Transcript هندسه ۱ فصل ۱

‫سرآغاز‬
‫افالطون و‪...‬‬
‫‪1‬‬
‫مقدمه‬
‫توصیه ها و‪..‬‬
‫مقدمه‪:‬‬
‫• چرا هندسه بخوانیم؟‬
‫‪ ‬هندسه ‪ :‬افزایش قدرت تفکر‬
‫• توصیه هایی در باره حل مسائل و تکالیف هندسه‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫خودمان آنهارا حل کنیم و لذت این تجربه را از دست ندهیم‪.‬‬
‫یک مسئله هندسه همیشه الینحل نیست‪.‬‬
‫نگذاریم مسائل برای شب آخر جمع شود‪.‬‬
‫در رسم اشکال دقت کنیم تا شکل ها دقیق و واقعی باشند‪.‬‬
‫همه مسائل ‪ ،‬حتی مسائل ساده اهمیت دارند‬
‫ً‬
‫سعی کنید از حل مسائل هندسه لذت ببرید‪ .‬خصوصا از مسائل دشوار‪.‬‬
‫فهمیدن آری‪ ،‬حفظ کردن‪...‬‬
‫‪2‬‬
‫مقدمه‬
‫ارزشیابی‬
‫• الزم اس تتت ت تتا در م تتوا نیبس تتاا اوا ب ترای نب تتره مس تتتبر تتود ‪ 200‬امتی تتاز ب تته‬
‫صورت زیر بدست آورید‪:‬‬
‫فعالیت‬
‫فعالیت‬
‫کالس ی‬
‫حسن‬
‫انجام‬
‫تکالیف‬
‫(‪)10‬‬
‫آزمونکها‬
‫(‪)5‬‬
‫امتیاز‬
‫‪10‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫آزمون‬
‫ماهانه‬
‫(‪)2‬‬
‫مسابقه‬
‫هندسه‬
‫(‪)2‬‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫آزمونهای‬
‫جامع و ‪...‬‬
‫‪20‬‬
‫پژوهش‬
‫سؤاالت‬
‫جیبی و‬
‫سایر‪...‬‬
‫‪10‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫راه های کشف امالعات‬
‫کشف امالعات‬
‫مشاهده‬
‫• مشاهده‬
‫* بررس ی احتباا طا در مشاهده‪:‬‬
‫مثاا‪ :‬روزنامه های ‪0/075‬میلیبتری‬
‫بار اوا‪ :‬یک ورق روی یک ورق موجود بر زمین‬
‫بار دوم‪ :‬دو ورق رو ی دو ورق موجود‬
‫بار سوم‪ :‬چهار برگ روی چهار برگ موجود‬
‫بار دهم‪ :‬ضخامت برگه ها به ارتفاع‪ :‬بیش از ‪ 7/5‬سانتی متر‬
‫بار پنجاهم‪ :‬؟ حدس بزنید!‬
‫ کبتر از ‪ 7/5‬متر‬‫ حدود ‪ 75‬متر‬‫ حدود ‪ 750‬متر‬‫ بیش از ‪ 750‬متر‬‫ پاسخ‪ :‬تعداد برگه ها‪ 1،125،899،906،842،624 :‬معادا ‪ 84‬میلیون کیلومتر و معادا بیش‬‫از نصف فاصله زمین تا ورشید‬
‫• پخش تصاویر مشاهده و برداشت های گوناگون با طای دید و ‪...‬‬
‫‪4‬‬
‫کشف امالعات‬
‫استدالل‬
‫راه های کشف امالعات‬
‫بررس ی حالت های مختلف در یک موضوع و نتیجه گیری کلی بر اساس آن‬
‫نتیجه گیری و حکم کردن از کنار هم قرار دادن حقایقی که درستی آنها را قبوا داریم‪.‬‬
‫آشنایی با برخی اصطالحات‬
‫‪‬مفاهیم تعریف نشده‬
‫‪‬مسائل‪( :‬یافتنی یا ثابت کردنی)‬
‫‪‬اصل یا اصل موضوع‬
‫‪‬تعریف قضیه‬
‫‪5‬‬
‫زاویه‬
‫انواع زاویه‬
‫• زاویه‬
‫• تعریف‪:‬‬
‫اجتباع دو نیم ط که مبدا آنها با یکدیگر مشترک است‪.‬‬
‫به مبدأ مشترک ‪ :‬رأس زاویه دو نیم ط‪ :‬اضالع زاویه می گویند‪.‬‬
‫• انواع زاویه‪ :‬حاده‪ -‬قائبه‪ -‬منفرجه‬
‫‪ )1‬حاده‪ :‬کبتر از ‪ ) 2 90‬قائبه= ‪ )3 90‬منفرجه‪ :‬بیش از‪90‬‬
‫* مکبل ‪:‬‬
‫دو زاویه که مجبوع آنها ‪ 180‬درجه باشد‪.‬‬
‫* متبم‪:‬‬
‫دو زاویه که مجبوع آنها ‪ 90‬درجه باشد‪.‬‬
‫* مجاور‪:‬‬
‫دو زاویه ای که یک ضلع و یک رأس مشترک داشته باشند‪.‬‬
‫* مجانب‪:‬‬
‫دو زاویه ی مکبل که با یکدیگر مجاور باشند‪.‬‬
‫•‬
‫روش های نام گذاری زاویه‪> A , Â , x Ây :‬‬
‫‪6‬‬
‫زاویه‬
‫برابری زوایا‬
‫• نکته‪ :‬برابری زوایا یک رابطه ی هم ارزی است‪.‬‬
‫• تعریف رابطه هم ارزی‪:‬‬
‫رابطه ای که سه ویژگی بازتابی تقارن و ترایایی داشته باشد را رابطه هم ارزی می گویند‪.‬‬
‫• بازتابی‪a=a :‬‬
‫• تقارن‪b=a ← a=b :‬‬
‫• ترایایی‪a=b :‬‬
‫← ‪a=c‬‬
‫‪b=c‬‬
‫‪‬مسئله‪ :‬مجبوع دو زاویه ‪ 75‬درجه است مجبوع مکبل های آنها چند درجه است؟ (کنکور‪)77‬‬
‫جواب‪ 285 :‬درجه‬
‫‪‬مسئله‪ A :‬و ‪ B‬متببند‪ 4/9 A .‬مکبل ‪ B‬است‪ .‬مقدار ‪ A‬را بدست آورید‪( .‬کنکور‪)75‬‬
‫جواب‪ 72 :‬درجه‬
‫‪7‬‬
‫زاویه‬
‫قضایا‬
‫• قضیه ی مکبل ها‪ :‬اگردو زاویه با هم برابر باشند مکلهای آنها هم با هم برابرند‪.‬‬
‫• قضیه ی متبم ها‪ :‬اگردو زاویه با هم برابر باشند متبمهای آنها هم با هم برابرند‪.‬‬
‫• قضیه ی زوایای متقابل با رأس ‪ :‬دو زاویه ی متقابل به رأس برابرند‪.‬‬
‫تعریف‪ :‬دو زاویه ای که رأس مشترک داشته باشند و اضالع آنها دو به دو در امتداد هم باشند‬
‫متقابل به رأس نامیده می شوند‪.‬‬
‫• قضیه‪ :‬نیبسازهای دو زاویه مجانب متببند‪.‬‬
‫• قضیه‪ :‬نیبسازهای دو زاویه متبم مجاور ‪ 45‬درجه اندازه دارند‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫قضایا‬
‫زاویه‬
‫وضعیت بر ورد طوط(‪ 3‬خط به باال) در یک صفحه‪:‬‬
‫‪ )1‬غیرهبرس‪ :‬اگر چند ط یکدیگر را در نقاط متبایز قطع کنند نا هبرسند‪.‬‬
‫ط مورب‪ :‬خطی است که چند خط دیگر را در نقاط متمایز قطع کند‪.‬‬
‫‪ )2‬هبرس‪ :‬طومی هستند که هم دیگر را در یک نقطه قطع کنند‪ .‬به این طوط متقارب نیز می گویند‪.‬‬
‫در اثر بر ورد ط مورب با دو ط ‪ 8‬زاویه به صورت زیر بوجود می آیند ‪:‬‬
‫‪‬هر دو زاویه ای که در یک طرف خط مورب وجود دارند متقابل نامیده می شوند‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪5 6‬‬
‫‪7 8‬‬
‫‪‬اگر یک زاویه در یک طرف خط و زاویه ی دیگر در طرف دیگر آن باشد آن دو زاویه متبادل نامیده می شوند‪.‬‬
‫‪‬زوایاااکی کااه ب ا ن دو خااط ‪ L1‬و‪ L2‬باشااند متبااادل یااا متقاباال داخ اای نامیااده ماای شااوند‪ .‬در غ اار ایاان صااورت خااار ی‬
‫نامیده می شوند‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫زاویه‬
‫قضایا‬
‫• اصل ‪ 5‬اقلیدس‪ :‬اگر موربی دو خط دیگر را قطع کند آن دو خط از‬
‫طرفی به یکدیگر می رسند که مجموع دو زاویه متقابل داخ ی کم تر از‬
‫‪ 180‬باشد‪.‬‬
‫• قضیه ی طوط موازی و مورب‪ :‬اگر موربی دو خط موازی را قطع کند‬
‫تمامی زوایای حاده بایکدیگر و تمامی زوایای منفرجه با یکدیگر برابرند‪.‬‬
‫• قضیه ‪ :1‬در خطوط موازی و مورب دو زاویه ی متقابل داخ ی مکمل اند‪.‬‬
‫• قضیه ‪ :2‬در خطوط موازی و مورب‪ ،‬نیم سازهای زوایای متقابل داخ ی‬
‫متعامدند( بر یکدیگر عمودند)‬
‫• قضیه ‪ :3‬در خطوط موازی و مورب‪ ،‬نیم سازهای زوایای متبادل داخ ی‬
‫متوازی اند‪.‬‬
‫• نکته‪ :‬موازی بودن خطوط با یکدیگر ‪ ،‬یک رابطه ی هم ارزی است‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫زاویه‬
‫قضایا‬
‫زاویه در مثلث و سایر چندضلعی ها‬
‫• قضیه ‪ :‬در هر مثلث مجموع زوایای داخ ی ‪ 180‬درجه است‪.‬‬
‫‪ ‬تعریف فرع‪ :‬قضایاکی هستند که از قضایای اص ی منتج می شوند‪.‬‬
‫• فرع ‪ :1‬اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشد‪ ،‬زاویه ی سوم از دو مثلث با یکدیگر برابرند‪.‬‬
‫• فرع ‪ :2‬زوایای حاده در هر مثلث قائم الزاویه متمم اند‪.‬‬
‫• فرع ‪ :3‬در هر مثلث اندازه ی زوایه ی خار ی برابر است با مجموع دو زاویه ی داخ ی غ ر مجاور و زاویه ی خار ی‬
‫از هر زاویه ی داخ ی غ ر مجاور بزرگ تر است‪.‬‬
‫عکس قضیه ی طوط موازی و مورب‪ :‬موربی دو خط را قطع کرده اگر دو زاویه ی متبادل درونی غ رمجاور برابر‬
‫باشند آن دو خط متوازی اند‪.‬‬
‫قضیه ‪ :‬در هر ‪ 4‬ضلعی محدب مجموع دو زاویه ی مقابل برابر است با مجموع دو زاویه ی خار ی غ ر مجاور‪.‬‬
‫‪ ‬قضیه ‪ :‬اگر اضالع دو زاویه نظ ر به نظ ر بر یک دیگر عمود باشند آن دو زاویه با هم برابرند به شرط اینکه رأس‬
‫یک زاویه درون زاویه ی دیگر نباشد که آنگاه مکمل هم می شوند‪).‬‬
‫‪ ‬قضیه ‪ :‬مجموع زوایای داخ ی در هر ‪ n‬ضلعی محدب برابر است با‪180 )n-2( :‬‬
‫‪11‬‬
‫مسائل‬
‫زاویه‬
‫‪ ‬مسئله‪ :‬مجموع زوایای خار ی در هر ‪ n‬ضلعی محدب را بدست آورید‪.‬‬
‫‪ ‬مسئله‪ :‬یک ‪ 12‬ضلعی محدب حراکثر چند زاویه محدب(داخ ی) میتواند داشته باشد؟‬
‫‪E‬‬
‫‪ ‬مسئله‪ :‬در شکل زیر مقدار ‪ A+B+C+D+E‬را بدست آورید‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ‬مسئله‪ BO :‬و ‪ CO‬نیمسازند‪ ،‬با توجه به شکل‪ ،‬مقدار ‪ x‬را بدست‬
‫‪B‬‬
‫آورید‪A.‬‬
‫‪80‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ‬مسئله‪ CD :‬و ‪ BD‬نیمسازهای زاویه های ‪ ACB‬و ‪ EBA‬هستند‪ x .‬را بدست آورید‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫هبنهشتی‬
‫مفاهیم‬
‫همنهشتی‬
‫• مفهوم هبنهشتی‪:‬‬
‫ً‬
‫دو شکل که این قابلیت را داشته باشند که کامال بر یک دیگر منطبق شوند ‪،‬همنهشت نامیده می شود‪.‬‬
‫• نکته‪ :‬اگر دو شکل همنهشت باشند تناظر یک بر یک ب ن اجزای دو شکل برقرار است‪.‬‬
‫• هبنهشتی در مثلث ها‪:‬‬
‫• حالت اوا‪ :‬اگر دو ضلع و زاویه ی ب ن از یک مثلث با دو ضلع و زاویه ی ب ن از مثلث دیگر برابر باشد آن‬
‫دو مثلث با هم همنهشت هستند‪ .‬تناظر (ض ز ض)‬
‫• حالت دوم‪ :‬اگر دو زاویه و ضلع ب ن از یک مثلث با دو زاویه و ضلع ب ن از مثلث دیگر با هم برابر باشند‬
‫آن دو مثلث با هم همنهشت هستند‪ .‬تناظر (ز ض ز)‬
‫• حالت سوم‪:‬اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم‬
‫همنهشت هستند‪ .‬تناظر (ض ض ض)‬
‫• فرع از اصل دوم‪ :‬در دو مثلث قائم الزاویه اگر وتر و یک زاویه ی حاده ازیک مثلث با وتر و یک زاویه ی‬
‫حاده از مثلث دیگر برابر باشند آن دو مثلث هم همنهشت هستند‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫متساویالساقین‬
‫قضایا‬
‫• مثلث متساوی الساقین‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫تعریف‪:‬مثلثی که دو ضلع از اضالع آن با یکدیگر برابر باشند‪ .‬آن دو ضلع برابر را ساق های مثلث و ضلع سوم را‬
‫قاعده ی مثلث می گویند‪ .‬محل برخورد ساق ها رأس مثلث است‪.‬‬
‫قضیه ی اساس ی مثلث متساوی الساقین‪ :‬در هر مثلث متساوی الساق ن زوایای مجاور‬
‫ساق ها با یکدیگر برابرند‪.‬‬
‫قضیه ‪ :1‬در هر مثلث متساوی الساق ن ارتفاع وارد بر قاعده میانه ی وارد بر قاعده‪ ،‬نیم‬
‫ساز زاویه ی رأس و عمود منصف قاعده همگی بر هم منطبق اند‪.‬‬
‫قضیه ‪ :2‬اگر در یک مثلث دو زاویه با هم برابر باشند آن مثلث متساوی الساق ن است‪.‬‬
‫قضیه ‪ :3‬درهر مثلث متساوی الساق ن ارتفاع های وارد بر ساق ها با یکدیگر برابرند‪.‬‬
‫قضیه ‪ :4‬درهر مثلث متساوی الساق ن میانه های وارد بر ساقها با یکدیگر برابرند‪.‬‬
‫قضیه ‪ :5‬در هر مثلث متساوی الساق ن نیم سازهای زوایای مجاور به ساق ها با هم برابرند‪.‬‬
‫قضیه ‪ :6‬مجموع فواصل هر نقطه واقع بر قاعده ی یک مثلث متساوی الساق ن از دو ساق‬
‫برابر است با ارتفاع وارد بر یک ساق‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫متساویالساقین‬
‫قضایا و مسائل‬
‫• قض تتیه ‪ :7‬در ه اار مثل ااث متس اااویالس اااق ن‪ ،‬خط اای ک ااه ب ااه م ااوازات قاع ااده‪ ،‬از رأس مثل ااث‬
‫میگذرد‪ ،‬زاویه خار ی آن رأس را نصف میکند‪.‬‬
‫• قضتتیه ‪ :8‬در هاار مثلااث اگاار نیمساااز یااک زاویااه خااار ی بااا یااک ضاالع مثلااث مااوازی باشااد‪ ،‬آن‬
‫مثلث متساوی الساق ن است‪.‬‬
‫• مسئله‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬نیبسازهای دا لی زاویه های ‪ A‬و ‪ B‬با یکتدیگر در ‪ T‬بر تورد‬
‫م تتیکنن تتد‪ .‬ط تتی ک تته از ‪ T‬م تتوازی ب تتا ‪ AB‬رس تتم ش تتود ب تتا ‪ AC‬و ‪ BC‬ب تته ترتی تتب در ‪ D‬و ‪E‬‬
‫بر تتورد م تتیکن تتد‪ .‬ثاب تتت کنی تتد پ تتاره تتط ‪ DE‬ب تتا مجب تتوع دو پ تتاره تتط ‪ AD‬و ‪ BE‬براب تتر‬
‫است‪.‬‬
‫• مسئله‪ :‬طی موازی با قاعده ‪ BC‬از مثلث متساویالستاقین ‪ ABC‬رستم شتدهاستت و‬
‫با ‪ AB‬و‪ AC‬بته ترتیتب در ‪ D‬و‪ E‬بر تورد کترده استت‪ .‬ثابتت کنیتد عبودمنصتف ‪ED‬‬
‫از رأس ‪ A‬میگذرد‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫متساویالساقین‬
‫مسائل‬
‫• مسئله‪ :‬در مثلث ‪ ABC‬زاویه ‪ B‬حاده و دو برابر زاویه ‪ C‬استت‪ .‬ارتفتاع ‪ AH‬از مثلتث را‬
‫رسم میکنیم و ‪ AB‬را از متر ‪ B‬تتا نقطته ‪ E‬امتتداد متی دهتیم بته متوری کته ‪ BE‬برابتر‬
‫ب ت تتا ‪ BH‬باش ت تتد‪ .‬اگ ت تتر ‪ M‬نقط ت تته بر ت تتورد ‪ AC‬و امت ت تتداد ‪ HE‬باش ت تتد ثاب ت تتت کنی ت تتد ک ت تته‬
‫پاره طهای ‪ AM‬و ‪ MC‬و ‪ MH‬با هم برابرند‪.‬‬
‫• مسئله‪ :‬در شکل ثابت کنید ‪ AF‬میانه متناظر ‪ YX‬از مثلث ‪ AXY‬است‪.‬‬
‫‪X‬‬
‫(‪(AB=AY , AX=AC‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪16‬‬
‫مسائل‬
‫متساویالساقین‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬مسئله‪ ABC :‬متساویاالضالع و ‪. MN=BM‬‬
‫ثابت کنید ‪AM=CN‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬مسئله‪ :‬در شکل‬
‫‪ AB=AC‬و ‪EB=CD‬‬
‫ثابت کنید ‪EM=MD‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬مسئله‪ :‬در شکل‬
‫‪ AB=AC‬و ‪EA=AD‬‬
‫?=‪X‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪30‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪17‬‬
‫متساویالساقین‬
‫قضایا و مسائل‬
‫خواص نقاط متعلق به عمود منصف و نیمساز‬
‫تعریف عبود منصف‪ :‬طی است که پاره طی را نصف می کند ودر‬
‫محل تالقی بر آن عبود است‪.‬‬
‫قضیه‪ :‬هر نقطه واقع بر عبود منصف یک پاره ط از دو سر آن پاره‬
‫ط به یک فاصله است‪( .‬به عبارت دیگر عبودمنصف یک پاره ط مکان هندس ی ‪)...‬‬
‫قضیه‪ :‬هر نقطه واقع بر نیم ساز هر زاویه از دوضلع آن زاویه به یک‬
‫فاصله است‪( .‬به عبارت دیگر نیبساز یک زاویه مکان هندس ی ‪)...‬‬
‫• مس ت ت ت تتئله‪ :‬م ت ت ت تتی ت ت ت تتواهیم ا س ت ت ت تتت ا ی‬
‫بسازیم که از دو روستا به یک فاصله‬
‫باشد‪ .‬چگونه محل آن را پیدا کنیم‪.‬‬
‫جابرآباد‬
‫برره‬
‫مسئله‪ :‬سه روستای قلیآباد جابرآباد و شورآباد در یک منطقه و به صورت غیرهبخط واقعند‪ .‬می‬
‫واهیم یک سیلو احداث کنیم تا با این سه روستا به یک فاصله باشد‪ .‬چگونه این نقطه را بیابیم‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫هبرس ی‬
‫قضایا و مسائل‬
‫مس تتئله‪ :‬چگون تته در نباز ان تته مدرس تته نقط تته ای پی تتدا کن تتیم ک تته فاص تتله آن ت تتا دی تتوار س تتبت راهنب تتایی و‬
‫دیوار در ورودی و هبچنین تا دو نقطه محراب و کنج نزدیک به تخته سیاه به یک اندازه باشد‪.‬‬
‫مسئله‪ :‬مطلوبست مکتان هندست ی نقتامی در فضتا کته هب تی از دو ستر یتک پتاره تط بته یتک فاصتله‬
‫باشند‪.‬‬
‫• برخی قضایای هبرس ی در مثلث‪:‬‬
‫• در هر مثلث عبود منصف های اضالع آن مثلث هبرسند‪.‬‬
‫• در هر مثلث نیم سازهای زوایای آن مثلث هبرسند‪.‬‬
‫• در هر مثلث ارتفاع های آن مثلث هبرسند‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫م مسطح‬
‫م مسطح‬
‫تعاریف‬
‫بطور ک ی‪ ،‬خم بر دو گونهاست‪:‬‬
‫• تتم مس تتطح‪ :‬ب تتی اس تتت ک تته ب تتر روی ی تتک س تتطح دوبع تتدی (ص تتفحه) قاب تتل‬
‫جایگیری و ترسیم است‪.‬‬
‫• م کج‪ :‬بی فضایی است که روی هیچ صفحهای قرار نگیرد‪.‬‬
‫‪ ‬بط تتور ش تتهودی تتم مس تتطح ب تته مجبوع تتهای از نقط تتهها گفت تته میش تتود ب تته‬
‫شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم‪.‬‬
‫• م ساده‬
‫• م ساده بته تم مستطای امتالق میشتود کته تودش را قطتع نکترده باشتد‬
‫مگر در حالتی که نقطههای انتهایی به هم میرسند‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫م مسطح‬
‫•‬
‫تعاریف‬
‫م بسته‬
‫م بسته به بی امالق میشود که نقطههای انتهایی و ابتدایی آن‬
‫به هم رسیده و بر هبدیگر منطبق باشند‪.‬‬
‫•‬
‫م ساده بسته‬
‫بی ساده است که نقطههای ابتدا و انتهایی آن بر هم منطبق باشند‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫م مسطح‬
‫تعاریف‬
‫• قضیه م جردن‬
‫هر م ساده بسته صفحه را به سته زیتر مجبوعته جتدا از هتم درون‬
‫بیرون و روی م تقسیم میکند‪.‬‬
‫روی م‬
‫بیرون م‬
‫درون م‬
‫ناحی تته‪ :‬ب تته اجتب تتاع بخ تتش درون تتی ی تتک تتم و تتود آن تتم ی تتک ناحی تته‬
‫میگویند‪( .‬ناحیه محدب‪/‬غیرمحدب)‬
‫چندضلعی‪:‬‬
‫یک م ساده بسته است که از اجتباع حداقل سته پتاره تط تشتکیل‬
‫شده است‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫متوازی االضالع‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫متوازیاالضالع‬
‫قضایا‬
‫مت تتوازی االض تتالع‪ :‬چهارض تتلعی اس تتت ک تته اض تتالع آن دو ب تته دو ب تتا ه تتم‬
‫موازی باشند‪.‬‬
‫قضیه‪ :‬درهر متوازی االضالع هر قطر آن متوازی االضالع را به دو‬
‫مثلث هبنهشت تقسیم می کند‪.‬‬
‫قضتتیه ی اساس ت ی متتتوازی االضتتالع‪ :‬در هتتر متتتوازی االضتتالع زوایتتای‬
‫رو بته رو بته یکتدیگر و اضتالع رو بته رو بته یتک دیگتر ن یتر بته ن یتر بتا‬
‫هم برابرند‪.‬‬
‫قضیه‪ :‬در هر متوازی االضالع قطرها یک دیگر را نصف می کنند‪.‬‬
‫قضیه‪ :‬در هر متوازی االضالع زوایای مجاور مکبلند‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫متوازیاالضالع‬
‫قضایا‬
‫راه های کشف یک متوازی االضالع‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫قضیه‪ :‬اگر در یک ‪ 4‬ضلعی ضلع های رو بته رو بتا هتم برابتر باشتند آن ‪4‬‬
‫ضلعی متوازی االضالع است‪.‬‬
‫قضتتیه‪ :‬اگتتر در یتتک ‪ 4‬ضتتلعی قطرهتتا یکتتدیگر را نصتتف کننتتد آن ‪ 4‬ضتتلعی‬
‫متوازی االضالع است‪.‬‬
‫قض تتیه‪ :‬اگ تتر در ی تتک ‪ 4‬ض تتلعی زوای تتای رو ب تته رو دو ب تته دو ب تتا ه تتم براب تتر‬
‫باشند آن ‪ 4‬ضلعی متوازی االضالع است‪.‬‬
‫قض تتیه‪ :‬اگ تتر در ی تتک ‪ 4‬ض تتلعی زوای تتای مج تتاور مکب تتل باش تتند آن ‪ 4‬ض تتلعی‬
‫متوازی االضالع است‪.‬‬
‫قضتتیه‪ :‬اگتتر در یتتک ‪ 4‬ضتتلعی دو ضتتلع رو بتته رو متتوازی و مستتاوی باشتتند‬
‫آن چهار ضلعی متوازی االضالع است‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫متوازیاالضالع‬
‫مستطیل‬
‫‪‬مستطیل‬
‫• تعریف مستطیل‪ 4 :‬ضلعی ای که تبام زوایای آن قائبه باشند‪.‬‬
‫• قضیه ‪ :1‬در هر مستطیل قطرها با هم برابرند‪.‬‬
‫• قضیه ‪ :2‬اگر در یتک متتوازی االضتالع قطرهتا بتا هتم برابتر باشتند آن‬
‫متوازی االضالع مستطیل است‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫متوازیاالضالع‬
‫لوزی‬
‫‪‬لوزی‬
‫• تعریف لوزی‪ :‬چهارضلعی ای که تبام اضالع آن با هم برابرند‪.‬‬
‫• قضیه ‪ :‬در هر لوزی قطرها بر هم عبودند‪.‬‬
‫• قضتتیه‪ :‬اگتتر در یتتک متتتوازی االضتتالع قطرهتتا بتتر هتتم عبتتود باشتتند آن‬
‫متوازی االضالع لوزی است‪.‬‬
‫• قضیه‪ :‬درهر لوزی قطرها نیم سازند‪.‬‬
‫• قض ت ت تتیه‪ :‬اگ ت ت تتر در ی ت ت تتک چهارض ت ت تتلعی قطره ت ت تتا ن ت ت تتیم س ت ت تتاز باش ت ت تتند آن‬
‫چهارضلعی یک لوزی است‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫میان ط‬
‫مثلث‬
‫• پت تتاره طت تتی کت تته وست تتطهت تتای دو ضت تتلع از مثلمت تتی را بت تته هت تتم وصت تتل مت تتیکنت تتد‬
‫میانخط مثلث نامیده میشود‪.‬‬
‫پتتاره طتتی کتته وستتط هتتای دو ضتتلع از مثلمتتی را‬
‫بتته هتتم وصتتل متتی کنتتد بتتا ضتتلع ستتوم متتوازی استتت و مستتاوی نصتتف آن‬
‫است‪.‬‬
‫• قضتیه‬
‫• قضیه‪:‬‬
‫‪27‬‬
‫قضایایمهم‬
‫‪...‬‬
‫‪ ‬قضیه‪ :‬میانههای هر مثلث یکدیگر را به نسبت یک به دو قطع متیکننتد‬
‫و با هم هبرسند‪.‬‬
‫‪‬قضتتیه‪:‬‬
‫‪‬قض تتیه‪ :‬نیبس تتازهای دا ل تتی ی تتک مت تتوازیاالض تتالع تش تتکیل ی تتک مس تتتطیل‬
‫میدهند‪.‬‬
‫‪‬قضیه‪:‬‬
‫‪28‬‬
‫ذوزنقه‬
‫قضایا‬
‫ذوزنقه‬
‫(میانگین = نصف حاصل جبع دو قاعده)‬
‫وس تتطهاو دو قاع تتده و دو قط تتر ه تتر ذوزنق تته چه تتار رأس ت‬
‫متوازو االضالعند‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫ذوزنقه‬
‫قضایا‬
‫در ه تتر ذوزنق تته متس تتاوی الس تتاقین زوای تتای مج تتاور ب تته‬
‫ساق ها با هم برابرند‪.‬‬
‫قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین با هم برابرند‪.‬‬
‫اگ تتر در یتتک ذوزنق تته زوای تتای مجتتاور ب تته ستتاق ه تتا براب تتر‬
‫باشند آن ذوزنقه متساوی الساقین است‪.‬‬
‫اگت تتر در یت تتک ذوزنقت تته قطرهت تتا بت تتا هت تتم برابت تتر باشت تتند آن‬
‫ذوزنقه متساوی الساقین است‪.‬‬
‫(راهنبایی‪ :‬موازی و مساوی یکی از قطرها طی رسم میکنیم تا‪)...‬‬
‫‪30‬‬
‫مثلثقائمالزاویه‬
‫قضایا‬
‫در هر مثلث قائم الزاویه موا میانه وارد بر وتر نصف وتر است‪.‬‬
‫اگتتر انتتدازه یتتک زاویتته حتتاده درمثلتتث قتتائم الزاویتته‬
‫‪ 30‬درجه باشد ضلع مقابل به این زاویه نصف وتر است‪.‬‬
‫در یک مثلث قائم الزاوایه کته یتک زاویته ‪15‬درجته دارد ارتفتاع وارد بتر‬
‫وتر یکچهارم وتر است‪.‬‬
‫‪31‬‬