Transcript فصل هفتم

‫گردآورندگان‪:‬‬
‫نسرین نعمتی ‪8716763‬‬
‫تحت نظر ‪:‬استاد آقایی‬
‫ژاله صادقی‪8710053‬‬
‫با تشکر از خانم سمانه رحمانی‬
‫‪‬پیش از آنکه اصول کامل شده باشدیونانیان بامساالل رجهاه بارهندسد اه ر ا‬
‫وپسج ا ا ا ا ااه ن ا ا ا ا اان میکنرند ا ا ا ا ااه ه ا ا ا ا ااا ازای ا ا ا ا ا گون ا ا ا ا ااه مس ا ا ا ا اااللیهن ی راینهیه ی ا ا ا ا ا‬
‫دنزاویهیوهضاافیم مکفایازنک ااه داااخ ن ااضو ش جیاال ا د رانااان را اال رج م ادت‬
‫ااه اانن ب ااور‪ .‬وهم ااامی هنی ااان دسد ااه یون ااا ی ن ااع ه ا ا ه ااا ض ایا ا وا فیا ا‬
‫ناجگنف ه بوری كه دسد ه رانان رج هالشهاخ خور بناخ باه ر ا آوجرن جاه حال‬
‫مسالل به صوجت مقاوم ناپذین ناگزین م وهه مس سیها و اختهایی شده بورند‬
‫کاه ب وانسااد بااه آناان ماادر بن ااانسد‪.‬ما ال ه قیقااات رج افهاااخ م نو ای ساان ماای‬
‫نمااور کااه آرااازخ ب اناخ بااه کاااج باانرن رو هااا از آ هااا ب اناخ حاال مسااالل من ااو بااه رو‬
‫وا اه ي دسدس د بوره ا ‪.‬‬
‫‪‬یونانیااان مسااالل و ماا هاااخ دسدسا د (خاااو جا ا و مس سیهااا)جا کااه باناخ حاال آ هااا باان‬
‫بااآ آن ااه کااه ماای هااوانی آن جا «رجهااه» ب ااوانی جره بساادخ ماای کنرنااد‪.‬مسااالل وا عا‬
‫رجصف ه آ هایی بورند که حل آ ها به کمک خط مس قی وراینه اماان راشا (و هنهاا‬
‫ماا هاخ وا ا رج صاف ه اینهاا بورناد ) و مساالل فضاایی آ هاایی بورناد کاه باناخ حال آ هاا‬
‫رز ب ااور از یا ااک یا ااه سا ااد اا ا م نو ا اای (کا ااه آ ها ااا جا ماا ه اااخ فضا ااایی ما اای نامیدنا ااد)‬
‫ا ا فاره شااور و ااارخنه مسااالل خااای آ هااایی بورنااد کااه حاال آ هااا بااه گف ااه پاااپوس بااه‬
‫ماا هاااخ «خااای» نیاااز راشااکسد کااه دمااه خ آ هااا مس بااد داااخ منهبااه خ بااارهن از افهاااخ‬
‫م نو ی‬
‫نظیر مارپیچ ها ‪،‬مربع سازها‪ ،‬حلزونیها (صدفیها) وپیچکیها را شامل می شد‪.‬‬
‫یا باز منحنیهای مختلف مندرج در رده ئ «مکانهای رویهه هها» بهوده اسهت هه‬
‫منظور پاپوس ظاهرا مکانهای ترسیم شده بر سطوح همچون مارپیچ استوانه ای‬
‫بوده است‪.‬‬
‫تربیع دایره‬
‫‪ ‬ای ا مس ا ه ش اااید ب اایش از د اان مس ا ه خ ری اان اانن د ااا ب اناخ هویس اادگانی خ ااواه ب اناخ جیاال ا د‬
‫رانااان خااواه ر ااض جیاالا د رانااان هااذابی راشا ه ا ا ‪ .‬رج مصاان سااان کااه ریاادی ر ا کا رج‬
‫حادور اال ‪ 1800‬ق ‪ .‬مسااح رایانه جا ‪ d 64/81‬می نف ساد کاه رج ان ‪ d‬نمایساده خ‬
‫ان راینه ا و ای بدون شک اندازه خ ا انداجر بوره کاه رج نکیجاه خ انادازه گ اضخ دااخ‬
‫پیااابی بااه ان ر ا یاف ااه بورنااد و هقنیااا آن (بااا رج نگاان گاانف ن ای ا کااه ‪ 3.16‬بااه اناادازه خ∏‬
‫بسیاج نزریک ا ) به دیچ وهه هقنیا بدخ نبوره ا ‪.‬‬
‫‪ ‬سان ااه گف ااه ان ااد ن سا ا ن کس ااا ی ک ااه رج یون ااان ب ااا ایا ا مسا ا ه اان و ک اااج راشا ا ه انا اد ان ااا‬
‫کسا اااگوجاس ا ا ا ‪ .‬گف ا ااه انا ااد زما ااا ی کا ااه رج زنا اادان با ااه ا اان می ا ااضره رج ای ا ا با اااجه کا اااج میکا اانره‬
‫ا ا ‪.‬بق انا خیوس ا د بف ا د از مادااک دااا جا هن ی ا میکاانره ا ا باادان امیااد کااه (ر ا اال رج‬
‫ن س ن نمونه)ای ه قیقات ب واند جاد شاخ حل مس ه خ اصل باشد‪.‬‬
‫‪ ‬از مساحت ههای دیرهر در حهل مسه له از آنتیسهون سوفسهطایی از معاصهران‬
‫سقراط بوده است ه روش محاط هردن متهوالی چنهد یهلعی ههای منهتظم را‬
‫در دایره برای این منظور پایه گذاری رده است ‪.‬‬
‫به گسته ی بعیی از نویسندگان وی ار خود را با یک مربع و بهه گستهه ی‬
‫بعیههی دیرههر بهها یههک مولههال متسههاوی ا یههره محههاط در دایههره آ ههاز ههرده‬
‫است‪.‬وی سپس بر ههر یهلع شهکل محهاط شهده مولوهی متسهاوی ا سهاقین مهی‬
‫سههاخته ههه راس آن بههر ههوچکترین قطعههه ی دایههره حاصههل از همههان یههلع‬
‫قرارداشته است ‪.‬‬
‫‪ ‬بدین ترتیب یک چند یلعی محاط در دایره به دسهت مهی آمهده هه شهماره ی یهلع‬
‫ها ی آن دو برابر چند یلعی پیش از آن(مربع یها مولهال)بهوده اسهت ‪.‬بها پیوسهته دو‬
‫برابر ردن شماره ی ایره چند یلعی محاط در دایهره ممهل خهود را ادامهه مهی‬
‫داده و(گسته اند) ه«از این راه سطح دایره رفتهه رفتهه ههر چهه بیشهتر بها سهطح چنهد‬
‫یلعی پوشیده می شده تا موقعی ه چنهد یهلعی محهاط در دایهره بهه ملهت وچهک‬
‫شدن تدریجی ایرمش تقریبا بر محیط دایره منطبق ومساحت آن برابربا مسهاحت‬
‫دایره می شده است پس می توانیم مربعی مساوی با یک دایره به دست آوریم‪.‬‬
‫‪ ‬اندیشااه خ آنکیفااون رج آراااز مااوجر ا ااتهزا اناج گنف ااه بااور‪ .‬اج اااو ماای گف ا کااه‬
‫خااااي آن بااه گونااه اي بااور کااه حتااد از آنااان خوا ا ه ن ااد شااد کااه بااه جر کاانرن‬
‫بنداان آنکیفااون باضرازنااد بادان هها کااه بان اصااول پذینف ااه شاده ي دسد ااه اناج‬
‫نداش ‪.‬‬
‫‪ ‬بااه گف ااه خ الورمااوس اصاال جا کااه بندااان آنکیفااون نقا ماای کاانر ایا باور کااه‬
‫کمیتها به وج نام دور هقسی پاذین ناد اگان اه آن رج ا باشاد‪ .‬جوناد ره بنابان‬
‫ک اانرن اچ ااالع س ااد چ ا ع آنکیف ااون دنگزهم ااامی مس اااح را اانه جا ن ااد پوشا ااند‬
‫وم یط سد چ ع با م یط راینه بن د ناج ن د گ ضند‪.‬‬
‫‪ ‬ولهههی بیهههان جسهههورانه آنتیسهههون از اهمیهههت ومعنهههای بزرگهههی‬
‫برخههوردار بههود بههدان جهههت ههه نطسههه یههروش افنهها وسههرانجام‬
‫حسههاب انترههرال در آن نهستههه بههود نقههب بیههان وی بههیش از آن‬
‫بههود ههه تنههها لسظههی باشههد چههه مههی بایسههت آن را بههه شههکلی‬
‫محتاطانهههه تهههر مریهههه نهههد و بهههه همهههان مملهههی بپهههردازد هههه‬
‫اقلیدس در بیان قییه ی‪2ХІІ‬انجهام داده وگستهه بهود هه ‪:‬اگهر‬
‫ایههن رونههد بههه انههدازه ی ههافی ادامههه یابههد وسههعت قطعههه هههای‬
‫دایههره بههر جههای مانههده روی هههم رفتههه متههر از هههر مقههدار در‬
‫نظههر گرفتههه شههده خواهدشههد‪ .‬سههودمندی ممههل آنتیسههون توس هط‬
‫ارشمیدس در اندازه گیری یک دایره نشان داده شده است هه‬
‫وی آن را بههها سهههاختن یهههک ‪96‬یهههلعی محهههاطی بنهههابر روش‬
‫آنتیسون اندازه گرفته واز این راه توانسته است‬
‫‪ ‬برای پایین ترین حد ∏ مدد(‪ )15/71×3‬استساده كند واز راه‬
‫محاط ردن چند یلعی مشابهی وابت ند ه ∏ وچکتر از‬
‫(‪)1/7×3‬است همین ساختمان ه از این مربع آ از شده بود‬
‫پایه ی تقریب ویتا برای∏∕∕‪∕2/‬بوده است‪.‬‬
‫‪2/Π=cosΠ/4.cosΠ/8.cosΠ/6‬‬
‫الی یرالنهایه‬
‫‪=√1/2.√1/2(1+√1/2).√1/2{1+√1/2(1+√1/2)}….‬‬
‫‪‬بروسون یکی از شاگردان سقراط یا از شاگردان اقلیدس مرارایی‬
‫ترشی برای انجام یک تربیع رده ه ارسطو آن را«سسسطه‬
‫آمیز»‬
‫‪‬و«جدلی»خوانده است بدان جهت ه بر مبنای مقدمات بیش از‬
‫اندازه لی قرار داشته است‪.‬شارحان نیز از برهان بروسون با‬
‫همین الساظ سخن گسته اند ولی روایت صحیحی از اینکه آن برهان‬
‫چرونه بوده است در دست نیست ‪.‬همه در این باره یک سخن گسته‬
‫اند ه وی چند یلعیها (یا مربع هایی) را در دایره محاط وبر آن‬
‫محیط می رده ویک چند یلعی (یا مربع ) را میان چند یلعی‬
‫های محاطی ومحیطی در نظر می گرفته است ‪.‬‬
‫‪ ‬سپس در ارتباط برقهرار هردن میهان مسهاحت دایهره بها ایهن چندیهلعی‬
‫میههانجی مهههی اندیشهههیده وایهههن را در نظهههر داشههته اسهههت هههه مسهههاحت دایهههره‬
‫بزرگتههر از همههه ی چنهههد یههلعی ههههای محههاطی و هههوچکتر از همههه چنهههد‬
‫نهیم هه‬
‫یلعی های محیطی است وبه همین جهت می توانیم چنین فهر‬
‫او در صدد افزایش ایره چند یلعی های محاطی ومحیطی بنابر روش‬
‫آنتیسههون در مههورد چنههد یههلعی هههای محههاطی بههر مههی آمههده وبههه آن انههدازه‬
‫ازتقریههب حقیقههی مههی رسههیده ههه مههی توانسههته اسههت برویههد ‪:‬اگههر یههک چنههد‬
‫یههلعی میههانجی بتوانههد میههان آخههرین چنههد یههلعی هههای محههاطی ومحیطههی‬
‫ترسیم شود می توانیم برهوییم هه مسهاحت دایهره برابهر بها ایهن چنهد یهلعی‬
‫خواهد بود‪.‬‬
‫‪‬اندیشه ی بروسون زمانی مسید واقعه می شده است ه فشردگی چند‬
‫یلعی های درونی وبیرونی به هم به طوری ه سرانجام با دایره‬
‫یکی شوند سبب رسیدن به نتیجه می شده وهمین امراز خصوصیات‬
‫روش افنا است ه ارشمیدس بعدها مورد استساده قرارداده است ‪.‬‬
‫‪‬حال به دانشمندانی از هندسه میرسیم ه از طریق منحنیهای درجه‬
‫ی با تر به تربیع یا محاسبه ی طول قوس دایره پرداخته بودند ‪.‬‬
‫‪‬نخستین آنان هیپیاس است ه مختره یک منحنی بوده ه بعدا بنابر‬
‫خصوصیتش مربع ساز نامیده شده است‪ .‬روایت ها در این باره‬
‫متساوت است ؛پاپوس می گوید ه دینوستراتوس(یکی از برادران‬
‫منایخموس ) ‪،‬نیکومدس ‪،‬وهندسه دانان دیرر بعدی این منحنی را‬
‫برای تربیع دایره به ار می برده اند ؛به گسته ی پرو لوس ‪،‬دیرران‬
‫مربع سازها ی هیپیاس ونیکومدس را برای تولیال زاویه مستقیم الخط‬
‫مورد استساده قرار می دادند‪ .‬بنابراین‪ ،‬امکان آن هست ه هیپیاس در‬
‫ابتدا منحنی خود را برای تولیال زاویه یا تقسیم آن به هر نسبت به‬
‫ار می برده است‪.‬‬
‫(الف) مربع ساز‬
‫هیپاس‬
‫‪‬مربع ساز به صورت نظری چنهین سهاخته مهی شهده اسهت ‪ABCD :‬‬
‫یک مربع و ‪ BED‬یک ربع دایهره بهه مر هز‪A‬اسهت‪ .‬فهر مهی نهیم‬
‫ههه ‪ )1( :‬شههعاه دایههره گردشههی یکنواخههت برگههرد مر ههز ‪A‬از ویههع‬
‫‪AB‬به ویع ‪ AD‬داشته باشهد و (‪ )2‬خطهی هه همهواره مهوازی بها‬
‫‪AD‬است حر تی یکنواخت دارد وهمزمان با رسیدن شعاه دایهره بهه‬
‫ویههع ‪،AD‬آن نیههز ههه از ویههع نخسههتین ‪ BC‬حر ههت خههود راآ ههاز‬
‫رده بر ‪ AD‬منطبق شود‪.‬‬
‫(الف) مربع ساز‬
‫هیپیاس‬
a
B
C
E
F
C`
B`
L
F`
B``
C``
A
H
MG
D
‫‪‬رج اوچاااع هااایی خااور ی خااط جا ا م اانر و شاافاع رج حااال روجان داان رو دم اناه بااا‬
‫یکاادی ن باان ‪ AD‬اناج خوادسااد گنفا ورج داان زمااان رج چاام حنکا یاز هقااا خااط‬
‫وشفاع رج حال روجان نقاه اخ دم اون ‪L‬یاا ‪F‬پدیاد مای آیاد‪.‬مااان دسدسا د ایا نقاا‬
‫دمان زخ ا که منب از خوانده می شور ‪.‬‬
‫‪‬خوصوصیات ای مس بد ای ا‬
‫که ‪:‬‬
‫‪‬به مبارت دیرر ‪،‬اگر ‪Ø‬زاویه ‪FAD‬یعنی زاویه بردار شعامی‬
‫‪AF‬با ‪AD‬و‪ρ‬طول ‪ Af‬و ‪ a‬یلع مربع باشد‪ ،‬چنین داریم ‪:‬‬
‫‪‬این منحنی ‪ ،‬پس از ساخته شدن ‪ ،‬آشکارا نه تنها این امکان را به می دهد‬
‫ه هر زاویه را به سه قسمت مساوی تقسیم نیم‪،‬بلکه مارا به تقسیم ردن‬
‫آن به هر چند قسمت مساوی ه بخواهیم نیز قادر می سازد‪.‬‬
‫‪‬چه فر می نیم ه ‪EAD‬زاویه داده شده باشد ‪،‬و‪FH‬در' ‪ F‬بر نسبت داده‬
‫شده تقسیم شده باشد ‪.‬‬
‫‪‬از '‪ F‬خط'‪B'C‬را به موازات ‪BC‬رسم می نیم تا منحنی را در نقطه ‪L‬قطع‬
‫ند ‪A .‬رابه ‪L‬وصل می نیم و چندان امتداد می دهیم تا در ‪N‬به ربع دایره‬
‫برسد ‪.‬‬
‫‪<NAD:<EAD=LM:FH‬‬
‫‪=F’H:FH‬‬
‫نسبت داده شده=‪<EAN:<NAD=FF’:F’H‬‬
‫‪‬به ار بردن مربع ساز برای تعیین طول قوس دایره از آن جهت دشهواری‬
‫بیشتر دارد ه می بایستی از ویع ‪،G‬یعنهی نقطهه ای هه در آن منحنهی بها‬
‫خههط ‪ AD‬ترقههی مههی نههد ‪،‬آگههاه باشههیم ‪ .‬یونانیههان نیههز از ایههن دشههواری ه ها‬
‫آگاهی داشتند ؛ این دشواریها نخست توسهط اسهپوروس وسهپس پهاپوس بهه‬
‫صورتی تحسین آمیز بیان شده است ‪ .‬حتی اگر بتوانیم در ممل دو حر هت‬
‫یکنواخت را چنان تنظیم نیم ه ههر دو در یهک زمهان انجهام پهذیر باشهد ‪،‬‬
‫‪G‬را نمی توان ممآل پیدا رد ‪.‬‬
‫بدان گونه كه اسپوروس گسته است ‪،‬اگر در شکل‪ ،‬خطهای راست ‪CB‬و‪ BA‬چنان‬
‫ساخته شده باشند ه حر ت خود را با هم به پایان برسانند ‪ ،‬در آن صورت با‬
‫خود ‪AD‬بر هم منطبق می شوند و یکدیرر را قطع نخواهند رد ؛ولی تقاطع‬
‫این منحنی با خطها متحرک بوده ه به فر همه ی نقاط منحنی را به وجود‬
‫آورد‪ .‬واقعیت این است ه ما تنها این توانایی را داریم ه ویع تقریبی ‪G‬را ‪،‬هر‬
‫چه نزدیکتر به محل حقیقی آن به دست آوریم ‪.‬‬
‫نههیم ههه ‪G‬را بههه دسههت آوریههم ‪،‬پههس بایسههتی قیههیه ی را بههه اوبههات‬
‫‪‬اگههر فههر‬
‫برسانیم ه در ازای قوس ربع دایره خود دایره را به دست می دهد‪.‬‬
‫این قییه می گوید ه ‪:‬‬
‫‪(:AB=AB:AG‬قوس ربع دایره ‪(BED‬‬
‫‪‬و این تساوی را پاپوس از طریق برهان خلف به اوبات رسانیده است ‪.‬‬
‫صحت آن به آسانی از این راه معلوم می شود ه حد بریریم و‪ Ø‬رادر‬
‫معادله ی با (صسحه ی قبل ) مساوی صسر قرار دهیم ‪،‬و بنابراین ‪:‬‬
‫‪AG=a/(1/2)Π‬‬
‫ودر نتیجه‪:‬‬
‫‪(=1/2)Πa)=a²/AG‬قوس ربع دایره)‬
‫‪‬گسته اند ه ارشمیدس مارپیچ خهود را بهرای تربیهع دایهره بهه هار مهی بهرده‬
‫است ؛و او واقعا این مطلب را وابت رده است ه چرونهه مهی تهوان طهول‬
‫قوس یک دایره رابه وسیله ی «زیر مماس قطبی » به مارپیچ تبدیل رد‪.‬‬
‫‪‬مارپیچ بدین گونه ساخته می شود ‪ :‬فر می نیم ه خط راسهت ‪ OB‬در‬
‫صسحه ای با سرمت یکنواخت برگهردد نقطهه ی ‪O‬حر هت نهد ودر ویهع‬
‫نخسههتین آن (خههط اولیههه )‪ OA‬باشههد؛و در مههین حههال نقطههه ی ‪P‬واقههع بههر‬
‫‪ ،OB‬باز با سرمت یکنواخت در امتداد‪،OB‬از همان زمانی ه ‪ OB‬ابتهدا‬
‫از‪ OA‬شروه به حر ت رده ‪ ،‬حر ت خود را آ از ند ‪.‬‬
‫‪‬مفارله خ ابد مس بد ماان نقاه خ ‪P‬آشااجا خوادد بور ‪:‬‬
‫‪ρ=aθ‬‬
‫اگ اان خا ااط مم اااس با اان ی ااک نقاا ااه خ ر ع ااواه ‪P‬از ما اااجپیچ خ ااط اما ااور ب اان شا اافاع حاما اال ‪Op‬‬
‫رجنقاه خ جا رج ‪ T‬ا کسد یرج ای صوجت «زین مماس ابد » خوادد بور‪.‬‬
‫‪‬ارشههمیدس در تههاب خههود‪ ،‬دربههاره ی مههارپیچ ههها ‪ ،‬هههم ارز ایههن واقعیههت را بههه‬
‫اوبات رسانیده است ه ‪ ،‬اگر ‪ P‬نقطه ای به نخستین پیچ مهارپیچ باشهد ‪ ،‬و‪OT‬‬
‫«زیر مماس قطبی » متناظر با آن ‪،‬و‪p‬و‪θ‬مختصات قطبی ‪ ،p‬آنراه ‪OT‬برابهر‬
‫با قوسی از دایره به مر ز ‪ o‬و شعاه ‪ )=ρ(OP‬است هه در خهور زاویهه ‪θ‬در‬
‫‪o‬است و به مبارتی دیرر ‪:‬‬
‫‪‬و (چون‪:)aθ=ρ‬‬
‫نقاااه خ ‪P‬ممک ا ا ا باان داان روجخ از ماااجپیچ (م ا ال‪n‬ا ) وا ا‬
‫باشد ی که رج آن صوجت ‪θ‬بنابن اا ‪ 2(n-1)Π+θ‬خواداد‬
‫ب ااور ک ااه رج آن ‪θ‬زاوی ااه اخ (کم ااض از‪)2 Π‬ا ا ک ااه ب ااه ان اادازه خ‬
‫آن شفاع حامال رج ‪n‬اما ن پایچ اب ادا از ‪OA‬روجان کانره ا ا‬
‫و اجش اامیدس رج حالا ا کلا ا ابا ا ک اانره ا ا ا ک ااه زی اان مم اااس‬
‫‪OT‬مساااوخ بااا ‪n-1‬بناباان م اایط رایاانه بااه شاافاع‪op‬بااه اااالوه‬
‫وس د از آن ا که رج خوج زاویه ‪θ‬رج ‪O‬باشد ‪.‬‬
‫‪‬یهها مبلیخههوس ‪ ،‬در شههرح بههر مقههو ت ارسههطو ‪ ،‬گستههه اسههت ههه آپولونی هوس‬
‫دایهههره را بهههه گونهههه ای از منحنهههی تربیهههع هههرده اسهههت هههه وی خهههود آن را‬
‫«خههواهرحلزون وار » مههی خوانههده ‪،‬ولههی در واقههع همههان اسههت ههه منحنههی‬
‫نیکومههدس نامیههده مههی شههود ‪ .‬منحنههی نیکومههدس ههه در اینجهها ذ ههر آن آمههده‬
‫است محتمرً همان حلزون وار است ه پس از آن به نام صدف وار نامیده‬
‫شده است وپاپوس آن را توصیف رده است ‪.‬‬
‫ولههی مهها هههیچ اطههر مههی از منحنههی اخترامههی آپولونیههوس نههداریم ههه حلههزون وار‬
‫شباهت داشته باشد ‪.‬ولی آپولو نیوس رساله ای در مورد یهک منحنهی نوشهته هه‬
‫خههود آن را و لیههاس نامیههده اسههت ؛و ایههن همههان مههارپیچ اسههتوانه ای اسههت ‪،‬وبهه‬
‫همههان گونههه ههه ممکههن اسههت ایههن منحنههی را بههرای تربیههع دایههره بههه ههار بههرد‬
‫‪،‬آپولونیوس نیز محتمرً آن را برای تربیع دایره به ار برده است ‪.‬‬
‫در همههین فقههره از یههامبلیخوس آمههده اسههت ههه ‪ :‬ههارپوس دایههره را بههه وسههیله ی‬
‫منحنی «با حر ت میامف» تربیع رده است ‪ .‬ولی هیچ اشاره ای بهه ماهیهت‬
‫منحنی نشده است‪.‬‬
‫‪‬ارشههمیدس ‪ ،‬در تههاب خههودش انههدازه گیههری یههک دایههره‪،‬در دایههره ای یههک‬
‫‪ 96‬یلعی منهتظم در محهاط و یهک ‪ 96‬منهتظم بهر آن محهیط هرده اسهت ؛‬
‫سپس با محاسبه ی مستقیم محیطهای این چنهد یهلعی هها ایهن مطلهب را بهه‬
‫اوبات رسانیده است ه این تقریهب ‪ 10/71 3‬اسهت ولهی ههرون در تهابش‬
‫متریکا آورده است ه ارشمیدس در تهاب دیرهری از خهود بهه محاسهبه ای‬
‫پرداخته اسهت هه محهتمرً دقیقتهر بهوده اسهت‪ .‬متاسهسانه ارقهامی هه در مهتن‬
‫یونانیان آمده نادرست است ‪.‬‬
‫پا ن هني و بارهني حد بي به صوجت زين ا‬
‫‪:‬‬
‫‪195888/62351<∏<75/67444 ‬‬
‫‪ ‬جالهب توجههه اسههت هه متوسههط ایههن ارقههام بهه ‪ 3/141596‬بسههیار نزدیههک اسههت ‪.‬‬
‫بطلمیوس تقریبی برای ∏از طریق سرهای شصترانی (یعنی بر حسهب واحهدها‬
‫ویههک شصههتم واحههدها یهها دقیقههه ههها و یههک شصههتم دوم یهها وانیههه ههها )بههه صههورت‬
‫("‪ ) 38‘30‬به دست داده هه بهین ( ‪)3×1/7‬و (‪ (3×1/17‬اسهت‪ .‬بطلمیهوس بهدون‬
‫شک این اندازه ها را از جدول نزدیک وتر ها ی خود به دست آورده است ‪.‬‬
‫در ایههههن جههههدول طههههول وترههههها ی دایههههره مقابههههل بههههه زاویههههه ههههها ی مر ههههزی (‬
‫½‪) …,1×½,1,‬با افزایش نیم درجه آمده است ‪.‬اندازه ی وتر بر حسهب یهک صهد‬
‫و بیستم طول قطر دایره بیان شده است ‪.‬اگهر ‪1ⁿ‬یکهی از ایهن اجهزا باشهد ‪،‬در آن‬
‫جدول (‪) 2 1‬به منوان وتر زاویه ̊‪1‬آمده است‪.‬محیط ‪360‬یهلعی محهاطی ‪360‬‬
‫برابر این رقم است‪،‬وچون آن را بر ‪( 120‬یعنی تعداد اجزا ی قطر )تقسهیم نهیم‬
‫انهههدازه ی ‪Π‬راخهههواهیم داشهههت هههه مسهههاوی اسهههت بههها سهههه برابهههر ˝‪ 12ʹ50‬یعنهههی‬
‫˝‪ 38ʹ30‬ه همان رقم بطلیموس و معادل با ‪ 3,1416‬است‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬آریبهطه ریایی دان هنهدی بهرای بهه دسهت دادن انهدازه ی ‪Π‬مهی گویهد ‪«:‬بهر‬
‫‪100‬مهههههدد ‪4‬را بیهههههافزاییم ؛حاصهههههل را در ‪ 8‬یهههههرب نهههههیم ؛بهههههر آن مهههههدد‬
‫‪62000‬راایههافه نههیم و بههدین ترتیههب بههرای طههول قطههری برابربهها ‪ 2‬آیوتههاس‬
‫«=میریاد» طول تقریبهی محهیط دایهره بهه دسهت مهی آیهد‪ ».‬یعنهی ‪3/1416‬یها‬
‫‪ .Π=62832:20000‬چنین استد ل شده است ه استساده از میریاد حکایت‬
‫از آن می ند ه منبع اطره هندیان یونانی بوده اسهت ؛ولهی چنهان مهی نمایهد‬
‫ه تاییدی بر این نظهر وجهود نهدارد و دانشهمندان و صهاحب نظهران هنهدی در‬
‫آن اخترف نظر دارند‪.‬‬
‫‪‬ا وتو یههوس در شههرحش بههر رسههاله ی انههدازه گیههری دایههره ی ارشههمیدس مههی‬
‫گوید ه ‪:‬آپولونیهوس در رسهاله اش بیهان امهداد دیرهری را بهه هار بهرده و بهه‬
‫تقریبی نزدیکتر از تقریب ارشمیدس دست یافته است‪.‬‬
‫تولیال زاویه‬
‫در این شک نیست ه در یمن ترش برای محاط ردن چند یهلعی ههای منتطمهی‬
‫در دایره هه سهتاره ی ایهره آنهان نهه یها ههر میهربی از نهه باشهد ‪ ،‬یونانیهان بها‬
‫مس له ی تقسیم یک زاویه ‪ ،‬یر از زاویه ی قا مه ‪،‬به سه جز مساوی روبهه رو‬
‫بههوده انههد‪ .‬بنابههه گستههه ی پههاپوس پیشههینیان نخسههت روشهههای «متههداول در ص هسحه‬
‫»(یعنی روشهای ه تنها با خهط مسهتقیم و دایهره سهرو ار دارنهد) را بهه هار مهی‬
‫بردند ‪ ،‬ولی از آن جهت به نتیجه نمی رسیدند ه این مسه له‪ ،‬مسه له «مربهوط‬
‫بههه صههسحه »نبههوده بلکههه «فیههایی» (وبنههابراین مسههتلزم بههه ههار گههرفتن قطههوه‬
‫مخروطی و بعیی از هم ارزهای آنان )بهوده اسهت ‪ .‬ولهی چهون در آن زمهان بها‬
‫چنین مقاطعی آشهنا نبهوده انهد ‪،‬نخسهت مسها ل رابهه گونهه ای از نهوه شهناخته شهده‬
‫همچون ن وس یس (گرایش ها یا میلها )تبدیل می ردند ‪،‬وپهس از آن راه حهل ایهن‬
‫مس له ی اخیر را به میانجرری قطوه به دست می آوردند‪.‬‬
‫(الف)تحویل به یک گرایش‬
‫وحل آن از راه قطوه‬
‫‪‬در این حالت تنها به ان نیازمندیم ه حالت یک زاویهه حهاده یهر مشهخب‬
‫را مورد مطالعه قرار دهیم‪ ( .‬زاویه قا مه را می توان با ترسیم یهک مولهال‬
‫متساوی ا یره به سه قسمت مساوی تقسیم رد‪).‬‬
‫‪‬تحویل به یک گرایش از طریق تجزیه وتحلیل صورت می گیرد‪.‬‬
‫اگر ‪ ABC‬زاویه حاده داده شد باشد ‪،‬خط ‪Ac‬را ممود بهر ‪BC‬رسهم مهی نهیم‬
‫‪.‬‬
‫اگر متوازی ا یره ‪ ACBF‬را امل می نیم ‪.‬آنراه ‪FA‬چندان امتداد می دهیم‬
‫ه تا نقطه ی ‪E‬واقع بر روی آن چنان باشد ه ‪ ،‬اگر ‪EB‬وصل شود ‪ ،‬ومحل‬
‫تقاطع آن با ‪ Ac‬نقطه ی ‪ D‬باشد ‪،‬قطعه ی ‪DE‬واقع میان ‪AC‬و‪ AE‬برابر با‬
‫‪ 2AE‬شود ؛ ولی به بیان گرایشی نقطه ی ‪E‬واقع بر آن چنان باشد ه یک خط‬
‫راست ‪ DE‬میان ‪ Ac‬و ‪ AE‬به طولی مساوی با ‪2AB‬به سمت ‪B‬برراید‪DE .‬‬
‫را در ‪G‬نصف و خط ‪AG‬را رسم می نیم‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫در این صورت‪:‬‬
‫و بنابر این ‪:‬‬
‫‪<ABG=<AGB=<2<EG=2<DB‬‬
‫‪C‬‬
‫پس‪:‬‬
‫‪<DBC=1/2<ABC‬‬
‫بهدین گونهه مسه له تبهدیل مهی شهود بهه ترسهیم خهط ‪ BE‬از ‪ B‬هه خطههای ‪ Ac‬و‬
‫‪AE‬را قطع ند به طوری ه ‪ DE‬مساوی ‪ 2AB‬باشد‪.‬‬
‫پهههاپوس نشهههان داده اسهههت هههه چرونهههه ایهههن مسههه له را مهههی تهههوان از راه قطهههوه‬
‫مخروطی به صورتی لی تر حل رد‪.‬‬
‫فر می نهیم ‪ABCD‬یهک متهوازی ا یهره باشهد (چنانکهه‬
‫پاپوس ممل رده یرورتی ندارد ه مستطیل باشد ) مطلهوب‬
‫ترسیم خط ‪ AEF‬است از ‪A‬تا ‪ CD‬و امتداد ‪ BC‬را بهه ترتیهب‬
‫در نقهاط ‪E‬و‪F‬قطهع نهد بهه طههوری هه ‪ EF‬طهولی معهین داشههته‬
‫باشد ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪L‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬فر می نیم ه مسه له حهل شهده باشهد و‪EF‬طهول مطلهوب بها شهد‪ .‬سهپس‪ ،‬چهون‬
‫طههول ‪ EF‬داده شههده ‪ ،‬زم اسههت ههه ‪ DG‬همههان طههول معههین را داشههته باشههد ‪،‬‬
‫بنابراین ‪G‬بر محهیط دایهره ای بهه مر هز ‪D‬وبهه شهعامی برابهر بها طهول داده شهده‬
‫قههرار دارد‪.‬و نیههز اگههر متههوازی ا یههره ‪ABFH‬را امههل و خههط ‪ KEL‬را بههه‬
‫موازات ‪AH‬رسم نیهد و خهواهیم دیهد هه متهوازی ا یهره ههای مهتمم برابهر بها‬
‫یکدیررند‪،‬‬
‫)‪(BD)=(KH‬‬
‫و در نتیجه‬
‫‪BC.CD=KL.LH=BF.ED=BF.F‬‬
‫‪G‬‬
‫بنهههابراین ‪ G‬بهههر یهههک ههههذلولی هههه از‪ D‬مهههی گهههذرد قهههرار گرفتهههه اسهههت هههه‬
‫‪BF‬و‪BA‬مجانبههههای آن هسهههتند‪ .‬پهههس‪ ،‬بهههرای حهههل گرایشهههی ‪ ،‬تنهههها مهههی بایسهههتی‬
‫(‪)1‬هذلولی یاد شده و (‪)2‬دایره به مر ز ‪D‬و شعاه برابر با طهول داده شهده را‬
‫رسم نیم‪.‬‬
‫محل تقاطع این دو منحنی نقطه ی ‪G‬خواهد بود ‪ .‬سپس‪E‬و‪F‬را تعیهین مهی نهیم‬
‫و خههط ‪ GF‬را بههه مههوازات ‪DC‬مههی شههیم تهها امتههداد ‪ BC‬را در ‪F‬قطههع نههد‪ ،‬و‬
‫سپس ‪ AF‬را رسم می نیم تا ‪ CD‬را در ‪E‬قطع ند‪.‬‬
‫‪‬در اینجههها بایهههد بخصهههوب از نیکومهههدس یاد نیم‪،‬بهههدان جههههت هههه وی یهههک‬
‫منحنی را بهرای ههدف خهاب حهل گرایشهی بهدان صهورت هه در بها آمهده‬
‫ابههداه ههرده اسههت‪.‬وی از لحههاظ تههارید زنههدگی در فاصههله ی زمههانی میههانی‬
‫اراتسههتن و آپولونیههوس مههی زیسههته ؛بنههابراین بایههد در حههدود ‪275‬ق‪.‬م تولههد‬
‫یافته باشد ‪.‬‬
‫‪‬منحنههی مههورد بحههال را پههاپوس حلههزون وار نامیههده ‪ ،‬ولههی بعههد ههها ‪،‬مههور در‬
‫زمان ا وتو یوس‪ ،‬از ان به نام صدف وار یاد شده است‪.‬‬
‫‪‬پاپوس به چهار منحنی صدف وار اشاره رده است ؛‬
‫نخستین ان ه ما در اینجا سرو ار داریم ‪،‬برای تولیال یک زاویهه یهر مشهخب‬
‫و تیعیف مکعهب بهه هار مهی رفتهه اسهت‪.‬ان را بهه وسهیله یهک افهزار مکهانیکی‬
‫بدین گونه می ساختند‪:‬‬
‫‪ AB‬خط شی است با شکافی موازی با طول آن‪ ،‬و ‪FE‬خط شهی دیرهر اسهت‬
‫ه به صورت ممود بر ‪ AB‬نصب شده باشهد و یهک مهید چهوبی ‪ C‬بهر آن قهرار‬
‫دارد خط ش سوم ‪PC‬بانوک تیز ‪P‬نیز شکافی بر روی خهود بهه مهوازات طهول‬
‫خود دارد ه مید ‪ C‬از میان آن بیرون آمده است ‪D.‬یک مهید چهوبی وابهت شهده‬
‫بهههر روی ‪DC‬در امتهههداد شهههکاف آن از طهههرف داخهههل قهههرار گرفتهههه وایهههن مهههید‬
‫‪D‬آزادانه در میان شکاف ‪ AB‬جابه جا می شود‪.‬‬
‫‪‬بنابراین اگر خط ش ‪ PC‬چنان حر ت ند ه مید ‪D‬تمام طهول ‪ AB‬را در دو‬
‫طرف ‪ F‬بپیماید ‪،‬نوک ‪P‬از ایهن خهط هش یهک منحنهی ترسهیم مهی نهد هه آن را‬
‫حلزونی یها صهدف وار مهی نامیهده انهد‪.‬نیکومهدس خهط راسهت ‪AB‬را خهط هش ‪،‬‬
‫نقطه ی وابت ‪C‬را قطب ‪،‬و طول وابت ‪PD‬را فاصله نامیده است‪.‬‬
‫‪‬اگهر ‪r‬شهعاه حامهل ‪ CP‬باشهدو ‪DP=a‬و ‪ ،CP=b‬معادلهه ی قطبهی ایهن منحنهی‬
‫چنین خواهد بود ‪:‬‬
‫و‪AB‬یکی از مجانبهای آن است‪.‬‬
‫‪r=a+b‬‬
‫‪secѳ‬‬
‫‪‬هنرام استساده از یک حلزون وار مناسب برای حالهت خهاب فمهی بایسهتی قطهب‬
‫‪C‬رادر نقطه ای قرار دهیم ه خط مندرج به طرف ان متمایل باشهد‪ ،‬وخهط هش‬
‫می بایستی بر یکی از خطهایی منطبق باشهد هه خهط منهدرج بایهد بهین انهها قهرار‬
‫گیرد ‪.‬مور برای حل گرایشهی صهسحه ی ‪141‬و‪ 142‬مهی بایسهتی حلهزون وار‬
‫داشته باشیم هه در آن فاصهله ی وابهت ‪ DP‬برابهر بها ‪ ،2AP‬قطهب در ‪ ،B‬وخهط‬
‫ش منطبق بر ‪ AC‬باشد‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬از این رو در حالت لی باید برای ههر حالهت یهک ابهزار تهازه ای سهاخته شهود‪.‬‬
‫جای شرستی نیست ه پاپوس می گوید‪:‬حلهزون وار ههیچ وقهت ممهر رسهم نشهده‬
‫است‪ ،‬بلکه مقداری از آن رسم می شده است بهرای سههولت بیشهتر خهط هش را‬
‫به گرد نقطه ای وابت حر ت می دادند تها قطعهه مجهزا شهده‪ ،‬بها تجسهس مسهاوی‬
‫طول مسرو شود‪.‬‬
‫(پ)تحویل دیرر به‬
‫یک گرایش‬
‫‪‬مجمومه لمهایي ه از طریق ترجمه ی مربی آنها به نهام ارشهمیدس بهه مها‬
‫رسیده است‪ ،‬مشتمل بر قییه ی جالبی است ه ما را به تحویل دیرری به‬
‫یک گرایش از مس له ی تولیال زاویه هدایت می ند ‪.‬‬
A
B
D
O
E
F
‫‪‬اگر ‪AB‬وتر یهک دایهره بهه مر هز ‪O‬باشهد وآن وتهر را تها نقطهه ای ماننهد ‪C‬چنهان‬
‫امتداد دهیم هه ‪BC‬برابهر بها شهعاه دایهره شهود واگهر محهیط ‪ CD‬دایهره را در دو‬
‫نقطه ی ‪D‬و‪ E‬قطع ند در ایهن صهورت قهوس ‪ AE‬سهه برابهر قهوس ‪ BD‬خواههد‬
‫شهد‪.‬چههه اگههر وتههر‪EF‬را بههه مههوازات ‪AB‬ونیههز خطهههای ‪OB‬و‪OF‬را رسههم نیم‪،‬بههه‬
‫سبب تساوی ‪BO‬و‪BC‬چنین خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪<BOC=<BC‬‬
‫‪O‬‬
‫ولی‬
‫‪<COF=<OFE+<OEF=2<OEF‬‬
‫‪( ‬متبادله)‬
‫بنابراین‪:‬‬
‫‪ ‬ودر نتیجه‪:‬‬
‫(قوس ‪(=3)BD‬قوس‪(=)AE‬قوس‪)BF‬‬
‫از اینجا معلوم می شود هه بهرای یهافتن قوسهی بهه انهدازه ی یهک سهوم ‪AE‬‬
‫تنها باید از ‪ ،A‬خط راست ‪ ABC‬را چنان رسم نیم ه دایره را بار دیرهر‬
‫در ‪B‬وامتههداد‪ OB‬را در ‪ C‬قطههع نههد و چنههان شههود ههه ‪ BC‬مسههاوی شههعاه‬
‫دایره باشد‪.‬‬
‫(ت)راه حل از طریق‬
‫قطوه مخروطی‬
‫‪ ‬پاپوس دو راه حل مستقیم مس له تولیال زاویه را از طریق قطوه مخروطی بهه مها‬
‫مههی دهههد بههدون ایههن ههه بههه تحههول گرایشههی مقههدماتی آن یههرورت پیههدا نههد‪:‬دومههی‬
‫مخصوصهها بههدان جهههت جالههب اسههت ههه تنههها یکههی از سههه فقههره ی معلههوم از آوههار‬
‫ریایههی یونانیههان اسههت ههه ویژگههی هههادی – ههانون قطههوه مخروطههی را آشههکار‬
‫سازد‪.‬‬
‫‪‬تحلیل آن از این قرار است ‪:‬‬
‫فههر مههی نههیم ‪BPS‬قوسههی از دایههره باشههد ههه مقصههود تولیههال آن اسههت‬
‫‪.‬فر میکنیم ه مس له حل شده و مان ‪SP‬یک سوم مان ‪SPR‬باشد‪.‬‬
‫‪ ‬خطوط ‪SP‬و‪PR‬را وصل می نیم‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪R‬‬
‫در این زاویه ‪RSP‬دو برابر زاویه ‪SRP‬خواهد بود‪.‬‬
‫خط ‪SE‬نیمساز زاویه ‪RSP‬رارسم می نیم و خطهای‪EX‬و‪PN‬راممود بر ‪RS‬می‬
‫شیم‪.‬‬
‫پس‬
‫‪<ERS=<ESR‬‬
‫ولذا‬
‫‪RE=ES‬‬
‫وبنابراین‬
‫‪RX=XS‬‬
‫ومعلوم می شود‪.‬‬
‫‪RS:SP=RE:EP=RX:XN‬‬
‫وبنابراین‬
‫‪RS:RX=SP:NX‬‬
RS=2RX
‫ولی‬
‫پس‬
SP=2NX
‫نتیجهه آن مهی شهود هه ‪ P‬بهر یهک ههذلولی قهرار گرفتهه اسهت هه هانون آن‬
‫‪S‬وخط هادی آن ‪ XE‬وخروج از مر ز برابر با ‪2‬دارد‪.‬‬
‫بنابراین برای تولیال مان ‪ RPS‬تنها زم است ه ‪ RS‬را در ‪ X‬بهه دو نیمهه‬
‫تقسههیم وآنههرا بههر ‪RS‬ممههود نههیم‪ .‬سههپس یههک هههذلولی بههه ههانون ‪ S‬وهههادی ‪XE‬‬
‫وخروج از مر زی برابر با ‪2‬ترسیم نیم‪.‬‬
‫در اینجا باید یاداور شویم ه پهاپوس ویژگهی ههادی‪ -‬هانون ‪3‬قطهع مخروطهی را‬
‫در بخشی با منوان «لمهایی درباره ی مکانهای هندسی رویه های اقلیدسی »‬
‫آورده ‪،‬و آن را به اوبات رسانیده ه طرز بیان او از این قرار است ‪:‬اگر نسبت‬
‫فاصله نقطه ای از یک نقطه ی وابت به فاصله ی آن از یک خط راست وابت‬
‫برابرمقدار وهابتی باشهد مکهان هندسهی آن نقطهه هه یهک قطهع مخروطهی اسهت یها‬
‫بییههی اسههت یهها سهههمی یهها هههذلولی‪،‬بنابر آنکههه قسههمت داده شههده متههر از واح هد‪،‬‬
‫برابر‪،‬یا بزرگتر از واحد باشد‪.‬‬
‫چههون ایههن لههم بههرای فهههم رسههاله اقلیههدس یههرورت داشههته‪،‬این یههک نتیجههه گی هری‬
‫درستی است ه اقلیدس در مکانهای هندسی رویه های خود این قییه را بدون‬
‫اوبات به منوان حکم امر معلومی پذیرفته است ‪.‬‬
‫بنابر این محتمر این اوبات در رساله ای ه در زمان اقلیدس در اختیار ریایی‬
‫دانان بوده ‪،‬شهاید در اوهری از آریسهتای وس دربهاره ی مکانههای هندسهی در فیها‬
‫بوده است‪.‬‬
‫‪‬ا ههو تو یههوس در شههرح خههود بر تههاب ههره واسههتوانه ی ارشههمیدس‪،‬مجمومه‬
‫بسههیار ارزشههمندی از راه حلهههای ایههن مس ه له معههروف رابههرای مهها محسههوظ‬
‫دانسته است‪.‬‬
‫‪‬یکی از انان اراتستن است وبه صورتی معرفی شده هه در واقعهه نامهه ای‬
‫است از او برای بطلمیوس‪.‬این ا ذ فریی روایت مربوط به پیهدایش ایهن‬
‫مس له وتارید حل آن تا زمان اراتستن را به دست می دهد‪.‬‬
‫آرخوتاس‬
‫از میههان همههه راه حلههها ‪،‬راه حههل آرخوتههاس جالههب توجههه تههر اسههت‪،‬‬
‫مخصوصا ً از لحاظ تارید آن (نیمه اول قرن چهارم ق م) ‪ ،‬پیدا ردن نقطه‬
‫ای در فیای سه بعدی از تقاطع سه سطح(‪ )1‬یهک مخهروط قها م ‪)2(،‬یهک‬
‫استوانه ‪ )3(،‬یک چنبره یا لنرر با قطر دایره درونی صسر‪،‬مملی جسورانه‬
‫بوده است‪ .‬مقطع دو سطح اخیر (بهه گستهه آرخوتهاس)یهک منحنهی (در واقهع‬
‫یک منحنی با انحنای میهامف) اسهت‪ ،‬و نقطهه مطلهوب نقطهه ای اسهت هه‬
‫در آن مخروط این منحنی را قطع می ند‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫نیههد ههه مقصههود یههافتن دو واسههطه هندسههی میههان ‪AC,AB‬باشههد ههه اولههی بههه‬
‫فههر‬
‫صورت قطر یکَ دایره داده شده است و دومی به صورت وتری از آن دایره‪.‬‬
‫‪ ‬نیم دایره ای به قطر ‪AC‬ولی در صسحه ممود بر صهسحه دایهره ‪ABC‬بهر‬
‫آن ممود است به اندازه یهک زاویهه قا مهه دوران مهی دههیم ‪،‬بنهابراین نیمهی‬
‫از یک چنبره با قطر درونی صسر ساخته ایهم‪.‬سهپس یهک نهیم اسهتوانه قها م‬
‫به قا ده نیم دایره ‪ABC‬می سازیم ‪.‬این نهیم اسهتوانه نهیم چنبهره را در یهک‬
‫منحنی قطع می ندو بها خره ‪CD،‬ممهاس بهر دایهره ‪ABC‬در نقطهه ‪C‬را‬
‫امتداد مهی دههیم تها در ‪D‬بها امتهداد ‪AB‬ترقهی نهد؛ و فهر مهی نهیم هه‬
‫مولال ‪ADC‬بر گرد محور‪AC‬دوران نهد‪ .‬بهدین گونهه سهطح یهک مخهروط‬
‫قا م مستدیر به وجود می آید‪.‬‬
‫‪ ‬نقطههه‪B‬در یههمن ایههن دوران‪ ،‬نههیم دایههره ‪BQE‬را در صههسحه ای ممههود بههر‬
‫‪Ac‬و ممود بر صسحه ‪ABC‬ترسیم خواهیم رد ؛و قطر ‪BE‬بر ‪AC‬ممود‬
‫خواهد بود‪ .‬سطح مخروط در نقطه ای همچون ‪P‬منحنی فصل مشهترک نهیم‬
‫اسههتوانه ونههیم چنبههره را قطههع مههی نههد ‪ .‬فههر مههی نههیم ههه ´‪APC‬ویههع‬
‫متنهههاظر بههها نهههیم دایهههره در حهههال دوران باشهههد‪،‬و´‪AC‬محهههیط دایهههره ‪ABC‬را‬
‫در‪M‬قطع ند‪،‬‬
‫‪‬ا و تو یوس در شرح خود بر تاب ره واستوانه ی ارشمیدس‪،‬مجمومه‬
‫بسیار ارزشمندی از راه حلهای این مس له معروف رابرای ما محسوظ‬
‫دانسته است‪.‬‬
‫‪‬یکی از انان اراتستن است وبه صورتی معرفی شده ه در واقعه نامه ای‬
‫است از او برای بطلمیوس است ‪.‬این ا ذ فریی روایت مربوط‬
‫به پیدایش این مس له وتارید حل آن تا زمان اراتستن به دست می دهد‪.‬‬
‫‪‬ا‬
‫‪ ‬اگر ‪PM‬ممود بر صسحه دایره‪ABC‬رسم شده باشد‪،‬می بایست محهیط آن‬
‫دایره را قطع ند‪،‬بدان جهت ه ‪P‬بر نیم استوانه قها م بهه قا هده‪ABC‬قهرار‬
‫نهههههیم هههههه ‪AP‬نهههههیم دایهههههره ‪BQE‬را در ‪Q‬قطهههههع هههههرده‬
‫دارد‪ .‬فهههههر‬
‫باشههد‪،‬و´‪AC‬قطههر ‪BE‬را در‪ .N‬امهها هههر دو نههیم دایههره بههر صههسحه دایههره‬
‫‪ABC‬ممودند؛بنابراین فصل مشترک آنها‪،‬یعنی ‪QN‬نیز بهر صهسحه دایهره‬
‫ممههود خواهههد شههد‪ .‬بنهها بههراین ‪QN‬هههم بههر ‪AM‬ممههود اسههت‪ .‬چههون ‪QN‬‬
‫بر‪BE‬ممود است‪.‬‬
‫بنا براین زاویه ‪AQM‬قا مه است‪ .‬ولهی زاویهه ´‪APC‬نیهز قا مهه اسهت؛بنا‬
‫براین ‪QM‬موازی با´‪ PC‬خواهد بود‪.‬‬
‫‪QN ²=BN.NC=AN.NM‬‬
‫‪ ‬بنا بر تشابه مولوها چنین داریم‪:‬‬
‫‪C´A:AP=AP:AM=AM:AQ‬‬
‫یعنی‬
‫‪AC:AP=AP:AM=AM:AB‬‬
‫‪AM‬و‪AP‬دو واسطه هندسی میان ‪ AB,AC‬خواهند بود‪ .‬از تر یب نسهبتها چنهین‬
‫به دست می آید‪:‬‬
‫‪AC:AB=(AM:AB)³‬‬
‫‪ ‬بنهها بههر ایههن نسههبت مکعبههی بههه یههال ‪Am‬بههه مکعبههی بههه یههال ‪AB‬همچههون نسههبت‬
‫‪AC‬بههههههههههه‪AB‬خواهههههههههههد بههههههههههود‪ .‬در حالههههههههههت خههههههههههاب ‪AC=2AB‬خههههههههههواهیم‬
‫داشت‪ AM³=2AB³ ،‬و مس له حل شده است‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ائودوکسوس‬
‫‪ ‬راه حل ا ودو سوس متاسسانه مسقود شده است‪ .‬درمیهمونی از اراتسهتن‬
‫آمده اسهت هه ا وو سهوس گونهه خاصهی از منحنهی را بهه هار بهره اسهت‪.‬‬
‫ا وتو یههوس ظههاهرا صههورتی از ایههن راه حههل را ههه نادرسههت بههوده ‪،‬دیههده‬
‫بهههوده اسهههت‪.‬چهههه میرویهههد درمهههین آنکهههه ا ودو سهههوس در مقدمهههه گستهههار‬
‫خودمدمی شف راه حلی از طریق {خطهای منحنی}شده بوده‪،‬‬
‫‪ ‬ولی نه تنها چنین خطهایی را دراوبات خهود بهه هار خودنبرده‪،‬بلکهه ممهر‬
‫از یههک نسههبت گسسههته بههه صههورتی ههه گههویی پیوسههته اسههت اسههتساده ههرده‬
‫میکنههد هه منبههع‬
‫اسهت قسهمت اخیههر ایهن گستههه مهارا نههاگزیر بهه ایههن فهر‬
‫اطرمههات ا وتو یههوس بههه نحههوی نههاقب بههوده اسههت‪,‬چههه ایههن مطلههب قابههل‬
‫تصهههور نیسهههت هههه ریایهههیدانی بههها توانهههایی ا ودو سهههوس مرتکهههب چنهههین‬
‫اشتباهی شده باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫منایخموس‬
‫منههایخموس ‪،‬یکههی ازبههرادران دینوسههتراتوس ههه مربههع سههاز را بههرای‬
‫تربیههع دایههره بههه ههار برده‪،‬یکههی از شههاگردان ا ود سههوس بههوده اسههت‪.‬گستههه‬
‫اند ه اسکندر از او خواسته بوده هه راه میهانبری بهرای فراگهرفتن هندسهه‬
‫به او بنماید واو در جواب وی گسته بود‪:‬املی حیهرتا‪،‬برای مبهور از ایهن‬
‫سرزمین راههایی برای مبور شاه وجود دارد وراههای دیرر برای مموم‬
‫شهروندان‪،‬ولی در هندسه تنها یک راه در اختیار همران است‪.‬‬
‫‪ ‬به همین گونه در روایات آمده اسهت هه اقلیهدس نیزبهه بطلمیهوس گستهه بهود‬
‫ه برای فرا گرفتن هندسه راه شاهانه وجود نهدارد‪ [.‬منهایخموس از طریهق‬
‫پرو لههههوس بهههها آمههههو رس هرا لیههههایی ودینسههههتراتوس ارتبههههاط پیههههدا میکنههههد‬
‫ه(تمامی هندسه را تکمیل تر نند)‪.‬‬
‫‪ ‬وی درباره فن آوری ریاییات چیزهایی نوشته است; درباره معنهی واژه‬
‫اصل بحال رده و از تمایز میهان قیهیه هها ومسه له هها وانعکهاس پهذیری‬
‫قیههیه ههها ونظههایز اینهاسههخن گستههه اسههت‪ .‬ولههی اهمیههت او بههرای مهها درایهن‬
‫واقعیههت اسههت ههه نخسههتین بحههال دربههاره قطههوه مخروطههی خههواب آنههها‬
‫درراه حلهای وی از مس له دو واسطه هندسی در نوشهته ههای اودیهده مهی‬
‫شود; بنابز این تا آنجا ه می دانیم وی نخسهتین سهی بهوده اسهت هه آنهها‬
‫را شف رده است‪.‬‬
‫خواصی ه وی ممر به هار بهرده اسهت‪,‬خصوصهیت مریهی یهک سههمی‬
‫وخصوصیت مجهانبی یهک ههذلولی قها م الزاویهه اسهت‪.‬اگهر‪x‬و‪y‬دو واسهطه‬
‫هندسی میان دو خط راست‪a‬و‪b‬باشند‪ ,‬یعنی‪:‬‬
‫‪a:x=x:y=y:b‬‬
‫آنراه روشن است ه خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪x^2=ay , y^2=bx , xy=ab‬‬
‫‪ ‬خواب سهمی و هذلولی ه منایخموس به ار بهرده اسهت‪،‬دقیقا همانههایی‬
‫هستند ه از این روابط به دست می آیند وقتهی هه‪x‬و‪y‬مختصهات د هارتی‬
‫مربوط به محورههای مختصهات متعامهد باشهند‪.‬در نخسهتین راه حهل مسه له‬
‫منایخموس از دومین وسومین نسبت ازاین نسبتها استساده رده اسهت‪،‬ودر‬
‫دومین راه حل مس له از اولین ودومین‪.‬‬
‫نخستین راه حل‪:‬‬
‫فر می نیم دو خط ‪OA‬و‪ OB‬ه با یکدیرر زاویهه قها م میسهازند‪،‬معرف‬
‫دو خط ه راست باشند ‪OA‬بزرگتر از‪OB‬اختیار شده اسهت‪ .‬فهر مهی‬
‫نههیم مسه له حههل شههده واز دو واسههطه هندسههی یکههی ‪OM‬باشههد در امتههداد‪O‬‬
‫انههدازه گیههری شههده ودیرههری ‪ ON‬ههه در امتههداد ‪OA‬انههدازه گیههری شههده‬
‫است‪.‬مستطیل ‪OMPN‬را امل میکنیم‪.‬‬
‫چون‬
‫‪AO:OM=OM:ON=ON:OB‬‬
‫پس چنین خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪OB.OM=ON^2=PM^2‬‬
‫لذا بر یک سهمی به راس‪O‬ومحور‪OM‬ویلع قا م‪OB‬قرار دارد‪.‬‬
‫‪AO.OB=OM.ON=PN.PM‬‬
‫‪ ‬لذا‪P‬بر یک هذلولی به مر ز ‪O‬ومجانبهای‪OM‬و‪ON‬قرار گرفتهه وبهه‬
‫گونههه ای اسههت ههه مسههتطیل حاصههل از دو خههط‪PM‬و‪ PN‬ههه از یههک‬
‫نقطههه ‪ P‬ازمنحنههی بههه مههوازات یههک مجانههب شههیده میشههود وبههه ترتیههب‬
‫مجانههههههب دیرههههههر را قطههههههع میکنههههههد‪،‬برابر بهههههها مسههههههتطیل داده شههههههده‬
‫ی‪BO.OA‬است‪ .‬پس اگر این منحنی را بنا براین داده ها ترسهیم نهیم‬
‫‪،‬نقطه ‪P‬از ترقی آنها به دست می آید‬
‫‪ ‬و داریم‪:‬‬
‫‪AO:PN=PN:PM=PM:OB‬‬
‫‪‬‬
‫راه حل دوم‪:‬‬
‫درایههن حالههت دو سهههمی رسههم میکنههیم یعنههی (‪)1‬یههک سهههمی بههه راس ومحههور‬
‫‪ON‬ویههلع قهها م ‪)2( .OA‬سهههمی دیرههر بههه راس ‪O‬ومحههور‪OM‬ویههلع‬
‫قا م‪.OB‬‬
‫از تقاطع این سهمیها نقطه ‪P‬به دست می اید ه‪:‬‬
‫(‪OA.ON=PN^2 )1‬‬
‫(‪OB.OM=PM^2 )2‬‬
‫‪ ‬چههههههههههههههههههههههون ‪PN=OM‬و‪ PM=ON‬ازآن چنههههههههههههههههههههههین نتیجههههههههههههههههههههههه‬
‫میشود ه‪OM:‬و‪ON‬واسطه های هندسی مطلوب میهان ‪OA‬و‪OB‬خواهنهد‬
‫بود‪.‬‬
‫‪OA:OM=OM:ON=ON:OB‬‬
‫‪‬‬
‫راه حل منسوب به افالطون‪:‬‬
‫‪ ‬ایههن راه حههل ههه تنههها ا وتو یههوس آن را بههه دسههت آورده یهها بههه آن اشههاره‬
‫رده‪،‬مشکل بتواند منسهوب بهه افرطهون باشهداگر چهه سهبب ایهن تصهور مها‬
‫تنها آن باشد ه افرطون اصو بها بهه هار بهردن وسهایل مکهانیکی در حهل‬
‫مسا ل هندسهه مخهالف بهوده ومهی گستهه اسهت هه ایهن هار بهر حسهن ونیکهی‬
‫هندسههه لطمههه میزنههد‪ .‬ممکههن اسههت حههل آن در آ ههادمی بههه دسههت یکههی از‬
‫معاصران منایخموس یا جوان تر از او صورت گرفته باشد‪.‬‬
‫‪ ‬تنظیم شکل با دو خهط داده شهده ودر واسهطه میهان آنهها درسهت همهان اسهت‬
‫ههه در شههکل منههایخموس آمههده اسههت; آن دو خههط بههه شههکل خطهههای راسههتی‬
‫تنظههیم شههده انههد ههه بههر یکههدیرر ممودنههد و چههون در جهههت حر ههت مقربههه‬
‫سامت اختیار شوند میهت آنهها جنبهه نزولهی دارد‪.‬اخهترف در آن اسهت هه‬
‫آنچههه منههایخموس بههه وسههیله قطههوه مخروطههی انجههام داده‪،‬دراینجهها بههه وسههیله‬
‫اسبابی مکانیکی صورت گرفته ه شبیه به ابزاری است ه ساشهان بهرای‬
‫اندازه گرفتن طول پا به ار میبردند‪.‬‬
‫‪FGH ‬زاویه قا مه صلب (مور) ساخته شده از چوب است; ‪( KL‬بستنی)است ه‬
‫می تواند در امتداد ‪GF‬حر ت ند ‪,‬ولی همیشهه بها‪ GH‬مهوازی یعنهی ممهود بهر‬
‫‪GF‬بهههاقی میمانهههد‪.‬مهههی بایسهههتی دسهههتراه را چنهههان قهههرار دههههیم هههه لبهههه درونهههی‬
‫‪GH‬همیشههه از ‪B‬برههذرد‪ .‬ولبههه درونههی((بشههت)) (متوجههه بههه ‪ )G‬همیشههه از ‪A‬‬
‫برذرد‪.‬و سپس( در این شرایط )دستراه و بشت همهراه آن را چنهان حر هت دههیم‬
‫تهها (‪ )1‬زاویههه درونههی در‪G‬بههر امتههداد ‪OA‬قههرار گیههرد و(‪ )2‬زاویههه درونههی (بههه‬
‫طهرف‪ )G‬و‪k‬بهر امتههداد ‪(.OB‬وایهن ههار بهدون شهک نیازمنههد مقهداری دسههتکاری‬
‫اسههت‪ ).‬سههپس چهههار خههط ‪OA‬و‪OM‬و‪ON‬و‪OB‬همههان ویههعی را پیههدا خواهنههد‬
‫رد ه در شکلهای منایخموس وجود داشت‪.‬زاویه های ‪M‬و‪ N‬قا مه اند ‪.‬‬
‫‪OM^2=OA.ON ‬و‪NO^2=MO.OB‬‬
‫‪ ‬بنابراین‪:‬‬
‫‪AO:MO=MO:ON=ON:NB ‬‬
‫‪‬‬
‫اوراتوستنس‬
‫‪ ‬ایههن نیههز یههک سههاختمان مکهههانیکی اسههت‪ .‬وآن مبههارت از یههک چهههارچوب‬
‫مستطیل شکلی است ه بر آن سه متوازی ا یره (یا سه مولهال هه نیمهه‬
‫ای از آنهاست) با ارتسامی برابر با مهر چهارچوب مهی لدزنهد‪ .‬متهوازی‬
‫ا یرمها یا مولوهها همیشهه چنهان حر هت میکننهد هه قامهده ههای آنهها یهک‬
‫خط راست ترسیم می نند (یک یال ‪،‬مور یال با یی‪،‬چارچوب)ومی توانند‬
‫بر روی یکدیرر بلدزند‪.‬‬
‫‪ ‬ویهههع اولیههههه متهههوازی ا یههههرمها ومولوهههها در شههههکل ‪1‬نشهههان داده شههههده‬
‫اسههت‪AX.‬و‪EY‬ایههره چههارچوب انههد; ‪AMF‬و‪MNG‬و‪(NQH‬نیمههه هههای‬
‫متهههوازی ا یهههرمهای ‪ME‬و‪NF‬و‪)QG‬مولوههههایی هسهههتند هههه در امتهههداد‬
‫چارچوب میلدزند‪.‬‬
‫شکل(‪)1‬‬
‫درشکل ‪2‬نتیجه لدزیدن همه مولوها جز نخسهتین آنهها ( هه وابهت بهر جهای خهود قهرار‬
‫گرفتههه)از اویههاه اولیههه تهها اویههامی ههه پههس از لدزیههدن بههر روی یکههدیرر اختیههار‬
‫رده اند به صهورت ‪M’NG,AMF‬نشهان داده شهده انهد ‪.‬فهر مهی نهیم هه ‪AE‬‬
‫و‪(DH‬ممود بر ‪ )EY‬در شکل ‪ 2‬دو خط مستقیم داده شده اند ‪ .‬فر می نهیم هه‬
‫‪ N΄QH‬ویههع مولههال ‪NQH‬درآن حههالتی باشههد ههه ‪QH‬از‪D‬مههی گههذرد ‪،‬و ΄‪NGM‬‬
‫چنین ویعی از مولال΄‪، NGM‬به صورتی باشد ه نقطهه ههای ‪B‬و‪ C‬هه در‬
‫آنههها ‪MF‬و΄‪GM‬و‪NG‬و‪N΄H‬بههه ترتیههب یکههدیرر را قطههع مههی ننههد ‪،‬بهها دو نقطههه‬
‫‪A‬و‪D‬همه بر یک خط راست قرار گرفته باشند‪ AD.‬را امتداد می دهیم تا‪EY‬را در‬
‫نقطه ‪K‬قطع ند‬
‫‪ ‬در این صورت‬
‫‪AE:BF=EK:FK=AK:KB =BF:CG= FK:KG ‬‬
‫‪ ‬و به همین گونه ‪ BF:CG=CG:DH‬بنا بهراین ‪AE,CG,BF,DH‬بها‬
‫یکههدیرر نسههبتهای متههوالی دارنههد و‪,CG،BF‬همههان واسههطه هههای هندسههی‬
‫خواسته شده انهد‪.‬طنهز اراتسهتن از خواننهده مهی خواههد هه بهه هار دشهوار‬
‫استوانه های آرخوتاس یا بریدن مخروط به سه صورت منایخموس یها بهه‬
‫سههاختن اشههکالی از خطههوط منحنههی از گونههه ای ههه ا ودو سههوس آنههها را‬
‫شرح رده است نپردازد‪ .‬این را نیهز مهی افزایهد هه همهان چهارچوبی هه‬
‫در با برای راه حل اراتستن به ار برده شده ‪،‬به ما امکهان مهی دههد بهه‬
‫همههان گونههه‪،‬هر مههده ای از واسههطه ههها را در نسههبت متههوالی وارد ممههل‬
‫نیم‪.‬‬
‫‪‬‬
‫نیکومدس‬
‫‪ ‬از ا و تو یهوس ایهن گونهه سهب اطهره هرده ایهم هه نیکومهدس درسهت بهه‬
‫همان اندازه از راه حل خهود رایهی بهوده و بهه آن مهی بالیهده وراه دیرهران‬
‫را تحقیر می رده ه اراتستن پهیش از وی چنهین مهی هرده اسهت‪ .‬راه حهل‬
‫نیکو مدس بستری بهه نهومی گهرایش دارد هه او در صهدف وار خهودش بهه‬
‫ار برده است‬
‫‪ ‬اگهههر ‪AB,BC‬بهههه ویهههع ممهههود بهههر یکهههدیرر گرفتهههه شهههده باشهههند‪،‬متوازی‬
‫ا یهههره ‪ABCL‬را امهههل مهههی نهههیم‪ .‬دو خهههط ‪AB,BC‬را در دو نقطهههه‬
‫‪D,E‬نصف مهی نهیم;خهط واصهل میهان ‪L,D‬را چنهدان امتهداد مهی دههیم تها‬
‫‪BC‬را در نقطه ‪G‬قطع ند‪.‬خهط ‪EF‬راممهودبر ‪BC‬چنهان رسهم مهی نهیم‬
‫ههه ‪.CF=AD‬خههط ‪GF‬را مههی شههیم و‪CH‬را بههه مههوازات آن رسههم مههی‬
‫نهههههههههیم ‪ .‬حهههههههههال از نقطهههههههههه ‪F‬خهههههههههط ‪ FHK‬را رسهههههههههم مهههههههههی نهههههههههیم‬
‫تا‪CH‬رادر‪H‬و‪BC‬رادر‪K‬چنان قطع ند ه ‪HK=CF=AD‬‬
‫‪(. ‬واین ار توسط یک منحنی صدف وار صورت پهذیر مهی شهود هه‬
‫در آن ‪F‬قطههههههب اسههههههت و‪((CH‬خههههههط ههههههش)) ((فاصههههههله)) برابههههههر‬
‫بهههها‪AD‬یههههها‪،CF‬در ایههههن صهههههورت ‪،‬بنهههها بهههههر خاصههههیت صهههههدف وار‬
‫‪(=KH،‬فاصله)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪K‬را به ‪L‬وصل می نیم و خط ‪KL‬را چندان امتداد مهی دههیم تها در ‪M‬خهط‪AB‬را قطهع‬
‫ند‪.‬در این حال ‪CK,MA‬واسطه های هندسهی مطلهوب خواهنهد بهود‪ .‬زیهرا چهون ‪BC‬‬
‫در نقطه ‪E‬نصف شده وتا ‪K‬امتدادیافته است ‪BK.KC+CE^2=EK^2‬‬
‫بههههها افهههههزودن ‪EF^2‬بهههههه ههههههر دو طهههههرف ایهههههن معادلهههههه چنهههههین خهههههواهیم داشهههههت‬
‫‪BK.KC+CF^2=KF^2‬‬
‫حال با توجه به خطوط متوازی‪MA:AB=ML:LK=BC:CK‬‬
‫ولی ‪BC=1⁄2CG‬و‪ AB=2AD‬پس ‪MA:AD=CG:CK=FH:HK‬‬
‫و در نتیجه ‪MD;DA=FK:HK‬‬
‫‪ ‬ولی بنا بر ساختمان ‪ ; HK=AD،‬پس ‪MA=FK‬و ‪MD^2=FK^2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫اما ‪MD^2=BM.MA+DA^2‬‬
‫و بههههههههههههههههههههههههههها توجهههههههههههههههههههههههههههه بهههههههههههههههههههههههههههه روابهههههههههههههههههههههههههههط بههههههههههههههههههههههههههها‬
‫‪FK^2=BK.KC+CF^2‬بنابراین‪MB.MA+DA^2=BK.KC+CF^2‬‬
‫ولی ‪AD=CF‬‬
‫پس ‪BM.MA=BK.KC‬‬
‫بنابراین‪CK:MA=BM:BK=LC:CK‬‬
‫درصورتی ه داریم ‪BM:BK=MA:AL‬‬
‫‪LC:CK=CK:MA=MA:AL‬‬
‫بنابراین‬
‫‪AB:CK=CK:MA=MA:BC‬‬
‫یا‬
‫آپولو نیوس‪،‬هرون‪،‬فیلون بیزانسی‬
‫نیهد‬
‫دراین راه حلهایی را بها ههم مهی آوریهم هه واقعها ً ههم ارز یکدیررنهد‪ .‬فهر‬
‫ه‪AB,AC‬ممود بر یکدیرردو خط راست داده شهده باشهند‪ .‬مسهتطیل‪ACDB‬را‬
‫امل میکنیم ‪.‬نقطه ‪E‬محل تقاطع دو قطر آن اسهت‪.‬لهذا دایهره ای بهه مر هز ‪E‬و بها‬
‫شعاه ‪ EB‬بر مربع مستطیل ‪ ABDC‬محیط خواهد بود ‪.‬‬
‫حال(آپولونیوس)فر می نیم ه دایره ای به مر ز ‪ E‬چنان رسم شود هه‬
‫امتدادهای ‪BA,AC‬رادر ‪ F,G‬قطع ند‪،‬و نقاط ‪F,D,G‬بر یک خط راست قرار‬
‫گیرند‪ .‬یا (هرون)خط شی را چنان قرار مهی دههد هه لبهه آن از ‪D‬برهذرد وآن‬
‫را چندان برگهرد ‪D‬مهی چرخانهد هه لبهه آن امتهدادهای ‪AB,AC‬را در دو نقطهه‬
‫‪F,G‬قطع ند‪،‬چنان ه به فاصله های برابر‬
‫از نقطه ‪E‬قرار گیرند‪.‬‬
‫‪ ‬یههها (فیلهههون)خهههط هههش را برگهههرد ‪D‬چنهههدان مهههی چرخانهههد هههه امتهههدادهای‬
‫‪AB,AC‬ودایره محیط بر مستطیل ‪ABCD‬را به ترتیب در‪F,G,H‬چنان‬
‫قطههع ند ههه ‪FD,HG‬بهها یکههدیرر برابههر شههوند‪(.‬هههر سههه ایههن سههاختمان ههها‬
‫‪،‬نقاط واحد ‪F,G‬را به دست می دهنهد‪).‬حهال بایهد ‪،‬نخسهت ‪،‬وابهت نهیم هه‬
‫‪AF.FB=AG.GC‬‬
‫‪)1( ‬بهههها توجههههه بههههه سههههاختمانهای آپولونیههههوس وهرون‪،‬اگههههر نقطههههه‪K‬وسههههط‬
‫‪AB‬باشد‪ ،‬چنین خواهیم داشت ‪AF.FB+BK^2=FK^2‬‬
‫‪ ‬ه چهون ‪KE^2‬را بهه ههر دو طهرف معادلهه بیسهزاییم‪،‬چنین بهه دسهت مهی‬
‫آید‪AF .FB+BE^2=EF^2 ،‬‬
‫‪AG.GC+CE^2=EG^2‬‬
‫وبه همین گونه‬
‫ولی ‪ EF=EG‬و ‪BE=CE‬‬
‫پس ‪AF.FB=AG.GC‬‬
‫‪( ‬ب)با توجه به ساختمان فیلون ‪،‬چون‪GH=FD‬‬
‫‪ HF.FD=DG.GH ‬ولی ‪،‬چون دایره ‪BDHC‬از‪A‬می گذرد‪،‬‬
‫‪HF.FD=AF.FB‬و ‪ DG.GH=AG.GC‬بنابراین همچون‬
‫پیشتر ‪ AF.FB=AG.GC‬ودر نتیجه ‪FA:AG=CG:FB‬‬
‫‪ ‬ولی بنا بر تشابه مولوها ‪FA:AG=DC:CG=FB:BD،‬‬
‫‪ ‬یا‪AB:CG=CG:FB=FB:AC‬‬
‫‪ ‬دیو لس و پیچک وار‬
‫دیهههههو لس از لحهههههاظ تهههههارید بعهههههد از آپولونیهههههوس و قبهههههل از گمینهههههوس‬
‫(شهههکوفایی‪70‬ق م) بهههوده اسهههت‪ ،‬چهههه گمینهههوس منحنهههی خهههود را پیچهههک‬
‫وار(سیسو ید) ‪((،‬شهبیه بهرپ پیچهک)) توصهیف هرده اسهت‪ .‬ا وتو یهوس‬
‫دو فقهههره از تههههاب دیو لس‪،‬دربههههاره آیینههههه هههههای سههههوزان‪،‬را نقههههل ههههرده‬
‫اسههت؛یکی از آن دو مشههتمل بههر حههل مس ه له تقسههیم ههره بههه وسههیله قطههوه‬
‫مخروطی با یک صسحه به صورتی ه حجمهای دو قطعهه بهه دسهت آمهده‬
‫از آن نسههبت معینههی بهها یکههدیرر داشههته باشههندو دیرههری راه حههل مس ه له دو‬
‫واسطه هندسی از طریق یک منحنی پیچکی (یا پیچک وار)است‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫منحنی پیچک وار بدین گونه ساخته مهی شهود‪AB,DC،‬دو قطهر ممهود بهر یکهدیرر از‬
‫یک دایره هستند و‪E,F‬به ترتیب دو نقطه از محهیط آن هه در ربعههای ‪BD,BC‬از‬
‫دایره بهه صهورتی جهای دارنهد هه قوسههای‪ BF,BE‬مسهاوی بها یکدیررنهد‪ .‬دو خهط‬
‫‪EG,FH‬رابر‪DG‬ممود می نیم‪CE .‬را می شیم تا ‪FH‬رادر نقطهه ‪P‬قطهع نهد‪.‬‬
‫پیچههک وار مکههان هندسههی نقطههه ‪p‬اسههت وقتههی ههه ‪e‬بههر ربههع دایههره ‪BD‬و‪F‬بههر ربههع‬
‫دایره ‪BC‬حر ت ند به قسمی ههمواره قوسهای ‪BE,BF‬مساوی باشند‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪F‬‬
‫‪L‬‬
‫‪T‬‬
‫‪B‬‬
‫‪R‬‬
‫‪E‬‬
‫اگر ‪P‬نقطه ای باشد ه از طریق ساختمان با بهه دسهت آمهده اسهت‪،‬مطلوب‬
‫اوبهههههات ایهههههن مطلهههههب اسهههههت هههههه ‪FH,HC‬دو واسهههههطه هندسهههههی میهههههان‬
‫‪HP,DH‬هسهههههتند‪ ،‬یعنهههههی ‪DH:HF=HF:HC=HC:HP‬از روی ایهههههن‬
‫سههاختمان بههه ویههوح دیههده مههی شههود ههه ‪DG=HC‬و ‪EG=FH‬پههس‬
‫‪ CG:GE=DH:HF‬اما ‪ FH‬یک واسطه هندسی میان ‪DH, HC‬است‪،‬‬
‫‪ DH:HF=HF:HC‬وبنههها بهههر تشهههابه مولوهههها‬
‫بنههها بهههر ایهههن ‪:‬‬
‫‪CG:GE=CH:HP‬‬
‫‪،‬‬
‫‪DH:HF=HF:CH=CH:HP‬‬
‫پس‬
‫چون ‪،DH.HP=HF.CH‬اگر شعاه دایره را با‪a‬نشان دهیم واگر‪،OH=x‬‬
‫‪،HP=y‬یا به مبارت دیرر اگر ‪OB,OC‬را دو محهور مختصهات فهر‬
‫(‪(a+x(y=√)x²−a²(.)a−x‬‬
‫نیم ‪،‬چنین خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪ y²)a+x(=)a−x(³‬هه معادلهه منحنهی پیچهک وار‬
‫یها‬
‫است‪.‬‬
‫این منحنی در‪C‬یک نقطه بازگشت دارد ‪،‬و خط مماس بر دایره در ‪D‬یک خط مجانهب‬
‫آن اسههت‪ .‬فههر مههی نههیم ههه ایههن پیچههک وار ذر شههکل بهها یههک منحنههی نقطههه چههین‬
‫نمایش داده شهده باشهد‪ .‬دیهو لس بهدین گونهه نشهان داد هه چرونهه دو واسهطه هندسهی‬
‫میههان دو راسههت ‪a,b‬را مههی تههوانیم پیههدا نههیم ‪k:‬رابههر‪OB‬چنههان اختیههار مههی نههیم ههه‬
‫‪DK‬را رسم می نیم وآن را امتداد می دهیم تها پیچهک وار‬
‫‪DO:OK=a:b‬‬
‫را در‪Q‬قطهع نههد‪ .‬از ‪Q‬مههر ‪ LM‬و‪MC‬دو واسهطه هندسههیمیان‪DM,MQ‬خواهنههد‬
‫بود ‪ .‬و ‪DM: MQ=DO:OK=a:b‬‬
‫برای یهافتن دو واسهطه هندسهی میهان ‪a,b‬خطههای راسهت ‪x,y‬را هه بهه ترتیهب همهان‬
‫بهههههههههههههههههههههههها ‪MC‬و‪ML‬‬
‫را‬
‫نسههههههههههههههههههههههههبتی‬
‫دارنهههد هههه ‪a‬بههها‪DM‬و‪b‬بههها‪ MQ‬دارد ‪ ،‬بهههه دسهههت مهههی آوریهههم ؛در ایهههن صهههورت‬
‫‪x‬و‪y‬واسطه هندسی مطلوب میان ‪a,b‬خواهند بود‪.‬‬
‫اسپوروس و پاپوس‬
‫این راه حلها ه جداگانه توسط ا وتو پوس داده شده ‪،‬واقعا ً یکی هستند ‪ ،‬ونیز در واقع‬
‫همان راه حل دیو لس است‪ .‬تساوت در آن است ه اسهپوروس و پهاپوس از پیچهک‬
‫وار استساده نکرده اند‪،‬بلکه خط شی را به هار بهرده انهد هه آن را بهر گهرد‪c‬چنهدان‬
‫می چرخانند تا امتداد خط‪DK‬رادر‪Q‬و امتداد ‪OB‬را در ‪T‬و دایهره را در ق قططهع‬
‫ند وقطعهات ‪QT,TR‬برابهر بها یکهدیرر شهوند‪ .‬پهاپوس اسهپروس را مهی شهناخته ‪،‬و‬
‫احتمههال دارد ههه اسههتاد یهها شههاگردان او بههوده اسههت ‪ .‬از گههزارش خههود پههاپوس چنههین‬
‫استنباط می شود ه امتیاز حل مس له از آن خود او بوده است‪.‬‬
‫با سپاس فراوان از شما‬