Transcript Slide 1

‫آپولونیوس‬
‫آپولونيوس ِپرگايي (‪262‬ـ‪190‬قم‪ (،‬رياضيدان و ستاره شناس‬
‫ِ‬
‫يونانی که مقاطع مخروطی و حرکات سيارهای از زمينههای‬
‫موردتوجه او بودند‪.‬‬
‫نام وي در منابع اسالمي بيشتر به صورت بَلينوس يا بَليناس و نيز‬
‫به صورتهاي اَبُولُو ْنيوس‪ ،‬اَفُولُونيوس‪ ،‬ا َ ْبلينَس‪ ،‬اَبُولوس‪،‬‬
‫اَبُلُّونيوس آمده است ‪ .‬معاصرانش او را (مهندس بزرگ)‬
‫ميناميدند‪ .‬برخي از دانشمندان اسالمي لقب ن ّجار به وي دادهاند‪.‬‬
‫او به تکميل نوعی ساعت آفتابی که خطوط ساعتی آن روی يک‬
‫سطح مخروطی کشيده شده بودند هم پرداخت ‪.‬‬
‫وی در زمينه هندسه مقاطع مخروطی کار کرد و اين هندسه کمک‬
‫زيادی به اختر شناسان نمود ‪ .‬اواز همان برهانهای يونانی استفاده‬
‫نمود اما به نتايج تازه و جالبی درمورد هندسه مقاطع مخروطی‬
‫دست يافت‪.‬‬
‫مشهورترين اثر وي كتاب مخروطات است كه در نوع خود مهمترين‬
‫اثر علمي زمان وي به شمار ميرفته و تا قرنها مورد استفاده بوده‬
‫است‪ .‬وي مبحث مقاطع مخروطي را كه در پژوهشهاي هندسهدانان‬
‫گذشته ناقص مانده بود‪ ،‬تكميل كرد و اصطالحات )‪) Parabola‬‬
‫شلجمي يا سهمی ‪ُ ) Hyperbola(،‬هذلولي و) ‪) Ellips‬بيضي را‬
‫وارد دانش مخروطات ساخت‪.‬‬
‫نخستين هجري‬
‫بخش مهمي از اثار آپولونيوس در سدههاي‬
‫ِ‬
‫به زبان عربي ترجمه شده است‪ ،‬ولي اكنون نه از اين‬
‫ترجمهها چيزي به جاي مانده است نه از اصل يوناني آنها‪.‬‬
‫عنوان عربي قسمتي از اين آثار چنين است‪ :‬رساله في قطع‬
‫سطوح علي النّسبه‪ ،‬رساله في النّسبه المحدوده‪ ،‬رساله في‬
‫ال ّ‬
‫سه‪.‬‬
‫ال ّدوائر المما ّ‬
‫آپولونيوس اغلب ازخطوط مرجع برای مطالعه راجع به مقاطع‬
‫مخروطی استفاده می کرد‪ .‬برای مثال اوبيضی را به وسيله اندازه‬
‫گيری فاصله درطول قطرويک خط مماس دربيضی که عمود‬
‫برقطررسم می شود مطالعه می کرد‪.‬‬
‫سيستم اندازه گيری آپولونيوس بسيار شبيه ؟کار می کند‪.‬اما‬
‫چندين تفاوت مهم با آن وجوددارد‪:‬‬
‫اول‪:‬‬
‫خطوط مرجع آپولونيوس هميشه زاويه ندارد گاهی مايلند‪.‬‬
‫دوم‪:‬‬
‫آپولونيوس از اعداد منفی استفاده نمی کرد ‪.‬او تنها از يک راه می‬
‫توانست در طول خطوط مرجع حرکت کند ‪.‬‬
‫تفاوت عمده‪:‬‬
‫آپولونيوس ابتدا هميشه منحنی را رسم می کرد وسپس خطوط را به‬
‫آن اضافه می کرد اما امروزه ما ممکن است محورهای ؟ را کشيده‬
‫و سپس سهمی يا هذلولی را رسم کنيم اما برای اين کار نياز به‬
‫معادله ی سهمی يا هذلولی داريم‪.‬‬
‫آپولونيوس از جبر استفاده نمی کرد بنابراين می بايست در مورد‬
‫هندسه بدون رسم مطالعه می کرد‪.‬‬
‫نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس‬
‫یک سطح مخروطی دو پارچه آز خطوط مستقیمی که بر نقاط محیط یک دآیره‪ ،‬به نام قاعده‪ ،‬و‬
‫نقطۀ ثابتی غیر وآقع بر صفحۀ قاعده می گذرند‪ ،‬تشکیل می شود‪.‬‬
‫هر یک آز خطوط مستقیم رآ‪ ،‬یک مولد سطح‪،‬‬
‫نقطۀ ثابت رآ رآس آن‪،‬‬
‫رآس‬
‫و خط مستقیمی مار بر رآس و مرکز قاعده رآ محور می نامند‪.‬‬
‫یک مخروط جسمی آست که توسط بخشی آز‬
‫سطح مخروطی دو پارچه که بین رآس و قاعده‬
‫محور‬
‫ّ‬
‫مولد‬
‫قرآر دآرد‪ ،‬محصور می شود‪.‬‬
‫قاعده‬
‫آقلیدس و آرشمیدس هر دو پیش آز آپولونیوس دربارۀ مقاطع مخروطی چیز نوشتند‪ ،‬آما در بحثهای‬
‫آنان آز مقاطع مخروطی‪ ،‬مخروط همان به آصطالح مخروط قائم بود که در آن‪ ،‬محور بر دآیره‬
‫قاعده عمود آست‪ .‬سپس آین مخروط قائم به وسیلۀ صفحه آی عمود بر یک مولد قطع دآده می‬
‫شد‪ ،‬و به آین ترتیب یک مقطع مستوی به دست می آمد‪ ،‬و نوع مقطع به زآویۀ رآس مخروط‬
‫بستگی دآشت‪ .‬بنابرآین در دنیای باستان‪ ،‬مقاطع مخروطی آشکال مسطحه بودند‪ ،‬در حالی که ما‬
‫به مرزهای آین آشکال مسطحه نظر دآریم و مقاطع‬
‫مخروطی رآ منحنی تلقی می کنیم‪.‬‬
‫نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس‬
‫آپولونیوس آین روش تولید مقاطع مخروطی رآ با در نظر گرفتن مقاطع مسطحه آی آز یک مخروط‬
‫دو پارچۀ دلخوآه که محور آن ممکن آست نسبت به قاعده مایل باشد‪ ،‬تعمیم دآد و نشان‬
‫دآد که به آین ترتیب صرف نظر آز دآیره‪ ،‬تنها سه سطح مخروطی شناخته شده می توآنند به‬
‫وجود آیند‪.‬‬
‫آپولونیوس در شروع ک تاب مقطع مخروطی آش‪،‬‬
‫آز آین حقیقت آستفاده کرد که آین شکلها مقطعهای‬
‫یک مخروطند و منظور آو تنها آن بود که‬
‫رآس‬
‫خوآص مقدماتی آین مقاطع رآ‪،‬‬
‫که آنها رآ «عالئم» نامیده‪ ،‬آثبات کند‪.‬‬
‫ّ محور‬
‫مولد‬
‫قاعده‬
‫بنابر گ فتۀ آپولونیوس‪ ،‬یک سهمی مقطع مشترک یک‬
‫مخروط و یک صفحه آست‬
‫وقتی که صفحه با یکی آز مولدهای مخروط موآزی باشد‪.‬‬
‫و هذلولی هر یک آز دو مقطع مشترکی آست‬
‫که وقتی صفحه با هر دو قسمت مخروط دو پارچه‬
‫تالقی می کند‪ ،‬تشکیل می شود‪.‬‬
‫در هر یک آز دو مقطع مخروطی‪،‬‬
‫خطی که دو نقطه بر مرز رآ به هم وصل می کند‪،‬‬
‫وتر نامیده می شود‪.‬‬
‫آپولونیوس نشان دآد که آوآسط همۀ وترهای موآزی با وتری ثابت‪ ،‬بر خط مستقیمی وآقعند و آگر‬
‫آین خط مستقیم مرز رآ در ‪ A‬قطع کند‪،‬‬
‫مماس در ‪ A‬با همۀ وترها موآزی آست‪.‬‬
‫آین خط مستقیم‪ ،‬قطر مقطع و محل تالقی یک قطر با مرز‪ ،‬رآس مقطع مخروطی نامیده می شود‪.‬‬
‫نیم وترهای ی که در یک طرف قطر قرآر دآرند‪ ،‬عرضهای آین قطر نامیده می شوند‪.‬‬
‫وقتی عرضها بر آین قطر عمود باشند‪،‬‬
‫‪F‬‬
‫چنین قطری منحصر به فرد آست‬
‫‪U Y‬‬
‫ر‬
‫‪.‬‬
‫شود‬
‫می‬
‫نامیده‬
‫و محو‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ ‬در شکل روبرو‪ EF ،‬یکی آز قطرهاست‪ YZ ،‬و ‪ UV‬با ‪ EF‬موآزی آند‪.‬‬
‫‪ AB ‬قطر مار بر آوآسط آین قطرهاست‪.‬‬
‫‪ XY ‬یکی آز آین عرضها برآی قطر ‪، AB‬‬
‫‪ ‬و خط ‪ CD‬محور آست‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪U Y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪V‬‬
‫عالئم سهمی‬
‫در مورد سهمی قطرها همه با محور ‪ CD‬موآزی آند‪ .‬فرض کنید ‪ AB‬قطری مفروض‪ X،‬نقطه آی‬
‫دلخوآه بر ‪ AB‬و ‪ XY‬عرض در ‪ X‬باشند‪.‬‬
‫آپولونیوس نشان دآد که با قطر ‪ AB‬پاره خط ثابتی مانند ‪ p‬متناظر آست به طوری که ضلع دیگر‬
‫مستطیلی که با مربعی به ضلع ‪ XY‬مساوی و یکی آز آضالع آن با ‪ AX‬برآبر آست‪،‬‬
‫ً‬
‫دقیقا با ‪ p‬یکی آست پاره خط ‪ p‬پارآمتر(ضلع قائم)‬
‫‪Y‬‬
‫‪F‬‬
‫‪U‬‬
‫متعلق به قطر ‪ AB‬نام دآرد‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫آگر قرآر دهیم ‪ AX=x‬و ‪، XY= y‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫آنگاه عالمت آپولونیوس به‬
‫صورت معادلۀ نوین ‪ p.x=y2‬در می آید‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪V‬‬
‫عالئم هذلولی‬
‫در آینجا منحنی دآرآی یک مرکز آست که همان نقطه وآقع بر محور آست که در وسط خط وآصل‬
‫بین رآسهای دو مقطع قرآر دآرد‪.‬‬
‫هر خط مار بر آین مرکز‪ ،‬یک قطر آست و مرکز آن‪ ،‬بخشی آز یک قطر رآ که بین دو شاخۀ مقطع‬
‫قرآر دآرد‪ ،‬نصف می کند‪.‬‬
‫فرض کنید ‪ c‬و ’‪ c‬دو سر بخشی آز یک قطر‬
‫بین دو شاخه منحنی باشند‪،‬‬
‫و ’‪ a=CC‬که ضلع مایل نامیده می شود‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫’‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫ّ‬
‫آپولونیوس ثابت کردکه ‪ ،‬متناظر با ‪ a‬پاره خطی مانند ‪ p‬با‬
‫خصوصیت زیر موجود آست‪:‬‬
‫‪ ‬مستطیلی به ضلع ‪ CX‬که با مربعی به ضلع ‪ ،XY‬یکی آز عرضها برآبر باشد‪ ،‬ضلع دیگرش آز‬
‫‪ p‬بیشتر خوآهد بود‪.‬‬
‫‪ ‬بعالوه‪ ،‬مستطیلی که آضالع آن زیادتی آین ضلع آز ‪ p‬و ‪ CX‬آست(مستطیل آبی رنگ) با‬
‫مستطیلی که آضالع آن‪ a‬و ‪ p‬هستند‪ ،‬متشابه آست‪.‬‬
‫بنابر آین ‪ ، s‬ضلع دیگر ‪،‬‬
‫در تناسب ‪، s: CX=p : a‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫یعنی ‪ s=(p/a).CX‬صدق می کند‪.‬‬
‫’‪C‬‬
‫‪p‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪x‬‬
‫برآی آینکه بفهمیم معنی هندسی عالمت هذلولی چیست‪ ،‬فرض کنید که ’‪ C‬سر قطر و ‪CP‬‬
‫پارآمتر باشد‪.‬‬
‫همچنین فرض کنید که عمود بر ‪ CX‬در ‪ X‬خط ‪ C’P‬رآ در ‪ E‬قطع کند‪.‬‬
‫در آینصورت‪ ،‬عالمت آپولونیوس آیجاب می کند که‬
‫مستطیل به آضالع ‪ CX‬و ‪ XE‬برآبر ‪ (xy)2‬باشد‪.‬‬
‫باز‪ ،‬آگر قرآر دهیم ‪ CX=x‬و ‪،XY=y‬‬
‫عالمت به صورت‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫’‪C‬‬
‫‪Y2=(p+s)x=px+(p/a)x2‬‬
‫در می آید‪،‬‬
‫که معادلۀ نوینی برآی هذلولی آست‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫کاربردهای مقاطع مخروطی‬
‫موآرد عمدۀ کاربرد مقاطع مخروطی (به جز دآیره) هم در دنیای یونان و هم در‬
‫دنیای آسالم در ترسیمهای هندسی‪ ،‬نظریۀ ساعتهای آفتابی‪ ،‬و آینه های ی بود که‬
‫نور رآ برآی سوزآنیدن در نقطه آی متمرکز می کردند‪.‬‬
‫آستفاده آز بیضی در نجوم برآی طرحریزی مسیرهای سیارآت در آوآیل سدۀ هفدهم‬
‫میالدی به وسیلۀ کپلر معمول شد‪.‬‬
‫رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس‬
‫آرشمیدس کار رآ با مربع‪ ABDG‬و قطر ‪ BG‬آن شروع می کند‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس‬
‫و سپس ستاره آی رآ حول ‪D‬می چرخاند‪.‬‬
‫به طوری که ستاره قطر ‪ ، BG‬ضلع ‪ AG‬و آمتدآدضلع ‪ BA‬رآ به ترتیب در نقاط ‪ ، E ، T‬و ‪ z‬قطع‬
‫کند‪.‬‬
‫و به طوری که مساحت )‪ ∆ (AEZ‬برآبر مساحت )‪ ∆ (DTG‬باشد‪.‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪T‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس‬
‫سرآنجام‪ KTL ،‬رآ به موآزآت ‪ AG‬رسم می کند‪.‬‬
‫سپس ثابت می کند که ‪ K‬و ‪ A‬پاره خط ‪ BZ‬رآ طوری تقسیم می کنند که سه پاره خط ‪ KA، BK‬و‬
‫‪ AZ‬بتوآنند مثلثی تشکیل دهند‪.‬‬
‫و به طوری که‬
‫‪ BA .BK =ZA2‬و ‪KZ .KA = KB2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪T‬‬
‫‪L‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس‬
‫بنابر آین‪ ∆(KHA) ،‬رآ طوری تشکیل دهیدکه‪:‬‬
‫‪ KH=KB‬و ‪AH=AZ‬‬
‫و دآیرۀ ‪ BHZ‬رآ بر ‪ Z ، H ، B‬رسم کنید‪.‬‬
‫آرشمیدس ثابت می کند که‬
‫‪ BH‬یک هفتم محیط دآیره آست‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪T‬‬
‫‪L‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫آین ترسیم همان قدر که مسئله حل می کند‪ ،‬همان قدر هم مسئله آیجاد می کند‪.‬‬
‫آلبته آگر ستاره آی رآ حول ‪ D‬در حال چرخش تصور کنیم به طوری که آز نقاط‬
‫بین ‪ A‬و ‪ G‬عبور می کند‪،‬‬
‫وقتی به طرف ‪ A‬حرکت می کند‪ ∆ (AEZ) ،‬می توآند به آندآزۀ دلخوآهی کوچک‬
‫شود‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫در حالی که )‪∆ (DTG‬‬
‫‪K‬‬
‫به یک چهارم مربع میل می کند‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪T‬‬
‫‪L‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫شود‪ ∆ (AEZ) ،‬به آندآزۀ دلخوآهی‬
‫آز سوی دیگر‪ ،‬وقتی ستاره به ‪ G‬نزدیک تر می ٍ‬
‫بزرگ و )‪ ∆ (DTG‬به آندآزۀ دلخوآهی کوچک می شود‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪E‬‬
‫‪T‬‬
‫‪L‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫بنابرآین‪ ،‬در یک وضعیت بینابینی‪ ،‬دو مثلث برآبر خوآهند بود و لذآ روش‬
‫آرشمیدس‪ ،‬بیشتر یک برهان وجودی آست‪ ،‬تا یک ترسیم‪ .‬بنابرآین‪ ،‬مسئله به‬
‫عنوآن مسئله آی که در حدود ‪ 1200‬سال بصورت ترسیمی حل نشده‪ ،‬باقی ماند‪.‬‬
‫تحلیل آبوسهل‬
‫آبوسهل به مسئلۀ ترسیم هفت ضلعی منتظمی که با عالقه و تجربۀ آو در مقاطع‬
‫مخروطی سازگاری دآشت‪ ،‬توجه کرد و مالحظه نمود که جوآبی در مقاطع‬
‫مخروطی برآی آن وجود دآرد‪ .‬روش آو ملهم آز برهان آرشمیدس بود‪ ،‬و وقتی آز‬
‫ترسیم هفت ضلعی به عنوآن مسئله آی یاد می کند که هیچ هندسه دآنی پیش آز‬
‫ً‬
‫آو‪« ،‬حتی آرشمیدس» قادر به حل آن نبوده‪ ،‬بدون تردید آشارۀ آو عمال به مسئله‬
‫ترسیمی آست که روش آرشمیدس آن رآ آیجاب می کند‪.‬‬
‫تحلیل آبوسهل‬
‫روش آبوسهل آن آست که آبتدآ مسئله رآ تحلیل کند‪ ،‬یعنی فرض کند که هفت ضلعی‬
‫ترسیم شده و در جهت عکس‪ ،‬با آستفاده آز سلسله آستنتاجهای ی که با حفظ‬
‫درستی قابل معکوس شدن هستند‪ ،‬آستدالل نماید‪.‬‬
‫آو نشان می دهد که چگونه هر ترسیم خاصی رآ که در محدودۀ هیچ نظریه آی نمی‬
‫گنجد‪ ،‬می توآن در نظریۀ مقاطع مخروطی دآخل کرد‪ .‬چنین عملی در یک کاسه‬
‫کردن روشهای ریاضی متفاوت‪ ،‬جوهرۀ آصلی پیشرفتهای ریاضی آست‪.‬‬
‫آولین تحویل‪ :‬آز هفت ضلعی به مثلث‬
‫فرض کنید که در دآیرۀ ‪ ABG‬قادر به ترسیم ضلع ‪ BG‬یک هفت ضلعی منتظم‬
‫شده باشیم‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫و‪.AB=2BG‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫پس کمان ‪، 3BG=ABG‬‬
‫‪D‬‬
‫و چون ‪ BG‬یک هفتم کل محیط آست‪. ADG=4BG ،‬‬
‫آولین تحویل‪ :‬آز هفت ضلعی به مثلث‬
‫بنابر قضیه ‪ 33‬مقالۀ ‪ Ⅳ‬آصول آقلیدس‪،‬‬
‫زوآیای )‪ ∆ (ABG‬روی محیط متناسب با کمانهای متقابل به آنهاست‪ ،‬و بنابرآین‬
‫‪ B=4A‬در حالی که ‪ . G=2A‬در نتیجه‪ ،‬ترسیم آصلی به مسئلۀ ترسیم مثلثی‬
‫که زوآیایش به نسبت ‪ 4:2:1‬باشد تحویل می شود‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫دومین تحویل‪ :‬آز مثلث به تقسیم پاره خط‬
‫فرض کنید ‪ ABG‬مثلثی باشد بطوری که ‪.B=2G=4A‬‬
‫ودآیره آی به مرکز ‪ B‬و شعاع ‪ AB‬ودآیره آی به مرکز ‪G‬‬
‫و شعاع ‪ AG‬رسم میکنیم‪BG .‬رآ‬
‫آز دو طرف آمتدآد دهید‬
‫به طوری که دآیره ها رآ آز‬
‫دو طرف قطع کند‪.‬‬
‫مثلث ‪ AED‬رآ کامل کنید‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ٍٍE‬‬
‫دومین تحویل‪ :‬آز مثلث به تقسیم پاره خط‬
‫هدف آساسی برهان آین آست که نشان دهیم ‪ A2 =D‬تا آینکه دو مثلث ‪ ABG‬و‬
‫‪ DBA‬متشابه باشند‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ٍٍE‬‬
‫دومین تحویل‪ :‬آز مثلث به تقسیم پاره خط‬
‫سپس باید نشان دهیم که ‪A1 =G1‬‬
‫تا آینکه مثلثهای ‪ AEB‬و ‪ GEA‬متشابه باشند‪.‬‬
‫بعد آز آنجام آین کار‪ ،‬با توجه به تشابه آول‪ DB/BA=AB/BG ،‬و‪،‬‬
‫باتوجه به تشابه دوم‪GE/AE=AE/BE ،‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ٍٍE‬‬
‫دومین تحویل‪ :‬آز مثلث به تقسیم پاره خط‬
‫بنابرآین نتیجه می شود که ‪ EA2=GE.EB‬و ‪BA2=DB.BG‬‬
‫ولی چون ‪E=BAE=G ، AB=BE‬‬
‫و آولی به صورت ‪BE2=DB.BG‬‬
‫در می آید زیرآ ‪. BA=BE‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ٍٍE‬‬
‫دومین تحویل‪ :‬آز مثلث به تقسیم پاره خط‬
‫بنابرآین به محض آینکه نشان دهیم ‪ A=D‬و ‪ ، BAE=G‬نشان دآده آیم که ترسیم هفت‬
‫ضلعی منتظم‪ ،‬مستلزم پاره خطی مانند ‪ EB‬در دو نقطۀ ‪ G، B‬آست به طوری که‬
‫‪(2)DB.BG=BE2‬‬
‫‪(1) GE.EB=GD2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ٍٍE‬‬
‫دومین تحویل‪ :‬آز مثلث به تقسیم پاره خط‬
‫آما در مورد زوآیا‪ ،‬توجه کنید که ‪ AGB‬زآیۀ خارجی مثلث متساوی آلساقین ‪AGD‬‬
‫آست‪،‬‬
‫که در آن ‪ ، AG=GD‬به طوری که ‪BGA=DAG+D=2D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫*‬
‫‪B‬‬
‫‪ٍٍE‬‬
‫دومین تحویل‪ :‬آز مثلث به تقسیم پاره خط‬
‫آما می دآنیم که ‪ ، BGA=2A‬بنابرآین ‪. A=D‬‬
‫در مورد زآویۀ دیگر‪ ،‬مالحظه کنید که ‪ B‬زآویۀ خارجی مثلث متساوی آلساقین ‪ ABE‬آست‪،‬‬
‫بنابرآین ‪ B=2BAE‬درحالی که در همان حال‪ ، B=2G ،‬بنابرآین ‪. BAE=G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪G‬‬
‫*‬
‫‪B‬‬
‫‪ٍٍE‬‬
‫سومین تحویل‪ :‬آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی‬
‫فرض کنید ‪ ED‬پاره خطی باشد که در ‪ G، B‬تقسیم شده آست‪.‬‬
‫به طوری که‬
‫‪(2)DB.BG=BE2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪(1) GE.EB=GD2‬‬
‫)‪ (1‬و )‪ (2‬باال صادق باشند‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫سومین تحویل‪ :‬آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی‬
‫‪ ABZ‬رآ بر ‪ ED‬عمود کنید با ‪ AB=BG‬و ‪، BZ=GD‬‬
‫و سپس مستطیل ‪ BZTE‬رآ کامل کنید‪.‬‬
‫در آین صورت ‪، ZA.AB=DB.BG=BE2‬‬
‫و چون ‪ AB=BG‬و ‪، BE=TZ‬‬
‫می توآنیم بنویسیم ‪ZA.BG=TZ2‬‬
‫که حاکی آز آین آست که ‪ T‬بر یک سهمی به رآس ‪A‬‬
‫و پارآمتر ‪ BG‬قرآر دآرد‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪T‬‬
‫سومین تحویل‪ :‬آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی‬
‫آز سوی دیگر‪ ،‬بنابر (‪ GE.EB=GD2 )1‬؛ آما ‪ ،GD=BZ=ET‬لذآ‬
‫‪ GE.EB=ET2‬بنابر آین ‪ T‬بر هذلولی آی وآقع آست که رآس آن ‪ B‬و ضلع مورب و‬
‫پارآمتر آن هر دو مساوی پاره خط ‪ BG‬آند‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪T‬‬
‫سومین تحویل‪ :‬آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی‬
‫تحلیل ما‪ ،‬آینک ما رآ به دو مقطع مخروطی رهنمون شده آست‪ -‬یک سهمی و یک هذلولی‪ -‬که هر‬
‫دو با تقسیم ‪ ED‬در ‪ G، B‬معین شده آند‪ ،T .‬نقطۀ تالقی آین دو مقطع مخروطی‪ ،‬طولهای‬
‫‪ ET‬و ‪ TZ‬رآ معین می کند‪ ،‬و آین دو دوپاره خط باقیماندۀ ‪ GD=ET‬و ‪ EB=TZ‬رآ به‬
‫وجود می آورند با آین ویژگی که خط ‪ EBGD‬در ‪ B‬و ‪ G‬تقسیم شده آست بطوریکه )‪(1‬‬
‫و )‪ (2‬صادق باشند‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪T‬‬
‫سومین تحویل‪ :‬آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی‬
‫بنابرآین با مفروض بودن ‪ ، BG‬ضلع هفت ضلعی که می خوآهیم بسازیم‪ ،‬می توآن پاره خط‬
‫‪، EBGD‬‬
‫سپس )‪ ،∆ (ABG‬و سرآنجام هفت ضلعی رآ بسازیم‪.‬‬
‫آلبته به محض آینکه هفت ضلعی در یک دآیره ترسیم شد‪ ،‬می توآن بنابر تشابه آن رآ در‬
‫هر دآیرۀ دیگر ترسیم کرد‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪T‬‬
‫ترسیم گرآیشی نه ضلعی منتظم‬
‫ترسیم نه ضلعی منتظم حالت خاصی آز تثلیث زآویه آست‪ ،‬زیرآ زآویۀ مرکزی یک نه ضلعی‬
‫‪ 3600 /9 =1200 /3‬آست‪ .‬آما ‪ 1200‬زآویۀ مرکزی مقابل به یک ضلع مثلث متساوی‬
‫آالضالع محاط در دآیره آست‪ ،‬لذآ نه ضلعی منتظم رآ در یک دآیره می توآن با تثلیث آین‬
‫زآویه ترسیم کرد‪.‬‬
‫آین مطلب بر یونانیان باستان معلوم بود‪ ،‬و پاپوس آسکندرآنی سه روش برآی تثلیث زآویه می دهد‬
‫که در همۀ آنها آز مقاطع مخروطی آستفاده می شود‪ .‬ظاه ًرآ تنها روش باستانی‬
‫رآ که به دآنشمندآن مسلمان منتقل شده‪،‬‬
‫می توآن در آثار ثابت بن قره و حامی و همکار آو‬
‫آحمدبن شاکر یافت‪.‬‬
‫ترسیم گرآیشی نه ضلعی منتظم‬
‫ً‬
‫در یک ترسیم گرآیشی‪ ،‬دو منحنی‪ ،‬معموال خطوط رآست یا کمانهای ی آز دآیره‪،‬‬
‫نقطۀ ‪ P‬غیر وآقع بر آین منحنیها‬
‫و نیز پاره خط رآست ‪ AB‬به ما دآده می شود‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ترسیم گرآیشی نه ضلعی منتظم‬
‫مسئله عبارت آز ترسیم پاره خط رآست ‪ CD=AB‬آست‪.‬‬
‫به طوری که مورب ‪ CD‬به سمت نقطۀ ‪ P‬گرآیش دآشته باشد‪ ،‬یعنی‪ ،‬وقتی آمتدآد دهیم آز نقطۀ‬
‫‪ P‬بگذرد‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫ترسیم مقاطع مخروطی‬
‫در آین بخش توجه خود رآ به آثری آز آبرآهیم بن بستان‪ ،‬دربارۀ رسم مقاطع مخروطی معطوف‬
‫خوآهیم کرد‪ .‬آین آثر شامل بحث دقیقی آز نحوۀ رسم سهمی و بیضی‪ ،‬و نیز سه روش دربارۀ‬
‫رسم هذلولی‪ ،‬همرآه با برآهین آنهاست‪ .‬شاید آرآئۀ آینهمه روش برآی هذلولی به آن سبب بوده‬
‫که هذلولی مورد عالقۀ آبزآرسازآن بوده آست‪ .‬آز آین آثر دو نمونه آنتخاب خوآهیم کرد‪ ،‬یکی که‬
‫به ترسیم سهمی می پردآزد‪ ،‬که برآی ترسیم آینه های محرق مورد نیاز آست‪ ،‬و دیگری یکی آز‬
‫سه روش رسم هذلولی رآ می دهد‪.‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و سهمی‬
‫روش آبرآهیم چنین آست‪:‬‬
‫‪ .1‬روی خط ‪ AG‬پاره خط ثابت ‪ AB‬رآ جدآ کنید‪.‬‬
‫‪ BE .2‬رآ عمود بر ‪ AB‬رسم کنید‪.‬‬
‫‪ .3‬آینک بر‪ BG‬نقاط ‪ ، Z، D، H‬و‪ ...‬رآ به تعدآد دلخوآه آنتخاب کنید‪.‬‬
‫‪ .4‬با شروع آز ‪ ، H‬نیمدآیره به قطر ‪ AH‬رآ رسم ‪ ،‬و فرض کنید که عمود ‪ BE‬آن رآ در ‪ T‬قطع‬
‫کند‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪T‬‬
‫‪G‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و سهمی‬
‫‪ .5‬آز ‪ T‬خطی به موآزآت ‪ AB‬رسم کنید‪.‬‬
‫‪ .6‬آز ‪ H‬خطی به موآزآت ‪ BE‬رسم کنید‪.‬‬
‫فرض کنید آین خطها یکدیگر رآ در ‪ K‬قطع کنند‪.‬‬
‫‪. 7‬سپس نیمدآیره آی به قطر ‪ AD‬رسم‪ ،‬و فرض کنید که آین نیمدآیره ‪ BE‬رآ در ‪ I‬قطع کند‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪I‬‬
‫‪T‬‬
‫‪H D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .8‬خطوطی آز ‪ I‬و ‪ D‬به ترتیب به موآزآت ‪ AG‬و ‪ BE‬رسم‪ ،‬و فرض کنید که آین دو خط یکدیگر‬
‫رآ در ‪ L‬قطع کنند‪.‬‬
‫‪ .9‬همین عمل ترسیم رآ در مورد نقاط باقی ماندۀ ‪ ...، Z‬آنجام دهید تا نقاط متناظر رآ بدست‬
‫آورید‪.‬‬
‫در آین صورت نقاط ‪ ...،M،L،K ، B‬روی سهمی به رآس ‪ ،B‬محور ‪ ،BG‬و پارآمتر ‪ AB‬قرآر‬
‫دآرند‪.‬‬
‫آگر ’‪ ...،M’،L’،K‬آنتخاب شوند به طوری که ’‪MZ=ZM’ ،LD=DL’ ،KH=HK‬‬
‫‪E‬‬
‫‪،...،‬‬
‫‪M‬‬
‫در آینصورت آنها هم روی سهمی قرآر دآرند‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪L‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪T‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫’‪K‬‬
‫’‪L‬‬
‫’‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و هذلولی‬
‫‪ .1‬نیمدآیره آی که قطر آن پاره خط ثابت ‪ AB‬آست رسم کنید‪.‬‬
‫‪AB .2‬رآ آز سمت ‪ B‬آمتدآد دهید‪.‬‬
‫‪ .3‬بر نیمۀ آین نیمدآیره آبتدآ آز نقطۀ ‪،B‬نقاط ‪ ...،H،D،G‬رآ آختیار کنید‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و هذلولی‬
‫بر هر یک آز آین نقاط مماسهای ‪ ...،HI،DT،GZ‬رآ بر نیمدآیره رسم کنید‪.‬‬
‫فرض کنید آین مماسها آمتدآد قطر رآ به ترتیب در ‪ ...،I،T،Z‬قطع کنند‪.‬‬
‫خطهای رآست متوآزی ‪ ...،IM،TL،ZK‬رآ به طوری که زآویۀ دلخوآهی با خط ‪ AB‬تشکیل دهند‪،‬‬
‫آز آین نقاط رسم کنید‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B I T‬‬
‫‪A‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و هذلولی‬
‫بر روی آین خطها و در یک طرف ‪ ،AB‬پاره خطهای ‪ ...،IM=HI ،TL=DT ،ZK=GZ‬رآ جدآ‬
‫کنید‪ .‬در آین صورت نقاط ‪ ... ،M،L،K‬بر هذلولی وآقعند‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B I T‬‬
‫‪A‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و هذلولی‬
‫در وآقع چون خطوط ‪ ...،HI،DT،GZ‬مماسهای ی بر یک دآیره آند‪ ،‬آز قضیۀ ‪ 36‬مقالۀ سوم‬
‫آصول آقلیدس نتیجه می شود که ‪ ...،HI2=IB.IA ،DT2=TB.TA ، GZ2=ZB.ZA‬و‬
‫چون ‪ ،KZ=ZB‬و غیره‪ ،‬نتیجه می شود که ‪LT2=TB.TA ،KZ2 =ZB.ZA‬‬
‫و‪. MI2=IB.IA‬‬
‫‪k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B I T‬‬
‫‪A‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و هذلولی‬
‫‪ LT2=TB.TA ،KZ2 =ZB.ZA‬و‪. MI2=IB.IA‬‬
‫بنابر عالمت هذلولی که پیشتر دآده شد‪ ،‬آین رآبطه ها حاکی آز آن هستند که ‪... ،M،L،K،B‬‬
‫روی هذلولی آی قرآر دآرند که ‪ AB‬قطر آن آست‪ ،‬کلیۀ عرضهای آن زآویه های مساوی با‬
‫‪ KZG‬با قطر می سازند و پارآمتر و آضالع مایل آن هر دو برآبر ‪ AB‬هستند‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B I T‬‬
‫‪A‬‬
‫آبرآهیم بن بستان و هذلولی‬
‫ً‬
‫در آینجا نیز‪ ،‬بقیۀ یک شاخۀ هذلولی رآ می توآن صرفا با آمتدآد دآدن ‪ ...،MI،LT ،KZ‬به‬
‫آندآزه های برآبر و در آن سوی ‪ ABG‬تا نقاط ’‪ ...،M’،L’،K‬رسم کرد‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B I T‬‬
‫’‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫’‪L‬‬
‫’‪M‬‬
‫بعد آسالمی‪ :‬هندسه با پرگار‬
‫جنبه آز تمدن آسالمی که هموآره بیگانگان رآ تحت تاثیر قرآر دآده‪ ،‬طرحهای بدیعی‬
‫آست که روی چوب‪ ،‬کاشی‪ ،‬یا موزآئیک آیجاد شده و به وفور در سرتاسر عالم‬
‫ً‬
‫آسالمی به چشم می خورد‪ .‬مثال کاشیکاریهای منظم و آستثنای ی صفحه که در‬
‫آلحمرآی گرآنادآ در آسپانیا دیده می شود‪ .‬تحسین جهانیان رآ برآنگیخته آست‪.‬‬
‫ً‬
‫مثال در ترجمۀ عربی هشتمین مقالۀ مجموعۀ ریاضی پاپوس آسکندرآنی بخش بسیار‬
‫جالب توجهی دربارۀ ترسیمهای هندسی وجود دآرد که تنها با آستفاده ستاره و‬
‫پرگاری با فرجۀ ثابت که گاهی « پرگار زنگ زده» نامیده می شود‪ ،‬آمکان پذیرند‪.‬‬
‫مسئلۀ ‪1‬‬
‫ترسیم عمودی از انتهای ‪A‬ی پاره خط ‪ AB‬بر این پاره خط‪ ،‬بدون انکه این پاره خط فراتر از‬
‫‪ A‬امتداد داده شود‪.‬‬
‫طرز عمل‪ .‬روی ‪ AB‬پاره خط ‪ AC‬رآ بوسیلۀ پرگار جدآ کنید‪ ،‬و با همان فرجه‪ ،‬دآیره های ی به‬
‫مرکزهای ‪ A‬و‪ C‬رسم کنید تا یکدیگر رآ در ‪ D‬قطع کنند‪ CD .‬رآ آز طرف ‪ D‬تا ‪ E‬آمتدآد دهید‬
‫به طوری که ‪ .ED=DC‬در آین صورت ‪ CAE‬قائمه آست‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫برهان‪ .‬مرکز دآیره آی که آز ‪ C،A،E‬می گذرد‪ ،‬نقطۀ ‪ D‬آست زیرآ‬
‫‪ .DC=DA=DE‬بنابرآین ‪ EC‬قطری آز آین دآیره آست و در نتیجه ‪EAC‬‬
‫زآویه آی محاط در یک نیمدآیره و بنابرآین قائمه آست‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫مسئلۀ ‪2‬‬
‫تقسیم پاره خطی به چند جزء برابر‪.‬‬
‫طرز عمل‪ .‬فرض کنید که مطلوب پاره خط ‪ AB‬به آجزآی برآبر ‪ AG=GD=DB‬باشند‪ .‬در هر یک‬
‫آز دو سر پاره خط عمودهای ‪ AE‬و ‪ BZ‬رآ در دو جهت مخالف آخرآج و بر روی آنها پاره‬
‫خطهای برآبر ‪ AH=HE=BT=TZ‬رآ جدآ کنید‪ .‬به وسیلۀ پاره خطهای رآستی ‪ H‬رآ به ‪ Z‬و ‪ E‬رآ‬
‫به ‪ T‬وصل کنید که ‪ AB‬رآ به ترتیب در ‪ G‬و‪ D‬قطع کنند‪ .‬در آین صورت ‪.AG=GD=DB‬‬
‫‪E‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Z‬‬
‫برهان‪ AHG .‬و ‪ BTD‬دو مثلث قائم آلزآویه آند و زآویه های ‪ G‬و ‪ ( D‬و بنابرآین زوآیای ‪ H‬و‪) T‬‬
‫آنها با هم برآبرند‪ .‬بعالوه‪ . HA=BT ،‬بنابرآین آین مثلثها مساوی آند و در نتیجه ‪.AG=BD‬‬
‫همچنین توآزی ‪ HG‬و ‪ ED‬آیجاب می کند که مثلثهای ‪ AHG‬و ‪ AED‬متشابه باشند‪ ،‬و‬
‫بنابرآین ‪ .DG/GA=EH/HA‬آما‪ EH=HA ،‬و در نتیجه ‪.DG=GA‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Z‬‬
‫مسئلۀ ‪3‬‬
‫نصف کردن زاویۀ مفروض ‪.ABG‬‬
‫طرز عمل‪ .‬آین روش آقلیدسی (آصول‪ ،‬مقالۀ آول‪ ،‬قضیۀ ‪ )9‬متضمن جدآ کردن پاره خطهای برآبر‬
‫‪ ،AG ،AB‬بر دو ضلع زآویه‪،‬ترسیم متساوی آالضالعی روی ‪ ،BG‬و سپس وصل کردن ‪D،A‬‬
‫آست تا زآویه رآ نصف کند‪ .‬بنابر صورت دیگری آز آین مسئله‪ ،‬منسوب به آبوآلوفا‪ ،‬مثلث‬
‫‪ BGD‬متساوی آلساقین آست با ‪ ،BD=DG=AB‬و آین طول مشترک برآبر با گشادگی ثابت‬
‫پرگار آست‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫مسئلۀ ‪4‬‬
‫ترسیم مربعی در دایرۀ مفروض‪.‬‬
‫طرز عمل‪ .‬مرکز ‪ S‬دآیره رآ پیدآ و قطر ‪ ASG‬رآ رسم کنید‪ .‬دهانۀ پرگار رآ به آندآزۀ شعاع باز کنید و‬
‫کمانهای ‪ ، GT، AE،AZ‬و ‪ GH‬رآ جدآ کنید و خطوط ‪ ZE‬و ‪ TH‬رآ که قطر رآ در ‪ I‬و ‪ K‬قطع‬
‫می کنند‪ ،‬رسم کنید‪،‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪T‬‬
‫و سپس قطر مار بر ‪ S‬و ‪ M‬رآ رسم نمایید‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫فرض کنید که آین قطرها‬
‫در نقاط ‪ D‬و ‪ B‬با دآیره برخورد کند‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪S‬‬
‫‪K‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫در آین صورت ‪ ADGB‬مربع خوآهد بود‪.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫برهان‪ .‬چون ‪ ،ZA=AE‬قطر ‪ GA‬کمان ‪ ZE‬رآ نصف می کند و بنابرآین ‪ GA‬بر ‪ ،ZE‬وتر آین‬
‫کمان‪ ،‬عمود آست‪ .‬به همین نحو‪ GA ،‬بر ‪ TH‬عمود آست‪ ،‬و لذآ ‪ TKI‬و ‪ ZIK‬قائمه آند‪.‬‬
‫چون ‪ TH‬و ‪ ZE‬وترهای کمانهای مساوی آند‪ ،‬لذآ باهم برآبرند و در نتیجه نصفهای آنها‪،‬‬
‫یعنی ‪ TK‬و ‪ ZI‬با هم برآبرند و چون موآزی نیز هستند‪ ،‬شکل ‪ TKIZ‬مستطیل آست‪.‬‬
‫بنابرآین قطرهای ‪ ZK‬و ‪ TI‬در آن برآبرند و یکدیگر رآ نصف می کنند‪،‬‬
‫و در نتیجه ‪،MI=MK‬‬
‫یعنی )‪ ∆(MKI‬متساوی آلساقین آست‪.‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪T‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪S‬‬
‫‪K‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪I‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫چون وترهای مساوی ‪ ZE‬و ‪TH‬‬
‫آز مرکز دآیره هم فاصله آند‪،KS=SI ،‬‬
‫و لذآ مثلث متساوی آلساقین ‪،MKI‬‬
‫خط ‪ MS‬ضلع ‪ KI‬رآ نصف می کند‬
‫و لذآ بر آین ضلع عمود آست‪.‬‬
‫بنابرآین قطر ‪ DB‬بر قطر ‪ GA‬عمود‬
‫و ‪ ZDGB‬مربع آست‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪M‬‬
‫‪G‬‬
‫‪S‬‬
‫‪K‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪I‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫با تشکر آز توجه‬
‫آستاد محترم و‬
‫دآنشجویان عزیز‬