Transcript Slide 1
برهان های قضیه ی اول از ابوریحان بیرونی
در کتاب استخراج االوتار
گردآورندگان :
طراحی و انیمیشن:
مهدي اميني
8408933
مجتبي غفوري
8416953
علي فتحي
8417083
مهدي سربازوطن
8413933
امیتیس روشن
8413343
استاد محترم :
دکتر آقايي
بهار 87
ابوریحان بیرونی
ابوریحان بیرونی
• ابوريحان محمدبن احمد در سوم ذیحجه 4(362سپتامبر )973در خوارزم متولد شد.
بسیار خردسال بود که تحصیل علم را آغاز کرد و ابو منصور منجم وریاضیدان بزرگ
خوارزمی به پرورش او همت گماشت .در سن 17سالگی با استفاده از یک حلقه مدرج
که جز نیم درجه را نشان نمی داد ارتفاع نصف النهاری (نیمروزی) خورشید را در کاث
اندازه گرفت واز روی آن عرض آن شهر را بدست آورد.
• ابو ریحان در 11جمادی االول خسوفی را رصد کرد وپیش از ان با ابو الوفائ بوز جانی
قرار گذاشته بود که او نیز همان خسوف را از بغداد رصد کند .وی از روی اختالف
زمانی که بدین طریق بدست می آمد توانست اختالف طول جغرافیای دو شهر را حساب
کند .وی در کتاب تحدید اندازه گیری طول یک درجه از قوس نصف النهار راشرح می
دهد.در393ه.ق دو خسوف را از گرگان رصد کرد.
آثار ابوریحان بیرونی
• کتب ورساالتی که از ابو ریحان به جا مانده عبارتند از:
• در آثار الباقیه(االثارالباقیه من القرون الخالیه) روز که بارزترین واساس ی ترین واحد
گاهشماری است موضوع فصل اول است.بیرونی در باره مزایای مبدا های مختلف
تقویم بحث می کند .طلوع یا غروب(که بر مبنای افق اند).نیمروز ونیمشب (که بر پایه
نصف النهارند) ودستگاههایی را که از هر یک استفاده می کنند نام می برد .بعد انواع
مختلف سال را تعریف می کند سال شمس ی قمری یولیانی وایرانی ومفهوم کبیسه رادر
کار می آورد ودر فصل سوم به تعریف تاریخهای مختلف وشب در آنها می پردازد.
• قرت الزیجات کتاب مرجعی که استفاده کننده با کمک ان می توانست همه مسایل
نجومی زمان خود را حل کند ودر ان تاکید بیشتر بر محاسبات علمی است تا مباحث
نظری وبدین دلیل شبیه زیجهای اسالمی است .مباحث این کتاب شامل قواعد تقویم
نگاری.طول روز.تعیین خداوند نگاراحکامی سال و ماه و روز وساعت.مکان متوسط
ومکان واقعی خورشید وماه وسیارات .ساعت روز .عرض جغرافیایی محل.خسوف
وکسوف .وشرایط رویت برای ماه و سیارات است.
آثار ابوریحان بیرونی
• قانون(القانون املسعودی) از کتاب که در میان آثار نجومی بازمانده بیرونی از همه
جامعتر است جداول عددی بسیاری راکه منجمان واحکا میان قرون وسطی برای حل
مسایل متعارف خود الزم داسته اند به تفصیل شامل است اما در آن بیش از زیجهای
معمولی به گزارش رصدی وروش بدست آوردن روابط توجه شده است .کتاب به یازده
مقاله وهر مقاله به ابواب وفصولی تقسیم شده است.
• ممرها0کتاب الصیدنت فی طب) بیرونی حقیقت را فقط در نوشته ها وگفته ها نمی
جست بلکه میل شدیدی به تحقیق مستقیم در پدیدههای طبیعی داشت واین کار را در
سخت ترین شرایط انجام می داد .واین میل او با قریحه ای در ساختن آالت وابزار
وتمایل به دقت در مشاهدات همراه بود .به دلیل عالقه ای که به دقت داشت ونیز
چون می ترسید که در جریان محاسبات دقت الزم را از دست بدهد ونتایج حاصل از
رصد را به نتایج حاصل از محاسبات ترجیح می داد.
• التفهیم(التفهیم الوایل صناعت التنجیم)کتابی است در س ی در علم احکام نجوم که
بیش از نیم آن به مقدمات موضوع اصلی اختصاص دارد .کتاب هم به فارس ی مو جود
است وهم به عربی که ظاهرا هر دو صورت ان را ابو ریحان خود فراهم کرده است ودر
مجموع پنج فصل دارد.
آثار ابوریحان بیرونی
•
•
•
•
•
•
•
•
•
اسطرالب(کتاب فی استجاب الوجوه املمکنت فی صفحت االسطرالب )
الجماهر(الجماهر فی معرفت الجواهر)
سدس(حکایت االلت املسمات السدس الفخر)
تحدید(تحدید نهایات االماکن لتصحیح مسافات املساکن
چگالیها (مقالت فی النسب التی بین الفلزات والجواهر فی الحجم)
سایه ها(افراد املقال فی امر الظالل)
وتر ها (استخراج االوتار فی الدایرت)
پانجلی
ماللهند
D
B
E
A
اوأل کمان ABCکمانی است که AB>BC
فرض
ثانیأ نقطه Dوسط کمان ABCاست
ثالثأ DEبر ABعمود است
حکم :
AE=EB+BC
C
D
H
B
روی دایره کمان DHرا مساوی با کمان DBجدا کرده
E
Z
HAرا رسم میکنیم
سپس روی EAپاره خط EZرا مساوی با EBجدا می کنیم
A
DZ,DAرا رسم میکنیم
داریم :
C
DB=DZ
کمان HAبرابر کمان BCاست
^
^
^
ZDA=HDA
^
^
HDA+DAB=DZB
^
^
^
DZB=ZAD+ZDA
^
^
DAB=ZAD
دو مثلث DHAو DZAمتساویند
AZ=AH
^
^
^
HDA+DAB=DBA
زاویه خارجی مثلث
AZD
اما AH=BCو ZE=EB
AZ+ZE=EB+BC
پس
D
H
B
E
کمان AHرا روی دایره مساوی با کمان BCجدا میکنیم
Z
پاره خط AZرا روی AEرا مساوی AHجدا میکنیم
A
داریم
C
کمان DH=DB
پس
HAD=DAZ
بنابراین دو مثلث DAZو DAHمتساویند
وچون BD=DZپس مثلث BDZمتساوی الساقین است
بنابراین
AZ+ZE=EB+BC
HD=ZD
وارتفاع DEمنصف قاعده BZاست
D
Z
A
B
E
C
AD=DC
AD=DZ
^ ^ ^
A=Z=C
^
DBC=AD/2 +AC/2
^
^
^
DBZ=DAB+ADB
^
^
DBC=DBZ
ZB+BE=EA
^
DBC=DBC/2+AC/2=DB/2+ACB/2
ADB زاویه خارجی مثلث
DBZ=DBC
CB+BE=EA
ZB=BC
^
^
^
DBC=DAB+ADB
D
A
B
E
Z
C
ABرا امتداد داده EZرا مساوی با AEجدا می کنیم وپاره خطهای DAو DBوDCو DZو ZCرا رسم می کنیم .
^
*
BZ=BC
^
^
DZB=DCB
^
DAB=DZB
^
^
DA=DZ
AD=DC
DEعمود منصف AZ
Dوسط کمان ABC
DCB=DAB
مثلث BZCمتساوی الساقین
^
^
BCZ=BZC
BC+BE=AE
مثلث DZCمتساوی الساقین
*
ZB+BE=EA
D
ABرا امتداد داده روی آن EZرا مساوی با
AEجدا می کنیم وپاره خطهای DA,DC,DB,DZ
رارسم میکنیم .
A
Z
B
E
DCوتری است ازدایره و کمان DBCاز نیم دایره
کوچکتر است.بنابراین زاویه DBCکه محاط در کمان
DBCاست منفرجه میباشد.
*به نظر حاده و منفرجه بودن زوایا کاربردی در اثبات نداشته و صرفا برای
رعایت امانت در کالم آورده شده است.
DBZمنفرجه
از طرف دیگر
و DZ=DA=DC
C
زاویه DBAحاده
DZB=DAB=DCB
بنابراین DC / DB = DZ / DB
پس دردو مثلث DBZو DBCزاویه Cمساوی زاویهZاست
واضالع دوزاویه دیگر متناسب هستند وعالوه بر این هر یک از دو زاویه DBCو DBZمنفرجه می باشند.پس زوایای دیگرشان
نظیر به نظیر متساوی است پس دو مثلث متشابهند وچون BDدر انها مشترک است پس دو مثلث متساویند ودر نتیجه
BZ=BC
BC+BE=AE
H
وترADرا امتداد داده روی آن DHرامساوی باDAجدا می کنیم
وبه مرکز Dوبه شعاعDHدایره ایی رسم می کنیم .سپس ABرا
امتداد می دهیم تا این دایره را در نقطه Zقطع کند وZC
وDCرا رسم می کنیم .داریم:
^
^
ADC=ABC
محاطی و روبرو به یک کمان
D
یکی مرکزی ودیگری محاطی است
و روبرو به یک کمان
B
A
^
^
ADC=2AZC
E
^
^
ABC=2AZC
پس :
Z
اما):(ZBC
پس داریم:
ABC=AZC+ZCB
BZC=ZCB
پس مثلث BZCمتساوی الساقین است وZB=BC
بنابراین ZB+BE=BC+BE
C
*
اما در نیم دایره ACHنقطه Dمرکز است واز DعمودDEبروتر
AZفرود آمده است پس Eوسط AZاست یعنی:
**
EA=BC+BE
ZB+BE=ZE=EA
* **
و
وتر ABرا امتداد داده روی آن BZرامساوی با BCجدا می کنیم
وZCوDCرارسم می کنیم داریم :
^
^
BZC=BCZ
مثلث BCZمتساوی الساقین است
زاویه خارجی
D
^
^
ADC=ABC
محاطی و روبرو به یک کمان
پس
B
A
^
^
^
ABC=2BCZ=2BZC
E
Z
^
^
ADC=2BZC
بنابراین دایرهایی که به مرکز Dوبه شعاعDA
رسم شود از نقاط CوZمی گذرد.زیرا AD=DC
وزاویه ADCدر این دایره زاویه مرکزی است وزاویه BZC
یعنی AZCنصف آن است .پس :
AD=DZ
C
بنابراین دو مثلث قائم الزاویه ADEوZDEمتساویند پسAE=EZ
وچون ZE=ZB+BE=BC+BEپس AE=BC+BE
D
A
H
به قطر ADنیم دایره AEDرسم می کنیم
و ADرا امتداد می دهیم و روی آن DHرا مساوی
با DAجدا میکنیم وبه قطر AHنیم دایره ACH
را رسم می کنیم و ABرا امتداد می دهیم تا نیم دایره
را در Zقطع کند و ZHوZCرا رسم میکنیم
E
B
داریم :
C
Z
چون ADبا DHمساوی است پس
AD/DH=AE/EZ
AE=EZ
ABC=ADC
BC=BZ
و چون داریم
ZE=ZB+BE=AE
BCZ=BZC
پس
BC+BE=AE
ADC=2AZC
H
از نقطه Dوسط کمان ABCخطی به موازات AB
رسم می کنیم تا دایره را در نقطه Hقطع کند واز نقطه
Hخطی به موازات DEرسم می کنیم تا ABرا درنقطه T
قطع کند.
داریم:
Dوسط کمان ABCاست،بنابراین:
DHموازی AHاست:
D
B
A
T
AD=DC
E
C
BD=AH
بنابراین:
AT+TE=EB+BC
DH=ET=BC
AT=BE
DH=BC
Z
کمان AZرا مساوی با کمان DBجدا کرده عمود
ZHرا بر ABفرود می آوریم .
DBو DZرا رسم می کنیم .
BDE=AZH
A
D
B
H
E
^
^
ZHA=DEB
^
^
ZAB=DBA
C
EH=DZ
ZH=DE
ازطرف دیگر چون DZ=BCپس EH=BC
و از آنجا
AH+HE=EB+BC
EZ EB
AZH DZB
D
AHZ DBZ , DZB DBZ
AHZ AZH AH AZ
B
E
A
Z
AHD DHC DHC AZH
CH || BA A H B C
AH BC , AH AZ AZ BC
AZ ZE EB BC
C
H
EZ EB , AZ BC
IF : AZ BC , AH BC , AD DC
D
A C
Δ
Δ
DAH DCB
B
E
Z H
A
DB DH
DZ DB , DH DZ
DZH DHZ
C
DBH DHB DHZ
DZH DBH
AZ ZE EB BC
!غیر ممکن
Δ
Δ
DHE AHT TAH EDH
ZK BC
D
RECTANGULR
ZKME ZK EM
EM BC
B
E
M
H
A
T
AM ME BE BC
C
Z
KM ZE AM BE
K
Δ
Δ
AD DC , A C AED CZD
D
DZ DE , CZ AE
Z
Δ
Δ
DE DZ BDZ BDE
ZB EB
B
E
A
CZ EB BC
AE EB BC
C
AD DC , AZ BC , DCB DAB
D
Δ
Δ
ZDA BDC
B
DZ DB
BE EZ , AZ BC
E
AZ ZE AE BE BC
Z
C
A
DZ DB , EH EB
ZAD DAB , DBA DHE
D
Z
AZD ABD 180
AZD DHE 180
B
E
H
A
AZD DHA
Δ
Δ
AZD AHD AZ AH
AZ BC AH BC
BE HE AE BE BC
C
EZ EB
Δ
Δ
AD DC , DBE DZE
DB DZ
D
BCD BAD
زاویه خارجی
B
E
A
Z
H
C
DZB ZDA ZAD DBZ ZDA ZAD
DBZ ZAD ZDA
AD
DB
DBZ
, ZAD
2
2
AD DB
ZDA
2
2
CB
AH
AD DC ZDA
, ZDA
2
2
A H B C BDC ZDA
Δ
Δ
CDB ADZ AZ BC
AZ ZE EB BC
DHT قطر, H مرکز
D
L
TKL || DZ
S
B
E
M
DC Z TA L , DLT LKE DEK 90
K
A
LD EK
HMS||DZ
LS SD , AM MB
, EM MK AK EB, KE LD BC
H
AK KE EB BC
C
Z
T
BK BC , BT CK
KT TC
D
B
E
K
T
A
زاویه خارجی
ABT BTK BKT
زاویه خارجی
DBC BCT BTC
ABT DBC
, ABT TBK DBC CBT 180
DBT CK DC DK
, DA DC DA DK
C
AE EB BK
AE EB BC
H
EZ EB DB DZ
D
DB C A D
DBH
2
2
B
E
C
Z
DBA DBH DZE
A
پس. برابرندDZE وDBH زاویه های
:مکملهایشان برابرند
DBC DZA , DAB DCB
Δ
Δ
CDB ADZ AZ BC
ZE EB AZ ZE EB BC
ADZ BDC
D
Δ
Δ
A C , AD DC ADZ CDB
AZ BC , DZ BD
B
E
Z
A
ZE EB
AZ AE EB BC
C
بهار 87