Transcript Document
به نام آنکه علم را آفرید
غیاث ال ّدین جمشید کاشانی
ترم اول 87-88
زیر نظر دکتر آقایی
گرد آورندگان:
سمیرا ص ّدیقین
فائزه ترکیان
سارا رضایی
مریم ره افروز
خالصه زندگی نامه ی کاشانی
غیاث الدین جمشید کاشانی ریاضیدان عالی قدر و محاسبی ماهر و منجمی
زبر دست و مؤلفی توانا و مخترع آالت دقیق رصد بود و به حق می توان
او را از برجسته ترین ریاضیدانان دوره ی اسالمی دانست .از مهمترین
تألیفات وی می توان به زیج خاقانی ،مفتاح الحساب ،رساله ی محیطیه و
رساله ی وتر و جیب اشاره کرد .وی آلت“طبق المناطق“ را برای عروض
کواکب اختراع کرد و کتاب ”نزههَ الحقایق“ را در شرح آن نوشت.
از جمله شاهکارهای ریاضی او اختراع کسرهای اعشاری
است.وی عدد پی یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن را با
دقتی که تا 150سال بعد از وی در دنیا بی رقیب ماند
حساب کرد.جیب زاویه ی یک درجه را با روش تکراری
حل نوعی معادله ی درجه سوم به وجه بسیار جالب توجهی
که تا زمان وی سابقه نداشت به دست آورد.
نگاهی به مقدمه ی مفتاح الحساب
در مقدمه مفتاح الحساب تعاریف زیر جلب توجه می کند:
.Iموضوع علم حساب عدد است و عدد در شمردن بکار می آید و مشتمل
است بر واحد و آنچه از آن تألیف می شود و به اعتبار کمیت ذاتی یعنی
اگر به عدد دیگر مضاف نشود آن را صحیح می نامند مانند یک,دو,
پانزده وغیره .و به اعتبارکمیت اضافی یعنی اگر به عدد دیگر مضاف
شود آن را کسر می گویند .و عدد منسوب الیه را مخرج می خوانند مانند
یک از دو(کالواحد من االثنین) آن نصف است و سه از پنج (کالثالثه من
الخمسه)و آن سه پنجم است.
.IIعدد مفرد عددی است که فقط در یک مرتبه واقع شود(.یعنی از یکی از
ارقام نه گانه و احیانا یک یا چند صفر تشکیل گردد)مانند
.1,2,20,90,30000
.III
.IV
.V
.VI
.VII
عدد مجرد ,واحد در هرر مرتبره ای کره واقرع شرود عردد مجررد نامیرده مری
شود مانند ( 1,10,1000یعنی یکی از قوای صحیح عدد .)10
عرردد مرکررب عررددی اسررت کرره در دو مرتبرره یررا بیشررتر واقررع شررود ماننررد
.11,133
زوج الزوج عددی است که بتوان آن را آنقدر نصف کرد تا به یک رسید
مانند (8,16یعنی یکی از قوای صحیح عدد .)2
زوج الزوج و الفرد عددی است که زوج الزوج نباشرد ولری بریز از یرک
بار بتوان آن را نصف کرد مانند (12,20یعنری حاصرل ضررب یرک عردد
فرد در یکی ازقوای عدد .)2
زوج الفرررد عررددی اسررت کرره فقررط یررک بررار بترروان آن را نصررف کرررد ماننررد
( 10,30یعنی حاصل ضرب یک عدد فرد در .)2
نگاهی به بابهای اول ودوم از مقاله ی اول
مفتاح الحساب
•
•
•
•
•
در آغاز باب اول کاشانی می گوید که حکمای هند برای عقود نه گانه ی
معروف نه رقم وضع کرده اند به این صورت 1,2,3,4,5,6,7,8,9و
سپس مراتب را تعریف می کند و می گوید“:مراتب عبارت است از
مواضع ارقام متوالی از راست به چپ روی یک سطر و موضع اول را
مرتبه ی یکان و موضع سمت چپ آن را مرتبه ی دهگان گویند“...و بعد
می نویسد“:و بدان که هر صورتی از صورتهای نه گانه اگر در مرتبه ی
اول واقع شود عالمت یکی از اعداد یک تا نه است واگر در مرتبه ی دوم
واقع شود عالمت یکی از عقود نه گانه ی عشرات است که عبارت اند از
90,...,10,20و اگر در مرتبه ی سوم واقع شود عالمت یکی از عقود نه
گانه ی مات است و به همین قیاس “.
کاشانی در این باب از صفر به عنوان رقم یا عدد نام نمی برد اما بعد از
تعریف مراتب می نویسد“:و هر مرتبه ای که در آن عدد نباشد واجب است
که در آن صفری به شکل دایره ی کوچک قرار دهیم تا آنکه خللی در
مراتب حاصل نگردد“و نیز در باب دوم مقاله ی اول مفتاح در ضمن شرح
عمل ”تنصیف “وقتی می خواهد عدد 4000527را نصف کند می
گوید 4“:را نصف می کنیم می شود 2و آن را زیر 4قرار می دهیم و
چون صفر نصف ندارد زیر آن یک صفر قرار می دهیم“...پس در اینجا
هم کاشانی صفر را عدد نمی شمرد و نمی گوید که نصف صفر صفر
است.
اما با این حال در باب سوم مقاله ی اول مفتاح هنگامی که از ضرب کردن
دو عدد در هم گفتگو می کند می گوید“:هر مرتبه ای که در آن صفر واقع
باشد...در حاصل ضرب جز ِء نظیر آن صفری قرار می دهیم ،زیرا حاصل
ضرب صفر در هر عدد دیگر صفر است“پس کاشانی در این موضع صفر
را عدد می شمردو از این هم مهمتر آن است که چنانکه بعداً خواهیم دید
وی صفر را به عنوان نماینده ی قوه به کار برده و به آن معنی یک عدد
واقعی داده است.
نگاهی به باب سوم مقاله ی اول مفتاح الحساب
تعریف کاشانی از ضرب
عددهای صحیح:
” ضرب کردن دو عدد صحیح عبارت از یافتن امثال یکی از آن دو
عدد است به عده ی آحاد عدد دیگر“
تعریف جامع عمل ضرب:
“: ضرب کردن دو عدد به دست آوردن عددی است که
نسبت آن به یکی از آن دو عدد مساوی باشد با نسبت دیگری به واحد.
سپس کاشانی چند قاعده برای عمل ضرب ذکر می کند و برای هر کدام
مثالی می آورد.
مثال :1
برای ضرب کردن عدد 547800در عدد یک رقمی 4حاصلضربهای
جزء یعنی 20=4 5 , 16 =4 4 , 28 =4 7 ,32 =8 4را
طوری مطابق با جدول زیر در دو سطر می نویسد که هر یک از ارقام
آنها به محاذات رقم هم مرتبه ی خود در عدد 5478قرار گیرد و پس از
جمع کردن اعداد حاصل ،صفرها را در مقابل حاصل جمع فرود می
آورد.
چهار
ضرب
در:
0
0
سطر
عمل
0
0
8
7
4
5
2
3
6
1
8
2
0
2
1
9
1
2
2
کاشانی در اینجا به این مطلب اشاره نمی کند که می توان یک عدد یک
رقمی را در یک عدد چند رقمی همانگونه که امروزه متداول است از
راست به چپ ضرب کرد ونتیجه را نوشت .
ا ّما با اینکه وی این روش را برای مبتدیان تشریح نمی کند،می توان یقین
داشت که خود او این طریقه را بکار می بسته است.زیرا بعداً خواهیم دید
که کاشانی همین روش را برای ضرب کردن یک عدد یک رقمی در یک
عدد چند رقمی در موقع انجام دادن عمل تقسیم به کار می برد ،وعالوه بر
این در دستگاه شمار شصتگانی همین روش را توصیه می کند و آن را
برای کسانی که مبتدی نیستند راه ساده ای می داند.
سپس کاشانی به بیان قاعده ی ضرب دو عدد چند رقمی می پردازد و
حاصلضرب 175 7806را به وسیله ی شبکه ی ضرب مطابق با شکل
زیر به دست می آورد.
6
1
7
0
6
8
0
7
8
4
2
5
0
0
4
6
3
5
7
9
4
0
0
0
3
5
5
0
6
6
3
1
! کاشانی ”شبکه ی ضرب ”را که از پیشینیان خود گرفته به صورت بهتری
در آورده و آن را ”شبکه ی مورّب ” نامیده است و حاصل ضرب
! 358 624را مطابق زیر حساب کرده است:
4
3
5
8
2
0
2
6
3
0
6
2
3
6
1
8
0
1
8
9
1
2
2
1
3
4
3
2
2
باالخره کاشانی حاصلضرب 2783 456را مطابق با شکل زیر به دست می آورد:
در این مثا ل حاصلضرب های جزء یعنی 6 2783و 5 2783و 4 2783
نوشته شده است.
3
8
7
6
5
4
8
8
2
1
2
4
8
5
4
1
2
5
1
3
0
4
0
1
2
1
8
2
2
3
8
9
6
4
0
2
1
نگاهی به باب چهارم مقاله ی اول مفتاح الحساب
تعریف کاشانی از تقسیم :
در مورد عددهای صحیح عبارت است از
تجزیه ی مقسوم به اجزای متساوی که عده ی آنها مساوی با آحاد
مقسوم علیه باشد ،هر یک از این اجزا را خارج قسمت گویند.
تعریف جامع عمل تقسیم :
بدست آوردن عددی است که نسبت آن به
واحد مساوی با نسبت مقسوم به مقسوم علیه باشد و یا به دست آوردن
عددی است که نسبت آن به مقسوم مساوی با نسبت واحد به مقسوم
علیه باشد.
در 4
افقی 0
خارج قسمت
باالی آن رسم می کنیم
نویسیم و
مقسوم را می
خطی 2
5
مقسوم
خطهای 1قائم 4از هم7جدا2می 2
و ارقام آن را بوسیله ی2 6
سازیم.
نخستین مقسوم جزء
مقسوم
رسم می
چپافقی
خطی
علیه
وضع
نخستین
علیهعلیه
مقسوم
کنیم وبود،
کوچکتر
مقسوم
سمت
مقسومرقم
علیه از
مقسوم
باالیچپ
درسمت
سپسرقم
اگر
(مقسوم علیه)× 4
2 2
6
0
مقسوم بهعلیه
قبلی
دهیم و در
انتقال می
رقمی به
نخستیندریک
رارا
ارقام آن
وضعکه
باالینویسیم
قسمی می
مناسب به
راست ای
طرف فاصله
مقسوم14به
پایین
جزء=
باقیمانده
دومین مقسوم جزء
1
4 1
نویسیم.
می
گیرند،و در غیر این صورت (مثال ً درتقسیم
محاذات ارقام سمت چپ مقسوم قرار
مقسومباعلیه)× 0
(
عدد 2274126بر ) 565مقسوم 0علیه0 0
باقیماندهب
اولین ی مناس
فاصله
مقسوم و
پایین
راست
در سمت
در را
را )1
اگر فرض کنیم که رقم بعدی مقسوم (یعنی
دومین باقیمانده ی جزء=141
جزء
مقسوم
سومین
1
4
1
2
استثنای
به
مقسوم
چپ
سمت
ارقام
محاذات
به
آن
ارقام
که
جزء(می
طوری
نویسیم) فرود آورده باشیم ،دومین مقسوم جزء(یعنی )141درست به
یعنی 14
ی
مقسوم 1
وضع (1
قرار 3
محاذاتآن 0
در)× 2
علیه
مقسوممقسوم
قرار می(
جدول )،
وضع
گیرد
آخرین رقم سمت چپ
علیه.
گیرد
نخستینعلیه
دومین
کنونیرا)
قاعدهکنیمی
مطابق
یعنی) را (
یعنی 4
خارج8قسمت(2
خارج
چپ
سمت
دومینرقم
سپس
جزء و آن
پیدابا می
صفر) را
قسمت (
سپس
مقسوم
آخرین
چپ 2
سمت 5
رقم=282
جزء
اولینی
باقیمانده
سومین
رقم 1
رقم سمت
محاذات
مرسوم به
باالی (خط
باقیماندهدر
را
آخرینآن
سمتو
در یابیم
می
مطابق با
عمل را
نویسیم و
افقی) می
یعنی 4
جدولقسمت
خارجخارج
قبلی
راست
نویسیم
مقسوم )
راست مقسوم علیه
دهیم.
میمی
ادامه
علیه(رقم 4در جدول
آخرین وضع مقسوم
5
6
5
5 )565ضرب و حاصل (یعنی )2260را از قسمتی
و آن را در مقسوم
یعنی 6
علیه ( 5
سومین وضع مقسوم علیه
از مقسوم که به محاذات مقسوم علیه قرار دارد (یعنی از )2274کم می کنیم و
5
6
5
دومین وضع مقسوم علیه
)14یه را که نخستین باقیمانده ی جزء است می نویسیم.
باقیمانده (یعنی
اولین وضع مقسوم عل
5
6
5
تفاوت روش تقسیم کاشانی با
روش کنونی :
ما امروزه مقسوم علیه را در سمت راست مقسوم طوری می نویسیم که با
مقسوم روی یک سطر قرار گیرد در صورتیکه کاشانی هر بار مقسوم
علیه را یک رقم به سمت راست انتقال می دهد به قسمی که هریک از
مقسوم های جزء درست به محاذات مقسوم علیه در همان تقسیم جزء قرار
می گیرد.
خالصه ی مطالب رساله ی محیطیه با
اصطالحات کنونی
G
oاثبات قضیه ی زیرکه اساس D
همه ی محاسبات بعدی کاشانی در رساله ی
مذکور است در اینجا آمده است :
oقضیه:
B
r
A
O
oاگر روی نیمدایره ی به قطر AB=2rو به مرکز Oقوس دلخواه AGرا
در نظر بگیریم و وسط قوس GBرا که مکمل قوس AGاست نقطه ی D
بنامیم و ADرا رسم کنیم رابطه ی زیر برقرار است
o
AD ^2
)AG
r(2r
و نتیجه گرفته است که اگر شعاع دایره و طول وتر AGمعلوم و نقطه ی
Dوسط قوس BGباشد می توان وتر ADرا حساب کرد.
G
D
r
اگر اندازه ی قوس AGرا بر حسب رادیان
O
B
2بنامیم و شعاع دایره را
واحد بگیریم خواهیم داشت:
AG=2 Sin
A
+ -2 / 2) =2Sin( /4+
)/2
و رابطه ی
(/ 2
AD=2Sin ½(2
بصورت زیر در می آید:
/4 +
) =4 Sin^2
2 + 2 Sin
و از آنجا
2
(
)1 + Sin
= )/4+ /2
( Sin
D
در فصل دوم دایره ای به
Z
قطر AB=2rرا در نظر می گیرد.
C0
C1
C2
H
قوس AGرا مساوی با 60درجه
C3
B
اختیار می کند.
وسط قوس BGرا نقطه ی Dو وسط قوس BDرا نقطه ی Zو وسط
قوس BZرا نقطه ی Hمی نامد.
او می گوید با استفاده از قضیه ای که ثابت شد می توان وتر ADرا از
روی AGو وتر AZرا از روی ADو وتر AHرا از روی AZحساب
کرد و عمل را تا هر جا الزم باشد ادامه داد..
G
A
در واقع با اصطالحات و عالئم کنونی کاشانی روش محاسبه ی وتر های
روبروی قوسهای زیر را بیان کرده است:
AG=a =60
AD=a1=180-60=120
AZ=a2=180-60/2=150
AH=a3=180-60/(2^2)=165
و به طور کلی
(**)
a n = 180 - 60
2 n
اگر وتر روبروی قوس a nرا Cnبنامیم محاسبه ی هر یک از وتر
های C nاز روی وتر ما قبل آن Cnبه وسیله ی قضیه ی مذکور انجام
می گیرد .
( )Cn (2 = r( 2r+C n
و از آنجا
) Cn = r(2r+Cn
(*)
اکنون روی شکل وتر AMرا Cn
فرض می کنیم و وتر BMرا an
M
Cn-1
می نامیم.پس از آنکه Cnازروی دستور
Cn
an
(*) حساب شد چون مثلث
B
AMBقائم الزاویه است می توان
anیعنی BMرا حساب کرد.
an= (2 r(^2 -)Cn)^ 2
N
n
A
ا ّما anدرست مساوی با ضلع 3 2ضلعی منتظم محاطی است زیرا
با در نظر گرفتن تساوی (**) داریم:
MB=180-AM=180-(180- 60 )= 60 = 360
n
2
3
n 1
2
n 1
2
پس قوس MBمساوی با 1/ 3 2nمحیط دایره و وتر MBمساوی با
n
ضلع 3 2ضلعی منتظم محاطی است.
پس :
به ازای هر مقدار دلخواه ( nصحیح و مثبت) می توان anیعنی
n
ضلع 3 2ضلعی محاطی را حساب کرد.
n
برای محاسبه ی ضلع
کرده است:
n
2
2
3ضلعی منتظم محیطی کاشانی این گونه عمل
L
3ضلعی منتظم
BMضلع
محاطی است.
T
Cn
I
اگر وسط قوس BMرا نقطه ی
K
Tبنامیم
A
O
B
و OTرا رسم کنیم تا BMرا
در نقطه ی Iقطع کند
و در نقطه ی Tمماسی بر دایره رسم کنیم تا امتداد OMرا در نقطه ی
Lو امتداد OBرا در نقطه ی nKقطع کند KL ،ضلع 3 2 nضلعی
منتظم محیط بر دایره و مشابه با 3 2ضلعی منتظم محاطی مذکور
است.
M
کاشانی صحت رابطه ی
)OI/(OT-OI) = BM/(KL-BM
را ثابت کرده و گفته که چون OIنصف AMاست اگر AMو BMمعلوم
باشند می توان KLرا به وسیله ی این رابطه حساب کرد.
بنابر این به ازای هر مقدار دلخواه nمی توان KLیعنی ضلع
n
3 2ضلعی منتظم محیطی را به دست آورد.
در فصل سوم محیطیه وی می خواهد عده ی اضالع کثیراالضالع منتظم
محاطی را طوری تعیین کند که در دایره ای که قطرش ششصد هزار برابر
قطر کره ی زمین باشد اختالف بین محیط کثیر االضالع و محیط دایره به
یک مو نرسد .
او واحد های زیر را برای طولها بکار می برد:
1فرسنگ = 12000ذراع(تقریبا ً 6کیلومتر)
1ذراع = 24اصبع (تقریبا ً 50سانتی متر )
1اصبع(انگشت)= 6برابر عرض یک دانه جو
ضخامت جو= 6شعره
شعره = ضخامت موی یال اسب
کاشانی :
دایره ای که قطرش ششصد هزار برابر قطر کره ی زمین باشد طول محیطز
نیز ششصد هزار برابر محیط کره ی زمین است و به فرض آنکه طول محیط
کره ی زمین 8000فرسنگ باشد محیط دایره ی مذکور را که × 600000
8000فرسنگ است در 12000ضرب کرده تا بر حسب ذراع معلوم شود و
سپس حاصل را به ترتیب در 24و 6و 6نیز ضرب کرده تا اندازه ی محیط به
ترتیب بر حسب اصبع و ضخامت جو و عرض مو به دست آید و پس از آنکه
اندازه ی محیط دایره ی مذکور بر حسب مو معلوم شد یک درجه یعنی 1/360
آن را گرفته و نشان داده است که یک ثامنه{(}1/)60^8آن تقریبا ً مساوی با
4 /5ضخامت یک مو است
4 ~ 200 = 6 6 24 12000 8000 600000
5
243
)60^8( 360
و نتیجه گرفته که اگر محیطهای دو کثیر االضالع منتظم محاطی و محیطی را
طوری استخراج کند ،که تفاوت بین دو محیط به یک ثامنه نرسد منظور حاصل
میشودو به این نتیجه رسیده که باید در دایره ی به شعاع 60واحد کثیراالضالعی
محاط کند که طول هر ضلع آن از 8رابعه (( )8/)60^4بیشتر نباشد و جدولی
تشکیل داده که در یک طرف آن 120درجه را 28بار نصف کرده و در طرف
دیگر آن عده ی اضالع کثیر االضالع را ابتدا از مثلث 28بار دو برابر کرده و
عده ی اضالع آن را
28
3 2 = 805306368
28
یافته است و باالخره به این نتیجه رسیده که باید طول ضلع 3 2ضلعی
منتظم محاط در دایره ی به شعاع 60واحد را حساب کند(در محیطیه محاسبات
در دستگاه شصتگانی است) و نشان داده که برای آنکه نتیجه ی محاسبات دقیق
باشد باید هر عمل را در دستگاه شصتگانی تا مرتبه ی ثامنه عشر (()1/)60^18
ادامه دهد.
محاسبه ی مقدار ∏
در فصل هشتم محیطیه کاشانی مقدار محیط دایره را به فرض آنکه شعاع
آن واحد باشد یعنی در واقع مقدار ∏ 2را در دستگاه شمار دهگانی و با
کسرهای اعشاری که اختراع خود اوست به دست آورده به این شرح:
2831853071795865ر 2 ∏ =6
همه ی شانزده رقم اعشاری این عدد دقیق است و این نهایت دقت کاشانی
رادر محاسبه می رساند .برای آنکه در اثر اهمال نسخه نویسان در ارقام
این عدد خللی وارد نیاید و ضمنا ً در حین محاسبه بتوانند از مضارب ∏ 2
استفاده کنند کاشانی مقدار∏ 2را در اعداد صحیح از 1تا 10ضرب و
حاصلها را در جدولی ثبت کرده است.
تفسیر رساله ی وتر وجیب کاشانی با
اصالحات و عالئم کنونی
مطالب رساله ی مذکور را می توان به دو جزء تقسیم کرد:یکی روش به
دست آوردن معادله ی مسئله یعنی معادله ی
3
2
) a )+x )/( 3 60سادسه)) = x
)(1
که در آن مجهول xوترقوس دو درجه از دایره است و یکی دیگر
چگونگی حل این معادله با روش کاشانی که قسمت مهم و اساسی رساله ی
مذکور است.
به دست آوردن معادله ی (: )1
.i
C
نیمدایره ای به مرکز H
و به قطر AHGمساوی
B
با 2rرسم می کنیم
و فرض می کنیم
r
H
A
که
وتر رو به روی قوس دو درجه = وتر = CDوتر = BCوتر AB
پس ADوتر قوس 6درجه است.کاشانی ابتدا جیب 3درجه را از روی
تفاضل جیب 18درجه و جیب 15درجه که قبالً آنها را می دانسته به دست
آورده و آن را در 2ضرب کرده و وتر قوس 6درجه یعنی طول AD
رامساوی با عدد زیر دردستگاه شمار شصتگانی حساب کرده است
a)=6;16,49,7,59,8,56,29,40ثامنه) = AD
D
G
D
و وتر روبروی قوس دو درجه یعنی
C
AB=BC=CD
تشکیل دادن معادله ی مسئله به این طریق
را xمعنی مجهول مسئله گرفته وبرای B
عمل کرده :از قضیه ی بطلمیوس در چهار ضلعی محاطی ABCDحاصل می
شود:
r
G
H
R A
AB.CD+BC.AD=AC.BD
و چون AB=BC=CDو AC=BDپس
2
2
AB+BC AD=AC
2
2
2
()2
یعنی (=AC=BDوتر 6درجه) x + x
اکنون اگر از قطر AGطول GRرا مساوی با CGجدا کنیم
و پاره خطهای BGو BRرا رسم کنیم از دو مثلث متشابه ABHو ARBنتیجه
می شود
AR/AB=AB/AHو از آنجا
2
AB/r=AR
بنابراین اگر شعاع دایره را 60واحد بگیریم داریم:
2
GR=AG -AR=120-AB/60
ازطرف دیگردرمثلث قائم الزاویه ی ACGبا درنظرگرفتن رابطه باال و
اینکه GC=GRداریم
2
2
2
2
2
2
)AC=AG – GC =(120)-(120-AB/60
یعنی
4
2
C
2
AC=4AB-AB/3600
A
R
G
2
اکنون اگر در رابطه ی آخر مقدار ACرا از رابطه ی( )2بگذاریم حاصل
می شود
2
2
4
(= 4 x - x /3600وتر 6درجه) x + x
که پس از تقسیم کردن طرفین بر xو ساده کردن:
3
=3 x – x / 3600وتر 6درجه
3
2
2
( )60( + xوتر 6درجه ) = 3 )60 ( x
ا ّما
2
2
aسادسه = ( a ( ) 60ثامنه ) = ( ( ) 60وتر 6درجه )
پس داریم:
3
2
a( +xسادسه ) = 3 )60 ( x
و از آنجا
a ( + x 3سادسه) = x
2
( 3 )60
روش کاشانی در حل معادله ی ()1
شرح روش بدیع و جالب توجه کاشانی برای حل معادله ی (:)1
معادله ی ( )1را برای سهولت به شکل زیر می نویسیم:
x=q+x3
َ()1
p
2
p= 3,0,0
در دستگاه شصتگانی p = 3 ) 60( :
q = 6 , 16 , 49 ;7 , 59 , 8 , 56, 29 , 40
یعنی در دستگاه اعشاری
2
q= 6 )60 ( + 16 ) 60(+ 49 + 7/60 + 59 / ) 60(2
4
3
5
+80 / ) 60( + 56 / ) 60(+29 / ) 60(+
40 / ) 60(6
فرض می کنیم جواب معادله ی َ ( ) 1در دستگاه شصتگانی به صورت
…x = a+b+c+
باشد که در آن … a,b,c,ارزش نسبی ارقام شصتگانی عدد xهستند.باید
… a,b,c,را یکی پس از دیگری تعیین کنیم.چون xوتر روبروی قوس 2
درجه است مقدار آن نسبت به شعاع دایره که 60فرض میشود کوچک
است و مکعب آن یعنی x 3بسیار کوچک است و می توان در تقریب اول
2
مکعب آن (که باید درمعادله ی اصلی بر 3 60نیز تقسیم شود ) صرف
نظر کرد و xرا تقریبا ً مساوی با q/pگرفت.پس نخستین مقدار تقریبی
x که آن را x1می نامیم عبارت است از:
x1=q/p ~ a
معلوم می شود:
2
x1= 6 × )60 ( + 16 )60( + 49 +...
)60 (2× 3
یا
x1= 2 + 16×) 60( + 49 + ...
3 × )60 ( 2
پس ارزش نسبی نخستین رقم شصتگانی xمساوی با 2درجه (واحد)است
پس از یافتن aدر طرف چپ معادله ی َ ( ) 1به جای xمقدار …a+b+
را که به حقیقت نزدیکتر است و در طرف راست آن مقدار تقریبی aرا
قرار میدهیم :
a+b+…= q+a 3
p
3
b+…= q-ap+a
از آنجا
P
یعنی (ساده شده)b+…= 5 / )60( + 1 × )60(+ 49 + ... + 8 :
3 × ) 60 ( 2
پس ارزش نسبی دومین رقم شصتگانی xمساوی با 5/60یعنی 5دقیقه
است.پس دومین مقدار تقریبی xکه آن را x2می نامیم تعیین شد.
x2= a+b
برای تعیین ارزش نسبی سومین رقم در طرف چپ معادله ی َ ( ) 1به
جای xمقدار … a+b+c+را که به حقیقت نزدیکتر است و در طرف
راست آن مقدار تقریبی a+bرا قرار می دهیم:
3
=…a+ b+c+
)q+(a+b
3 3
3
p
] c+…= )q-ap+a ) - bp+[(a+b)-a
از آنجا (در نهایت):
p
c = 39 / ) 60 (2
پس از محاسبه :
پس سومین مقدار تقریبی xکه آن را x3می نامیم تعیین شد:
x3= a+b+c
با این روش می توانیم ارزش نسبی سایر ارقام شصتگانی xرا تا هر کجا
بخواهیم حساب کنیم و به این ترتیب حاصل می شود:
x1= a
3
3
x2=(q+a ) /p= [q+(x1) ] / p
:
3
xn=[q+( xn-1) ] / p
به دست آوردن Sin 1
کاشانی با روش فوق وتر روبروی قوس دو درجه را در دستگاه شصتگانی
تا رقم تاسعه ی آن حساب کرده است:
= وتر روبروی قوس دو درجه
2 ; 5 ; 39 , 26 , 22 , 29 , 28 , 32, 52 , 33
وآن را نصف کرده و جیب یک درجه را به دست آورده است.
= = 60sin 1جیب یک درجه
1 ; 2 , 49 , 43 ,11, 14, 44 , 16, 26 ,17
اگر مقدار مذکور را به 60تقسیم کنیم و حاصل را در دستگاه شمار
دهگانی بنویسیم سینوس یک درجه با 22رقم اعشاری به دست می آید:
0174524064372835103712رsin 1 = 0
که هفده رقم اعشاری آن با مقدار واقعی سینوس یک درجه موافق است.
کاشانی و کسرهای اعشاری
کاشانی برای نوشتن کسرهای اعشاری به چند طریق زیر عمل کرده و
اگرچه او ممیز را اختراع نکرده ولی کسرهای اعشاری را تقریبا ً به شکلی
که امروزه معمول است می نوشته است.
وی قسمتهای صحیح و اعشاری را با رنگهای مختلف مثالً سیاه و سرخ
روی یک سطر می نوشته و یا قسمت صحیح را با خط ریز و قسمت
اعشاری را با خط درشت می نوشته و یا اینکه اسامی صحیح و کسر را
باالی قسمتهای صحیح و کسری ثبت می کرده و آنها را با خط قائم از
یکدیگر جدا می نموده است .مثال ً 25ر 420را اینگونه نوشته:
صحیح
کسر
420
25
گاهی نیز پس از نوشتن عدد نام آخرین مرتبه ی اعشاری را ثبت می کرده
و با این روش کامال ً می توان قسمت صحیح عدد را از قسمت اعشاری آن
تشخیص داد .مثال ً کاشانی عدد 3489ر 83را بصورت زیر نوشته است:
833489رابع االعشار یعنی رقم 9سمت راست از جنس
اعشار چهارم (ده هزارم) است و یا به عبارت دیگر عدد چهار رقم
اعشاری دارد.ارقام اعشاری آن= 3489و قسمت صحیح آن= 83