Transcript AHP
AHP
فرایند تحلیل سلسله مراتبی
پیشگفتار
یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله
مراتبی ( )Analytical Hierarchy process-AHPکه اولین بار توسط
توماس ال ساعتی در 1980مطرح شد .که بر اساس مقایسه های
زوجی بنا نهاده شده و امکان بررس ی سناریوهای مختلف را به مدیران
می دهد .
انواع حالت های تصمیم گیری
تصمیم گیری
فضای گسسته
چند معیاره
فضای پیوسته
تک معیاره
تک معیاره
چند معیاره
معیار کمی
معیار کمی
معیار کمی
معیار کمی
معیار کیفی
معیار کیفی
معیار کیفی
معیار کیفی
معیار کمی-کیفی
معیار کمی-کیفی
اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی
اصل .1شرط معکوس ی ()Reciprocal Condition
اصل .2همگنی
اصل .3وابستگی
اصل .4انتظارات
()Homogeneity
()Dependency
()Expectation
شرط معکوس ی
اگرترجیح عنصر Aبر عنصر Bبرابر nباشد ترجیح عنصر Bبر عنصر
Aبرابر 1/nخواهد بود .
همگنی
عنصر Aبا عنصر Bباید همگن و قابل قیاس باشند .به بیان دیگر
برتری عنصر Aبر عنصر Bنمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.
وابستگی
هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح باالتر خود می تواند وابسته
باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا باالترین سطح می تواند ادامه
داشته باشد.
انتظارات
هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید
مجددا انجام گیرد.
فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه
► ساخت سلسله مراتبی
► مقایسه های زوجی
► ترکیب وزنها
► تحلیل حساسیت
► روش رتبه بندی
مثال
تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,Cیکی را انتخاب کنیم چهار
معیار:راحتی ،قیمت ،مصرف سوخت ،مدل مطرح می باشد .حل این
مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم:
ساختن سلسله مراتبی
محاسبه وزن
سازگاری سیستم
ساختن سلسله مراتبی
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
انتخاب بهترین اتومبیل
محاسبه وزن
ترجیحات (قضاوت شفاهی)
کامال مرجح یا کامال مهم تر یا کامال مطلوب تر
ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت خیلی قوی
ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قوی
کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مطلوب تر
ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسان
ترجیحات بین فواصل قوی
مقدار عددی
Extremely preferred
9
Very strongly preferred
7
Strongly preferred
5
Moderately preferred
3
Equally preferred
1
8،6،4،2
محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی
اتومبیل C
اتومبیل B
اتومبیل A
اتومبیل A
8
2
1
6
1
1/2
اتومبیل B
1
1/6
1/8
اتومبیل C
قدم اول :مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم.
اتومبیل C
اتومبیل B
اتومبیل A
اتومبیل A
8
2
1
6
1
1/2
اتومبیل B
1
1/6
1/8
اتومبیل C
15
19/6
13/8
جمع هر ستون
قدم دوم :تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر
( نرماالیزکردن)
اتومبیل C
اتومبیل B
اتومبیل A
اتومبیل A
8/15
12/19
8/13
6/15
6/19
4/13
اتومبیل B
1/15
1/19
1/13
اتومبیل C
قدم سوم :محاسبه متوسط عناصر در هر سطر
متوسط سطر
اتومبیل C
اتومبیل B
اتومبیلA
0.593
0.533
0.631
0.615
اتومبیل A
0.341
0.400
0.316
0.308
اتومبیل B
0.066
0.067
0.053
0.077
اتومبیل C
1
1
1
1
جمع کل
ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به
قیمت
اتومبیل C
اتومبیل B
اتومبیل A
1/4
1/3
1
اتومبیل A
1/2
1
3
اتومبیل B
1
2
4
اتومبیل C
ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به
مصرف
اتومبیل C
اتومبیل B
اتومبیل A
1/6
1/4
1
اتومبیل A
1/3
1
4
اتومبیل B
1
3
6
اتومبیل C
ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به
مدل
اتومبیل C
اتومبیل B
اتومبیل A
4
4
1
اتومبیل A
7
1
3
اتومبیل B
1
1/7
1/4
اتومبیل C
وزن اتومبیل ها برای معیار های قیمت ،مصرفو مدل
مدل
مصرف
قیمت
0.265
0.087
0.123
اتومبیل A
0.655
0.274
0.320
اتومبیل B
0.080
0.639
0.557
اتومبیل C
ماتریس مقایسه زوجی معیارها
مدل
راحتی
مصرف
قیمت
2
2
3
1
قیمت
1/4
1/4
1
1/3
مصرف
1/2
1
4
1/2
راحتی
1
2
4
1/2
مدل
وزن هر یک از معیارها
قیمت
مصرف
راحتی
مدل
0.398
0.085
0.218
0.299
وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها
مدل
راحتی
مصرف
قیمت
0.265
0.593
0.087
0.123
اتومبیل A
0.655
0.341
0.274
0.320
اتومبیل B
0.080
0.066
0.639
0.557
اتومبیل C
محاسبه وزن نهائی اتومبیل
وزن نهائی اتومبیل A
0.398*0.123+0.085*0.087+0.218*0.593+0.299*0.265=0.265
وزن نهائی اتومبیل B
0.398*0.320+0.085*0.274+0.218*0.341+0.299*0.655=0.421
وزن نهائی اتومبیل C
0.398*0.557+0.085*0.639+0.218*0.066+0.299*0.080=0.314
اولویت نهائی اتومبیل ها
اولویت
اتومبیل
وزن
1
B
0.431
2
C
0.314
3
A
0.265
ساختن سلسله مراتبی
سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد
در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و
که
گزینه ها قرار دارند ،هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم
سلسله مراتبی وجود ندارد .سلسله مراتبی ممکن است به یکی از
صورت های زیر باشد :
هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها
هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها
یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی
تصمیم کلی مساله (هدف)
معیارn
...
معیار2
معیار1
زیر معیارn
...
زیر معیار2
زیر معیار 1
گزینه n
...
گزینه 2
گزینه 1
سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه
:Sکیفیت آموزش ی :Fاستاندارد کلی دانش آموزان :Vنظم :Kآمادگی برای دانشگاه : Lآموزشهای جانبی
انتخاب بهترین مدرسه
اجتماعی
آموزشی
فرهنگی
L
C
B
A
K
V
F
S
محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی
محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر
مورد بحث قرار می گیرد:
وزن نسبی ( ( local priority
وزن نهایی ( )overall priority
روشهای محاسبه وزن نسبی
.1
.2
.3
.4
روش حداقل مربعات
روش حداقل مربعات لگاریتمی
روش بردار ویژه
روشهای تقریبی
( least squares method ) روش حداقل مربعات
W i a ij W
W i a ij W
j
یا
j
n
MINZ
St:
n
i 1
i
a ij
1
Wi
W
) هاi وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه
j
Wi
j 1
) i وj در حالت ناسازگاری (حداقل برای یک
Wj
n
a
i 1
W
یا
a ij
W j - Wi
ij
2
. معادله الگرانژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شود، برای حل مساله فوق
n
n
L
i 1 j 1
i 1
a
2
11
n
i 1
Wi 1
: مشتق بگیریم خواهیم داشتwl اگر از معادله فوق نسبت
به
n
n
a
2
a ij W j - W i 2
il
W l W i a il
a
lj
W j Wl 0
j 1
: داریم، باشدn=2 اگر
2 a11 a 21 2 .W 1 a12 a 21 .W 2 0
2
a 21 a12 .W 1 a12 2 a12 a 22 2 .W 2 0
W1 W 2 1
2
l 1, 2 ,..., n
2
مثال
ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر بگیرید :
1 / 2
3
1
1/ 3
1
1/ 3
1
3
2
)1نشان می دهیم ماتریس مقایسه ،ناسازگار است .
)2وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات به دست می آوریم.
=A
ابطهa ik . a kj
اگر ر a ij
برای یکی از i,j,kها برقرار نباشد ماتریس ناسازگار خواهد بود.
a12 1 / 3 , a 23 3 a13 a12 a 23 1 / 3 3 1
15 W 1 10 / 3W 2 5 / 2W 3 0
10 / 3W 1 20 / 9W 2 10 / 3W 3 0
5 / 2W 1 10 / 3W 2 45 / 4W 3 0
W1 W 2 W 3 1
از حل دستگاه فوق خواهیم داشت :
W 1 0 . 1735
W 2 0 . 6059
W 3 0 . 2206
روش حداقل مربعات لگاریتمی
)(logarithmic least squares method
در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه jو iها )
1
در حالت ناسازگاری (حداقل برای یک jو) i
1
j
j
W
W
یا
a ij
j
j
j
W
Wi
W
W
Wi
یا
a ij
j
W
a ij
a ij
میانگین هندس ی این اختالفات برابر است با:
1
1
2
n
2
n
j
Z
Wi
n
W
a ij
j 1
n
i 1
n
n
Lna
i 1
j 1
1
n
n
2
ij
Ln W i / W j
n
Lna
i 1
j 1
ij
در حالت سازگاری
0
Ln W i / W j
1
n
2
LnZ
در حالت ناسازگاری
)Eigenvector Method ( روش بردار ویژه
a 11 W 1 a 12 W 2 a 1 n W n . W 1
a 21 W 1 a 22 W 2 a 2 n W n . W 2
a n 1 W 1 a n 2 W 2 a nn W n . W n
.یک عدد ثابت است ام وi وزن عنصرW i ام است وj ام برi ترجیح عنصرa ij
وزن عنصر iام طبق تعریف قبل برابر است با:
i 1, 2 , , n
n
a ij W j
1
Wi
i 1
دستگاه معادالت فوق را به صورت زیر می توان نوشت:
A W .W
که Aهمان ماتریس مقایسه زوجی{ یعنی
] A} [ a ijو
اسکالر است.
بردار وزن و یک
W
مثال
. بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم،برای ماتریس زیر
2
3
2
3
4
3
:حل
4 W 1 2W 1 4W 2 .W 1
2W 1 4W 2 .W 1 0
3 W 2 3W 1 3W 2 W 2
3W 1 3W 2 .W 2 0
:برای حل این دستگاه می توان نوشت
( 2 ) W1 4 W 2 0
3 ( 2 ) W 1 12 W 2 0
( 2 ) 3 W1 (3 ) W 2 0
3 ( 2 ) W 1 ( 2 )( 3 ) W 2 0
3
که خواهیم داشت:
5 6 0
2
12 W 2 ( 2 )( 3 ) W 2 0
12 ( 2 )( 3 ) 0
W2 0
6 , 1
با قرار دادن مقادیر
خواهند بود.
ابطهW 1 W 2
در دستگاه فوق و با استفاده از ر 1
،بردارهای ویژه به شکل زیر
6 4 W1 4 W 2 0 W1 W 2 0 .5
1 3 W1 4 W 2 0 W1 4 , W 2 3
رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است:
4
4
( 1)
3
3
4
3
2
3
0 .5
0 .5
6
0
.
5
0
.
5
4
3
2
3
در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ،طبق مراحل زیر عمل می کنیم:
.1
.2
.3
.4
ماتریس Aرا تشکیل می دهیم.
ماتریس ) ( A . Iرا مشخص کنید.
دترمینان ماتریس ) ( A . Iرا محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار داده و
مقادیر را محاسبه کنید.
بزرگترین را maxنامیده و آن را در رابطه ( A max I ) W 0قرار
مقادیر Wها را محاسبه
ابطه ( A max I ) W
داده و با استفاده ازر 0
i
نمایید.
مثال
اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده
از روش بردار ویژه بدست می آوریم .
1
2
3
1
حل:
1
1
1
1
3
3
1
2
5
3
3 (1 ) 3 (1 ) 0
2
1
3
2
1
3
1
1
3
1
A 3
2
det( A I )
بعد از حل معادله قبل max 3 . 0536،
ماتریس ی ) ( A max I
W 0
محاسبه می گردد .معادله
را تشکیل داده و
W1
2
3
W2 0
W 3
2 . 0536
1
Wi
ها را محاسبه می کنیم.
1
3
2 . 0536
1
3
2 . 0536
3
2
W1 W 2 W 3 1
معادله
حاصل می شود.
را به دستگاه فوق اضافه می کنیم .نتیجه زیر
) ( 0 . 1571 , 0 . 5936 , 0 . 2493
T
W
قضیه:
برای یک ماتریس مثبت و معکوس ،همچون ماتریس مقایسه زوجی ،بردار ویژه را می
توان از رابطه زیر بدست آورد.
k
A .e
k
T
e . A .e
که در آن
)e (1,1, ,1
T
می باشد.
k
W lim
k
: داریمk =1 بطور مثال برای. را محاسبه می کنیمA .e ابتدا
a 11
a 21
k
A .e
a n1
a 12
a 22
an2
n
a
1j
a1 n
1
jn 1
a2n
1
a
2 j
j 1
n
a nn
1
a nj
j 1
: را محاسبه می نماییمe T . A k .e حال حاصل عبارت
e . A .e e .( A .e ) 1
T
k
T
k
1
n
a
1j
jn1
a2 j
1
j 1
n
a nj
j 1
n
n
a
i 1
j 1
ij
مثال
اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد:
1
4
2
1
2
1
1
1
3
3
9
1
1
3
1
2
1
2
1
9
A
3
4
محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است:
:حل
1
W
1
A .e
T
:در تکرار اول داریم
1
e . A .e
A = بردار حاصل از جمع سطری ماتریس
1 . 694
15
normalize
W
4 . 833
7 . 50
1
0 . 05837
0 . 51675
0 . 16651
0 . 25837
در تکرار دوم داریم:
2
A .e
2
T
2
W
e . A .e
0 . 8889
7 . 75
2 . 4167
4
1 .5
0 . 4583
13
4
4
1 . 25
6 . 8333
2 . 1111
4
35
11
18 . 5
2
A
بنابر این خواهیم داشت:
0 . 26943
0 . 15994
0 . 51196
0 . 05867
2
W
مقدار نهایی Wدر تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است:
0 . 26943
0 . 15958
0 . 51259
0 . 05882
3
W
0 . 26886
0 . 15971
0 . 51261
0 . 05882
4
W
0 . 26886
0 . 15971
0 . 51261
0 . 05882
5
W
روشهای تقریبی ()Approximation Method
.1
مجموع سطری
مجموع ستونی
میانگین حسابی
.4
میانگین هندس ی
.2
.3
مثال
ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است .با چهار روش ذکر شده بردار
وزن را محاسبه می کنیم.
A4
7
6
4
1
A3
A2
A1
6
5
4
1
1
1/ 4
1/ 4
1/ 6
1
1/ 5
1 / 6
1 / 7
A1
A2
A3
A4
مجموع سطری:
0 . 51
0 . 30
0 . 15
0 . 04
بردار نرمالیزه
19
11 . 20
5 . 42
1 . 56
مجموع عناصر هر سطر
7
6
4
1
5
6
1
1/ 5
1
4
1 / 6 1 / 4
1
1 / 7 1 / 6 1 / 4
مجموع ستونی:
18
0 . 06
11 . 25
0 . 09
6 . 43
0 . 16
1 . 51
0 . 68
مجموع عناصر هر ستون
بردار نرمالیزه
0 . 06
7
6
4
1
0 . 09
5
6
1
1/ 5
1
4
1 / 6 1 / 4
1
1 / 7 1 / 6 1 / 4
0 . 16
0 . 66
بردار معکوس
میانگین حسابی:
0 . 78 0 . 53 0 . 39
0 . 16 0 . 36 0 . 33
0 . 04 0 . 09 0 . 22
0 . 03 0 . 02 0 . 06
0 . 66
0 . 13
0 . 11
0 . 09
نرمالیزه ی ستونها
0 . 590
0 . 245
0 . 115
0 . 050
7
6
4
1
5
6
1
1/ 5
1
4
1 / 6 1 / 4
1
1 / 7 1 / 6 1 / 4
میانگین سطری
:میانگین هندس ی
5
6
1
1/ 5
1
4
1 / 6 1 / 4
1
1 / 7 1 / 6 1 / 4
7
6
4
1
نرمالیزه ی ستونها
میانگین هندس ی
0 . 61
0 . 24
0 . 10
0 . 04
4 1 5 6 7 3 . 807
4
1 / 5 1 4 6 1 . 480
4 1 / 6 1 / 4 1 4 0 . 639
4
1 / 7 1 / 6 1 / 4 1 0 . 278
محاسبه وزن نهایی
وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب
اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید.
مثال
مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان
مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت
رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخص ی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای
مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند.
تواناییهای اداری((A
معیارها
A
P
L
1
4
2
1
1
L 1
P 3
A 4
3
1
1
2
Y
2
1
X
X 1
1
Y
2
تواناییهای شخص ی((P
Y
1
3
1
X
X 1
Y
3
قابلیت رهبری ( )L
Y
4
1
X
X 1
1
Y
4
حل:
ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم.
هدف
A
L
P
Y
X
محاسبه وزن
1
D1 3
4
1
3
1
1
2
1
1
8
3
4
normalize
2
8
1
4
8
6
33
6
11
6
22
1
13
0 . 128
8
rowmeans
W 1 0 . 512
13
0 . 360
4
13
:یعنی داریم
W A 0 . 360 ,
W P 0 . 512
, W L 0 . 128
1
D2 1
4
1
D3
3
1
D4 1
2
4
normalize
W
1
1
normalize
W
3
1
2
normalize
W
1
2
4
5
4
1
W LX , W LY
1
5
5
5
3
1
4
1
3
W PX , W PY
3
4
4
4
4
2
3
2
1
W AX , W AY
1
3
3
3
محاسبه وزن نهایی:
0 . 360 ) 0 . 4704
2
( 0 . 512 )
3
1
1
4
3
( 0 . 128 )
4
5
1
( WX
W Y ( 0 . 128 ) ( 0 . 512 ) ( 0 . 360 ) 0 . 5296
5
4
3
توجه داشته باشید که
گردد.
WY 1
بنابر این گزینه یا شخص Yانتخاب می
WX
محاسبه نرخ ناسازگاری:
► ماتریس سازگار و خصوصیات آن
► ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن
► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس
► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی
ماتریس سازگار و خصوصیات آن
اگر nمعیار به شرح C 1 , C 2 , , C nداشته باشیم و ماتریس مقایسه
زوجی آنها به صورت زیر باشد :
i , j 1, 2 , , n
که در آن a ijترجیح عنصر
این ماتریس داشته باشیم :
A a ij
نشان می دهد .چنانچه در
را c iبر c j
i , j , k 1, 2 , , n
آنگاه می گوییم ماتریس Aسازگار است .
a ik a kj a ij
مثال
A
B
A 1
p1 B 1 / 2
C
1 / 6
2
1
1/ 3
C
6
3
1
A 6
C اهمیت نسبی عناصر نسبت به B 3
C
1
0 .6
W 0 .3
0 . 1
A 2
B اهمیت نسبی عناصر نسبت به B 1
C 1 / 3
0 .6
W 0 .3
0 . 1
طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس( )ازرابطه زیر به دست می آید:
P1 W . W
که حاصلضرب P1 Wبرابر است با :
6 0 . 6 1 . 8
0 .6
3 0 .3 0 .9 3 0 .3 3 W
0 . 1
1 0 . 1 0 . 3
2
1
1/ 3
1
P1 W 1 / 2
1 / 6
بنابراین خواهیم داشت:
3 . W
P1 W
هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است :
.1
.2
.3
مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد.
مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( . ) AW nW
مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .
ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن
مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی Aباشد مجموع
قضیه یک – اگر 1 , 2 , , n
مقادیر آنها برابر nاست :
n
n
i
i 1
ر
ره بزرگتر یا مساوی n
هموا
ویژه
مقدار
گترین
بز
–
دو
قضیه
max
منفی خواهند بود ).
است (در این صورت برخی از ها
max n
قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ،مقدار
ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت .
به ترتیب بردار ویژه و W
. Aیک
Wمیباشد
ماتریس A
مقدار .ویژه
که در آن
بوده (بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر هستند
Wبروابر n
مقدار ویژه
.بنابراین در این حالت می توان نوشت :
در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A
max
AW
nW
قضیه ، 3
ناسازگار باشد طبق
کمی از nفاصله می گیرد که می توان نو شت :
A W max . W
شاخص ناسازگاری
max n
max n
n 1
I .I
الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس
.1ماتریس مقایسه زوجی Aرا تشکیل دهید.
.2بردار وزن Wرا مشخص نمایید .
مشخصاست ؟ اگر پاسخ مثبت است به
.3آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس ( Aیعنی
max
قدم چهارم بروید .در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :
ازبه دست آورید
-3-1با ضرب بردار Wدر ماتریس Aتخمین مناسبی
مربوطه max
بر . W W
را
تخمین هایی از
-3-2با تقسیم مقادیر به دست آمده برای
محاسبه نمایید .
max . W
maxبه دست آمده را پیدا کنید .
-3-3متوسط
ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم:
. 4مقدار شاخص
max
max n
.5نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید :
n 1
I .I .
I .I .R
I .I
I .R .
مثال
برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید .
8
6
1
2
1
1/ 6
1
A 1/ 2
1 / 8
حل
قدم 1و :2با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :
0 . 593
W 0 . 341
0 . 066
قدم :3از آنجا که مقدار maxمشخص نمی باشد ،باید آن را طبق قدم های
زیر تخمین بزنیم .
قدم -1-3تخمین max . W
8 0 . 593
1 . 803
6 0 . 341 1 . 034
0 . 197
1 0 . 066
قدم -2-3محاسبه maxها
3 . 040
3 . 032
2 . 985
2
1
1/ 6
0 . 593
0 . 341
0 . 066
1
A .W 1/ 2
1 / 8
1 . 0803
1
max
1 . 034
2
max
0 . 197
3
max
قدم -3-3محاسبه میانگین maxها
3 . 019
3
max
2
max 1 max
3
max
قدم :4محاسبه شاخص ناسازگاری
0 . 010
3 . 019 3
31
max n
n 1
I .I
قدم :5محاسبه نرخ ناسازگاری
I .I .
0 . 017
3 3
I .R .
I .I .R
نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017است که کمتر از 0.1بوده بنابراین سازگاری
آن مورد قبول می باشد .
الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی
برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس
عنصرI .Iمربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می
را در وزن
.
آوریم .این حاصل جمع را
می نامیم .همچنین وزن عناصر را در I .I .
نامگذاری می کنیم .
مجموعشان را
ماتریس های مربوطه ضرب کرده و
I .I .R .
حاصل تقسیم
I .I .R
I . Iنرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد .
I .I .R
مثال
مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان
مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت
رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخص ی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای
مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند.
تواناییهای اداری((A
معیارها
A
P
L
1
4
2
1
1
L 1
P 3
A 4
3
1
1
2
Y
2
1
X
X 1
1
Y
2
تواناییهای شخص ی((P
Y
1
3
1
X
X 1
Y
3
قابلیت رهبری ( )L
Y
4
1
X
X 1
1
Y
4
در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم :
هدف
A
Y
L
P
X
Y
X
Y
X
:با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز
1 1 / 3 1 / 4
normalize
D1 3 1
2
4 1 / 2 1
W A 0 . 360
,
W p 0 . 512
1 / 8 6 / 33 1 / 13
0 . 128
normalize
3 / 8 6 / 11 8 / 13 W 1 0 . 512
4 / 8 6 / 22 4 / 13
0 . 360
, W L 0 . 128
: یعنی داریم
1
D2
1 / 4
4
4 / 5
normalize
W
2
W LX 4 / 5 , W LY 1 / 5
1
1 / 5
D3
1
1 / 3
3
1 / 4
normalize
W 3
W PX 1 / 4 , W PY 3 / 4
1
3 / 4
D2
1
1 / 2
2
2 / 3
normalize
W 2
W AX 2 / 3 , W AY 1 / 3
1
1 / 3
: وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با
W X 4 / 5 0 . 128 1 / 4 0 . 512 2 / 3 0 . 360
W Y 1 / 5 0 . 128 3 / 4 0 . 512 1 / 3 0 . 360
0 . 4704
0 . 5296
: داریم
D1
D 1 W 1 max . W 1
D1 W1
1
3
4
1/ 3
1
1/ 2
1 / 4
2
1
0 . 128
0 . 512
0 . 360
0 . 389
1 . 616
1 . 128
برای ماتریس
max
0 . 389
. W 1 1 . 616
1 . 128
max
I .I
max 1 max
2
max
max
3
3 . 039
3 . 156
3 . 133
3 . 019
3
max n
n 1
3 . 019 3
31
: توان نوشت
D 2 , می
D3
0 . 054
, D4
I .I . 2 I .I .3 I .I . 4 0
I .I .R . 2 I .I .R .3 I .I .R . 4 0
I . I . R . 3 3 0 . 58
به همین ترتیب برای ماتریس های
0
0 . 360 0 0 . 054
0
0
0 . 360 0 0 . 580
0
0 . 128
0 . 512
0 . 512
0 . 128
0 . 093
0 . 054
0 . 580
I . I . 1 0 . 054
I . I . R . 1 0 . 580
I .I .
I .R .
I .I .R .
در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از 0.1بوده و قابل قبول است و نیازی
به تجدید نظر در قضاوت ها نیست .
THE END