Transcript ترم ۱- هندسه صفر

‫هندسه صفر‬
‫نحوه ارزشیابی و بارم بندی نمره ‪:‬‬
‫● پرسش کالس ی یا کوییز ‪ :‬پس از اتمام هر جلسه چندین مساله ساده و مشابه مثال های‬
‫حل شده مشخص می شود که دانش آموز در جلسات آینده می بایست به عنوان پرسش‬
‫کالس ی‪ ،‬آمادگی کامل به پاسخ گویی آن ها را داشته باشد (‪ 5‬نمره از مستمر)‬
‫● مسائل تکلیف ‪ :‬هر ‪ 3‬جلسه یکبار (‪ 5‬نمره از مستمر)‬
‫● ارزشیابی مستمر ‪ 2 :‬بار در طول هر ترم (‪ 10‬نمره از مستمر)‬
‫● امتحان پایان ترم ‪ 20( :‬نمره از پایانی)‬
‫● نمره مثبت ‪ :‬حل سوال در کالس یا سوال های اختیاری (‪ +‬اضافه به نمره پایانی)‬
‫● نمره منفی ‪ :‬هر گونه بی نطمی‪ ،‬تاخیر‪ ،‬غیبت ( ‪-‬کسر از نمره پایانی)‬
‫روش تدریس ‪:‬‬
‫● ابتدا آشنایی با مفاهیم‪ ،‬تعاریف‪ ،‬قضایا‪ ،‬اثبات آنها و حل مثال هایی کاربردی‬
‫مرتبط با آن ها‬
‫● ارائه نمونه هایی از کاربرد مفاهیم هندس ی در صنعت‬
‫● تشریح مسایل متنوع تحت عنوان کار در کالس‬
‫مراجع ‪:‬‬
‫●‪ )1‬هندسه صفر ‪ -‬نشر الگوی توسعه نمونه ‪ -‬تالیف حسن محمد بیگی‬
‫‪ )2‬آموزش هندسه ‪ – 1‬انتشارات مبتکران – تالیف بهمن اصالح پذیر‬
‫‪)3‬هندسه ‪ – 1‬انتشارات فاطمی ‪ -‬؟؟؟‬
‫‪ )4‬هندسه دلپذیر‬
‫سر فصل ها ‪:‬‬
‫فصل اول ‪ :‬زاویه ‪ ،‬مثلث‪ ،‬چهار ضلعی‪ ،‬چند ضلعی‬
‫(ترم اول)‬
‫فصل دوم ‪ :‬مساحت و قضیه فیثاغورث‬
‫(ترم دوم)‬
‫مقدمه‬
‫هندسه یا ژئومتری از دو کلمه یونانی به معنی اندازه گیری زمین (جغرافیا) آمده‬
‫است‪ .‬هرودت مورخ یونانی سده پنجم قبل از میالد‪ ،‬پدید آورندگان هندسه را‬
‫مساحان مصری می داند که مجبور بوده اند هر سال پس از طغیان رود نیل‬
‫ً‬
‫محدوده زمین ها را مجددا مشخص کنند‪.‬‬
‫اثبات در هندسه‬
‫اثبات چیست؟‬
‫چرا اثبات الزم است؟‬
‫اثبات صحیح چگونه باید باشد؟‬
‫اثبات چیست ؟؟؟‬
‫فرض کنید می خواهید کس ی را متقاعد کنید که زمین گرد است‪.‬برای او از سفرهای دور‬
‫دنیا‪ ،‬از گسترده شدن افق هنگامی که از سطح زمین دور می شویم و از سایه بشقاب مانند‬
‫زمین هنگام ماه گرفتگی که بر ماه می افتد می گویید‪.‬‬
‫هر یک از آن ها که برای متقاعد کردن طرف خود مطرح می کنید یک برهان در جهت‬
‫اثبات است‪ .‬چه چیزی قدرت یک برهان را مشخص می کند؟ ما به اصرار می گوییم چون‬
‫سایه زمین گرد است پس باید خودش هم کروی شکل باشد‪.‬در حالیکه این نتیجه گیری‬
‫چیزی است که مردم از روی تجربه می دانند‪.‬‬
‫یک مثال عددی‪ :‬چند عدد فرد در نظر بگیرید و از مجذور عدد هایی که بدست می آورید‬
‫ً‬
‫یکی کم کنید‪ ،‬مثال‪:‬‬
‫‪72-1=48 , 112-1=120 , 52-1=24 , 152-1=224‬‬
‫)‪(2n-1)2-1=(2n-1)*(2n-1)-1=4n2 -2n-2n+1-1=4n2-4n=4n(n-1‬‬
‫این مثال ها به ما کمک میکند تا به پدیده های جهان و قوانینی که بر آنها‬
‫حاکمند آگاه شویم‪ .‬بنابراین اثبات دستگاهی از نتیجه گیری هاست که به کمک‬
‫آن‪ ،‬در ستی گزاره ای را که می خواهیم ثابت کنیم از روی اصول و گزاره هایی که‬
‫قبال ثابت شده اند‪ ،‬نتیجه گیری میکنیم‪.‬‬
‫چرا اثبات الزم است؟‬
‫نیاز به اثبات از یکی از قانون های اساس ی منطق سر چشمه میگیرد‪ .‬طبق این‬
‫قانون گفتار ما باید دارای اساس و تکیه گاه و نشانه سازگاری با حقیقت باشد‪.‬‬
‫چنین برهان هایی می تواند شامل استناد به مشاهده و آزمایش ی باشند که درستی‬
‫گفتار ما به وسیله آنها بتواند بررس ی شود(استدالل استقرایی)‪ ،‬و یا از استدالل‬
‫صحیحی متشکل از یک سلسله قضاوت باشد‪(.‬استدالل استنتاجی)‬
‫هدف از اثبات یک گزاره هندس ی عبارتست از تحقیق درستی آن به وسیله‬
‫استنتاج منطقی‪ ،‬از روی واقعیت هایی که از قبل دانسته یا اثبات شده اند‪.‬‬
‫اکنون این پرسش مطرح می شود که ‪:‬‬
‫آیا اگر درستی گزاره ای که می خواهیم ثابت کنیم‪ ،‬به‬
‫خودی خود کامال واضح باشد‪ ،‬باز باید زحمت اثبات‬
‫آن را به خود بدهیم ؟؟؟‬
‫ً‬
‫یک دانش دقیق هیچگاه نمی تواند دائما بر «واضح‬
‫بودن» تکیه کند‪ ،‬زیرا آنچه یک نفر واضح می شمارد‬
‫برای دیگری ممکن است بسیار مشکوک باشد‪.‬‬
‫اثبات صحیح باید چگونه باشد ؟‬
‫در هر اثبات فقط استفاده از ‪ 6‬نوع مالک درستی‪ ،‬مجاز می باشد‬
‫‪ .1‬بنا بر فرض ‪...‬‬
‫‪ .2‬بنا بر اصل ‪...‬‬
‫‪ .3‬بنا بر قضیه ‪( ...‬که قبال اثبات کردیم)‬
‫‪ .4‬بنا بر تعریف ‪...‬‬
‫‪ .5‬بنا بر مرحله ‪( ...‬یکی از مراحل قبل در برهان)‬
‫‪ .6‬بنا بر قاعده ‪ ...‬منطق‬
‫چندین تعریف ‪:‬‬
‫زاویه ‪ :‬به قسمتی از صفحه که بین دو نیم خط متقاطع قرار دارد زاویه‬
‫گوییم‪.‬‬
‫انواع زوایا ‪:‬‬
‫‪𝛼=180‬‬
‫‪𝛼=90‬‬
‫الف) اگر ‪ ، 𝛼 < 90‬زاویه را حاده یا تند می نامیم‪.‬‬
‫ب) اگر ‪ ،180>𝛼>90‬زاویه را منفرجه یا باز می نامیم‪.‬‬
‫ج) اگر ‪ ،𝛼=90‬زاویه را قائمه می نامیم‪.‬‬
‫د ) اگر ‪ ،𝛼=180‬زاویه را نیم صفحه می نمامیم‪.‬‬
‫ه) اگر ‪ ،𝛼=360‬زاویه را صفحه می نامیم‪.‬‬
‫‪𝛼<90‬‬
‫‪𝛼>90‬‬
‫دو زاویه متمم ‪:‬‬
‫دو زاویه که مجموعشان ‪ 90‬درجه است را متمم می نامیم‪.‬‬
‫‪ A,B‬متمم یکدیگرند اگر و فقط اگر‪:‬‬
‫‪A+B=90‬‬
‫متمم زاویه ‪ 90-A ،A‬می باشد‪.‬‬
‫دو زاویه مکمل ‪:‬‬
‫‪ A,B‬مکمل یکدیگرند اگر و فقط اگر ‪:‬‬
‫‪A+B=180‬‬
‫دو زاویه مجاور ‪:‬‬
‫هرگاه دو زاویه دارای راس و ضلع مشترک باشند‪ ،‬آن را مجاور‬
‫گوییم‪.‬‬
‫دو زاویه مجانب ‪:‬‬
‫هرگاه دو زاویه مجاور مکمل یکدیگر باشند‪ ،‬مجانب نامیده می‬
‫شوند‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫مثال)‬
‫اگر مکمل زاویه ای ‪ 3‬برابر متمم آن باشد‪ ،‬آنگاه اندازه این زاویه‬
‫را تعیین کنید‪.‬‬
‫)‪180-A=3(90-A‬‬
‫‪180-A=270-3A‬‬
‫‪2A=90‬‬
‫‪A=45‬‬
‫مثال)‬
‫اگر مکمل های دو زاویه متمم یکدیگر باشند و تفاضل این دو‬
‫زاویه ‪ 70‬درجه باشد‪ ،‬آنگاه آن دو را بدست آورید‪.‬‬
‫تمرین‪:‬‬
‫‪ )1‬اگر مجموع دو زاویه ‪ 120‬باشد آنگاه مجموع مکمل های آن چقدر‬
‫است‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )2‬اگر متمم زاویه ای مکمل آن باشد‪ ،‬مقدار آن را بیابید‪.‬‬
‫𝛼 𝛼‪4‬‬
‫و‬
‫‪3 2‬‬
‫‪ )3‬اندازه دو زاویه مجاور‬
‫باشد‪ ،‬تقاضل دو زاویه را بیابید‪.‬‬
‫‪ )4‬اگر جمع دو زاویه ‪ 130‬باشد مجموع مکمل های آن را بیابید؟‬
‫‪)5‬دو زاویه متمم یکدیگرند و اندازه یکی از زوایا از دو برابر اندازه زاویه دیگر‬
‫‪ 30‬درجه کمتر است‪ .‬تفاضل دو زاویه کدام است؟‬
‫زاویه بین نیمساز های آن ‪ 110‬درجه‬
‫‪4‬‬
‫یکدیگرند‪ .‬اندازه زاویه ‪،A‬‬
‫‪9‬‬
‫‪)6‬دو زاویه ‪ A,B‬متمم‬
‫است‪ .‬هر دو زاویه را بدست آورید‪.‬‬
‫اندازه مکمل زاویه ‪B‬‬
‫اوضاع نسبی دو خط ‪:‬‬
‫الف) موازی ‪ :‬هیچ نقطه مشترکی با هم ندارند یا بر هم منطبقند‪.‬‬
‫ب) متقاطع ‪ :‬هر گاه دو خط با هم موازی نباشند‪ ،‬آنگاه حتما متقاطعند‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫'‪d‬‬
‫'‪d‬‬
‫'‪d,d‬‬
‫زاویه متقابل به راس ‪:‬‬
‫دو خط متقاطع ‪ 4‬زاویه دوبه دو برابر ایجاد می کنند‪.‬‬
‫(اثبات ؟؟؟)‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫خطوط موازی و مورب ‪:‬‬
‫اگر دو خط موازی ˊ‪ d,d‬را خط ˝‪ d‬قطع کند‪ ،‬هشت زاویه به وجود می‬
‫آورد که که ‪ 4‬زاویه حاده با هم و ‪ 4‬زاویه منفرجه با هم برابر خواهند بود‪:‬‬
‫(اثبات از راه برهان خلف‪ -‬عکس قضیه نیز برقرار است)‬
‫‪1‬‬
‫‪1=2=3=4‬‬
‫‪5=6=7=8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫مثال)‬
‫در شکل مقابل ‪ x=3a+17‬و )‪ a ، y=4(a-3‬کدام است؟‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫مثال )‬
‫در شکل مقابل اگر ˊ‪ d‖d‬باشد‪ A+α + β ،‬را بیابید‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫𝛼‬
‫‪A‬‬
‫𝛽‬
‫ˊ‪d‬‬
‫انواع چند ضلعی‪:‬‬
‫مثلث ‪ :‬سه خط که دو به دو یکدیگر را در سه نقطه متمایز قطع‬
‫می کنند‪ ،‬ناحیه ای به وجود می آورند که مثلث نامیده می شود‪.‬‬
‫●مجموع زوایای داخل مثلث ‪ 180‬درجه است (اثبات)‬
‫(راهنمایی‪ :‬خطی موازی با ‪ BC‬رسم کنید)‬
‫●اگر یک ضلع مثلث را امتداد دهیم‪ ،‬امتداد آن با ضلع دیگر‬
‫زاویه ای می سازد که آن را زاویه خارجی می نامند‪.‬‬
‫ثابت کنید هر زاویه خارجی مثلث برابر است با مجموع دو زاویه‬
‫داخلی غیر مجاور آن‪.‬‬
‫●نشان دهید مجموع زوایای خارجی هر مثلث ‪ 360‬درجه است‪.‬‬
‫مثال)‬
‫در شکل زیر ثابت کنید‪:‬‬
‫𝐷‪𝐴1 +𝐶1 =𝐵+‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫مثال)‬
‫در شکل مقابل ‪ AD=BD=BC‬ثابت کنید‪:‬‬
‫𝐸𝐶𝐴 ‪𝐴𝐷𝐸= 3‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫تمرین)‬
‫‪ 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 )7‬را بیابید‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )8‬در شکل مقابل 𝑌 ‪ 𝑋 +‬را بیابید‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫‪X‬‬
‫‪25‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪ X )9‬را بر حسب ‪ A,B,C‬بیابید‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫𝐴‬
‫‪B‬‬
‫𝐶‬
C
A
𝐵1
60
𝐶
2
.‫𝐵 را پیدا کنید‬2 − )10
)AB‖CD , AE‖CB(
𝐵2
‫اجزای فرعی مثلث‪:‬‬
‫نیمساز‪ ،‬ارتفاع‪ ،‬میانه‪ ،‬عمود منضف‬
‫نیمساززاویه ‪ :‬خطی است که آن زاویه را به دو زاویه مساوی‬
‫تقسیم کند‪.‬‬
‫𝑌𝑂𝑀 = 𝑀𝑂𝑋‬
‫نکته ‪ :‬نیمساز در مثلث را با‬
‫‪ d‬نشان می دهند‪ ،‬یعنی‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪M‬‬
‫‪o‬‬
‫‪y‬‬
‫مثال)‬
‫ثابت کنید نیمساز داخلی و نیمساز خارجی هر زاویه از مثلث بر هم‬
‫عمودند‪.‬‬
‫مثال)‬
‫ثابت کنید هر نقطه روی نیمساز یک زاویه که در نظر بگیریم فاصله‬
‫آن از دو ضلع برابر است‪.‬‬
‫در شکل مقابل ثابت کنید‪:‬‬
‫𝐴‬
‫‪𝑂 = 90 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫در شکل مقابل ثابت کنید‪:‬‬
‫𝐴‬
‫=𝑂‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫در شکل مقابل اگر ‪ OB‬و ‪ OC‬نیمسازهای خارجی زوایای ‪ B‬و ‪ C‬باشند‪،‬‬
‫‪A‬‬
‫آنگاه ثابت کنید ‪:‬‬
‫𝐴‬
‫‪𝑂 = 90 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫ارتفاع ‪ :‬خطی که از هر راس مثلث بر‬
‫ضلع روبروی آن عمود می شود‪.‬‬
‫𝒂𝒉=‪AH‬‬
‫𝒃𝒉=ˊ‪BH‬‬
‫𝒄𝒉=˝‪CH‬‬
‫میانه‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ˊ‪H‬‬
‫˝‪H‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫میانه ‪:‬‬
‫ثابت کنید در هر مثلث میانه ها به نسبت زیر تقسیم می شوند‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫(اختیاری)‬
‫𝑮𝑪 𝑮𝑩 𝑮𝑨‬
‫‪N‬‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟐=‬
‫‪G‬‬
‫𝑷𝑮 𝑵𝑮 𝑴𝑮‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫∎تمرین )‬
‫ثابت کنید عمود منصف‪ ،‬نیمساز‪ ،‬ارتفاع‪ ،‬میانه در مثلث‬
‫همرسند‪(.‬اختیاری)‬
‫مثال )‬
‫ثابت کنید هر نقطه روی عمود منصف از دو سر پاره خط به یک‬
‫فاصله است‪.‬‬
‫همنهشتی در مثلث ‪:‬‬
‫الف ‪ :‬هر گاه دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی به ترتیب با دو ضلع و‬
‫زاویه بین از مثلث دیگری برابر باشد‪ ،‬انگاه همنهشتند‪(.‬ض ز ض)‬
‫ˊ‪A‬‬
‫ˊ‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ˊ‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫اقلیدس سعی کرده است آن را به عنوان قضیه ثابت کند‪ ،‬برهان او چنین است‪:‬‬
‫مثلث ˊ‪ AˊBˊC‬را چنان حرکت می دهیم که نقطه ˊ‪ A‬بر نقطه ‪ A‬و ضلع ˊ‪AˊB‬‬
‫بر ضلع ‪ AB‬قرار گیرد‪ .‬چون ˊ‪ AB=AˊB‬است‪ ،‬لذا نقطه ˊ‪ B‬باید بر ‪B‬‬
‫منطبق باشد‪.‬چون قرار گیرد و ‪ˊCˊA‬باید بر خط ‪CA‬پس خط ˊ𝐴 = 𝐴‬
‫چون ˊ‪ ،AC=AˊC‬نقطه ˊ‪ C‬باید بر ‪ C‬منطبق شود‪ .‬بنابراین ضلع ˊ‪ BˊC‬بر‬
‫ضلع ‪ BC‬و بقیه زاویه ها بر هم منطبق خواهند شد و در نتیجه مثلث ها‬
‫همنهشت می شوند‪.‬‬
‫همنهشتی در مثلث ‪:‬‬
‫ج) اگر دو زاویه و ضلع بینی از مثلثی با اجزا نظیرش از مثلث دیگر برابر‬
‫باشد‪ ،‬آن دو مثلث همنهشتند‪(.‬ز ض ز)‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫ˊ‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ˊ‪C‬‬
‫ˊ‪B‬‬
‫همنهشتی در مثلث ‪:‬‬
‫ب) هرگاه سه ضلع از مثلثی با ‪ 3‬ضلع از مثلث دیگر برابر باشد‪،‬‬
‫آن دو مثلث هم نهشتند‪(.‬ض ض ض)‬
‫ˊ‪A‬‬
‫ˊ‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ˊ‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫هم نهشتی در مثلث قائم الزاویه ‪:‬‬
‫‪ )1‬وتر و یک زاویه حاده‬
‫‪ )2‬وتر و یک ضلع قائمه‬
‫(اثبات اختیاری)‬
‫مثال )‬
‫پاره خطی که وسط های دو ضلع مثلثی را به هم وصل می کند‪ ،‬موازی‬
‫ضلع سوم و اندازه آن نضف ضلع سوم است وبر عکس‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫انواع مثلث‪:‬‬
‫الف) متساوی الساقین‬
‫ب) متساوی االضالع‬
‫ج) قائم الزاویه‬
‫د)‪...‬‬
‫مثلث متساوی الساقین‪:‬‬
‫ثابت کنید در این مثلث زاویه های مجاور به ساق ها با هم‬
‫برابرند‪.‬‬
‫تمرین)‬
‫‪ )10‬در شکل زیر ‪ AB=AC‬و زاویه برابر ‪ 30‬درجه است‪ ،‬گر زاویه ‪ X‬برابر‬
‫‪A‬‬
‫چیست؟‬
‫‪30‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ )11‬در شکل دو مربع وجود دارد‪ 𝐷𝐹𝐷´ ،‬را پیدا کنید‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫´‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫تمرین)‬
‫‪ )12‬در شکل ‪ AB=AC‬و ‪ CE=CD‬ثابت کنید 𝐹𝐷𝐴‪𝐴𝐹𝐷=3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ ( 13‬در شکل مقابل ‪ ، AE=DF‬زاویه 𝐵𝑀𝐴‬
‫را پیدا کنید‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫تمرین)‬
‫‪ )14‬در شکل مقابل اگر ‪ AD‬نیمساز خارجی راس ‪A‬باشد‪ ،‬زاویه ‪ X‬را‬
‫بیابید‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ )15‬با توجه به شکل مقابل زاویه ‪ X‬را بیابید‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪70‬‬
‫‪30‬‬
‫‪B‬‬
‫‪60‬‬
‫‪X‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫ثابت کنید در هر مثلث متساوی الساقین طول نیمساز ارتفاع و‬
‫میانه وارد بر ساق ها با هم برابرند‪.‬‬
‫نیمساز‪:‬‬
‫ارتفاع ‪:‬‬
‫میانه‪:‬‬
‫مثلث قائم الزاویه ‪:‬‬
‫میانه وارد بر وتر نصف وتر است‪.‬‬
‫مثلث متساوی الضالع ‪:‬‬
‫‪60‬‬
‫ارتفاع ها نیمساز ها و میانه ها با هم برابرند‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫در کدام مثلث جمع دو زاویه خارجی‪ 3 ،‬برابر زاویه داخلی غیر‬
‫مجاور آنهاست‪.‬‬
‫‪ AX‖BY‬نیمساز ‪ AC‬و ‪ BC‬از ‪ C‬بر ‪ AX‬و ‪ BY‬عمود شده‬
‫است‪ ،‬ثابت کنید‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪AB=AM+BN‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪y‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫در مثلث ‪ ABC‬از نقطه ‪ A‬خطی موازی ‪ BC‬رسم می کنیم تا‬
‫نیمساز های زاویه های ‪ B‬و ‪ C‬به تز تیب در ‪ M‬و ‪ N‬قطع شوند‪.‬‬
‫ثابت کنید‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪MN=AB+AC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫در مثلث ‪ AB=AC ، ABC‬است‪ .‬نیمساز زاویه ‪ B‬با ضلع ‪BC‬‬
‫‪A‬‬
‫مساوی است‪ ،‬زاویه ‪ A‬چند درجه است؟‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ثابت کنید در مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف وتر است‬
‫ثابت کنید در مثلث قائم الزاویه ‪،‬ضلع روبرو به زاویه ‪ 30‬درجه نصف وتر‬
‫است و بر عکس‪).‬روبرو به زاویه ‪60‬‬
‫‪√3‬‬
‫درجه‬
‫‪2‬‬
‫وتر(‬
‫‪30‬‬
‫اگر یک زاویه از مثلث قائم الزاویه ‪ 15‬درجه باشد‪ ،‬آنگاه ارتفاع‬
‫‪1‬‬
‫وارد بر وتر‬
‫‪4‬‬
‫است‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫نقطه ‪ O‬داخل مثلث ‪ ABC‬محل برخورد ارتفاع های مثلث می‬
‫باشد‪ .‬اگر ‪ OA=BC‬زاویه ‪ A‬را بیابید‪.‬‬
‫تمرین )‬
‫‪)16‬در مثلث ‪ ABC‬داریم ‪ . 𝐵 − 𝐶 = 40‬حال زاویه بین‬
‫نیمساز و ارتفاع وارد بر ‪ BC‬را پیدا کنید‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ )17‬در شکل مقابل ‪ AB=AC‬است‪ A .‬را پیدا کنید‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫تمرین)‬
‫‪ )17‬در شکل مقابل اگر ‪ 𝐴 = 80‬است‪ .‬اندازه زاویه ‪ 𝐷1‬را بیابید‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )18‬در مثلث قائم الزاویه نشان دهید نیمساز‬
‫وارد بر وتر همان نیمساز زاویه بین میانه وارد‬
‫بر وتر و ارتفاع وارد بر وتر است‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫چند (‪ )n‬ضلعی شکلی است شامل اجتماع چندین(‪ )n‬پاره خط که آنها را‬
‫ضلع مینامیم ‪....‬‬
‫الف) کوژ (محدب) ‪ :‬امتداد هر ضلع اضالع فقط به نقاط ابتدا و انتهای‬
‫هر ضلع برخورد کند‪n(.‬ضلعی که همه زوایای آن کمتر از ‪ 180‬درجه‬
‫باشد)‬
‫ب) کاو (مقعر) ‪ n :‬ضلعی ای که کوژ نباشد‪.‬‬
‫مقعر‬
‫محدب‬
‫مجموع زوایای داخلی ‪ n‬ضلعی محدب ‪:‬‬
‫با استفاده از مجموع زوایای داخلی مثلث بدست می آوریم‪:‬‬
‫مجموع زوایای خارجی در هر ‪ n‬ضلعی محدب‪:‬‬
‫مجموع زوایای داخلی هر ‪ n‬ضلعی محدب‬
‫برابر ‪ (n-2)180‬است‪ .‬اگر مجموع زوایای‬
‫خارجی را ‪ A‬فرض کنیم‪ ،‬چون در هر راس‪،‬‬
‫زاویه داخلی و خارجی تشکیل یک نیم صفحه می دهند‬
‫لذا‪:‬‬
‫‪A+(n-2)*180=n*180‬‬
‫‪A=360‬‬
‫تمرین‪:‬‬
‫‪ )1‬ثابت کنید در هر ‪ n‬ضلعی منتطم هر زاویه داخلی از رابطه‬
‫محاسبه می شود‪.‬‬
‫‪ )2‬نشان دهید در هر ‪ n‬ضلعی تعداد قطر ها‬
‫)‪𝑛(𝑛−3‬‬
‫برابر ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑛−2 180‬‬
‫𝑛‬
‫‪ )19‬مثلث ‪ ABC‬که در آن زاویه ‪ B‬منفرجه و مساوی دو برابر‬
‫زاویه ‪ C‬است‪ ،‬ر ادر نظر می گیریم و ارتفاع ‪ AH‬را رسم می کنیم‬
‫و روی ضلع ‪ AB‬ابتدا از ‪ B‬پاره خط ‪ BD‬را مساوی ‪ BH‬جدا‬
‫میکنیم ‪ .‬ثابت کنید ‪ E‬وسط ‪ AC‬است‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪)20‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫متوازی االضالع‪:‬‬
‫چهار ضلعی که اضالع روبروی آن دو به دو موازی یکدیگر باشند‪(.‬موازی‬
‫‪A‬‬
‫باشند مساوی هم می شوند‬
‫‪B‬‬
‫چرا ؟)‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫اگر هر یک از موارد زیر در یک ‪ 4‬ضلعی برقرار باشد ‪ ،‬آنگاه آن ‪ 4‬ضلعی‬
‫متوازی االضالع است‪:‬‬
‫الف) قطر ها همدیگر را نصف کنند‬
‫ب) اضالع روبرو مساوی‬
‫ج) فقط دو ضلع روبرو موازی و مساوی‬
‫د) زاویه های روبرو مساوی‬
‫ه) هر دو زاویه مجاور مکمل هم باشند‬
‫(هر یک از موارد فوق نیاز به اثبات دارد)‬
‫ثابت کنید وسط های اضالع یک ‪ 4‬ضلعی راس های یک متوازی‬
‫االضالع هستند‪.‬‬
‫لوزی ‪:‬‬
‫متوازی االضالعی که ‪ 4‬ضلعش با هم برابرند‪.‬‬
‫مستطیل ‪:‬‬
‫متوازی االضالعی که یک زاویه قائمه دارد‪.‬‬
‫مربع ‪:‬‬
‫مستطیلی است که اضالعش با هم برابر باشند‪.‬‬
‫درستی چند قضیه زیر را برس ی می کنیم ‪:‬‬
‫‪ )1‬در هر لوزی قطر ها بر هم عمودند و روی نیمساز زاویه ها قرار دارند‪.‬‬
‫‪ )2‬متوازی االضالع تحت هر یک از شرایط زیر لوزی است‪:‬‬
‫الف‪ -‬قطر ها بر هم عمد باشند‪.‬‬
‫ب‪ -‬قطر ها روی نیمساز زاویه ها قرار داشته باشند‪.‬‬
‫‪ )3‬در هر مستطیل قطر ها با هم برابرند‪.‬‬
‫‪ )4‬مستطیلی که قطر های آن بر هم عمود باشند‪ ،‬مربع است‪.‬‬
‫‪ )5‬مستطیلی که قطر های آن زاویه هایش را نصف کند مربع است‪.‬‬
‫‪ )6‬لوزی که دو زاویه مجاور آن مساوی باششن‪ ،‬مربع است‪.‬‬
‫‪ )7‬لوزی که قطر های آن برابر باشند مربع است‪.‬‬
‫در مثلث ‪ ABC‬میانه ‪ BM‬به اندازه خودش تا ˊ‪ M‬و میانه ‪CN‬‬
‫را به اندازه خودش تا ˊ‪ N‬امتداد می دهیم‪ ،‬ثابت کنید‪:‬‬
‫الف ) نقاط ˊ‪ A,Mˊ,N‬در یک امتداد هستند‪.‬‬
‫ب) ˊ‪ANˊ=AM‬‬
‫ذوزنقه ‪:‬‬
‫چهار ضلعی است که فقط دو ضلع آن موازیند‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫قاعده‬
‫کوچک‬
‫‪A‬‬
‫الف) زاویه های مجاور به هر ساق مکمل اند‪.‬‬
‫ب) اگر ‪ AD=BC‬ذوزنقه را متساوی الساقین‬
‫می نامیم‪ .‬آنگاه ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ )1‬زاویه های مجاور به ساق با هم برابر‬
‫قاعده بزرگ‬
‫می شوند‪.‬‬
‫‪ )2‬قطر ها برابر می شوند‪.‬‬
‫ج) ذوزنقه قائم الزاویه ذوزنقه ای است که یکی از ساق های آن بر دو‬
‫قاعده عمود باشد‪.‬‬
‫ساق‬
‫ساق‬
‫‪D‬‬
‫پاره خط میانگین در ذوزنقه ‪:‬‬
‫اوساط دو ساق ذوزنقه را به هم وصل کرده‪ ،‬پاره خط حاصل ‪،‬‬
‫موازی دو قاعده و نصف مجموع دو قاعده است‪.‬‬
‫در شکل مقابل 𝐸 ‪ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 +‬چقدر است؟‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫در شکل زیر 𝐹 ‪ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 +‬چقدر است؟‬
‫در شکل مقابل ‪ AB=AD‬است زاویه ‪ x‬را بر حسب ‪C‬و‪B‬بیابید‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ )21‬ثابت کنید زاویه بین هر دو نیمساز مجاور در ‪ 4‬ضلعی محدب‬
‫برابر است با نصف جمع دو زاویه دیگر‪.‬‬
‫تمرین)‬
‫‪)14‬‬