Transcript T - Hamid Reza Pourreza

‫درس دوم‬
‫حمیدرضا پوررضا‬
‫موضوعات این جلسه‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مثالهایی از سیستمها‬
‫خصوصیات سیستمها به همراه چند مثال‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫علیت‬
‫خطی بودن‬
‫تغییرناپذیری با زمان‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫مثال هایی از سیستم ها‬
3
x(t)
CT System
y(t)
x[n]
DT System
y[n]
RLC ‫ مدار‬:1 ‫مثال‬
H.R. POURREZA

‫مثال هایی از سیستم ها‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫مثال ‪ :2‬سیستم مکانیکی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫باالنس نیرو‬
‫مشاهدات‪ :‬سیستمهای فیزیکی بسیاری میتوانند به شکل فوق و بصورت ریاضی مدل‬
‫شوند‪.‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫مثال هایی از سیستم ها‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫مثال ‪ :3‬سیستم حرارتی‬
‫صفحه خنک کننده در حالت پایدار‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫مثال هایی از سیستم ها‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫ادامه مثال ‪:3‬‬
‫‪‬‬
‫مشاهدات‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫متغیر مستقل میتواند مقداری بجز زمان باشد‪ ،‬مثال مکان‬
‫در چنین سیستمهایی ممکن است بجای حالت اولیه‪ ،‬شرایط مرزی داشته باشیم‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫مثال هایی از سیستم ها‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫مثال ‪ :4‬یک آشکارساز لبه ساده‬
‫این سیستم تغییر در تغییرات سیگنال را آشکار میکند‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫مثال هایی از سیستم ها‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫مشاهدات‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تعدادی زیادی از سیستمها (نه همه) با استفاده از معادالت دیفرانسیل و یا معادالت‬
‫تفاضلی بیان میشوند‪.‬‬
‫چنین معادالتی‪ ،‬بالذاته‪ ،‬رفتار ورودی‪/‬خروجی سیستم را کامال مشخص نمیکنند‪ ،‬بلکه‬
‫نیاز به حاالت کمکی (حاالت اولیه‪ ،‬شرایط مرزی)‬
‫در برخی سیستمها‪ ،‬متغیر مستقل طبیعی زمان است و سیستمها علی هستند‪ ،‬اما این‬
‫مساله همیشه صادق نیست‬
‫خیلی از سیستمهای فیزیکی مختلف میتوانند به کمک روابط ریاضی مشابهی بیان‬
‫شوند‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫خصوصیات سیستم ها‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫علیت‪ ،‬خطی بودن‪ ،‬تغییرناپذیری با زمان و ‪...‬‬
‫‪‬‬
‫چرا؟‬
‫‪‬‬
‫ملزومات عملی‪/‬فیزیکی مهم‬
‫‪‬‬
‫این خصوصیات ساختار و بینشی را فراهم میکند که بتوانیم سیستمها را عمیقتر آنالیز و‬
‫درک کنیم‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪ -‬علیت‬
‫)‪(Causality‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫یک سیستم علّی است اگر خروجی نتواند آیندهی ورودی را پیشبینی کند‪ .‬یعنی اگر خروجی در‬
‫هر لحظه تنها وابسته به مقدار ورودی تا آن زمان باشد‬
‫همه سیستمهای بالدرنگ فیزیکی علّی هستند‪ ،‬زیرا زمان تنها به جلو میرود‪ .‬اثر هر واقعه را‬
‫بعد از وقوع میتوان دید (تصور کنید که سیستمی داشته باشید که وابسته به قیمت سهام روز‬
‫بعد باشد)‬
‫علیت به سیگنالهای ‪ spatially‬با متغیر مستقل مکان اعمال نمیشود (میتوانیم به چپ و‬
‫راست و باال پایین حرکت کنیم)‪.‬‬
‫علیت به سیستمهایی که سیگنالهای ضبط شده را پردازش میکنند اعمال نمیشود (رقابت‬
‫ورزشی ضبط شده در مقابل پخش زنده)‪.‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
(Causality)
‫ علیت‬- ‫خصوصیات سیستم ها‬
11
:‫ علّی است اگر‬x(t)  y(t) ‫ یک سیستم‬:)CT ‫از نظر ریاضی (در سیگنال‬
when
and
x1(t)  y1(t)
x1(t) = x2(t)
x2(t)  y2(t)
for all t ≤ to
Then
y1(t) = y2(t)
for all t ≤ to
H.R. POURREZA

‫خصوصیات سیستم ها ‪ -‬علیت‬
‫)‪(Causality‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫کدام سیستم علّی و کدام غیرعلّی است‬
‫‪‬‬
‫)‪ Y(5‬وابسته به )‪ x(4‬است ‪ --‬سیستم علی است‬
‫‪‬‬
‫)‪ y ،Y(5)=x(6‬وابسته به آینده است ‪ --‬سیستم غیرعلّی است‬
‫‪‬‬
‫]‪ Y[5]=x[-5‬که مشکلی ندارد‪ ،‬اما‬
‫]‪ y ،y[-5]=x[5‬وابسته به آینده است ‪ --‬سیستم غیرعلّی است‬
‫‪‬‬
‫]‪ Y[5‬وابسته به ]‪ x[4‬است ‪ --‬سیستم علّی است‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪ -‬تغییر ناپذیری با‬
‫زمان )‪(Time-Invariance‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫در یک تعریف عامیانه‪ ،‬یک سیستم تغییرناپذیر با زمان ))‪ (Time-invariant (TI‬است اگر‬
‫رفتار سیستم وابسته به این نباشد که االن چه زمانی است‬
‫از نظر ریاضی (برای یک سیستم ‪ :)DT‬یک سیستم ]‪ x[n]  y[n‬یک سیستم ‪ TI‬است‬
‫اگر برای هر ورودی ]‪ x[n‬و هر شیفت زمانی ‪،n0‬‬
‫]‪x[n]  y[n‬‬
‫‪x[n - n0]  y[n - n0] .‬‬
‫‪‬‬
‫‪If‬‬
‫‪then‬‬
‫بطور مشابه برای یک سیستم ‪ CT‬و تغییرناپذیر با زمان‬
‫) ‪x(t )  y(t‬‬
‫‪x(t - t0 )  y(t - t0 ).‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪If‬‬
‫‪then‬‬
‫‪13‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪ -‬تغییر ناپذیری با‬
‫زمان )‪(Time-Invariance‬‬
‫‪‬‬
‫کدام سیستم تغییرناپذیر با زمان و کدام تغییرپذیر با زمان است؟‬
‫‪TI‬‬
‫)‪Time-varying (NOT time-invariant‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪14‬‬
15
‫ تغییر ناپذیری با‬- ‫خصوصیات سیستم ها‬
(Time-Invariance) ‫زمان‬
‫آنچه که استنباط میشود‬
‫ خروجی نیز پریودیک و با همان پریود خواهد بود‬،‫ پریودیک باشد‬TI ‫اگر ورودی به یک سیستم‬
‫اثبات‬
Suppose
and
x (t + T ) = x (t )
x (t )

y (t )
Then by TI
x(t + T)  y(t + T).

These are the
same input!

So these must be the
same output,
i.e., y(t) = y(t + T).
H.R. POURREZA


‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫غیرخطی )‪(Linear and Nonlinear‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫خیلی از سیستمها غیرخطی هستند‪ .‬برای مثال‪ :‬خیلی از المانهای‬
‫الکتریکی (مثل دیود)‪ ،‬دینامیک هواپیما‪ ،‬مدلهای اقتصادی و ‪...‬‬
‫با این وجود تمرکز ما بر روی سیستمهای خطی است‬
‫چرا؟‬
‫‪ ‬مدلهای خطی بیان دقیقی از رفتار خیلی از سیستمها ارایه میکنند‬
‫(مثل مقاومتها و خازنهای خطی)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مدلها میتوانند در حالت سیگنال کوچک و در اطراف نقطهی کار خطی شوند‬
‫آنالیز سیستمهای خطی آسان بوده و ابزار قدرتمندی را در اختیار ما قرار‬
‫میدهند‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪16‬‬
17
‫سیستم های خطی و‬- ‫خصوصیات سیستم ها‬
(Linear and Nonlinear) ‫غیرخطی‬
‫خطی بودن‬

(Superposition) ‫( خطی است اگر دارای خاصیت جمع آثار‬CT) ‫یک سیستم‬
:‫باشد‬
If
x1(t)  y1(t)
x2(t)  y2(t)
then
ax1(t) + bx2(t)  ay1(t) + by2(t)
and
‫چند مثال‬
y[n] = x2[n]
Nonlinear, TI, Causal
y(t) = x(2t)
Linear, not TI, Noncausal
y[n]=x[n+1]
y[n]=nx[n]
‫آیا میتوانید سیستمهایی با ترکیبات دیگر مثال بزنید؟‬
Linear, TI, Noncausal
:‫مثال‬
Linear, not TI, Causal
‫یا‬
H.R. POURREZA



‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫غیرخطی )‪(Linear and Nonlinear‬‬
‫‪‬‬
‫خواص سیستمهای خطی‬
‫‪‬‬
‫جمع آثار‬
‫‪If‬‬
‫‪Then‬‬
‫‪‬‬
‫برای سیستمهای خطی‪ ،‬ورودی صفر ‪ ‬خروجی صفر‬
‫‪ ‬اثبات‪:‬‬
‫‪0  0 x[n] 0  y[n]  0‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫"‪"Proof‬‬
‫‪18‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫غیرخطی )‪(Linear and Nonlinear‬‬
‫‪‬‬
‫ادامه خواص سیستمهای خطی‬
‫‪‬‬
‫یک سیستم خطی علّی است اگر و فقط اگر خاصیت ‪ initial rest‬را‬
‫برآورده کند‪:‬‬
‫‪‬‬
‫اثبات‬
‫‪ -1‬فرض کنید سیستم علّی است‪ .‬نشان دهید که )*( برقرار است‬
‫‪ -2‬فرض کنید که )*( برقرار است‪ .‬نشان دهید که سیستم علّی است‪.‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪19‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫تغییرناپذیر با زمان‬
‫‪‬‬
‫سیستمهای خطی و تغییرناپذیر بازمان )‪(LTI‬‬
‫‪‬‬
‫تمرکز بخش اعظم این درس‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫اهمیت کاربردی‬
‫وجود ابزار قوی برای سیستمهای ‪LTI‬‬
‫یک واقعیت پایهای‪ :‬اگر پاسخ یک سیستم ‪ LTI‬به برخی ورودیها را بدانیم‪،‬‬
‫پاسخ سیستم به خیلی از ورودیهای دیگر برایمان معلوم خواهد بود‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪20‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫تغییرناپذیر با زمان÷‬
‫‪‬‬
‫مثال‪ :‬یک سیستم ‪ DT‬و ‪LTI‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪21‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫تغییرناپذیر با زمان‬
‫‪‬‬
‫مثال‪ :‬یک سیستم ‪ DT‬و ‪LTI‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪22‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫تغییرناپذیر با زمان‬
‫‪‬‬
‫مثال‪ :‬یک سیستم ‪ DT‬و ‪LTI‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪23‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪-‬سیستم های خطی و‬
‫تغییرناپذیر با زمان‬
‫‪‬‬
‫مثال‪ :‬یک سیستم ‪ DT‬و ‪LTI‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫‪24‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪ -‬حافظه دار بودن‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬
‫خصوصیات سیستم ها ‪ -‬پایداری‬
‫‪26‬‬
‫‪‬‬
‫‪H.R. POURREZA‬‬