Transcript انتگرال گیری

‫تاریخچه‬
‫حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای برآورده کردن نیازهای دانشمندان قرن ‪ 17‬ابداع‬
‫شد‪.‬البته الزم به ذکر است ریشه های این علم را میتوان تا هندسه کالسیک یونانی میتوان ردیابی‬
‫کرد حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند‪ ،‬زاویه‬
‫آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین‬
‫فاصله را از هم دارند‪،‬پیش بینی کنند ‪.‬پیش از پیشرفتهای ریاض ی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و‬
‫الیب نیتس انجامید‪،‬یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر‪،‬ثبت اطالعات‪،‬و انجام محاسباث سه‬
‫قانون حرکت سیارات را کشف کرد ‪:‬‬
‫‪.1‬هر سیاره در مداری بیض ی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است ‪.‬‬
‫‪.2‬خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی میکنند‪.‬‬
‫قانون اول کپلر‬
‫‪.3‬مربع گردش هر سیاره به دور خورشید‪،‬متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید‬
‫ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای‬
‫است ‪.‬‬
‫قانون دوم کپلر‬
‫قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال‬
‫امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاض ی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که‬
‫اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه‬
‫انبوهی از مسائل را حل میکند ‪.‬امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای‬
‫کلی اقتصادی استفاده می کنند‪ .‬اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره‬
‫میگیرند‪،‬و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند‪،‬دانشمندان علوم فضایی آن را برای‬
‫طراحی موشکها به کار میبرند‪.‬روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو ‪ ...‬به طور خالصه‬
‫حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد ‪.‬‬
‫بزرگان این علم‬
‫این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث‪ .‬از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ‪،‬کاوالیری‪،‬فرما‬
‫و جیمز گرگوری اشاره کرد ‪.‬پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن ‪ 18‬با سرعت زیادی ادامه یافت‪ ،‬در زمره‬
‫مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد‪.‬در واقع خانواده برنولی همان نقش ی‬
‫را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند ‪.‬تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و‬
‫انتگرال را ریاضیدانان قرن ‪ 19‬از جمله لوئی کوش ی و کارل وایرشتراس بر عهده گرفتند ‪.‬مطلب را با سخنی از جان فون‬
‫نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد‬
‫ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست ‪.‬به عقیده من‪،‬این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله‬
‫آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاض ی‪ ،‬که توسیع منطقی آن است‪،‬هنوز بزرگترین پیشرفت‬
‫فنی در تفکر دقیق به شمار می آید »‪.‬‬
‫ً‬
‫نکته ‪ :‬انتگرال واقعا پاد مشتق نیست (یک عدد است)‬
‫اما به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال‬
‫استفاده کنیم‬
‫تقریب انتگرالهای معین‬
‫انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ‪،‬تخمین زده‬
‫شوند‪.‬یکی از عمومی ترین روش ها ‪،‬روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر‬
‫نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی‬
‫انتگرال است ‪.‬‬
‫از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای‬
‫است‪ .‬اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعض ی از مواقع‬
‫که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند ‪.‬‬
‫محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار‪.‬‬
‫هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری‬
‫از مقدار انتگرال بدست میآید‬
‫تعریف های انتگرال‬
‫از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال‬
‫لبسکی )‪(lebesgue‬است‪ .‬انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال‬
‫‪ 1854‬ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را‬
‫هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و‬
‫انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت‪ ،‬ارائه می کرد ‪.‬‬
‫از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال‪riemann-‬‬
‫‪stieltjes‬اشاره کرد‪ .‬پس به طور خالصه سه تعریف زیر از مهمترین‬
‫تعاریف انتگرال میباشند‪:‬‬
‫انتگرال گیری یکی از دو عامل اساسی در حسابان میباشد و از آنجائیکه‬
‫برخالف مشتق گیری‪ ،‬غیر‪-‬جزیی می باشد‪ ،‬جداول انتگرالهای شناخته شده‬
‫اغلب مفید می باشند‪ .‬این صفحه و صفحه بعد عمل معکوس مشتق گیری‬
‫های معمول را فهرست نموده است؛ ما از ‪C‬برای یک مقدار ثابت دلخواه در‬
‫انتگرال گیری استفاده مینماییم‪ ،‬که در صورتی قابل تعیین خواهد بود که‬
‫اطالعی از مقدار انتگرال در نقطه‌ای داشته باشیم‪ .‬لذا هر تابع تعداد‬
‫نامحدودی انتگرال دارد‪.‬‬
‫انتگرالهای معین‬
‫توابعی وجود دارند که عمل معکوس مشتق گیری را برای آن توابع نمی‬
‫توان در شکل بسته نمایش داد‪ .‬بهرحال‪ ،‬مقادیر انتگرالهای محدود این‬
‫گونه توابع را میتوان در فاصله های متعارف محاسبه نمود‪ .‬ذیال‪ ،‬تعداد‬
‫کمی از انتگرالهای محدود ارائه شده‌اند ‪.‬‬
‫تابع‬
‫در ریاضیات ‪ ،‬تابع رابطهای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعهای دیگر‬
‫(شاید یک عضو از مجموعه) را بیان میکند‪ .‬نظریه درباره تابع یک پایه اساس ی برای خیلی از شاخههای‬
‫ً‬
‫ریاض ی به حساب میآید ‪.‬مفاهیم تابع ‪ ،‬نگاشت و تبدیل معموال مفاهیم مشابهای هستند‪ .‬عملکرد ها‬
‫ً‬
‫معموال دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل میشوند‪ .‬در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر‬
‫ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید میکند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار‬
‫نمیبرند ‪.‬یعنی در واقع یک تابع میتواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولید کند‪.‬‬
‫برای مثال با فرض ‪ y=x2‬با ورودیهای ‪ -5‬و ‪ 5‬خروجی یکسان ‪ 25‬را خواهیم داشت‪ .‬در بیان ریاض ی تابع‬
‫رابطهای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده‬
‫‪.‬‬
‫است‬
‫به عنوان مثال تابع ‪ f(x)=x2‬بیان میکند که ارزش تابع برابر است با‬
‫مربع هر عددی مانند ‪x‬‬
‫در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی میکنند‪ .‬با این شرط که هرگاه دو‬
‫زوج با مولفههای اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفههای دوم آنها نیز یکسان‬
‫باشد‪ .‬همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه مینامند‪ .‬مفهوم‬
‫تابع اساس ی اکثر شاخههای ریاض ی و علوم محاسباتی میباشد‪ .‬همچنین در حالت کلی لزومی‬
‫ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر‬
‫نشان دهیم ‪.‬فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد‬
‫میشود در چنین حالتی تابع را میتوان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر‬
‫ورودی یک خروجی تولید میکند‪ .‬همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ‪ ،‬عدد و یا مجموعه‬
‫باشد‪ .‬یعنی ورودی تابع را میتوان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع‬
‫و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره میبرند ‪.‬‬
‫تاریخچه تابع‬
‫نظریه مدرن توابع ریاض ی بوسیله ریاضیدان بزرگ الیب نیتر مطرح شد همچنین نمایش‬
‫تابع بوسیله نمادهای ‪ (y=f(x‬توسط لئونارد اویلر در قرن ‪ 18‬اختراع گردید‪ ،‬ولی نظریه‬
‫ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط‬
‫جوزف فوریه بیان شد‪ .‬برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاض ی سری‬
‫فوریه دارد‪.‬چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند‪ ،‬البته‬
‫موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه‬
‫مجموعهها در قرن ‪ 19‬پایه و اساس محکمی نداشت‪ .‬بیان یک تابع اغلب برای مبتدیها با‬
‫کمی ابهام همراه است‪ ،‬مثال برای توابع کلمه ‪ x‬را به عنوان ورودی و ‪ y‬را به عنوان‬
‫خروجی در نظر میگیرند ولی در بعض ی جاها ‪ y,x‬را عوض میکنند ‪.‬‬
‫ورودی یک تابع را اغلب بوسیله ‪ x‬نمایش میدهند‪ .‬ولی زمانی که ورودی تابع اعداد‬
‫صحیح باشد‪ .‬آنرا با ‪ x‬اگر زمان باشد آنرا با ‪ ، t‬و اگر عدد مختلط باشد آنرا با ‪z‬‬
‫نمایش میدهند‪ .‬البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر‬
‫چه نوع اشیایی اثر میکند بکار میرود‪ .‬واژه قدیمی آرگومان قبال به جای ورودی بکار‬
‫میرفت‪ .‬همچنین خروجی یک تابع را اغلب با ‪ y‬نمایش میدهند در بیشتر موارد به‬
‫جای ‪ f(x) , y‬گفته میشود‪ .‬به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار میرود‪.‬‬
‫خروجی تابع اغلب با ‪ y‬نمایش داده میشود‪ .‬ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی‬
‫تابع اعداد مختلط باشد‪ ،‬خروجی آنرا با "‪ "W‬نمایش میدهیم ‪. (W = f(z‬‬
‫تعریف روی مجموعه‌ها‬
‫یک تابع رابطهای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعهای را با اعضای مجموعهای دیگر مرتبط‬
‫میکند‪ .‬تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمیتواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ‪ ،‬مثالهایی در زیر‬
‫ذکر میکنیم ‪:‬این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر ‪ ،3‬با دو عنصر ارتباط دارد‪ .‬که این با تعریف تابع‬
‫متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه‪ ،‬دو عنصر در مجموعه موجود است این رابطه یک تابع یک به‬
‫یک است‪ .‬چون به ازای هر ‪ x‬یک ‪y‬وجود دارد ‪.‬‬
‫تعریف ساخت یافته تابع‬
‫بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه ‪ x‬به مجموعه ‪ y‬بصورت ‪ f:x→y‬نوشته میشود و به صورت‬
‫سه تایی مرتب )‪ ( (x,y,G(f‬نمایش داده میشود‪ .‬بطوری که ‪(G(f‬زیر مجموعهای از حاصلضرب‬
‫کارتزین ‪ xy‬میباشد‪ .‬با این شرط که به ازای هر ‪ x‬در ‪ X‬یک ‪ Y‬متعلق به ‪ Y‬نسبت داد شود‪ .‬با این شرط‬
‫زوج مرتب )‪ (x,y‬را در داخل ‪ (G(f‬میپذیریم‪ .‬در این حالت نیز ‪ X‬را به عنوان دامنه ‪ f‬و ‪ y‬را به عنوان‬
‫برد‪ f‬و ‪ (G(f‬را به عنوان نمودار و یا گراف تابع ‪ F‬در نظر میگیرند ‪.‬‬
‫خواص توابع‬
‫توابع میتوانند ‪:‬‬
‫‪ ‬زوج یا فرد باشند ‪.‬‬
‫‪ ‬پیوسته یا ناپیوسته باشند ‪.‬‬
‫‪ ‬حقیقی یا مختلط باشند ‪.‬‬
‫‪ ‬اسکالر یا برداری باشند ‪.‬‬
‫توابع چند متغیره‬
‫یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از ‪f‬‬
‫است که دارای سه پارامتر ‪ x,y,z‬است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند‪.‬‬
‫از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با‬
‫متغیر و و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام در آن وجود دارد‬
‫مفهوم تایع یکی از مهم ترین مفاهیم علم ریاض ی بوده و به همان اندازه در ریاض ی اهمیت دارد که‬
‫مفهوم مجموعه دارد‪ .‬اغلب‪ ،‬می گویند تابع‪ ،‬کمیت متغیری است که از کمیت متغیر دیگر تبعیت‬
‫می کند‪ .‬برای توزیع "معمولی"‪ ،‬مانند ‪Y=sinx ,y=x2 , y=a+bx :‬‬
‫والی آخر‪ ،‬این تعریف کامال مناسب می باشد‪ .‬ممکن است اگر توابع دیگری‪ ،‬مانند ‪:‬‬
‫‪ y=sin2x+cos2x‬را در نظر بگیریم‪ ،‬می بینیم که مقادیر آن تابعه دیگر تغییر نمی کند و‬
‫بنابراین دیگر کمیت متغیری که از کمیت ‪ x‬تبعیت کند‪ ،‬وجود نداد ‪.‬‬
‫تعریف تایع ‪:‬‬
‫تناظری که به هر عنصر ‪ x‬از یک مجموعه ‪ x‬فقط و فقط یک عنصر ‪ y‬از یک مجموعه ‪y‬‬
‫رانسبت را دهد‪ ،‬تایع گویند‪ .‬توابع را با حروف ‪ f‬یا حروف کوچک خطی التین نشان می دهیم ‪.‬‬
‫قلمرو و برد تابع‬
‫مجموعه ‪ x‬را قلمرو تابع و مجموعه ‪ y‬را برد تابع ‪ f‬می نامند‪ .‬تابع ‪f‬را از مجموعه ‪ x‬به‬
‫مجموعه ‪ y‬را معموال به صورت )‪ f:x→y y=f(x‬نشان می دهند ‪.‬‬
‫مثال هایی از تابع ‪:‬‬
‫تبدیل درجه فارنهایت به سانتیگراد را در نظر می گیریم برای هر عدد حقیقی‪ ، x‬درجه فارنهایت‬
‫معادل است با درجه سانتیگراد ‪.‬فرض می کنیم ‪ y,x‬هر دو عدد مجموعه اعداد حقیقی باشند‪،‬‬
‫در نتیجه این عمل‪ ،‬به هر عنصر ‪ x‬از مجموعه‪ X‬عنصر یگانه )‪ f(x‬از مجموعه ‪ y‬را نظیر می‬
‫کند ‪.‬اگر داشته باشیم ‪:‬پس نتیجه می گیریم برای هر مقدار ‪ x‬یک مقدار ‪ x‬از منحصر بفردی ‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f(32)=0‬‬
‫=)‪f(68‬‬
‫‪0‬‬
‫است ‪f(212)=0‬‬
‫موجود‬
‫گراف تابع ‪:‬‬
‫در تابع ‪ f:X→Y‬مجموعه تمامی زوج هائی که اجزای اول آن ها را عناصر مجموعه ‪ X‬و اجزای دوم آن ها‬
‫را تصویر عناصر مجموعه ‪ X‬تشکیل می دهند‪ ،‬گراف تابع خواهد بود ‪.‬‬
‫مفاهیم مربوط به تابع ‪:‬‬
‫برای توابع مفاهیمی مانند "گراف تابع"‪" ،‬ناحیه مبدا تابع"‪" ،‬ناحیه تعریف تابع"‪" ،‬ناحیه‬
‫مقادیر تابع" ظاهر می شود چون برای تابع‪ ،‬ناحیه تعریف با ناحیه مبدا منطبق می شود‪،‬‬
‫بدین جهت برای تابع فقط ناحیه تعریف را به تنهایی به کار می برند‪ .‬تابع ‪ f‬را با ناحیه‬
‫تعریف ‪ x‬ناحیه مقصد ‪ y‬تابعی را "نوع "‪ x→y‬می نامند ‪.‬‬
‫تعبیر هندس ی تابع ‪:‬‬
‫‪f‬تابع است اگر خطی موازی محور ‪ y‬ها رسم کنیم منحنی تابع را فقط و فقط در یک نقطه قطع کند‪ .‬یعنی به ازای‬
‫یک ‪ y‬فقط و فقط یک ‪ x‬داشته باشیم ‪.‬‬
‫تابع ‪ f:x→y‬را در نظر می گیریم‪ .‬منظور از تابع‪ ، f‬تصویر قلمرو آن است‪ .‬یعنی مجموعه )‪f(x)={f(x‬‬
‫معموال تصویر تابع ‪ f:x→y‬را با نماد )‪ Im(f‬نشان می دهند‪ :‬بنابراین داریم )‪Im(f)=f(x‬‬
‫به عنوان مثال‪ ،‬اگر تابع‪ ، f‬تصویر جانور ‪ x‬به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار ‪ y‬باشد‪ ،‬آنگاه تصویر تابع ‪ f‬یعنی‬
‫)‪Im(f‬برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود ‪.‬در حالت کلی‪ ،‬در مورد تابع دلخواه ‪ f(x), f:x→y‬معموال با‬
‫‪y‬براتبر نیست‪ .‬مثال درمثال تصویر جانور ‪ x‬به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار‪ ، y‬سایه جانور یعنی )‪ f(x‬معموال‬
‫نباید تمام دیوار را بپوشاند‪ .‬البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم ‪.‬در این حالت ‪ f‬را تابعی از مجموعه ‪ x‬به‬
‫روی مجموعه ‪ y‬یا به طور خالصه ‪ f‬را پوشا می نامیم ‪.‬‬
‫پایان‬