Transcript People_Courses_10_Theory of Elasticity

1
‫تئوری االستیسیته‬
‫‪Theory of Elasticity‬‬
‫كريم عابدي‬
‫‪2‬‬
‫فصل چهارم‪:‬‬
‫روش هاي انرژي‬
‫‪3‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )1‬تعاريف بنيادي‬
‫الف) كار (‪)Work‬‬
‫هرگاه نقطه اثر نيروي ‪ F‬كه به سيستمي اعمال مي شود به اندازه جزئي‬
‫شود كه مقدار جزئي كار ‪ dw‬انجام یافته است‪:‬‬
‫جابجا شود‪ ،‬گفته مي‬
‫‪dw  F. u‬‬
‫ب) كار مجازي (‪)Virtual Work‬‬
‫‪Fi،‬يك جابجايي تصوري يا ذهني‬
‫هرگاه نقطه اثر نيروي حقيقي اعمالي به سيستم‬
‫در اين صورت مقدار جزئي كار انجام مي گيرد كه به آن كار مجازي اطالق مي شود‪:‬‬
‫را ‪i‬طي‪ u‬كند‪،‬‬
‫‪w  Fi . u i‬‬
‫‪4‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫پ) كار مكمل مجازي (‪)Complementary Virtual Work‬‬
‫هرگاه ميدان تغيير مكان يك سيستم تحت نيرو را با و تغييرمكان نقطه مشخص ي از آن را با‬
‫نشان دهيم‪ ،‬اگر در هنگام پديد آمدن ميدان تغييرمكان‪ ،‬نيروي مجازي‬
‫را در‬
‫)‪ ،‬با جابجايي نقطه اثر اين نيروي مجازي‪ ،‬مقداري كار مجازي‬
‫نقطه مشخص ‪ i‬در نظر بگيريم(‬
‫صورت مي گيرد كه كار مكمل مجازي ناميده مي شود كه به صورت زير نمايش داده مي شود‪:‬‬
‫‪w *  u i . Fi‬‬
‫‪5‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )2‬اصل تغيير مكان مجازي (‪)Principle of Virtual Displacement‬‬
‫ا‬
‫جسم االستيك شكل زير را در نظر مي گيريم كه محدوده حدي يا خارجي اين جسم كامال به دو‬
‫قسمت عمده مجزا تقسيم مي شود‪:‬‬
‫قسمت اول كه با ‪ St‬نشان داده مي شود‪ ،‬قسمتي است كه بر‬
‫روي آن نيروهاي خارجي مشخص شده است‪ .‬البته محدوده‬
‫نيروي صفر نيز به عنوان محدوده نيرو يا وضعيت حدي نيرويي‬
‫تلقي مي شود‪.‬‬
‫قسمت دوم كه با ‪ Su‬نشان داده مي شود و منظور قسمتي است كه به عنوان تكيه گاه از آن نام‬
‫ا‬
‫برده مي شود و عموما داراي تغيير مكان صفر يا جابجايي از پيش تعيين شده مي باشد‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫حال چنانچه صحبت از يك ميدان تغييرمكان مجازي در جسم فوق باشد‪ ،‬اين ميدان را به صورتي‬
‫مجسم مي كنيم كه در روي مرز حدي ‪ Su‬كه قيود تكيه گاهي سيستم قرار گرفته است‪ ،‬شرايط‬
‫حدي سينماتيكي ارضاء شود‪ .‬چنين ميدان تغييرمكان مجازي را ميدان مجاز يا قابل قبول‬
‫(‪ )admissible‬نامند‪.‬‬
‫به منظور مطالعه و بررس ي پيرامون استنتاج رابطه مناسبي بر اساس استفاده از مفهوم كار‬
‫مجازي‪ ،‬ابتدا فرض مي شود كه مؤلفه هاي يك ميدان تغييرمكان جزئي قابل قبول براي جسم‬
‫و يا در‬
‫االستيك ‪ B‬كه در شكل زير نشان داده شده است‪ ،‬به ترتيب به صورت‬
‫تعريف شده باشند كه هريك از اين سه مؤلفه‪ ،‬تابع مختصات ‪x1‬‬
‫صورت لزوم به شكل‬
‫و ‪ x2‬و ‪ x3‬خواهند بود‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫هرگاه عنصري از جسم شكل باال را درنظر بگيريم‪ ،‬با پديد آوردن ميدان تغييرمكان جابجايي‪ ،‬تنش‬
‫هاي موجود در روي اين املان به دليل تغييرشكل مجازي پديد آمده‪ ،‬مقداري كار مجازي انجام مي‬
‫دهند‪ .‬چنانچه كل جسم را تحت اثر نيروهاي اعمالي خارجي در حال تعادل فرض كنيم‪ ،‬كار مجازي‬
‫صورت گرفته شده كل‪ ،‬به دليل صفر بودن منتجه تنش در روي هر املاني از آن صفر مي باشد‪ .‬به‬
‫نمايش داده مي شود‪ ،‬به صورت زير به دست مي آيد‪:‬‬
‫عبارت كار مجازي كل كه با‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  u i dV  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ji‬‬
‫‪w   ‬‬
‫‪ Bi‬‬
‫‪‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪ x j‬‬
‫معادله مذكور را مي توان به صورت زير نوشت‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ji .ui    ji ui   Biui dV  0‬‬
‫‪w   ‬‬
‫‪x j‬‬
‫‪‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪ x j‬‬
‫‪8‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫با استفاده از قضيه ديورژانس‪ ،‬جمله اول سمت چپ را می توان به انتگرال روی سطح تبدیل کررد‪.‬‬
‫به عبارت دیگر داریم‪:‬‬
‫‪w    ji n j  u i .dS    ji  e ij dV   B i  u i dV 0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪st‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ St‬مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن نيرو تعريف شده است‪.‬‬
‫معادله باال را مي توان به صورت زير نيز نوشت‪:‬‬
‫‪w   q i  u i dS    ji  e ij dV   B i  u i dV 0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪st‬‬
‫عبارت فوق عبارت كار مجازي يك سيستم االستيك تحت نيرو بر اثر اعمال ميدان جابجايي مجازي‬
‫است‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫اگر دقت كنيم كه نيروهاي خارجي اعمالي به سيستم‪ ،‬متشكل از نيروهاي سطحي ‪ q‬و‬
‫نيروهاي حجمي ‪ Bi‬است‪ ،‬كار مجازي خارجي را مي توان به صورت زير فرموله كرد (كار مجازي‬
‫توسط نيروهاي خارجي اعم از نيروهاي سطحي و نيروهاي حجمي)‪:‬‬
‫‪w e   q  u i dS   B i  u i dV‬‬
‫‪V‬‬
‫انرژي ارتجاعي مجازي‬
‫‪st‬‬
‫را نيز مي توان به صورت زير نشان داد‪:‬‬
‫‪U    ij  e ij dV‬‬
‫‪V‬‬
‫بنابراين داريم‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪we  U‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫معادله نهايي‬
‫‪ we  U‬را مي توان در قالب قضيه زير بيان نمود‪:‬‬
‫هرگاه يك جسم االستيك تحت اثر نيروهای وارده در حال تعادل باشد و تغيير مكان اختياري مجازي سازگار‬
‫با شرايط تكيه گاهي خود را تجربه نمايد‪ ،‬در اين صورت كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي خارجي‬
‫اعمالي به آن‪ ،‬مساوي كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي داخلي آن مي باشد‪.‬‬
‫چنين اصلي مستقل از خواص ماده است و در طي تحمل تغيير مكان مجازي‪ ،‬نيروها ثابت هستند‪.‬‬
‫معادله ‪we  U‬را‪‬مي توان به عنوان شرط الزم و كافي براي ارضاي شرايط تعادل در يك جسم‬
‫تلقي كرد‪ .‬به عبارت ديگر قضيه اصل تغیيرمکان مجازي به صورت زير نيز قابل بيان مي باشد‪:‬‬
‫شرط الزم و كافي براي تعادل يك جسم االستيك‪ ،‬برابر بودن كار خارجي مجازي صورت گرفته شده‬
‫توسط نيروهاي اعمالي به آن با كار داخلي مجازي انجام يافته توسط ميدان تنش آن در طي تجربه‬
‫كردن يك ميدان تغیير مكان مجازي قابل قبول است‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )3‬اصل نيروي مجازي (‪)Principle of Virtual Forces‬‬
‫بررا اراارره اصررل تغييررر مكرران مجررازي‪ ،‬برره وضررو ديررديم كرره چگونرره مرري ترروان بررا در نظررر گرررف ن يررك ميرردان تغييررر مكرران‬
‫مجازي قابل قبول و استفاده از اصل مزبور‪ ،‬به حل مساال ارتجاعي پرداخت‪.‬‬
‫اکنون شرکل دیگرری از اصرل رار مجرازی را کره تحرت عنروان اصرل نيرروی مجرازی شرناخته مری شرود‪ ،‬مرورد دقرت قررار‬
‫مرری دهرریم و نشرران خررواهیم داد کرره چگونرره بررا در نظررر گرررف ن یررم سیسررتم نيررروی مجررازی متعررادل در روی یررم جسررم‬
‫ارتجاعی می توان به یم میدان تغیيرمکان سازگار دست یافت‪.‬‬
‫شكل زير يك جسم ارتجاعي را نشان مي دهد كه اين جسم‬
‫عالوه بر اينكه تحت اثر يك سيستم نيروي حقيقي قرار‬
‫ا‬
‫دارد كه اين سيستم نيرو باعث يك ميدان تنش كامال‬
‫متعادل مي شود‪ ،‬تحت اثر يك سيستم نيروي مجازي نيز‬
‫قرار گرفته است كه اين سيستم نيز متعادل بوده و منجر‬
‫به يك ميدان تنش مجازي متعادل مي شود (سیستم نيروی‬
‫حقیقی در شکل نشان داده نشده است)‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫ران مری دهریم‪.‬‬
‫سیستم نيروی مجازی را به طور سمبولیم با ‪q i‬و‪‬میدان ترنش مربوطره را برا‬
‫ن‪ij‬ش‪‬‬
‫از آنجا که مطابق فرض‪ ،‬سیستم نيروی مجازی در حال تعادل است‪ ،‬لذا معادلره تعرادل زیرر صرادق مري‬
‫باشد‪:‬‬
‫‪ ji ‬‬
‫‪ Bi  0‬‬
‫‪x j‬‬
‫هرگاه طرفين معادله فوق را در مولفه ‪u i‬‬
‫سیستم انتگرال گيری کنیم‪ ،‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫میدان حقیقی تغیيرمکان ضرب کرده و روی حجم‬
‫‪  ji ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪W   ‬‬
‫‪ Bi ui  dV  0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪j‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫را كار مجازي مكمل كل سيستم مي نامند‪ .‬معادله فوق را به صورت زير مي نويسيم‪:‬‬
‫كه‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪u i‬‬
‫‪W   ‬‬
‫‪ ji u i    ji‬‬
‫‪  B i u i  dV  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x j‬‬
‫‪‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪ x j‬‬
‫*‬
‫‪13‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫بررا اسررتفاده از قضرريه ديررورژانس‪ ،‬جملرره اول سررمت راسررت را برره انتگ ررال روی سررطح تبرردیل نمرروده و در‬
‫ضمن با توجه به تقارن‬
‫جمله دوم را به شکل جدیدی به صورت زیر ارااه می کنیم‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ji‬‬
‫‪n j u i dS    ji e ij dV    B i u i dV 0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ji‬‬
‫‪V‬‬
‫‪e ij dV    B i u i dV 0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ji‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪  q u dS   ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪sS‬‬
‫‪i‬‬
‫‪V‬‬
‫‪w * ‬‬
‫‪w * ‬‬
‫‪sS t‬‬
‫که در آن ‪ SSt‬مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن‬
‫تعريف شده است و باالخره‪،‬‬
‫‪W *  We*  U *  0‬‬
‫كه در آن داريم‪:‬‬
‫‪14‬‬
‫كار‬
‫خارجی‬
‫انرژي‬
‫مكمل‬
‫مجازي‬
‫مكمل‬
‫‪  q u i dS    B i u i dV‬‬
‫‪V‬‬
‫ارتجاعي‬
‫مجازي‬
‫‪s St‬‬
‫‪U *    ij e ij dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪w e * ‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫*‬
‫مجازی مکمل خارجی انجام‬
‫این عبارت به نام اصل نيروی مجازی شناخته می شود که در آن‬
‫ار ‪W‬‬
‫‪e‬‬
‫ی‬
‫شده توسط یم سیستم نيروی متعادل است وقتی که نقطه اثر این سیستم نيروی مجاز ‪ ،‬تغیير مکان‬
‫حقیقی را تحمل کرده باشد‪.‬‬
‫می‪‬توان به عنوان ار مجازی مکمل انجام‬
‫* ‪ U‬انرژی ارتجاعی مجازی مکمل سیستم می باشد‪.‬‬
‫ر*ا ‪U‬‬
‫یافته توسط تنش های مجازی داخلی در طی کرنش حقیقی سیستم تلقی کرد‪.‬‬
‫بنابراين اصل نيروي مجازي به صورت زير است‪:‬‬
‫شرط الزم و كافي براي سازگار بودن ميدان تغيير شكل يك سيستم االستيك‪ ،‬مساوي بودن كار‬
‫مجازي مكمل انجام يافته بر روي آن توسط يك سيستم نيروي مجازي در حال تعادل‪ ،‬با كار داخلي‬
‫مجازي مكمل انجام يافته توسط تنش هاي مجازي در طي تحمل ميدان كرنش واقعي است‪ .‬در‬
‫مرحله تحمل نيروهاي مجازي‪ ،‬تغيير شكل سيستم ثابت است‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )4‬قانون بتي‬
‫در يك جسم االستيك خطي با دو سيستم متفاوت بارگذاري‪ ،‬كار انجام يافته توسط سيستم اول‬
‫نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم دوم مساوي است با كار انجام یافته توسط‬
‫سيستم دوم نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم اول‪.‬‬
‫برای اثبات قانون بتی‪ ،‬جسم ارتجاعی را که دارای رفتار خطی است‪ ،‬مورد توجه قرار داده و فرض‬
‫و‪1‬بار‪ F‬دیگر تحت اثر سیستم نيروهای‬
‫می کنیم که این جسم تحت اثر سیستم نيروهای‬
‫‪‬‬
‫گيرد‪F .2‬دو سیستم نيروی اعمال شده‪ ،‬امال مستقل از همدیگر فرض می شوند‪ .‬با اعمال هر‬
‫قرار می‬
‫یم از دو سیستم نيرو به جسم‪ ،‬دو میدان تغیيرمکان امال متفاوت پدید می آید که این میدان ها‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫مشخص می کنیم‪.‬‬
‫و‬
‫را به ترتیب با‬
‫‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪Fi 1‬‬
‫)‪ ، (1‬تغیيرمکان‬
‫‪uj‬‬
‫نقطه‬
‫با اعمال سیستم اول نيروها)‪(1‬در حالتی که با اندیس ‪ i‬شماره گذاری شده باشد‬
‫‪ui‬‬
‫عکس با‬
‫بال‬
‫‪.‬‬
‫دهیم‬
‫می‬
‫نشان‬
‫با‬
‫ا‬
‫نيروها‬
‫دوم‬
‫سیستم‬
‫اثر‬
‫نقطه‬
‫تغیيرمکان‬
‫و‬
‫اثر سیستم اول را با‬
‫ر‬
‫‪ ‬‬
‫‪F‬‬
‫نقطه اثر‬
‫‪ ،‬تغیيرمکان‬
‫اعمال سیستم دوم نيروها در حالتی که با اندیس ‪ j‬شماره گذاری شده باشد‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪uj‬‬
‫‪u‬‬
‫‪i‬‬
‫و تغیيرمکان نقطه اثر سیستم دوم نيروها را با نشان می دهیم‪.‬‬
‫سیستم اول را با‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪16‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫اکنون تغیيرمکان حاصل از اعمال سیستم اول نيروها را به عنوان تغیيرمکان مجازی برای سیستم دوم‬
‫نيروها و برعکس تغیيرمکان حاصل از اعمال سیستم دوم نيروها را به عنوان تغیيرمکان برای سیستم‬
‫اول نيروها تلقی کرده و اصل تغیيرمکان مجازی را به ار می بریم‪.‬‬
‫برای سیستم اول نيروها و تغیيرمکان متناظر این نيروها که از سیستم دوم نيروها حاصل می شود‪،‬‬
‫‪2 ‬‬
‫معادله اصل تغیيرمکان مجازی به صورت زیر در می آید‪:‬‬
‫‪F 1 .u 2    1 .e .dV‬‬
‫‪kl‬‬
‫‪kl‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫که در این معادله ‪ kl1‬تانسور تنش حاصل از اعمال سیستم بارگذاری اول و‬
‫‪kl‬‬
‫حاصل از اعمال سیستم دوم بارگذاری است‪.‬‬
‫برای سیستم دوم نيروها و تغیيرمکان متناظر این نيروها که از سیستم اول نيروها حاصل می شود‪،‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2  1‬‬
‫‪2 ‬‬
‫معادله اصل تغیيرمکان مجازی به صورت زیر در می آید‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪ j j  mn mn‬‬
‫تانسور کرنش‬
‫‪e  2‬‬
‫که در این معادله ‪  2‬تانسور تنش حاصل از اعمال سیستم بارگذاری دوم و‬
‫‪mn‬‬
‫حاصل از اعمال سیستم اول بارگذاری است‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e mn‬‬
‫تانسور کرنش‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫بررا در نظررر داشر ن رابطرره کلرری تررنش‪-‬کرررنش و متقررارن بررودن تانسررور ‪ Cijkl‬نسر ت برره دو انرردیس اول و آخررر‬
‫می توان نوشت‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ kl  C klmnemn  C mnkl emn‬‬
‫‪ mn 2  C mnkl ekl2‬‬
‫بنابر این سمت راست معادالت اصل ار مجازی در دو حالت مذ ور عبارتند از‪:‬‬
‫‪1  2 ‬‬
‫‪1  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ kl kl‬‬
‫‪ mnkl mne kl dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪mn‬‬
‫‪mn‬‬
‫‪mnkl‬‬
‫‪kl‬‬
‫‪mn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪V‬‬
‫مشاهده می شود که طرفين سمت راست این روابط یکسان می باشند‪ .‬بنابر این داریم‪:‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪ 2 1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ i i  j uj‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1  2 ‬‬
‫‪1  2 ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i i  kl e kl dV‬‬
‫‪ 2  1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j j  mn mn dV‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫معادله فوق تحت عنوان قانون بتي به صورت زير بيان مي شود‪:‬‬
‫در يك جسم ارتجاعي خطي با دو سيستم بارگذاري متعادل متفاوت ‪ 1‬و ‪ 2‬که تغيير‬
‫مكان هاي حاصل نيز به ترتيب با ‪1‬و‪ 2‬عالمت گذاري مي شود‪ ،‬كار انجام يافته‬
‫توسط سيستم نيروهاي ‪ 1‬در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم بارگذاري ‪،2‬‬
‫مساوي است با كار انجام يافته توسط سيستم نيروهاي ‪ 2‬در طي تغيير مكان هاي‬
‫حاصل از سيستم بارگذاري ‪.1‬‬
‫حالررت خرراص قررانون بترري‪ ،‬برره عنرروان معادلرره متقابررل ماكسررول شررناخته مرري شررود كرره برره صررورت زيررر‬
‫تعريف مي گردد‪:‬‬
‫در يك جسم ارتجاعي خطي‪ ،‬تغيير مكان نقطه ‪ i‬براثر اعمال نيروي واحد در نقطه ‪j‬‬
‫مساوي است با تغيير مكان نقطه ‪ j‬بر اثر اعمال نيروي واحد در نقطه ‪( i‬تغيير مكان‬
‫ها در راستاي نيروهاي تعميم يافته اندازه گيري مي شوند)‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )5‬اصل انرژي پتانسيل مينيمم‬
‫در این قسمت به معرفی تابعم (تابع تابع) انرژی پتانسیل کلی می پرردازیم و سر س نشران خرواهیم داد‬
‫کرره ایررن تابعررم در حالررت تعررادل دارای کم رررین مقرردار نسر ت برره حالررت هررای تصرروری دیگررر خواهررد برود‪.‬‬
‫ایررن بیرران تحررت عنرروان قضرریه انرررژی پتانسرریل مینرریمم مشررهور اسررت و یکرری از مهم رررین قضررایای انرررژی‬
‫است که از آن در حل مساال ارتجاعی استفاده می گردد‪.‬‬
‫جسم ارتجاعی زیر را در نظر می گيریم‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫اگر در جسم ارتجاعي نشان داده شده‪ ،‬انرژي ارتجاعي واحد حجم در يك نقطه غير خاص را با ‪U0‬‬
‫نشان دهيم‪ ،‬مقدار ‪ U0‬بستگي به تانسور كرنش در نقطه مذكور خواهد داشت‪ .‬به عبارت ديگر‬
‫داريم‪:‬‬
‫‪U 0  U 0 e ij ‬‬
‫‪U  U 0dV‬‬
‫‪V‬‬
‫با دقت در اين كه تانسور كرنش برحسب ميدان تغيير مكان ‪ ui‬قابل ارااه است‪ ،‬به سادگي مي‬
‫توان بيان داشت كه انرژي ارتجاعي‪ ،‬وابسته به ميدان تغيير مكان است‪ .‬از اين رو نتيجه مي گيريم‬
‫كه چگالي انرژي ارتجاعي به صورت يك تابعك (تابع تابع) ظاهر مي شود كه با تغيير ميدان تغيير‬
‫مكان‪ ،‬مقدار آن تغيير مي كند‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫فرض كنيم كه در ميدان تغيير مكان يك سيستم‪ ،‬تغييري به شكل زير به وجود مي آيد‪ ،‬آنگاه‬
‫خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪u i  u i  u i‬‬
‫‪eij  eij  eij‬‬
‫‪U 0  U 0 e ij ‬‬
‫‪U 0  U 0  U 0‬‬
‫‪U   U 0 .dV‬‬
‫به عبارت ديگر خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪V‬‬
‫با توجه به رابطه‬
‫مي توان نتيجه گرفت كه‪:‬‬
‫‪U 0‬‬
‫‪ e ij dV‬‬
‫‪e ij‬‬
‫‪  U 0dV  ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪U    ij  e dV‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪V‬‬
‫مي توان رابطه فوق را چنين تفسير كرد كه اگر تغييرات تانسور كرنش به عنوان يك ميدان كرنش‬
‫مجازي تلقي شود‪ ،‬در اين صورت تغيير در انرژي ارتجاعي جسم‪ ،‬چيزي جز انرژي ارتجاعي مجازي‬
‫نخواهد بود‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫حال چنانچه در سیستم مورد نظر‪ ،‬قبل از اعمال سیستم نيروهای ‪ ،q‬انرژی پتانسیل نيروها را صفر‬
‫فرض کنیم‪ ،‬از آنجا که نقطه اثر نيروها در فرایند اعمال به جسم به اندازه ‪ u‬جابجا شده و به همين‬
‫ترتیب نيروهای حجمی نيز نقطه اثر خود را تغیير می دهند‪ ،‬لذا در صورتی که انرژی پتانسیل نيروهای‬
‫خارجی اعم از سطحی و حجمی با ‪ V‬نشان داده شود‪ ،‬می توان نوشت‪:‬‬
‫‪V   q i u i dS   B i u i dV‬‬
‫‪St‬‬
‫‪V‬‬
‫با در نظر داش ن معادله مذ ور‪ ،‬تغیيرات انرژی پتانسیل که حاصل از تغیيرات در جابجایی جسم‬
‫می باشد (نيروها در طی این تغیيرات ثابت در نظر گرفته می شوند) و با عالمت ‪ δV‬نوشته می‬
‫شود‪ ،‬از معادله زیر محاسبه می گردد‪:‬‬
‫‪V  q  u dS  B  u dV‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪V‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪St‬‬
‫اگر تغييرات در ميدان تغيير مكان را به عنوان تغيير مكان مجازي تلقي نماييم‪ ،‬در اين صورت تغييرات در‬
‫انرژي پتانسيل نيروها چيزي به جز كار مجازي خارجي نخواهد بود‪ .‬با تركيب معادالت مربوط به‬
‫و با توجه به ثابت بودن نيروها در طي تغييرات ميدان تغيير مكان مي توان نتيجه گرفت‪:‬‬
‫‪23‬‬
‫] ‪ U V    [ U 0dV   q i u i ds   B i u i dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪St‬‬
‫‪V‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫اما با توجه به معادله اصل تغيير مكان هاي مجازي خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪ U  V   W  0‬‬
‫بنابراين اگر بنويسيم‪:‬‬
‫‪  U V‬‬
‫و را انرژي پتانسيل كلي سيستم بناميم‪ ،‬در اين صورت شرايط تعادل وقتي ارضاء مي شود كه‬
‫معادله زير برقرار باشد‪:‬‬
‫‪  0‬‬
‫یعنی انرژی پتانسیل مانا می شود‪ .‬معادله فوق داراي بياني به صورت زير است‪:‬‬
‫در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغيير شكل سازگار با شرايط مرزي ‪ ،Su‬تنها تغيير شكل‬
‫حقيقي سيستم (تغیير شکلی که تعادل را ارضا می کند) منجر به مانا شدن انرژي‬
‫پتانسيل كلی سيستم مي شود‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫برای بررس ی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژي پتانسيل كلي در شرایطی که این انرژی مانا است‪،‬‬
‫وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گيریم‪.‬‬
‫‪   eij‬ن ‪ij‬ش‪e‬ران دهریم و‬
‫هرگراه تانسرور کررنش را بررای وضرعیت تعرادل برا ‪ eij‬و بررای وضرعیت مجراور برا‬
‫انرژی پتانسیل کلی مربوط به دو وضعیت مذ ور را با ‪ ∏0‬و ∏ مشخص نماییم‪ ،‬در این صورت مری تروان‬
‫نوشت‪:‬‬
‫‪     0   U 0 e ij   e ij   U 0 e ij   dV   q i u i   u i   q i u i  dS‬‬
‫‪St‬‬
‫‪V‬‬
‫‪   B i u i   u i   B i u i  dV‬‬
‫‪V‬‬
‫یا داریم‪:‬‬
‫‪    U 0 e ij   e ij  U 0 e ij   dV   q i  u i dS   B i  u i dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪25‬‬
‫‪st‬‬
‫‪V‬‬
‫ روش هاي انرژي‬:‫فصل چهارم‬
:‫ مي توان به صورت زیر بسط داد‬U
‫را‬
0
e
ij
  e ij  ‫تابع‬
U 0
1  2U 0
U 0 eij  eij   U 0 eij  
eij 
eijekk  ....
eij
2 eij ekl
:‫ خواهیم داشت‬Δ∏ ‫با جایگذاری معادله فوق در معادله اصلی مربوط به‬

1  2U 0
   
 e ij  e kl dV  .....     ij  e ij dV   q i  u i dS   B i  u i dV
2 e ij e kl
V
V
st
V



:‫با توجه به اصل تغیيرمکان های مجازی عبارت زیر مساوی صفر است‬

   ij  e ij dV   q i  u i dS   B i  u i dV
V
st
V



26
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫بنابراین ∏‪ Δ‬به صورت زیر در میآید ‪:‬‬
‫‪1  2U 0‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ eij  e kl dV  ...‬‬
‫‪2 eij e kl‬‬
‫‪V‬‬
‫هرگ رراه ان رررژی ارتج رراعی ی ررم سیس ررتم را در ح ررالتی ک رره آزاد از ني رررو باش ررد‪ ،‬ص ررفر ف رررض کن رریم‪ ،‬در ای ررن ص رورت‬
‫چگالی انرژی ارتجاعی آن در مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت ‪ δeij‬از معادله زیر به دست می آید‪:‬‬
‫‪1  2U 0‬‬
‫‪U 0 eij   eij   U 0 eij    ij  eij ‬‬
‫‪ eij  e kl  ...‬‬
‫‪2 eij e kl‬‬
‫بررای اسررتخراج معادلرره‬
‫است‪ .‬یعنی‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪U 0  e ij‬فرررض مرری شررود کرره تررنش ‪ σij‬در وضررعیت کرررنش صررفر‪ ،‬برابررر صررفر‬
‫‪1  2U 0‬‬
‫‪U 0  e ij  ‬‬
‫‪ eij  e kl  ...‬‬
‫‪2 e ij e kl‬‬
‫‪27‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪0   e ij ‬نيررز‪U‬همررواره مب ررت خواهررد بررود‪ .‬بنررابراین اگررر‬
‫هرگرراه ‪U 0 e ij ‬همررواره مب ررت باشررد‪ ،‬در نتیجرره‬
‫گيریم که عبارت زیر همواره مب ت خواهد بود‪:‬‬
‫نتیجه‪ ‬می ‪U‬‬
‫مب ت باشد‪e  ،‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1  2U 0‬‬
‫‪ eij  e kl  ...‬‬
‫‪2 eij e kl‬‬
‫بنررابراین ∏‪ Δ‬نيررز همررواره مب ررت خواهررد بررود‪ .‬برره عبررارت دیگررر در مرری یررابیم کرره انرررژی پتانسرریل کلرری وضررعیت‬
‫مجرراور تعررادل نس ر ت برره انرررژی پتانس رریل کلرری وضررعیت تعررادل افررزون ت ررر اسررت و در نتیجرره مرری ترروان اظه ررار‬
‫داشت که در وضعیت تعادل‪ ،‬انرژی پتانسیل کلی در حداقل مقدار خودش است‪.‬‬
‫بنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود‪:‬‬
‫در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغييرشكل سازگار با شرايط مرزي تغيير مكاني‪ ،‬تنها‬
‫تغيير شكل حقيقي سيستم (كه معادالت تعادل را ارضاء مي كند) منجر به حداقل‬
‫شدن مقدار انرژي پتانسيل كلي مي شود‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )6‬قضيه اول كاستيليانو‬
‫پیش از این نشان دادیم که هرگاه برای یم سیستم ارتجاعی‪ ،‬تابعم انرژی ارتجاعي داخلی ‪U0‬‬
‫وجود داشته باشد‪ ،‬مولفه های تنش با مشتق گيری از این تابعم به شکل زیر حاصل می گردد‪:‬‬
‫‪U 0‬‬
‫‪ ij ‬‬
‫‪eij‬‬
‫معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود‪:‬‬
‫قضيه‪ :‬مشتق تابعك چگالي انرژي ارتجاعي ‪ U0‬نس ت به هريك از مؤلفه هاي كرنش آن‪ ،‬مساوي‬
‫با مؤلفه تنش هم نام آن مؤلفه كرنش است‪.‬‬
‫اینرم برا اسرتفاده از قضریه انرررژی پتانسریل کلری مینریمم‪ ،‬بره اسررتخراج معادلره ای نظيرر معادلره فرروق‬
‫برای نيروها و تغیيرمکان های یم سیستم می پردازیم‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫جسرمي را در نظررر بگيريررد كرره تحرت اثررر نيروهرراي ‪ F1‬تررا ‪ FN‬در حررال تعرادل برروده و تغیيرشررکل حقیقرری خررود‬
‫را دارا باشد‪ .‬هرگاه تغیيرمکان نقطه اثرر ایرن سیسرتم نيررو را برا ‪ u1‬ترا ‪ uN‬نشران دهریم‪ ،‬روشرن اسرت کره‬
‫انرژی ارتجاعی ‪ U‬تابعی از لیه متغيرهای ‪ u1‬تا ‪ uN‬خواهد بود و از اینرو می توان نوشت‪:‬‬
‫‪U  U u1 , u2 ,...,u N ‬‬
‫تغیيرات انرژی پتانسیل کلی به صورت زیر نمایش داده می شود‪:‬‬
‫‪  U  V  0‬‬
‫‪δV‬به صورت زیر نمایش داده می شود‪:‬‬
‫از طرف دیگر داریم‪:‬‬
‫‪V  Fi u i‬‬
‫‪U‬‬
‫‪U ‬‬
‫‪u i‬‬
‫‪u i‬‬
‫‪30‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫پس از جایگذاری خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪ U‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ Fi   u i  0‬‬
‫‪ u i‬‬
‫‪‬‬
‫و چون تغیيرات ‪ δui‬اختیاری است‪ ،‬نتیجه می گيریم که‪:‬‬
‫‪U‬‬
‫‪Fi ‬‬
‫‪u i‬‬
‫معادله مذكور همان قضيه اول كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود‪:‬‬
‫مشتق تابعك انرژي ارتجاعي يك جسم االستيك نس ت به هر يك از‬
‫اجزاء تغيير مكان آن‪ ،‬برابر نيروي اعمال شده هم راستا با آن تغيير‬
‫مكان در نقطه مورد نظر است‪.‬‬
‫* از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس نرمي در روش نيروها استفاده مي شود‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )7‬اصل انرژي پتانسيل مكمل مينيمم‬
‫در ایررن قسررمت برره معرفرری تابعررم (تررابع تررابع) انرررژی پتانسرریل مکمررل مرری پررردازیم و سر س نشران خررواهیم‬
‫داد کرره ایررن تابعررم در حالررت تعررادل دارای کم رررین مقرردار نسر ت برره حالررت هررای تصرروری دیگررر خواهررد‬
‫ب ررود‪ .‬ای ررن بی رران تح ررت عن رروان قض رریه ان رررژی پتانس رریل مکم ررل مین رریمم مش ررهور اس ررت و یک رری از مهم ر ررین‬
‫قضایای انرژی است که از آن در حل مساال ارتجاعی استفاده می گردد‪.‬‬
‫در يك جسم ارتجاعي‪ ،‬انرژي مكمل در واحد حجم در يك نقطه خاص را با *‪ U0‬نشان مي دهيم‪.‬‬
‫مقدار *‪ U0‬بستگي به تانسور تنش در نقطه مذكور خواهد داشت‪ .‬به عبارت ديگر داريم‪:‬‬
‫‪U 0*  U 0*  ij ‬‬
‫‪U   U 0*dV‬‬
‫‪V‬‬
‫فرض كنيم كه در ميدان نيروی يك سيستم‪ ،‬تغييري به شكل زير به وجود مي آيد‪ ،‬آنگاه خواهيم‬
‫داشت‪:‬‬
‫‪ ij   ij   ij‬‬
‫‪32‬‬
‫‪U 0  U 0  U 0‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪U 0*  U 0*  ij ‬‬
‫در این صورت خواهيم داشت‪:‬‬
‫*‪U 0‬‬
‫‪U   U dV   U dV  ‬‬
‫‪ ij dV‬‬
‫‪ ij‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫*‬
‫‪0‬‬
‫با توجه به رابطه‬
‫*‬
‫‪0‬‬
‫*‬
‫مي توان نتيجه گرفت كه‪:‬‬
‫‪ U 0  e ij  ij dV‬‬
‫‪U    e ij  ij dV‬‬
‫مي توان رابطه فوق را چنين تصوير كرد كه اگر تغييرات تانسور تنش به عنوان يك ميدان تنش‬
‫مجازي تلقي شود‪ ،‬در اين صورت تغيير در انرژي ارتجاعي مكمل جسم چيزي جز انرژي مجازي‬
‫مكمل نخواهد بود‪.‬‬
‫چگالي انرژي ارتجاعي ‪ U0‬و چگالي انرژي‬
‫ارتجاعي مكمل *‪ U0‬را مي توان در‬
‫نمودار تنش – كرنش به صورت زير‬
‫نشان داد‪:‬‬
‫‪33‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫بديهي است كه براي اجسام ارتجاعي خطي خواهيم داشت‪:‬‬
‫*‪U 0  U 0‬‬
‫تغيير در انرژي پتانسيل ‪ V‬كه حاصل تغييري متعادل در سيستم نيروهاي اعمالي است (در حاليكه‬
‫جابجايي ها ثابت مي مانند)‪ ،‬به صورت زير تعيين مي شود‪:‬‬
‫‪  q u dS    B .u dV‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪V‬‬
‫‪i‬‬
‫‪V ‬‬
‫‪SU‬‬
‫که در آن ‪ Su‬قسمتی از سطح می باشد که در روی آن ‪ ui‬تعریف شده است‪ .‬از تلفیق دو رابطه حاصل‬
‫خواهیم‪‬داشت‪:‬‬
‫برای‬
‫‪V‬‬
‫و‪U ‬‬
‫‪ U * V    e ij  ij dV    q i u i dS    B i u i dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪34‬‬
‫‪Su‬‬
‫‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪ U V      e ij  ij dV   q i u i dS   B i u i dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪SU‬‬
‫‪V‬‬
‫*‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫مشخص است که با استفاده از اصل نيروهای مجازی داریم‪:‬‬
‫‪ U * V   0‬‬
‫با فرض * ‪ ‬به عنوان انرژی پتانسیل کلی مکمل خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪ *  0‬‬
‫‪*  U * V‬‬
‫بنابراين مي توان بيان كرد كه‪:‬‬
‫در بين تمام وضعيت هاي ممكن ميدان تنش كه شرايط تعادل و شرايط مرزي ‪ St‬را ارضاء مي‬
‫كنند‪ ،‬تنها وضعيتي بيانگر سيستم حقيقي تنش است (یعنی شرایط سازگاری را ارضا می کند) كه‬
‫منجر به مانا شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي شود‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫برای بررس ی در مورد حداقل یا حداکثر بودن انرژي پتانسيل مکمل كلي در شرایطی که این انرژی مانا‬
‫است‪ ،‬وضعیت تعادل و وضعیت مجاور آن را در نظر می گيریم‪.‬‬
‫‪  ij‬ن ‪ij‬شر‪‬ران دهرریم و‬
‫هرگرراه تانسررور تررنش را بررای وضررعیت تعررادل بررا ‪ σij‬و بررای وضررعیت مجرراور بررا‬
‫رخص نمر رراییم‪ ،‬در ایر ررن‬
‫انر رررژی پتانسر رریل کلر رری مکمر ررل مربر رروط بر رره دو وضر ررعیت مر ررذ ور را بر ررا‬
‫و ‪ 0‬مشر‪‬ر ‪‬‬
‫صورت می توان نوشت‪:‬‬
‫‪       0   U 0  ij   ij   U 0  ij   dV   (q i   q i )u i  q i u i  dS‬‬
‫‪Su‬‬
‫‪V‬‬
‫‪  (B i   B i )u i  B i u i  dV‬‬
‫‪V‬‬
‫یا داریم‪:‬‬
‫‪    U 0  ij   ij  U 0  ij   dV    q i u i dS    B i u i dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪36‬‬
‫‪su‬‬
‫‪V‬‬
‫ روش هاي انرژي‬:‫فصل چهارم‬
:‫ مي توان به صورت زیر بسط داد‬U
‫ را‬    ‫تابع‬
0
ij
ij

2 

U

U0
1


0
U 0  ij   ij   U 0  ij  
 ij 
 ij  kk  ....
 ij
2  ij  kl
:‫خواهیم داشت‬  ‫با جایگذاری معادله فوق در معادله اصلی مربوط به‬

1  2U 0
   
 ij  kl dV  .....    e ij  ij dV    q i u i dS    B i u i dV
2  ij  kl
V
V
su
V

:‫با توجه به اصل نيروهای مجازی عبارت زیر مساوی صفر است‬

  e ij  ij dV    q i u i dS    B i u i dV
V
su
V



37



‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫بنابراین ‪  ‬به صورت زیر در میآید ‪:‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪U0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ij  kl dV  ...‬‬
‫‪2  ij  kl‬‬
‫‪V‬‬
‫هرگ رراه ان رررژی ارتج رراعی مکم ررل ی ررم سیس ررتم را در ح ررالتی ک رره آزاد از ني رررو باش ررد‪ ،‬ص ررفر ف رررض کن رریم‪ ،‬در ای ررن‬
‫صررورت چگررالی انرررژی ارتجرراعی مکمررل آن در مجرراورت وضررعیت برردون بررار یررا وضررعیت ‪ δσij‬از معادلرره زیررر برره‬
‫دست می آید‪:‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪U0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪U 0  ij   ij   U 0  ij   eij  ij ‬‬
‫‪ ij  kl  ...‬‬
‫‪2  ij  kl‬‬
‫بررای اسررتخراج معادلرره‬
‫است‪ .‬یعنی‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪U   ij‬فرررض مرری شررود کرره کرررنش ‪ eij‬در وضررعیت تررنش صررفر‪ ،‬برابررر صررفر‬
‫‪0‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪U0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪U 0  ij  ‬‬
‫‪ ij  kl  ...‬‬
‫‪2  ij  kl‬‬
‫‪38‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪  ij ‬ن‪0‬يررز‪U‬همررواره مب ررت خواهررد بررود‪ .‬بنررابراین اگررر‬
‫ررت باشررد‪ ،‬در نتیجرره‬
‫هرگرراه‬
‫مب ت باشد‪ ،‬نتیجه ‪‬‬
‫گيریم که عبارت زیر همواره مب ت خواهد بود‪:‬‬
‫می ‪U‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ 0  ij ‬همررواره مب‬
‫‪ij‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1  2U 0‬‬
‫‪ ij  kl  ...‬‬
‫‪2  ij  kl‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ني ررز هم ررواره مب ررت خواه ررد ب ررود‪ .‬ب رره عب ررارت دیگ ررر در م رری ی ررابیم ک رره ان رررژی پتانس رریل مکم رل کل رری‬
‫بن ررابراین‬
‫وضعیت مجاور تعادل نس ت به انررژی پتانسریل مکمرل کلری وضرعیت تعرادل افرزون ترر اسرت و در نتیجره مری‬
‫توان اظهار داشت که در وضعیت تعادل‪ ،‬انرژی پتانسیل مکمل کلی در حداقل مقدار خودش است‪.‬‬
‫بنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود‪:‬‬
‫در بين تمام سيستم هاي مجاز تنش كه شرايط تعادل و شرايط مرزي نيرویی را ارضاء مي كنند‪،‬‬
‫تنها سيستم حقيقي تنش (یعنی سیستمی که شرایط سازگاری را ارضا می کند)‪ ،‬منجر به حداقل‬
‫شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي مي شود‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫‪ )8‬قضيه دوم كاستيليانو‬
‫پیش از این نشان دادیم که هرگاه برای یم سیستم ارتجاعی‪ ،‬تابعم انرژی ارتجاعي مکمل‬
‫داخلی ‪U 0‬وجود داشته باشد‪ ،‬مولفه های کرنش با مشتق گيری از این تابعم به شکل زیر حاصل‬
‫می گردد‪:‬‬
‫‪U ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ij‬‬
‫‪e ij ‬‬
‫معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود‪:‬‬
‫قضيه‪ :‬مشتق تابعك چگالي انرژي ارتجاعي مکمل‬
‫مساوي با مؤلفه کرنش هم نام آن مؤلفه تنش است‪.‬‬
‫‪U 0‬نس ت به هريك از مؤلفه هاي تنش آن‪،‬‬
‫هرگاه رفتار ماده ارتجاعی‪ ،‬خطی باشد‪ ،‬در این صورت به راحتی می توان نوشت‪:‬‬
‫‪U 0  U 0‬‬
‫به عبارت دیگر برای اجسام ارتجاعی خطی داریم‪:‬‬
‫‪40‬‬
‫‪U 0‬‬
‫‪e ij ‬‬
‫‪ ij‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫اینم با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل مکمل کلی مینیمم‪ ،‬به استخراج معادله ای نظيرر معادلره‬
‫فوق برای نيروها و تغیيرمکان های یم سیستم می پردازیم‪.‬‬
‫جسمي را در نظر بگيريد كه تحت اثر تغیير مکان های ‪ u1‬تا ‪ uN‬تغیير شرکل داده باشرد و بررای ایجراد ایرن‬
‫سیس ررتم تغیيرمک رران‪ ،‬سیس ررتم نيروه ررای ‪ F1‬ت ررا ‪ FN‬ب رره ررار رفت رره باش ررد‪ .‬روش ررن اس ررت ک رره ان رررژی ارتج رراعی‬
‫نيروهای ‪ F1‬تا ‪ FN‬خواهد بود و از اینرو می توان نوشت‪:‬‬
‫مکمل‬
‫تابعی از لیه ‪U 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪U   U   F1, F2 ,..., FN‬‬
‫تغیيرات انرژی پتانسیل کلی مکمل به صورت زیر نمایش داده می شود‪:‬‬
‫‪  U   V  0‬‬
‫‪δV‬به صورت زیر نمایش داده می شود‪:‬‬
‫از طرف دیگر داریم‪:‬‬
‫‪41‬‬
‫‪V  u i  Fi‬‬
‫‪‬‬
‫‪U‬‬
‫‪U ‬‬
‫‪ Fi‬‬
‫‪Fi‬‬
‫‪‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬روش هاي انرژي‬
‫پس از جایگذاری خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪  Fi  0‬‬
‫‪‬‬
‫و چون تغیيرات ‪ δFi‬اختیاری است‪ ،‬نتیجه می گيریم که‪:‬‬
‫برای اجسام ارتجاعی خطی نيز خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪U‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪ui‬‬
‫‪ Fi‬‬
‫‪U ‬‬
‫‪ui ‬‬
‫‪Fi‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ui ‬‬
‫‪Fi‬‬
‫معادله مذكور همان قضيه دوم كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود‪:‬‬
‫مشتق تابعك انرژي ارتجاعي (مکمل) يك جسم االستيك خطی نس ت‬
‫به هر يك از اجزاء نيروهای اعمال شده‪ ،‬برابر تغیيرمکان هم راستا با‬
‫آن نيرو در نقطه مورد نظر است‪.‬‬
‫* از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس سختی در روش تغیيرمکان ها استفاده مي شود‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫با تشکر از توجه شما …‬