص را در نظر گرفتیم‪ .‬با وجود این با استفاده از روش ی مشابه به‬
‫نظر می رسد که متالش ی نمودن هر ضلعی از عنصر تنش مسطح چهارضلعی یا عنصر کرنش مسطح‬
‫چهارضلعی همواره موجب ایجاد یک مثلث کرنش ثابت خواهد شد‪.‬‬
‫جالب توجه است که در فرمول بندی مورد استفاده در مثال مذکور‪ ،‬ماتریس ‪ J-1‬در ‪ s=+1‬تکين‬
‫بود‪ ،‬ولی هنگامی که ماتریس کرنش‪-‬تغیير مکان محاسبه می شود‪ ،‬این حالت تکینی ناپدید می گردد‪.‬‬
‫ بنابراین اگر در یک برنامه کامپیوتری‪ ،‬فرمول بندی عمومی عنصر چهارگرهی برای ایجاد یک مثلث‬‫کرنش ثابت بکار گرفته شود‪ ،‬در این صورت تنش ها نباید در دو گره محلی که به آنها یک گره در‬
‫مختصات کلی اختصاص داده شده است‪ ،‬محاسبه شوند (از آنجا که تنش ها در سرتاسر عنصر‬
‫ثابت اند‪ ،‬به آسانی در مرکز عنصر ‪ ،‬یعنی در ‪ r =0‬و ‪ s =0‬تعیين می گردند)‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مثال) نشان دهید که عنصر چهاروجهی سه بعدی ایجاد شده در شکل زیر از یک عنصر آجری سه‬
‫بعدی هشت گرهی‪ ،‬یک عنصر کرنش ثابت می باشد‪.‬‬
‫حل‪ :‬با استفاده از توابع درون یابی عنصر آجری و جایگذاری مختصات نقاط گرهی چهاروجهی نتایج‬
‫زیر حاصل می شوند‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫بنابراین داریم‪:‬‬
‫با استفاده از توابع درون یابی یکسانی برای ‪ u‬و با داشتن شرایط ‪ u1=u2=u3=u4‬و ‪، u5=u6‬‬
‫نتیجه زیر حاصل می شود‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫به طور مشابه‪ ،‬همچنين داریم‪:‬‬
‫حال با تعیين مشتقات تغیير مکان های ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬نسبت به ‪ r‬و ‪ s‬و ‪ t‬ا استفاده از ‪ ، J-1‬نتیجه‬
‫زیر حاصل می شود‪:‬‬
‫بنابراین کرنش ها به ازای هر تغیير مکان نقاط گرهی ثابت می باشند و این بدان معنی است که‬
‫عنصر مذکور تنها می تواند نمایشگر شرایط کرنش ثابت باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ث‪ )2-‬بدست آوردن عناصر مثلثی با مختصات سطحی )‪(Area coordinates‬‬
‫برای تعریف مختصات سطحی‪ ،‬یک نقطه ‪ P‬با مختصات ‪ x‬و ‪ y‬را در نظر بگيرید که داخل یک‬
‫عنصر مثلثی قرار دارد‪:‬‬
‫مختصات سطحی به صورت زیر تعریف می شوند‪:‬‬
‫‪A=A1+A2+A3‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مساحت مثلث را می توان به صورت زیر تعریف نمود‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 y3  x3 y 2  x1 ( y 2  y3 )  y1 ( x3  x2 )‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A  det x1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y1‬‬
‫عبارت مشابهی را برای مثلث های کوچک تر می توان نوشت‪ .‬مثال برای مثلث مقابل گره ‪ ،1‬که‬
‫دارای مختصات گره )‪ (x , y) , (x2 ,y2), (x3 ,y3‬است داریم‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 y3  y 2 x3  x( y 2  y3 )  y( x3  x2 )‬‬
‫‪2‬‬
‫بنابراین در حالت کلی می توان نوشت‪:‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪y3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪det x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫معادله مربوط به ‪ Li‬در واقع مختصات سطحی )‪ (L1 , L2 , L3‬نقطه ‪ P‬را بر حسب مختصات‬
‫دکارتی )‪ (x , y‬و مختصات گرهی عنصر )‪ (x1 ,y1), (x2 ,y2), (x3 ,y3‬تعریف می نماید‪.‬‬
‫اکنون می توان ثابت کرد که‪:‬‬
‫‪hi  Li‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  L1 x1  L2 x 2  L3 x3   Li xi   hi xi‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  L y  L y  L y  L y  h y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫برای تایید مناسب بودن توابع فوق حالتی را در نظر بگيرید که نقطه عمومی ‪ P‬بر گره ‪ 1‬منطبق باشد‪ ،‬در‬
‫این صورت بنا به تعریف خواهیم داشت‪ L1 =1 :‬و ‪ L2 =0‬و ‪ L3 =0‬و لذا داریم‪x=x1 :‬‬
‫با استفاده از روابط ‪:‬‬
‫می توان ماتریس های عناصر محدود را مستقیما تعیين نمود‪.‬‬
‫با این حال مانند فرمول بندی عناصر چهارضلعی در عمل‪ ،‬غالبا استفاده از فضای مختصات‬
‫طبیعی برای توصیف مختصات عنصر و تغیير مکان سودمند و مناسب است‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫اگر مختصات طبیعی را به صورت زیر در نظر بگيریم‪ ( :‬برای یک عنصر مثلثی واحد نمونه)‬
‫‪h1  ar  bs  c‬‬
‫‪r  0, s  0  h1  1 , r  0, s  1  h1  0 , r  1, s  0  h1  0‬‬
‫‪ h1  1  r  s‬‬
‫به همين ترتیب برای ‪ h2‬و ‪ h3‬عمل می کنیم و در نتیجه خواهیم داشت‪:‬‬
‫البته توابع ‪ h1‬و ‪ h2‬و ‪ h3‬را می توانستیم با استفاده از مختصات سطحی نيز به دست آوریم‪.‬‬
‫بنابراین حاال تعیين ماتریس های عنصر شامل یک تبدیل ژاکوبی نيز هست‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مثال‪ :‬با استفاده از دستگاه مختصات طبیعی ایزوپارامتریک شکل زیر‪ ،‬ماتریس های درون یابی تغیير مکان‬
‫و کرنش‪ -‬تغیير مکان یک عنصرمثلثی سه گرهی را با داشتن فرض های زیر ایجاد نمایید‪:‬‬
‫در این حالت با استفاده از روابط زیر داریم‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫نتیجه می شود که‪:‬‬
‫مالحظه می شود که باز هم یک عنصر کرنش ثابت به دست می آید‪.‬‬
‫مانند فرمول بندی عناصر چهارضلعی از مرتبه باالتر‪ ،‬عناصر مثلثی از مرتبه باالتر را نيز می توان‬
‫مستقیما فرمول بندی نمود‪ .‬با استفاده از دستگاه مختصات طبیعی ارائه شده داریم‪:‬‬
‫که در آن ‪ Li‬توابع درون یابی مثلث واحد می باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫توابع درون یابی یک عنصر دوبعدی مثلثی‬
‫با تعداد گره ‪ 3‬الی ‪ 6‬در شکل زیر ارائه‬
‫شده است‪ .‬این توابع به طریق معمول‬
‫ایجاد می شوند‪ ،‬به عنوان مثال‪ hi ،‬در‬
‫گره ‪ i‬باید واحد بوده و در سایر گره ها‬
‫مساوی صفر باشد‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫حال با استفاده از روش اشاره شده‪ ،‬می توان مستقیما توابع درون یابی عناصر چهاروجهی سه بعدی را ایجاد نمود‪ .‬بنابراین‬
‫مشابه مختصات سطحی برای عنصر دوبعدی‪ ،‬مختصات حجمی )‪ (Volume coordinate‬را نيز برای عنصر سه بعدی‬
‫داریم‪:‬‬
‫توابع درون یابی یک عنصر چهاروجهی سه بعدی با تعداد متغير ‪ 4‬تا ‪ 10‬گره در شکل زیر نشان داده شده است‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫انتگرال گيری عددی گوس ی در میدان های مثلثی‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫توجه شود که برای عنصر دوبعدی مثلثی‪ ،‬انتگرال گيری ها در روی مختصات طبیعی انجام می شوند‪،‬‬
‫به عبارت دیگر انتگرال گيری های ‪ r‬از ‪ 0‬تا ‪ 1‬و انتگرال گيری های ‪ s‬نيز از ‪ 0‬تا )‪ (1-r‬انجام می گيرند (‬
‫با وارد کردن تبدیل ژاکوبی)‪.‬‬
‫‪1 r 1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ CB det J dr ds‬‬
‫‪‬‬
‫‪K t‬‬
‫‪0 0‬‬
‫توجه شود که برای عنصر چهاروجهی سه بعدی‪ ،‬انتگرال گيری ها در روی مختصات طبیعی انجام‬
‫می شوند‪ ،‬به عبارت دیگر انتگرال گيری های ‪ r‬از ‪ 0‬تا ‪ 1‬و انتگرال گيری های ‪ s‬نيز از ‪ 0‬تا )‪ (1-r‬و‬
‫انتگرال گيری های ‪ t‬از ‪ 0‬تا )‪ (1-r-s‬انجام می گيرند( با وارد کردن تبدیل ژاکوبی)‪.‬‬
‫‪1r  s 1r 1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ CB det J dr ds dt‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫مثال‪ :‬عنصر مثلثی نشان داده شده در شکل زیر تحت اثر بردار نيروی جسمی ‪ f B‬در واحد حجم می‬
‫باشد‪ .‬بردار نيروی نقاط گرهی سازگار را محاسبه کنید‪.‬‬
‫حل‪ :‬فرض کنید که از بردار تغیير مکان زیر استفاده می کنیم‪:‬‬
‫در این صورت ماتریس درون یابی ‪ H‬به صورت زیر خواهد بود‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h6 ‬‬
‫‪h6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪ h 0 h2‬‬
‫‪H  1‬‬
‫‪ 0 h1 0‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫همچنين داریم‪:‬‬
‫بردار بار مربوط به بارگذاری نيروی جسمی‬
‫وارده عبارت است از‪:‬‬
‫که در نهایت به صورت روبرو در می آید‪:‬‬
‫و بعد از جایگذاری‪ ،‬جواب نهایی عبارت است از‪:‬‬
‫‪ 1 r 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t‬‬
‫‪h‬‬
‫‪f‬‬
‫‪det‬‬
‫‪Jdrds‬‬
‫‪   1 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 r 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t   h1f y det Jdrds ‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t   h6 f x det Jdrds ‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 r 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪t‬‬
‫‪h6 f y det Jdrds ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪RB‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ج) شرایط همگرایی یکنوا )‪ (Monotonic convergence‬در عناصر ایزوپارامتریک محيط پيوسته‬
‫دو شرط اساس ي براي همگرايي یکنوا‪ ،‬سازگار )‪ (Compatible‬و كامل بودن )‪(Completeness‬‬
‫عناصر مي باشند‪.‬‬
‫ج‪ )1-‬بررس ی سازگاری‪:‬‬
‫براي بررس ي سازگاري يك مجموعه همبسته عناصر محدود نياز داريم كه لبه ها و وجوه عناصر مجاور‬
‫هم را در نظر بگيريم‪ .‬براي تامين شرط سازگاري ضروري است كه مختصات و تغيير مكان هاي عناصر‬
‫در وجه مشترك يكسان باشند‪.‬‬
‫در عناصر ايزوپارامتريك‪ ،‬مختصات و تغيير مكان ها در يك وجه عنصر تنها با گره ها و درجات آزادي‬
‫گرهي در آن وجه مشخص مي شوند‪.‬‬
‫بنابراين هنگامي شرط سازگاري تامين مي گردد كه عناصر داراي گره هاي يكساني در وجه مشترك بوده‬
‫و مختصات و تغيير مكان ها در وجه مشترك و در هر عنصر به وسيله توابع درون يابي يكساني تعريف‬
‫شوند‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫در عمل غالبا درجه بندي شبكه اي )‪ (Mesh grading‬ضروري است و عناصر ايزوپارامتريك انعطاف پذيري خاص ي‬
‫را در نيل به شبكه هاي مدرج سازگار )‪ (Compatible graded mesh‬فراهم مي نمايند‪.‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ج‪ )2-‬بررس ی کامل بودن‪:‬‬
‫كامل بودن ايجاب مي كند كه تغيير مكان هاي صلب جسمي )‪ (Rigid body modes‬و حاالت‬
‫كرنش ثابت )‪ (Constant strain states‬امكان پذير باشند‪.‬‬
‫يك روش براي كنترل كامل بودن عنصر ايزوپارامتريك‪ ،‬بررس ي ويژه مقادير و ويژه بردارهاي ماتريس‬
‫سختي عنصر ايزوپارامتريك است‪.‬‬
‫ ولي براي عناصر ايزوپارامتريك از روش ديگري نيز مي توان استفاده نمود كه فهم بيشتري را در‬‫مورد شرايط خاص مربوط به فرمول بندي ایزوپارامتريک يك عنصر محيط پيوسته ايجاد و فراهم‬
‫مي نمايد‪.‬‬
‫ براي امكان پذير بودن حاالت صلب جسمي و كرنش ثابت‪ ،‬فرمول بندي ایزوپارامتريک بايد تغيير‬‫مكان هاي زير را كه در دستگاه مختصات محلي عنصر تعريف مي شوند‪ ،‬در بر گيرد‪( :‬مثال براي يك‬
‫عنصر سه بعدي محيط پيوسته)‬
‫(الف)‬
‫كه در آنها ‪ aj‬و ‪ bj‬و ‪ cj‬و ‪ dj‬و ‪ j=1, 2, 3‬مقادير ثابت مي باشند‪.‬‬
‫بررس ي براي حالت يك بعدي‪ :‬براي كرنش ثابت‬
‫و براي مد صلب جسمي ‪.b1=0‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫(الف)‬
‫تغيير مكان هاي نقاط گرهي متناظر با اين ميدان تغيير مكان عبارتند از‪:‬‬
‫(ب)‬
‫حال آزمون كامل بودن عنصر به صورت زير مي باشد‪:‬‬
‫نشان دهيد هنگامي كه تغيير مكان هاي نقاط گرهي به وسيله (ب) مشخص مي شوند‪ ،‬تغيير مكان‬
‫هاي (الف) نيز در حقيقت در هر نقطه ای از عنصر به دست مي آيند‪.‬‬
‫در فرمول بندي ایزوپارامتريک‪ ،‬توابع درون يابي تغيير مكان عبارتند از‪:‬‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫را در طرفين روابط (ب) ضرب می کنیم‪:‬‬
‫(ب)‬
‫(الف)‬
‫‪ -2‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته‬
‫ بنابراین هنگامی که تغیيرمکان نقاط گرهی عنصر بوسیله (ب) داده می شوند‪ ،‬روابط ارائه شده در‬‫(الف) در صورتی تغیيرمکان ها در هر نقطه ای از عنصر را بدست می دهندکه داشته باشیم‪:‬‬
‫می توان نشان داد که عناصر محیط پیوسته با تعداد گره متغير شرط کامل بودن را تامين می کنند‪:‬‬
‫ برای یک عنصر یک بعدی با دو گره‪:‬‬‫‪ -‬برای یک عنصر یک بعدی با سه گره‪:‬‬
‫و به همين ترتیب برای عناصر دوبعدی و سه بعدی نيز می توان نشان داد که آنها شرط کامل بودن را ارضا‬
‫می کنند‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫الف) مقدمه‪:‬‬
‫ منظور از عناصر سازه اي‪ ،‬عناصر تيري‪ ،‬خمش صفحه و پوسته ای است که در آنها عالوه بر تغیيرمکان ها‪،‬‬‫دوران ها نيز به عنوان متغير های حالت می باشند‪.‬‬
‫در فصل پيشين گفتيم كه با استفاده از نظريه تير ‪ Euler-Bernoulli‬و نظريه صفحه ‪ Kirchhoff‬مي توان‬‫عناصر تيري و خمش صفحه را با استفاده ار مدل های مختصات تعمیم یافته فرمول بندي كرد كه در آنها از‬
‫تغيير شكل هاي برش ي صرف نظر مي شود‪.‬‬
‫ با استفاده از نظريه ‪ ،Kirchhoff‬تامين پيوستگي متقابل عناصر در دوران هاي لبه دشوار بود‪ .‬زيرا دوران‬‫هاي صفحه با استفاده از تغييرمكان هاي جانبي محاسبه مي شوند ( به عبارت ديگر دوران ها متغير حالت‬
‫مستقل نبودند)‪.‬‬
‫هدف اصلي در اين بخش‪ ،‬بحث در مورد يك روش جايگزين براي فرمول بندي عناصر تيري و صفحه اي است‪.‬‬‫مباني اين روش عبارتند از‪:‬‬
‫الف) در نظر گرفته شدن تغيير شكل هاي برش ي با استفاده از نظريه هاي تير ‪ Timoshenko‬و نظريه هاي‬
‫صفحه ‪.Reissner- Mindlin‬‬
‫ب) تغييرمكان ها و دوران هاي عمود بر ميان سطح متغيرهاي حالت مستقلي هستند و شرايط پيوستگي متقابل‬
‫عناصر در اين كميت ها را مي توان مستقيما مانند محيط هاي پيوسته تامين نمود‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫* محاسن روش ايزوپارامتريك در فرمول بندي تيرها‪:‬‬
‫‪ -1‬اعمال برش‪،‬‬
‫‪ -2‬مدل نمودن تيرهاي انحنادار‪.‬‬
‫* محاسن روش ايزوپارامتريك در فرمول بندي صفحه ها‪:‬‬
‫‪ -1‬اعمال برش‪،‬‬
‫‪ -2‬مدل نمودن انحناءها‪،‬‬
‫‪ -3‬تامين سازگاري دوران ها‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ب) عناصر تيري‪:‬‬
‫ اگر تحليل خمش تير را با مالحظه اثر تغييرشكل هاي برش ي در نظر بگيريم (نظریه تير ‪ ،)Timoshenko‬اين فرض‬‫حفظ مي شود كه يك مقطع مسطح كه در ابتدا عمود بر محور خنثي مي باشد‪ ،‬همچنان مسطح باقي مي ماند‪ ،‬ولي به‬
‫دليل تغييرشكل هاي برش ي‪ ،‬اين مقطع عمود بر محور خنثي باقي نمي ماند‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ بنابراين دوران كلي یک سطح كه در ابتدا عمود بر محور خنثي تير مي باشد‪ ،‬بوسيله دوران مماس بر محور‬‫خنثي و تغيير شكل برش ي زير مشخص مي شود‪:‬‬
‫كه در آن كرنش برش ي ثابت در سرتاسر مقطع مي باشد‪ ،‬به عبارت ديگر در مدل عناصر محدود مورد‬
‫نظر‪ ،‬طبق فرض‪ ،‬كرنش برش ي در روي سطح مقطع تير ثابت است‪ .‬اما در واقعيت‪ ،‬تنش و كرنش برش ي‬
‫واقعي در روي مقطع تغيير مي كند‪ .‬به عنوان مثال در یک مقطع مستطیلی داریم‪:‬‬
‫ از آن جا كه تنش و كرنش برش ي واقعي در روي مقطع تغيير مي كند‪ ،‬از اينرو كرنش برش ي در‬‫‪ ،‬يك كرنش ثابت معادل يك سطح مقطع برش ی معادل است‪:‬‬
‫رابطه‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ نكته مهم تعيين فاكتور تصحيح برش ی ‪ k‬است‪ .‬از فرض هاي مختلفي براي تعيين يك فاكتور معقول ‪k‬‬‫استفاده نمود‪ .‬يك روش ساده براي تعيين فاكتور تصحيح برش ي‪ ،‬هنگامي كه در عمل مي كند‪ ،‬استفاده‬
‫بايد منجر به همان انرژي كرنش ي برش ي شود كه مربوط‬
‫از اين شرط است كه تنش برش ي معادل‬
‫به تنش برش ي واقعي‬
‫‪VQ‬‬
‫مقطع واقعي ‪ A‬عمل مي كند‪.‬‬
‫است كه در روي سطح‬
‫‪a ‬‬
‫‪Ib‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫مثال‪ :‬فاكتور تصحيح ‪ k‬را براي تيري با سطح مقطع مستطيلي با عرض ‪ b‬و عمق ‪ h‬تعيين كنيد‪.‬‬
‫حل‪:‬‬
‫انرژي كرنش ي‬
‫تير در واحد طول عبارت است از‪:‬‬
‫كه در آن تنش برش ي واقعي بوده و ‪ G‬ضريب برش ي و ‪ A‬سطح مقطع تير مي باشند‪.A=bh ،‬‬
‫‪VQ‬‬
‫‪Ib‬‬
‫‪a ‬‬
‫در مدل عناصر محدود مورد نظر‪ ،‬طبق فرض‪ ،‬كرنش برش ي در روي سطح مقطع تير ثابت است‪ .‬از آنجا كه‬
‫در واقعيت كرنش برش ي در سطح مقطع تير تغيير مي كند‪ ،‬لذا مي خواهيم يك سطح مقطع معادل تير را‬
‫براي مدل عناصر محدود مورد نظر پيدا مي كنيم‪ .‬اين هم ارزي بر اساس مساوي قرار دادن انرژي هاي‬
‫كرنش ي برش ي استوار مي باشد‪.‬‬
‫بنابراين با استفاده از كه در (‪ )a‬داده شده است‪ ،‬و با داشتن توزيع تنش برش ي واقعي‪ ،‬مي توان‬
‫رابطه زير محاسبه كرد‪:‬‬
‫را از‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫كه در آن ‪ V‬كل نيروي برش ي در مقطع است‪:‬‬
‫اگر از‬
‫استفاده كنيم‪ ،‬در اين صورت از (‪ )b‬نتيجه زير حاصل مي گردد‪:‬‬
‫از روی رابطه مذکور می توان ضریب تصحیح برش ی ‪ k‬را برای هر مقطعی به دست آورد ( توجه شود که برای هر‬
‫مقطعی داریم)‪:‬‬
‫‪VQ‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪Ib‬‬
‫به عنوان مثال براي تير با سطح مقطع مستطيلي خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪VQ‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪Ib‬‬
‫كه نتيجه‬
‫حاصل مي شود‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ب ‪ )1 -‬عناصر تيري مستقيم دو بعدي‬
‫ فرمول بندي عناصر محدود يك عنصر تيري با فرض‬‫به دست مي آيد‪.‬‬
‫‪ ،‬با استفاده از عبارات بنيادي كار مجازي‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ تابعك انرژي پتانسيل كلي عبارت است از (با در نظر گرفتن روابط زیر)‪:‬‬‫الف ‪ -‬انرژي کرنش ی ناش ی از خمش‪:‬‬
‫ب ‪ -‬انرژي کرنش ی ناش ی از برش‪:‬‬
‫‪M2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx , M  EI ( ),   EI  ( )2 dx‬‬
‫‪2EI‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2 0 dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dw‬‬
‫‪  GkA   2dx  GkA  (   )2 dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪ ,  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪, V   GkA ,   ‬‬
‫‪dx  ‬‬
‫‪dx ,‬‬
‫‪As‬‬
‫‪G GAs GkA‬‬
‫‪2GAs‬‬
‫‪2GkA‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ -‬براي كار مجازي رابطه زیر را براي تير مذكور خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪ -‬كه در آن ‪ p‬و ‪ m‬بار جانبي و لنگر در واحد طول مي باشند‪ .‬از درون يابي هاي زير استفاده مي كنيم‪:‬‬
‫ كه در آن ‪ q‬تعداد گره هاي مورد استفاده و‬‫صورت خواهیم داشت‪:‬‬
‫توابع درون يابي مورد استفاده از قبل مي باشد‪ .‬در این‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫‪ -‬در اين صورت براي يك عنصر منفرد داريم (با در نظر گرفتن رابطه اصل کار مجازی)‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫در اين فرمول بندي ها از دستگاه مختصات طبيعي تير استفاده كرديم‪ ،‬زيرا روش موثري در فرمول بندي‬‫عناصر محدود تيري مي باشد‪.‬‬
‫ ولي هنگامي كه يك تير مستقيم با مقطع ثابت را در نظر مي گيريم‪ ،‬انتگرال ها را مي توان به طور موثر بدون‬‫استفاده از دستگاه مختصات طبيعي‪ ،‬به گونه اي كه در مثال زير نشان داده شده است‪ ،‬تعيين نمود‪.‬‬
‫‪ -‬مثال‪ :‬ماتريس سختي عنصر تيري سه گرهي نشان داده شده در شكل زیر را با جزئيات مربوطه تعيين كنيد‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫حل‪ :‬توابع درون يابي مورد استفاده به صورت زير مي باشند‪:‬‬
‫توابع درون يابي فوق منجر به نتيجه زير مي شوند‪:‬‬
‫با استفاده از‬
‫نتيجه زير حاصل مي شود‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪l‬‬
‫بنابراين از جایگذاری ‪ r‬در توابع درون يابي فوق‪ ،‬توابع درون يابي بر حسب ‪ x‬به صورت زیر به دست می آیند‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫با استفاده از نمادگذاري‬
‫نتايج زير بدست مي آيد‪:‬‬
‫بنابراين با درجات آزادي مرتب شده به صورت‬
‫داريم‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ب‪ )2 -‬پديده قفل شوندگي برش ي (‪)Element shear locking‬‬
‫ عنصر تيری ارائه شده در قسمت قبلی‪ ،‬يك عنصر مبتني بر تغييرمكان( تعميم يافته( صرف مي باشد و به‬‫شرطي مي تواند مورد استفاده قرار گيرد كه عنصر داراي سه يا چهار گره باشد و ( گره هاي داخلي دقیقا به‬
‫ترتيب در وسط عنصر و نقاط ‪ 1/3‬طول قرار گرفته باشند)‪.‬‬
‫ اگر عنصر دو گرهي به كار رود و يا نقاط داخلي عناصر سه گرهي و چهار گرهي به ترتيب در وسط عنصر و‬‫نقاط ‪ 1/3‬طول قرار نگرفته باشند‪ ،‬در اين صورت استفاده از اين عنصر توصيه نمي شود‪ ،‬زيرا تغييرشكل‬
‫هاي برش ي با دقت كافي نمايش داده نمي شوند‪ ،‬اين نقص به ويژه هنگامي كه عنصر تيری‪ ،‬نازك (‪)Thin‬‬
‫باشد بيشتر خود را نشان مي دهد‪.‬‬
‫‪ -‬براي پيدا كردن فهم بيشتر در مورد رفتار عناصر نازك از تابعك انرژی پتانسيل كلي تير استفاده مي كنيم‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫اگر تابعك انرژی پتانسيل كلي تير را به صورت زیر بنویسیم (كه در آن از سهم بارها صرف نظر شده و بر ‪EI /2‬‬
‫تقسيم شده است)‪:‬‬
‫‪ -‬هنگامي كه عنصر نازك باشد ( ‪0‬‬
‫‪ ،) h‬در اينصورت‬
‫به سمت بي نهايت ميل خواهد كرد‪ ،‬به‬
‫عبارت دیگرسهم نسبی برش بسیار زیاد و سهم نسبی خمش بسیار کم خواهد شد ‪ .‬اما نكته اين است كه هر‬
‫اندازه تير بيشتر نازك مي شود‪ ،‬به تير تغيير شكل هاي برش ي صفر (‬
‫) نزديك مي شويم‪.‬‬
‫) بايد قابليت اين را داشته‬
‫)و‪( w‬‬
‫ بنابراين فرض هاي تغييرمكان عناصر محدود در (‬‫باشند كه به ازاي مقادير بزرگ (براي تيرهاي نازك)‪ ،‬تغييرشكل هاي برش ي و (انرژي كرنش برش ي حاصل از‬
‫آن) در سرتاسر عنصر كوچك باشند‪.‬‬
‫ اگر به علت فرض هاي مورد استفاده در و ‪ w‬تغيير شكل هاي برش ي در هر نقطه اي نتوانند كوچك ‪ -‬و‬‫در حقيقت صفر ‪ -‬باشند‪ ،‬در اين صورت يك انرژي كرنش ي برش ي غيرواقعي و نادرست ( كه در مقايسه با‬
‫انرژي خمش ي مي تواند بزرگ باشد) در تحليل وارد مي شود‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ هنگامي كه سازه تيري نازك است‪ ،‬اين خطا موجب تغييرمكان هاي بسيار كوچك تر از مقادير واقعي خواهد شد‪.‬‬‫بنابراين در چنين حاالتي مدل هاي عناصر محدود بيش از اندازه سخت مي شوند‪ ،‬به اصطالح‪ ،‬عنصر قفل می کند‪.‬‬
‫رفتار بسيار سختي كه عناصر نازك از خود نمايش مي دهند‪ ،‬قفل شوندگي برش ي عنصر ناميده مي شود‪.‬‬
‫پديده قفل شوندگی برش ی‬‫)‪ ،(Shear locking‬بويژه در‬
‫عناصر تيري دو گرهي مبتني بر‬
‫تغييرمكان‪ ،‬خود را نمايان مي‬
‫سازد‪ .‬مثال روبرو این واقعیت را‬
‫نمایش می دهد‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ روش هاي متنوعي را مي توان براي اصالح فرمول بندي عنصر تيري مبتني بر تغيير مكان ‪ -‬و فرمول بندي‬‫عناصر خمش صفحه اي ايزوپارامتريك مبتني بر تغييرمكان ‪ -‬به كار برد تا اينكه عناصر کارآمدی بدست آيند‪.‬‬
‫این عناصر دارای ویژگی های زیر باید باشند‪:‬‬
‫الف‪ -‬قابل اطمينان (‪ )Reliable‬و كارا (‪ )Efficient‬باشند‪،‬‬
‫ب‪ -‬خاصيت قفل شوندگي برش ي (‪ )Shear locking‬از خود نشان ندهند‪،‬‬
‫پ‪ -‬ماتريس سختي عنصر نبايد شامل انرژي برش ی غير واقعی باشند‪،‬‬
‫ت‪ -‬داراي ظرفيت پيش بيني كنندگي باال (‪ )High predictive capability‬در شرايط عمومي‬
‫بارگذاري و هندس ي باشد‪.‬‬
‫ یک روش موثر‪ ،‬استفاده از فرمول بندی عناصر محدود آمیخته ( ‪Mixed‬‬‫‪ )Finite Element Formulation‬می باشد که در آن عالوه بر تغیيرمکان های‬
‫تعمیم یافته از تنش یا کرنش نيز به عنوان متغير حالت استفاده می شود‪ .‬يك عنصر‬
‫تيري موثر با استفاده از درون يابي آميخته (‪ )Mixed Interpolation‬تغييرمكان‬
‫ها و كرنش هاي برش ي جانبي حاصل مي گردد‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫در این روش‪ ،‬مي توان براي يك عنصر با ‪ q‬گره‪ ،‬درون يابي زير را فرض كرد‪:‬‬
‫توابع درون يابي تغييرمكان و دوران مقطع براي ‪ q‬گره و تابع درون يابي برای كرنش هاي‬
‫مي باشند كه در واقع‬
‫برش ي جانبي مي باشند‪ .‬توابع همراه با )‪(q -1‬مقدار گسسته‬
‫كرنش برش ي در نقطه انتگرال گيری گوس ي است كه مستقيما از درون يابي هاي تغييرمكان‪ /‬دوران‬
‫مقطع بدست مي آيند‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫در مورد اين عناصر‪ ،‬يك جنبه محاسباتي جالب توجهي وجود دارد‪ :‬ماتريس هاي سختي اين عناصر را مي‬
‫توان با كارايي خوبي از انتگرال گيري مدل مبتني بر تغييرمكان با استفاده از انتگرال گيري گوس ي يك نقطه‬
‫ای براي عنصر دو گرهي‪ ،‬انتگرال گيري گوس ي دو نقطه اي براي عنصر سه گرهي و انگترال گيري گوس ي سه‬
‫نقطه اي براي عنصر چهار گرهي بدست آورد‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫پ ) عناصر انتقالي (‪:)Transition Elements‬‬
‫ عناصر انتقالی عناصری هستند که برای ارتباط دو محیط پیوسته و محیط سازه ای مورد استفاده قرار‬‫می گيرند‪.‬‬
‫ برای ایجاد ماتریس های مورد نیاز برای‬‫فرمول بندی عناصر محدود انتقالی‪ ،‬الزم است‬
‫که در مورد رابطه بين عناصر محدود محیط‬
‫پیوسته و عناصر محدود سازه ای بحثی انجام‬
‫گيرد‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ در مباحث پيشين‪ ،‬عناصر محيط پيوسته و عناصر تيري را به طور جداگانه در نظر گرفتيم‪ .‬ولي به هر حال‬‫رابطه تنگاتنگي بين اين عناصر بايد مورد توجه قرار گيرد‪.‬‬
‫ تفاوت هاي اين عناصر صرفا در دو فرض مي باشد‪:‬‬‫ فرض سينماتيك‪ :‬كه طبق آن سطوح مسطحي كه در ابتدا عمود بر محور خنثي مي باشند‪،‬‬‫مي مانند‪،‬‬
‫مسطح باقي‬
‫ فرض تنش‪ :‬كه بر مبناي آن تنش هاي عمود بر محور خنثي صفر مي باشند‪.‬‬‫فرض سينماتيك مستقيما در درون يابي هاي هندسه و تغييرمكان در نظر گرفته مي شود‪.‬‬‫ فرض تنش مستقيما در قانون تنش – كرنش مورد استفاده قرار مي گيرد‪.‬‬‫ از آنجا كه دو فرض مذكور تنها تفاوت هاي بين عناصر تيري و محيط پيوسته مي باشند‪ ،‬ظاهرا به نظر مي‬‫رسد كه استخراج ماتريس هاي عنصر سازه اي از ماتريس هاي عنصر محيط پيوسته با استفاده از روش‬
‫تباهيدگي (‪ )Degeneration‬امكان پذير باشد‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫مثال‪ :‬فرض كنيد كه ماتريس كرنش‪ -‬تغييرمكان يك عنصر تنش مسطح چهار گرهي استخراج شده است‪.‬‬
‫چگونگي ايجاد ماتريس كرنش‪ -‬تغييرمكان يك عنصر تيري دو گرهي را نشان دهيد‪.‬‬
‫حل‪:‬‬
‫شكل زير عنصر تنش مسطح با درجات آزادي مربوطه اش و عنصر تيري را نشان مي دهد كه براي آن مي‬
‫خواهيم ماتريس كرنش ‪ -‬تغييرمكان را ايجاد كنيم‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫گره ‪ 2‬از عنصر تيري و گره هاي ‪ 2‬و ‪ 3‬از عنصر تنش مسطح را در نظر بگيريد‪ .‬عناصر ماتريس كرنش‪ -‬تغييرمكان عنصر تنش‬
‫مسطح عبارتند از‪:‬‬
‫حال با استفاده از فرض‬
‫هاي تغيير شكل تير‪،‬‬
‫قيدهاي سينماتيك زير را‬
‫داريم‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫حال اين قيدها در (‪ )a‬جايگذاري مي شوند تا از عناصر ماتريس ‪ ،‬عناصر ماتريس كرنش‪ -‬تغييرمكان‬
‫‪ B‬تير به دست آيند‪ .‬با استفاده از سطرهاي ماتريس و با داشتن (‪ )b‬داريم‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫روابط سمت راست (‪ )c‬تا (‪ )e‬شامل عناصر ماتريس كرنش‪ -‬تغييرمكان تير مي باشند‪:‬‬
‫درایه های سطر اول و سطر سوم همان درایه هایی هستند كه با استفاده از فرمول بندي تير نيز به دست آمده‬
‫اند‪ .‬بايد دانست كه عناصر صفر در سطر دوم ماتريس ‪ B‬تنها اين واقعيت را بيان مي دارند كه كرنش در‬
‫صفر است‪.‬‬
‫مي باشد‪ ،‬زيرا تنش‬
‫فرمول بندي وارد نشده است‪ .‬اين كرنش در واقع مساوي با‬
‫البته فرمول بندی عنصر سازه ای با استفاده از روش مورد بحث در مثال قبلی‪ ،‬از نکته نظر محاسباتی دارای کارایی‬
‫نیست و مطمئنا برای تحلیل عمومی توصیه نمی شود‪.‬‬
‫با وجود این‪ ،‬مطالعه این روش و مالحظه این نکته که ماتریس های عنصر سازه ای را می توان اصوال از ماتریس های‬
‫عنصر محیط پیوسته با اعمال فرض های مناسب ایستایی و سینماتیکی به دست آورد‪ ،‬سودمند و آموزنده است‪.‬‬
‫همچنين این فرمول بندی مستقیما در ایجاد عناصر انتقالی موثر است و این عناصر می توانند به طریقه ای موثر‬
‫برای ترکیب نمودن عناصر سازه ای و عناصر محیط پیوسته بدون کاربرد معادالت قیدی ( ‪Constraint‬‬
‫‪ )equations‬مورد استفاده قرار گيرند‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫مثال‪ :‬ماتریس های درون یابی تغیيرمکان ‪ H‬و کرنش – تغیيرمکان ‪ B‬عنصر انتقالی نشان داده شده در‬
‫شکل زیر را ایجاد کنید‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫حل‪ :‬بردار تغیيرمکان نقاط گرهی عنصر انتقالی را به صورت زیر تعریف می کنیم‪:‬‬
‫از آنجا که در‪ r = +1‬درجات آزادی عنصر تنش مسطح را داریم‪ ،‬از این رو توابع درون یابی مربوط به گره‬
‫های ‪ 1‬و ‪ 2‬عبارتند از‪:‬‬
‫گره ‪ 3‬یک گره تيری می باشد و تابع درون یابی عبارت است از‪:‬‬
‫بنابراین تغیيرمکان های عنصر به صورت زیر می باشند‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪u (r , s )  h1u1  h2u 2  h3 (u 3  s 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v (r , s )  hv‬‬
‫‪1 1  h2v 2  h3v 3‬‬
‫از این رو متناظر با بردار تغیيرمکان (‪ )a‬داریم‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫درون یابی مختصات‪ ،‬شبیه درون یابی مورد استفاده در عنصر تنش مسطح چهار گرهی می باشد‪:‬‬
‫‪r  1, x 1  x 2  L‬‬
‫‪r  1, x 3  0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s  1, y 1 ‬‬
‫‪s  1, y 2  ‬‬
‫‪s  0, y 3  0‬‬
‫بنابراین داریم‪:‬‬
‫از این رو نتیجه زیر‬
‫حاصل می گردد‪:‬‬
‫‪ xx ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪   yy ‬‬
‫‪ xy ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ت) عناصر خمش صفحه (‪)Plate bending elements‬‬
‫ فرمول بندی ایزوپارامتریک عناصر خمش صفحه بر اساس نظریه ‪Reissner/Mindlin‬‬‫استوار است‪.‬‬
‫ مبانی نظریه ‪ Riessner/Mindlin‬عبارتند از‪:‬‬‫ اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛‬‫ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان‪ -‬سطح می باشند‪ ،‬بعد از تغييرشکل‪ ،‬نيز مسطح باقی می‬‫مانند؛‬
‫ مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان‪ -‬سطح می باشند‪ ،‬در حالت کلی بعد از تغييرشکل‪،‬‬‫عمود بر میان‪ -‬سطح باقی نمی مانند‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ بر مبنای نظریه ‪ Reissner/Mindlin‬مولفه های تغیيرمکان یک نقطه با مختصات ‪x ,‬‬‫‪ y , z‬طبق نظریه خمش با مالحظه تغیيرمکان های کوچک عبارتند از‪:‬‬
‫‪:‬دوران عمود بر میان سطح تغیير شکل نیافته در صفحه ‪ x-z‬حول محور ‪y‬ها (بدون اثر‬
‫)‬
‫تغیيرشکل های برش ی‬
‫‪:‬دوران عمود بر میان سطح تغیير شکل نیافته در صفحه ‪ y-z‬حول محور ‪x‬ها (بدون اثر‬
‫)‬
‫تغیيرشکل های برش ی‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫‪ -‬وضعیت کرنش و تنش ها در نظریه خمش صفحه ‪Reissner/Mindlin‬‬
‫ در واقع بر طبق نظریه مذکور صرفا‬‫نمی باشند‪ ،‬به عبارت دیگر داریم‪:‬‬
‫مساوی صفر می باشد و‬
‫انحناء خمش ی در جهت ‪(x‬موازی صفحه ‪)xz‬‬
‫انحناء خمش ی در جهت ‪(y‬موازی صفحه ‪)yz‬‬
‫انحناء پیچش ی‬
‫قابل صرف نظر کردن‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫‪ -‬بنابراین حالت تنش مربوط به یک عنصر ایزوتروپیک می توان نوشت‪:‬‬
‫اکنون اصل کار مجازی را برای یک عنصر صفحه ای با بارگذاری جانبی ‪ p‬در واحد میان ‪ -‬سطح و با‬
‫ضخامت ‪ h‬را می توان به صورت زیر نوشت‪:‬‬
‫‪ k‬یک مقدار ثابتی است که برای در نظر گرفتن غيریکنواختی واقعی تنش های برش ی به کار می رود ( معموال‬
‫مقدار ‪ 5/6‬مورد استفاده قرار می گيرد)‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫بنابراین پس از جایگذاری های الزم خواهیم داشت‪:‬‬
‫تغیير شیب در جهت ‪ x‬نسبت به ‪x‬‬
‫تغیير شیب در جهت ‪ y‬نسبت به ‪y‬‬
‫انحناء خمش ی در جهت ‪(x‬موازی صفحه ‪)xz‬‬
‫انحناء خمش ی در جهت ‪(y‬موازی صفحه ‪)yz‬‬
‫تغیير شیب در جهت ‪ x‬نسبت به ‪y‬‬
‫انحناء پیچش ی‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫لنگر خمش ی داخلی =‬
‫‪‬‬
‫‪h3‬‬
‫‪h z dz  12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫نيروی برش ی=‬
‫‪‬‬
‫‪ (r , s )  B  u‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (r , s )  B  u‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫تاکید می کنیم که در این نظریه ‪w‬و و متغيرهای مستقل اند‪ .‬بنابراین در گسسته سازی‬
‫عناصر محدود با استفاده از روش تغیيرمکان الزم است که پیوستگی متقابل عناصر را تنها در‬
‫‪w‬و و ‪ -‬و نه در مشتقات وابسته به آنها‪ -‬اعمال کنیم و این شرط پیوستگی به طریقه‬
‫مشابهی که در تحلیل عناصر محدود ایزوپارامتریک محیط پیوسته عمل کردیم‪ ،‬می تواند به‬
‫آسانی حاصل شود‪.‬‬
‫– الزم به ذکر است که در گسسته سازی تغیيرمکان صرف‪ ،‬از روابط زیر استفاده می کنیم‪.‬‬
‫‪ -‬که در آنها‬
‫توابع درون یابی بوده و ‪ q‬تعداد گره های عنصر می باشد‪.‬‬
‫ حال با این درون یابی ها می توان به طریقه معمول فرمول بندی را دنبال کرد و تمامی مفاهیم مربوط‬‫به عناصر ایزوپارامتریک را که در آغاز مورد بحث قرار گرفتند‪ ،‬مستقیما به کار برد‪.‬‬
‫ از آنجا که توابع درون یابی بر حسب مختصات ایزوپارامتریک ‪ s , r‬داده شده اند‪ ،‬از این رو می‬‫توان مستقیما ماتریس های عنصر صفحه ای که در صفحه خود با انحنا هستند محاسبه نمود (‬
‫به عنوان مثال برای مدل نمودن یک صفحه دایره ای)‪.‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫مثال‪ :‬عبارات مورد استفاده در تعیين ماتریس سختی عنصر خمش صفحه چهار گرهی نشان داده شده در‬
‫شکل زیر را استخراج کنید ( بر اساس نظریه ‪.)Reissner/Mindlin‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫محاسبات مورد نیاز بسیار شبیه محاسباتی می باشند که در فرمول بندی عنصر تنش مسطح دو بعدی انجام‬
‫شدند‪.‬‬
‫برای عنصر نشان داده شده در شکل فوق داریم‪:‬‬
‫و در این صورت با استفاده از توابع درون یابی تعریف شده در شکل و با عبارات مشابه برای مشتقات داریم‪:‬‬
‫بنابراین اگر از نمادگذاری زیر استفاده کنیم‪:‬‬
‫که در آن‪:‬‬
‫ فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬-3
:‫همچنين داریم‬
  x
 x

  x
 y

  x

 r
1
J 

  x

 s





  y

 x
  y
 y


  y


  J 1  r

  y

 s






‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫همچنين داریم‪:‬‬
‫در این صورت ماتریس سختی عنصر عبارت است از‪:‬‬
‫و بردار بار سازگار عبارت است از‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫ این فرمول بندی عنصر خمش صفحه مبتنی بر تغیيرمکان‪ ،‬تنها در هنگام استفاده از عناصر مرتبه باالتر‬‫دارای ارزش است (مانند عناصر تيری) و لذا گسسته سازی تغیير مکان منجر به ایجاد عناصر کارامدی از‬
‫مرتبه پایين تر نخواهد شد‪ .‬در حقیقت کمترین درون یابی مورد استفاده باید یک درون یابی درجه سومی‬
‫باشد که منجر به یک عنصر چهار ضلعی ‪ 16‬گرهی و یک عنصر مثلثی ‪ 12‬گرهی می شود‪ .‬با وجود این حتی‬
‫این عناصر از مرتبه باالتر‪ ،‬هنوز هم ظرفیت پیش بینی کنندگی خوبی را به نمایش نمی گذارند‪ ،‬به ویژه‬
‫هنگامی که عناصر دارای اعوجاج هندس ی برای برآورد تنش به کار می روند‪.‬‬
‫ مانند حالت عناصر تيری ایزوپارامتریک‪ ،‬دشواری اصلی این است که تنش های برش ی غيرواقعی در عناصر‬‫مبتنی بر تغیيرمکان به دست می آیند‪ .‬این تنش های غيرواقعی‪ ،‬به ميزانی که نسبت ضخامت به طول عنصر‬
‫کاهش پیدا می کند‪ ،‬موجب سخت شدن غيرواقعی عناصر می شوند‪ .‬این اثر قفل شوندگی برش ی برای‬
‫عنصر از مرتبه پایين تر و عناصر با اعوجاج هندس ی بیشتر نمایان می شود‪ ،‬زیرا در این صورت خطا در تنش‬
‫های برش ی بزرگتر است‪.‬‬
‫ برای نیل به عناصر خمش صفحه ای کارامد و قابل اطمینان‪ ،‬فرمول بندی مبتنی بر تغیيرمکان باید بسط‬‫داده شود‪ .‬یک روش موفق استفاده از درون یابی آمیخته تغیيرمکان جانبی‪ ،‬دوران های مقطع و کرنش‬
‫های برش ی جانبی است ) ‪.(w , βx , βy , γxz , γyz‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫پديده قفل شوندگی برش ی در صفحه ها‬
‫رابطه تابعک انرژی پتانسیل کلی در عنصر خمش صفحه‪:‬‬
‫از طرفی رابطه کرنش ها به صورت زیر می باشد‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫با جایگذاری روابط فوق در تابعک انرژی به رابطه زیر می رسیم‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫با جایگذاری انتگرال گیری های فوق‪ ،‬رابطه تابعک به صورت زیر در می آید‪:‬‬
‫‪ -3‬فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك سازه اي‬
‫با تقسیم رابطه فوق بر ‪Eh3‬‬
‫سهم خمش ی‬
‫و حذف سهم بارها به رابطه زیر می رسیم‪:‬‬
‫سهم برش ی‬
‫ایجاد انرژی کرنش ی برش ی غیرواقعی‬
‫با تشکر از توجه شما …‬