Transcript PEM

‫مدلسازی سيستم های بيو لوژيکی‬
‫دكتر توحيدخواه‬
‫جلسه دوازدهم‬
‫مدلسازي تجربي – تخمين پارامتر‬
‫‪Prediction Error Method‬‬
‫)‪(PEM‬‬
‫در بسياري از موارد از مدلها براي پيشبيني استفاده مي شود‪ .‬بيشتر سيستم ها به‬
‫صورت آماري درنظر گرفته مي شوند که به اين معنا است که خروجي در لحظه ‪ t‬به‬
‫طور دقيق قابل محاسبه از روي داده هاي مربوط به لحظه ‪ t-1‬نيست‪ .‬از طرفي اطالع‬
‫از اينکه اطالعات مربوط لحظه ‪ t-1‬چه خروجي در لحظه ‪ t‬خواهند داد نيز مسئله مهمي‬
‫در کنترل سيستم است‪ .‬بنابراين پارامتر‪ θ‬به عنوان پارامتر خطاي پيش بيني تعريف مي‬
‫شود‪.‬‬
‫که‬
‫خروجي لحظه ‪ t‬و‬
‫خروجي پيش بيني شده در لحظه ‪ t‬از روي‬
‫اطالعات لحظ ‪ t-1‬بر اساس پارامتر ‪ θ‬است‪ .‬اگر رابطهه مهدل را بهه صهورت يهي فرآينهد‬
‫درنظر بگيريم‪ ،‬پيش بيني کننده خطي به صورت رابطه زير تعريف مي شود‪.‬‬
‫که تابعي از اطالعات گذشته خواهد بود در شرايطي که‬
‫و‬
‫باشد‪.‬از رابطه باال براي موارد زيادي از جمله محاسبه خطاي‬
‫پيش بيني مورد استفاده قرار مي گيرد‪ .‬پارامتر ‪ θ‬به نحوي انتخاب مي شود که خطاي‬
‫پيش بيني‬
‫به حداقل مقدار خود برسد‪.‬‬
‫بلوک دياگرام شناسايی سيستم با استفاده از ‪PEM‬‬
‫به طور کلي روش خطاي پيش بينی )‪ (PEM‬که يکی از روش هاي شناسايي‬
‫سيستم است‪ ،‬به محاسبه پارامتر ‪ θ‬براي بهترين تخمين از خروجي سيستم مي پردازد‪.‬‬
‫اين روش يي روش کلي جهت بدست آوردن يي مدل پارامتريي از ديناميي سيستم‬
‫است که خيلي شبيه روش حداقل مربعات )‪ (LSE‬است‪ .‬از جمله مزاياي آن اين است‬
‫که براي سيستم هاي ‪ MIMO‬نيز قابل استفاده است‪.‬‬
‫مراحل استفاده از اين روش به اين صورت است‪:‬‬
‫•انتخاب ساختاري براي مدل‪ :‬تعريف فرآيند سيستم بر اساس رابطه بين ورودي‪ ،‬خروجهي‬
‫و نويز وارد شده به سيستم که در آن نويز و ورودي دو متغيير مسهتقل از يکهديگر درنظهر‬
‫گرفته مي شوند‪ .‬معموالً از در روش ‪ PEM‬از ساختار ‪ ARX‬استفاده مي شود‪.‬‬
‫ساختار يي مدل ‪ARX‬‬
‫)‪e(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪u(t‬‬
‫‪-‬انتخاب تابع پيش بيني کننده ‪:‬انتخاب فيلترهاي‬
‫و‬
‫که يي‬
‫روش متداول براي تعيين اين فيلترها پيش بيني کننده بهينه ميانگين مربعات است‪ .‬در‬
‫اين روش فيلترها به نحوي تعريف مي شوند که خطاي پيش بيني از کمترين واريانس‬
‫برخوردار باشد‪.‬‬
‫ انتخاب معيار‪ :‬تعريف خطاي پيش بيني براي ارزيابي پيش بيني صورت گرفته که‬‫در روش ‪PEM‬اين معيار به حداقل رساندن خطا با انتخاب مناسب پارامتر ‪ θ‬مدل‬
‫درنظر گرفته شده است‪ .‬توصيف رياضي اين معيار در رابطه زير مشاهده مي شود‪.‬‬
‫که ‪ N‬تعداد دادههاي در دسترس و‬
‫که يي ماتريس مثبت معهين اسهت‪،‬‬
‫به عنوان معياري براي خطاي پيش بيني تعريف شده است که پارامترههاي مهدل‬
‫با مينيمم کردن اين معيار بدست مي آيد‪.‬‬
Prediction Error Method
)PEM(
1
1
yt  G( z )ut  H ( z )vt
‫مثال‪ :‬سیستمی به صورت زیر در نظر بگيرید‪ ،‬فرض كنيد مي خواهيم‬
‫(‪ )t-1‬با استفاده از روش ‪ PEM‬طوري تخمين بزنيم كه خطاي تخمين‬
‫مينيمم شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ 1;‬ر‪t‬ا | ‪t‬در(‪y‬لحظه‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  yt  y(t | t  1)‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪bz‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪cz‬‬
‫‪1‬‬
‫‪G( z 1 ) ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪H‬‬
‫(‬
‫‪z‬‬
‫‪)‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  az‬‬
‫‪1  az1‬‬
‫‪yt  ayt 1  but 1  cvt 1  vt‬‬
‫‪ Vt‬نويز سفيد اعمال شده به سيستم است که با ورودي ناهمبسته است‪.‬‬
‫چون ‪ v‬نويز سفيد است‪،‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬و‬
‫مستقل هستند‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪t 1‬‬
‫پيش بيني خروجي با داشتن مدل سيستم‬

y (t‫ |را‬t  1; )
‫ موجود است و مي خواهيم‬c,b,a ‫فرض مي كنيم‬
.‫ريم‬v‫ندا‬
t 1‫را‬
bz1
1  cz 1
yt 
u 
v
1 t
1 t
1  az
1  az

y (t | t  1)  yt  vt
 1  cz 1 
bz1

u 
 1 vt
1 t
1
1  az
1  az

 (c  a ) z 1 
bz1

u 
v
1 t
1  t
1  az
 1  az 
.‫تخمين بزنيم‬
.‫ نويز را حساب مي كنيم‬،‫ ورودي و مدل نويز‬،‫با داشتن خروجي‬
1  cz 1
bz1

v  yt 
u
1 t
1 t
1  az
1  az
1  az1
bz1
 vt 
yt 
u
1
1 t
1  cz
1  cz

bz1
(c  a) z 1 1  az1
bz1
y (t | t  1) 
u 
yt 
u
1 t
1 
1
1 t 
1  az
1  az  1  cz
1  cz


bz1
(c  a) z 1

u 
yt
1 t
1
1  cz
1  cz
:‫در حالت كلي داريم‬

y(t | t  1)  H 1 ( z 1 )G( z 1 )ut  (1  H 1 ( z 1 )) yt
‫?‬
‫‪‬‬
‫) ‪Prediction Error = y (t )  y (t | t  1)  v' (t )  v(t‬‬
‫در ‪ PEM‬هدف اين است كه ‪ θ‬را بنحوي پيدا كنيم كه ‪ V‬مينيمم شود‪.‬‬
‫از روش نيوتن – رافسون استفاده مي كنيم‪.‬‬
‫) ‪V (‬‬
‫‪Min{V (0)} ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫) ‪V ( )   v'2 (t‬‬
‫‪1‬‬
‫در روش ‪ :Iterative PEM‬ابتدا با استفاده از روش ‪ L.S‬و سفيد فرض كردن نويز‬
‫تخمين ‪ θ‬را به‬
‫دست مي آوريم‪ .‬سپس از روش نيوتن‪-‬رافسون مقدار جديد ‪ θ‬محاسبه مي شود و اين سيكل تا آنجا ادامه مي يابد‬
‫تا ‪ θ‬همگرا شود‪.‬‬
‫ارزيابي مدل‬
Model Validation
‫استفاده از (‪ Prediction error )residual‬براي امتحان مدل‪:‬‬
‫اگر تخمين دقيق باشد بايستي خطاي تخمين ()‪ )v’(t‬با )‪ v(t‬برابر باشد‪.‬‬
‫( كه در لحظه ‪ t-1‬قابل پيش بيني نيست‪).‬‬
‫چون )‪ v(t‬نويز سفيد است‪ ،‬بنابراين مشتق آن(خطاي تخمين ) هم نويز سفيد است‪.‬‬
‫بنابراين ميزان سفيد بودن(‪ v’(t) )Correlation‬تعيين كننده ميزان دقت است كه به دو‬
‫روش تست مي شود‪.‬‬
‫‪ -1‬اتوکرولیشن‪ ،‬تابع ضربه است‪.‬‬
‫‪ -2‬در صورتيكه ورودي هم نويز سفيد است‪ ،‬بايستي ‪ Cross Correlation‬آن با )‪u(t‬‬
‫صفر باشد‪.‬‬
‫مثال ‪ )2‬سيستمي با ساختار زير وجود دارد‪.‬‬
‫اين سيستم را به صورت يي فرآيند ‪ ARX‬مدل کنيم‪.‬‬
‫يک نويز سفيد با ميانگين صفر درنظر گرفت شده است‪ .‬ميخواهيم با استفاده از روش‬
‫‪ PEM‬پارامترهاي مدل را شناسايي کنيم‪.‬‬
‫همانطور که مشاهده مي شود براي اين مثال مشابه روش ‪LSE‬عمل شده است‪.‬‬
‫اعتبارسنجي مدل با استفاده از ‪PEM‬‬
‫تعيين اين مسئله که آيا مدل درنظر گرفته شده معتبر است يا‬
‫خير‪ ،‬اعتبار سنجي مدل گفته مي شود‪.‬‬
‫معتبر بودن يک مدل تنها براي يک هدف مشخص مورد سنجش‬
‫قرار مي گيرد‪ ،‬زيرا اکثر مدلها قابليت پاسخگويي تمامي ويژگي‬
‫هاي يک سيستم را ندارند‪ .‬يک روش عمومي براي اين کار‬
‫مقايسه خروجي مدل با خروجي سيستم به ازاي يک ورودي‬
‫يکسان است‪.‬‬
‫) برابهر‬
‫اگر تخمين صورت گرفته براي مدل دقيق باشد‪ ،‬بايد خطهاي تخمهين (‬
‫که همان نويز سفيد اعمال شده به سيستم است‪ ،‬شود‪ .‬بنابراين ميزان سفيد‬
‫است با‬
‫بودن خطا نشان دهنده ي دقت مدل است‪ .‬براي بررسي ميزان سفيد بودن خطاي تخمين مهي‬
‫توان از دو روش استفاده کرد‪:‬‬
‫• محاسبه اتوکروليشن خطاي تخمهين کهه اگهر برابهر بها تهابع ضهربه شهد کهه بهه معنهاي سهفيد‬
‫بودن اين خطها و دقهت بهاالي مهدل تخمهينزده شهده اسهت‪ .‬بهراي تخمهين تهابع اتوکورليشهن از‬
‫رابطه زير ميتوان استفاده کرد‪.‬‬
‫ورودي سيستم را نويز سفيد درنظر گرفته و همبستگي آن را با خطاي سيستم محاسبه‬
‫کنيم‪ .‬اگر اين دو از هم ناهمبسته بودند يعني مدل از دقت و اعتبار خوبي برخوردار‬
‫است‪.‬‬