Transcript Slide 1

‫برهان های قضیه ی اول از ابوریحان بیرونی‬
‫در کتاب استخراج االوتار‬
‫گردآورندگان ‪:‬‬
‫طراحی و انیمیشن‪:‬‬
‫مهدي اميني‬
‫‪8408933‬‬
‫مجتبي غفوري‬
‫‪8416953‬‬
‫علي فتحي‬
‫‪8417083‬‬
‫مهدي سربازوطن‬
‫‪8413933‬‬
‫امیتیس روشن‬
‫‪8413343‬‬
‫استاد محترم ‪:‬‬
‫دکتر آقايي‬
‫بهار ‪87‬‬
‫ابوریحان بیرونی‬
‫ابوریحان بیرونی‬
‫• ابوريحان محمدبن احمد در سوم ذیحجه ‪4(362‬سپتامبر‪ )973‬در خوارزم متولد شد‪.‬‬
‫بسیار خردسال بود که تحصیل علم را آغاز کرد و ابو منصور منجم وریاضیدان بزرگ‬
‫خوارزمی به پرورش او همت گماشت‪ .‬در سن ‪ 17‬سالگی با استفاده از یک حلقه مدرج‬
‫که جز نیم درجه را نشان نمی داد ارتفاع نصف النهاری (نیمروزی) خورشید را در کاث‬
‫اندازه گرفت واز روی آن عرض آن شهر را بدست آورد‪.‬‬
‫• ابو ریحان در ‪11‬جمادی االول خسوفی را رصد کرد وپیش از ان با ابو الوفائ بوز جانی‬
‫قرار گذاشته بود که او نیز همان خسوف را از بغداد رصد کند ‪.‬وی از روی اختالف‬
‫زمانی که بدین طریق بدست می آمد توانست اختالف طول جغرافیای دو شهر را حساب‬
‫کند‪ .‬وی در کتاب تحدید اندازه گیری طول یک درجه از قوس نصف النهار راشرح می‬
‫دهد‪.‬در‪393‬ه‪.‬ق دو خسوف را از گرگان رصد کرد‪.‬‬
‫آثار ابوریحان بیرونی‬
‫• کتب ورساالتی که از ابو ریحان به جا مانده عبارتند از‪:‬‬
‫• در آثار الباقیه(االثارالباقیه من القرون الخالیه) روز که بارزترین واساس ی ترین واحد‬
‫گاهشماری است موضوع فصل اول است‪.‬بیرونی در باره مزایای مبدا های مختلف‬
‫تقویم بحث می کند‪ .‬طلوع یا غروب(که بر مبنای افق اند)‪.‬نیمروز ونیمشب (که بر پایه‬
‫نصف النهارند) ودستگاههایی را که از هر یک استفاده می کنند نام می برد‪ .‬بعد انواع‬
‫مختلف سال را تعریف می کند سال شمس ی قمری یولیانی وایرانی ومفهوم کبیسه رادر‬
‫کار می آورد ودر فصل سوم به تعریف تاریخهای مختلف وشب در آنها می پردازد‪.‬‬
‫• قرت الزیجات کتاب مرجعی که استفاده کننده با کمک ان می توانست همه مسایل‬
‫نجومی زمان خود را حل کند ودر ان تاکید بیشتر بر محاسبات علمی است تا مباحث‬
‫نظری وبدین دلیل شبیه زیجهای اسالمی است‪ .‬مباحث این کتاب شامل قواعد تقویم‬
‫نگاری‪.‬طول روز‪.‬تعیین خداوند نگاراحکامی سال و ماه و روز وساعت‪.‬مکان متوسط‬
‫ومکان واقعی خورشید وماه وسیارات‪ .‬ساعت روز‪ .‬عرض جغرافیایی محل‪.‬خسوف‬
‫وکسوف‪ .‬وشرایط رویت برای ماه و سیارات است‪.‬‬
‫آثار ابوریحان بیرونی‬
‫• قانون(القانون املسعودی) از کتاب که در میان آثار نجومی بازمانده بیرونی از همه‬
‫جامعتر است جداول عددی بسیاری راکه منجمان واحکا میان قرون وسطی برای حل‬
‫مسایل متعارف خود الزم داسته اند به تفصیل شامل است اما در آن بیش از زیجهای‬
‫معمولی به گزارش رصدی وروش بدست آوردن روابط توجه شده است ‪ .‬کتاب به یازده‬
‫مقاله وهر مقاله به ابواب وفصولی تقسیم شده است‪.‬‬
‫• ممرها‪0‬کتاب الصیدنت فی طب) بیرونی حقیقت را فقط در نوشته ها وگفته ها نمی‬
‫جست بلکه میل شدیدی به تحقیق مستقیم در پدیدههای طبیعی داشت واین کار را در‬
‫سخت ترین شرایط انجام می داد‪ .‬واین میل او با قریحه ای در ساختن آالت وابزار‬
‫وتمایل به دقت در مشاهدات همراه بود‪ .‬به دلیل عالقه ای که به دقت داشت ونیز‬
‫چون می ترسید که در جریان محاسبات دقت الزم را از دست بدهد ونتایج حاصل از‬
‫رصد را به نتایج حاصل از محاسبات ترجیح می داد‪.‬‬
‫• التفهیم(التفهیم الوایل صناعت التنجیم)کتابی است در س ی در علم احکام نجوم که‬
‫بیش از نیم آن به مقدمات موضوع اصلی اختصاص دارد‪ .‬کتاب هم به فارس ی مو جود‬
‫است وهم به عربی که ظاهرا هر دو صورت ان را ابو ریحان خود فراهم کرده است ودر‬
‫مجموع پنج فصل دارد‪.‬‬
‫آثار ابوریحان بیرونی‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫اسطرالب(کتاب فی استجاب الوجوه املمکنت فی صفحت االسطرالب )‬
‫الجماهر(الجماهر فی معرفت الجواهر)‬
‫سدس(حکایت االلت املسمات السدس الفخر)‬
‫تحدید(تحدید نهایات االماکن لتصحیح مسافات املساکن‬
‫چگالیها (مقالت فی النسب التی بین الفلزات والجواهر فی الحجم)‬
‫سایه ها(افراد املقال فی امر الظالل)‬
‫وتر ها (استخراج االوتار فی الدایرت)‬
‫پانجلی‬
‫ماللهند‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫اوأل کمان‪ ABC‬کمانی است که ‪AB>BC‬‬
‫فرض‬
‫ثانیأ نقطه ‪ D‬وسط کمان ‪ABC‬است‬
‫ثالثأ ‪DE‬بر‪ AB‬عمود است‬
‫حکم ‪:‬‬
‫‪AE=EB+BC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫روی دایره کمان ‪ DH‬را مساوی با کمان ‪ DB‬جدا کرده‬
‫‪E‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪ HA‬را رسم میکنیم‬
‫سپس روی ‪ EA‬پاره خط ‪ EZ‬را مساوی با ‪ EB‬جدا می کنیم‬
‫‪A‬‬
‫‪ DZ,DA‬را رسم میکنیم‬
‫داریم ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪DB=DZ‬‬
‫کمان ‪ HA‬برابر کمان ‪ BC‬است‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ZDA=HDA‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪HDA+DAB=DZB‬‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫‪DZB=ZAD+ZDA‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪DAB=ZAD‬‬
‫دو مثلث ‪DHA‬و‪ DZA‬متساویند‬
‫‪AZ=AH‬‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫‪HDA+DAB=DBA‬‬
‫زاویه خارجی مثلث‬
‫‪AZD‬‬
‫اما ‪ AH=BC‬و ‪ZE=EB‬‬
‫‪AZ+ZE=EB+BC‬‬
‫پس‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫کمان ‪ AH‬را روی دایره مساوی با کمان ‪ BC‬جدا میکنیم‬
‫‪Z‬‬
‫پاره خط ‪ AZ‬را روی ‪ AE‬را مساوی ‪ AH‬جدا میکنیم‬
‫‪A‬‬
‫داریم‬
‫‪C‬‬
‫کمان ‪DH=DB‬‬
‫پس‬
‫‪HAD=DAZ‬‬
‫بنابراین دو مثلث ‪ DAZ‬و ‪ DAH‬متساویند‬
‫وچون ‪ BD=DZ‬پس مثلث ‪ BDZ‬متساوی الساقین است‬
‫بنابراین‬
‫‪AZ+ZE=EB+BC‬‬
‫‪HD=ZD‬‬
‫وارتفاع ‪ DE‬منصف قاعده ‪ BZ‬است‬
D
Z
A
B
E
C
AD=DC
AD=DZ
^ ^ ^
A=Z=C
^
DBC=AD/2 +AC/2
^
^
^
DBZ=DAB+ADB
^
^
DBC=DBZ
ZB+BE=EA
^
DBC=DBC/2+AC/2=DB/2+ACB/2
ADB ‫زاویه خارجی مثلث‬
DBZ=DBC
CB+BE=EA
ZB=BC
^
^
^
DBC=DAB+ADB
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬را امتداد داده ‪ EZ‬را مساوی با ‪ AE‬جدا می کنیم وپاره خطهای ‪ DA‬و‪ DB‬و‪DC‬و ‪DZ‬و ‪ ZC‬را رسم می کنیم ‪.‬‬
‫^‬
‫*‬
‫‪BZ=BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪DZB=DCB‬‬
‫^‬
‫‪DAB=DZB‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪DA=DZ‬‬
‫‪AD=DC‬‬
‫‪ DE‬عمود منصف ‪AZ‬‬
‫‪D‬وسط کمان ‪ABC‬‬
‫‪DCB=DAB‬‬
‫مثلث ‪ BZC‬متساوی الساقین‬
‫^‬
‫^‬
‫‪BCZ=BZC‬‬
‫‪BC+BE=AE‬‬
‫مثلث ‪ DZC‬متساوی الساقین‬
‫*‬
‫‪ZB+BE=EA‬‬
‫‪D‬‬
‫‪AB‬را امتداد داده روی آن ‪ EZ‬را مساوی با‬
‫‪ AE‬جدا می کنیم وپاره خطهای ‪DA,DC,DB,DZ‬‬
‫رارسم میکنیم ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ DC‬وتری است ازدایره و کمان ‪ DBC‬از نیم دایره‬
‫کوچکتر است‪.‬بنابراین زاویه ‪ DBC‬که محاط در کمان‬
‫‪ DBC‬است منفرجه میباشد‪.‬‬
‫*به نظر حاده و منفرجه بودن زوایا کاربردی در اثبات نداشته و صرفا برای‬
‫رعایت امانت در کالم آورده شده است‪.‬‬
‫‪DBZ‬منفرجه‬
‫از طرف دیگر‬
‫و ‪DZ=DA=DC‬‬
‫‪C‬‬
‫زاویه ‪DBA‬حاده‬
‫‪DZB=DAB=DCB‬‬
‫بنابراین ‪DC / DB = DZ / DB‬‬
‫پس دردو مثلث ‪DBZ‬و‪ DBC‬زاویه ‪ C‬مساوی زاویه‪Z‬است‬
‫واضالع دوزاویه دیگر متناسب هستند وعالوه بر این هر یک از دو زاویه ‪DBC‬و‪ DBZ‬منفرجه می باشند‪.‬پس زوایای دیگرشان‬
‫نظیر به نظیر متساوی است پس دو مثلث متشابهند وچون ‪ BD‬در انها مشترک است پس دو مثلث متساویند ودر نتیجه‬
‫‪BZ=BC‬‬
‫‪BC+BE=AE‬‬
‫‪H‬‬
‫وتر‪AD‬را امتداد داده روی آن ‪DH‬رامساوی با‪DA‬جدا می کنیم‬
‫وبه مرکز ‪D‬وبه شعاع‪DH‬دایره ایی رسم می کنیم ‪.‬سپس ‪AB‬را‬
‫امتداد می دهیم تا این دایره را در نقطه ‪Z‬قطع کند و‪ZC‬‬
‫و‪DC‬را رسم می کنیم ‪.‬داریم‪:‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ADC=ABC‬‬
‫محاطی و روبرو به یک کمان‬
‫‪D‬‬
‫یکی مرکزی ودیگری محاطی است‬
‫و روبرو به یک کمان‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ADC=2AZC‬‬
‫‪E‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ABC=2AZC‬‬
‫پس ‪:‬‬
‫‪Z‬‬
‫اما)‪:(ZBC‬‬
‫پس داریم‪:‬‬
‫‪ABC=AZC+ZCB‬‬
‫‪BZC=ZCB‬‬
‫پس مثلث ‪ BZC‬متساوی الساقین است و‪ZB=BC‬‬
‫بنابراین ‪ZB+BE=BC+BE‬‬
‫‪C‬‬
‫*‬
‫اما در نیم دایره ‪ACH‬نقطه ‪D‬مرکز است واز ‪D‬عمود‪DE‬بروتر‬
‫‪ AZ‬فرود آمده است پس ‪ E‬وسط ‪ AZ‬است یعنی‪:‬‬
‫**‬
‫‪EA=BC+BE‬‬
‫‪ZB+BE=ZE=EA‬‬
‫* **‬
‫و‬
‫وتر ‪AB‬را امتداد داده روی آن ‪BZ‬رامساوی با ‪BC‬جدا می کنیم‬
‫و‪ZC‬و‪DC‬رارسم می کنیم داریم ‪:‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪BZC=BCZ‬‬
‫مثلث ‪BCZ‬متساوی الساقین است‬
‫زاویه خارجی‬
‫‪D‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ADC=ABC‬‬
‫محاطی و روبرو به یک کمان‬
‫پس‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫^‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ABC=2BCZ=2BZC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Z‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ADC=2BZC‬‬
‫بنابراین دایرهایی که به مرکز ‪ D‬وبه شعاع‪DA‬‬
‫رسم شود از نقاط ‪C‬و‪Z‬می گذرد‪.‬زیرا ‪AD=DC‬‬
‫وزاویه ‪ADC‬در این دایره زاویه مرکزی است وزاویه ‪BZC‬‬
‫یعنی ‪AZC‬نصف آن است ‪.‬پس ‪:‬‬
‫‪AD=DZ‬‬
‫‪C‬‬
‫بنابراین دو مثلث قائم الزاویه ‪ADE‬و‪ZDE‬متساویند پس‪AE=EZ‬‬
‫وچون ‪ ZE=ZB+BE=BC+BE‬پس ‪AE=BC+BE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫به قطر ‪ AD‬نیم دایره ‪ AED‬رسم می کنیم‬
‫و‪ AD‬را امتداد می دهیم و روی آن ‪ DH‬را مساوی‬
‫با ‪ DA‬جدا میکنیم وبه قطر ‪ AH‬نیم دایره ‪ACH‬‬
‫را رسم می کنیم و ‪ AB‬را امتداد می دهیم تا نیم دایره‬
‫را در ‪ Z‬قطع کند و ‪ZH‬و‪ZC‬را رسم میکنیم‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫داریم ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Z‬‬
‫چون ‪AD‬با ‪ DH‬مساوی است پس‬
‫‪AD/DH=AE/EZ‬‬
‫‪AE=EZ‬‬
‫‪ABC=ADC‬‬
‫‪BC=BZ‬‬
‫و چون داریم‬
‫‪ZE=ZB+BE=AE‬‬
‫‪BCZ=BZC‬‬
‫پس‬
‫‪BC+BE=AE‬‬
‫‪ADC=2AZC‬‬
‫‪H‬‬
‫از نقطه ‪ D‬وسط کمان ‪ ABC‬خطی به موازات ‪AB‬‬
‫رسم می کنیم تا دایره را در نقطه ‪ H‬قطع کند واز نقطه‬
‫‪ H‬خطی به موازات ‪ DE‬رسم می کنیم تا ‪AB‬را درنقطه ‪T‬‬
‫قطع کند‪.‬‬
‫داریم‪:‬‬
‫‪D‬وسط کمان ‪ABC‬است‪،‬بنابراین‪:‬‬
‫‪DH‬موازی ‪AH‬است‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪AD=DC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪BD=AH‬‬
‫بنابراین‪:‬‬
‫‪AT+TE=EB+BC‬‬
‫‪DH=ET=BC‬‬
‫‪AT=BE‬‬
‫‪DH=BC‬‬
‫‪Z‬‬
‫کمان ‪ AZ‬را مساوی با کمان ‪ DB‬جدا کرده عمود‬
‫‪ ZH‬را بر ‪AB‬فرود می آوریم ‪.‬‬
‫‪DB‬و ‪DZ‬را رسم می کنیم ‪.‬‬
‫‪BDE=AZH‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪E‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ZHA=DEB‬‬
‫^‬
‫^‬
‫‪ZAB=DBA‬‬
‫‪C‬‬
‫‪EH=DZ‬‬
‫‪ZH=DE‬‬
‫ازطرف دیگر چون ‪ DZ=BC‬پس ‪EH=BC‬‬
‫و از آنجا‬
‫‪AH+HE=EB+BC‬‬
EZ  EB


AZH  DZB
D




AHZ  DBZ , DZB  DBZ


 AHZ  AZH  AH  AZ
B
E
A
Z




AHD  DHC  DHC  AZH


CH || BA  A H  B C
AH  BC , AH  AZ  AZ  BC
 AZ  ZE  EB  BC
C
H
EZ  EB , AZ  BC
IF : AZ  BC , AH  BC , AD  DC
D
 
A C
Δ
Δ
DAH  DCB
B
E
Z H
A
DB  DH
DZ  DB , DH  DZ


DZH  DHZ
C



DBH  DHB  DHZ


DZH  DBH
 AZ  ZE  EB  BC
!‫غیر ممکن‬
Δ
Δ


DHE  AHT  TAH  EDH


 ZK  BC
D
RECTANGULR
ZKME  ZK  EM
 EM  BC
B
E
M
H
A
T
AM  ME  BE  BC
C
Z
KM  ZE  AM  BE
K
 
Δ
Δ
AD  DC , A  C  AED  CZD
D
 DZ  DE , CZ  AE
Z
Δ
Δ
DE  DZ  BDZ  BDE
 ZB  EB
B
E
A
CZ  EB  BC
 AE  EB  BC
C


AD  DC , AZ  BC , DCB  DAB
D
Δ
Δ
ZDA  BDC
B
 DZ  DB
BE  EZ , AZ  BC
E
AZ  ZE  AE  BE  BC
Z
C
A
DZ  DB , EH  EB




 ZAD  DAB , DBA  DHE
D
Z



AZD  ABD  180



AZD  DHE  180
B
E
H
A


 AZD  DHA
Δ
Δ
 AZD  AHD  AZ  AH
AZ  BC  AH  BC
BE  HE  AE  BE  BC
C
EZ  EB
Δ
Δ
AD  DC , DBE  DZE
 DB  DZ
D


BCD  BAD
‫زاویه خارجی‬
B
E
A
Z
H
C






DZB  ZDA  ZAD  DBZ  ZDA  ZAD



 DBZ  ZAD  ZDA




AD
DB
DBZ 
, ZAD 
2
2



AD DB
 ZDA 

2
2




CB
AH
AD  DC  ZDA 
, ZDA 
2
2




 A H  B C  BDC  ZDA
Δ
Δ
 CDB  ADZ  AZ  BC
 AZ  ZE  EB  BC
DHT  ‫ قطر‬, H  ‫مرکز‬
D
L
TKL || DZ
S
B
E
M






DC Z  TA L , DLT  LKE  DEK  90
K
A
 LD  EK
HMS||DZ
 LS  SD , AM  MB
, EM  MK  AK  EB, KE  LD  BC
H
 AK  KE  EB  BC
C
Z
T
BK  BC , BT  CK
KT  TC
D
B
E
K
T
A
‫زاویه خارجی‬



ABT  BTK  BKT
‫زاویه خارجی‬



DBC  BCT  BTC


 ABT  DBC




, ABT  TBK  DBC  CBT  180
 DBT  CK  DC  DK
, DA  DC  DA  DK
C
 AE  EB  BK
 AE  EB  BC
H
EZ  EB  DB  DZ
D



DB C A D
DBH 

2
2
B
E
C
Z



 DBA  DBH  DZE
A
‫پس‬.‫ برابرند‬DZE ‫و‬DBH ‫زاویه های‬
:‫مکملهایشان برابرند‬




 DBC  DZA , DAB  DCB
Δ
Δ
 CDB  ADZ  AZ  BC
ZE  EB  AZ  ZE  EB  BC


ADZ  BDC
D
 
Δ
Δ
A  C , AD  DC  ADZ  CDB
 AZ  BC , DZ  BD
B
E
Z
A
 ZE  EB
 AZ  AE  EB  BC
C
‫بهار ‪87‬‬