Transcript model6 - F.Ramezani

Computer Modeling
And
Simulation
F.Ramezani
Department of Computer Engineering
Islamic Azad University SARI Branch
Introduction to
Computer Modeling And Simulation
‫فهرست مطالب‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تولید اعداد تصادفی‬
‫اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫آزمون های مولد اعداد تصادفی‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع غیر یکنواخت‬
‫آشوب و تولید اعداد تصادفی آشوب گونه‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫مقدمه‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مولد های اعداد تصادفی کاربردهای متنوعی در شبیه سازی کامپیوتری‪ ،‬حل‬
‫مسائل بهینه سازی‪ ،‬همچنین رمز نگاری اطالعات‪ ،‬و الگوریتم های اکتشافی‬
‫دارند‬
‫در این فصل به چند نمونه از مولد های اعداد تصادفی به همراه روشهای‬
‫آزمون کیفیت مولدها پرداخته میگردد‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪3‬‬
‫مقدمه‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫معموال در ساخت این مولد ها از روشهای ریاضی و یا روشهای تکاملی‬
‫استفاده میگردد که باعث شده است مولدهای مختلفی با کیفیتهای متفاوت‬
‫عرضه گردند‪.‬‬
‫کیفیت مولدهای اعداد تصادفی دارای اهمیت بسیار زیادی است بطوری که در‬
‫بسیاری از الگوریتمهای رمز نگاری که از اعداد تصادفی استفاده میکنند‪ ،‬اگر‬
‫کیفیت مولدها پایین باشد‪ ،‬با استفاده از حمالت آماری‪ ،‬متن رمز شده شکسته‬
‫شده یا پیش بینی میگردد‪.‬‬
‫یا در حل مسائل بهینه سازی ‪ ،‬آنچه که اهمیت دارد رفتار تصادفی بودن‬
‫الگورتمهاست در نتیجه کیفیت مولدها در کارایی و سرعت الگوریتم ها نقش‬
‫مهمی دارد‪.‬‬
‫بنابراین آزمونهای مختلفی نیز برای ارزیابی کیفیت این مولدها نیز ایجاد شده‬
‫اند‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪4‬‬
‫اعداد تصادفی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫به طور کلی یک عدد تصادفی یکی از اعضای مجموعه حاالت یک متغیر می‬
‫باشد‪.‬‬
‫به عنوان مثال اگر مجموعه حاالت شامل اعداد { ‪1‬و‪2‬و‪3‬و‪4‬و‪5‬و‪ }6‬باشد‪،‬‬
‫متغیر تصادفی یک حالت ‪ 1‬تا ‪ 6‬خواهد بود‪.‬‬
‫اگر اعداد تصادفی بصورت پشت سر هم تولید گردند‪ ،‬دنباله ای از اعداد‬
‫تصادفی خواهیم داشت‬
‫هر دنباله از اعداد تصادفی دارای دو ویژگی مهم خواهد بود‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫توزیع احتمال یکنواخت‬
‫مستقل بودن هر عدد از عدد دیگر‪.‬‬
‫در کنار مفهوم اعداد تصادفی اعداد شبه تصادفی وجود دارد‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪5‬‬
‫اعداد شبه تصادفی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫دلیل استفاده از کلمه اعداد شبه تصادفی این است که مولدها قادر نیستند اعداد صد در صد‬
‫تصادفی تولید کنند‪.‬‬
‫ممکن است بعضی از دنباله های تولید شده تکراری گردند و یا بعضی اعداد هرگز تولید‬
‫نگردند‪.‬‬
‫مشکالتی که مولدها با انها روبه رو هستند ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫اعداد ممکن است دارای توزیع یکنواخت نداشته باشند‬
‫‪‬‬
‫میانگین اعداد تولید شده ممکن است بیش از حد بزرگ یا کوچک باشد‬
‫‪‬‬
‫واریانس اعداد تصادفی تولید شده ممکن است تفاوت قابل توجهی با مقدار متعارف داشته باشد‬
‫‪‬‬
‫ممکن است اعداد تولید شده دارای همبستگی باشند( بصورت نزولی یا صعودی شده باشند)‬
‫این مشکالت باعث میشوددنباله اعداد تولید شده کامال تصادفی نباشندو به عبارتهای شبه‬
‫تصادفی تبدیل گردند‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪6‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫روش میان مربعی‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این روش در سال ‪ 1940‬توسط وان نیومن ارائه شد‬
‫در این روش ابتدا یک عدد تصادفی به عنوان هسته انتخاب شده‪ ،‬این هسته را مربع‬
‫میکنند و ارقام میانی آن را انتخاب کرده و قبل از آنها ممیز قرار میدهند‪.‬‬
‫اگر هسته ‪ n‬رقم داشته باشد‪ ،‬مربع آن ‪ 2n-1‬تا ‪ 2n‬رقم خواهد داشت‪.‬‬
‫‪X0=5497‬‬
‫‪X0^2=30217009 => X1=2170 , R1 =0.2170‬‬
‫‪X1^2=04708900 => X2=7089 , R2 =0.7089‬‬
‫‪….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪7‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫دو نکته در روش میان مربعی‪:‬‬
‫‪ ‬اگر اعداد تولید شده کمتر از ‪ 8‬رقم بودند خودمان آنها را به اعداد ‪ 8‬رقمی‬
‫تبدیل میکنیم‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫با ظهور رقم صفر در سمت چپ ارقام دنباله اعداد تصادفی به صفر میل کرده و سریعا‬
‫پایان می یابند‪.‬‬
‫فرض یکی از ‪ X‬ها در یک مرحله ‪ 6500‬بدست آید با ادامه تولید اعداد تصادفی دور‬
‫گردش ‪ 0.25‬تولید میگردد‪ .‬با ثابت ماندن اعداد تصادفی الگوریتم کارایی خود را از‬
‫دست میدهد‪.‬‬
‫‪6500^2 = 42250000 => X=2500‬‬
‫‪2500^2 = 06250000 => X=2500‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫روش میان ضربی‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این روش همان روش میان مربعی است ولی با ‪ 2‬هسته‬
‫در این روش ابتدا دو عدد تصادفی به عنوان هسته انتخاب شده‪ ،‬این دو هسته را در‬
‫هم ضرب میکنند و ارقام میانی آن را انتخاب کرده و قبل از آنها ممیز قرار میدهند‪.‬‬
‫‪X0=2938 X0’=7229‬‬
‫‪X0*X0’= 21238802 => X1=2388 , R1 =0.2388‬‬
‫‪X0*X1 = 17262852 => X2=2628, R2 =0.2628‬‬
‫‪….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪9‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫روش مضرب ثابت‪:‬‬
‫‪‬‬
‫این روش همان روش میان ضربی است ولی یکی از هته ها ثابت در نظر گرفته‬
‫میشود‬
‫‪X0= 7223K= 3988‬‬
‫‪K*X0 = 28798101 => X1 = 7981, R1 = 0.7981‬‬
‫‪K*X1 = 31820248 => X2 = 8202 R2 = 0.8202‬‬
‫‪….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪10‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫روش همنهشتی خطی‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این باقیمانده عدد تصادفی فعلی بر عدد ثابت ‪ ،m‬عدد تصادفی جدید را نتیجه میدهد‪.‬‬
‫‪Xn=(a Xn-1 + b) mod m‬‬
‫‪X0= 65 a=2 b=1‬‬
‫‪X1 = (2*65 +1 ) mod 100 => X1 = 31, R1 = 0.31‬‬
‫‪X2 = (2*31 +1 ) mod 100 => X2 = 63 R2 = 0.63‬‬
‫‪….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪11‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫روش همنهشتی جمعی‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این باقیمانده مجموع عدد تصادفی فعلی و‪ i‬امین قبلی بر عدد ثابت ‪ ،m‬عدد تصادفی‬
‫جدید را نتیجه میدهد‪.‬‬
‫این روش با استفاده از ‪ i‬هسته تولید میگردد‬
‫‪Xn=(Xn-1 + Xn-i) mod m‬‬
‫‪X1= 57 , X2=34 , X3=89 , X4 = 92 , X5 =16‬‬
‫‪X6 = (57+16 ) mod 100 => X6 = 73, R1 = 0.73‬‬
‫‪X7 = (73+34 ) mod 100 => X2 = 7 R2 = 0.07‬‬
‫‪X8 = (7+89 ) mod 100 => X2 = 96 R2 = 0.96‬‬
‫‪….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪12‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫روش فیبوناچی‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این روش همانند روش قبلی است با این تفاوت که ‪ i=2‬در نظر گرفته میشود‪.‬‬
‫‪Xn=(Xn-1 + Xn-2) mod m‬‬
‫‪X1= 57 , X2=34‬‬
‫‪X3 = (57+34 ) mod 100 => X3 = 91, R1 = 0.91‬‬
‫‪X4 = (34+91 ) mod 100 => X4 = 125 R2 = 0.25‬‬
‫‪X5 = (91+25 ) mod 100 => X5 = 116 R3 = 0.16‬‬
‫‪….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪13‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت‬
‫‪‬‬
‫روش همنهشتی درجه دو‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫این باقیمانده عدد تصادفی فعلی بر عدد ثابت ‪ m‬با استفاده از یک رابطه درجه دو عدد‬
‫تصادفی جدید را نتیجه میدهد‪.‬‬
‫‪ Xn=(a Xn-12 + b Xn-1 +c) mod m‬که ‪ c ,m‬نسبت به هم اول هستند‬
‫‪X0= 7 a=1 b=1 c=3 m=10‬‬
‫‪X1 = (1*49 + 1*7 +3 ) mod 10 => X1 = 59, R1 = 0.9‬‬
‫‪X2 = (1*81+1*9+3 ) mod 10 => X2 = 93 R2 = 0.3‬‬
‫‪….‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪14‬‬
‫آزمونهای مولد اعداد تصادفی‬
‫‪‬‬
‫آزمون همبستگی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫شرط اول دنباله اعداد تصادفی تولید شده استقالل داده ها از یکدیگر میباشد‬
‫برای بررسی استقالل داده ها از یکدیگر میتوان ضریب همبستگی داده ها را محاسبه‬
‫نمود‬
‫اگر اعداد تصادفی تولید شده را با یک فاصله در دسته ‪ x , y‬قرار دهیم میتوان ضریب‬
‫همبستگی آنها را محاسبه نمود‬
‫)‪ R=cov(x,y)/var(x).var(y‬‬
‫در این صورت اگر ‪ R=0‬باشد دو دسته مستقل بوده ‪ ،‬پس اعداد تصادفی تولید شده‬
‫مستقلند‬
‫در غیر این صورت هرچه این مقدار به یک یا ‪ -1‬نزدیکتر باشه اعداد تصادفی تولید‬
‫شده وابسته ترند و شرط اول خاصیت اعداد تصادفی نقض خواهد شد‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪15‬‬
‫آزمونهای مولد اعداد تصادفی‬
‫‪‬‬
‫آزمون آنتروپی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫آزمون آنتروپی یا مقدار عددی تنوع دنباله اعداد تصادفی‪ ،‬برای میزان تنوع دنباله‬
‫اعداد تصادفی مورد استفاده قرار میگیرد‪.‬‬
‫هرچه عدد تولید شده بزرگتر باشد‪ ،‬نشان دهنده تنوع بیشتر در تولید اعداد تصادفی‬
‫خواهد بود‪ .‬و هرچه تنوع بیشتر باشد‪ ،‬مولد بهتری خوایم داشت‪.‬‬
‫)‪ H=-∑pi .log(pi‬‬
‫اگر مولدی بتواند همه اعداد تصادفی را تولید کند مقدار ‪H‬ماکزیمم خواهد بود‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪16‬‬
‫تولید اعداد تصادفی با توزیع غیریکنواخت‬
‫‪‬‬
‫اعداد تصادفی با توزیع نمایی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫توزیع نمایی به منظور مدلسازی مدتهای بین ورود در حالتی که ورودی ها کامال‬
‫تصادفی باشند مورد استفاده قرار میگیرد‬
‫متغیر ‪ x‬دارای توزیع نمایی با پارامتر الندا است در صورتی که دارای معادله زیر‬
‫باشد‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫یعنی اگر ‪R‬یکمتغیر تصادفی با توزیع یکنواخت باشد‪ X،‬یک‬
‫متغیر تصادفی با توزیع نمایی خواهد بود‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
INTRODUCTION TO CHAOS
‫تعريف‬
‫‪20‬‬
‫‪ ‬دانش بررس ي رفتار سيستمهايي كه وروديهاي‬
‫معين‪ ،‬اما خروجيهاي ظاهرا تصادفي دارند‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫مراحل پيدايش‬
‫‪21‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ابتدا يك نظريه بود‬
‫در ادامه و مطالعه بيشتر تبديل به يك تئوري شد‬
‫در حال حاضر يك علم است‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪22‬‬
‫‪‬‬
‫اگر ما به دنبال اين باشيم که در اين‬
‫شکل يک نظم و يک معادله پيدا کنيم‬
‫شايد هيچ گاه نتوان به فرمولي رسيد‪ .‬با‬
‫استفاده از هندسه غير اقليدس ي به‬
‫چندين فرمول مي رسيم که بخش‬
‫اعظمي از اين شکل را توضيح مي دهد‪،‬‬
‫اما براي بقيه اين شکل توضيحي‬
‫نداريم‪ .‬بنا براين دست به ايجاد شاخه‬
‫اي جديد در رياضيات و هندسه مي‬
‫زنيم تا بتوانيم آن را توضيح دهيم‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫همان شکل را بطور کامل ببينيم‬
23
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
‫‪24‬‬
‫‪‬‬
‫مشاهده مي کنيم که تمامي بي نظمي موجود در آن شکل منجر به نظمي‬
‫بزرگ شد‪ .‬يعني ايجاد يک خط راست‪ .‬اما به دليل اين که ما درون شکل‬
‫قرار داشتيم نتوانستيم به نظم کلي آن پي ببريم و به اشتباه کشيده شديم‪.‬‬
‫دنياي اطراف ما پر از روابطي است که ما قادر به فهم آنان نيستيم‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫بدين ترتيب طي چند سال گذشته‪ ،‬در حوزه رياضيات و فيزيک مدرن‪ ،‬روش‬
‫علمي و تئوري جديد و بسيار جالبي به نام "آشوب" پا به عرصه ظهور‬
‫گذاشته است‪.‬‬
‫تئوري آشوب‪ ،‬سيستمهاي ديناميکي بسيار پيچيده اي مانند اتمسفر زمين‪،‬‬
‫جمعيت حيوانات‪ ،‬جريان مايعات‪ ،‬تپش قلب انسان‪ ،‬فرآيندهاي زمين‬
‫شناس ي و ‪ ...‬را مورد بررس ي قرار مي دهد‪ .‬انگاره اصلي و کليدي تئوري آشوب‬
‫اين است که در هر بي نظمي ‪ ،‬نظمي نهفته است‪ .‬به اين معنا که نبايد نظم‬
‫را تنها در يک مقياس جستجو کرد؛ پديده اي که در مقياس محلي‪ ،‬کامل‬
‫تصادفي و غيرقابل پيش بيني به نظر مي رسد چه بسا در مقياس بزرگتر‪ ،‬کامل‬
‫پايا )‪ (Stationary‬و قابل پيش بيني باشد‪.‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪Introduction to Computer Modeling And Simulation‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫بسياري از وقايع تاريخي که در مقياس ‪ 20‬ساله ممکن است کامل تصادفي و بي نظم به نظر‬
‫برسند‪ ،‬ممکن است که در مقياس ‪ 200‬ساله‪ 2000 ،‬ساله يا ‪ 20000‬ساله داراي دوره‬
‫تناوب مشخص و يا نوعي نظم در علتها باشند‪.‬‬
‫موضوع جالب دیگري که در تئوري آشوب وجود دارد‪ ،‬تاکید آن بر وابستگي (یا‬
‫حساسیت) به شرایط اولیه است‪ .‬بدین معني که تغییرات بسیار جزیي در مقادیر‬
‫اولیه یک فرآیند مي تواند منجر به اختالفات چشمگیري در سرنوشت فرآیند شود‪.‬‬
‫مثال ساده زیر شاید جالب باشد‪:‬‬
‫اگر مسافري ‪ 10‬ثانیه دیر به ایستگاه اتوبوس برسد نمي تواند سوار اتوبوسي‬
‫شود که هر ‪ 10‬دقیقه یک بار از این ایستگاه مي گذرد و به سمت مترویي مي‬
‫رود که از آن هر ساعت یک بار قطاري به سوي فرودگاه حرکت مي کند‪ .‬براي‬
‫مقصد مورد نظر این مسافر‪ ،‬فقط روزي یک پرواز انجام مي شود و لذا تاخیر‬
‫‪ 10‬ثانیه اي این مسافر باعث از دست دادن یک روز کامل مي شود‪ .‬بسیاري از‬
‫پدیده هاي طبیعي داراي چنین حساسیتي به شرایط اولیه هستند‪ .‬قلوه سنگي که در‬
‫خط الراس یک کوه قرار دارد ممکن است تنها بر اساس اندکي تمایل به سمت‬
‫چپ یا راست‪ ،‬به دره شمالي یا جنوبي بلغزد‪ ،‬در حالي که چند میلیون سال بعد‪،‬‬
‫که توسط فرآیندهاي زمین شناسي و تحت نیروهاي باد و آب و ‪ ...‬چند هزار‬
‫کیلومتر انتقال مي یابد‪ ،‬مي توان فهمید که آن تمایل اندک به راست و چپ به چه‬
‫‪Modeling‬بوده‬
‫تاثیرگذار‬
‫این قلوه‬
‫میزان در سرنوشت‬
‫است‪Introduction to‬‬
‫‪Computer‬‬
‫سنگ ‪And‬‬
‫‪Simulation‬‬
‫‪F.Ramezani‬‬
‫‪26‬‬
FUNDAMENTALS OF CHAOS
28
These two sets of data have
the same
mean
 variance
 power spectrum

Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
29
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
30
Data 1
RANDOM
random
x(n) = RND
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
31
CHAOS
Deterministic
x(n+1) = 3.95 x(n) [1-x(n)]
Data 2
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
32
etc.
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
33
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
34
Data 1
RANDOM
random
x(n) = RND
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
35
CHAOS
deterministic
x(n+1) = 3.95 x(n) [1-x(n)]
Data 2
x(n+1)
x(n)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
36
CHAOS
Definition
Deterministic
predict that value
these values
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
37
CHAOS
Definition
Small Number of Variables
x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
38
CHAOS
Definition
Complex Output
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
39
Properties
CHAOS
Phase Space is Low Dimensional
d
, random
d = 1, chaos
phase space
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
40
Properties
CHAOS
Sensitivity to Initial Conditions
nearly identical
initial values
very different
final values
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
41
Properties
CHAOS
Bifurcations
small change
in a parameter
one pattern
another pattern
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Time Series
42
X(t)
Y(t)
Z(t)
embedding
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Phase Space
43
Z(t)
phase
space set
X(t)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
Y(t)
F.Ramezani
44
Attractors in Phase Space
Logistic Equation
X(n+1) = 3.95 X(n) [1-X(n)]
X(n+1)
X(n)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Attractors in Phase Space
45
Lorenz Equations
Z(t)
Y(t)
X(t)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
46
The number of independent variables =
smallest integer >
the fractal dimension of the attractor
Logistic Equation
time series
phase space
d<1
X(n+1)
X(n)
d < 1, therefore, the equation of the time series that produced this
attractor depends on 1 independent variable.
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
47
The number of independent variables =
smallest integer >
the fractal dimension of the attractor
Lorenz Equations
time series
phase space
d =2.03
Z(t)
X(n+1)
n
X(t)
Y(t)
d = 2.03, therefore, the equation of the time series that produced
this attractor depends on 3 independent variables.
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
48
Data 1
time series
phase space
d
Since d
,
the time series
was produced
by a random
mechanism.
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
49
Data 2
time series
phase space
d=1
Since d = 1,
the time series
was produced by
a deterministic
mechanism.
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Phase Space
50
Constructed by direct measurement:
Measure X(t), Y(t), Z(t) Z(t)
Each point in the
phase space set
has coordinates
X(t), Y(t), Z(t)
X(t)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
Y(t)
F.Ramezani
Phase Space
51
Constructed from one variable
Takens’ Theorem
X(t+2 t)
Takens 1981 In Dynamical Systems
and Turbulence Ed. Rand & Young,
Springer-Verlag, pp. 366 - 381
Each point in the
phase space set
has coordinates
X(t), X(t + t),
X(t+2 t)
X(t)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
X(t+
F.Ramezani
t)
Data 1
x(n) = RND
fractal dimension
of phase space set
52
RANDOM
fractal demension
of the phase space
set
embedding dimension = number of
values of the data taken at a time to
produce the phase space set
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Data 2
fractal dimension
of phase space set
53
CHAOS
deterministic
x(n+1) = 3.95 x(n) [1 - x(n)]
fractal demension
of the phase space
set = 1
embedding dimension = number of
values of the data taken at a time to
produce the phase space set
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
54
Procedure
Time series
e.g. voltage as a function of time
 Turn the Time Series into a
Geometric Object
This is called embedding.
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
55
Procedure
 Determine the Topological Properties
of this Object
Especially, the fractal dimension.
 High Fractal Dimension
= Random = chance
Low Fractal Dimension
= Chaos = deterministic
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
56
The Fractal Dimension
is NOT equal to
The Fractal Dimension
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Fractal Dimension:
How many new pieces of the Time
Series are found when viewed at
finer time resolution.
57
d
X
time
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Fractal Dimension:
The Dimension of the Attractor in
Phase Space is related to the
Number of Independent Variables.
x(t+2 t)
58
d
X
time
x(t)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
x(t+ t)
F.Ramezani
Mechanism that Generated the Data
59
Chance
d(phase space set)
Determinism
d(phase space set)
= low
Data
?
x(t)
Introduction to Computer Modeling And Simulation
t
F.Ramezani
Lorenz
60
1963
J. Atmos. Sci. 20:13-141
(Rayleigh, Saltzman)
Model
C O L D
HOT
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Lorenz
61
1963
J. Atmos. Sci. 20:13-141
Equations
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Lorenz
62
1963
J. Atmos. Sci. 20:13-141
Equations
X = speed of the convective
circulation
X>0
clockwise,
X<0
counterclockwise
Y = temperature difference between
rising and falling fluid
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Lorenz
63
1963
J. Atmos. Sci. 20:13-141
Equations
Z = bottom to top temperature
minus the linear gradient
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Lorenz
64
1963
J. Atmos. Sci. 20:13-141
Phase Space
Z
X
Y
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Lorenz Attractor
65
cylinder of
air rotating
counterX
<
0
X
>
0
clockwise
Introduction to Computer Modeling And Simulation
cylinder of
air rotating
clockwise
F.Ramezani
Sensitivity to Initial Conditions
66
Lorenz Equations
Initial Condition:
X= 1.
X(t) 0
X= 1.00001
same
different
X(t) 0
IXtop(t) - Xbottom(t)I e t
= Liapunov Exponent
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
67
Deterministic, Non-Chaotic
X(n+1) = f {X(n)}
Accuracy of values
computed for X(n):
1.736
5.455
3.212
2.345
4.876
3.254
4.234
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
68
Deterministic, Chaotic
X(n+1) = f {X(n)}
Accuracy of values
computed for X(n):
3.455 3.45? 3.4??
3.??? ? ? ?
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Clockwork Universe
69
determimistic non-chaotic
Initial Conditions
X(t0), Y(t0), Z(t0)...
Equations
Can
compute
all future
X(t), Y(t), Z(t)...
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Chaotic Universe
70
determimistic chaotic
Initial Conditions
X(t0), Y(t0), Z(t0)...
sensitivity
to initial
conditions
Equations
Can not
compute
all future
X(t), Y(t), Z(t)...
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Lorenz Strange Attractor
71
starting away:
Trajectories
from outside:
pulled
TOWARDS it
why its called an
attractor
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
Lorenz Strange Attractor
72
starting on:
Trajectories on
the attractor:
pushed APART
from each other
sensitivity to initial
conditions
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
73
“Strange”
attractor is fractal
phase space set
not strange
strange
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani
74
“Chaotic”
sensitivity to initial conditions
time series
X(t)
X(t)
t
not chaotic
t
chaotic
Introduction to Computer Modeling And Simulation
F.Ramezani