People_Courses_10_Theory of Elasticity
Download
Report
Transcript People_Courses_10_Theory of Elasticity
تئوری االستیسیته
Theory of Elasticity
كريم عابدي
فصل اول:
تحلیل تنش و کرنش
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
- 1مقدمه
تحليل هاي تنش و كرنش ،مباني مورد نياز را براي تحليل رفتار سیستم سازه اي
) (Structural systemكه تحت اثر بارگذاري قرار دارد ،فراهم مي نمايد.
تحلیل تنش
تحلیل کرنش
• مفاهيم بنيادي تنش
• مفاهيم بنيادي كرنش
• تانسور تنش
• تانسور كرنش
• تبديالت در تانسور تنش
• تبديالت در تانسور كرنش
• تنش هاي اصلي
• كرنش هاي اصلي
• تنش هاي برش ي ماكزيمم يا مينيمم
• كرنش هاي برش ي
• معادالت تعادل
• معادالت سازگاري
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
– 2تحليل تنش
الف) تعريف تنش
یک جسم عمومی دلخواه را در نظر بگیرید که تحت اثر نیرو های عمل کننده در سطح آن قرار
دارد ( نیرو های گسترده p1و p2و نیرو های متمرکز P1و P2و .) P3یک صفحه دلخواه
موهومی Qرا از میان جسم عبور دهید .این صفحه جسم را در امتداد سطح Aبرش می دهد.
یک سوی صفحه Qرا با عالمت ( )+و سوی دیگر را با عالمت منفی ( )-نمایش می دهیم.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
قسمتی از جسم در سمت مثبت Q
نیروهایی را به قسمت دیگر از جسم
در سمت منفی Qاعمال می نماید.
این نیروها از طریق صفحه Qبه
وسیله تماس مستقیم دو قسمت
جسم در دو سمت Qمنتقل می
شوند .نیرویی را که از طریق سطح
جزیی ΔAاز Aبه وسیله سمت
راست Qمنتقل می شود با ΔF
نمایش می دهیم.
نیروي را مي توان به دو مؤلفه ( نیروي نرمال يا عمودي ) و ( نیروي برش ي يا مماس ي )
در امتداد بردار واحد نرمال Nو بردار مماس ي Sنسبت به صفحه Qتجزيه نمود:
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
F FN2 FS2
مقدار متوسط نیرو در واحد سطح عبارتند از:
( تنش متوسط )
( تنش نرمال متوسط )
( تنش برش ي متوسط )
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
مفهوم تنش در يك نقطه با فرض بي نهايت كوچك شدن
تنش به صورت زير مشخص مي شود:
حاصل مي شود .بنابراين بردار
F
A
lim
A0
و بطور مشابه بردار تنش نرمال و بردار تنش مماس ي به صورت زير تعريف مي شوند:
( تنش نرمال )
( تنش برش ي يا مماس ي )
FN
A
N lim
FS
A
S lim
A0
A0
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
اكنون با شناختي كه از بردار تنش بدست آورديم ،مي توان چهار مشخصه زير را براي آن بيان
كرد:
(1بردار تنش از جنس نیرو در واحد سطح است.
)2بردار تنش در هر نقطه ،نمايانگر عمل نیروهاي يك طرف مقطع خاص برش گذرنده از آن نقطه
به طرف ديگر است.
)3بردار تنش در هر نقطه روي سطحي عمل مي كند كه راستاي آن سطح از ابتدا در ارزيابي بردار
تنش مؤثر بوده است.
)4بردار تنش در يك نقطه محدود به يك راستا و جهت خاص نمي باشد ( يعني در يك نقطه بي
نهايت تنش مي توان تعريف كرد).
از آنجا که در یک نقطه در فضای سه بعدی ،بیش از سه راستای مستقل نمی توان تشخیص
داد ،در نتیجه هرگاه در نقطه ای سه بردار تنش مربوط به سه راستای مستقل مشخص باشند،
می توان بردار تنش مربوط به هر راستای اختیاری را تعیین کرد.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ب) تانسور تنش
بارای مشااخص نمااودن حالاات تاانش ) (State of Stressدر یااک نقطااه از دیاااگرام چساام آزاد اسااتفاده ماای کناایم .ایاان
جسام آزاد باه صااورت یاک مسعاال مساتطیل بااا ابعااد باای نهایات وچااک dxو dyو dzدر نظار گرفتااه مای شااود ،باه عبااارت
دیگاار نقطااه مااورد نظاار بااه صااورت یااک مسعاال مسااتطیل بااا ابعاااد بیههایاات وچااک فاارض ماای شااود کااه وجااوه آن مااوازی بااا
محورهای xو yو zمی باشند (توضیحی در مورد صفحاتی که از نقطه مورد نظر عبور می کنند).
بارهايي كه در جسم آزاد مذكور عمل مي كنند به دو نوع تقسيم مي شوند:
-1نیروهاااي سااطحي )(Surface Forcesكااه در سااطح جساام آزاد عماال مااي كننااد ،نظیاار نیروهاااي تماس ا ي كااه شااامل بارهاااي
متمركز و واكنش ها در يك نقطه مي باشند و بارهاي گسترده.
-2نیروهاي حجمي ) (Body Forcesكه در حجم جسم آزاد عمل مي كنند ،نظیر نیروهاي ثقلي و نیروهاي اينرس ي.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
بارای سااادگی و سااهولت اراااه مطالاال ،عنصاار بیههایاات وچاک را بااا یااک گوشااه در مبادا Oنشااان ماای دهاایم و
فرض می کنیم که مولفه های تنش در سرتاسر عنصر حجمی یسنواخت (ثابت) می باشند.
(توضیح در مورد صفحاتی که از نتطه مورد نظر عبور می کنند و تجزیه مولفه برش ی نیرو به دو مولفه)
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور xتنش های σxxو σxyو σxzرا داریم.
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور yتنش های σyxو σyyو σyzرا داریم.
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور xتنش های σzxو σzyو σzzرا داریم.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
در ارتباااط بااا مفهااوم حالاات تاانش در يااك نقطااه ،نااه
مؤلفه تنش به صورت زير وجود دارند:
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور : x
Fz
A
xz lim
A0
Fy
A
xy lim
A0
Fx
A
xx lim
A0
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور : y
Fz
A
yz lim
A0
برای صفحات یا وجوه عمود بر محور : z
Fz
A
zz lim
A0
Fy
A
Fy
A
yy lim
A0
zy lim
A0
Fx
A
Fx
A
yx lim
A0
zx lim
A0
توجه شود که در a ، σabنمایش دهنده امتدادی است که بر صفحه عمود است و bنمایش دهنده
امتداد مربوط به مولفه تنش است.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
تانسور تنش را مي توان به شكل زير تعريف كرد:
xx xy xz
T yx yy yz
zy
zz
zx
بطور اختصار تانسور تنش را بصورت
نمايش تانسوري )
1بیانگر محور xها
2بیانگر محور yها
3بیانگر محور zها
نشان مي دهند( .
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
انواع كميت ها:
يا ااك كميا اات اسا ااكالر ،كميتا ااي اسا اات كا ااه تهها ااا داراي يا ااك مؤلفا ااه در يا ااك دسا اات اه م تصا ااات
اختي اااري
اس اات .مؤلف ااه م ااذكور هن ااامي ك ااه در م تص ااات اختي اااري ديگ ااري ب ااه ن ااام
اندازه گیري شود ،تغيیري نمي كند ( تانسور از مرتبه صفر).
يااك كمياات باارداري ،كميتااي اساات كااه داراي سااه مؤلفااه در يااك دساات اه م تصااات اختياااري
اناادازه گیاري
اساات .مؤلفااه هاااي مااذكور هن ااامي كااه در م تصااات اختياااري ديگااري بااه نااام
شوند ،به صورت قانونمند تغيیر مي كنند (تانسور از مرتبه اول).
ي ا ااك كمي ا اات تانس ا ااوري ،از مرتب ا ااه دوم كميت ا ااي اس ا اات ك ا ااه داراي 9مؤلف ا ااه در ي ا ااك دس ا اات اه
م تصاات اختيااري اسات .مؤلفاه هااي ماذكور هن اامي كاه در م تصاات اختيااري ديگاري
به نام اندازه گیري شوند به صورت قانونمند تغيیر مي كنند ( تانسور از مرتبه دوم).
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
خواص تانسور تنش عبارتند از:
-1تانسور تنش در يك نقطه مورد بحث قرار مي گیرد ،
-2عناصر قطر اصلي تانسور ،مؤلفه هاي قاام تنش هستند،
xx xy xz
T yx yy yz
zy
zz
zx
-3عناصر واقع در غیر قطر اصلي ،مؤلفه هاي برش ي ( مماس ي ) هستند،
-4تانسور تنش يك اصطالح رياض ي است كه به موجوديتي فیزيكي به نام تنش اطالق مي
شود،
-5تانسور تنش متقارن است.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
می توان اثبات کرد که تانسور تنش از خاصیت تقارن برخوردار است .به عبارت دیگر داریم:
xy yx , xz zx , zy yz
بارای اثبااات خاصاایت تقااارن ،معادلااه تعااادل مسعاال تاانش را ماای نویساایم .مطااابق معااادالت تعااادل ،بایااد لنگاار نیروهااای
وارد بر مسعل حول هر یک از محورها و نسبت به هر نقطه ،معادل صفر گردد .به عبارت دیگر داریم:
0 yz dxdydz zy dxdydz 0 yz zy
x
M
0 zx dxdydz xz dxdydz 0 zx xz
y
M
0 yx dxdydz xy dxdydz 0 yx xy
z
M
در معادالت باال از نیروهای ناش ی از شتاب و وزن جسم صرف نظر شده است ،ولی می توان نشاان داد کاه نتیجاه باه
دساات آمااده در حالاات کلاای نیااز ا یح اساات .معااادالت تعااادل باااال نشااان ماای دهنااد کااه کمیاات هااای تاانش هااای برش ا ی
واقع در دو سطح عمود مجاور هم ،همیشه مساوی هستند و جهت آنها طوری است که یا به طارف همادیگر باوده یاا
این که از همدیگر دور می شوند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
پ) مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي اختياري
بردار تنش
و
و
yو zمي باشند ،عبارتند از:
در صفحاتي كه به ترتيل عمود بر محورهاي xو
Tx xx i xy j xz k
T y yx i yy j yz k
Tz zx i zy j zz k
اين ااك ب ااردار ت اانش در ي ااك ص اافحه ماي اال دلخ ااواه Pرا ك ااه از متع اال ت اانش بري ااده ش ااده اس اات ،م ااورد
مالحظه قرار مي دهيم.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
بردار نرمال واحد عمود بر صفحه Pعبارت است از:
N li m j nk
كه در آن lو mو nكوسينوس هاي هادي بردار واحد
مي باشند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
مولف ا ااه ه ا ااای ب ا ااردار ت ا اانش در ی ا ااک ص ا اافحه مای ا اال دلخ ا ااواه Pرا م ا اای ت ا ااوان از تع ا ااادل ایس ا ااتایی ی ا ااک
چهاروجهی بی نهایت وچک که از این صفحه مایل و صفحات م تصات تشاسیل شاده اسات ،باه
دست آورد.
در شاامل مااذ ور ،تاانش هااا را در سااه صاافحه م تصااات نشااان داده ایاام .مساااحت مثلااث باای نهایاات وچااک
ABCرا بااا ΔAنش ااان ماای ده اایم .در ای اان صااورت مس اااحت وجااوه AOBو COBو AOCب ااه ترتی اال
براب اار هس ااتند ب ااا mΔAو lΔAو .nΔAب ااردار عم اال کنن ااده در وج ااه ABCرا ب ااا Sنم ااایش م اای ده اایم و
مولفه های xو yو zآن را با Sxو Syو Szنشان داده شده اند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
از تعادل نیروها در راستاي xداريم:
S x A xxlA yx mA zx nA
S x l xx m yx n zx
بطور مشابه از تعادل نیروها در راستاي yو zنتايج زير حاصل خواهند شد:
S y l xy m yy n zy
S z l xz m yz n zz
با استفاده از نمادگذاری تانساوری ،مولفاه
های تنش در صفحه مایل را به صورت زیر
نمایش می دهیم:
S j ni ij , j 1, i 1, 2,3
j 2, i 1, 2,3
j 3, i 1, 2,3
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
سااه معادل ااه م ااذكور ،محاس اابه مؤلف ااه ه اااي ت اانش در ه اار ص اافحه ماي اال را ك ااه ب ااه وس اايله ب ااردار نرم اال
واحد Nتعريف مي شوند ميسر مي سازد ،به شرط اين كه شش مؤلفه تنش معلوم باشند.
بنابراين خواهيم داشت:
S Sx i Sy j Sz k
ب اراي ب ااه دس اات آوردن ت اانش نرم ااال ك ااه در اي اان ص اافحه عم اال م ااي كن ااد از حاص اال ض اارب داخل ااي
استفاده مي كنيم به عبارت ديگر داريم:
Sn lS x mSy nSz
Sn l xx m yy n zz 2lm xy mn yz nl zx
2
2
2
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
با استفاده از نماد گذاري تانسوري مي توان
i, j 1,2,3
براي به دست آوردن تنش برش ي برآيند
2
n
را بصورت زير نوشت:
Sn ij .ni .n j
عمل كننده در اين صفحه خواهيم داشت:
Ss S S S S
2
z
2
y
2
x
2
n
Ss S S
2
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ت) تنش هاي اصلي و صفحات اصلي ( )Principal Stresses & Principal Planes
فرض كنيد كه راستای صفحه ABCبه گونه اي است كه برایند تنش Sدر این صافحه عماود بار صافحه
است ،به عبارت دیگر داریم:
در ايان صاورت صافحه ماذ ور ،صافحه اصالی ) (Principal Planeدر آن نقطاه اسات و راساتای نرماال آن،
راساتای اصالی ) (Principal Directionو تانش ، S = Snتانش اصالی ) (Principal Stressنامیاده مای
شود.
فرض کنید که صفحه ABCيك صفحه اصلي در نقطه Oباشد ب ونه اي كه
ماي
در ایان صاورت Sدارای هماان كوساينوس هااي هاادي lو mو nمشاابه باردار نرماال واحاد
باشد .در اين صورت مؤلفه هاي Sدر راستاي xو yو zعبارتند از:
S x lS
Sy mS
S z nS
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
در اين صورت معادالت مربوط به مؤلفه هاي تنش در يك صفحه مايل به صورت زير در خواهد آمد:
l xx S m yx n zx 0
l xy m yy S n zy 0
l xz m yz n zz S 0
S x l xx m yx n zx
S y l xy m yy n zy
S z l xz m yz n zz
به صورت نماد گذاري تانسوري نیز داريم:
ni ij ij S 0
در نماد گذاري تانسوري،
دلتاي كرونتر ناميده مي شود كه به صورت زير تعريف مي شود:
i j ij 1
i j ij 0
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
براي اينته معادالت مذكور داراي جواب غیر صفر به ازاي lو mو nباشند ،بايد دترمينان
ضرايل آن مساوي صفر باشد .به عبارت ديگر داريم:
xx S
yx
zx
l xx S m yx n zx 0
yy S zy 0
l xy m yy S n zy 0 ij ij S xy
xz
yz zz S
l xz m yz n zz S 0
از بسط دترمينان مذكور ،يك معادله درجه سومي ( ) Cubic Equationبه ازاي Sخواهيم
داشت:
S 3 I1 S 2 I 2 S I 3 0
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
:كه در آنها داريم
S 3 I1 S 2 I 2 S I 3 0
I1 xx yy zz
I2
)) مجموع قطر تانسور تنش
xx xy
xy
xx xz yy yz
yy xz zz yz zz
zx
(مجموع كوفاكتور هاي قطر
( تانسور تنش
xx
yx
I 3 xy
yy
zy xx yy zz 2 xy yz zx xx yz2 yy zx2 zz xy2
xz
yz
zz
)(دترمينان تانسور تنش
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
می توان ثابت کرد که معادله باال دارای سه ریشه حقیقی ) (Real Rootاست و در نتیجه
حداقل سه تنش اصلی وجود دارند که به صورت σ1و σ2و σ3نشان داده می شوند .از
جایگذاری پسرفتی این جواب ها در معادالت مربوط به مولفه های تنش در یک صفحه مایل،
وسینوس های هادی متناظر lو mو nبه دست می آیند ،البته با شرط:
l 2 m2 n2 1
اگرسه ریشه σ1و σ2و σ3متمایز باشند ،در این صورت سه راستای اصلی متناظر ،منحصر
بفرد خواهند بود و بر یسدیگر متعامد ) (Orthogonalخواهند بود .اگر دو ریشه از این سه
ریشه مساوی باشند ،در این صورت یک راستا منحصر بفرد خواهد بود و دو راستای دیگر می
تواند هر دو راستای دلخواهی باشند که بر ن ستین راستا متعامد می باشند .اگر هر سه ریشه
مساوی باشند ،در این صورت هیچ راستای منحصر بفردی وجود ن واهند داشت و هر سه
راستای متعامد دلخواهی می توانند انت اب شوند .این وضعیت تنش به عنوان حالت تنش
هیدرواستاتیک معروف است.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
فرض کنید که به جای سه محور xو yو ،zیک مجموعه متفاوت محورهای ´ xو ´ yو ´ zرا در
نفطه Oدر نظر بگیریم .در این صورت معادله تعیین تنش های اصلی مانند معادله درجه سومی
ذکر شده خواهد بود ،به جز این که I1و I2و I3بر حسل تنش های σ´xو σ´yو σ´yنسبت
به محورهای جدید تعریف خواهند شد .به عنوان مثال داریم:
yy
zz
I 1 xx
I 2 ...
I 3 ...
اما تنش های اصلی ،کمیت های فیزیمی می باشند و واضح است که بست ی به محورهای م تصات
انت اب شده ندارند .بنابراین مقادیر I1و I2و I3باید در هر دست اه م تصاتی یسسان باشند تا این
که مقادیر مشابهی را برای σ1و σ2و σ3به دست دهند .بنابراین به عنوان مثال خواهیم داشت:
yy
zz
I 1 xx yy zz xx
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
I1و I2و I3به ترتیل ناورداهای ) (Invariantsاول و دوم و سوم تانسور تنش نامیده می
شوند.
اگر راستاهای اصلی را به عنوان محورهای م تصات در نظر بگیریم ،در این صورت ناورداهای
تنش ،فرم ساده زیر را به خود خواهند گرفت:
I 1 1 2 3
) I 2 (1 2 2 3 31
I 3 1 2 3
باید یادآور شد که ناورداهای I1و I2و I3که در معادالت باال ظاهر می شوند ،سه کمیت
مستقل هستند که حالت تنش و نیز σ1و σ2و σ3را مشخص می نمایند .به عبارت دیگر با
معلوم بودن σ1و σ2و σ3می توان کمیت های I1و I2و I3را محاسبه نمود و با داشتن I1و I2
و I3نیز می توان σ1و σ2و σ3را به دست آورد.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ث) تبديل تنش ( ) Transformation of Stress
فرض كنيد ( )x , y , zو ( )X ,Y , Zنمايشگر دو دست اه م تصات دكارتي با مبدأ مشترك
باشند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
كوسينوس هاي زواياي باین محورهااي م تصاات ) (x , y , zو ( (X ,Y , Zدر جادول زيار در
شااده انااد .هاار درايااه اياان جاادول عبااارت اساات از زاويااه بااین محورهاااي م تصااات كااه در باااالي سااتون و
سمت چپ سطر مربوطه .زواياي ماذكور از محورهااي ) (x , y , zباه محورهااي )(X , Y , Z
اندازه گرفته مي شوند .به عنوان مثال داريم:
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
از آنجاكه محورهاي ) )x , y , zو ( )X ,Y , Zمتعامدند ،از اين رو كوسينوس هاي هادي
جدول مذكور بايد روابط زير را ارضا نمايد:
براي عناصر سطري داريم:
براي عناصر ستوني نیز داريم:
l m n 1 , i 1,2,3
l1l 2 m1m2 n1n2 0 ,
2
i
2
i
2
i
l12 l 22 l32 1,
l1m1 l 2 m2 l3 m3 0,
مولفه های تنش σXXو σYYو σZZنسبت به محورهای ( )X ,Y , Zتعریف می شوند ،همان گونه
که تنش های σxxو σyyو σzzنسبت به محورهای ) )x , y , zتعریف می شوند.
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
:از نتايج روابط مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي دلخواه مي توان نوشت
Sn l 2 xx m2 yy n2 zz 2lm xy mn yz nl zx
XX l12 xx m12 yy n12 zz 2m1n1 yz 2n1l1 zx 2l1m1 xy X .N1
2
2
2
l
m
n
YY 2 xx
2 yy
2 zz 2m2 n2 yz 2n2 l 2 zx 2l 2 m2 xy Y .N 2
2
2
2
l
m
n
ZZ 3 xx
3 yy
3 zz 2m3 n3 yz 2n3l3 zx 2l 3 m3 xy Z .N 3
قرارZ وY وX در راستاهاي،كه به صورت زير تعريف مي شوند
N1 l1 i m1 j n1 k
N 2 l2 i m2 j n2 k
N 3 l3 i m3 j n3 k
و
و
سه بردار واحد
.دارند
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
X l1 xx m1 yx n1 zx i l1 xy m1 yy n1 zy j l1 xx m1 yz n1 zz k
Y l 2 xx m 2 yx n 2 zx i l 2 xy m 2 yy n 2 zy j l 2 xx m 2 yz n 2 zz k
Z l 3 xx m 3 yx n 3 zx i l 3 xy m 3 yy n 3 zy j l 3 xx m 3 yz n 3 zz k
:را مي توان به صورت زير بدست آورد
و
و
بنابراين
XY X .N 2 Y .N 1
l1l 2 xx m1m 2 yy n1n 2 zz m1n 2 m 2 n1 yz l1n 2 l 2 n1 zx l1m 2 l 2 m1 xy
XZ X .N 3 Z .N 1
l1l 3 xx m1m 3 yy n1n3 zz m1n3 m 3n1 yz l1n3 l 3n1 zx l1m 3 l 3m1 xy
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
YZ Y .N 3 Z .N 2
l 2 l3 xx m2 m3 yy n2 n3 zz m2 n3 m3 n2 yz l 2 n3 l3 n2 zx l2 m3 l3 m2 xy
و
در حالت كلي اگر تانسور تنش در نقطه مورد نظر نسبت به محورهاي xو yو zرا با
نشان دهيم و نیز اگر
تانسور تنش در نقطه مورد نظر نسبت به محورهاي Xو Yو Zرا با
كوسينوس هاي هادي را در يك آرايه به نام ماتريس دوران گرد آوريم ،در اين صورت خواهيم داشت:
l1 m1 n1
T
R. .R
به صورت نماد تانسوري نیز مي توان نوشت:
n13
n12
n11
n 23
n 22
R T n 21
n 33
n 32
n 31
j 1,2,3
n2
m2
R l2
n3
m3
l3
ij n jk nim , i 1,2,3 ,
km
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
) تنش هاي برش ي ماكزيمم
فرض كنيد كه محورهاي م تصات مورد نظر خود را همان محورهاي اصلي اختيار كرده ايم .در اين
صورت تنش هاي برش ي مربوط به اين محورهاي م تصات صفر مي باشند .تنش هاي نرمال و برش ي
در صفحه اي مايل با كوسينوس هاي هادي نسبت به اين محورها ( lو mو )nعبارتند از:
Sn l 2 xx m2 yy n2 zz 2lm xy mn yz nl zx
Sn l 2 1 m2 2 n 2 3
2
S 2 S 2 S 2 S 2 S 2
1
2
3
n
s
2
2 2
2
2 2
2
2 2
S
l
S
m
S
n
3
1
1
2
2
3
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
S s l 1 m 2 n 3 l 1 m 2 n 3
S x l xx m yx n zx
S y l xy m yy n zy
S z l xz m yz n zz
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
از قباال مااي داناايم كااه در صاافحات اصاالي ،تاانش برش ا ي ميناايمم (يعنااي صاافر) اساات .اينااك مااي خ اواهيم
صفحاتي را پيدا كنيم كه در آن تنش برش ي ماكزيمم اسات .باه عباارت ديگار باه دنباال lو mو n
در معادلااه ذكاار شااده يااك ماااكزيمم باشااد .عااالوه باار معادلااه مااذكور،
هسااتيم بااه گونااه اي كااه
محدوديتي در كوسينوس هاي هادي وجود دارد ،به عبارت ديگر:
يعني تهها دو تا از سه كوسينوس هاي هادي مذكور مي توانند مستقل باشند .از جايگذاري
و مش ااتق گی ااري از معادل ااه حاص اال نس اابت ب ااه lو mو مس اااوي ص اافر ق ارار
در معادل ااه مرب ااوط ب ااه
دادن اين مشتقات ،معادالت زير به ازاي lو mبدست مي آيند:
1
l 1 3 l 2 2 3 m 2 1 3 0
2
1
m 1 3 l 2 2 3 m 2 2 3 0
2
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
روشن است که یک جواب عبارت است از m =0 :و l =0و .n =±1جواب دیگر از طریق
مساوی صفر قرار دادن ، lبه صورت زیر به دست می آید:
همچنین با m =0جواب زیر به دست می آید:
با حل معادالت فوق مي توان جدول زير را بدست آورد:
سه ستون اول اين جدول ،كوسينوس هاي هادي صفحات م تصات كه همان صفحات اصلي هستند و بنابراين تنش هاي
برش ي در اين صفحات صفر مي باشند ،به عبارت ديگر آنها مينيمم مي باشند .سه ستون آخر در واقع كوسينوس هاي هادي
زواياي 45درجه هستند .بنابراين ،اين صفحات زواياي بین محورهاي م تصات را نصف مي نمايند .در اين صفحات
و جايگذاري كوسينوس هاي هادي مذكور در معادله
تنشهاي برش ي ماكزيمم مي باشند .با نشان دادن اين تنشها با
مربوط به مقادير تنش هاي برش ي به صورت زير بدست مي آيند:
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
1
2 3
1
2
1
2 1 3
2
1
1 2
3
2
2
l m n l 1 m 2 n 3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
s
S
اگر تنش هاي نرمال در اين صفحات را محاسبه نماييم و آنها را با نشان دهيم ،در اين صورت از
معادله مربوط به خواهيم داشت:
1
N 1 2 2 3
1
N 2 1 3
2
1
N 3 2 1 2
Sn l 2 1 m2 2 n 2 3
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
خ ) معادالت دیفرانسیل تعادل
در ای اان بح ااث ،مع ااادالت دیفرانس اایل تع ااادل را در ی ااک جس اام تغیی اار ش اامل پ ااذیر ()Deformable body
است را می کنایم .ایان معاادالت در هن اام ااربرد تئاوری االستیسایته در اسات را رواباط باار -تانش وباار –
خیز ضروری می باشند.
ب اادین منظ ااور ،ی ااک جس اام عم ااومی تغیی اار ش اامل پ ااذیر را در نظ اار م اای گی ااریم وی ااک عنص اار حجم اای دیفرانسا ایلی
( )Differential volume elementدر نقطاه Oدرجسام را باه صاورتی کاه در زیار نشاان داده شاده
است ،انت اب می کنیم :
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
فرم معادالت دیفرانسیل بست ی به نوع محورهای م تصات انت ابی دارد .در این مرحله ،محورهای
د ارتی ) (x, y, zرا که راستاهای آن موازی با لبه های عنصر حجمی است انت اب می نماییم .شش
صفحه ی بریده شده ،مرز عنصر حجمی را تشسیل می دهند .در شمل زیر دیاگرام جسم آزاد نشان داده
شده است .در حالت کلی ،مؤلفه های تنش ازیک وجه به وجه دیگر تغییر می کنند .در ضمن نیروهای
دردیاگرام جسم آزاد وارد شده اند.
حجمی
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ب ارای نوش ااتن مع ااادالت تع ااادل ،ه اار مولف ااه ت اانش بای ااد در س ااطحی ک ااه در آن عم اال م اای کن ااد ض اارب ش ااود و ه اار
نیااروی حجماای بایااد در حجاام عنصاار ضاارب گااردد .بنااابر ایاان معااادالت تعااادل بارای ایاان عنصاار حجماای از طریااق
روابط زیر به دست آیند:
0, Fy 0, FZ 0
0, M y 0, M Z 0
F
M
x
x
پیش از این در مبحث تانسور تنش از معادالت تعادل لنگر برای نمایش تقارن تانسور تنش استفاده
نمودیم .به عبارت دیگر داشتیم:
0 yz zy
x
0 zx xz
y
0 yx xy
Z
M
M
M
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
:از رابطه زیر
F
x
0
: به صورت زیر به دست می آیدx معادله دیفرانسیل تعادل در راستای
yx
xx
zx
dx( dy.dz)
dy( dx.dz)
dz( dx.dy)
x
y
z
B x ( dx.dy.dz) 0
xx yx zx
BX 0
x
y
z
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
0
از رابطه:
F
y
معادله دیفرانسیل تعادل در راستای yبه صورت زیر به دست می آید :
xy yy zy
By 0
x
y
z
از رابطه:
0
F
z
معادله دیفرانسیل تعادل در راستای zبه صورت زیر به دست می آید :
xz yz zz
Bz 0
x
y
z
وبه طور کلی به صورت نمایش تانسوری داریم :
ij, j Bi 0
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
معادالت تعادل در دست اه م تصات استوانه ای :
در دست اه م تصات استوانه ای محور های Oxو Oyو Ozتبدیل به محورهای Orو θو
Ozمی شوند .
تانسور تنش در این دست اه
م تصات عبارت است از :
rz
z
zz
r
z
rr
r
zr
تنش حلقوی -محیطی
که در آن ،
تنش شعاعی
تنش عمودی -محوری
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
معادالت دیفرانسیل تعادل در دست اه م تصات
:استوانه ای از معادالت تعادل زیر بدست می آیند
F
F
F
r
Z
F
r
0 r r .r .d .d z ( r r
r .dr .dz ( r
r
r r
r
0
0
0
dr )(r dr )d .dz
d )dr .dz z r .r .d .dr ( z r
(
d )dr .dz .d B r .r .dr .d .dz 0
r r 1 r zr rr
Br 0
r r
z
r
z r
z
d z )r .dr .d
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
وبه طور مشابه اگر معادالت تعادل زیر را تشسیل دهیم:
در این صورت در نهایت معادالت دیفرانسیل تعادل عنصر حجمی بی نهایت وچک به صورت زیر
خواهد بود :
rr 1 r zr rr
Br 0
r r
z
r
r 1 z 2 r
B 0
r
r
z
r
rz 1 z zz rz
Bz 0
r r
z
r
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
معادالت تعادل در دست اه م تصات کروی :
در دست اه م تصات کروی محور های Oxو Oyو Ozتبدیل به محورهای Orو θو Φمی
شوند .
تانسور تنش در دست اه م تصات کروی :
r
r
rr
r
r
تنش حلقوی -محیطی
که در آن ،
تنش شعاعی
تنش حلقوی -محیطی می باشند .
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
:معادالت دیفرانسیل تعادل در دست اه کروی از سه معادله تعادل زیر به دست می آیند
rr 1 r
1 r 1
(2 rr r cot ) B r 0
r r r sin r
r 1
1 1
( )cot 3 r B 0
r r r sin r
r 1
1 1
(3 r 2 cot ) B 0
r r r sin r
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
-3تحلیل کرنش ()Strain Analysis
الف) مقدمه
تمامی اجسام شمل پذیر تحت بارهای م تلف ،تغییر ممان ) (Displacementو تغییر شمل
) (Deformationمی دهند .بدین معنی که هر نقطه ی Pاز جسم از موقعیت ابتدایی خود که به
در فضا مشخص می شود ،به موقعیت جدید خود که به وسیله
وسیله م تصات
مشخص می شود ،انتقال می یابد.
م تصات
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
بردار ´ PPرا بردار تغییرممان نقطه ی Pاز جسم می نامند .واضح است که اگر جسم مورد
نظر شمل پذیر باشد ،در این صورت تغییرممان نقاط م تلف آن باهم مساوی نیستند .عدم
تساوی تغییرممان های نقاط یک جسم ،باعث تغییرشمل ( )Deformationآن می شود.
تغییر شمل یک جسم ،توسط کمیت مؤلفه های م تلف کرنش در هر نقطه از جسم بیان می
گردد.
مؤلفه های کرنش مانند مؤلفه های تنش عبارتند از :
• کرنش محوری )(Axial Strain
• کرنش برش ی )(Shear Strain
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ب) کرنش محوری ()Axial Strain
هن امی که یک جسم تغییرشمل می یابد ،یک ذره در نقطه Pبه م تصات ) (x , y , zبه نقطه ´ Pبهم تصات ) (x+u , y+v , z+wانتقال می یابد .همچنین ذره ای در نقطه Qبه م تصات (x+dx ,
) y+dy , z+dzبه نقطه ´ Qبه م تصات ) (x+dx+u+du , y+dy+v+dv , z+dz+w+dwانتقال می
یابد و عنصر خطی بیههایت وچک PQ=dsبه صورت عنصر خطی ´ P´Qبه طول ´ dsدر می آید.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
-کرنش محوری مهندس ی ( )Engineering strainدر نقطه Pبه صورت زیر تعریف می شود:
ds ' ds
e lim ds 0
ds
این کرنش در مقاومت مصالح و تئوری های ابتدایی و تئوری های تغییرشمل وچک اربرد دارد.
کرنش محوری الگرانژی ) (Lagrangian strainبه صورت زیر تعریف می شود که در تغییرشمل های بزرگ اربرد دارد:
ds' 2 ds 2
lim ds 0
2ds 2
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
کرنش محوری را می توان به وسیله تغییرات تغییر ممان نقطه Pبیان نمود .فرض می کنیم که کرنش
الگرانژی محوری نقطه Pدر امتداد محور xها مورد توجه باشد ،در این صورت به موازات محور Ox
بردار PQرا در نظر می گیریم.
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
: به صورت زیر محاسبه می شودP'Q' وPQ طول
P Q dx
P 'Q ' (dx du ) dv dw
2
2
2
1
2
: عبارت است ازOx درجهت محورP در این صورت کرنش محوری الگرانژی در نقطه ی
ds' 2 ds 2
lim ds 0
2ds 2
xx
xx
(dx du )2 dv 2 dw 2 dx 2
limdx 0
2(dx )2
u
1 u 2
v 2
w 2
(
) (
) (
)
x
2 x
x
x
: عبارتند ازOz وOy در جهت محورهایP به همین ترتیل کرنش محوری الگرانژی در نقطه
v
1 u 2
v 2
w 2
(
)
(
)
(
)
y
2 y
y
y
w
1 u 2
v 2
dw 2
(
)
(
)
(
)
z
2 z
z
dz
yy
zz
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
کرنش محوری مهندس ی در نقطه ی Pدرجهت محورهای Oz , Oy , Oxعبارت است از:
u
x
v
y
w
z
e xx
e yy
e zz
در واقع اگر از جمالت درجه دومی موجود در کرنش محوری الگرانژی صرف نظر کنیم ،به کرنش
محوری مهندس ی می رسیم و این امر در واقع در تغییرشمل های بسیار وچک اممان پذیر است و
اساسا کرنش های محوری مهندس ی و الگرانژی هن امی مساوی فرض می شوند که تغییر شمل ها و
یا کمیت کرنش ها وچک باشند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
پ) کرنش زاویه ای یا برش ی
کرنش برش ی در واقع تغییر شمل زاویه ای جسم را نشان می دهد.
در نقطه ی Pیک زاویه ی قاام در نظر می گیریم .پس از تغییر شمل جسم ،زاویه ی قاام تغییر
خواهد کرد .مقدار زاویه ی جدید توسط وسینوس آن مشخص می گردد.
' P 'Q '. P ' S
cos
' P 'Q ' . P ' S
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
همانند کرنش محوری ،دو تعریف برای کرنش برش ی وجود دارد:
کرنش برش ی مهندس ی:
کرنش برش ی الگرانژی:
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
کرنش برش ی را می توان در صفحات م تلف معین نمود .به عنوان مثال ،کرنش برش ی
الگرانژی نقطه Pدر صفحه ای به موازی صفحه Oxyتابعی است از تغییرممان های
م تلف نسبت به متغیرهای xو . yبرای این ار زاویه ی قاامه ی QPSرا موازی صفحه
Oxyدرنظر می گیریم ،به گونه ای که اضالع آن نیز موازی محورهای م تصات باشند.
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
: عبارتند ازS وQ وP م تصات نقاط
P(x , y , z)
Q(x+dx , y , z)
S(x , y+dy , z)
: عبارت اند ازS' وQ' وP' م تصات نقاط
P '(x u , y v , z w )
u
v
w
Q '(x dx u dx , y v dx , z w
dx )
x
x
x
u
v
w
S '(x u dy , y v dy dy , z w
dy )
y
y
y
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
: عبارتند ازPQ وP'Q' در این صورت مؤلفه های
u
x dx dx
v
P ' Q ':
dx
x
w
dx
x
u
y dy
v
P ' S ':
dy dy
y
w dy
y
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ضرب داخلی این دو بردار عبارتند از :
u u u v v v w w
P ' S '. P 'Q ' ( .
.
.
)dx .dy
y x y x y x x y
در نتیجه مقدار کرنش برش ی الگرانژی در نقطه ی Pموازی محور Oxyبه صورت زیر در می آید:
1 v u u u v v w w
) xy ( . . .
2 x y x y x y x y
نسته جالل این است که اگر اندیس های xو yجابجا شوند ،در مقدار کرنش برش ی الگرانژی تغییری
حاصل نمی گردد ،به عبارت دیگر داریم:
xy yx
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
به همین ترتیل می توان کرنش برش ی الگرانژی نقطه ی Pرا در صفحه ای به موازی Oxzو
Oyzنیز به دست می آورد:
1 w u u u v v w w
.
.
.
)
2 x z x z x z x z
( xz zx
1 w v u u v v w w
.
.
.
)
2 y z y z y z y z
کرنش برش ی مهندس ی در نقطه ی Pدر صفحات Oxy , Oxz , Oyzعبارت اند از :
( yz zy
1 u v
(
در واقع اگر از جمالت درجه دومی موجود در کرنش برش ی )
2 y x
الگرانژی صرف نظر نماییم ،به کرنش برش ی مهندس ی می رسیم و
1 w u
(
این در تغییرشمل های وچک اممان پذیر است .اساسا کرنش )
2 x
z
های برش ی مهندس ی و الگرانژی هن امی مساوی فرض می شوند
1 w v
(
)
که تغییر شمل ها و یا کمیت کرنش ها وچک باشند .
2 y z
e xy
e xz
e yz
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
رابطه ی اندیس ی کرنش های محوری و برش ی مهندس ی :
1
) eij (ui , j u j ,i
2
i , j =1,2,3
رابطه ی اندیس ی کرنش های محوری و برش ی الگرانژی :
1
) ij (u i , j u j ,i u k ,i u k , j
2
i , j , k =1,2,3
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ت) تانسور کرنش و خواص آن:
تغییرشمل در نقطه ی Pرا می توان از طریق مؤلفه های کرنش در آن نقطه در یک تانسور به نمایش
گذاشت.
تانسور کرنش الگرانژی عبارت است از:
xy xz
yy yz
zy zz
xx
yx
zx
تانسور کرنش مهندس ی عبارت اند از:
e xx e xy e xz
e e yx e yy e yz
e zx e zy e zz
طبیعی است که تانسور تنش و تانسور کرنش شباهت هایی داشته باشند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
در مطالعه تنش در یک نقطه دریافتیم که حداقل سه صفحه که متقابال متعامدند وجود دارند که
در آن تنش برش ی صفر است(صفحات اصلی).
این سئوال مطرح می شود که آیا صفحاتی وجود دارند که در آنها کرنش برش ی صفر باشد؟ یعنی
صفحه ای که جهت نرمال های آنها بعد از تغییرشمل جسم تغییری نمی کند .بنابراین برداری مانند
Aکه در ابتدا عمود بر آن صفحه است ،یا وتاه می شود یا بلند ،ولی راستای ان تغییری نمی
کند.
جواب مثبت است .چنان صفحاتی ،صفحات اصلی نامیده می شوند که راستاهای نرمال بر آنها راستاهای
اصلی هستند و کرنش های متناظر با این صفحات نیز ،کرنش های اصلی نامیده می شوند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
اگر به طریقه مشابه یافتن تنش ها و صفحات اصلی عمل کنیم ،در نهایت به معادله درجه سومی
مشابه زیر می رسیم:
I '1 I '2 I '3 0
3
2
کرنش های اصلی
ناورداهای تانسور کرنش:
I 1 ' xx yy zz
) yz zx ( xx yy yy zz zz xx
2
2
2
xy
I2 '
) I '3 xx . yy . zz 2 xy yz zx ( xx . yz yy zx zz xy
2
2
2
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
I '1 1 2 3
ناورداهای کرنش نسبت به کرنش های اصلی نیز عبارتند از :
) I ' 2 ( 1 2 2 3 3 1
I 3 ' 1 2 3
روابط تبدیل کرنش همانند تنش می باشند .به عنوان مثال:
XX l12 xx m12 yy n12 zz 2m1n1 yz 2n1l1 zx 2l1m1 xy
XY l1l 2 xx m1m2 yy n1n2 zz (m1n2 m2n1 ) yz (n1l 2 n2l1 ) zx (l1m2 l 2m1 ) xy
باز هم به طور مشابه با حالت تنش ،می توان کرنش های برش ی ماکزیمم را به صورت زیر به دست
آورد:
1
) 1 ( 2 3
2
1
) 2 ( 1 3
2
1
) 3 ( 1 2
2
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
ث) کرنش در دست اه م تصات استوانه ای ( :کرنش های وچک )
مولفه های تغییرممان در دست اه
م تصات استوانه ای:
) u r f 1 (r , , z
) u f 2 (r , , z
) u z f 3 (r , , z
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
مولفه های کرنش در دست اه م تصات استوانه ای عبارتند از (تئوری تغییرشمل های وچک):
-1کرنش محوری موازی محور zها ): (ezz
u z
z
-2کرنش محوری موازی محور rها ): (err
u r
r
e zz
e rr
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
. تغییر می یابدa´b´ به ضلعAB یاab
: (eθθ) محیطی- کرنش حلقوی-3
ab rd , a b KJ a K IJ (r u r )d u (u
e
a b ab u r 1 u
ab
r
r
u
d)
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
-4کرنش برش ی موازی صفحه : rθ
1 1 u r u u
e r
2 r
r
r
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
ez
u
e zz z
z
u r
e rr
r
1 u u r
e
r
r
1 1 u r u u
e r
2 r
r
r
1 u
1 u z
ez
2 z r
1 u z u r
e rz
2 r
z
1 u 1 u z
2 z r
: zθ کرنش برش ی موازی صفحه-5
: rz کرنش برش ی موازی صفحه-6
1 u z u r
e rz
2 r
z
روابط کرنش – تغییرممان در:جمع بندی
دست اه م تصات استوانه ای
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
تانسور کرنش مهندس ی در دست اه م تصات استوانه ای :
erz
ez
ezz
er
e
e z
err
e
r
ezr
) کرنش در دست اه م تصات کروی( :کرنش های وچک )
مولفه های تغییرممان در دست اه
م تصات کروی:
) u r f1 (r , ,
) u f 2 ( r , ,
) u f 3 ( r , ,
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
:روابط کرنش – تغییرممان در دست اه م تصات کروی
u r
r
1 u u r
r
r
u u
u
1
cot r
r sin
r
r
e rr
r
r
u
1 1 u
1
(
u cot )
2 r
r sin
u
1 u
1 u r
2 r
r
r
u u
u r
1 1
2 r sin
r
r
تانسور کرنش مهندس ی در دست اه
:م تصات کروی
err
er
er
er
e
e
er
e
e
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
) معادالت سازگاری )(Compatibility equations
تانسور کرنش مهندس ی eijشش مولفه کرنش را بر حسل uو vو wبیان می کند ،مثال داریم:
u
x
e xx
روشن است که اگر تغییر ممان های uو vو wبه عنوان توابع پیوسته از xو yو zمشخص باشند،
در این صورت می توان از روابط شش گانه ،eijمولفه های کرنش را به صورت منحصر بفردی به دست
آورد .اکنون عسس این حالت را در نظر می گیریم :به عبارت دیگر فرض بر این است که مولفه های کرنش
eijدر دست هستند و می خواهیم تغییرممان های uو vو wرا به دست آوریم .روشن است که در این
حالت با دشواری مواجه خواهیم شد.
شش معادله نمایشگر ، eijدارای سه مجهول uو vو wمی باشند .بنابر این روشن است که این
معادالت به ازای یک مجموعه کرنش های شش گانه اختیاری ،جوابی منحصر بفرد ن واهند داست ،به
عبارت دیگر نمی توان سه مولفه تغییرممانی uو vو wرا از انتگرال گیری معادالت eijبه دست آورد.
بنابر این باید از طریق روابطی ،محدودیت هایی در کرنش ها اعمال شوند تا این که معادالت نمایشگر
eijدارای جواب باشند .روابط مذ ور ،روابط یا معادالت سازگاری نامیده می شوند.
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
برای است را معادالت سازگاری ،به جهت سادگی ،حالت کرنش مسطح را در نظر می گیریم:
u
x
v
y
1 u v
(
)
2 y x
e zx e zy 0
e xx
e yy
e xy
e zz
در این حالت کرنش با این شرط تعریف می شود که مؤلفه های تغییرممان uو vصرفا توابعی از
xو yمی باشند و wثابت است .شرط سازگاری کرنش را می توان از حذف دو مؤلفه تغییر ممان
uو vاز سه رابطه کرنش – تغییرممان حالت کرنش مسطح به دست آورد.
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
e xx
2e xx
u
3u
2
x
y
x y
e yy
2e yy
v
3v
2
y
x
x 2 y
2
2e xy
1 u v
1 3u
e xy (
)
2 y
x
x y
2 x y
2e yy
2e xy
2e xx
2
2
2
y
x
x y
2
3v
x 2 y
تحلیل تنش و کرنش: فصل اول
2 e yy
x 2
2 exy
2 exx
2
2
y
x.y
سه،eij درحالت کلی اگر از شش معادله
را حذفw وv وu مؤلفه ی تغییرممان
به معادالت سازگاری زیر در حالت،کنیم
:کلی می رسیم
2 exx
2 ezz
2 ezz
2
2
2
x
z
x.z
2
2
2
e
e yz
ezz
yy
2
2
2
y
z
y.z
2 exy
2 e yz
2 ezx
2 ezz
2
x.y
z
z.x
y.z
2 e yy
x.z
2 exy
2 e yz
exz
2
y
y.z
x.y
2
2 e yz
2 exy
2 exx
2 exz
2
y.z
x
x.y
x.z
فصل اول :تحلیل تنش و کرنش
معادالت شش گانه سازگاری که در باال ارااه گردیدند ،معادالت سازگاری کرنش برای تئوری تغییرممان های وچک نامیده می
شوند .می توان نشان داد که اگر مولفه های کرنش exxو eyyو ezzو exyو exzو eyzدر معادالت سازگاری صدق کنند ،در
این صورت مولفه های تغییرممان های uو vو wوجود دارند که جواب معادالت شش گانه کرنش می باشند.
معادالت
سازگاری در
دست اه
م تصات
استوانه ای: