Transcript Chapter2-NFEM-1

II ‫روش عناصر محدود غیرخطی‬
Nonlinear Finite Element Procedures II
‫کریم عابدی‬
‫فصل دوم‪ :‬تحليل غیرخطی عناصر محدود‬
‫(بخش اول)‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫فرضیات اساس ی‬
‫در تحلیل خطی‬
‫الف‪ -‬تغییر مکان ها در مجموعه همبسته عناصر محدود‪ ،‬بینهایت‬
‫کوچک (‪ )Infinitesimal small‬می باشند‪.‬‬
‫ب‪ -‬مصالح دارای رفتار االستیک خطی (‪ )Linear Elastic‬می باشند‪.‬‬
‫عناصر محدود‬
‫پ‪ -‬طبیعت شرایط مرزی به هنگام اعمال بار به مجموعه همبسته‬
‫عناصر محدود‪ ،‬ثابت و دست نخورده باقی می مانند ‪.‬‬
‫با لحاظ نمودن فرض های مذکور‬
‫استخراج معادالت تعادل عناصر محدود برای‬
‫تحلیل استاتیکی به صورت‬
‫‪ ‬ثابت بودن ماتریس سختی ‪K‬‬
‫‪ ‬تغییرمکان ‪ U‬تابعی خطی‬
‫(‪ )Linear Function‬از بردار بار‬
‫‪R‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫کوچک بودن تغییر مکان ها در تعیین ماتریس سختی ‪ K‬زیر وارد شده است‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪K    B .C .B dV‬‬
‫‪ Volume‬‬
‫حجم اولیه (‪ B‬‬
‫‪ ‬کلیه انتگرال ها روی ‪.U‬‬
‫‪ )Original‬عناصر محدود انجام شده فرض‬
‫)‪(m‬‬
‫شده است‪.‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫) ‪( x, y,z‬‬
‫) ‪( x, y,z‬‬
‫)‪( m‬‬
‫)‪( m‬‬
‫)‪( m‬‬
‫‪T‬‬
‫)‪( m‬‬
‫)‪( m‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ ‬ماتریس کرنش‪-‬تغییرمکان ‪ B‬هر عنصر ثابت و مستقل از تغییرمکان های عنصر است‪.‬‬
‫بنابراین اگر هر یک از سه فرض مورد استفاده در تحلیل‬
‫تحلیل‬
‫کرنش با‬
‫صورت‬
‫استفاده ازدر این‬
‫نقضبر شود‪،‬‬
‫االستیکنحو‬
‫خطی به‬
‫یک دارد‪.‬‬
‫ثابت ‪C‬‬
‫ماتریس تنش‪-‬‬
‫ی داللت‬
‫خطی‬
‫‪ ‬فرض مصالح‬
‫غیرخطی سروکار خواهیم داشت‪.‬‬
‫‪ ‬فرض ثابت و دست نخورده باقی ماندن شرایط مرزی در به کارگیری روابط قیدی‬
‫(‪ )Constraint Relations‬ثابت انعکاس یافته است‪.‬‬
‫به عنوان مثال اگر در طی بارگذاری‪ ،‬یک شرط مرزی تغییرمکانی باید تغییر یابد‪ ،‬در این صورت پاسخ سیستم‬
‫تنها تا قبل از تغییر شرایط مرزی خطی می باشد‪ .‬این حالت در مسائل تماس ی(‪)Contact Problems‬‬
‫پیش می آید‪.‬‬
‫ مقدمه‬-1
:‫رده بندی تحلیل غیرخطی که مورد بحث قرار خواهد گرفت به قرار زیر است‬
Typical
Typical Typical
formulation
Type
of
analysis
Description
Type of analysis Description
Description
Type of analysis
formulation
formulation
used
used used
Large Materially- Fiber extensions
and
Total
Lagrangian
Infinitesimal
MateriallyLarge displacement,
Displacements
and
Total
Lagrangian
displacements,
angle changes
between nonlinear-only
(TL)
nonlinear-only
displacements
large rotation,
but
rotations
of fibers
(TL)
large rotations,
fibers are
fiber
andlarge,
strains;
(MNO)
small strains
are large,
but
fiberthe
and large strains
displacements
and
Updated
stress-strain
extensions
and angle
rotations
may be
Lagrangian
relation
is also
changes
between
large; the
stress-strain
(UL)
nonlinear
fibers are
small;
Updated
relation may be linear
stress-strain relation Lagrangian
or nonlinear(often is
may be linear or
(UL)
nonlinear)
nonlinear
(often is linear)
Stress
and
strain
Stress
andand
strain
Stress
strain
measures
measures
measures
Second
PiolaEngineering
Second
Piola-Kirchhoff
Kirchhoff
stress Green-Lagrange
andstress,
strain
stress,
Green-Lagrange
strain
strain
Cauchy stress,
Cauchy stress, Almansi
Logarithmic
strain
strain
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫‪ ‬در یک تحلیل واقعی‪ ،‬الزم است تصمیم گرفته شود که مساله مورد نظر در کدام رده از‬
‫تحلیل باید قرار گیرد و در نتیجه از کدام نوع فرمول بندی برای توصیف موقعیت واقعی‬
‫فیزیکی استفاده شود‪.‬‬
‫‪ ‬مطمئنا به کارگیری فرمول بندی بسیار عمومی کرنش های بزرگ همواره صحیح و درست‬
‫خواهد بود‪ ،‬ولی استفاده از فرمول بندی هایی با محدودیت های زیاد می تواند از نقطه‬
‫نظر محاسباتی موثر باشد و نیز اطالعات بیشتر و کامل تر و همه جانبه تری در مورد رفتار‬
‫سازه واقعی فراهم نماید‬
‫بنابراین چالش های اساس ی در تحلیل غیرخطی عبارتند از‬
‫‪ -1‬انتخاب نوع تحلیل غیرخطی‬
‫‪ -2‬انتخاب نوع فرمول بندی ‪ T.L‬و‪MNO, U.L‬‬
‫( معیارهای کرنش و تنش مورد استفاده در تحلیل خطی‪ ،‬کارآمدی و کارایی الزم را در تحلیل‬
‫غیرخطی ندارند (انتخاب معیارهای جدید))‪.‬‬
‫‪ -3‬حجم کنونی که انتگرال گیری ها روی آن انجام می گیرند‪ ،‬مجهول می باشد‪.‬‬
‫‪ -4‬متغیر بودن‬
‫‪ -5‬متغیر بودن‬
‫در هر تراز بار در تحلیل غیرخطی هندس ی‪.‬‬
‫در هر تراز بار در تحلیل غیرخطی مصالح‪.‬‬
‫‪ -1‬مقدمه‬
‫مثال ساده آموزنده برای مفاهیم فوق‪:‬‬
‫‪ -2‬مساله اساس ی در تحلیل غیرخطی‬
‫‪ ‬مساله اصلی در یک تحلیل عمومی عناصر محدود‪ ،‬یافتن حالت تعادل جسم متناظر با‬
‫بارهای وارده است‪.‬‬
‫به عنوان تراز بار در زمان ‪ ،t‬شرایط تعادل یک سیستم عناصر‬
‫‪ ‬با فرض‬
‫محدود را که نمایشگر جسم مورد نظر است می توان به صورت زیر بیان کرد‪:‬‬
‫بردار نیروهای نقاط گرهی خارجی بر‬
‫جسم در بافتار مربوط به زمان ‪t‬‬
‫بردار نیروهای نقاط گرهی متناظر با تنش‬
‫های عنصر در بافتار مربوط به زمان ‪t‬‬
‫با مشخص نمودن تنش های کنونی‬
‫(‪ )Currents Stress‬به عنوان تنش‬
‫های اولیه‬
‫)‪(m‬‬
‫‪.  . dV‬‬
‫‪(m) t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪( m )T‬‬
‫‪R F   B‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪I‬‬
‫)‪t V (m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ -2‬مساله اساس ی در تحلیل غیرخطی‬
‫‪ ‬روشن است که در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ عمومی‪ ،‬تنش ها و حجم جسم در‬
‫زمان ‪ t‬مجهول هستند‪.‬‬
‫‪ ،‬تعادل سیستم در هندسه تغییرشکل یافته کنونی‬
‫‪ ‬رابطه‬
‫(‪ )Current Deformed Geometry‬را با درنظر گرفتن تمامی عوامل غیرخطی بیان‬
‫می کند‪.‬‬
‫در زمان ) مورد نظر‬
‫‪ ‬اگر تحلیل غیرخطی برای یک تراز معین بار ( مثال‬
‫باید حل شده و ارضا گردد‪ .‬به‬
‫در این صورت رابطه‬
‫دیگر با یک تحلیل تک گامی (‪ )One-Step Analysis‬روبرو هستیم‪.‬‬
‫‪ ‬ولی هنگامی که تحلیل شامل شرایط غیر هندس ی یا مصالح وابسته به مسیر‬
‫در طول‬
‫(‪ )Path-dependent‬باشد‪ ،‬در این صورت رابطه‬
‫زمان مورد نظر از ‪ 0‬تا باید حل شده و ارضا گردد‪ .‬بنابراین در این صورت با یک‬
‫تحلیل نموی گام به گام (‪ )Step by Step Incremental Solution‬مواجه‬
‫هستیم‪.‬‬
‫باشد‪،‬‬
‫عبارت‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫رو‬
‫‪: t+‬تحلیل غیرخطی گام به گام نموی‪ ،‬درنظر گرفتن این فرض است که‬
‫‪Δt‬یک‬
‫مان در‬
‫بنیادی‬
‫بنابراین‬
‫شدر ز‬
‫جواب در زمان گسسته ‪ t‬معلوم است و جواب در زمان گسسته ‪ t+ Δt‬مورد نیاز است که در‬
‫آن ‪ Δt‬نمو زمانی مناسب انتخابی است‪.‬‬
‫جواب در زمان ‪ t‬معلوم است‪ .‬پس می توان نوشت‪:‬‬
‫بردار ‪ ، F‬نمو در نیروهای نقاط گرهی‬
‫متناظر با نمو در تغییرمکان ها و تنش ها از‬
‫زمان ‪ t‬تا ‪ t+ Δt‬است‪.‬‬
‫بردار ‪ F‬را می توان با استفاده از یک ماتریس سختی مماس ی‬
‫هندس ی و مصالح در زمان ‪ t‬است تقریب سازی نمود‪.‬‬
‫که متناظر با شرایط‬
‫‪ U‬بردار تغییرمکان های نموی نقاط‬
‫گرهی از زمان ‪ t‬تا ‪ t+ Δt‬است‬
‫بنابراین ماتریس سختی مماس ی‪ ،‬متناظر با مشتق نیروهای نقاط گرهی‬
‫عنصری‬
‫است‪.‬‬
‫نسبت به تغییرمکان نقاط گرهی‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫اکنون می توان رابطه زیر را نوشت‪:‬‬
‫می توان را محاسبه‬
‫و‬
‫در این معادله با توجه به معلوم بودن ‪،‬‬
‫کرد و لذا تقریبی به بردار تغییرمکان در زمان ‪ t+ Δt‬را می توان به صورت زیر‬
‫به دست آورد‪:‬‬
‫توجه‪ :1‬تغییرمکان های واقعی کامل در زمان ‪ t+ Δt‬آن تغییرمکان هایی هستند‬
‫می باشند‪.‬‬
‫که متناظر با بارهای وارده‬
‫توجه‪ :2‬در معادله‬
‫‪ t+ Δt‬را محاسبه نموده ایم‪.‬‬
‫توجه‪ :3‬در مورد نحوه تعیین‬
‫و‬
‫‪ ،‬تنها تقریبی به تغییرمکان های واقعی در زمان‬
‫بعدا به تفصیل و با جزئیات مربوط بحث خواهیم نمود‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫با یافتن تقریبی به تغییرمکان های واقعی در زمان ‪( t+ Δt‬‬
‫می توان تقریبی به تنش ها در زمان ‪( t+ Δt‬‬
‫)‬
‫)‬
‫درنتیجه تقریبی به نیروهای نقاط گرهی متناظر در زمان ‪( t+ Δt‬‬
‫و سپس انجام محاسبات برای نمو زمانی بعدی را ادامه داد‪.‬‬
‫)‬
‫‪ ،F t KU‬جواب های مذکور می توانند دارای‬
‫نکته‪ :‬با توجه به فرض مورد استفاده در‬
‫خطاهای بسیار قابل توجهی باشند و بسته به اندازه گام زمانی(‪ )Time Step‬یا همان گام بار مورد‬
‫استفاده (‪ )Load Step‬می تواند در شرایطی خاص ناپایدار باشند‪.‬‬
‫ضروری است از یک راه حل تکراری( تکرار در داخل هر گام بار) استفاده شود تا اینکه جواب‬
‫هایی با دقت کافی حاصل شوند‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫روش های تکراری(‪ )Iteration Methods‬که به طور وسیعی در تحلیل های‬
‫غیرخطی عناصر محدود مورد استفاده قرار می گیرند‪ ،‬بر اساس تکنیک های نیوتن‪-‬‬
‫رافسون (‪ )Newton-Raphson Technique‬استوارند‪.‬‬
‫تکنیک نیوتن‪-‬رافسون در واقع‬
‫بسطی از تکنیک نموی ساده مورد‬
‫استفاده در دو قسمت است‪:‬‬
‫بعد از محاسبه یک نمو در تغییرمکان های نقاط گرهی که یک بردار تغییرمکان کلی‬
‫جدیدی (‪ )New total displacement vector‬را تعریف می کند‪ ،‬می توان روش نموی‬
‫ارائه شده فوق را با استفاده از تغییرمکان های کلی کنونی معلوم ( ‪Currently known‬‬
‫‪ )total displacement‬به جای تغییرمکان ها در زمان ‪ t‬تکرار نمود‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫معادالت مورد استفاده در روش تکراری نیوتن‪-‬رافسون به ازای …‪i = 1, 2, 3,‬‬
‫اولیه‬
‫با شرایط‬
‫توجه‪ :1‬در نخستین تکرار‪ ،‬روابط فوق به صورت معادالت‬
‫در می آیند‪.‬‬
‫توجه‪ :2‬در تکرارهای بعدی‪ ،‬آخرین تخمین تغییرمکان های نقاط گرهی برای تعیین‬
‫تنش های عنصری متناظر و بردارهای نیروهای نقاط گرهی متناظر معادله‬
‫مورد استفاده قرار می گیرند‪.‬‬
‫و ماتریس سختی مماس ی‬
‫و‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫بردار بار خارج از توازن(‪ )Out-of-balance load vector‬متناظر با یک بردار است که هنوز به‬
‫وسیله تنش های عنصری متوازن نشده است و بنابراین یک نمو در تغییرمکان های نقاط‬
‫گرهی مورد نیاز است‪ .‬این به هنگام نمودن (‪ )Updating‬تغییرمکان های نقاط گرهی در تکرار‬
‫باید تا آنجا ادامه یابد که نیروهای خارج از توازن و تغییرمکان های نموی بسیار کوچک‬
‫شوند‪.‬‬
‫روش نیوتن‪ -‬رافسون به صورت شماتیک‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫مراحل عملیاتی روش‬
‫تکراری نیوتن – رافسون‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫افسون‬
‫تعدیل یافته به ازای‬
‫معادالت مورد استفاده در روش نیوتن‪-‬ر‬
‫از …‪i = 1, 2, 3,‬به روش ی‬
‫صحیح‬
‫محاسبه‬
‫کارآمد و مناسب‬
‫دو نکته بسیار مهم در روش‬
‫تکراری نیوتن – رافسون‬
‫به روش ی‬
‫از‬
‫محاسبه صحیح‬
‫با شرایط اولیه‬
‫کارآمد و مناسب‬
‫با توجه به هزینه محاسباتی قابل توجه مورد نیاز در تعیین ماتریس سختی مماس ی‬
‫در هر تکرار‪ ،‬در‬
‫و نیز در تعیین نیروهای نقاط گرهی معادل‬
‫عمل می توان بسته به غیرخطی های موجود در تحلیل‪ ،‬تعیین ماتریس سختی مماس ی جدید‬
‫در زمان های معین کارایی داشته باشد‪.‬‬
‫در روش تعدیل یافته نیوتن‪-‬رافسون(‪ ،)Modified Newton-Raphson method‬یک‬
‫ماتریس سختی مماس ی‪ ،‬صرفا در ابتدای هر گام بار ایجاد می شود‪.‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫روش تعدیل یافته نیوتن‪ -‬رافسون به صورت شماتیک‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫مراحل عملیاتی روش‬
‫تکراری نیوتن – رافسون‬
‫تعدیل یافته‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫نکته مهم در روش تکراری تعدیل یافته نیوتن‪-‬رافسون‪ ،‬محاسبه صحیح‬
‫به روش ی کارآمد و مناسب است‪.‬‬
‫از‬
‫الزم به ذکر است که استفاده از روش های تکراری‪ ،‬ایجاب می کند که معیارهای‬
‫همگرایی مناسبی(‪ )Appropriate Convergence Criteria‬اختیار شوند‪.‬‬
‫اگر معیارهای غیرمناسبی اتخاذ شوند‪ ،‬در این صورت دو اتفاق می تواند بیفتد‪:‬‬
‫الف)تکرار قبل از رسیدن به دقت حل مورد نیاز پایان پذیرد‪.‬‬
‫معیار همگرایی سست (‪)Loose Convergence Criteria‬‬
‫ب) تکرار بعد از رسیدن به دقت حل مورد نیاز ادامه یابد‪.‬‬
‫معیار همگرایی سفت (‪)Stiff Convergence Criteria‬‬
‫‪ -3‬روش بنیادی در تحلیل غیرخطی‬
‫مفاهیم مذکور را در مثالی نشان می دهیم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫الف) مقدمه‬
‫برای استخراج معادالت غیرخطی عناصر محدود ضروری است که از روش جامع و مؤثر‬
‫استفاده شود‪.‬‬
‫جامع ترین و مؤثرترین روش‪ ،‬روش سازگار مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته‬
‫(‪ )Consistent Continuum- Mechanics-based Approach‬است‪.‬‬
‫به عبارت دیگر الزم است معادالت حاکم بر مکانیک محیط پیوسته‬
‫(‪ )Governing Continuum Mechanics Equations‬برای یک روش حل عناصر محدود‬
‫مبتنی بر تغییرمکان(‪ )Displacement-Based Finite Element Solution‬ارائه گردد‪.‬‬
‫در این حالت نیز(همچون تحلیل خطی عناصر محدود)‪ ،‬از اصل کار مجازی باید استفاده‬
‫نماییم‪ .‬اما‪ ،‬باید امکان وقوع تغییرمکان ها‪ ،‬دوران ها‪،‬کرنش های بزرگ و نیز رابطه غیرخطی‬
‫کرنش‪-‬تنش را نیز در فرمول بندی وارد نماییم‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫بنابراین معادالت حاکم محیط پیوسته در واقع بسطی از رابطه عمومی ارائه شده برای‬
‫تحلیل خطی عناصر محدود خواهد بود‪:‬‬
‫بسط معادالت‬
‫معادالتایجاد‬
‫بگیریم‪ ،‬بعد از‬
‫مبنارنظر‬
‫عمومیو را د‬
‫مذکوریکبهجسم‬
‫غیرخطی‬
‫تحلیلاگر‬
‫بنابراین‬
‫حاکموخطی‬
‫برای ایجاد‬
‫عنوان پایه‬
‫تحلیلابطه‬
‫در‬
‫خطی‪ ،‬ر‬
‫کامال‪ .‬مشابه‪ ،‬برای ایجاد‬
‫مورردا به‬
‫تحلیل‬
‫مناسب‬
‫طریقهقرارایگرفتند‬
‫استفاده‬
‫مکانیک محیط پیوسته‪ ،‬مراحل )‬
‫عناصرمحدود(‬
‫معادالت غیرخطی عناصرمحدود که حاکم بر پاسخ غیرخطی جسم می باشند‪ ،‬دنبال خواهیم‬
‫کرد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫‪ -1‬تعادل جسم را باید در بافتار کنونی ( ‪Current‬‬
‫‪ )Configuration‬درنظر گرفت‪.‬‬
‫در یک تحلیل غیرخطی‬
‫‪ -2‬در حالت کلی باید از یک فرمول بندی نموی‬
‫(‪ )Incremental Formulation‬استفاده شود‪.‬‬
‫‪ -3‬برای توصیف بارگذاری و حرکت جسم از یک‬
‫زمانی استفاده نماییم‪.‬‬
‫متغیر‬
‫برای ایجاد فرمول بندی‪ ،‬حرکت(‪ )Motion‬یک جسم عمومی را در یک دستگاه‬
‫مختصات ثابت دکارتی(‪ )Stationary Cartesian System‬درنظر می گیریم و فرض می نماییم‬
‫که جسم می تواند تغییرمکان های بزرگ‪ ،‬کرنش های بزرگ شده و رفتار غیرخطی مصالح از‬
‫خود نشان دهد‪.‬‬
‫هدف اصلی‪ ،‬تعیین موقعیت های تعادل(‪ )Equilibrium Positions‬کل جسم در نقاط‬
‫زمانی گسسته ‪ 0‬و ‪ Δt‬و ‪ 2Δt‬و ‪ 3Δt‬و ‪ ...‬است و ‪ Δt‬نمو در زمان می باشد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫برای ایجاد یک استراتژی حل(‪)Solution Strategy‬‬
‫فرض‬
‫جواب ها برای متغیرهای سینماتیک و استاتیکی برای همه گام های زمانی از ‪ 0‬تا زمان ‪t‬‬
‫(از جمله خود ‪ )t‬به دست آمده اند‬
‫فرآیند حل برای موقعیت تعادل مورد نیاز بعدی متناظر با زمان” ‪ “ t+ Δt‬یک فرآیند‬
‫نمونه و شاخص به شمار می رود و می تواند به طور مکرر مورد استفاده قرار گیرد تا مسیر‬
‫کامل پاسخ حاصل شود‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫نکته ‪ :1‬از آنجایی که در تحلیل‪ ،‬تمامی ذرات (‪ )Particles‬جسم را در حرکتشان از بافتار‬
‫اولیه (‪ )Original Configuration‬تا بافتار نهایی نسبت به یک دستگاه مختصات ثابت دنبال‬
‫می کنیم‪ ،‬از آن رو در واقع یک فرمول بندی الگرانژی (‪ )Lagrangian Formulation‬را اتخاذ‬
‫نموده ایم‪.‬‬
‫نکته ‪ :2‬فرمول بندی الگرانژی در مقابل فرمول بندی اولری(‪ )Eulerian Formulation‬قرار دارد‬
‫که معموال درتحلیل مسائل مکانیک سیاالت مورد استفاده قرار می گیرد‪.‬‬
‫نکته ‪ :3‬در فرمول بندی اولری‪ ،‬حرکت ماده در میان یک حجم کنترل ثابت‬
‫(‪ )Stationary Control Volume‬درنظر گرفته می شود‪.‬‬
‫نکته ‪ :4‬الزم به ذکر است که در تحلیل جامدات و سازه ها‪ ،‬عموما از فرمول بندی الگرانژی‬
‫استفاده می شود که بیانگر یک روش تحلیل بسیار مؤثرتر و در عین حال طبیعی تر نسبت به‬
‫فرمول بندی اولری می باشد‪ .‬به عنوان مثال‪ ،‬با استفاده از یک فرمول بندی اولری برای‬
‫تحلیل یک مسئله سازه ای با تغییر مکان های بزرگ‪ ،‬حجم های کنترل جدید به دلیل تغییر‬
‫پیوسته مرزهای جسم جامد باید ایجاد گردند که دشواری های بسیار زیادی را در حل پیش می‬
‫آورند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫با توجه به استفاده از نمادگذاری تانسوری در ایجاد فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی‬
‫عناصر محدود‪ ،‬در ذیل به چند نمونه اشاره می شود‪:‬‬
‫• نمایش یک بردار ‪ u‬در دستگاه مختصات دکارتی و در فضای سه بعدی با بردارهای پایه‬
‫(بردار یک تانسور از مرتبه اول می باشد)‪:‬‬
‫و‬
‫و‬
‫نکته‪ :‬با توجه به اینکه ‪ i‬می تواند با هر اندیس پایین دیگری( به طور مثال ‪ )j , k‬بدون اینکه‬
‫نتیجه تانسور‬
‫تغییریتنش ‪:‬‬
‫در نمایش‬
‫حاصل گردد‪ ،‬جایگزین شود‪ ،‬به آن شاخص ظاهری ( ‪Dummy‬‬
‫‪ )Index‬یا شاخص آزاد (‪ )Free Index‬گفته می شود‪.‬‬
‫• حاصل ضرب اسکالر دو بردار ‪ u‬و ‪: v‬‬
‫نماد تانسوری‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫در تحلیل نموی الگرانژی (‪ ،)Lagrangian Incremental Analysis‬تعادل‬
‫جسم در زمان ‪ t+ Δt‬را با استفاده از اصل تغییرمکان مجازی ( ‪Principle of‬‬
‫‪ )Virtual Displacements‬بیان می کنیم‪.‬‬
‫ فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬-4
‫ب) بیان مساله اصلی‬
:‫اصل تغییرمکان های مجازی‬
Cartesian
the Cauchy
stress forces
tensorper
(forces
unit
= components
component ofofexternally
applied
unitper
volume
areas in the
deformed
at time
t+Δt geometry)
= component of externally
applied
tractionstoper
= strain
tensorsurface
corresponding
the
unit area at time t+Δt
virtual displacements
= surface at time t+Δt on which external tractions are applied
= components of virtual displacement vector imposed on
configuration
at time t+Δt, a function of
=
=Cartesian coordinates of material point at time t+Δt
= Volume at time t+Δt
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی‪:‬‬
‫‪ -1‬سمت چپ رابطه ارائه شده در باال‪ ،‬کار مجازی داخلی(‪ )Internal Virtual Work‬و سمت‬
‫راست رابطه مذکور‪ ،‬کار مجازی خارجی(‪ )External Virtual Work‬است‪.‬‬
‫‪ -2‬رابطه مذکور همانند تحلیل تغییرمکان های بینهایت کوچک خطی است‪ ،‬ولی بافتار کنونی‬
‫(‪ )Current Configuration‬در زمان ‪ ( t+Δt‬با تنش ها و نیروها در آن زمان) مورد استفاده قرار‬
‫می گیرد‪ .‬الزم به ذکر است که در بیان رابطه مذکور فرض می شود که بارهای متمرکز سطحی وجود‬
‫تمامی بارهای سطحی را شامل می شوند‪.‬‬
‫ندارند‪ ،‬به عبارت دیگر مؤلفه های‬
‫که متناظر با تغییرمکان های مجازی‬
‫‪ -3‬توجه شود که مؤلفه های تانسور کرنش‬
‫اعمال شده می باشند‪ ،‬مشابه مؤلفه های تانسور کرنش بینهایت کوچک می باشند ولی مشتقات‬
‫نسبت به مختصات کنونی در زمان ‪ t+Δt‬می باشند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی‪:‬‬
‫‪ -4‬مشکالت اصلی در کاربرد اصل کار مجازی ارائه شده در باال عبارتند از‪:‬‬
‫‪‬‬
‫بافتار جسم در زمان ‪ t+Δt‬مجهول است(مشکل اصلی)‪.‬‬
‫‪ ‬محاسبه تنش های ‪ Cauchy‬در مدت زمان ‪ t+Δt‬باید دوران های صلب جسمی‬
‫( ‪ )Rigid Body Rotation‬مصالح را نیز در نظر بگیرد‪ .‬زیرا‪ ،‬مؤلفه های تانسور‬
‫تنش ‪ Cauchy‬هنگامی که تحت اثر یک دوران صلب جسمی قرار می گیرند‪ ،‬تغییر می کنند‪.‬‬
‫‪ -5 ‬به دلیل تغییر بافتار جسم پیوسته در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ‪ ،‬باید به‬
‫صورت ظریف و دقیق معیارهای مناسب تنش و کرنش و روابط مشخصه ای را بکار برد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫مختصاتریم ‪:‬‬
‫بنابر این دا‬
‫بافتار جسم‬
‫)‬
‫نقطه عمومی (‪Generic Point‬‬
‫‪-4‬‬
‫استفاده از یک نمادگذاری (‪ )Notation‬مؤثر برای یک تحلیل عمومی تغییرشکل های بزرگ حائز‬
‫اهمیت است زیرا‪ ،‬در تحلیل با کمیت های بسیاری مواجه هستیم‪ .‬در ذیل به برخی نکات مهم و‬
‫مختصات‬
‫محو‬
‫تغییرشکل های بزرگ اشاره می نماییم‪.‬‬
‫دررتحلیل‬
‫قراردادهای مورد استفاده در نمادگذاری بکار رفته‬
‫مختصات در زمان ‪0‬‬
‫‪ -1‬حرکت جسم در یک دستگاه مختصات دکارتی ثابت درنظر گرفته می شود‪.‬‬
‫مختصات در زمان ‪t‬‬
‫مختصاتبود‪:‬‬
‫دستگاهزیر خواهد‬
‫اینصورت‬
‫در به‬
‫‪t+Δt‬‬
‫سینماتیکدرو زمان‬
‫تغییرمکان ها‬
‫کلیهاین نمو‬
‫و‪-2‬بنابر‬
‫اندازه گرفته‬
‫استاتیکی‬
‫متغیرهای‬
‫مختصات در زمان ‪t+Δt‬‬
‫می شوند‪.‬‬
‫بافتار جسم‬
‫‪ -5‬تغییر مکان ها‬
‫‪ -3‬برای توصیف تحلیل در همه جا از نمادگذاری تانسوری (‪ )Tensor Notation‬استفاده‬
‫محور مختصات‬
‫می شود‪.‬‬
‫تغییرمکان در زمان ‪0‬‬
‫تغییرمکان در زمان ‪t‬‬
‫تغییرمکان در زمان ‪t+Δt‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫‪ -6‬به هنگام حرکت جسم‪ ،‬حجم‪ ،‬سطح‪ ،‬چگالی جرم‪ ،‬تنش ها و کرنش ها به طور پیوسته تغییر‬
‫می کنند‪ .‬بنابر این داریم ‪:‬‬
‫چگالی جرم در زمان ‪ t ،0‬و ‪t+Δt‬‬
‫سطح در زمان ‪ t ،0‬و ‪t+Δt‬‬
‫حجم در زمان ‪ t ،0‬و ‪t+Δt‬‬
‫‪ -7‬به علت نامعلوم بودن بافتار جسم در زمان ‪ ،t+Δt‬تنش ها و کرنش ها را به یک بافتار‬
‫تعادل معلوم ارجاع خواهیم داد‪ .‬در این صورت اندیس پایین سمت چپ‪ ،‬معرف و نشانگر‬
‫بافتار تعادلی خواهد بود که نسبت به آن کمیت مورد نظر تعیین می شود‪ .‬به عنوان مثال‪:‬‬
‫نیروهای حجمی در زمان ‪ t+Δt‬نسبت به بافتار ‪ 0‬اندازه گیری می شوند‬
‫نیروهای سطحی در زمان ‪ t+Δt‬نسبت به بافتار ‪ 0‬اندازه گیری می شوند‬
‫نکته‪ :‬اگر کمیت مورد نظر در زمان‪ t+ Δt‬نسبت به بافتار مربوط به زمان ‪t+Δt‬‬
‫اندازه گیری شود‪ ،‬در این صورت نیازی به اندیس پایین سمت چپ نیست‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ب) بیان مساله اصلی‬
‫‪ -8‬برای بیان مشتق گیری ها از نماد کاما(‪ )Comma Notation‬استفاده می کنیم‪ .‬در این‬
‫نمادگذاری‪ ،‬مشتق گیری نسبت به مختصاتی که بعد از کاما می آید و اندیس پایین سمت چپ نشانگر‬
‫زمان مربوط به بافتاری است که مختصات نسبت به آن بافتار اندازه گیری می شود‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ) معیار کرنش ‪)Green- Lagrange Strain Measure( Green-Lagrange‬‬
‫از طریق تعریف معیارهای کمکی کرنش و تنش(‪)Auxiliary Stress and Strain Measures‬‬
‫می توان با تغییر مداوم بافتار جسم که واقعیتی بدیهی در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ است‪،‬‬
‫مواجهه نمود‪.‬‬
‫ی‬
‫و‬
‫‪ -1‬بیان کار مجاز داخلی بر حسب یک انتگرال در ر ی حجمی که‬
‫معلوم است‪،‬‬
‫هدف از تعریف معیارهای‬
‫کمکی تنش و کرنش‬
‫‪ -2‬توانائی تجزیه نموی کرنش ها و تنش ها به طریقه ای مؤثر‪.‬‬
‫نکته‪ :‬تانسورهای مختلف تنش و کرنش ی وجود دارند که در اصل می توان از آنها استفاده‬
‫نمود ولی اگر هدف‪ ،‬یافتن یک روش حل عناصر محدود عمومی و موثر باشد‪ ،‬در این صورت‬
‫معیارهای اندکی وجود دارند که باید در نظر گرفته شوند‪.‬‬
‫یکی از مهمترین و کارآمدترین معیارهای کرنش که در تحلیل غیر خطی عناصر محدود‬
‫از آن استفاده می شود‪ ،‬معیار کرنش ‪ Green-Lagrange‬است‪ .‬برای تعریف معیار کرنش‬
‫‪ Green-Lagrange‬الزم است که در ابتدا چند تعریف مبنایی و مقدماتی ارائه شوند‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )1-‬تعریف گرادیان تغییرشکل(‪)Deformation Gradient‬‬
‫تعریف گرادیان تغییرشکل‬
‫از نقطه نظر مفهوم فیزیکی‪ ،‬گرادیان تغییرشکل‪ ،‬توصیف گر کشامدها(‪ )Stretches‬و‬
‫دوران هایی (‪ )Rotations‬می باشند که تارهای مصالح (‪ )Material Fibers‬از زمان‬
‫‪ 0‬الی زمان ‪ t‬متحمل می شوند‪ .‬به عبارت دیگر‪:‬‬
‫طول کنونی عنصر خطی‬
‫طول‬
‫‪0‬‬
‫مان‬
‫در‬
‫مادی‬
‫تار‬
‫دیفرانسیلی‬
‫ز‬
‫ل‬
‫طو دیفرانسیلی تار مادی در زمان ‪t‬‬
‫طول اولیه عنصر خطی‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )1-‬تعریف گرادیان تغییرشکل(‪)Deformation Gradient‬‬
‫گرادیان تغییرشکل معکوس(‪ ، )Inverse Deformation Gradient‬در واقع با معکوس‬
‫گرادیان تغییرشکل مساوی است‪ .‬یعنی‪،‬‬
‫اثبات‬
‫فرض کنید که ‪ d0X‬طول دیفرانسیلی تار مادی در زمان ‪ 0‬باشد‪ .‬در این صورت با استفاده از‬
‫مشتق گیری زنجیره ای‪ ،‬این طول دیفرانسیلی در زمان ‪ t‬به صورت زیر بدست می آید‪:‬‬
‫که ‪:‬مشتق گیری زنجیره ای‪ ،‬نتیجه زیر حاصل می شود‪:‬‬
‫استفاده از‬
‫باتوجه شود‬
‫گرادیان معکوس تغییرشکل‬
‫یا داریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )1-‬تعریف گرادیان تغییرشکل(‪)Deformation Gradient‬‬
‫به عنوان مثال‪ ،‬گرادیان تغییرشکل برای عنصر چهار گرهی شکل زیر که تحت اثر تغییرشکل‬
‫های بزرگ قرار می گیرد را محاسبه می نماییم‪:‬‬
‫خواهیم‬
‫داشت برای این عنصر را بر حسب ‪ r‬و ‪ s‬به‬
‫تغییرمکان‬
‫اینونیابی‬
‫بنابر در‬
‫توابع‬
‫عنوان مختصات طبیعی می توان اسخراج کرد‪.‬‬
‫متناظر با ‪ r‬و ‪ s‬هستند‪ ،‬داریم‪:‬‬
‫و‬
‫از آنجایی که‬
‫گرادیان‬
‫و در‬
‫اکنون‬
‫نهایترو‬
‫تغییرشکلمیبه کنیم‪:‬‬
‫استفاده‬
‫یر‬
‫ابط‬
‫از‬
‫ز‬
‫صورت زیر بدست می آید‬
‫مختصات نقاط گرهی در زمان ‪t‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )2-‬تانسورهای تغییرشکل راست و چپ ‪Cauchy-Green‬‬
‫با استفاده از تعریف گرادیان تغییرشکل‪ ،‬تانسور تغییرشکل راست و چپ ‪Cauchy-‬‬
‫‪ Green‬را به صورت زیر تعریف می نماییم‪:‬‬
‫تانسور تغییرشکل راست ‪Cauchy-Green‬‬
‫(‪)Right Cauchy-Green Deformation‬‬
‫تانسور تغییرشکل چپ ‪Cauchy-Green‬‬
‫(‪)Left Cauchy-Green Deformation‬‬
‫نکته‪ :‬در حالت کلی‬
‫و‬
‫با یکدیگر برابر نیستند‪.‬‬
‫نکته‪ :‬از گرادیان تغییرشکل در تعیین کشامد یک تار مادی و تغییر در زاویه بین‬
‫تارهای مادی مجاور هم به دلیل تغییرشکل استفاده می شود‪ .‬در این محاسبه‬
‫از تانسور تغییرشکل راست ‪ Cauchy-Green‬استفاده می کنیم‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )3-‬تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (‪)Polar Decomposition‬‬
‫یک خاصیت مهم گرادیان تغییرشکل‪ ،‬این است که می توان همواره آن را به حاصل‬
‫ضرب منحصر به فرد(‪ )Unique Product‬دو ماتریس تجزیه کرد‪:‬‬
‫‪ ‬ماتریس متقارن کشامد‬
‫‪ ‬ماتریس متعامد‬
‫(‪)Symmetric Stretch Matrix‬‬
‫که متناظر با یک دوران است‬
‫به تجزیه مذکور‪ ،‬تجزیه قطبی (‪ )Polar Decomposition‬اطالق می شود‪.‬‬
‫رابطه فوق را می توان به صورت مفهومی (‪ )Conceptually‬به این صورت تفسیر کرد‬
‫که تغییرشکل کلی ابتدا از طریق اعمال کشامد و سپس دوران حاصل می شود‪ .‬به‬
‫نوشت که در‬
‫را به صورت‬
‫عبارت دیگر‪ ،‬می توان رابطه‬
‫‪،‬متناظر با یک زمان میانی مفهومی(‪ )Intermediate Conceptual Time‬است‪.‬‬
‫آن‬
‫برای سهولت در نمادگذاری در مباحث بعدی‪ ،‬از اندیس های باال و پایین ‪ t‬و ‪ 0‬استفاده نخواهیم‬
‫کرد ولی همواره به طور ضمنی داللت بر آتن ها خواهیم داشت‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )3-‬تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (‪)Polar Decomposition‬‬
‫اثبات تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل‬
‫تانسور تغییرشکل راست ‪ )C( Cauchy-Green‬را در محورهای مختصات اصلی اش نمایش‬
‫می دهیم‪ .‬برای نیل به این هدف ویژه مساله زیر را در نظر می گیریم‪:‬‬
‫جواب کامل آن عبارت است از‪:‬‬
‫در این رابطه‪ ،‬ستون های ماتریس ‪ P‬ویژه بردارهای ‪ C‬است و‬
‫قطری است که اعضا قطری آن ویژه مقادیر متناظر می باشند‬
‫یک ماتریس‬
‫از این رابطه‪ ،‬می توان نوشت‬
‫در این صورت‪ ،‬نمایش تانسور تغییرشکل در محورهای مختصات اصلی اش (‬
‫‪ )Principle Coordinate Axes‬است‪.‬‬
‫نمایش گرادیان تغییرشکل در این دستگاه مختصات که با‬
‫مشابه به صورت زیر بدست می آید‪:‬‬
‫نمایش داده می شود به طور‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )3-‬تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (‪)Polar Decomposition‬‬
‫نکته‪ :‬ماتریس‬
‫اثبات تعامد‬
‫یک ماتریس متعامد است‪ .‬به عبارت دیگر‬
‫می توان نوشت‪:‬‬
‫برای تعیین ‪ ،‬از مقادیر مثبت جذر عناصر قطری استفاده می کنیم‪.‬‬
‫متعامد آورد‪:‬‬
‫ماتریسیر بدست‬
‫‪ X=RU‬از‬
‫مستقیما متناظر با‬
‫واقعو ‪ U‬را‬
‫حاال ‪R‬‬
‫در رواقع‬
‫ضربروابط ز‬
‫تجزیهحاصل‬
‫تغییرشکل به‬
‫تجزیه گرادیان‬
‫ابطهمی توان در‬
‫و ماتریس کشامد است که در محورهای اصلی‪ C‬انجام شده است ولی در هر دستگاه قابل‬
‫قبول دیگری معتبر است ‪ .‬چون گرادیان تغییرشکل‪،‬یک تانسور است‬
‫نکته‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )3-‬تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (‪)Polar Decomposition‬‬
‫مثال‪ :‬گرادیان تغییرشکل و تجزیه قطبی عنصر چهارگرهی زیر را در زمان ‪ t‬بدست آورید‬
‫حال اگر فرض نماییم که حرکت از زمان ‪ t‬به زمان ‪ t+Δt‬تنها شامل یک دوران صلب جسمی در‬
‫اینازصورت می توان گرادیان‬
‫باشد‪ ،‬در‬
‫گرادیانهای ساعت‬
‫تعیین عقربه‬
‫برای جهت‬
‫خالف‬
‫‪ 45‬در‬
‫سهولت‬
‫جهجهت‬
‫توان‬
‫اندا‪t‬ز‪،‬ه می‬
‫تغییرشکل ودربهزمان‬
‫صور‬
‫بدست‬
‫درتآنزیر‬
‫تغییرشکل‬
‫فرضآویرد‪:‬مفهومی متناظر با کشامد صرف تارها می باشد‪.‬‬
‫بافتار‬
‫استفاده راکردبه که‬
‫نکته‪ :‬گرادیان تغییرشکل را مستقیما می‬
‫توانستیم از تعریف گرادیان تغییرشکل‬
‫بدست آوریم‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫به همان طریق پیشین که برای‬
‫ثابت کردیم‪ ،‬می توان نشان داد که‪:‬‬
‫که ‪ V‬یک ماتریس متقارن به صورت زیر است‪:‬‬
‫‪ V‬را ماتریس کشامد چپ می نامیم‬
‫(‪)Left Stretch Matrix‬‬
‫‪ U‬را ماتریس کشامد راست می نامیم‬
‫(‪)Right Stretch Matrix‬‬
‫کرد کرد‬
‫‪)Spectral‬‬
‫‪)Spectral‬‬
‫‪Decomposition‬‬
‫‪Decomposition‬‬
‫طیفی (‬
‫طیفی (‬
‫تجزیه‬
‫تجزیه‬
‫ت زیر‬
‫صورزیر‬
‫صورت‬
‫توانرا‪U‬بهرا به‬
‫توان ‪V‬‬
‫کلی می‬
‫همچنین می‬
‫درحالت‬
‫تجزیه طیفی ماتریس کشامد راست‬
‫تجزیه طیفی ماتریس کشامد چپ‬
‫فرضذخیره می کند و‬
‫کشامدها را‬
‫با‬
‫راستاهای این‬
‫از نقطه نظر فیزیکی متناظر با کشامدهای اصلی‬
‫باشد زیرا دوران‬
‫می باشد‬
‫جسمی نمی‬
‫دستگاهران صلب‬
‫شامل دو‬
‫‪)Principal‬پایهاست‬
‫‪Stretches‬‬
‫مختصات ثابت‬
‫کشامدهای اصلی در‬
‫بیانگر بردارهای‬
‫( در واقع‬
‫مذکور در ‪ R‬ظاهر می شود‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫اکنون می توان تانسورهای کرنش ی را که در تحلیل عناصر محدود حائز ارزش می باشند‪ ،‬تعریف‬
‫نمود‪.‬‬
‫تانسور کرنش ‪ - Green- Lagrange‬به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫یادآور می شود که در تعریف باال وارد نمی شود و از این رو‪ ،‬تانسور کرنش مذکور مستقل از‬
‫حرکات صلب جسمی ذرات است‪.‬‬
‫تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬را می توان برحسب تانسور کشامد راست‬
‫نوشت‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬برحسب تانسور تغییر شکل ‪ Cauchy-Green‬به صورت زیر‬
‫نوشته می شود‪:‬‬
‫مؤلفه های تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬را می توان برحسب تغییرمکان ها نوشت‪ .‬روابط زیر‬
‫را قبال ارائه داده ایم‪:‬‬
‫همچنین داریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫اکنون می خواهیم به عنوان مثال‬
‫را به دست آوریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫بنابراین در حالت کلی‬
‫را به صورت مؤلفه ای زیر می توان نوشت‪:‬‬
‫الزم به یادآوری است که در تعریف تانسور کرنش ‪ ،Green- Lagrange‬تمامی مشتقات نسبت به‬
‫مختصات اولیه (‪ ) Initial Coordinate‬ذرات مادی می باشند‪ .‬به این دلیل است که می گوییم‪،‬‬
‫تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬نسبت به مختصات اولیه جسم تعریف می شود‪.‬‬
‫ می توان نشان داد که مؤلفه های تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬تحت اثر یک دوران صلب‬‫جسمی مصالح ناوردا (‪ )Invariant‬است یعنی‪:‬‬
‫مؤلفه های تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬در زمان ‪ t‬به صورت زیر مشخص می شوند‪:‬‬
‫که در آن گرادیان تغییرشکل در زمان ‪ t‬است که متناظر با دستگاه مختصات ثابت و‬
‫می باشد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫فرض می کنیم که مصالح از زمان ‪ t‬تا زمان ‪ t+Δt‬تحت اثر یک دوران صلب جسمی قرار می گیرد‪ .‬در‬
‫این صورت متناسب با دستگاه مختصات ثابت داریم‪:‬‬
‫که در آن ‪ R‬متناظر با دوران است‪ .‬بنابراین خواهیم داشت‪:‬‬
‫ناوردایی تانسور کرنش ‪ Green- Lagrange‬درمثال زیر نشان می دهیم‪:‬‬
‫یک عنصر چهار گرهی را درنظر بگیرید که تا زمان ‪ t‬تحت کشامد قرار گرفته و سپس از زمان ‪ t‬تا‬
‫‪ t+Δt‬بدون اعوجاج‪ ،‬عنصر مذکور تحت یک دوران صلب جسمی قرار می گیرد‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫(روش اول) مؤلفه های تانسور ‪ Green- Lagrange‬در زمان ‪ t‬را می توان از رابطه زیر‬
‫بدست آورد‪:‬‬
‫(روش دوم) مؤلفه های تانسور ‪ Green- Lagrange‬در زمان ‪ t‬را می توان از رابطه زیر نیز‬
‫بدست آورد‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫بعد از دوران صلب جسمی مختصات نقاط گرهی عبارتند از‪:‬‬
‫‪Node‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫با استفاده از روش مورد استفاده در تعیین برای عنصر چهارگرهی که تحت اثر‬
‫را به صورت زیر‬
‫تغییرشکل های بزرگ قرار گرفته بود‪ -‬با بکارگیری توابع درونیابی‪ -‬می توان‬
‫بدست آورد‪:‬‬
‫الزم به یادآوری است که از رابطه‬
‫آورد‬
‫نیز می توانستیم‬
‫را به صورت زیر بدست‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫پ‪ )4-‬ماتریس های کشامد راست و چپ‬
‫تانسور کرنش ‪ Hencky‬یا لگاریتمی به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫از آنجا که در تعریف این تانسور ‪،‬‬
‫صلب جسمی ذرات است‪.‬‬
‫نقش ی ندارد‪ ،‬لذا تانسور کرنش مذکور مستقل از حرکات‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیار تنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫اکنون که تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬را تعریف نمودیم‪ ،‬حاال باید تانسور تنش مناسبی را‬
‫که بتوان با این تانسور کرنش مورد استفاده قرار داد‪ ،‬تعریف نماییم‪.‬‬
‫یک معیار تنش که همراه با تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬مورد استفاده قرار می گیرید و مزدوج‬
‫کاری(‪ )Work- Conjugate‬با آن تانسور کرنش می باشد‪ ،‬تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬می‬
‫باشد که به صورت نمایش داده می شود و به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫چگالی جرمی(‪ )Mass density‬در زمان ‪0‬‬
‫تانسور تنش ‪ Cauchy‬در زمان ‪t‬‬
‫چگالی جرمی(‪ )Mass density‬در زمان ‪t‬‬
‫می توان‬
‫را به راحتی بر حسب‬
‫نوشت‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیار تنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫تانسور تنش معرفی شده را می توان به صورت مؤلفه ای زیر نوشت‪:‬‬
‫نکته‪ :1‬تانسور تنش نخست ‪ Piola-Kirchhoff‬به صورت‬
‫تعریف می شود‪.‬‬
‫نکته‪ :2‬مباحث فراوانی در مورد طبیعت فیزیکی تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬انجام‬
‫شده است‪ .‬اگرچه‪ ،‬می توان تبدیل انجام شده در روی تانسور تنش ‪– Cauchy‬‬
‫ را به برخی استدالالت هندس ی ارتباط داد‪ ،‬ولی باید به این نکته‬‫به صورت‬
‫اذعان نمود که تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬مفهوم و معنی فیزیکی اندکی دارد و در عمل تنش های‬
‫‪ Cauchy‬باید محاسبه شوند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیار تنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیار تنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫همانند تانسور کرنش ‪ Green-Lagrange‬می توان ثابت نمود که مؤلفه های تانسور تنش‬
‫دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬تحت اثر یک دوران صلب جسمی مصالح‪ ،‬ناوردا (‪ )Invariant‬می‬
‫باشند‪ .‬به عبارت دیگر‪:‬‬
‫اگر یک دوران صلب جسمی به مصالح از زمان ‪ t‬تا زمان ‪ t+Δt‬اعمال کنیم‪ ،‬در این صورت‬
‫گرادیان تغییرشکل به صورت زیر تغییر می کند‪:‬‬
‫به صورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫با توجه به اینکه ‪ ،det R=1‬از اینرو داریم‪:‬‬
‫همچنین داریم‪:‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیار تنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫با جایگذاری روابط بدست آمده در رابطه تانسورتنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬داریم‪:‬‬
‫به هنگام دوران صلب جسمی مصالح‪ ،‬تانسور تنش ‪ Cauchy‬در زمان ‪ t+Δt‬به صورت زیر‬
‫است‪:‬‬
‫در نهایت خواهیم داشت‪:‬‬
‫اکنون ناوردایی تانسورتنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬را در مثال زیر نشان می دهیم‪:‬‬
‫شکل زیر یک عنصر چهار گرهی در بافتار مربوط به زمان ‪ ∆t‬را نشان می دهد‪ .‬عنصر تحت اثر‬
‫قرار دارد‪ .‬فرض کنید که عنصر مذکور در زمان ‪ 0‬الی ‪ Δt‬به صورت دوران‬
‫یک تنش اولیه‬
‫صلب جسمی با اندازه دوران پیدا کرده است و نیز تنش در دستگاه مختصات متصل به‬
‫که در‬
‫جسم(‪ )Body-attached coordinate system‬تغییر ننموده است‪ .‬بنابراین مقدار‬
‫مساوی است‪ .‬نشان دهید که مؤلفه های تانسور تنش دوم‬
‫شکل نشان داده شده است با‬
‫‪ Piola-Kirchhoff‬در نتیجه یک دوران صلب جسمی تغییر نمی کند‪.‬‬
‫‪ -4‬فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته‬
‫ت) معیار تنش دوم ‪Piola-Kirchhoff‬‬
‫(‪)Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor‬‬
‫تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬در زمان ‪ 0‬با تانسور ‪ Cauchy‬مساوی است زیرا‪،‬‬
‫تغییرشکل های عنصر مساوی صفر است‪ .‬بنابراین داریم‪:‬‬
‫مؤلفه های تانسور ‪ Cauchy‬در زمان‪ Δt‬که در مختصات‬
‫و‬
‫بیان می شود عبارتند از‪:‬‬
‫با استفاده از مشتقات توابع درونیابی‪ ،‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫تانسور تنش دوم ‪ Piola-Kirchhoff‬در زمان ‪ Δt‬عبارت است از‪:‬‬
‫که در این حالت داریم‪:‬‬
‫گرادیان تغییرشکل را به همان طریق مثال هاي ارایه شده در قسمت های قبلی به دست‬
‫می آوریم‪ .‬مختصات نقاط گرهی عنصر در زمان ‪ Δt‬عبارتند از‪:‬‬