کاشانی-مفتاح الحساب
Download
Report
Transcript کاشانی-مفتاح الحساب
جیب :
نصف وتر یک قوس را جیب نصف آن قوس نامند.در شکل زیر
ADجیب قوس ACاست ( Cوسط قوس ABو Dوسط پاره خط
ABاست).
درمحاسبات اصطالح جیب با آنچه امروزه sinusمینامیم متفاوت
است.در واقع جیب هرقوس شصت برابر سینوس آن قوس میباشدو
به همین دلیل امروزه جیب قوس aرا با عالمت ( Sin aبا
Sبزرگ) و سینوس آنرابا عالمت ( sin aبا sکوچک
)مینویسند.
Sin a = 60 x sin a
C
A
B
D
سهم :
عمود خارج از وسط یک قوس به وتر آن را بعضی سهم آن قوس و
بیشترریاضیدانان سهم نصف آن قوس مینامند.
اهلیجی:
عبارت است از سطح محصور بین دو قوس متساوی کوچکتر از
نیمدایره و متعلق به دو دایره متساوی.
شلجمی :
یعنی سطح محصور بین دو قوس متساوی بزرگتر از دو نیمدایره و
متعلق به دو دایره متساوی.
اهلیجی
شلجمی
حلقه مسطحه :
سطح محصور بین دو دایره متحدالمرکز (=تاج).
هاللی و نعلی :
سطح محصور بین دو قوس دایره که از نیمدایره بیشتر نباشد(متعلق
به دو دایره متقاطع خواه مسا وی و خواه نامتساوی) وتحدب آنها در
یک جهت باشد هاللی نامیده میشود.اگر دو قوس مذکور از نیمدایره
بیشتر باشند شکل نعلی نامیده میشود.
هاللی
نعلی
ضلع الکره:
آنچه امروزه قاچ کروی مینامند یعنی جسم محصور بین سطح کره و
سطوح دو نیمدایره عظیمه آن.
باب سوم از مقاله چهارم مفتاح الحساب مربوط به چندضلعی های
منتظم است.کاشانی قطر دایره محاطی چند ضلعی منتظم را قطر
اقصر و قطر دایره محیطی آن را قطر اطول چند ضلعی منتظم نامیده
است و برای محاسبه شعاع دایره محاطی ( )rو شعاع دایره محیطی
) (Rبر حسب ضلع چند ضلعی ) (aو عده اضالع آن ) (nدستور
هایی داده است که با عالئم و اصطالحات کنونی به صورت زیر در
می آید
a
R
r
180
n
180
n
=R
2 sin
cotg
a
2
=r
و برای محاسبه مساحت ) (Sچند ضلعی منتظم از رابطه :
n
استفاده کرده و مقدار
180
n
4
cotg
=
180
n cotg
S
a
n
4
را برای مثلث متساوی االظالع و پنج ضلعی و شش ضلعی و هفت
ضلعی و هشت ضلعی و نه ضلعی و ده ضلعی و دوازده ضلعی و
پانزده ضلعی و شانزده ضلعی منتظم هم در دستگاه شمارشصتگانی
وهم اعشاری که خود مخترع آنها است حساب کرده تا برای محاسبه
2
a
مساحت Sمربع ضلع را در اعداد مذکور ضرب کنند.
عالوه بر این در مورد بعضی از چند ضلعی های منتظم روابطی
را که ما بین ضلع ) (aو مساحت ) (Sو شعاع دایره محاطی
) (rبرقرار است به دست میدهد تا بتوان آنها را از روی
یکدیگر حساب کرد و گاهی هر یک از این روابط را به چند شکل
بیان میکنند.
مثال در مثلث متساوی االضالع
و
h4
3
4
a
S 3
2
3a 4
h
4
طول ارتفاع
کاشانی برای محاسبه مساحت مثلث غیر مشخص و استخراج بعضی
از ابعاد آن بر حسب ابعاد دیگر ,دستور هایی می دهد که اگر
اضالع مثلث را a,b,cو شعاع دایره محاطی آن را rو ارتفاع
نظیر آن راس Aرا AH=haو مساحت مثلث را Sو نصف محیط
آن را Pبنامیم آنها را به صورتهای زیر می توان نوشت
)p( p a)( p b)( p c
S
)r (a b c
S
2
ha c sin B
اگر اضالع مثلث معلوم باشند و بخواهیم فاصله پای ارتفاع AHرا مثال از راس
Bپیدا کنیم :
2
a c b
BH
2a
2
2
A
b
c
ha
C
H
B
a
(این همان دستور معروف b2 a 2 c 2 2ac cos Bاست که در آن به جای c cos B
مقدار BHقرار گرفته است)
اگر یک ضلع ) (cو دو زاویه از مثلث مشخص باشد واضح است
که زاویه سوم نیز معلوم است و
c sin A
a
sin C
a sin B
b
sin C
( و اینها در واقع همین دستور کلی اند:
a
b
c
sin A sin B sin C
)
و اگر دو ضلع b , cو زاویه بین آنها معلوم باشند و بخواهیم
ضلع دیگر را حساب کنیمa 2 (b c cos A)2 c 2 sin 2 A :
و این نیز همان دستور a 2 b2 c 2 2bc cos Aاست که اگر A
منفرجه باشدعالمت 2bc cos Aمثبت می شود.
bc cos A
r
abc
را از خود می شماردو
کاشانی دستور
)r (a b c
S
برای محاسبه مساحت مثلث دستور
2
را ذکر می کندو عجیب است که این دو دستور را با هم
1
S
مقایسه نمی کند تا دستور کلی bc sin A
را
2
بدست آورد.
نگاهی به مقاله پنجم مفتاح الحساب:
باب اول مقاله پنجم درباره جبر و مقابله و مشتمل بر ده فصل است.در
فصل اول اصطالحات وعلم جبر و مقابله تعریف می شوند.
اصطالحات:
مسئله الجبریه = معادله
متعادالن = دو طرف معادله
استثناء = جمله منفی
زاید = مثبت
ناقص = منفی
جبر و مقابله :
علم به قانونی است که بوسیله آن بسیاری از مجهوالت عددی از
معلومات مخصوص با روش ویژه ای شناخته می شود.
معنی جبر:
اگر در یک طرف معادله یا هر دو طرف آن جمله کم کردنی(
استثناء ) وجود داشته باشد آن را حذف می کنیم و مثل آن را به
طرف دیگر می افزاییم و مانده یک طرف را با مجموع طرف دیگر
معادل می کنیم و این معنی جبر است.
2
مثال :معادله x 2 x 15پس از عمل جبر می شود:
x 15 2 x
2
معنی مقابله :
اگر یک جمله در هر دو طرف معادله مشترک باشد آن جمله را از
دو طرف معادله حذف می کنیم و این معنی مقابله است.
معنی اعمال رد و تکمیل :
اگر در یکی ازدو طرف معادله ضریب جمله بزرگترین درجه
بزرگتر از یک ( یا کوچکتر از یک) باشد دو طرف معادله را به آن
ضریب تقسیم ( یا در عکس آن ضریب ضرب ) می کنیم تا ضریب
بزرگترین درجه مساوی با یک شود .اگر ضریب مذکور بزرگتر از
یک باشد عمل را“ رد“ و اگر کوچکتر از یک باشد عمل را
” تکمیل“ می نامند.
مثال رد:
معادله 10x 30
2
5x
پس از عمل رد چنین می شود:
x 2x 6
2
مثال تکمیل:
معادله 7
1 2
x 5x
پس از عمل تکمیل چنین می شود:
2
x 10x 14
2
در فصلهای دوم و سوم این باب کاشانی قاعده جمع و تفریق کثیر الجمله ها را
بیان می کند و در فصل چهارم آن به بیان قاعده ضرب کثیرالجمله ها می
پردازد و مثال حاصلضرب
1 3
3
2
2
x x 2x 5 x 2x x 4
x
را مساوی با
4
x x x 6 x 11x 15 x 19
x
2
3
4
5
6
می یابد و برای این کار جدولی تشکیل می دهد که با عالئم کنونی معادل است با:
مضروب
x
1
x
2
x x
2
4
x
5
2x 5
4x
6
4
x
4 x 4x
2
x
3
5
2x
x
2x
10x
5x
3
2
x
2
2x
x
2
3
8 x 20 4
2 5x x
2x
3
4
1 3
3
2
2
x
x
2
x
5
x 2x x 4
x
3
x 6 x 5 x 4 6 x 3 11x 2 15 x 19
مضروب فیه
x 2x
4
x
2
4
x
در فصل نهم همین باب کاشانی حل معادالتی از قبیل
axn2 bxn1 cxn 0
را به حل معادله درجه دوم منجر می کند.مثال حل معادله 6 x 2 8 x 4 x 5
را به حل معادله 6 8 x x 2مبدل می سازد بدون آنکه از ریشه x 0
معادله مذکور گفتگو کند.
در فصل دهم این باب معادالتی از قبیل axn bxmرا مورد بحث
قرار میدهد و میگوید انواع معادالت بیشمار است و قاعده ای از خود
برای حل آنها بیان می کند و آن قاعده این است:
اگر n mباشد داریم:
و از آنجا
b
a
a
b
nm
nm
x
x
مثال :
حل معادله 64x 2 4 x6داریم 16 x 4پس . x 2البته
کاشانی صفر و 2ریشه منفی را در نظر نمی گیرد.
مطلب جالب توجه آنکه در کاشانی در ضمن حل معادله 40 5 x 3
می گوید 40را بر 5تقسیم می کنیم میشود 8و کعب آن را
میگیریم ,زیرا تفاضل بین درجات عدد و قوه سوم 3است.یعنی در
0
3
(
40
)
5
x
و درجه مقدر ثابت 40را
واقع کاشانی میگوید
صفرمی داند یعنی در اینجا صفر را به منزله قوه عدد ثابت چهل
محسوب داشته و صفر را جزو اعداد به حساب آورده است .
باب دوم از مقاله پنجم مفتاح الحساب درباره استخراج مجهول به
طریق حساب خطاین است.کاشانی این روش را در صورتی بکار
می برد که حل مساله به یک معادله درجه اول منتهی شود.یعنی
معادله مساله به صورت ax b cدر آید ,اما اگر استخراج
مجهول منجر به ضرب کردن مجهول در خودش ویا تقسیم مجهول
بر خودش شود ویا به استخراج جذر یا کعب یا امثال آنها احتیاج پیدا
شود دیگر این روش را نمیتوان به کار بست.
خالصه این روش با عالئم واصطالحات کنونی این است که برای
حل معادله ax b cدو عدد دلخواه مختلف x1و x2را در
معادله به جای xمی گذاریم .اگر یکی از این دو عدد در معادله
صدق کند که همان عدد جواب مساله است واگرنه:
خواهیم داشت:
( c d1 )1
()2
ax1 b
ax2 b c d 2
و d1را خطای اول و d 2را خطای دوم می نامند.
اگر دو طرف معادله ax b cرا به ترتیب از دو طرف
معادالت ( )1و ( )2کم کرده و حاصلها را بر هم تقسیم کنیم حاصل
می شود:
x1 x d1
x2 x d 2
و از آنجا ریشه معادله بدست می آید:
x1d 2 x2 d1
x
d 2 d1
البته چون کاشانی فقط اعداد مثبت را در نظر می گیرد و می گوید
که اگر هر دو خطا بر cاضافه یا هر دو کم شوند(یعنی اگر d1وd 2
هر دو مثبت و یا هر دو منفی باشند)برای یافتن ریشه معادله باید
تفاضل حاصلضربهای x1 d 2و x2 d1را بر تفاضل d1و d 2تقسیم
کرد .اما اگر یکی از خطاها بر cاضافه و دیگری از آن کم
شود(یعنی d1و d 2مختلف العالمه باشند)برای یافتن ریشه معادله باید
مجموع حاصلضرب های x1 d 2و x2 d1را بر مجموع d1و d 2
تقسیم کرد.
باب سوم از مقاله پنجم مفتاح الحساب مختص به ایراد پنجاه قاعده
است که به قول کاشانی برای استخراج مجهوالت به کار می
آیند.مولف برای هیچیک از این قاعده ها برهان نیاورده و از این
پنجاه قاعده فقط چهار قاعده را از استنباطات خود می داند که
عبارتند از قاعده هفتم ,نهم ,پانزدهم ,شانزدهم که ذیال به آنها
اشاره می کنیم.
قاعده هفتم :همان دستور محاسبه جمله nام و مجموع nجمله از
یک تصاعد حسابی است که اگر جمله اول تصاعد را aو جمله
nام را lو تفاضل ثابت (قدرنسبت) را dبنامیم به صورت زیر
در می آید
l a (n 1)d
) n( a l
2
Sn
قاعده نهم:دستور محاسبه مجموع تضاعیف واحد یعنی nجمله از
یک تصاعد هندسی است که جمله اول آن واحد و قدر نسبت آن 2
باشد:
2 1
n
n 1
1 2 2 2 2 ... 2
4
3
2
1
مثال:
1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 512 1 511
همین قاعده را کاشانی در قاعده پانزدهم تعمیم داده است.
قاعده پانزدهم:دستور محاسبه مجموع قوای متوالی یک عدد دلخواه است که
کاشانی آن را به صورتهای زیر بیان کرده:
n
n
n
a
a
a
a
(
a
1
)
a
a
k
1
2
n
n
a
a
a
...
a
a
1
a 1
a 1
a 1
n
مثال:
41 42 ... 45 1364
p
کاشانی همین دستور را در موردی که عدد aکوچکتر از واحد و به شکل
q
باشد به صورت زیر در آورده است:
k
مثال:
p
(q n p n ) p
1 q (q p)q n
n
3 3 3 3
)3(44 34 ) 3(256 81
13
4
2
4 4 4 4
)4 (4 3
256
256
4
3
2
m
قاعده شانزدهم :دستور محاسبه aوقتی mعددی بزرگ باشد و
8
نخواهیم قوای متوالی aرا حساب کنیم.مثال کاشانی برای محاسبه 5
آن را به صورت زیر در می آورد:
5 [5 ] ] ] [25 ] ] [625 ] 390625
2
2 2
2 2 2
8
و همچنین برای محاسبه 314می نویسد:
314 3248 32 (32 )2 [(32 )2 ]2 9 81 6561 4,782,969
تبصره :1برخی قانونهای جالب توجه دیگر مربوط به محاسبه
مجموع سلسله ها نیز جزو این پنجاه قاعده هست ولی کاشانی آنها را
از خود نمیداند و چون هر جا قاعده ای از خود یافته به صراحت
متذکر شده است معلوم است که این قاعده ها را از دیگران اقتباس
کرده است و از جمله است دستور های زیر:
قاعده دهم:
n
2
)n(n 1
2 (k 1)k 1 2 2 3 ... (n 1)n 3 (n 1) 2
قاعده یازدهم:
(n 1)n (n 1)n
3 (k 2)(k 1)k 1 2 3 2 3 4 ... (n 2)(n 1)n 2 2 1
n
که مساوی است با:
)(n 2)( n 1)n(n 1
2
قاعده دوازدهم :محاسبه مجموع مربعات اعداد طبیعی از 1تا :n
2n 1
)1 k 1 2 3 ... n 3 (1 2 ... n
که مساوی است با:
)n( n 1)( 2n 1
6
n
2
2
2
2
قاعده سیزدهم :محاسبه مجموع مکعبات اعداد طبیعی از 1تا n
2
1 k 1 2 ... n (1 2 3 ... n) 1 k
n
n
2
که مساوی است با:
3
2
3
)n (n 1
n(n 1)
2
4
2
2
3
3
قاعده چهاردهم :محاسبه مجموع قوای چهارم اعداد طبیعی از ا تا
:n
n
k
1
n
n
4
2
1
k
k
1
1
5
یعنی:
)n ( n 1) n ( n 1)( 2 n 1
2
6
1
k
)1 n ( n 1
5
2
n
4
1
این عبارت را می توان به صورت ساده زیر نوشت:
6 n 5 15 n 4 10 n 3 n
30
n
4
k
1
تبصره :2قاعده پنجاهم درباره استخراج اعداد متحاب است.کاشانی
این اعداد را چنین تعریف می کند:
“عددهای متحاب اعدادی هستند که مجموع اجزای هر یک از آنها
مساوی با عدد دیگر باشد”
و باید دانست که اجزای هر عدد صحیح غیر اول اعدادی هستند که
آن عدد را می شمرند(یعنی آن عدد بر آنها قسمت پذیر است)و از آن
کوچکترند.
باب چهارم از مقاله پنجم مفتاح الحساب که تقریبا یک پنجم همه آن
کتاب را شامل است مشتمل بر 39مساله است که کاشانی آنها را با
جبر و مقابله یا بوسیله علم مفتوحات(یعنی حل کردن مسائل حساب
بدون استفاده از معادالت جبری) و یا با قاعده خطاین حل کرده و
خود در ابتدای آن گفته است که بعضی از آن مسائل را از کتاب
الفوائد البهائیه اقتباس کرده و آنها را با روشهای گوناگون حل کرده
است.
این باب در سه فصل است وفصل اول آن مشتمل بر 25مساله
است که به معادالت یک مجهولی یا چند مجهولی درجه اول یا دوم
یا به معادالت سیال منجر می شود.
به عنوان مثال در اینجا مساله یازدهم این باب را مرور می کنیم:
مساله :
می خواهیم عدد 10را به دو قسمت تجزیه کنیم به نحوی که مجموع
مربع قسمت اول و خود قسمت دوم یک مربع کامل باشد.
حل:
2
اگر قسمت اول را xبنامیم ناچار باید قسمت دوم به صورت 2 xy y
2
باشد تا وقتی با xجمع میشود مربع کامل باشد در این صورت داریم:
x (2xy y ) 10
2
و از آنجا :
10 y
x
1 2 y
2
و این یک معادله سیال است یعنی یک معادله است و دو مجهول و
بنابراین ممکن است جوابهای متعدد داشته باشد.
چون در اینگونه معادالت معموال جوابهای صحیح یا منطق مثبت مد
نظر است اگر 2بخواهیم جوابهای صحیح مثبت را بیابیم با در نظر
گرفتن رابطه x 10 yباید اوال y 2از 10کوچکتر باشد یعنی y
1 2 y
2
مساوی با 1یا 2یا 3باشد و ثانیا 10 yبر 1 2 xyقسمت پذیر
2
x
(
2
xy
y
باشد .با اندک دقت معلوم می شود که معادله ) 10
فقط
یک دستگاه جواب صحیح مثبت دارد که عبارتند از :
x 3
y 1
و در این صورت دو قسمت مطلوب عبارتند از:
و واضح است که 32 7 16 42
x3
و
2 xy y 2 7
اما اگر جوابهای کسری را هم بخواهیم ,کافی است که 10 y 2
6
مثبت باشد.مثال اگر y 2باشد حاصل می شود
5
x
و دو
قسمت مطلوب عبارتند از
6
x
5
2
44
2
xy
y
5
و واضح است که
16 2
5
و اگر y 3باشد نتیجه می شود
عبارتند از
و واضح است که:
69
7
22 2
7
44
5
1
7
6 2
5
x و دو قسمت مطلوب
x 17
2 xy y 2
69
7
1 2
7