Transcript Document
ساختمان های هندسی 1 در این فصل با ساختمان های هندسی با روش های زیر آشنا شویم خط:کش با دو لبه موازی (دو خط راست موازی با میبه کمک 2 فاصله ثابت) به کمک زاویه قائمه متحرک به کمک زاویه دلخواه متحرک به کمک خط کش و پاره خط ثابت (مقیاس طول) به کمک نیمساز نگار در این فصل ،همه جا فرض بر این است که می توانیم خط های راست را رسم کنیم. 3 -1ساختمان های هندسی به کمک خط کشی که دولبه موازی دارد (دو خط راست موازی با فاصله ثابت )a a رسم خط های راست عمود برهم می خواهیم خطی عمود از نقطه pواقع بر خط راست gرسم کنیم. روش :از نقطه ،pخط راست دلخواه hرا رسم کنید . h g 4 p خط کش را دوبار در دو طرف آن قرار دهید؛ h g A p a a 5 سپس خط کش را در صفحه شکل جابه جا کنید تا یکی از لبه های آن از pو لبه دیگرش از Aبگذرد. خط راست PBعمود بر خط gاست. B h g A p a a 6 تقسیم کردن زاویه به دو قسمت برابر ،یا چند برابر کردن زاویه: اگر بخواهیم زاویه MSNرا نصف کنیم ،به ترتیبی عمل می کنیم که در شکل زیر نشان داده شده است: خط SXنیمساز زاویه MSNاست. N X M a S 7 برای دو برابر کردن زاویه ،MSNابتدا خط کش را بر خط راست SMقرار دهید و نقطه pرا بدست آورید؛ سپس خط کش را طوری جابه جا کنید که یکی از لبه های آن از نقطه pو دیگری از نقطه s بگذرد .شکل SQPRلوزی است. XSM =2 NSM x N p Q M R S 8 رسم خط راست از نقطه مفروض ،به نحوی که با خط راست مفروض،زاویه ای برابر با زاویه دیگری که مقدار و موقعیت آن معلوم است ،بسازد. زاویه ASBو خط راست Lو نقطه pمفروض است ،می خواهیم از نقطه pخط راستی رسم کنیم که با خط راست Lزاویه ای برابر با زاویه ASBبسازد. A L B α α p 9 S خط راست ’ SLرا موازی Lوسپس نیمساز hاز زاویه ’ ASLرا رسم کنید. h L A B β α α p ’L 10 S سپس طبق قضیه قبل با دو برابر کردن زاویه ، βخط ’ Xبدست می آید. همچنین با دو برابر کردن زاویه ’ X’SLخط ’ Yبدست می آید. L A h B α p ’X β α β α ’L ’Y 11 α S فرض می کنیم می توان با خط کش دو لبه ،خطوط موازی را رسم کرد. بنابر این اگر خط موازی خط ’ SXو ’ SYرا رسم کنیم ؛ تا خط Lرا قطع کنند،خطوط خواسته شده بدست می آیند. A h B ’X L β α α p α ’L ’Y 12 α β α S رسم پاره خط راست از نقطه مفروض ،به نحوی که با پاره خطی که اندازه و موقعیت آن معلوم است ،برابر باشد. خط راست gو نقطه Mواقع بر آن و همچنین ،پاره خط ABمفروض اند.نقطه Xرا برg طوری پیدا کنید که داشته باشیم MX=AB : A X M B g 13 ابتدا از نقطه Mخطی به موازات ABرسم می کنیم؛ و نقطه Aرا به Mوصل می کنیم. به موازات آن خطی از Bرسم می کنیم تا خط tرا در ’ Aقطع کند. A M B ’A g t 14 سپس نیمساز زاویه gMtرا رسم می کنیم؛ A M B ’A g t 15 h سپس خطی به موازات خط ، hاز نقطه ’ Aرسم می کنیم تا خط gرا در نقطه Xقطع کند. AB=MX X A M B ’A g t 16 h اکنون به بررس ی مسأله عمده زیر می پردازیم تا بتوانیم ثابت کنیم که به کمک خط کش دو لبه می توان همه مسائل ساختمانی را حل کرد پیدا کردن نقطه برخورد خط راست با دایره می خواهیم نقطه های X1و ، X2برخورد خط راست gرا با دایره ای به مرکز Mو شعاع MAپیدا کنیم. MA M g X2 17 X1 خط راست gو پاره خط MAموازی با gرا مفروض می گیریم؛ یک لبه خط کش را روی خط راست MAمی گذاریم و و خط راست ’ gرا بدست می آوریم ؛ اکنون خط راست دلخواه MBرا رسم می کینم که gرا در نقطه Bو ’ gرا در نقطه ’B قطع می کند؛ بعد خط راست ’ A’Bرا موازی خط راست ABمی کشیم. A ’A M a ’B B 18 ’g g اکنون اگر خط کش را در صفحه شکل جابه جا کنیم تا یکی از لبه های آن بر Mو دیگری بر’ Aقرار گیرد ( به دو طریق انجام می شود) نقطه های مجهول X1و X2بدست می آید. A ’A M ’g ’B B 19 X2 X1 g اثبات: شکل های MA’DX’2و MA’CX’1لوزی اند X’1.و X’2نقطه های برخورد خط راست ’ gبا دایره (’ M)Aهستند .بنابر این X1 ،و X2نقطه های برخورد خط راست gبا دایره هم مرکز) ، M(Aخواهند بود. A D B 20 ’A ’X’2 B X2 M C X’1 ’g X1 g بنابراین ،هر مسأله ساختمانی درجه دوم را می توان به کمک خط کش دو لبه موازی حل کرد. 21 -2ساختمان های هندسی ،به کمک زاویه قائمه تنها وسیله ای که در این بند برای رسم مورد استفاده قرار می گیرد ،زاویه قائمه متحرک است ً (که مثال از چوب ساخته شده باشد). در این جا هم ،نتیجه خواهیم گرفت که ،به کمک این وسیله، می توان هر مسأله درجه دوم را در هندس ی حل کرد. 22 رسم خطوط موازی خط gمفروض است ؛ می خواهیم خط ’ gرا موازی آن رسم کنیم. ابتدا عمودها را رسم کنید. ’g g 23 چند برابر کردن و تقسیم کردن یک پاره خط فرض کنید بخواهیم پاره خط ABرا سه برابر کنیم . خط gرا از نقطه Aدر جهت دلخواه رسم کنید، عمود hرا بر ABبسازید و همان طور که در شکل می بینید ،ادامه دهید. g AD=3 AB C B D 24 h A تقسیم پاره خط به دو بخش مساوی یکی از ضلع های زاویه را روی پاره خط ABمی گذاریم و خط ’ gرا می کشیم؛ به همین ترتیب خط gرا نیز رسم می کنیم. و به همین ترتیبی که در شکل نشان داده شده است ،پیش می رویم: AX=1/2 AB ’g g B 25 X A رسم خط های راست عمود بر هم مستقیما بدست می آید. ’g g 26 دو برابر کردن و نصف کردن زاویه اگر بخواهیم زاویه ASBرا دو برابر کنیم ؛ ابتدا ACرا عمود بر SBرسم کرده ، سپس CDرا برابر ACجدا می کنیم. D B C α α A 27 S برای نصف کردن زاویه ASC BS=ASرا جدا می کنیم ، سپس زاویه قائمه را در صفحۀ شکل طوری جا به جا می کنیم که ضلع های زاویه از نقطه های Aو Bبگذرند و راس آن بر ضلع دوم زاویۀ αواقع باشد. خط راست ، xکه موازی BCرسم می شود ،همان نیمساز مجهول است. C x α 28 A S B از نقطه مفروض ،pخط راست xرا طوری رسم کنید که با خط راست مفروض ، lزاویه ای برابر با زاویه ASBکه از نظر اندازه و موقعیت مفروض است ،بسازد. B A α S p l 29 α x خط راست ’ lرا موازی ، lاز Sبگذرانید، روی aنقطه دلخواه Aرا انتخاب کنید و عمود های ABو ACرا به ترتیب ،بر bو’l فرود آورید ؛ سپس نقطه های Bو Cرا به هم وصل کنید و از Sعمود SDرا بر BCفرود آورید . خط راست مجهول ، xبا SDموازی است. b B a A p x α α δ D β l C 30 ’l S اثبات : ABSCیک چهارضلعی محاطی است ،بنابر این . α = δ و ، δ=βزیرا ضلع های عمود بر هم دارند α =β b B a A p x α α δ D β l C 31 ’l S پاره خط ، ABخط راست gو نقطه Oواقع بر gمفروض اند. روی gنقطه Xرا طوری پیدا کنید که داشته باشیم OX=AB خط ’ gرا از نقطه Oبه موازات ABرسم می کنیم. سپس OC=ABجدا می کنیم؛ و OD=OCقرار می دهیم؛ سپس زاویه قائمه را مانند شکل قرار می دهیم. B ’g A C OX=AB 32 g X O D حال به مسأله عمده زیر می پردازیم: خط راست gو پاره خط ، MAموازی با gداده شده است . می خواهیم X1و ، X2نقطه های برخورد خط راست gرا با دایرۀ به مرکز Mو شعاع MAپیدا کنیم. ابتدا به اندازه MAاز طرف Mامتداد می دهیم . سپس زاویه قائمه را طوری قرار میدهیم که ضلع هایش از Aو Bبگذرد و راس آن روی g باشد(.دو حالت) A g 33 X1 M B X2 مثلث ABCمفروض است .می خواهیم تنها به کمک زاویۀ قائمه ،نقطۀ ، Oمرکز دایرۀ محیطی مثلت ABCرا پیدا کنیم. از نقطه Aعمودی بر ضلع ACو از نقطه Bعمودی بر ضلع BCرسم کنید؛ خط راستی که نقطه برخورد عمودها را به Cوصل می کند ،از نقطه مجهول Oمی گذرد. A C 34 B -3ساختمان های هندسی ،به کمک زاویه دلخواه α α در این بند ،فرض ما بر این است که تنها یک وسیله برای رسم در اختیار داریم :زاویه متحرک ( αکه مثال از چوب ساخته شده است)؛ αمی تواند هر اندازه دلخواهی ،به جز 180درجه داشته باشد. ثابت خواهیم کرد که ،تنها به کمک همین وسیله ،می توانیم هر مسأله درجه دوم هندسه را حل کنیم . برای اثبات این حکم ،باید ثابت کنیم که هر شش مسأله مقدماتی و سپس مسأله اصلی (عمده) را می توان به کمک این وسیله حل کرد. 35 رسم خط های موازی شکل زیر را دنبال کنید: α ’g ’g || g α g 36 چند برابر کردن یا تقسیم کردن یک پاره خط در شکل زیر نشان داده می شود که چگونه می توان پاره خط ABرا سه برابر کرد. زاویه αرا در نقطه های Aو Bقرار دهید تا نقطه Pبدست آید ، سپس از نقطه Pخط راستی موازی ABرسم کنید ؛ سر انجام ،نقطه های ’ D، P’’، C ، Pبدست می آید. ’’P α α α α D AD=3 AB 37 ’P α C P α α α B α A شکل زیر نشان می دهد که چگونه می توان پاره خط ABرا نصف کرد. P X α B α α ’P 38 α A رسم عمود راه حل مانند شکل قبل است. P α α A B α α ’P 39 خط راست ،gنقطۀ Oو پاره خط ABمفروض است. نقطه Xرا روی gطوری پیدا کنید که داشته باشیم OX=AB : طبق شکل نقطه های E ،D ، Cرا پیدا می کنیم. تمام زوایای مشخص شده برابر αاست. سپس زاویه αرا روی صفحه شکل طوری قرار دهید که ضلع های آن از Eو Cبگذرد و رأس آن بر gباشد. A B x O C D E 40 زاویه ای را نصف یا چند برابر کنید: برای نصف کردن: ابتدا نقطه دلخواه Aرا روی ضلع زاویه مفروض انتخاب کنید ؛ به همان اندازه ،نقطه Bرا روی ضلع دیگر جدا کنید. α B α A 41 S برای دو برابر کردن زاویه ابتدا نقطه Mرا روی ضلع SAانتخاب کنید و سپس با تکرار قرار دادن زاویه ، αنقطه های Nو Oو pرا بدست آورید. تمام زوایای مشخص شده ،برابر αاست. p A M O B 42 N S حال مسأله کلی زیر می پردازیم: خط راست gو پاره خط ، MAموازی ، gمفروض اند. می خواهیم X1و ، X2نقطه برخورد خط راست gرا با دایرۀ به مرکز Mو شعاع MAبیابیم. A g 43 M با چند بار استفاده از زاویه ، αلوزی MABCرا بسازید . اکنون اگر زایه αرا در صفحۀ شکل طوری قرار دهید که ضلع های آن از نقطه های Aو Cبگذرند و راس آن بر خط gواقع باشد ،آنگاه نقاط مجهول بدست می آیند. C B A g 44 X2 M X1 - 4ساختمان های هندسی به کمک خط کش یک لبه و پاره خط ساده عمل های مورد استفاده در این جا ،عبارتند از :رسم خط های راست و انتقال یک پاره خط این پاره خط قابل انتقال را تنها می توان روی پاره خطی که رسم شده است و از نقطۀ مفروض ی واقع بر آن ،قرار داد. 45 رسم عمود می خواهیم عمودی بر خط راست aرسم کنیم . نقطه دلخواه Aرا روی aانتخاب و این پاره خط ها را می سازیم: ( AB=AC=AD=AE=1برابر با طول مقیاس ) و BD ،و CEرا رسم می کنیم ،خط راست FHبر aعمود است ،زیرا BEو CDارتفاع های مثلث BCHهستند. H D E F a 46 C A B روی خط راست مفروض ،زاویه مفروض را بسازید. خط راست ، Lزاویه BSA= αو نقطه Pرا مفروض می گیریم .می خواهیم از نقطه P خط راست رسم کنیم که با خط راست Lزاویه برابر αبسازد . از نقطه ،Sخط راست ’ Lرا موازی Lرسم می کنیم؛ سپس ،از نقطه دلخواه Aواقع بر یکی از ضلع های زاویه ، αعمود های ABو ACرا فرود می آوریم . اکنون اگر SDرا عمود بر BCرسم کنیم ،زاویه αبوجود می آید. B A D S C ’L 47 L P پاره خط معینی را روی خط راست مفروض و از نقطه مفروض جدا کنید. نقطه pواقع بر gمفروض اند .می خواهیم نقطه xرا بر gطوری پیدا کنیم که داشته باشیم XP=AB : مقیاس را ،که ممکن است برابر پاره خط ABنباشد ،برابر واحد می گیریم ؛ A B g 48 p x خط راست PQرا ،موازی ABرسم می کنیم و نقطه های Cو Dرا ،به کمک مقیاس ،به دست می آوریم ؛ سپس QXرا موازی CDمی کشیم (.فرض :می توانیم خطوط موازی را رسم کنیم). در این صورت PXبرابر ABخواهد بود. X D 1 Q P 1 C B 49 A زاویه مفروض ی را نصف یا دوبرابر کنید: دوبرابر کردن زاویه: از نقطه واقع بر یکی از ضلع های زاویه ،عمودی بر ضلع دیگر رسم می کنیم و سپس این عمود را به اندازه خودش امتداد می دهیم. 50 نصف کردن زاویه : فرض کنید بخواهیم زاویه MANرا نصف کنیم .اگر این پاره خط ها رابسازیم BA=BC=DA=DE=1: آن وقت خط راست AFهمان نیمساز مجهول است. M C B F A N 51 E D با این وسیله های محدود توانستیم مسائل مقدماتی را حل کنیم ،اما مسأله کلی که پیدا کردن نقاط برخورد دایره با یک خط راست است ،را نمی توانیم حل کنیم. با این وسیله های محدود ،چه مساله هایی را می توان حل کرد؟ )1اگر....،c ،b ،aپاره خط های مفروض ی باشند ،به کمک رسم خط های راست وانتقال پاره خط ها ،می توان این عبارت ها را رسم کردa.b/c : a-b a+b (که برای آنها تنها باید از کنار هم گذاشتن پاره خط ها ورسم خط های راست موازی استفاده کرد) و هم عبارت √a²+b² که با ساختن زاویه قائمه و پهلوی هم گذاشتن پاره خط ها بدست می آید. 52 هم چنین عبارت w=√x²+y²+z²را هم می توان ساخت. که برای رسم آن ابتدا u= √x²+y²و سپس w= √ u ²+z²را می سازیم. به کمک این وسیله های محدود رسم ،می توان عبارت v=a √ n در واقع v= √a²+ a²+…+ a² را می توان به کمک رسم عمودها و پهلوی هم گذاشتن پاره خط ها ،بدست می آورد. 53 مثال ،می توان پاره خط زیر را رسم کرد: x=a√33-12√2 زیرا X=√)4a)²+(2a√2-3a)² ابتدا پاره خط 2a √2را به عنوان وتر مثلث قائم الزاویه ای که هر کدام از ضلع های مجاور به زاویه قائمه آن برابر 2aاست ،رسم می کنیم. سپس پاره خط xرا به عنوان وتر مثلث قائم الزاویه ای با ضلع های مجاور به زاویه قائمه 4aو ) (2a√2-3aبدست می آوریم. 54 بنابر این ،هر مسأله ساختمانی که ،منجر به عبارتی بشود که ،به جز عمل های گویا ، شامل ریشۀ دوم مجموع مجذورها باشد ،به کمک این وسیله های محدود قابل حل است. مثال اگر ، sطول ضلع یک مثلث متساوی االضالع باشد ،ارتفاع آن برابر است با h=s√3/2 بنابر این ،مثلث متساوی االضالع را می توان ،به کمک این وسیله های محدود ،رسم کرد. 55 اگر rشعاع دایره باشد ،داریم c10=½r)√5 -1) c5=√ c10² + r² ( c10و ، c5به ترتیب ،طول ضلع های ده ضلعی و پنج ضلعی منتظم محاطی اند) هر دو چند ضلعی را می توان ،تنها با رسم خط های راست و انتقال پاره خط ها ،بدست آورد. ولی عبارت ( √ a²-b²و بنابر این عبارت )√a*bرا نمی توان با این وسیله های محدود رسم کرد . به این ترتیب هر مساله ای را ،که ضمن محاسبه منجر به ریشه دوم تفاضل دو مجذور و یا ریشۀ دوم حاصل ضرب دو پاره خط بشود ،نمی توان حل کرد. 56 خط راست gو نقطه Aو Bواقع در بیرون آن را ،مفروض می گیریم .می خواهیم دایره ای رسم کنیم که از نقطه های Aو Bبگذرند و بر خط راست gمماس باشد. اگر نقطه برخورد خط راست ABرا با خط راست ، gبه cو نقطه مجهول تماس را به x نشان دهیم ،می دانیم که باید داشته باشیم: CX=√ AC.BC با وسیله های محدود خود ،نمی توانیم رابطه باال را بسازیم. c x g A B 57 -5ساختمان های هندسی به کمک نیمساز نگار فلد بلوم ،وسیله ای را داده است که ،به کمک آن می توان زاویه را نصف کرد .او سپس به مطالعۀ ساختمان هایی می پردازد که به کمک رسم خط های راست و تقسیم زاویه به دو بخش برابر ،قابل حل اند. او روشن کرد که همه ساختمان های هندس ی درجۀ دوم را نمی توان از این راه به انجام رساند ،بلکه تنها همان مساله هایی قابل حل اند که می توانستیم به کمک رسم خط های راست و انتقال پاره خط ها ،حل کنیم. 58 )1این وسیله ،یعنی نیمساز نگار ،به شکل لوزی است ،که روی همه راس های خود حرکت می کند و در ضمن ،دو ضلع و یک قطر آن ادامه پیدا کند. فلد بلوم از این وسیله ،تنها برای نصف کردن زاویه استفاده می کند ،نه برای دو برابر کردن آن . B G E F A C D 59 )2رسم عمود خط راست gو نقطه Aواقع بر آن مفروض است .می خواهیم از نقطه Aعمودی بر g اخراج کنیم. برای این که بتوانیم راه حل فلد بلوم را بدهیم ،باید قبل از آن ،دو گزاره از دورۀ اختصاص ی هندسه تصویری را مطرح کنیم. )aاگر c ،b ، aو ’ c’ ، b’ ، aنیم خط های متناظر دو دستۀ تصویری باشند ،نیم خط ’ dاز دستۀ دوم را ،که متناظر با نیم خط dاز دسته اول است ،می توان تنها با رسم خط های راست پیدا کرد. )bاگر هر دو خط عمود بر هم را در یک دسته ،متناظر هم بگیریم ، آن وقت ،همه نیم خط های دسته به زوج نیم خط های متناظر تقسیم می شوند. 60 ً به این ترتیب ،اگر c، b ، aو ’ c’، b’ ، aمفروض باشند و ضمنا داشته باشیم : aعمود بر ’a bعمود بر ’b cعمود بر ’c آنگاه برای هر نیم خط dمی توان نیم خط ’ dرا عمود برآن ،تنها به وسیلۀ رسم خط های راست ،بدست آورد. 61 اکنون به مسالۀ خود بر می گردیم . خط راست دلخواه hرا از نقطه Aمی گذرانیم ،نیمساز aاز زاویه ( hgبه کمک نیمساز نگار) و نیمساز’ aاز زاویه مجانب آن پیدا می کنیم ؛’ aبر aعمود است . ’a h a g A 62 اگر از ، Aخط راست دوم kرا رسم کنیم و دوباره نیمسازهای زاویه kgو زاویه مجانب آن را بدست آوریم ،به دو خط راست دیگر عمود بر هم bو ’ bمی رسیم ؛ به همین ترتیب ،دو خط راست دیگر عمود برهم cو’ cرا پیدا می کنیم .خط راست مجهول ’ ، gعمود بر gاز رابطۀ زیر به دست می آید : ’ a’ b’ c’ gمتناظر است با ’g abcg b h c ’a k a ’b ’c g A 63 L )3 دو یا چند برابر کردن یک پاره خط برای دو برابر کردن پاره خط ، ABابتدا ACو BEرا عمود بر ABمی کشیم ؛ سپس زاویه Aرا نصف و EXرا عمود بر AEرسم می کنیم . در این صورت AX = 2AB E X 64 C B A )4 رسم موازی می خواهیم خط راستی موازی ،خط راست gرسم کنیم. ابتدا خط kرا عمود بر gرسم می کنیم ، سپس از نقطه دیگری از خط kعمود ’ gرا رسم می کنیم . ’gموازی gاست. ’g k 65 g )5دوران یک پاره خط دور یکی از دو انتهای آن پاره خط ABو خط راست gرا که از یکی از دو انتهای پاره خط ABگذشته است ،در نظر می گیریم .می خواهیم نقطۀ Cرا روی خط راست gطوری پیدا کنیم که داشته باشیم AC=AB: B g 66 C A از نقطه ، Bخط راست ’ gرا موازی gبکشید؛ زاویۀ به راس Bرا نصف کنید. ’g B g 67 C A )5 پاره خط مفروض ی را روی خط راست مفروض ،از نقطه مفروض ،منتقل کنید. پاره خط مفروض را ،موازی با خود منتقل کنید تا وقتی که یکی از دو انتهای آن بر نقطۀ مفروض قرار گیرد. سپس آن را دور این نقطه دوران دهید تا بر خط راست مفروض منطبق شود. A B g P 68 69 با نصف کردن زاویه ها و رسم خط های راست ،می توان پاره خط را به هر جایی منتقل کرد .از طرف دیگر ،چون به کمک انتقال پاره خط ها و رسم خط های راست می توان هر زاویه ای را نصف کرد ،بنابراین «نیمساز نگار » و « مقیاس طول» به مفهومی هم ارز یکدیگرند. هر مساله ای که به کمک مقیاس طول و رسم خط های راست قابل حل باشند ،به کمک نیمساز نگار و رسم خط های راست هم قابل حل است؛ و بر عکس. هم چنین ،اگر مساله ای را نتوان با رسم خط های راست و جا به جا کردن پاره خط ها با دقت حل کرد ،به کمک رسم خط های راست و نصف کردن زاویه هم نمی توان حل کرد. مرجع :کتاب نظریه ساختمان های هندسی (فصل چهارم) نوشته :آگوست آدلر ترجمه :پرویز شهریاری 70 با تشکر 71