ترم ۱- هندسه صفر
Download
Report
Transcript ترم ۱- هندسه صفر
هندسه صفر
نحوه ارزشیابی و بارم بندی نمره :
● پرسش کالس ی یا کوییز :پس از اتمام هر جلسه چندین مساله ساده و مشابه مثال های
حل شده مشخص می شود که دانش آموز در جلسات آینده می بایست به عنوان پرسش
کالس ی ،آمادگی کامل به پاسخ گویی آن ها را داشته باشد ( 5نمره از مستمر)
● مسائل تکلیف :هر 3جلسه یکبار ( 5نمره از مستمر)
● ارزشیابی مستمر 2 :بار در طول هر ترم ( 10نمره از مستمر)
● امتحان پایان ترم 20( :نمره از پایانی)
● نمره مثبت :حل سوال در کالس یا سوال های اختیاری ( +اضافه به نمره پایانی)
● نمره منفی :هر گونه بی نطمی ،تاخیر ،غیبت ( -کسر از نمره پایانی)
روش تدریس :
● ابتدا آشنایی با مفاهیم ،تعاریف ،قضایا ،اثبات آنها و حل مثال هایی کاربردی
مرتبط با آن ها
● ارائه نمونه هایی از کاربرد مفاهیم هندس ی در صنعت
● تشریح مسایل متنوع تحت عنوان کار در کالس
مراجع :
● )1هندسه صفر -نشر الگوی توسعه نمونه -تالیف حسن محمد بیگی
)2آموزش هندسه – 1انتشارات مبتکران – تالیف بهمن اصالح پذیر
)3هندسه – 1انتشارات فاطمی -؟؟؟
)4هندسه دلپذیر
سر فصل ها :
فصل اول :زاویه ،مثلث ،چهار ضلعی ،چند ضلعی
(ترم اول)
فصل دوم :مساحت و قضیه فیثاغورث
(ترم دوم)
مقدمه
هندسه یا ژئومتری از دو کلمه یونانی به معنی اندازه گیری زمین (جغرافیا) آمده
است .هرودت مورخ یونانی سده پنجم قبل از میالد ،پدید آورندگان هندسه را
مساحان مصری می داند که مجبور بوده اند هر سال پس از طغیان رود نیل
ً
محدوده زمین ها را مجددا مشخص کنند.
اثبات در هندسه
اثبات چیست؟
چرا اثبات الزم است؟
اثبات صحیح چگونه باید باشد؟
اثبات چیست ؟؟؟
فرض کنید می خواهید کس ی را متقاعد کنید که زمین گرد است.برای او از سفرهای دور
دنیا ،از گسترده شدن افق هنگامی که از سطح زمین دور می شویم و از سایه بشقاب مانند
زمین هنگام ماه گرفتگی که بر ماه می افتد می گویید.
هر یک از آن ها که برای متقاعد کردن طرف خود مطرح می کنید یک برهان در جهت
اثبات است .چه چیزی قدرت یک برهان را مشخص می کند؟ ما به اصرار می گوییم چون
سایه زمین گرد است پس باید خودش هم کروی شکل باشد.در حالیکه این نتیجه گیری
چیزی است که مردم از روی تجربه می دانند.
یک مثال عددی :چند عدد فرد در نظر بگیرید و از مجذور عدد هایی که بدست می آورید
ً
یکی کم کنید ،مثال:
72-1=48 , 112-1=120 , 52-1=24 , 152-1=224
)(2n-1)2-1=(2n-1)*(2n-1)-1=4n2 -2n-2n+1-1=4n2-4n=4n(n-1
این مثال ها به ما کمک میکند تا به پدیده های جهان و قوانینی که بر آنها
حاکمند آگاه شویم .بنابراین اثبات دستگاهی از نتیجه گیری هاست که به کمک
آن ،در ستی گزاره ای را که می خواهیم ثابت کنیم از روی اصول و گزاره هایی که
قبال ثابت شده اند ،نتیجه گیری میکنیم.
چرا اثبات الزم است؟
نیاز به اثبات از یکی از قانون های اساس ی منطق سر چشمه میگیرد .طبق این
قانون گفتار ما باید دارای اساس و تکیه گاه و نشانه سازگاری با حقیقت باشد.
چنین برهان هایی می تواند شامل استناد به مشاهده و آزمایش ی باشند که درستی
گفتار ما به وسیله آنها بتواند بررس ی شود(استدالل استقرایی) ،و یا از استدالل
صحیحی متشکل از یک سلسله قضاوت باشد(.استدالل استنتاجی)
هدف از اثبات یک گزاره هندس ی عبارتست از تحقیق درستی آن به وسیله
استنتاج منطقی ،از روی واقعیت هایی که از قبل دانسته یا اثبات شده اند.
اکنون این پرسش مطرح می شود که :
آیا اگر درستی گزاره ای که می خواهیم ثابت کنیم ،به
خودی خود کامال واضح باشد ،باز باید زحمت اثبات
آن را به خود بدهیم ؟؟؟
ً
یک دانش دقیق هیچگاه نمی تواند دائما بر «واضح
بودن» تکیه کند ،زیرا آنچه یک نفر واضح می شمارد
برای دیگری ممکن است بسیار مشکوک باشد.
اثبات صحیح باید چگونه باشد ؟
در هر اثبات فقط استفاده از 6نوع مالک درستی ،مجاز می باشد
.1بنا بر فرض ...
.2بنا بر اصل ...
.3بنا بر قضیه ( ...که قبال اثبات کردیم)
.4بنا بر تعریف ...
.5بنا بر مرحله ( ...یکی از مراحل قبل در برهان)
.6بنا بر قاعده ...منطق
چندین تعریف :
زاویه :به قسمتی از صفحه که بین دو نیم خط متقاطع قرار دارد زاویه
گوییم.
انواع زوایا :
𝛼=180
𝛼=90
الف) اگر ، 𝛼 < 90زاویه را حاده یا تند می نامیم.
ب) اگر ،180>𝛼>90زاویه را منفرجه یا باز می نامیم.
ج) اگر ،𝛼=90زاویه را قائمه می نامیم.
د ) اگر ،𝛼=180زاویه را نیم صفحه می نمامیم.
ه) اگر ،𝛼=360زاویه را صفحه می نامیم.
𝛼<90
𝛼>90
دو زاویه متمم :
دو زاویه که مجموعشان 90درجه است را متمم می نامیم.
A,Bمتمم یکدیگرند اگر و فقط اگر:
A+B=90
متمم زاویه 90-A ،Aمی باشد.
دو زاویه مکمل :
A,Bمکمل یکدیگرند اگر و فقط اگر :
A+B=180
دو زاویه مجاور :
هرگاه دو زاویه دارای راس و ضلع مشترک باشند ،آن را مجاور
گوییم.
دو زاویه مجانب :
هرگاه دو زاویه مجاور مکمل یکدیگر باشند ،مجانب نامیده می
شوند.
α
α
β
β
مثال)
اگر مکمل زاویه ای 3برابر متمم آن باشد ،آنگاه اندازه این زاویه
را تعیین کنید.
)180-A=3(90-A
180-A=270-3A
2A=90
A=45
مثال)
اگر مکمل های دو زاویه متمم یکدیگر باشند و تفاضل این دو
زاویه 70درجه باشد ،آنگاه آن دو را بدست آورید.
تمرین:
)1اگر مجموع دو زاویه 120باشد آنگاه مجموع مکمل های آن چقدر
است.
1
4
)2اگر متمم زاویه ای مکمل آن باشد ،مقدار آن را بیابید.
𝛼 𝛼4
و
3 2
)3اندازه دو زاویه مجاور
باشد ،تقاضل دو زاویه را بیابید.
)4اگر جمع دو زاویه 130باشد مجموع مکمل های آن را بیابید؟
)5دو زاویه متمم یکدیگرند و اندازه یکی از زوایا از دو برابر اندازه زاویه دیگر
30درجه کمتر است .تفاضل دو زاویه کدام است؟
زاویه بین نیمساز های آن 110درجه
4
یکدیگرند .اندازه زاویه ،A
9
)6دو زاویه A,Bمتمم
است .هر دو زاویه را بدست آورید.
اندازه مکمل زاویه B
اوضاع نسبی دو خط :
الف) موازی :هیچ نقطه مشترکی با هم ندارند یا بر هم منطبقند.
ب) متقاطع :هر گاه دو خط با هم موازی نباشند ،آنگاه حتما متقاطعند.
d
d
'd
'd
'd,d
زاویه متقابل به راس :
دو خط متقاطع 4زاویه دوبه دو برابر ایجاد می کنند.
(اثبات ؟؟؟)
x
y
y
x
خطوط موازی و مورب :
اگر دو خط موازی ˊ d,dرا خط ˝ dقطع کند ،هشت زاویه به وجود می
آورد که که 4زاویه حاده با هم و 4زاویه منفرجه با هم برابر خواهند بود:
(اثبات از راه برهان خلف -عکس قضیه نیز برقرار است)
1
1=2=3=4
5=6=7=8
5
6
2
7
3
8
4
مثال)
در شکل مقابل x=3a+17و ) a ، y=4(a-3کدام است؟
y
x
مثال )
در شکل مقابل اگر ˊ d‖dباشد A+α + β ،را بیابید.
d
𝛼
A
𝛽
ˊd
انواع چند ضلعی:
مثلث :سه خط که دو به دو یکدیگر را در سه نقطه متمایز قطع
می کنند ،ناحیه ای به وجود می آورند که مثلث نامیده می شود.
●مجموع زوایای داخل مثلث 180درجه است (اثبات)
(راهنمایی :خطی موازی با BCرسم کنید)
●اگر یک ضلع مثلث را امتداد دهیم ،امتداد آن با ضلع دیگر
زاویه ای می سازد که آن را زاویه خارجی می نامند.
ثابت کنید هر زاویه خارجی مثلث برابر است با مجموع دو زاویه
داخلی غیر مجاور آن.
●نشان دهید مجموع زوایای خارجی هر مثلث 360درجه است.
مثال)
در شکل زیر ثابت کنید:
𝐷𝐴1 +𝐶1 =𝐵+
B
C
A
D
مثال)
در شکل مقابل AD=BD=BCثابت کنید:
𝐸𝐶𝐴 𝐴𝐷𝐸= 3
E
A
B
D
C
تمرین)
𝐴 + 𝐵 − 𝐶 )7را بیابید.
A
C
B
)8در شکل مقابل 𝑌 𝑋 +را بیابید.
80
X
25
Y
X )9را بر حسب A,B,Cبیابید.
x
𝐴
B
𝐶
C
A
𝐵1
60
𝐶
2
.𝐵 را پیدا کنید2 − )10
)AB‖CD , AE‖CB(
𝐵2
اجزای فرعی مثلث:
نیمساز ،ارتفاع ،میانه ،عمود منضف
نیمساززاویه :خطی است که آن زاویه را به دو زاویه مساوی
تقسیم کند.
𝑌𝑂𝑀 = 𝑀𝑂𝑋
نکته :نیمساز در مثلث را با
dنشان می دهند ،یعنی:
x
M
o
y
مثال)
ثابت کنید نیمساز داخلی و نیمساز خارجی هر زاویه از مثلث بر هم
عمودند.
مثال)
ثابت کنید هر نقطه روی نیمساز یک زاویه که در نظر بگیریم فاصله
آن از دو ضلع برابر است.
در شکل مقابل ثابت کنید:
𝐴
𝑂 = 90 +
2
A
O
C
B
در شکل مقابل ثابت کنید:
𝐴
=𝑂
2
O
A
C
B
در شکل مقابل اگر OBو OCنیمسازهای خارجی زوایای Bو Cباشند،
A
آنگاه ثابت کنید :
𝐴
𝑂 = 90 −
2
B
C
O
ارتفاع :خطی که از هر راس مثلث بر
ضلع روبروی آن عمود می شود.
𝒂𝒉=AH
𝒃𝒉=ˊBH
𝒄𝒉=˝CH
میانه:
C
A
ˊH
˝H
H
B
میانه :
ثابت کنید در هر مثلث میانه ها به نسبت زیر تقسیم می شوند:
A
(اختیاری)
𝑮𝑪 𝑮𝑩 𝑮𝑨
N
=
=
𝟐=
G
𝑷𝑮 𝑵𝑮 𝑴𝑮
C
M
P
B
∎تمرین )
ثابت کنید عمود منصف ،نیمساز ،ارتفاع ،میانه در مثلث
همرسند(.اختیاری)
مثال )
ثابت کنید هر نقطه روی عمود منصف از دو سر پاره خط به یک
فاصله است.
همنهشتی در مثلث :
الف :هر گاه دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی به ترتیب با دو ضلع و
زاویه بین از مثلث دیگری برابر باشد ،انگاه همنهشتند(.ض ز ض)
ˊA
ˊC
A
ˊB
C
B
اقلیدس سعی کرده است آن را به عنوان قضیه ثابت کند ،برهان او چنین است:
مثلث ˊ AˊBˊCرا چنان حرکت می دهیم که نقطه ˊ Aبر نقطه Aو ضلع ˊAˊB
بر ضلع ABقرار گیرد .چون ˊ AB=AˊBاست ،لذا نقطه ˊ Bباید بر B
منطبق باشد.چون قرار گیرد و ˊCˊAباید بر خط CAپس خط ˊ𝐴 = 𝐴
چون ˊ ،AC=AˊCنقطه ˊ Cباید بر Cمنطبق شود .بنابراین ضلع ˊ BˊCبر
ضلع BCو بقیه زاویه ها بر هم منطبق خواهند شد و در نتیجه مثلث ها
همنهشت می شوند.
همنهشتی در مثلث :
ج) اگر دو زاویه و ضلع بینی از مثلثی با اجزا نظیرش از مثلث دیگر برابر
باشد ،آن دو مثلث همنهشتند(.ز ض ز)
D
A
C
ˊA
B
ˊC
ˊB
همنهشتی در مثلث :
ب) هرگاه سه ضلع از مثلثی با 3ضلع از مثلث دیگر برابر باشد،
آن دو مثلث هم نهشتند(.ض ض ض)
ˊA
ˊC
A
ˊB
B
C
D
هم نهشتی در مثلث قائم الزاویه :
)1وتر و یک زاویه حاده
)2وتر و یک ضلع قائمه
(اثبات اختیاری)
مثال )
پاره خطی که وسط های دو ضلع مثلثی را به هم وصل می کند ،موازی
ضلع سوم و اندازه آن نضف ضلع سوم است وبر عکس.
A
C
B
انواع مثلث:
الف) متساوی الساقین
ب) متساوی االضالع
ج) قائم الزاویه
د)...
مثلث متساوی الساقین:
ثابت کنید در این مثلث زاویه های مجاور به ساق ها با هم
برابرند.
تمرین)
)10در شکل زیر AB=ACو زاویه برابر 30درجه است ،گر زاویه Xبرابر
A
چیست؟
30
C
x
E
)11در شکل دو مربع وجود دارد 𝐷𝐹𝐷´ ،را پیدا کنید.
F
D
´D
B
تمرین)
)12در شکل AB=ACو CE=CDثابت کنید 𝐹𝐷𝐴𝐴𝐹𝐷=3
A
F
( 13در شکل مقابل ، AE=DFزاویه 𝐵𝑀𝐴
را پیدا کنید.
B
A
C
D
M
C
F
E
D
E
B
تمرین)
)14در شکل مقابل اگر ADنیمساز خارجی راس Aباشد ،زاویه Xرا
بیابید.
A
)15با توجه به شکل مقابل زاویه Xرا بیابید.
C
70
30
B
60
X
x
D
ثابت کنید در هر مثلث متساوی الساقین طول نیمساز ارتفاع و
میانه وارد بر ساق ها با هم برابرند.
نیمساز:
ارتفاع :
میانه:
مثلث قائم الزاویه :
میانه وارد بر وتر نصف وتر است.
مثلث متساوی الضالع :
60
ارتفاع ها نیمساز ها و میانه ها با هم برابرند
60
60
در کدام مثلث جمع دو زاویه خارجی 3 ،برابر زاویه داخلی غیر
مجاور آنهاست.
AX‖BYنیمساز ACو BCاز Cبر AXو BYعمود شده
است ،ثابت کنید:
A
M
x
AB=AM+BN
H
C
y
N
B
در مثلث ABCاز نقطه Aخطی موازی BCرسم می کنیم تا
نیمساز های زاویه های Bو Cبه تز تیب در Mو Nقطع شوند.
ثابت کنید:
N
A
M
MN=AB+AC
C
B
در مثلث AB=AC ، ABCاست .نیمساز زاویه Bبا ضلع BC
A
مساوی است ،زاویه Aچند درجه است؟
C
B
ثابت کنید در مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف وتر است
ثابت کنید در مثلث قائم الزاویه ،ضلع روبرو به زاویه 30درجه نصف وتر
است و بر عکس).روبرو به زاویه 60
√3
درجه
2
وتر(
30
اگر یک زاویه از مثلث قائم الزاویه 15درجه باشد ،آنگاه ارتفاع
1
وارد بر وتر
4
است.
15
نقطه Oداخل مثلث ABCمحل برخورد ارتفاع های مثلث می
باشد .اگر OA=BCزاویه Aرا بیابید.
تمرین )
)16در مثلث ABCداریم . 𝐵 − 𝐶 = 40حال زاویه بین
نیمساز و ارتفاع وارد بر BCرا پیدا کنید
C
D
)17در شکل مقابل AB=ACاست A .را پیدا کنید.
.
A
H
B
A
C
B
تمرین)
)17در شکل مقابل اگر 𝐴 = 80است .اندازه زاویه 𝐷1را بیابید.
A
E
F
C
)18در مثلث قائم الزاویه نشان دهید نیمساز
وارد بر وتر همان نیمساز زاویه بین میانه وارد
بر وتر و ارتفاع وارد بر وتر است.
D
B
چند ( )nضلعی شکلی است شامل اجتماع چندین( )nپاره خط که آنها را
ضلع مینامیم ....
الف) کوژ (محدب) :امتداد هر ضلع اضالع فقط به نقاط ابتدا و انتهای
هر ضلع برخورد کندn(.ضلعی که همه زوایای آن کمتر از 180درجه
باشد)
ب) کاو (مقعر) n :ضلعی ای که کوژ نباشد.
مقعر
محدب
مجموع زوایای داخلی nضلعی محدب :
با استفاده از مجموع زوایای داخلی مثلث بدست می آوریم:
مجموع زوایای خارجی در هر nضلعی محدب:
مجموع زوایای داخلی هر nضلعی محدب
برابر (n-2)180است .اگر مجموع زوایای
خارجی را Aفرض کنیم ،چون در هر راس،
زاویه داخلی و خارجی تشکیل یک نیم صفحه می دهند
لذا:
A+(n-2)*180=n*180
A=360
تمرین:
)1ثابت کنید در هر nضلعی منتطم هر زاویه داخلی از رابطه
محاسبه می شود.
)2نشان دهید در هر nضلعی تعداد قطر ها
)𝑛(𝑛−3
برابر :
2
𝑛−2 180
𝑛
)19مثلث ABCکه در آن زاویه Bمنفرجه و مساوی دو برابر
زاویه Cاست ،ر ادر نظر می گیریم و ارتفاع AHرا رسم می کنیم
و روی ضلع ABابتدا از Bپاره خط BDرا مساوی BHجدا
میکنیم .ثابت کنید Eوسط ACاست.
A
E
D
C
)20
B
H
متوازی االضالع:
چهار ضلعی که اضالع روبروی آن دو به دو موازی یکدیگر باشند(.موازی
A
باشند مساوی هم می شوند
B
چرا ؟)
C
D
اگر هر یک از موارد زیر در یک 4ضلعی برقرار باشد ،آنگاه آن 4ضلعی
متوازی االضالع است:
الف) قطر ها همدیگر را نصف کنند
ب) اضالع روبرو مساوی
ج) فقط دو ضلع روبرو موازی و مساوی
د) زاویه های روبرو مساوی
ه) هر دو زاویه مجاور مکمل هم باشند
(هر یک از موارد فوق نیاز به اثبات دارد)
ثابت کنید وسط های اضالع یک 4ضلعی راس های یک متوازی
االضالع هستند.
لوزی :
متوازی االضالعی که 4ضلعش با هم برابرند.
مستطیل :
متوازی االضالعی که یک زاویه قائمه دارد.
مربع :
مستطیلی است که اضالعش با هم برابر باشند.
درستی چند قضیه زیر را برس ی می کنیم :
)1در هر لوزی قطر ها بر هم عمودند و روی نیمساز زاویه ها قرار دارند.
)2متوازی االضالع تحت هر یک از شرایط زیر لوزی است:
الف -قطر ها بر هم عمد باشند.
ب -قطر ها روی نیمساز زاویه ها قرار داشته باشند.
)3در هر مستطیل قطر ها با هم برابرند.
)4مستطیلی که قطر های آن بر هم عمود باشند ،مربع است.
)5مستطیلی که قطر های آن زاویه هایش را نصف کند مربع است.
)6لوزی که دو زاویه مجاور آن مساوی باششن ،مربع است.
)7لوزی که قطر های آن برابر باشند مربع است.
در مثلث ABCمیانه BMبه اندازه خودش تا ˊ Mو میانه CN
را به اندازه خودش تا ˊ Nامتداد می دهیم ،ثابت کنید:
الف ) نقاط ˊ A,Mˊ,Nدر یک امتداد هستند.
ب) ˊANˊ=AM
ذوزنقه :
چهار ضلعی است که فقط دو ضلع آن موازیند.
B
قاعده
کوچک
A
الف) زاویه های مجاور به هر ساق مکمل اند.
ب) اگر AD=BCذوزنقه را متساوی الساقین
می نامیم .آنگاه :
C
)1زاویه های مجاور به ساق با هم برابر
قاعده بزرگ
می شوند.
)2قطر ها برابر می شوند.
ج) ذوزنقه قائم الزاویه ذوزنقه ای است که یکی از ساق های آن بر دو
قاعده عمود باشد.
ساق
ساق
D
پاره خط میانگین در ذوزنقه :
اوساط دو ساق ذوزنقه را به هم وصل کرده ،پاره خط حاصل ،
موازی دو قاعده و نصف مجموع دو قاعده است.
در شکل مقابل 𝐸 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 +چقدر است؟
A
E
B
D
C
در شکل زیر 𝐹 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 +چقدر است؟
در شکل مقابل AB=ADاست زاویه xرا بر حسب CوBبیابید.
A
D
C
x
B
)21ثابت کنید زاویه بین هر دو نیمساز مجاور در 4ضلعی محدب
برابر است با نصف جمع دو زاویه دیگر.
تمرین)
)14