Transcript lecture8
جلسه 10 فصل 5کتاب گروسو نظریه باند انرژی کریستالها فرضهای اساس ی در نظریه باند انرژی در این نظریه ما یک الکترون را در یک شبکه پریودیک در نظر میگیریم. که در آن الکترونها باید شکل بالخی داشته باشند. ) (Iیونها یخ زده اند. ) (IIتقریب تک-الکترونی با پتانسیل موضعی ) (IIIاثرات نسبیتی در نظر گرفته نمیشوند. دو استراتژی کلی وجود دارد: -1حالتهای کریستالی بر حسب مجموعه ای از توابع بالخ مستقل از انرژی بسط داده میشوند (روش تنگابست، روش توابع موج تخت متعامد شده و روش شبه پتانسیل). -2فرمالیزم بر حسب حالتهای تک-سلولی پایه ریزی میشود با توابع حاالت وابسته به انرژی (روش سلولی( ،)Cellular methodروش توابع موج تخت تکمیل شده ( )Augmented plane waveو روش تابع گرین) ) .در این روشها یک سلول ویگنر-سایتز در نظر گرفته میشود و معادله شرودینگر برای آن حل میشود. حاالت بدست آمده ،مجموعه پایه هایی خواهند بود برای توابع موج کریستال. فرضهای اساس ی در نظریه باند انرژی روش تنگابست )Tight Binding (LCAO این روش توصیف خوبی از حاالت اشغال شده برای همه کریستالها و همچنین الیه های پایینی در باند رسانش دارد .برای سادگی یک شبکه کریستالی ساده با یک اتم برای هر یاخته واحد در نظر میگیریم. توابع موج کریستالی از بسط این حاالت بدست می آیند: حال برای بدست آوردن ویژه مقادیر و ویژه حاالت دترمینان زیر را حل می کنیم: که در آن: این معادله بسادگی با استفاده از تابع موج کریستالی در معادله شرودینگر و ضرب 𝑗 Φاز چپ بدست می آید. روش تنگابست )Tight Binding (LCAO محاسبات زیر را برای حالتی که حاالت اتمی بشدت جایگزیده هستند داریم: انتگرالهای میدان کریستالی تعریف میشوند بودن دنباله کوملبی در مکان tn=0تنها مقداری ثابت است و بی اهمیت. که با فرض ثابت روش تنگابست )Tight Binding (LCAO حال اگر تقریب دو-مرکزی را در نظر بگیریم( ،با صرف نظر از انتگرالهای میدان کریستالی و تنها در نظر گرفتن اولین همسایه ها) بدست می آوریم: که در آن ها بردارهای شبکه مربوط به اولین همسایه ها میباشد .این رابطه شکل ماتریس ی Mرا بطور کامل بدست می دهد. روش تنگابست Tight Binding (LCAO) مدل تنگابست بر روی ساختارهای ترکیبی در این حالت تابع موج قبلی را یک تعمیم ساده میدهیم: میباشد .در باال 𝜇𝑑 موقعیت اتمها و هامیلتونین سیستم بصورت در سلول را نشان میدهد و iحالت کوانتومی اوربیتال مورد است .به امکان هیبریدیزاسیون توجه کنید. برای مثالی از این تکنیک ،یک شبکه fccرا در نظر بگیرید: تنها اوربیتال sرا در نظر میگیریم: مدل تنگابست بر روی ساختارهای ترکیبی براحتی دیده می شود که حال بسراغ حالت پیچیده تر اوربیتالهای pمیرویم .در این حالت داریم: بعنوان تمرین اثبات رابطه زیر از شما خواسته شده است اثبات نمایید: مدل تنگابست بر روی ساختارهای ترکیبی بنابراین ماتریس زیر را باید محاسبه نماییم (توجه کنید که فرض کرده ایم که تمام ویژه حاالت بالخی متعامدند). اگر ویژه حاالت را رسم نماییم به شکل زیر میرسیم مدل تنگابست بر روی گرافیت برای این حالت داریم: توجه شود که در این حالت ما باید مولفه های هامیلتونین را با دقت بیشتری محاسبه نماییم ،به این معنی که عناصر روی قطر کامال موضعی هستند. مدل امواج تخت متعامد شده )Orthogonalized Plane Wave (OPW در این روش ما از توابع موج تخت بعنوان توابع پایه بهره میجوییم که توسط (سامرفلد و بته .)1933این روش بخاطر سادگی در محاسبه عناصر ماتریس ی جذاب است (عملگر انرژی جنبش ی در این پایه ها قطری است و عنصر ماتریس ی پتانسیل ،بسادگی تبدیل فوریه آن است). هامیلتونین و توابع موج تخت زیر را داریم: عناصر ماتریس ی عبارتند از: مدل امواج تخت متعامد شده )Orthogonalized Plane Wave (OPW عامل ساختار اتم در موقعیت 𝜈𝑑 میگویند و به به فاکتور شکل گفته میشود. مسئله رمبش وردش ی :فرض کنید معادالت باال را حل کنیم .حل باال شامل تمام جوابها ،از جمله حاالت مربوط به کمترین انرژیها است .از طرفی این جوابها عمدتا بسیار جایگزیده هستند و تعداد توابع موج تخت بسیار زیادی برای بسط دادن آنها نیاز است. هرینگ ( )1940اولین بار این موضوع را متوجه شد و راه حلی برایش پیدا کرد .او بیان کرد که را داشته باشیم و قصد قطری فرض کنیم برای سیستم مورد بررس ی پایه های کامل کردن هامیلتونی سیستم در این پایه ها را داریم .جواب کمترین انرژی مدل امواج تخت متعامد شده )Orthogonalized Plane Wave (OPW .حال 𝑐𝑛 حالت اولیه سیستم را داده شده فرض میکنیم. بطودیکه حال با استفاده از این حاالت ،قصد یافتن دیگر حاالت سیستم را داریم .برای این کار پایه های عمود شده به این حاالت را اینگونه میسازیم: و ویژه حاالت انرژی را بر حسب این حاالت بسط میدهیم: بطوریکه حال میتوانیم به راحتی ببینیم: مدل امواج تخت متعامد شده )Orthogonalized Plane Wave (OPW بنابراین بدست می آوریم: معنی این حرفها این است که ما بجای قطری کردن هامیلتونی بر روی کل پایه ها ،پایه های جدیدی ساختیم که بر حاالت هسته عمود هستند .این معادل وارد کردن یک پتانسیل جدید و کار با (قطری کردن هامیلتونی) همان پایه های اولیه است. حال بسراغ مسئله خود بازگردیم .هرینگ پیشنهاد داد که )1 :حالتهای هسته ،جمع بالخ بر روی حاالت اتمی جایگزیده باشند و )2حاالت بیرونی ،امواج تخت با انرژیهای باالتر باشند: مدل امواج تخت متعامد شده )Orthogonalized Plane Wave (OPW الزم به ذکر است که پتانسیل موثر بدست آمده ،مثبت (دافعی) و ناموضعی میباشد. حال کمی محاسبات عملی انجام میدهیم: روش شبه پتانسیل در قسمت قبلی دیدیم که پتانسیل سیستم (که طببیعتا رفتار بسیار تیزی در نزدیکی اتمها دارد) با یک پتانسیل غیر موضعی دافعی (که رفتار بسیار نرمتری در نزدیکی اتمها دارد) باید جایگزین شود .در روش OPWهم حاالت خسته و هم حاالت بیرونی تواما وجود دارند .در روش شبه پتانسیل سعی بر این است که از شر حاالت هسته کامال رها شویم و پتانسیلی که در این روش برای سیستم پیشنهاد میشود پتاسیل نرم موضعی (تابع مکان) است که معموال از برازش نتایج با طبیعت بدست می آید: بنابراین در این روش ما اصال حاالت هیته را در نظر نمیگیریم .بنابراین مشکل رمبش وردش ی در اینجا مطرح نیست.