هندسه ۱ فصل ۱
Download
Report
Transcript هندسه ۱ فصل ۱
سرآغاز
افالطون و...
1
مقدمه
توصیه ها و..
مقدمه:
• چرا هندسه بخوانیم؟
هندسه :افزایش قدرت تفکر
• توصیه هایی در باره حل مسائل و تکالیف هندسه:
خودمان آنهارا حل کنیم و لذت این تجربه را از دست ندهیم.
یک مسئله هندسه همیشه الینحل نیست.
نگذاریم مسائل برای شب آخر جمع شود.
در رسم اشکال دقت کنیم تا شکل ها دقیق و واقعی باشند.
همه مسائل ،حتی مسائل ساده اهمیت دارند
ً
سعی کنید از حل مسائل هندسه لذت ببرید .خصوصا از مسائل دشوار.
فهمیدن آری ،حفظ کردن...
2
مقدمه
ارزشیابی
• الزم اس تتت ت تتا در م تتوا نیبس تتاا اوا ب ترای نب تتره مس تتتبر تتود 200امتی تتاز ب تته
صورت زیر بدست آورید:
فعالیت
فعالیت
کالس ی
حسن
انجام
تکالیف
()10
آزمونکها
()5
امتیاز
10
40
50
آزمون
ماهانه
()2
مسابقه
هندسه
()2
40
30
آزمونهای
جامع و ...
20
پژوهش
سؤاالت
جیبی و
سایر...
10
+
3
راه های کشف امالعات
کشف امالعات
مشاهده
• مشاهده
* بررس ی احتباا طا در مشاهده:
مثاا :روزنامه های 0/075میلیبتری
بار اوا :یک ورق روی یک ورق موجود بر زمین
بار دوم :دو ورق رو ی دو ورق موجود
بار سوم :چهار برگ روی چهار برگ موجود
بار دهم :ضخامت برگه ها به ارتفاع :بیش از 7/5سانتی متر
بار پنجاهم :؟ حدس بزنید!
کبتر از 7/5متر حدود 75متر حدود 750متر بیش از 750متر پاسخ :تعداد برگه ها 1،125،899،906،842،624 :معادا 84میلیون کیلومتر و معادا بیشاز نصف فاصله زمین تا ورشید
• پخش تصاویر مشاهده و برداشت های گوناگون با طای دید و ...
4
کشف امالعات
استدالل
راه های کشف امالعات
بررس ی حالت های مختلف در یک موضوع و نتیجه گیری کلی بر اساس آن
نتیجه گیری و حکم کردن از کنار هم قرار دادن حقایقی که درستی آنها را قبوا داریم.
آشنایی با برخی اصطالحات
مفاهیم تعریف نشده
مسائل( :یافتنی یا ثابت کردنی)
اصل یا اصل موضوع
تعریف قضیه
5
زاویه
انواع زاویه
• زاویه
• تعریف:
اجتباع دو نیم ط که مبدا آنها با یکدیگر مشترک است.
به مبدأ مشترک :رأس زاویه دو نیم ط :اضالع زاویه می گویند.
• انواع زاویه :حاده -قائبه -منفرجه
)1حاده :کبتر از ) 2 90قائبه= )3 90منفرجه :بیش از90
* مکبل :
دو زاویه که مجبوع آنها 180درجه باشد.
* متبم:
دو زاویه که مجبوع آنها 90درجه باشد.
* مجاور:
دو زاویه ای که یک ضلع و یک رأس مشترک داشته باشند.
* مجانب:
دو زاویه ی مکبل که با یکدیگر مجاور باشند.
•
روش های نام گذاری زاویه> A , Â , x Ây :
6
زاویه
برابری زوایا
• نکته :برابری زوایا یک رابطه ی هم ارزی است.
• تعریف رابطه هم ارزی:
رابطه ای که سه ویژگی بازتابی تقارن و ترایایی داشته باشد را رابطه هم ارزی می گویند.
• بازتابیa=a :
• تقارنb=a ← a=b :
• ترایاییa=b :
← a=c
b=c
مسئله :مجبوع دو زاویه 75درجه است مجبوع مکبل های آنها چند درجه است؟ (کنکور)77
جواب 285 :درجه
مسئله A :و Bمتببند 4/9 A .مکبل Bاست .مقدار Aرا بدست آورید( .کنکور)75
جواب 72 :درجه
7
زاویه
قضایا
• قضیه ی مکبل ها :اگردو زاویه با هم برابر باشند مکلهای آنها هم با هم برابرند.
• قضیه ی متبم ها :اگردو زاویه با هم برابر باشند متبمهای آنها هم با هم برابرند.
• قضیه ی زوایای متقابل با رأس :دو زاویه ی متقابل به رأس برابرند.
تعریف :دو زاویه ای که رأس مشترک داشته باشند و اضالع آنها دو به دو در امتداد هم باشند
متقابل به رأس نامیده می شوند.
• قضیه :نیبسازهای دو زاویه مجانب متببند.
• قضیه :نیبسازهای دو زاویه متبم مجاور 45درجه اندازه دارند.
8
قضایا
زاویه
وضعیت بر ورد طوط( 3خط به باال) در یک صفحه:
)1غیرهبرس :اگر چند ط یکدیگر را در نقاط متبایز قطع کنند نا هبرسند.
ط مورب :خطی است که چند خط دیگر را در نقاط متمایز قطع کند.
)2هبرس :طومی هستند که هم دیگر را در یک نقطه قطع کنند .به این طوط متقارب نیز می گویند.
در اثر بر ورد ط مورب با دو ط 8زاویه به صورت زیر بوجود می آیند :
هر دو زاویه ای که در یک طرف خط مورب وجود دارند متقابل نامیده می شوند.
1 2
3 4
5 6
7 8
اگر یک زاویه در یک طرف خط و زاویه ی دیگر در طرف دیگر آن باشد آن دو زاویه متبادل نامیده می شوند.
زوایاااکی کااه ب ا ن دو خااط L1و L2باشااند متبااادل یااا متقاباال داخ اای نامیااده ماای شااوند .در غ اار ایاان صااورت خااار ی
نامیده می شوند.
9
زاویه
قضایا
• اصل 5اقلیدس :اگر موربی دو خط دیگر را قطع کند آن دو خط از
طرفی به یکدیگر می رسند که مجموع دو زاویه متقابل داخ ی کم تر از
180باشد.
• قضیه ی طوط موازی و مورب :اگر موربی دو خط موازی را قطع کند
تمامی زوایای حاده بایکدیگر و تمامی زوایای منفرجه با یکدیگر برابرند.
• قضیه :1در خطوط موازی و مورب دو زاویه ی متقابل داخ ی مکمل اند.
• قضیه :2در خطوط موازی و مورب ،نیم سازهای زوایای متقابل داخ ی
متعامدند( بر یکدیگر عمودند)
• قضیه :3در خطوط موازی و مورب ،نیم سازهای زوایای متبادل داخ ی
متوازی اند.
• نکته :موازی بودن خطوط با یکدیگر ،یک رابطه ی هم ارزی است.
10
زاویه
قضایا
زاویه در مثلث و سایر چندضلعی ها
• قضیه :در هر مثلث مجموع زوایای داخ ی 180درجه است.
تعریف فرع :قضایاکی هستند که از قضایای اص ی منتج می شوند.
• فرع :1اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشد ،زاویه ی سوم از دو مثلث با یکدیگر برابرند.
• فرع :2زوایای حاده در هر مثلث قائم الزاویه متمم اند.
• فرع :3در هر مثلث اندازه ی زوایه ی خار ی برابر است با مجموع دو زاویه ی داخ ی غ ر مجاور و زاویه ی خار ی
از هر زاویه ی داخ ی غ ر مجاور بزرگ تر است.
عکس قضیه ی طوط موازی و مورب :موربی دو خط را قطع کرده اگر دو زاویه ی متبادل درونی غ رمجاور برابر
باشند آن دو خط متوازی اند.
قضیه :در هر 4ضلعی محدب مجموع دو زاویه ی مقابل برابر است با مجموع دو زاویه ی خار ی غ ر مجاور.
قضیه :اگر اضالع دو زاویه نظ ر به نظ ر بر یک دیگر عمود باشند آن دو زاویه با هم برابرند به شرط اینکه رأس
یک زاویه درون زاویه ی دیگر نباشد که آنگاه مکمل هم می شوند).
قضیه :مجموع زوایای داخ ی در هر nضلعی محدب برابر است با180 )n-2( :
11
مسائل
زاویه
مسئله :مجموع زوایای خار ی در هر nضلعی محدب را بدست آورید.
مسئله :یک 12ضلعی محدب حراکثر چند زاویه محدب(داخ ی) میتواند داشته باشد؟
E
مسئله :در شکل زیر مقدار A+B+C+D+Eرا بدست آورید.
A
D
C
مسئله BO :و COنیمسازند ،با توجه به شکل ،مقدار xرا بدست
B
آوریدA.
80
O
x
C
B
مسئله CD :و BDنیمسازهای زاویه های ACBو EBAهستند x .را بدست آورید.
12
هبنهشتی
مفاهیم
همنهشتی
• مفهوم هبنهشتی:
ً
دو شکل که این قابلیت را داشته باشند که کامال بر یک دیگر منطبق شوند ،همنهشت نامیده می شود.
• نکته :اگر دو شکل همنهشت باشند تناظر یک بر یک ب ن اجزای دو شکل برقرار است.
• هبنهشتی در مثلث ها:
• حالت اوا :اگر دو ضلع و زاویه ی ب ن از یک مثلث با دو ضلع و زاویه ی ب ن از مثلث دیگر برابر باشد آن
دو مثلث با هم همنهشت هستند .تناظر (ض ز ض)
• حالت دوم :اگر دو زاویه و ضلع ب ن از یک مثلث با دو زاویه و ضلع ب ن از مثلث دیگر با هم برابر باشند
آن دو مثلث با هم همنهشت هستند .تناظر (ز ض ز)
• حالت سوم:اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم
همنهشت هستند .تناظر (ض ض ض)
• فرع از اصل دوم :در دو مثلث قائم الزاویه اگر وتر و یک زاویه ی حاده ازیک مثلث با وتر و یک زاویه ی
حاده از مثلث دیگر برابر باشند آن دو مثلث هم همنهشت هستند.
13
متساویالساقین
قضایا
• مثلث متساوی الساقین:
•
•
•
•
•
•
•
•
تعریف:مثلثی که دو ضلع از اضالع آن با یکدیگر برابر باشند .آن دو ضلع برابر را ساق های مثلث و ضلع سوم را
قاعده ی مثلث می گویند .محل برخورد ساق ها رأس مثلث است.
قضیه ی اساس ی مثلث متساوی الساقین :در هر مثلث متساوی الساق ن زوایای مجاور
ساق ها با یکدیگر برابرند.
قضیه :1در هر مثلث متساوی الساق ن ارتفاع وارد بر قاعده میانه ی وارد بر قاعده ،نیم
ساز زاویه ی رأس و عمود منصف قاعده همگی بر هم منطبق اند.
قضیه :2اگر در یک مثلث دو زاویه با هم برابر باشند آن مثلث متساوی الساق ن است.
قضیه :3درهر مثلث متساوی الساق ن ارتفاع های وارد بر ساق ها با یکدیگر برابرند.
قضیه :4درهر مثلث متساوی الساق ن میانه های وارد بر ساقها با یکدیگر برابرند.
قضیه :5در هر مثلث متساوی الساق ن نیم سازهای زوایای مجاور به ساق ها با هم برابرند.
قضیه :6مجموع فواصل هر نقطه واقع بر قاعده ی یک مثلث متساوی الساق ن از دو ساق
برابر است با ارتفاع وارد بر یک ساق.
14
متساویالساقین
قضایا و مسائل
• قض تتیه :7در ه اار مثل ااث متس اااویالس اااق ن ،خط اای ک ااه ب ااه م ااوازات قاع ااده ،از رأس مثل ااث
میگذرد ،زاویه خار ی آن رأس را نصف میکند.
• قضتتیه :8در هاار مثلااث اگاار نیمساااز یااک زاویااه خااار ی بااا یااک ضاالع مثلااث مااوازی باشااد ،آن
مثلث متساوی الساق ن است.
• مسئله :در مثلث ABCنیبسازهای دا لی زاویه های Aو Bبا یکتدیگر در Tبر تورد
م تتیکنن تتد .ط تتی ک تته از Tم تتوازی ب تتا ABرس تتم ش تتود ب تتا ACو BCب تته ترتی تتب در Dو E
بر تتورد م تتیکن تتد .ثاب تتت کنی تتد پ تتاره تتط DEب تتا مجب تتوع دو پ تتاره تتط ADو BEبراب تتر
است.
• مسئله :طی موازی با قاعده BCاز مثلث متساویالستاقین ABCرستم شتدهاستت و
با ABو ACبته ترتیتب در Dو Eبر تورد کترده استت .ثابتت کنیتد عبودمنصتف ED
از رأس Aمیگذرد.
15
متساویالساقین
مسائل
• مسئله :در مثلث ABCزاویه Bحاده و دو برابر زاویه Cاستت .ارتفتاع AHاز مثلتث را
رسم میکنیم و ABرا از متر Bتتا نقطته Eامتتداد متی دهتیم بته متوری کته BEبرابتر
ب ت تتا BHباش ت تتد .اگ ت تتر Mنقط ت تته بر ت تتورد ACو امت ت تتداد HEباش ت تتد ثاب ت تتت کنی ت تتد ک ت تته
پاره طهای AMو MCو MHبا هم برابرند.
• مسئله :در شکل ثابت کنید AFمیانه متناظر YXاز مثلث AXYاست.
X
((AB=AY , AX=AC
F
Y
A
C
E
B
16
مسائل
متساویالساقین
A
مسئله ABC :متساویاالضالع و . MN=BM
ثابت کنید AM=CN
N
مسئله :در شکل
AB=ACو EB=CD
ثابت کنید EM=MD
M
C
D
A
مسئله :در شکل
AB=ACو EA=AD
?=X
A
B
30
E
C
M
N
B
E
C
D
x
D
B
17
متساویالساقین
قضایا و مسائل
خواص نقاط متعلق به عمود منصف و نیمساز
تعریف عبود منصف :طی است که پاره طی را نصف می کند ودر
محل تالقی بر آن عبود است.
قضیه :هر نقطه واقع بر عبود منصف یک پاره ط از دو سر آن پاره
ط به یک فاصله است( .به عبارت دیگر عبودمنصف یک پاره ط مکان هندس ی )...
قضیه :هر نقطه واقع بر نیم ساز هر زاویه از دوضلع آن زاویه به یک
فاصله است( .به عبارت دیگر نیبساز یک زاویه مکان هندس ی )...
• مس ت ت ت تتئله :م ت ت ت تتی ت ت ت تتواهیم ا س ت ت ت تتت ا ی
بسازیم که از دو روستا به یک فاصله
باشد .چگونه محل آن را پیدا کنیم.
جابرآباد
برره
مسئله :سه روستای قلیآباد جابرآباد و شورآباد در یک منطقه و به صورت غیرهبخط واقعند .می
واهیم یک سیلو احداث کنیم تا با این سه روستا به یک فاصله باشد .چگونه این نقطه را بیابیم.
18
هبرس ی
قضایا و مسائل
مس تتئله :چگون تته در نباز ان تته مدرس تته نقط تته ای پی تتدا کن تتیم ک تته فاص تتله آن ت تتا دی تتوار س تتبت راهنب تتایی و
دیوار در ورودی و هبچنین تا دو نقطه محراب و کنج نزدیک به تخته سیاه به یک اندازه باشد.
مسئله :مطلوبست مکتان هندست ی نقتامی در فضتا کته هب تی از دو ستر یتک پتاره تط بته یتک فاصتله
باشند.
• برخی قضایای هبرس ی در مثلث:
• در هر مثلث عبود منصف های اضالع آن مثلث هبرسند.
• در هر مثلث نیم سازهای زوایای آن مثلث هبرسند.
• در هر مثلث ارتفاع های آن مثلث هبرسند.
19
م مسطح
م مسطح
تعاریف
بطور ک ی ،خم بر دو گونهاست:
• تتم مس تتطح :ب تتی اس تتت ک تته ب تتر روی ی تتک س تتطح دوبع تتدی (ص تتفحه) قاب تتل
جایگیری و ترسیم است.
• م کج :بی فضایی است که روی هیچ صفحهای قرار نگیرد.
بط تتور ش تتهودی تتم مس تتطح ب تته مجبوع تتهای از نقط تتهها گفت تته میش تتود ب تته
شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم.
• م ساده
• م ساده بته تم مستطای امتالق میشتود کته تودش را قطتع نکترده باشتد
مگر در حالتی که نقطههای انتهایی به هم میرسند.
20
م مسطح
•
تعاریف
م بسته
م بسته به بی امالق میشود که نقطههای انتهایی و ابتدایی آن
به هم رسیده و بر هبدیگر منطبق باشند.
•
م ساده بسته
بی ساده است که نقطههای ابتدا و انتهایی آن بر هم منطبق باشند.
21
م مسطح
تعاریف
• قضیه م جردن
هر م ساده بسته صفحه را به سته زیتر مجبوعته جتدا از هتم درون
بیرون و روی م تقسیم میکند.
روی م
بیرون م
درون م
ناحی تته :ب تته اجتب تتاع بخ تتش درون تتی ی تتک تتم و تتود آن تتم ی تتک ناحی تته
میگویند( .ناحیه محدب/غیرمحدب)
چندضلعی:
یک م ساده بسته است که از اجتباع حداقل سته پتاره تط تشتکیل
شده است.
22
متوازی االضالع
•
•
•
•
•
متوازیاالضالع
قضایا
مت تتوازی االض تتالع :چهارض تتلعی اس تتت ک تته اض تتالع آن دو ب تته دو ب تتا ه تتم
موازی باشند.
قضیه :درهر متوازی االضالع هر قطر آن متوازی االضالع را به دو
مثلث هبنهشت تقسیم می کند.
قضتتیه ی اساس ت ی متتتوازی االضتتالع :در هتتر متتتوازی االضتتالع زوایتتای
رو بته رو بته یکتدیگر و اضتالع رو بته رو بته یتک دیگتر ن یتر بته ن یتر بتا
هم برابرند.
قضیه :در هر متوازی االضالع قطرها یک دیگر را نصف می کنند.
قضیه :در هر متوازی االضالع زوایای مجاور مکبلند.
23
متوازیاالضالع
قضایا
راه های کشف یک متوازی االضالع:
•
•
•
•
•
قضیه :اگر در یک 4ضلعی ضلع های رو بته رو بتا هتم برابتر باشتند آن 4
ضلعی متوازی االضالع است.
قضتتیه :اگتتر در یتتک 4ضتتلعی قطرهتتا یکتتدیگر را نصتتف کننتتد آن 4ضتتلعی
متوازی االضالع است.
قض تتیه :اگ تتر در ی تتک 4ض تتلعی زوای تتای رو ب تته رو دو ب تته دو ب تتا ه تتم براب تتر
باشند آن 4ضلعی متوازی االضالع است.
قض تتیه :اگ تتر در ی تتک 4ض تتلعی زوای تتای مج تتاور مکب تتل باش تتند آن 4ض تتلعی
متوازی االضالع است.
قضتتیه :اگتتر در یتتک 4ضتتلعی دو ضتتلع رو بتته رو متتوازی و مستتاوی باشتتند
آن چهار ضلعی متوازی االضالع است.
24
متوازیاالضالع
مستطیل
مستطیل
• تعریف مستطیل 4 :ضلعی ای که تبام زوایای آن قائبه باشند.
• قضیه :1در هر مستطیل قطرها با هم برابرند.
• قضیه :2اگر در یتک متتوازی االضتالع قطرهتا بتا هتم برابتر باشتند آن
متوازی االضالع مستطیل است.
25
متوازیاالضالع
لوزی
لوزی
• تعریف لوزی :چهارضلعی ای که تبام اضالع آن با هم برابرند.
• قضیه :در هر لوزی قطرها بر هم عبودند.
• قضتتیه :اگتتر در یتتک متتتوازی االضتتالع قطرهتتا بتتر هتتم عبتتود باشتتند آن
متوازی االضالع لوزی است.
• قضیه :درهر لوزی قطرها نیم سازند.
• قض ت ت تتیه :اگ ت ت تتر در ی ت ت تتک چهارض ت ت تتلعی قطره ت ت تتا ن ت ت تتیم س ت ت تتاز باش ت ت تتند آن
چهارضلعی یک لوزی است.
26
میان ط
مثلث
• پت تتاره طت تتی کت تته وست تتطهت تتای دو ضت تتلع از مثلمت تتی را بت تته هت تتم وصت تتل مت تتیکنت تتد
میانخط مثلث نامیده میشود.
پتتاره طتتی کتته وستتط هتتای دو ضتتلع از مثلمتتی را
بتته هتتم وصتتل متتی کنتتد بتتا ضتتلع ستتوم متتوازی استتت و مستتاوی نصتتف آن
است.
• قضتیه
• قضیه:
27
قضایایمهم
...
قضیه :میانههای هر مثلث یکدیگر را به نسبت یک به دو قطع متیکننتد
و با هم هبرسند.
قضتتیه:
قض تتیه :نیبس تتازهای دا ل تتی ی تتک مت تتوازیاالض تتالع تش تتکیل ی تتک مس تتتطیل
میدهند.
قضیه:
28
ذوزنقه
قضایا
ذوزنقه
(میانگین = نصف حاصل جبع دو قاعده)
وس تتطهاو دو قاع تتده و دو قط تتر ه تتر ذوزنق تته چه تتار رأس ت
متوازو االضالعند.
29
ذوزنقه
قضایا
در ه تتر ذوزنق تته متس تتاوی الس تتاقین زوای تتای مج تتاور ب تته
ساق ها با هم برابرند.
قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین با هم برابرند.
اگ تتر در یتتک ذوزنق تته زوای تتای مجتتاور ب تته ستتاق ه تتا براب تتر
باشند آن ذوزنقه متساوی الساقین است.
اگت تتر در یت تتک ذوزنقت تته قطرهت تتا بت تتا هت تتم برابت تتر باشت تتند آن
ذوزنقه متساوی الساقین است.
(راهنبایی :موازی و مساوی یکی از قطرها طی رسم میکنیم تا)...
30
مثلثقائمالزاویه
قضایا
در هر مثلث قائم الزاویه موا میانه وارد بر وتر نصف وتر است.
اگتتر انتتدازه یتتک زاویتته حتتاده درمثلتتث قتتائم الزاویتته
30درجه باشد ضلع مقابل به این زاویه نصف وتر است.
در یک مثلث قائم الزاوایه کته یتک زاویته 15درجته دارد ارتفتاع وارد بتر
وتر یکچهارم وتر است.
31