Transcript Slide 1
آپولونیوس
آپولونيوس ِپرگايي (262ـ190قم (،رياضيدان و ستاره شناس
ِ
يونانی که مقاطع مخروطی و حرکات سيارهای از زمينههای
موردتوجه او بودند.
نام وي در منابع اسالمي بيشتر به صورت بَلينوس يا بَليناس و نيز
به صورتهاي اَبُولُو ْنيوس ،اَفُولُونيوس ،ا َ ْبلينَس ،اَبُولوس،
اَبُلُّونيوس آمده است .معاصرانش او را (مهندس بزرگ)
ميناميدند .برخي از دانشمندان اسالمي لقب ن ّجار به وي دادهاند.
او به تکميل نوعی ساعت آفتابی که خطوط ساعتی آن روی يک
سطح مخروطی کشيده شده بودند هم پرداخت .
وی در زمينه هندسه مقاطع مخروطی کار کرد و اين هندسه کمک
زيادی به اختر شناسان نمود .اواز همان برهانهای يونانی استفاده
نمود اما به نتايج تازه و جالبی درمورد هندسه مقاطع مخروطی
دست يافت.
مشهورترين اثر وي كتاب مخروطات است كه در نوع خود مهمترين
اثر علمي زمان وي به شمار ميرفته و تا قرنها مورد استفاده بوده
است .وي مبحث مقاطع مخروطي را كه در پژوهشهاي هندسهدانان
گذشته ناقص مانده بود ،تكميل كرد و اصطالحات )) Parabola
شلجمي يا سهمی ُ ) Hyperbola(،هذلولي و) ) Ellipsبيضي را
وارد دانش مخروطات ساخت.
نخستين هجري
بخش مهمي از اثار آپولونيوس در سدههاي
ِ
به زبان عربي ترجمه شده است ،ولي اكنون نه از اين
ترجمهها چيزي به جاي مانده است نه از اصل يوناني آنها.
عنوان عربي قسمتي از اين آثار چنين است :رساله في قطع
سطوح علي النّسبه ،رساله في النّسبه المحدوده ،رساله في
ال ّ
سه.
ال ّدوائر المما ّ
آپولونيوس اغلب ازخطوط مرجع برای مطالعه راجع به مقاطع
مخروطی استفاده می کرد .برای مثال اوبيضی را به وسيله اندازه
گيری فاصله درطول قطرويک خط مماس دربيضی که عمود
برقطررسم می شود مطالعه می کرد.
سيستم اندازه گيری آپولونيوس بسيار شبيه ؟کار می کند.اما
چندين تفاوت مهم با آن وجوددارد:
اول:
خطوط مرجع آپولونيوس هميشه زاويه ندارد گاهی مايلند.
دوم:
آپولونيوس از اعداد منفی استفاده نمی کرد .او تنها از يک راه می
توانست در طول خطوط مرجع حرکت کند .
تفاوت عمده:
آپولونيوس ابتدا هميشه منحنی را رسم می کرد وسپس خطوط را به
آن اضافه می کرد اما امروزه ما ممکن است محورهای ؟ را کشيده
و سپس سهمی يا هذلولی را رسم کنيم اما برای اين کار نياز به
معادله ی سهمی يا هذلولی داريم.
آپولونيوس از جبر استفاده نمی کرد بنابراين می بايست در مورد
هندسه بدون رسم مطالعه می کرد.
نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس
یک سطح مخروطی دو پارچه آز خطوط مستقیمی که بر نقاط محیط یک دآیره ،به نام قاعده ،و
نقطۀ ثابتی غیر وآقع بر صفحۀ قاعده می گذرند ،تشکیل می شود.
هر یک آز خطوط مستقیم رآ ،یک مولد سطح،
نقطۀ ثابت رآ رآس آن،
رآس
و خط مستقیمی مار بر رآس و مرکز قاعده رآ محور می نامند.
یک مخروط جسمی آست که توسط بخشی آز
سطح مخروطی دو پارچه که بین رآس و قاعده
محور
ّ
مولد
قرآر دآرد ،محصور می شود.
قاعده
آقلیدس و آرشمیدس هر دو پیش آز آپولونیوس دربارۀ مقاطع مخروطی چیز نوشتند ،آما در بحثهای
آنان آز مقاطع مخروطی ،مخروط همان به آصطالح مخروط قائم بود که در آن ،محور بر دآیره
قاعده عمود آست .سپس آین مخروط قائم به وسیلۀ صفحه آی عمود بر یک مولد قطع دآده می
شد ،و به آین ترتیب یک مقطع مستوی به دست می آمد ،و نوع مقطع به زآویۀ رآس مخروط
بستگی دآشت .بنابرآین در دنیای باستان ،مقاطع مخروطی آشکال مسطحه بودند ،در حالی که ما
به مرزهای آین آشکال مسطحه نظر دآریم و مقاطع
مخروطی رآ منحنی تلقی می کنیم.
نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس
آپولونیوس آین روش تولید مقاطع مخروطی رآ با در نظر گرفتن مقاطع مسطحه آی آز یک مخروط
دو پارچۀ دلخوآه که محور آن ممکن آست نسبت به قاعده مایل باشد ،تعمیم دآد و نشان
دآد که به آین ترتیب صرف نظر آز دآیره ،تنها سه سطح مخروطی شناخته شده می توآنند به
وجود آیند.
آپولونیوس در شروع ک تاب مقطع مخروطی آش،
آز آین حقیقت آستفاده کرد که آین شکلها مقطعهای
یک مخروطند و منظور آو تنها آن بود که
رآس
خوآص مقدماتی آین مقاطع رآ،
که آنها رآ «عالئم» نامیده ،آثبات کند.
ّ محور
مولد
قاعده
بنابر گ فتۀ آپولونیوس ،یک سهمی مقطع مشترک یک
مخروط و یک صفحه آست
وقتی که صفحه با یکی آز مولدهای مخروط موآزی باشد.
و هذلولی هر یک آز دو مقطع مشترکی آست
که وقتی صفحه با هر دو قسمت مخروط دو پارچه
تالقی می کند ،تشکیل می شود.
در هر یک آز دو مقطع مخروطی،
خطی که دو نقطه بر مرز رآ به هم وصل می کند،
وتر نامیده می شود.
آپولونیوس نشان دآد که آوآسط همۀ وترهای موآزی با وتری ثابت ،بر خط مستقیمی وآقعند و آگر
آین خط مستقیم مرز رآ در Aقطع کند،
مماس در Aبا همۀ وترها موآزی آست.
آین خط مستقیم ،قطر مقطع و محل تالقی یک قطر با مرز ،رآس مقطع مخروطی نامیده می شود.
نیم وترهای ی که در یک طرف قطر قرآر دآرند ،عرضهای آین قطر نامیده می شوند.
وقتی عرضها بر آین قطر عمود باشند،
F
چنین قطری منحصر به فرد آست
U Y
ر
.
شود
می
نامیده
و محو
A
B
E
Z
V
در شکل روبرو EF ،یکی آز قطرهاست YZ ،و UVبا EFموآزی آند.
AB قطر مار بر آوآسط آین قطرهاست.
XY یکی آز آین عرضها برآی قطر ، AB
و خط CDمحور آست.
F
U Y
x
B
A
C
D
E
Z
V
عالئم سهمی
در مورد سهمی قطرها همه با محور CDموآزی آند .فرض کنید ABقطری مفروض X،نقطه آی
دلخوآه بر ABو XYعرض در Xباشند.
آپولونیوس نشان دآد که با قطر ABپاره خط ثابتی مانند pمتناظر آست به طوری که ضلع دیگر
مستطیلی که با مربعی به ضلع XYمساوی و یکی آز آضالع آن با AXبرآبر آست،
ً
دقیقا با pیکی آست پاره خط pپارآمتر(ضلع قائم)
Y
F
U
متعلق به قطر ABنام دآرد.
y
A
آگر قرآر دهیم AX=xو ، XY= y
x x
B
C
D
آنگاه عالمت آپولونیوس به
صورت معادلۀ نوین p.x=y2در می آید.
E
Z
V
عالئم هذلولی
در آینجا منحنی دآرآی یک مرکز آست که همان نقطه وآقع بر محور آست که در وسط خط وآصل
بین رآسهای دو مقطع قرآر دآرد.
هر خط مار بر آین مرکز ،یک قطر آست و مرکز آن ،بخشی آز یک قطر رآ که بین دو شاخۀ مقطع
قرآر دآرد ،نصف می کند.
فرض کنید cو ’ cدو سر بخشی آز یک قطر
بین دو شاخه منحنی باشند،
و ’ a=CCکه ضلع مایل نامیده می شود.
C
’C
a
ّ
آپولونیوس ثابت کردکه ،متناظر با aپاره خطی مانند pبا
خصوصیت زیر موجود آست:
مستطیلی به ضلع CXکه با مربعی به ضلع ،XYیکی آز عرضها برآبر باشد ،ضلع دیگرش آز
pبیشتر خوآهد بود.
بعالوه ،مستطیلی که آضالع آن زیادتی آین ضلع آز pو CXآست(مستطیل آبی رنگ) با
مستطیلی که آضالع آن aو pهستند ،متشابه آست.
بنابر آین ، sضلع دیگر ،
در تناسب ، s: CX=p : a
E
P
یعنی s=(p/a).CXصدق می کند.
’C
p
a
C
Y
x
برآی آینکه بفهمیم معنی هندسی عالمت هذلولی چیست ،فرض کنید که ’ Cسر قطر و CP
پارآمتر باشد.
همچنین فرض کنید که عمود بر CXدر Xخط C’Pرآ در Eقطع کند.
در آینصورت ،عالمت آپولونیوس آیجاب می کند که
مستطیل به آضالع CXو XEبرآبر (xy)2باشد.
باز ،آگر قرآر دهیم CX=xو ،XY=y
عالمت به صورت
E
P
’C
Y2=(p+s)x=px+(p/a)x2
در می آید،
که معادلۀ نوینی برآی هذلولی آست.
C
Y
x
x
کاربردهای مقاطع مخروطی
موآرد عمدۀ کاربرد مقاطع مخروطی (به جز دآیره) هم در دنیای یونان و هم در
دنیای آسالم در ترسیمهای هندسی ،نظریۀ ساعتهای آفتابی ،و آینه های ی بود که
نور رآ برآی سوزآنیدن در نقطه آی متمرکز می کردند.
آستفاده آز بیضی در نجوم برآی طرحریزی مسیرهای سیارآت در آوآیل سدۀ هفدهم
میالدی به وسیلۀ کپلر معمول شد.
رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس
آرشمیدس کار رآ با مربع ABDGو قطر BGآن شروع می کند.
A
G
B
D
رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس
و سپس ستاره آی رآ حول Dمی چرخاند.
به طوری که ستاره قطر ، BGضلع AGو آمتدآدضلع BAرآ به ترتیب در نقاط ، E ، Tو zقطع
کند.
و به طوری که مساحت ) ∆ (AEZبرآبر مساحت ) ∆ (DTGباشد.
Z
A
B
E
T
G
D
رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس
سرآنجام KTL ،رآ به موآزآت AGرسم می کند.
سپس ثابت می کند که Kو Aپاره خط BZرآ طوری تقسیم می کنند که سه پاره خط KA، BKو
AZبتوآنند مثلثی تشکیل دهند.
و به طوری که
BA .BK =ZA2و KZ .KA = KB2
.
Z
K
A
B
E
T
L
G
D
رسم هفت ضلعی توسط آرشمیدس
بنابر آین ∆(KHA) ،رآ طوری تشکیل دهیدکه:
KH=KBو AH=AZ
و دآیرۀ BHZرآ بر Z ، H ، Bرسم کنید.
آرشمیدس ثابت می کند که
BHیک هفتم محیط دآیره آست.
H
Z
K
A
B
E
T
L
G
D
آین ترسیم همان قدر که مسئله حل می کند ،همان قدر هم مسئله آیجاد می کند.
آلبته آگر ستاره آی رآ حول Dدر حال چرخش تصور کنیم به طوری که آز نقاط
بین Aو Gعبور می کند،
وقتی به طرف Aحرکت می کند ∆ (AEZ) ،می توآند به آندآزۀ دلخوآهی کوچک
شود.
H
در حالی که )∆ (DTG
K
به یک چهارم مربع میل می کند.
A
Z
B
E
T
L
G
D
شود ∆ (AEZ) ،به آندآزۀ دلخوآهی
آز سوی دیگر ،وقتی ستاره به Gنزدیک تر می ٍ
بزرگ و ) ∆ (DTGبه آندآزۀ دلخوآهی کوچک می شود.
H
K
A
B
Z
E
T
L
G
D
بنابرآین ،در یک وضعیت بینابینی ،دو مثلث برآبر خوآهند بود و لذآ روش
آرشمیدس ،بیشتر یک برهان وجودی آست ،تا یک ترسیم .بنابرآین ،مسئله به
عنوآن مسئله آی که در حدود 1200سال بصورت ترسیمی حل نشده ،باقی ماند.
تحلیل آبوسهل
آبوسهل به مسئلۀ ترسیم هفت ضلعی منتظمی که با عالقه و تجربۀ آو در مقاطع
مخروطی سازگاری دآشت ،توجه کرد و مالحظه نمود که جوآبی در مقاطع
مخروطی برآی آن وجود دآرد .روش آو ملهم آز برهان آرشمیدس بود ،و وقتی آز
ترسیم هفت ضلعی به عنوآن مسئله آی یاد می کند که هیچ هندسه دآنی پیش آز
ً
آو« ،حتی آرشمیدس» قادر به حل آن نبوده ،بدون تردید آشارۀ آو عمال به مسئله
ترسیمی آست که روش آرشمیدس آن رآ آیجاب می کند.
تحلیل آبوسهل
روش آبوسهل آن آست که آبتدآ مسئله رآ تحلیل کند ،یعنی فرض کند که هفت ضلعی
ترسیم شده و در جهت عکس ،با آستفاده آز سلسله آستنتاجهای ی که با حفظ
درستی قابل معکوس شدن هستند ،آستدالل نماید.
آو نشان می دهد که چگونه هر ترسیم خاصی رآ که در محدودۀ هیچ نظریه آی نمی
گنجد ،می توآن در نظریۀ مقاطع مخروطی دآخل کرد .چنین عملی در یک کاسه
کردن روشهای ریاضی متفاوت ،جوهرۀ آصلی پیشرفتهای ریاضی آست.
آولین تحویل :آز هفت ضلعی به مثلث
فرض کنید که در دآیرۀ ABGقادر به ترسیم ضلع BGیک هفت ضلعی منتظم
شده باشیم.
B
و.AB=2BG
A
G
پس کمان ، 3BG=ABG
D
و چون BGیک هفتم کل محیط آست. ADG=4BG ،
آولین تحویل :آز هفت ضلعی به مثلث
بنابر قضیه 33مقالۀ Ⅳآصول آقلیدس،
زوآیای ) ∆ (ABGروی محیط متناسب با کمانهای متقابل به آنهاست ،و بنابرآین
B=4Aدر حالی که . G=2Aدر نتیجه ،ترسیم آصلی به مسئلۀ ترسیم مثلثی
که زوآیایش به نسبت 4:2:1باشد تحویل می شود.
B
A
G
D
دومین تحویل :آز مثلث به تقسیم پاره خط
فرض کنید ABGمثلثی باشد بطوری که .B=2G=4A
ودآیره آی به مرکز Bو شعاع ABودآیره آی به مرکز G
و شعاع AGرسم میکنیمBG .رآ
آز دو طرف آمتدآد دهید
به طوری که دآیره ها رآ آز
دو طرف قطع کند.
مثلث AEDرآ کامل کنید.
D
G
A
B
ٍٍE
دومین تحویل :آز مثلث به تقسیم پاره خط
هدف آساسی برهان آین آست که نشان دهیم A2 =Dتا آینکه دو مثلث ABGو
DBAمتشابه باشند.
A
2
D
G
B
ٍٍE
دومین تحویل :آز مثلث به تقسیم پاره خط
سپس باید نشان دهیم که A1 =G1
تا آینکه مثلثهای AEBو GEAمتشابه باشند.
بعد آز آنجام آین کار ،با توجه به تشابه آول DB/BA=AB/BG ،و،
باتوجه به تشابه دومGE/AE=AE/BE ،
A
1 2
1
D
G
B
ٍٍE
دومین تحویل :آز مثلث به تقسیم پاره خط
بنابرآین نتیجه می شود که EA2=GE.EBو BA2=DB.BG
ولی چون E=BAE=G ، AB=BE
و آولی به صورت BE2=DB.BG
در می آید زیرآ . BA=BE
A
1 2
1
D
G
B
ٍٍE
دومین تحویل :آز مثلث به تقسیم پاره خط
بنابرآین به محض آینکه نشان دهیم A=Dو ، BAE=Gنشان دآده آیم که ترسیم هفت
ضلعی منتظم ،مستلزم پاره خطی مانند EBدر دو نقطۀ G، Bآست به طوری که
(2)DB.BG=BE2
(1) GE.EB=GD2
,
A
2
1
2
D
1
G
B
ٍٍE
دومین تحویل :آز مثلث به تقسیم پاره خط
آما در مورد زوآیا ،توجه کنید که AGBزآیۀ خارجی مثلث متساوی آلساقین AGD
آست،
که در آن ، AG=GDبه طوری که BGA=DAG+D=2D
A
D
G
*
B
ٍٍE
دومین تحویل :آز مثلث به تقسیم پاره خط
آما می دآنیم که ، BGA=2Aبنابرآین . A=D
در مورد زآویۀ دیگر ،مالحظه کنید که Bزآویۀ خارجی مثلث متساوی آلساقین ABEآست،
بنابرآین B=2BAEدرحالی که در همان حال ، B=2G ،بنابرآین . BAE=G
A
21
1
D
2
G
*
B
ٍٍE
سومین تحویل :آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی
فرض کنید EDپاره خطی باشد که در G، Bتقسیم شده آست.
به طوری که
(2)DB.BG=BE2
,
(1) GE.EB=GD2
) (1و ) (2باال صادق باشند.
D
G
B
E
سومین تحویل :آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی
ABZرآ بر EDعمود کنید با AB=BGو ، BZ=GD
و سپس مستطیل BZTEرآ کامل کنید.
در آین صورت ، ZA.AB=DB.BG=BE2
و چون AB=BGو ، BE=TZ
می توآنیم بنویسیم ZA.BG=TZ2
که حاکی آز آین آست که Tبر یک سهمی به رآس A
و پارآمتر BGقرآر دآرد.
A
D
G
E
B
Z
T
سومین تحویل :آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی
آز سوی دیگر ،بنابر ( GE.EB=GD2 )1؛ آما ،GD=BZ=ETلذآ
GE.EB=ET2بنابر آین Tبر هذلولی آی وآقع آست که رآس آن Bو ضلع مورب و
پارآمتر آن هر دو مساوی پاره خط BGآند.
A
D
G
E
B
Z
T
سومین تحویل :آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی
تحلیل ما ،آینک ما رآ به دو مقطع مخروطی رهنمون شده آست -یک سهمی و یک هذلولی -که هر
دو با تقسیم EDدر G، Bمعین شده آند ،T .نقطۀ تالقی آین دو مقطع مخروطی ،طولهای
ETو TZرآ معین می کند ،و آین دو دوپاره خط باقیماندۀ GD=ETو EB=TZرآ به
وجود می آورند با آین ویژگی که خط EBGDدر Bو Gتقسیم شده آست بطوریکه )(1
و ) (2صادق باشند.
A
D
G
E
B
Z
T
سومین تحویل :آز پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی
بنابرآین با مفروض بودن ، BGضلع هفت ضلعی که می خوآهیم بسازیم ،می توآن پاره خط
، EBGD
سپس ) ،∆ (ABGو سرآنجام هفت ضلعی رآ بسازیم.
آلبته به محض آینکه هفت ضلعی در یک دآیره ترسیم شد ،می توآن بنابر تشابه آن رآ در
هر دآیرۀ دیگر ترسیم کرد.
A
D
G
E
B
Z
T
ترسیم گرآیشی نه ضلعی منتظم
ترسیم نه ضلعی منتظم حالت خاصی آز تثلیث زآویه آست ،زیرآ زآویۀ مرکزی یک نه ضلعی
3600 /9 =1200 /3آست .آما 1200زآویۀ مرکزی مقابل به یک ضلع مثلث متساوی
آالضالع محاط در دآیره آست ،لذآ نه ضلعی منتظم رآ در یک دآیره می توآن با تثلیث آین
زآویه ترسیم کرد.
آین مطلب بر یونانیان باستان معلوم بود ،و پاپوس آسکندرآنی سه روش برآی تثلیث زآویه می دهد
که در همۀ آنها آز مقاطع مخروطی آستفاده می شود .ظاه ًرآ تنها روش باستانی
رآ که به دآنشمندآن مسلمان منتقل شده،
می توآن در آثار ثابت بن قره و حامی و همکار آو
آحمدبن شاکر یافت.
ترسیم گرآیشی نه ضلعی منتظم
ً
در یک ترسیم گرآیشی ،دو منحنی ،معموال خطوط رآست یا کمانهای ی آز دآیره،
نقطۀ Pغیر وآقع بر آین منحنیها
و نیز پاره خط رآست ABبه ما دآده می شود.
p
D
B
C
A
ترسیم گرآیشی نه ضلعی منتظم
مسئله عبارت آز ترسیم پاره خط رآست CD=ABآست.
به طوری که مورب CDبه سمت نقطۀ Pگرآیش دآشته باشد ،یعنی ،وقتی آمتدآد دهیم آز نقطۀ
Pبگذرد.
p
D
B
C
A
ترسیم مقاطع مخروطی
در آین بخش توجه خود رآ به آثری آز آبرآهیم بن بستان ،دربارۀ رسم مقاطع مخروطی معطوف
خوآهیم کرد .آین آثر شامل بحث دقیقی آز نحوۀ رسم سهمی و بیضی ،و نیز سه روش دربارۀ
رسم هذلولی ،همرآه با برآهین آنهاست .شاید آرآئۀ آینهمه روش برآی هذلولی به آن سبب بوده
که هذلولی مورد عالقۀ آبزآرسازآن بوده آست .آز آین آثر دو نمونه آنتخاب خوآهیم کرد ،یکی که
به ترسیم سهمی می پردآزد ،که برآی ترسیم آینه های محرق مورد نیاز آست ،و دیگری یکی آز
سه روش رسم هذلولی رآ می دهد.
آبرآهیم بن بستان و سهمی
روش آبرآهیم چنین آست:
.1روی خط AGپاره خط ثابت ABرآ جدآ کنید.
BE .2رآ عمود بر ABرسم کنید.
.3آینک بر BGنقاط ، Z، D، Hو ...رآ به تعدآد دلخوآه آنتخاب کنید.
.4با شروع آز ، Hنیمدآیره به قطر AHرآ رسم ،و فرض کنید که عمود BEآن رآ در Tقطع
کند.
E
T
G
Z
D
H
B
A
آبرآهیم بن بستان و سهمی
.5آز Tخطی به موآزآت ABرسم کنید.
.6آز Hخطی به موآزآت BEرسم کنید.
فرض کنید آین خطها یکدیگر رآ در Kقطع کنند.
. 7سپس نیمدآیره آی به قطر ADرسم ،و فرض کنید که آین نیمدآیره BEرآ در Iقطع کند.
E
G
Z
k
I
T
H D
B
A
.8خطوطی آز Iو Dبه ترتیب به موآزآت AGو BEرسم ،و فرض کنید که آین دو خط یکدیگر
رآ در Lقطع کنند.
.9همین عمل ترسیم رآ در مورد نقاط باقی ماندۀ ...، Zآنجام دهید تا نقاط متناظر رآ بدست
آورید.
در آین صورت نقاط ...،M،L،K ، Bروی سهمی به رآس ،Bمحور ،BGو پارآمتر ABقرآر
دآرند.
آگر ’ ...،M’،L’،Kآنتخاب شوند به طوری که ’MZ=ZM’ ،LD=DL’ ،KH=HK
E
،...،
M
در آینصورت آنها هم روی سهمی قرآر دآرند.
I
L
G
D
Z
k
T
H
B
’K
’L
’M
A
آبرآهیم بن بستان و هذلولی
.1نیمدآیره آی که قطر آن پاره خط ثابت ABآست رسم کنید.
AB .2رآ آز سمت Bآمتدآد دهید.
.3بر نیمۀ آین نیمدآیره آبتدآ آز نقطۀ ،Bنقاط ...،H،D،Gرآ آختیار کنید.
G
D
H
B
A
آبرآهیم بن بستان و هذلولی
بر هر یک آز آین نقاط مماسهای ...،HI،DT،GZرآ بر نیمدآیره رسم کنید.
فرض کنید آین مماسها آمتدآد قطر رآ به ترتیب در ...،I،T،Zقطع کنند.
خطهای رآست متوآزی ...،IM،TL،ZKرآ به طوری که زآویۀ دلخوآهی با خط ABتشکیل دهند،
آز آین نقاط رسم کنید.
K
L
M
G
D
H
Z
B I T
A
آبرآهیم بن بستان و هذلولی
بر روی آین خطها و در یک طرف ،ABپاره خطهای ...،IM=HI ،TL=DT ،ZK=GZرآ جدآ
کنید .در آین صورت نقاط ... ،M،L،Kبر هذلولی وآقعند.
k
L
M
G
D
H
Z
B I T
A
آبرآهیم بن بستان و هذلولی
در وآقع چون خطوط ...،HI،DT،GZمماسهای ی بر یک دآیره آند ،آز قضیۀ 36مقالۀ سوم
آصول آقلیدس نتیجه می شود که ...،HI2=IB.IA ،DT2=TB.TA ، GZ2=ZB.ZAو
چون ،KZ=ZBو غیره ،نتیجه می شود که LT2=TB.TA ،KZ2 =ZB.ZA
و. MI2=IB.IA
k
L
M
G
D
H
Z
B I T
A
آبرآهیم بن بستان و هذلولی
LT2=TB.TA ،KZ2 =ZB.ZAو. MI2=IB.IA
بنابر عالمت هذلولی که پیشتر دآده شد ،آین رآبطه ها حاکی آز آن هستند که ... ،M،L،K،B
روی هذلولی آی قرآر دآرند که ABقطر آن آست ،کلیۀ عرضهای آن زآویه های مساوی با
KZGبا قطر می سازند و پارآمتر و آضالع مایل آن هر دو برآبر ABهستند.
k
L
M
G
D
H
Z
B I T
A
آبرآهیم بن بستان و هذلولی
ً
در آینجا نیز ،بقیۀ یک شاخۀ هذلولی رآ می توآن صرفا با آمتدآد دآدن ...،MI،LT ،KZبه
آندآزه های برآبر و در آن سوی ABGتا نقاط ’ ...،M’،L’،Kرسم کرد.
k
L
M
G
D
H
Z
B I T
’K
A
’L
’M
بعد آسالمی :هندسه با پرگار
جنبه آز تمدن آسالمی که هموآره بیگانگان رآ تحت تاثیر قرآر دآده ،طرحهای بدیعی
آست که روی چوب ،کاشی ،یا موزآئیک آیجاد شده و به وفور در سرتاسر عالم
ً
آسالمی به چشم می خورد .مثال کاشیکاریهای منظم و آستثنای ی صفحه که در
آلحمرآی گرآنادآ در آسپانیا دیده می شود .تحسین جهانیان رآ برآنگیخته آست.
ً
مثال در ترجمۀ عربی هشتمین مقالۀ مجموعۀ ریاضی پاپوس آسکندرآنی بخش بسیار
جالب توجهی دربارۀ ترسیمهای هندسی وجود دآرد که تنها با آستفاده ستاره و
پرگاری با فرجۀ ثابت که گاهی « پرگار زنگ زده» نامیده می شود ،آمکان پذیرند.
مسئلۀ 1
ترسیم عمودی از انتهای Aی پاره خط ABبر این پاره خط ،بدون انکه این پاره خط فراتر از
Aامتداد داده شود.
طرز عمل .روی ABپاره خط ACرآ بوسیلۀ پرگار جدآ کنید ،و با همان فرجه ،دآیره های ی به
مرکزهای Aو Cرسم کنید تا یکدیگر رآ در Dقطع کنند CD .رآ آز طرف Dتا Eآمتدآد دهید
به طوری که .ED=DCدر آین صورت CAEقائمه آست.
E
D
B
C
A
برهان .مرکز دآیره آی که آز C،A،Eمی گذرد ،نقطۀ Dآست زیرآ
.DC=DA=DEبنابرآین ECقطری آز آین دآیره آست و در نتیجه EAC
زآویه آی محاط در یک نیمدآیره و بنابرآین قائمه آست.
E
D
B
A
C
مسئلۀ 2
تقسیم پاره خطی به چند جزء برابر.
طرز عمل .فرض کنید که مطلوب پاره خط ABبه آجزآی برآبر AG=GD=DBباشند .در هر یک
آز دو سر پاره خط عمودهای AEو BZرآ در دو جهت مخالف آخرآج و بر روی آنها پاره
خطهای برآبر AH=HE=BT=TZرآ جدآ کنید .به وسیلۀ پاره خطهای رآستی Hرآ به Zو Eرآ
به Tوصل کنید که ABرآ به ترتیب در Gو Dقطع کنند .در آین صورت .AG=GD=DB
E
H
B
D
G
A
T
Z
برهان AHG .و BTDدو مثلث قائم آلزآویه آند و زآویه های Gو ( Dو بنابرآین زوآیای Hو) T
آنها با هم برآبرند .بعالوه . HA=BT ،بنابرآین آین مثلثها مساوی آند و در نتیجه .AG=BD
همچنین توآزی HGو EDآیجاب می کند که مثلثهای AHGو AEDمتشابه باشند ،و
بنابرآین .DG/GA=EH/HAآما EH=HA ،و در نتیجه .DG=GA
E
B
D
H
G
A
T
Z
مسئلۀ 3
نصف کردن زاویۀ مفروض .ABG
طرز عمل .آین روش آقلیدسی (آصول ،مقالۀ آول ،قضیۀ )9متضمن جدآ کردن پاره خطهای برآبر
،AG ،ABبر دو ضلع زآویه،ترسیم متساوی آالضالعی روی ،BGو سپس وصل کردن D،A
آست تا زآویه رآ نصف کند .بنابر صورت دیگری آز آین مسئله ،منسوب به آبوآلوفا ،مثلث
BGDمتساوی آلساقین آست با ،BD=DG=ABو آین طول مشترک برآبر با گشادگی ثابت
پرگار آست.
D
B
G
A
مسئلۀ 4
ترسیم مربعی در دایرۀ مفروض.
طرز عمل .مرکز Sدآیره رآ پیدآ و قطر ASGرآ رسم کنید .دهانۀ پرگار رآ به آندآزۀ شعاع باز کنید و
کمانهای ، GT، AE،AZو GHرآ جدآ کنید و خطوط ZEو THرآ که قطر رآ در Iو Kقطع
می کنند ،رسم کنید،
Z
T
و سپس قطر مار بر Sو Mرآ رسم نمایید.
D
M
فرض کنید که آین قطرها
در نقاط Dو Bبا دآیره برخورد کند.
I
S
K
G
A
در آین صورت ADGBمربع خوآهد بود.
H
B
E
برهان .چون ،ZA=AEقطر GAکمان ZEرآ نصف می کند و بنابرآین GAبر ،ZEوتر آین
کمان ،عمود آست .به همین نحو GA ،بر THعمود آست ،و لذآ TKIو ZIKقائمه آند.
چون THو ZEوترهای کمانهای مساوی آند ،لذآ باهم برآبرند و در نتیجه نصفهای آنها،
یعنی TKو ZIبا هم برآبرند و چون موآزی نیز هستند ،شکل TKIZمستطیل آست.
بنابرآین قطرهای ZKو TIدر آن برآبرند و یکدیگر رآ نصف می کنند،
و در نتیجه ،MI=MK
یعنی ) ∆(MKIمتساوی آلساقین آست.
Z
T
D
M
G
S
K
H
B
I
E
A
چون وترهای مساوی ZEو TH
آز مرکز دآیره هم فاصله آند،KS=SI ،
و لذآ مثلث متساوی آلساقین ،MKI
خط MSضلع KIرآ نصف می کند
و لذآ بر آین ضلع عمود آست.
بنابرآین قطر DBبر قطر GAعمود
و ZDGBمربع آست.
T
D
Z
M
G
S
K
H
B
I
E
A
با تشکر آز توجه
آستاد محترم و
دآنشجویان عزیز