Transcript People_Courses_10_Theory of Elasticity

‫تئوری االستیسیته‬
‫‪Theory of Elasticity‬‬
‫كريم عابدي‬
‫فصل اول‪:‬‬
‫تحلیل تنش و کرنش‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪ - 1‬مقدمه‬
‫تحليل هاي تنش و كرنش‪ ،‬مباني مورد نياز را براي تحليل رفتار سیستم سازه اي‬
‫)‪ (Structural system‬كه تحت اثر بارگذاري قرار دارد‪ ،‬فراهم مي نمايد‪.‬‬
‫تحلیل تنش‬
‫تحلیل کرنش‬
‫• مفاهيم بنيادي تنش‬
‫• مفاهيم بنيادي كرنش‬
‫• تانسور تنش‬
‫• تانسور كرنش‬
‫• تبديالت در تانسور تنش‬
‫• تبديالت در تانسور كرنش‬
‫• تنش هاي اصلي‬
‫• كرنش هاي اصلي‬
‫• تنش هاي برش ي ماكزيمم يا مينيمم‬
‫• كرنش هاي برش ي‬
‫• معادالت تعادل‬
‫• معادالت سازگاري‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪ – 2‬تحليل تنش‬
‫الف) تعريف تنش‬
‫یک جسم عمومی دلخواه را در نظر بگیرید که تحت اثر نیرو های عمل کننده در سطح آن قرار‬
‫دارد ( نیرو های گسترده ‪ p1‬و ‪ p2‬و نیرو های متمرکز ‪ P1‬و ‪ P2‬و ‪ .) P3‬یک صفحه دلخواه‬
‫موهومی ‪ Q‬را از میان جسم عبور دهید‪ .‬این صفحه جسم را در امتداد سطح ‪ A‬برش می دهد‪.‬‬
‫یک سوی صفحه ‪ Q‬را با عالمت (‪ )+‬و سوی دیگر را با عالمت منفی (‪ )-‬نمایش می دهیم‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫قسمتی از جسم در سمت مثبت ‪Q‬‬
‫نیروهایی را به قسمت دیگر از جسم‬
‫در سمت منفی ‪ Q‬اعمال می نماید‪.‬‬
‫این نیروها از طریق صفحه ‪ Q‬به‬
‫وسیله تماس مستقیم دو قسمت‬
‫جسم در دو سمت ‪ Q‬منتقل می‬
‫شوند‪ .‬نیرویی را که از طریق سطح‬
‫جزیی ‪ ΔA‬از ‪ A‬به وسیله سمت‬
‫راست ‪ Q‬منتقل می شود با ‪ΔF‬‬
‫نمایش می دهیم‪.‬‬
‫نیروي را مي توان به دو مؤلفه ( نیروي نرمال يا عمودي ) و ( نیروي برش ي يا مماس ي )‬
‫در امتداد بردار واحد نرمال ‪ N‬و بردار مماس ي ‪ S‬نسبت به صفحه ‪ Q‬تجزيه نمود‪:‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪F  FN2  FS2‬‬
‫مقدار متوسط نیرو در واحد سطح عبارتند از‪:‬‬
‫( تنش متوسط )‬
‫( تنش نرمال متوسط )‬
‫( تنش برش ي متوسط )‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫مفهوم تنش در يك نقطه با فرض بي نهايت كوچك شدن‬
‫تنش به صورت زير مشخص مي شود‪:‬‬
‫حاصل مي شود‪ .‬بنابراين بردار‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫و بطور مشابه بردار تنش نرمال و بردار تنش مماس ي به صورت زير تعريف مي شوند‪:‬‬
‫( تنش نرمال )‬
‫( تنش برش ي يا مماس ي )‬
‫‪FN‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ N  lim‬‬
‫‪FS‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ S  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪A0‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫اكنون با شناختي كه از بردار تنش بدست آورديم‪ ،‬مي توان چهار مشخصه زير را براي آن بيان‬
‫كرد‪:‬‬
‫‪ (1‬بردار تنش از جنس نیرو در واحد سطح است‪.‬‬
‫‪ )2‬بردار تنش در هر نقطه‪ ،‬نمايانگر عمل نیروهاي يك طرف مقطع خاص برش گذرنده از آن نقطه‬
‫به طرف ديگر است‪.‬‬
‫‪ )3‬بردار تنش در هر نقطه روي سطحي عمل مي كند كه راستاي آن سطح از ابتدا در ارزيابي بردار‬
‫تنش مؤثر بوده است‪.‬‬
‫‪ )4‬بردار تنش در يك نقطه محدود به يك راستا و جهت خاص نمي باشد ( يعني در يك نقطه بي‬
‫نهايت تنش مي توان تعريف كرد)‪.‬‬
‫از آنجا که در یک نقطه در فضای سه بعدی‪ ،‬بیش از سه راستای مستقل نمی توان تشخیص‬
‫داد‪ ،‬در نتیجه هرگاه در نقطه ای سه بردار تنش مربوط به سه راستای مستقل مشخص باشند‪،‬‬
‫می توان بردار تنش مربوط به هر راستای اختیاری را تعیین کرد‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ب) تانسور تنش‬
‫بارای مشااخص نمااودن حالاات تاانش )‪ (State of Stress‬در یااک نقطااه از دیاااگرام چساام آزاد اسااتفاده ماای کناایم‪ .‬ایاان‬
‫جسام آزاد باه صااورت یاک مسعاال مساتطیل بااا ابعااد باای نهایات وچااک ‪ dx‬و ‪ dy‬و ‪ dz‬در نظار گرفتااه مای شااود‪ ،‬باه عبااارت‬
‫دیگاار نقطااه مااورد نظاار بااه صااورت یااک مسعاال مسااتطیل بااا ابعاااد بیههایاات وچااک فاارض ماای شااود کااه وجااوه آن مااوازی بااا‬
‫محورهای ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬می باشند (توضیحی در مورد صفحاتی که از نقطه مورد نظر عبور می کنند)‪.‬‬
‫بارهايي كه در جسم آزاد مذكور عمل مي كنند به دو نوع تقسيم مي شوند‪:‬‬
‫‪ -1‬نیروهاااي سااطحي )‪(Surface Forces‬كااه در سااطح جساام آزاد عماال مااي كننااد‪ ،‬نظیاار نیروهاااي تماس ا ي كااه شااامل بارهاااي‬
‫متمركز و واكنش ها در يك نقطه مي باشند و بارهاي گسترده‪.‬‬
‫‪ -2‬نیروهاي حجمي )‪ (Body Forces‬كه در حجم جسم آزاد عمل مي كنند‪ ،‬نظیر نیروهاي ثقلي و نیروهاي اينرس ي‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫بارای سااادگی و سااهولت اراااه مطالاال‪ ،‬عنصاار بیههایاات وچاک را بااا یااک گوشااه در مبادا ‪ O‬نشااان ماای دهاایم و‬
‫فرض می کنیم که مولفه های تنش در سرتاسر عنصر حجمی یسنواخت (ثابت) می باشند‪.‬‬
‫(توضیح در مورد صفحاتی که از نتطه مورد نظر عبور می کنند و تجزیه مولفه برش ی نیرو به دو مولفه)‬
‫برای صفحات یا وجوه عمود بر محور ‪ x‬تنش های ‪ σxx‬و ‪ σxy‬و ‪ σxz‬را داریم‪.‬‬
‫برای صفحات یا وجوه عمود بر محور ‪ y‬تنش های ‪ σyx‬و ‪ σyy‬و ‪ σyz‬را داریم‪.‬‬
‫برای صفحات یا وجوه عمود بر محور ‪ x‬تنش های ‪ σzx‬و ‪ σzy‬و ‪ σzz‬را داریم‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫در ارتباااط بااا مفهااوم حالاات تاانش در يااك نقطااه‪ ،‬نااه‬
‫مؤلفه تنش به صورت زير وجود دارند‪:‬‬
‫برای صفحات یا وجوه عمود بر محور ‪: x‬‬
‫‪Fz‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ xz  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪Fy‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ xy  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪Fx‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ xx  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫برای صفحات یا وجوه عمود بر محور ‪: y‬‬
‫‪Fz‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ yz  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫برای صفحات یا وجوه عمود بر محور ‪: z‬‬
‫‪Fz‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ zz  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪Fy‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Fy‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ yy  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪ zy  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪Fx‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Fx‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ yx  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪ zx  lim‬‬
‫‪A0‬‬
‫توجه شود که در ‪ a ، σab‬نمایش دهنده امتدادی است که بر صفحه عمود است و ‪ b‬نمایش دهنده‬
‫امتداد مربوط به مولفه تنش است‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫تانسور تنش را مي توان به شكل زير تعريف كرد‪:‬‬
‫‪ xx  xy  xz ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T   yx  yy  yz ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪zy‬‬
‫‪zz ‬‬
‫‪ zx‬‬
‫بطور اختصار تانسور تنش را بصورت‬
‫نمايش تانسوري )‬
‫‪ 1‬بیانگر محور ‪ x‬ها‬
‫‪ 2‬بیانگر محور ‪ y‬ها‬
‫‪ 3‬بیانگر محور ‪ z‬ها‬
‫نشان مي دهند‪( .‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫انواع كميت ها‪:‬‬
‫يا ااك كميا اات اسا ااكالر‪ ،‬كميتا ااي اسا اات كا ااه تهها ااا داراي يا ااك مؤلفا ااه در يا ااك دسا اات اه م تصا ااات‬
‫اختي اااري‬
‫اس اات‪ .‬مؤلف ااه م ااذكور هن ااامي ك ااه در م تص ااات اختي اااري ديگ ااري ب ااه ن ااام‬
‫اندازه گیري شود‪ ،‬تغيیري نمي كند ( تانسور از مرتبه صفر)‪.‬‬
‫يااك كمياات باارداري‪ ،‬كميتااي اساات كااه داراي سااه مؤلفااه در يااك دساات اه م تصااات اختياااري‬
‫اناادازه گیاري‬
‫اساات‪ .‬مؤلفااه هاااي مااذكور هن ااامي كااه در م تصااات اختياااري ديگااري بااه نااام‬
‫شوند‪ ،‬به صورت قانونمند تغيیر مي كنند (تانسور از مرتبه اول)‪.‬‬
‫ي ا ااك كمي ا اات تانس ا ااوري‪ ،‬از مرتب ا ااه دوم كميت ا ااي اس ا اات ك ا ااه داراي ‪ 9‬مؤلف ا ااه در ي ا ااك دس ا اات اه‬
‫م تصاات اختيااري اسات‪ .‬مؤلفاه هااي ماذكور هن اامي كاه در م تصاات اختيااري ديگاري‬
‫به نام اندازه گیري شوند به صورت قانونمند تغيیر مي كنند ( تانسور از مرتبه دوم)‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫خواص تانسور تنش عبارتند از‪:‬‬
‫‪ -1‬تانسور تنش در يك نقطه مورد بحث قرار مي گیرد ‪،‬‬
‫‪ -2‬عناصر قطر اصلي تانسور‪ ،‬مؤلفه هاي قاام تنش هستند‪،‬‬
‫‪ xx  xy  xz ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T   yx  yy  yz ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪zy‬‬
‫‪zz ‬‬
‫‪ zx‬‬
‫‪ -3‬عناصر واقع در غیر قطر اصلي‪ ،‬مؤلفه هاي برش ي ( مماس ي ) هستند‪،‬‬
‫‪ -4‬تانسور تنش يك اصطالح رياض ي است كه به موجوديتي فیزيكي به نام تنش اطالق مي‬
‫شود‪،‬‬
‫‪ -5‬تانسور تنش متقارن است‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫می توان اثبات کرد که تانسور تنش از خاصیت تقارن برخوردار است‪ .‬به عبارت دیگر داریم‪:‬‬
‫‪ xy   yx ,  xz   zx ,  zy   yz‬‬
‫بارای اثبااات خاصاایت تقااارن‪ ،‬معادلااه تعااادل مسعاال تاانش را ماای نویساایم‪ .‬مطااابق معااادالت تعااادل‪ ،‬بایااد لنگاار نیروهااای‬
‫وارد بر مسعل حول هر یک از محورها و نسبت به هر نقطه‪ ،‬معادل صفر گردد‪ .‬به عبارت دیگر داریم‪:‬‬
‫‪ 0   yz dxdydz  zy dxdydz  0   yz   zy‬‬
‫‪x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 0   zx dxdydz  xz dxdydz  0   zx   xz‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 0   yx dxdydz  xy dxdydz  0   yx   xy‬‬
‫‪z‬‬
‫‪M‬‬
‫در معادالت باال از نیروهای ناش ی از شتاب و وزن جسم صرف نظر شده است‪ ،‬ولی می توان نشاان داد کاه نتیجاه باه‬
‫دساات آمااده در حالاات کلاای نیااز ا یح اساات‪ .‬معااادالت تعااادل باااال نشااان ماای دهنااد کااه کمیاات هااای تاانش هااای برش ا ی‬
‫واقع در دو سطح عمود مجاور هم‪ ،‬همیشه مساوی هستند و جهت آنها طوری است که یا به طارف همادیگر باوده یاا‬
‫این که از همدیگر دور می شوند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫پ) مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي اختياري‬
‫بردار تنش‬
‫و‬
‫و‬
‫‪ y‬و ‪ z‬مي باشند‪ ،‬عبارتند از‪:‬‬
‫در صفحاتي كه به ترتيل عمود بر محورهاي ‪ x‬و‬
‫‪Tx   xx i   xy j   xz k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T y   yx i   yy j   yz k‬‬
‫‪‬‬
‫‪Tz   zx i   zy j   zz k‬‬
‫اين ااك ب ااردار ت اانش در ي ااك ص اافحه ماي اال دلخ ااواه ‪ P‬را ك ااه از متع اال ت اانش بري ااده ش ااده اس اات‪ ،‬م ااورد‬
‫مالحظه قرار مي دهيم‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫بردار نرمال واحد عمود بر صفحه ‪ P‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪N  li  m j  nk‬‬
‫كه در آن ‪ l‬و ‪ m‬و ‪ n‬كوسينوس هاي هادي بردار واحد‬
‫مي باشند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫مولف ا ااه ه ا ااای ب ا ااردار ت ا اانش در ی ا ااک ص ا اافحه مای ا اال دلخ ا ااواه ‪ P‬را م ا اای ت ا ااوان از تع ا ااادل ایس ا ااتایی ی ا ااک‬
‫چهاروجهی بی نهایت وچک که از این صفحه مایل و صفحات م تصات تشاسیل شاده اسات‪ ،‬باه‬
‫دست آورد‪.‬‬
‫در شاامل مااذ ور‪ ،‬تاانش هااا را در سااه صاافحه م تصااات نشااان داده ایاام‪ .‬مساااحت مثلااث باای نهایاات وچااک‬
‫‪ ABC‬را بااا ‪ ΔA‬نش ااان ماای ده اایم‪ .‬در ای اان صااورت مس اااحت وجااوه ‪ AOB‬و ‪ COB‬و ‪ AOC‬ب ااه ترتی اال‬
‫براب اار هس ااتند ب ااا ‪ mΔA‬و ‪ lΔA‬و ‪ .nΔA‬ب ااردار عم اال کنن ااده در وج ااه ‪ ABC‬را ب ااا ‪ S‬نم ااایش م اای ده اایم و‬
‫مولفه های ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬آن را با ‪ Sx‬و ‪ Sy‬و ‪ Sz‬نشان داده شده اند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫از تعادل نیروها در راستاي ‪ x‬داريم‪:‬‬
‫‪S x A   xxlA   yx mA   zx nA‬‬
‫‪ S x  l xx  m yx  n zx‬‬
‫بطور مشابه از تعادل نیروها در راستاي ‪ y‬و ‪ z‬نتايج زير حاصل خواهند شد‪:‬‬
‫‪S y  l xy  m yy  n zy‬‬
‫‪S z  l xz  m yz  n zz‬‬
‫با استفاده از نمادگذاری تانساوری‪ ،‬مولفاه‬
‫های تنش در صفحه مایل را به صورت زیر‬
‫نمایش می دهیم‪:‬‬
‫‪S j  ni  ij , j  1, i  1, 2,3‬‬
‫‪j  2, i  1, 2,3‬‬
‫‪j  3, i  1, 2,3‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫سااه معادل ااه م ااذكور‪ ،‬محاس اابه مؤلف ااه ه اااي ت اانش در ه اار ص اافحه ماي اال را ك ااه ب ااه وس اايله ب ااردار نرم اال‬
‫واحد ‪ N‬تعريف مي شوند ميسر مي سازد‪ ،‬به شرط اين كه شش مؤلفه تنش معلوم باشند‪.‬‬
‫بنابراين خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪S  Sx i  Sy j  Sz k‬‬
‫ب اراي ب ااه دس اات آوردن ت اانش نرم ااال ك ااه در اي اان ص اافحه عم اال م ااي كن ااد از حاص اال ض اارب داخل ااي‬
‫استفاده مي كنيم به عبارت ديگر داريم‪:‬‬
‫‪Sn  lS x  mSy  nSz‬‬
‫‪Sn  l  xx  m  yy  n  zz  2lm xy  mn yz  nl zx ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫با استفاده از نماد گذاري تانسوري مي توان‬
‫‪i, j  1,2,3‬‬
‫براي به دست آوردن تنش برش ي برآيند‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫را بصورت زير نوشت‪:‬‬
‫‪Sn   ij .ni .n j‬‬
‫عمل كننده در اين صفحه خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪ Ss  S  S  S  S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Ss  S  S‬‬
‫‪2‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ت) تنش هاي اصلي و صفحات اصلي ( ‪)Principal Stresses & Principal Planes‬‬
‫فرض كنيد كه راستای صفحه ‪ ABC‬به گونه اي است كه برایند تنش ‪ S‬در این صافحه عماود بار صافحه‬
‫است‪ ،‬به عبارت دیگر داریم‪:‬‬
‫در ايان صاورت صافحه ماذ ور‪ ،‬صافحه اصالی )‪ (Principal Plane‬در آن نقطاه اسات و راساتای نرماال آن‪،‬‬
‫راساتای اصالی )‪ (Principal Direction‬و تانش ‪ ، S = Sn‬تانش اصالی )‪ (Principal Stress‬نامیاده مای‬
‫شود‪.‬‬
‫فرض کنید که صفحه ‪ ABC‬يك صفحه اصلي در نقطه ‪ O‬باشد ب ونه اي كه‬
‫ماي‬
‫در ایان صاورت ‪ S‬دارای هماان كوساينوس هااي هاادي ‪ l‬و ‪ m‬و ‪ n‬مشاابه باردار نرماال واحاد‬
‫باشد‪ .‬در اين صورت مؤلفه هاي ‪ S‬در راستاي ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬عبارتند از‪:‬‬
‫‪S x  lS‬‬
‫‪Sy  mS‬‬
‫‪S z  nS‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫در اين صورت معادالت مربوط به مؤلفه هاي تنش در يك صفحه مايل به صورت زير در خواهد آمد‪:‬‬
‫‪l  xx  S   m yx  n zx  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪l xy  m yy  S   n zy  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪l xz  m yz  n zz   S  0‬‬
‫‪S x  l  xx  m yx  n zx‬‬
‫‪S y  l xy  m yy  n zy‬‬
‫‪S z  l xz  m yz  n zz‬‬
‫به صورت نماد گذاري تانسوري نیز داريم‪:‬‬
‫‪ni  ij   ij S   0‬‬
‫در نماد گذاري تانسوري‪،‬‬
‫دلتاي كرونتر ناميده مي شود كه به صورت زير تعريف مي شود‪:‬‬
‫‪i  j   ij  1‬‬
‫‪i  j   ij  0‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫براي اينته معادالت مذكور داراي جواب غیر صفر به ازاي ‪ l‬و ‪ m‬و ‪ n‬باشند‪ ،‬بايد دترمينان‬
‫ضرايل آن مساوي صفر باشد‪ .‬به عبارت ديگر داريم‪:‬‬
‫‪ xx  S‬‬
‫‪ yx‬‬
‫‪ zx‬‬
‫‪l  xx  S   m yx  n zx  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yy  S  zy  0‬‬
‫‪l xy  m yy  S   n zy  0  ij   ij S   xy‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xz‬‬
‫‪ yz  zz  S‬‬
‫‪l xz  m yz  n zz   S  0‬‬
‫از بسط دترمينان مذكور‪ ،‬يك معادله درجه سومي ( ‪ ) Cubic Equation‬به ازاي ‪ S‬خواهيم‬
‫داشت‪:‬‬
‫‪S 3  I1 S 2  I 2 S  I 3  0‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
:‫كه در آنها داريم‬
S 3  I1 S 2  I 2 S  I 3  0
I1   xx   yy   zz
I2  
)‫) مجموع قطر تانسور تنش‬
 xx  xy
 xy
 xx  xz  yy  yz


yy  xz  zz  yz  zz
 zx
‫(مجموع كوفاكتور هاي قطر‬
( ‫تانسور تنش‬
 xx
 yx
I 3   xy
 yy
 zy   xx yy zz  2 xy yz zx   xx yz2   yy zx2   zz  xy2 
 xz
 yz
 zz
)‫(دترمينان تانسور تنش‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫می توان ثابت کرد که معادله باال دارای سه ریشه حقیقی )‪ (Real Root‬است و در نتیجه‬
‫حداقل سه تنش اصلی وجود دارند که به صورت ‪ σ1‬و ‪ σ2‬و ‪ σ3‬نشان داده می شوند‪ .‬از‬
‫جایگذاری پسرفتی این جواب ها در معادالت مربوط به مولفه های تنش در یک صفحه مایل‪،‬‬
‫وسینوس های هادی متناظر ‪ l‬و ‪ m‬و ‪ n‬به دست می آیند‪ ،‬البته با شرط‪:‬‬
‫‪l 2  m2  n2 1‬‬
‫اگرسه ریشه ‪ σ1‬و ‪ σ2‬و ‪ σ3‬متمایز باشند‪ ،‬در این صورت سه راستای اصلی متناظر‪ ،‬منحصر‬
‫بفرد خواهند بود و بر یسدیگر متعامد )‪ (Orthogonal‬خواهند بود‪ .‬اگر دو ریشه از این سه‬
‫ریشه مساوی باشند‪ ،‬در این صورت یک راستا منحصر بفرد خواهد بود و دو راستای دیگر می‬
‫تواند هر دو راستای دلخواهی باشند که بر ن ستین راستا متعامد می باشند‪ .‬اگر هر سه ریشه‬
‫مساوی باشند‪ ،‬در این صورت هیچ راستای منحصر بفردی وجود ن واهند داشت و هر سه‬
‫راستای متعامد دلخواهی می توانند انت اب شوند‪ .‬این وضعیت تنش به عنوان حالت تنش‬
‫هیدرواستاتیک معروف است‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫فرض کنید که به جای سه محور ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ ،z‬یک مجموعه متفاوت محورهای ´‪ x‬و ´‪ y‬و ´‪ z‬را در‬
‫نفطه ‪ O‬در نظر بگیریم‪ .‬در این صورت معادله تعیین تنش های اصلی مانند معادله درجه سومی‬
‫ذکر شده خواهد بود‪ ،‬به جز این که ‪ I1‬و ‪ I2‬و ‪ I3‬بر حسل تنش های ‪ σ´x‬و ‪ σ´y‬و ‪ σ´y‬نسبت‬
‫به محورهای جدید تعریف خواهند شد‪ .‬به عنوان مثال داریم‪:‬‬
‫‪   yy‬‬
‫‪   zz‬‬
‫‪I 1   xx‬‬
‫‪I 2  ...‬‬
‫‪I 3  ...‬‬
‫اما تنش های اصلی‪ ،‬کمیت های فیزیمی می باشند و واضح است که بست ی به محورهای م تصات‬
‫انت اب شده ندارند‪ .‬بنابراین مقادیر ‪ I1‬و ‪ I2‬و ‪ I3‬باید در هر دست اه م تصاتی یسسان باشند تا این‬
‫که مقادیر مشابهی را برای ‪ σ1‬و ‪ σ2‬و ‪ σ3‬به دست دهند‪ .‬بنابراین به عنوان مثال خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪   yy‬‬
‫‪   zz‬‬
‫‪I 1   xx   yy   zz   xx‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪ I1‬و ‪ I2‬و ‪ I3‬به ترتیل ناورداهای )‪ (Invariants‬اول و دوم و سوم تانسور تنش نامیده می‬
‫شوند‪.‬‬
‫اگر راستاهای اصلی را به عنوان محورهای م تصات در نظر بگیریم‪ ،‬در این صورت ناورداهای‬
‫تنش‪ ،‬فرم ساده زیر را به خود خواهند گرفت‪:‬‬
‫‪I 1  1   2   3‬‬
‫) ‪I 2  (1 2   2 3   31‬‬
‫‪I 3  1 2 3‬‬
‫باید یادآور شد که ناورداهای ‪ I1‬و ‪ I2‬و ‪ I3‬که در معادالت باال ظاهر می شوند‪ ،‬سه کمیت‬
‫مستقل هستند که حالت تنش و نیز ‪ σ1‬و ‪ σ2‬و ‪ σ3‬را مشخص می نمایند‪ .‬به عبارت دیگر با‬
‫معلوم بودن ‪ σ1‬و ‪ σ2‬و ‪ σ3‬می توان کمیت های ‪ I1‬و ‪ I2‬و ‪ I3‬را محاسبه نمود و با داشتن ‪ I1‬و ‪I2‬‬
‫و ‪ I3‬نیز می توان ‪ σ1‬و ‪ σ2‬و ‪ σ3‬را به دست آورد‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ث) تبديل تنش ( ‪) Transformation of Stress‬‬
‫فرض كنيد (‪ )x , y , z‬و (‪ )X ,Y , Z‬نمايشگر دو دست اه م تصات دكارتي با مبدأ مشترك‬
‫باشند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫كوسينوس هاي زواياي باین محورهااي م تصاات )‪ (x , y , z‬و (‪ (X ,Y , Z‬در جادول زيار در‬
‫شااده انااد‪ .‬هاار درايااه اياان جاادول عبااارت اساات از زاويااه بااین محورهاااي م تصااات كااه در باااالي سااتون و‬
‫سمت چپ سطر مربوطه‪ .‬زواياي ماذكور از محورهااي )‪ (x , y , z‬باه محورهااي )‪(X , Y , Z‬‬
‫اندازه گرفته مي شوند‪ .‬به عنوان مثال داريم‪:‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫از آنجاكه محورهاي )‪ )x , y , z‬و (‪ )X ,Y , Z‬متعامدند‪ ،‬از اين رو كوسينوس هاي هادي‬
‫جدول مذكور بايد روابط زير را ارضا نمايد‪:‬‬
‫براي عناصر سطري داريم‪:‬‬
‫براي عناصر ستوني نیز داريم‪:‬‬
‫‪l  m  n  1 , i  1,2,3‬‬
‫‪‬‬
‫‪l1l 2  m1m2  n1n2  0 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪l12  l 22  l32  1,‬‬
‫‪‬‬
‫‪l1m1  l 2 m2  l3 m3  0,‬‬
‫مولفه های تنش ‪ σXX‬و ‪ σYY‬و ‪ σZZ‬نسبت به محورهای (‪ )X ,Y , Z‬تعریف می شوند‪ ،‬همان گونه‬
‫که تنش های ‪ σxx‬و ‪ σyy‬و ‪ σzz‬نسبت به محورهای )‪ )x , y , z‬تعریف می شوند‪.‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
:‫از نتايج روابط مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي دلخواه مي توان نوشت‬
Sn  l 2 xx  m2 yy  n2 zz  2lm xy  mn yz  nl zx 
 XX  l12 xx  m12 yy  n12 zz  2m1n1 yz  2n1l1 zx  2l1m1 xy   X .N1


2
2
2


l


m


n
 YY 2 xx
2 yy
2  zz  2m2 n2 yz  2n2 l 2 zx  2l 2 m2 xy   Y .N 2

2
2
2


l


m


n
 ZZ 3 xx
3 yy
3  zz  2m3 n3 yz  2n3l3 zx  2l 3 m3 xy   Z .N 3
‫ قرار‬Z ‫ و‬Y ‫ و‬X ‫ در راستاهاي‬،‫كه به صورت زير تعريف مي شوند‬
N1  l1 i  m1 j  n1 k
N 2  l2 i  m2 j  n2 k
N 3  l3 i  m3 j  n3 k
‫و‬
‫و‬
‫سه بردار واحد‬
.‫دارند‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
 X   l1 xx  m1 yx  n1 zx  i   l1 xy  m1 yy  n1 zy  j   l1 xx  m1 yz  n1 zz  k
Y   l 2 xx  m 2 yx  n 2 zx  i   l 2 xy  m 2 yy  n 2 zy  j   l 2 xx  m 2 yz  n 2 zz  k
 Z   l 3 xx  m 3 yx  n 3 zx  i   l 3 xy  m 3 yy  n 3 zy  j   l 3 xx  m 3 yz  n 3 zz  k
:‫را مي توان به صورت زير بدست آورد‬
‫و‬
‫و‬
‫بنابراين‬
 XY   X .N 2  Y .N 1
 l1l 2 xx  m1m 2 yy  n1n 2 zz   m1n 2  m 2 n1   yz   l1n 2  l 2 n1  zx   l1m 2  l 2 m1  xy
 XZ   X .N 3   Z .N 1
 l1l 3 xx  m1m 3 yy  n1n3 zz   m1n3  m 3n1   yz   l1n3  l 3n1   zx   l1m 3  l 3m1   xy
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪ YZ   Y .N 3   Z .N 2‬‬
‫‪ l 2 l3 xx  m2 m3 yy  n2 n3 zz  m2 n3  m3 n2  yz  l 2 n3  l3 n2  zx  l2 m3  l3 m2  xy‬‬
‫و‬
‫در حالت كلي اگر تانسور تنش در نقطه مورد نظر نسبت به محورهاي ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬را با‬
‫نشان دهيم و نیز اگر‬
‫تانسور تنش در نقطه مورد نظر نسبت به محورهاي ‪ X‬و ‪ Y‬و ‪ Z‬را با‬
‫كوسينوس هاي هادي را در يك آرايه به نام ماتريس دوران گرد آوريم‪ ،‬در اين صورت خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪l1 m1 n1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪  R. .R‬‬
‫به صورت نماد تانسوري نیز مي توان نوشت‪:‬‬
‫‪n13‬‬
‫‪n12‬‬
‫‪n11‬‬
‫‪n 23‬‬
‫‪n 22‬‬
‫‪R T  n 21‬‬
‫‪n 33‬‬
‫‪n 32‬‬
‫‪n 31‬‬
‫‪j  1,2,3‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪R  l2‬‬
‫‪n3‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪l3‬‬
‫‪   ij n jk nim , i  1,2,3 ,‬‬
‫‪ km‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫) تنش هاي برش ي ماكزيمم‬
‫فرض كنيد كه محورهاي م تصات مورد نظر خود را همان محورهاي اصلي اختيار كرده ايم‪ .‬در اين‬
‫صورت تنش هاي برش ي مربوط به اين محورهاي م تصات صفر مي باشند‪ .‬تنش هاي نرمال و برش ي‬
‫در صفحه اي مايل با كوسينوس هاي هادي نسبت به اين محورها ( ‪ l‬و ‪ m‬و ‪ )n‬عبارتند از‪:‬‬
‫‪Sn  l 2 xx  m2 yy  n2 zz  2lm xy  mn yz  nl zx ‬‬
‫‪Sn  l 2 1  m2 2  n 2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S 2  S 2  S 2  S 2  S 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ s‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S s  l  1  m  2  n  3  l  1  m  2  n  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪S x  l  xx  m yx  n zx‬‬
‫‪S y  l xy  m yy  n zy‬‬
‫‪S z  l xz  m yz  n zz‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫از قباال مااي داناايم كااه در صاافحات اصاالي‪ ،‬تاانش برش ا ي ميناايمم (يعنااي صاافر) اساات‪ .‬اينااك مااي خ اواهيم‬
‫صفحاتي را پيدا كنيم كه در آن تنش برش ي ماكزيمم اسات‪ .‬باه عباارت ديگار باه دنباال ‪ l‬و ‪ m‬و ‪n‬‬
‫در معادلااه ذكاار شااده يااك ماااكزيمم باشااد‪ .‬عااالوه باار معادلااه مااذكور‪،‬‬
‫هسااتيم بااه گونااه اي كااه‬
‫محدوديتي در كوسينوس هاي هادي وجود دارد‪ ،‬به عبارت ديگر‪:‬‬
‫يعني تهها دو تا از سه كوسينوس هاي هادي مذكور مي توانند مستقل باشند‪ .‬از جايگذاري‬
‫و مش ااتق گی ااري از معادل ااه حاص اال نس اابت ب ااه ‪ l‬و ‪ m‬و مس اااوي ص اافر ق ارار‬
‫در معادل ااه مرب ااوط ب ااه‬
‫دادن اين مشتقات‪ ،‬معادالت زير به ازاي ‪ l‬و ‪ m‬بدست مي آيند‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪l  1   3  l 2   2   3  m 2   1   3    0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m  1   3  l 2   2   3  m 2   2   3    0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫روشن است که یک جواب عبارت است از‪ m =0 :‬و ‪ l =0‬و ‪ .n =±1‬جواب دیگر از طریق‬
‫مساوی صفر قرار دادن ‪ ، l‬به صورت زیر به دست می آید‪:‬‬
‫همچنین با ‪ m =0‬جواب زیر به دست می آید‪:‬‬
‫با حل معادالت فوق مي توان جدول زير را بدست آورد‪:‬‬
‫سه ستون اول اين جدول‪ ،‬كوسينوس هاي هادي صفحات م تصات كه همان صفحات اصلي هستند و بنابراين تنش هاي‬
‫برش ي در اين صفحات صفر مي باشند‪ ،‬به عبارت ديگر آنها مينيمم مي باشند‪ .‬سه ستون آخر در واقع كوسينوس هاي هادي‬
‫زواياي ‪ 45‬درجه هستند‪ .‬بنابراين‪ ،‬اين صفحات زواياي بین محورهاي م تصات را نصف مي نمايند‪ .‬در اين صفحات‬
‫و جايگذاري كوسينوس هاي هادي مذكور در معادله‬
‫تنشهاي برش ي ماكزيمم مي باشند‪ .‬با نشان دادن اين تنشها با‬
‫مربوط به مقادير تنش هاي برش ي به صورت زير بدست مي آيند‪:‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2   3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2    1   3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ l   m   n   l 1  m  2  n  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪S‬‬
‫اگر تنش هاي نرمال در اين صفحات را محاسبه نماييم و آنها را با نشان دهيم‪ ،‬در اين صورت از‬
‫معادله مربوط به خواهيم داشت‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ N 1  2  2   3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ N 2   1   3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ N 3  2  1   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Sn  l 2 1  m2 2  n 2 3‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫خ ) معادالت دیفرانسیل تعادل‬
‫در ای اان بح ااث‪ ،‬مع ااادالت دیفرانس اایل تع ااادل را در ی ااک جس اام تغیی اار ش اامل پ ااذیر (‪)Deformable body‬‬
‫است را می کنایم ‪.‬ایان معاادالت در هن اام ااربرد تئاوری االستیسایته در اسات را رواباط باار‪ -‬تانش وباار –‬
‫خیز ضروری می باشند‪.‬‬
‫ب اادین منظ ااور‪ ،‬ی ااک جس اام عم ااومی تغیی اار ش اامل پ ااذیر را در نظ اار م اای گی ااریم وی ااک عنص اار حجم اای دیفرانسا ایلی‬
‫( ‪ )Differential volume element‬در نقطاه ‪ O‬درجسام را باه صاورتی کاه در زیار نشاان داده شاده‬
‫است‪ ،‬انت اب می کنیم ‪:‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫فرم معادالت دیفرانسیل بست ی به نوع محورهای م تصات انت ابی دارد‪ .‬در این مرحله‪ ،‬محورهای‬
‫د ارتی )‪ (x, y, z‬را که راستاهای آن موازی با لبه های عنصر حجمی است انت اب می نماییم‪ .‬شش‬
‫صفحه ی بریده شده‪ ،‬مرز عنصر حجمی را تشسیل می دهند‪ .‬در شمل زیر دیاگرام جسم آزاد نشان داده‬
‫شده است‪ .‬در حالت کلی ‪،‬مؤلفه های تنش ازیک وجه به وجه دیگر تغییر می کنند‪ .‬در ضمن نیروهای‬
‫دردیاگرام جسم آزاد وارد شده اند‪.‬‬
‫حجمی‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ب ارای نوش ااتن مع ااادالت تع ااادل‪ ،‬ه اار مولف ااه ت اانش بای ااد در س ااطحی ک ااه در آن عم اال م اای کن ااد ض اارب ش ااود و ه اار‬
‫نیااروی حجماای بایااد در حجاام عنصاار ضاارب گااردد‪ .‬بنااابر ایاان معااادالت تعااادل بارای ایاان عنصاار حجماای از طریااق‬
‫روابط زیر به دست آیند‪:‬‬
‫‪ 0,  Fy  0,  FZ  0‬‬
‫‪ 0,  M y  0,  M Z  0‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫پیش از این در مبحث تانسور تنش از معادالت تعادل لنگر برای نمایش تقارن تانسور تنش استفاده‬
‫نمودیم‪ .‬به عبارت دیگر داشتیم‪:‬‬
‫‪ 0   yz   zy‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 0   zx   xz‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 0   yx   xy‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
:‫از رابطه زیر‬
F
x
0
: ‫ به صورت زیر به دست می آید‬x ‫معادله دیفرانسیل تعادل در راستای‬
 yx
 xx
 zx
dx( dy.dz) 
dy( dx.dz) 
dz( dx.dy)
x
y
z
 B x ( dx.dy.dz)  0
 xx  yx  zx



 BX  0
x
y
z
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪0‬‬
‫از رابطه‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪y‬‬
‫معادله دیفرانسیل تعادل در راستای ‪ y‬به صورت زیر به دست می آید ‪:‬‬
‫‪ xy  yy  zy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ By  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫از رابطه‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪F‬‬
‫‪z‬‬
‫معادله دیفرانسیل تعادل در راستای ‪ z‬به صورت زیر به دست می آید ‪:‬‬
‫‪ xz  yz  zz‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Bz  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫وبه طور کلی به صورت نمایش تانسوری داریم ‪:‬‬
‫‪ ij, j  Bi  0‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫معادالت تعادل در دست اه م تصات استوانه ای ‪:‬‬
‫در دست اه م تصات استوانه ای محور های ‪ Ox‬و ‪ Oy‬و ‪ Oz‬تبدیل به محورهای ‪ Or‬و ‪ θ‬و‬
‫‪Oz‬می شوند ‪.‬‬
‫تانسور تنش در این دست اه‬
‫م تصات عبارت است از ‪:‬‬
‫‪ rz ‬‬
‫‪ z ‬‬
‫‪ zz ‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ z‬‬
‫‪ rr‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ zr‬‬
‫تنش حلقوی‪ -‬محیطی‬
‫که در آن ‪،‬‬
‫تنش شعاعی‬
‫تنش عمودی ‪ -‬محوری‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
‫معادالت دیفرانسیل تعادل در دست اه م تصات‬
:‫استوانه ای از معادالت تعادل زیر بدست می آیند‬
F
 F
F
r
Z
F
r
 0   r r .r .d  .d z  ( r r 
  r .dr .dz  (  r 
  r

 r r
r
0
0
0
dr )(r  dr )d  .dz 
d  )dr .dz   z r .r .d  .dr  ( z r 
 
(  
d  )dr .dz .d   B r .r .dr .d  .dz  0

 r r 1   r  zr  rr   



 Br  0
r r 
z
r
 z r
z
d z )r .dr .d  
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫وبه طور مشابه اگر معادالت تعادل زیر را تشسیل دهیم‪:‬‬
‫در این صورت در نهایت معادالت دیفرانسیل تعادل عنصر حجمی بی نهایت وچک به صورت زیر‬
‫خواهد بود ‪:‬‬
‫‪ rr 1   r  zr  rr   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Br  0‬‬
‫‪r r ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r 1    z  2 r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ B  0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ rz 1   z  zz  rz‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Bz  0‬‬
‫‪r r ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪r‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫معادالت تعادل در دست اه م تصات کروی ‪:‬‬
‫در دست اه م تصات کروی محور های ‪ Ox‬و ‪ Oy‬و ‪ Oz‬تبدیل به محورهای ‪ Or‬و ‪ θ‬و ‪ Φ‬می‬
‫شوند ‪.‬‬
‫تانسور تنش در دست اه م تصات کروی ‪:‬‬
‫‪ r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  rr‬‬
‫‪‬‬
‫‪  r‬‬
‫‪  r‬‬
‫‪‬‬
‫تنش حلقوی‪ -‬محیطی‬
‫که در آن ‪،‬‬
‫تنش شعاعی‬
‫تنش حلقوی‪ -‬محیطی می باشند ‪.‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
:‫معادالت دیفرانسیل تعادل در دست اه کروی از سه معادله تعادل زیر به دست می آیند‬
 rr 1   r
1   r 1


 (2 rr          r cot  )  B r  0
r r  r sin   r
 r 1  
1   1


 (     )cot   3 r   B   0
r r  r sin   r
 r 1  
1   1


 (3 r  2  cot  )  B   0
r r  r sin   r
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪ -3‬تحلیل کرنش (‪)Strain Analysis‬‬
‫الف) مقدمه‬
‫تمامی اجسام شمل پذیر تحت بارهای م تلف‪ ،‬تغییر ممان )‪ (Displacement‬و تغییر شمل‬
‫)‪ (Deformation‬می دهند‪ .‬بدین معنی که هر نقطه ی ‪ P‬از جسم از موقعیت ابتدایی خود که به‬
‫در فضا مشخص می شود‪ ،‬به موقعیت جدید خود که به وسیله‬
‫وسیله م تصات‬
‫مشخص می شود‪ ،‬انتقال می یابد‪.‬‬
‫م تصات‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫بردار ´‪ PP‬را بردار تغییرممان نقطه ی ‪ P‬از جسم می نامند‪ .‬واضح است که اگر جسم مورد‬
‫نظر شمل پذیر باشد‪ ،‬در این صورت تغییرممان نقاط م تلف آن باهم مساوی نیستند‪ .‬عدم‬
‫تساوی تغییرممان های نقاط یک جسم‪ ،‬باعث تغییرشمل (‪ )Deformation‬آن می شود‪.‬‬
‫تغییر شمل یک جسم‪ ،‬توسط کمیت مؤلفه های م تلف کرنش در هر نقطه از جسم بیان می‬
‫گردد‪.‬‬
‫مؤلفه های کرنش مانند مؤلفه های تنش عبارتند از ‪:‬‬
‫• کرنش محوری )‪(Axial Strain‬‬
‫• کرنش برش ی )‪(Shear Strain‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ب) کرنش محوری (‪)Axial Strain‬‬
‫ هن امی که یک جسم تغییرشمل می یابد‪ ،‬یک ذره در نقطه ‪ P‬به م تصات )‪ (x , y , z‬به نقطه ´‪ P‬به‬‫م تصات )‪ (x+u , y+v , z+w‬انتقال می یابد‪ .‬همچنین ذره ای در نقطه ‪ Q‬به م تصات ‪(x+dx ,‬‬
‫)‪ y+dy , z+dz‬به نقطه ´‪ Q‬به م تصات )‪ (x+dx+u+du , y+dy+v+dv , z+dz+w+dw‬انتقال می‬
‫یابد و عنصر خطی بیههایت وچک ‪ PQ=ds‬به صورت عنصر خطی ´‪ P´Q‬به طول ´‪ ds‬در می آید‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪-‬کرنش محوری مهندس ی (‪ )Engineering strain‬در نقطه ‪ P‬به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫‪ds ' ds‬‬
‫‪e   lim ds 0‬‬
‫‪ds‬‬
‫این کرنش در مقاومت مصالح و تئوری های ابتدایی و تئوری های تغییرشمل وچک اربرد دارد‪.‬‬
‫ کرنش محوری الگرانژی )‪ (Lagrangian strain‬به صورت زیر تعریف می شود که در تغییر‬‫شمل های بزرگ اربرد دارد‪:‬‬
‫‪ds' 2 ds 2‬‬
‫‪  lim ds 0‬‬
‫‪2ds 2‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫کرنش محوری را می توان به وسیله تغییرات تغییر ممان نقطه ‪ P‬بیان نمود‪ .‬فرض می کنیم که کرنش‬
‫الگرانژی محوری نقطه ‪ P‬در امتداد محور ‪x‬ها مورد توجه باشد‪ ،‬در این صورت به موازات محور ‪Ox‬‬
‫بردار ‪ PQ‬را در نظر می گیریم‪.‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
: ‫ به صورت زیر محاسبه می شود‬P'Q' ‫ و‬PQ ‫طول‬
P Q  dx
P 'Q '  (dx  du )  dv  dw 
2
2
2
1
2
:‫ عبارت است از‬Ox ‫ درجهت محور‬P ‫در این صورت کرنش محوری الگرانژی در نقطه ی‬
ds' 2 ds 2
  lim ds 0
2ds 2
 xx
 xx
(dx  du )2  dv 2  dw 2  dx 2
 limdx 0
2(dx )2
u
1  u 2
v 2
w 2 


(
) (
) (
) 

x
2  x
x
x

:‫ عبارتند از‬Oz ‫ و‬Oy ‫ در جهت محورهای‬P ‫به همین ترتیل کرنش محوری الگرانژی در نقطه‬
v
1  u 2
v 2
w 2 

(
)

(
)

(
) 

y
2  y
y
y

w
1  u 2
v 2
dw 2 


(
)

(
)

(
) 

z
2  z
z
dz

 yy 
 zz
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫کرنش محوری مهندس ی در نقطه ی ‪ P‬درجهت محورهای ‪ Oz , Oy , Ox‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪w‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪e xx‬‬
‫‪e yy‬‬
‫‪e zz‬‬
‫در واقع اگر از جمالت درجه دومی موجود در کرنش محوری الگرانژی صرف نظر کنیم‪ ،‬به کرنش‬
‫محوری مهندس ی می رسیم و این امر در واقع در تغییرشمل های بسیار وچک اممان پذیر است و‬
‫اساسا کرنش های محوری مهندس ی و الگرانژی هن امی مساوی فرض می شوند که تغییر شمل ها و‬
‫یا کمیت کرنش ها وچک باشند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫پ) کرنش زاویه ای یا برش ی‬
‫کرنش برش ی در واقع تغییر شمل زاویه ای جسم را نشان می دهد‪.‬‬
‫در نقطه ی ‪ P‬یک زاویه ی قاام در نظر می گیریم‪ .‬پس از تغییر شمل جسم‪ ،‬زاویه ی قاام تغییر‬
‫خواهد کرد‪ .‬مقدار زاویه ی جدید توسط وسینوس آن مشخص می گردد‪.‬‬
‫' ‪P 'Q '. P ' S‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫' ‪P 'Q ' . P ' S‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫همانند کرنش محوری‪ ،‬دو تعریف برای کرنش برش ی وجود دارد‪:‬‬
‫کرنش برش ی مهندس ی‪:‬‬
‫کرنش برش ی الگرانژی‪:‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫کرنش برش ی را می توان در صفحات م تلف معین نمود‪ .‬به عنوان مثال‪ ،‬کرنش برش ی‬
‫الگرانژی نقطه ‪ P‬در صفحه ای به موازی صفحه ‪ Oxy‬تابعی است از تغییرممان های‬
‫م تلف نسبت به متغیرهای ‪ x‬و ‪ . y‬برای این ار زاویه ی قاامه ی ‪ QPS‬را موازی صفحه‬
‫‪ Oxy‬درنظر می گیریم‪ ،‬به گونه ای که اضالع آن نیز موازی محورهای م تصات باشند‪.‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
:‫ عبارتند از‬S ‫ و‬Q ‫ و‬P ‫م تصات نقاط‬
P(x , y , z)
Q(x+dx , y , z)
S(x , y+dy , z)
:‫ عبارت اند از‬S' ‫ و‬Q' ‫ و‬P' ‫م تصات نقاط‬
P '(x  u , y  v , z  w )
u
v
w
Q '(x  dx  u  dx , y  v  dx , z  w 
dx )
x
x
x
u
v
w
S '(x  u  dy , y  v  dy  dy , z  w 
dy )
y
y
y
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
: ‫ عبارتند از‬PQ ‫ و‬P'Q' ‫در این صورت مؤلفه های‬
 u

 x dx  dx


 v

P ' Q ': 
dx 
 x


w

dx 


 x

 u

 y dy 


 v

P ' S ': 
dy  dy
 y

 w dy 
 y



‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ضرب داخلی این دو بردار عبارتند از ‪:‬‬
‫‪u u u v v v w w‬‬
‫‪P ' S '. P 'Q '  ( . ‬‬
‫‪ . ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪)dx .dy‬‬
‫‪y x y x y x x y‬‬
‫در نتیجه مقدار کرنش برش ی الگرانژی در نقطه ی ‪ P‬موازی محور ‪ Oxy‬به صورت زیر در می آید‪:‬‬
‫‪1 v u u u v v w w‬‬
‫) ‪ xy  (   .  .  .‬‬
‫‪2 x y x y x y x y‬‬
‫نسته جالل این است که اگر اندیس های ‪ x‬و ‪ y‬جابجا شوند‪ ،‬در مقدار کرنش برش ی الگرانژی تغییری‬
‫حاصل نمی گردد‪ ،‬به عبارت دیگر داریم‪:‬‬
‫‪ xy   yx‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫به همین ترتیل می توان کرنش برش ی الگرانژی نقطه ی ‪ P‬را در صفحه ای به موازی ‪ Oxz‬و‬
‫‪ Oyz‬نیز به دست می آورد‪:‬‬
‫‪1 w u u u v v w w‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫)‬
‫‪2 x z x z x z x z‬‬
‫( ‪ xz   zx ‬‬
‫‪1 w v u u v v w w‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫)‬
‫‪2 y z y z y z y z‬‬
‫کرنش برش ی مهندس ی در نقطه ی ‪ P‬در صفحات ‪ Oxy , Oxz , Oyz‬عبارت اند از ‪:‬‬
‫( ‪ yz   zy ‬‬
‫‪1 u v‬‬
‫( ‪‬‬
‫‪‬‬
‫در واقع اگر از جمالت درجه دومی موجود در کرنش برش ی )‬
‫‪2 y x‬‬
‫الگرانژی صرف نظر نماییم‪ ،‬به کرنش برش ی مهندس ی می رسیم و‬
‫‪1 w u‬‬
‫( ‪‬‬
‫‪‬‬
‫این در تغییرشمل های وچک اممان پذیر است‪ .‬اساسا کرنش )‬
‫‪2 x‬‬
‫‪z‬‬
‫های برش ی مهندس ی و الگرانژی هن امی مساوی فرض می شوند‬
‫‪1 w v‬‬
‫( ‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫که تغییر شمل ها و یا کمیت کرنش ها وچک باشند ‪.‬‬
‫‪2 y z‬‬
‫‪e xy‬‬
‫‪e xz‬‬
‫‪e yz‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫رابطه ی اندیس ی کرنش های محوری و برش ی مهندس ی ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪eij  (ui , j  u j ,i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i , j =1,2,3‬‬
‫رابطه ی اندیس ی کرنش های محوری و برش ی الگرانژی ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ ij  (u i , j  u j ,i  u k ,i u k , j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i , j , k =1,2,3‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ت) تانسور کرنش و خواص آن‪:‬‬
‫تغییرشمل در نقطه ی ‪ P‬را می توان از طریق مؤلفه های کرنش در آن نقطه در یک تانسور به نمایش‬
‫گذاشت‪.‬‬
‫تانسور کرنش الگرانژی عبارت است از‪:‬‬
‫‪ xy  xz ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ yy  yz ‬‬
‫‪ zy  zz ‬‬
‫‪ xx‬‬
‫‪‬‬
‫‪   yx‬‬
‫‪ zx‬‬
‫‪‬‬
‫تانسور کرنش مهندس ی عبارت اند از‪:‬‬
‫‪e xx e xy e xz ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e  e yx e yy e yz ‬‬
‫‪e zx e zy e zz ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫طبیعی است که تانسور تنش و تانسور کرنش شباهت هایی داشته باشند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫در مطالعه تنش در یک نقطه دریافتیم که حداقل سه صفحه که متقابال متعامدند وجود دارند که‬
‫در آن تنش برش ی صفر است(صفحات اصلی)‪.‬‬
‫این سئوال مطرح می شود که آیا صفحاتی وجود دارند که در آنها کرنش برش ی صفر باشد؟ یعنی‬
‫صفحه ای که جهت نرمال های آنها بعد از تغییرشمل جسم تغییری نمی کند‪ .‬بنابراین برداری مانند‬
‫‪ A‬که در ابتدا عمود بر آن صفحه است‪ ،‬یا وتاه می شود یا بلند‪ ،‬ولی راستای ان تغییری نمی‬
‫کند‪.‬‬
‫جواب مثبت است‪ .‬چنان صفحاتی‪ ،‬صفحات اصلی نامیده می شوند که راستاهای نرمال بر آنها راستاهای‬
‫اصلی هستند و کرنش های متناظر با این صفحات نیز‪ ،‬کرنش های اصلی نامیده می شوند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫اگر به طریقه مشابه یافتن تنش ها و صفحات اصلی عمل کنیم‪ ،‬در نهایت به معادله درجه سومی‬
‫مشابه زیر می رسیم‪:‬‬
‫‪  I '1   I '2   I '3  0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫کرنش های اصلی‬
‫ناورداهای تانسور کرنش‪:‬‬
‫‪I 1 '   xx   yy   zz‬‬
‫) ‪  yz   zx  ( xx  yy   yy  zz   zz  xx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪I2 ' ‬‬
‫) ‪I '3   xx . yy . zz  2 xy  yz  zx  ( xx . yz   yy  zx   zz  xy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪I '1   1   2   3‬‬
‫ناورداهای کرنش نسبت به کرنش های اصلی نیز عبارتند از ‪:‬‬
‫) ‪I ' 2  ( 1 2   2 3   3 1‬‬
‫‪I 3 '   1 2 3‬‬
‫روابط تبدیل کرنش همانند تنش می باشند‪ .‬به عنوان مثال‪:‬‬
‫‪ XX  l12 xx  m12 yy  n12 zz  2m1n1 yz  2n1l1 zx  2l1m1 xy‬‬
‫‪ XY  l1l 2 xx  m1m2 yy  n1n2 zz  (m1n2  m2n1 ) yz  (n1l 2  n2l1 ) zx  (l1m2  l 2m1 ) xy‬‬
‫باز هم به طور مشابه با حالت تنش‪ ،‬می توان کرنش های برش ی ماکزیمم را به صورت زیر به دست‬
‫آورد‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 1   ( 2   3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 2   ( 1   3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ 3   ( 1   2‬‬
‫‪2‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫ث) کرنش در دست اه م تصات استوانه ای ‪( :‬کرنش های وچک )‬
‫مولفه های تغییرممان در دست اه‬
‫م تصات استوانه ای‪:‬‬
‫) ‪u r  f 1 (r ,  , z‬‬
‫) ‪u  f 2 (r , , z‬‬
‫) ‪u z  f 3 (r ,  , z‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫مولفه های کرنش در دست اه م تصات استوانه ای عبارتند از (تئوری تغییرشمل های وچک)‪:‬‬
‫‪ -1‬کرنش محوری موازی محور ‪ z‬ها )‪: (ezz‬‬
‫‪u z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ -2‬کرنش محوری موازی محور ‪ r‬ها )‪: (err‬‬
‫‪u r‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪e zz‬‬
‫‪e rr‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
.‫ تغییر می یابد‬a´b´ ‫ به ضلع‬AB ‫ یا‬ab
: (eθθ) ‫ محیطی‬- ‫ کرنش حلقوی‬-3
ab  rd  , a b   KJ  a K  IJ  (r  u r )d   u   (u  
e
a b   ab u r 1 u 



ab
r
r 
u 
d)

‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫‪ -4‬کرنش برش ی موازی صفحه ‪: rθ‬‬
‫‪1  1 u r u u ‬‬
‫‪e r  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2  r ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r ‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
ez 
u
e zz  z
z
u r
e rr 
r
1 u  u r
e 

r 
r
1  1 u r u  u  
e r  

 
2  r 
r
r 
1  u
1 u z 
ez    
2  z r  
1  u z u r 
e rz  

2  r
z 
1  u  1 u z 


2  z r  
: zθ ‫ کرنش برش ی موازی صفحه‬-5
: rz ‫ کرنش برش ی موازی صفحه‬-6
1  u z u r 
e rz  

2  r
z 
‫ روابط کرنش – تغییرممان در‬:‫جمع بندی‬
‫دست اه م تصات استوانه ای‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫تانسور کرنش مهندس ی در دست اه م تصات استوانه ای ‪:‬‬
‫‪erz ‬‬
‫‪ez ‬‬
‫‪ezz ‬‬
‫‪er‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e z‬‬
‫‪ err‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ezr‬‬
‫) کرنش در دست اه م تصات کروی‪( :‬کرنش های وچک )‬
‫مولفه های تغییرممان در دست اه‬
‫م تصات کروی‪:‬‬
‫) ‪u r  f1 (r , , ‬‬
‫) ‪u  f 2 ( r ,  , ‬‬
‫) ‪u  f 3 ( r ,  , ‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
:‫روابط کرنش – تغییرممان در دست اه م تصات کروی‬
u r
r
1 u  u r


r 
r
u  u 
u
1


cot   r
r sin  
r
r
e rr 
 
 
 
 r
 r
u  
1  1 u 
1
  (
 u  cot  ) 
2  r 
r sin   
u
1  u
1 u r 
     
2  r
r
r  
u  u  
u r
1 1
 


2  r sin  
r
r 
‫تانسور کرنش مهندس ی در دست اه‬
:‫م تصات کروی‬
 err

 er
er

er
e
e
er 

e 
e 

‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫) معادالت سازگاری )‪(Compatibility equations‬‬
‫تانسور کرنش مهندس ی ‪ eij‬شش مولفه کرنش را بر حسل ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬بیان می کند‪ ،‬مثال داریم‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e xx‬‬
‫روشن است که اگر تغییر ممان های ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬به عنوان توابع پیوسته از ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬مشخص باشند‪،‬‬
‫در این صورت می توان از روابط شش گانه ‪ ،eij‬مولفه های کرنش را به صورت منحصر بفردی به دست‬
‫آورد‪ .‬اکنون عسس این حالت را در نظر می گیریم‪ :‬به عبارت دیگر فرض بر این است که مولفه های کرنش‬
‫‪ eij‬در دست هستند و می خواهیم تغییرممان های ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬را به دست آوریم‪ .‬روشن است که در این‬
‫حالت با دشواری مواجه خواهیم شد‪.‬‬
‫شش معادله نمایشگر ‪ ، eij‬دارای سه مجهول ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬می باشند‪ .‬بنابر این روشن است که این‬
‫معادالت به ازای یک مجموعه کرنش های شش گانه اختیاری‪ ،‬جوابی منحصر بفرد ن واهند داست‪ ،‬به‬
‫عبارت دیگر نمی توان سه مولفه تغییرممانی ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬را از انتگرال گیری معادالت ‪ eij‬به دست آورد‪.‬‬
‫بنابر این باید از طریق روابطی‪ ،‬محدودیت هایی در کرنش ها اعمال شوند تا این که معادالت نمایشگر‬
‫‪ eij‬دارای جواب باشند‪ .‬روابط مذ ور‪ ،‬روابط یا معادالت سازگاری نامیده می شوند‪.‬‬
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫برای است را معادالت سازگاری‪ ،‬به جهت سادگی‪ ،‬حالت کرنش مسطح را در نظر می گیریم‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 u v‬‬
‫( ‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪2 y x‬‬
‫‪ e zx  e zy  0‬‬
‫‪e xx ‬‬
‫‪e yy‬‬
‫‪e xy‬‬
‫‪e zz‬‬
‫در این حالت کرنش با این شرط تعریف می شود که مؤلفه های تغییرممان ‪ u‬و ‪ v‬صرفا توابعی از‬
‫‪x‬و ‪ y‬می باشند و ‪ w‬ثابت است‪ .‬شرط سازگاری کرنش را می توان از حذف دو مؤلفه تغییر ممان‬
‫‪u‬و ‪ v‬از سه رابطه کرنش – تغییرممان حالت کرنش مسطح به دست آورد‪.‬‬
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
e xx
 2e xx
u
 3u



2
x
y
x y
e yy
 2e yy
v
 3v



2
y
x
x 2 y
2
 2e xy
1 u v
1   3u
e xy  (

)
 
2 y
x
x y
2  x y
 2e yy
 2e xy
 2e xx


2
2
2
y
x
x y
2
 3v 

x 2 y 
‫ تحلیل تنش و کرنش‬: ‫فصل اول‬
 2 e yy
x 2
 2 exy
 2 exx

2
2
y
x.y
‫ سه‬،eij ‫درحالت کلی اگر از شش معادله‬
‫را حذف‬w ‫ و‬v ‫ و‬u ‫مؤلفه ی تغییرممان‬
‫ به معادالت سازگاری زیر در حالت‬،‫کنیم‬
:‫کلی می رسیم‬
 2 exx
 2 ezz
 2 ezz

2
2
2
x
z
x.z
2
2
2

e

e yz
 ezz
yy

2
2
2
y
z
y.z
 2 exy
 2 e yz
 2 ezx
 2 ezz



2
x.y
z
z.x
y.z
 2 e yy
x.z

 2 exy
 2 e yz
 exz


2
y
y.z
x.y
2
 2 e yz
 2 exy
 2 exx
 2 exz



2
y.z
x
x.y
x.z
‫فصل اول ‪ :‬تحلیل تنش و کرنش‬
‫معادالت شش گانه سازگاری که در باال ارااه گردیدند‪ ،‬معادالت سازگاری کرنش برای تئوری تغییرممان های وچک نامیده می‬
‫شوند‪ .‬می توان نشان داد که اگر مولفه های کرنش ‪ exx‬و ‪ eyy‬و ‪ ezz‬و ‪ exy‬و ‪ exz‬و ‪ eyz‬در معادالت سازگاری صدق کنند‪ ،‬در‬
‫این صورت مولفه های تغییرممان های ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬وجود دارند که جواب معادالت شش گانه کرنش می باشند‪.‬‬
‫معادالت‬
‫سازگاری در‬
‫دست اه‬
‫م تصات‬
‫استوانه ای‪:‬‬